Формата ax 2 + bx + 0 0, където (вместо знака > може, разбира се, да има всеки друг знак за неравенство). Имаме всички факти от теорията, необходими за решаването на такива неравенства, които сега ще проверим.

Пример 1. Решете неравенството:

а) x 2 - 2x - 3 > 0; б) x 2 - 2x - 3< 0;
в) х 2 - 2х - 3 > 0; г) x 2 - 2x - 3< 0.
Решение,

а) Помислете за параболата y \u003d x 2 - 2x - 3, показана на фиг. 117.

За да решите неравенството x 2 - 2x - 3 > 0 - това означава да отговорите на въпроса, за кои стойности на x ординатите на точките на параболата са положителни.

Забелязваме, че y > 0, т.е. графиката на функцията е разположена над оста x, при x< -1 или при х > 3.

Следователно решенията на неравенството са всички точки на отвореното пространство лъч(- 00 , - 1), както и всички точки на отворения лъч (3, +00).

Използвайки знака U (знакът на обединението на множествата), отговорът може да се запише по следния начин: (-00 , - 1) U (3, +00). Отговорът обаче може да се напише и така:< - 1; х > 3.

б) Неравенство x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: графикразположен под оста x, ако -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

в) Неравенството x 2 - 2x - 3 > 0 се различава от неравенството x 2 - 2x - 3 > 0 по това, че отговорът трябва да включва и корените на уравнението x 2 - 2x - 3 = 0, т.е. точките x = - 1

и x \u003d 3. По този начин решенията на това нестрого неравенство са всички точки на лъча (-00, - 1], както и всички точки на лъча.

Практичните математици обикновено казват това: защо ние, решавайки неравенството ax 2 + bx + c > 0, внимателно изграждаме графика на парабола на квадратична функция

y \u003d ax 2 + bx + c (както беше направено в пример 1)? Достатъчно е да направите схематична скица на графиката, за която трябва само да намерите корениквадратен трином (точката на пресичане на параболата с оста х) и определя накъде са насочени клоновете на параболата - нагоре или надолу. Тази схематична скица ще даде визуална интерпретация на решението на неравенството.

Пример 2Решете неравенството - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Решение.

1) Намерете корените на квадратния трином - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; х 2 \u003d - 1,5.

2) Параболата, която служи като графика на функцията y \u003d -2x 2 + Zx + 9, пресича оста x в точки 3 и - 1,5, а клоновете на параболата са насочени надолу, тъй като по-старите коефициент- отрицателно число - 2. На фиг. 118 е скица на графика.

3) С помощта на фиг. 118, заключаваме:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Отговор: x< -1,5; х > 3.

Пример 3Решете неравенството 4x 2 - 4x + 1< 0.
Решение.

1) От уравнението 4x 2 - 4x + 1 = 0 намираме.

2) Квадратният тричлен има един корен; това означава, че параболата, служеща като графика на квадратен трином, не пресича оста x, а я докосва в точката. Клоните на параболата са насочени нагоре (фиг. 119.)

3) С помощта на геометричния модел, показан на фиг. 119 установяваме, че посоченото неравенство е изпълнено само в точката, тъй като за всички останали стойности на x ординатите на графиката са положителни.
Отговор: .
Вероятно сте забелязали, че всъщност в примери 1, 2, 3, добре дефиниран алгоритъмрешаване на квадратни неравенства, ще го формализираме.

Алгоритъмът за решаване на квадратното неравенство ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Първата стъпка на този алгоритъм е да се намерят корените на квадратен тричлен. Но корените може да не съществуват, така че какво да правя? Тогава алгоритъмът е неприложим, което означава, че трябва да се разсъждава по друг начин. Ключът към тези аргументи е даден от следните теореми.

С други думи, ако Д< 0, а >0, тогава неравенството ax 2 + bx + c > 0 е изпълнено за всички x; напротив, неравенството ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Доказателство. график функции y \u003d ax 2 + bx + c е парабола, чиито клони са насочени нагоре (тъй като a > 0) и която не пресича оста x, тъй като квадратният трином няма корени по условие. Графиката е показана на фиг. 120. Виждаме, че за всички x графиката е разположена над оста x, което означава, че за всички x неравенството ax 2 + bx + c > 0 е изпълнено, което беше това, което трябваше да се докаже.

С други думи, ако Д< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 няма решения.

Доказателство. Графиката на функцията y \u003d ax 2 + bx + c е парабола, чиито клонове са насочени надолу (тъй като a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Пример 4. Решете неравенството:

а) 2x 2 - x + 4 > 0; б) -x 2 + Zx - 8 > 0.

а) Намерете дискриминанта на квадратния трином 2x 2 - x + 4. Имаме D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Старшият коефициент на тричлена (число 2) е положителен.

Следователно, съгласно теорема 1, за всички x неравенството 2x 2 - x + 4 > 0 е изпълнено, т.е. решението на даденото неравенство е цялото (-00, + 00).

б) Намерете дискриминанта на квадратния трином - x 2 + Zx - 8. Имаме D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Отговор: а) (-00, + 00); б) няма решения.

В следващия пример ще се запознаем с друг начин на разсъждение, който се използва при решаване на квадратни неравенства.

Пример 5Решете неравенството 3x 2 - 10x + 3< 0.
Решение. Нека разложим на множители квадратния трином 3x 2 - 10x + 3. Корените на тринома са числата 3 и следователно, използвайки ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), получаваме Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
Отбелязваме на числовата ос корените на тричлена: 3 и (фиг. 122).

Нека x > 3; тогава x-3>0 и x->0, и следователно произведението 3(x - 3)(x - ) е положително. Следваща, нека< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Следователно произведението 3(x-3)(x-) е отрицателно. Накрая нека x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) е положително.

Обобщавайки разсъжденията, стигаме до заключението: знаците на квадратния трином Zx 2 - 10x + 3 се променят, както е показано на фиг. 122. Интересуваме се от това, при колко x квадратният тричлен приема отрицателни стойности. От фиг. 122 заключаваме: квадратният трином 3x 2 - 10x + 3 приема отрицателни стойности за всяка стойност на x от интервала (, 3)
Отговор (, 3), или< х < 3.

Коментирайте. Методът на разсъждение, който приложихме в пример 5, обикновено се нарича метод на интервалите (или метод на интервалите). Използва се активно в математиката за решаване рационаленнеравенства. В 9. клас ще изучаваме по-подробно интервалния метод.

Пример 6. При какви стойности на параметъра p е квадратното уравнение x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
а) има два различни корена;

б) има един корен;

в) няма -корени?

Решение. Броят на корените на квадратното уравнение зависи от знака на неговия дискриминант D. В този случай намираме D \u003d 25 - 4p 2.

а) Квадратно уравнение има два различни корена, ако D> 0, тогава проблемът се свежда до решаване на неравенството 25 - 4p 2 > 0. Умножаваме двете части на това неравенство по -1 (като не забравяме да променим знака на неравенството). Получаваме еквивалентно неравенство 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Знаците на израза 4(p - 2.5) (p + 2.5) са показани на фиг. 123.

Заключаваме, че неравенството 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

б) квадратно уравнениеима един корен, ако D е 0.
Както казахме по-горе, D = 0 при p = 2,5 или p = -2,5.

Именно за тези стойности на параметъра p това квадратно уравнение има само един корен.

в) Квадратно уравнение няма корени, ако D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Получаваме 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2.5) (p + 2.5)> 0, откъдето (виж Фиг. 123) p< -2,5; р >2.5. За тези стойности на параметъра p това квадратно уравнение няма корени.

Отговор: а) при p (-2,5, 2,5);

б) при р = 2,5 или р = -2,5;
в) при r< - 2,5 или р > 2,5.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 клас: учеб. за общо образование институции.- 3-то изд., финал. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с.: ил.

Помогни на ученик онлайн, Математика за 8 клас изтегляне, календарно-тематично планиране

Първо, някои текстове, за да добиете представа за проблема, който методът на интервалите решава. Да предположим, че трябва да решим следното неравенство:

(x − 5)(x + 3) > 0

Какви са вариантите? Първото нещо, което идва на ум на повечето ученици, са правилата „плюс пъти плюс прави плюс“ и „минус пъти минус прави плюс“. Следователно е достатъчно да разгледаме случая, когато и двете скоби са положителни: x − 5 > 0 и x + 3 > 0. Тогава ще разгледаме и случая, когато и двете скоби са отрицателни: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

По-напредналите ученици ще запомнят (може би), че отляво е квадратна функция, чиято графика е парабола. Освен това тази парабола пресича оста OX в точките x = 5 и x = −3. За по-нататъшна работа трябва да отворите скобите. Ние имаме:

x 2 − 2x − 15 > 0

Сега е ясно, че клоните на параболата са насочени нагоре, защото коефициент a = 1 > 0. Нека се опитаме да начертаем диаграма на тази парабола:

Функцията е по-голяма от нула, когато минава над оста OX. В нашия случай това са интервалите (−∞ −3) и (5; +∞) - това е отговорът.

Моля, имайте предвид, че снимката показва точно функционална диаграма, а не нейния график. Защото за истинска диаграма трябва да преброите координати, да изчислите отмествания и други глупости, които сега изобщо не ни трябват.

Защо тези методи са неефективни?

И така, разгледахме две решения на едно и също неравенство. И двете се оказаха много тромави. Първото решение възниква - просто помислете! е набор от системи от неравенства. Второто решение също не е много лесно: трябва да запомните графиката на параболата и куп други дребни факти.

Беше много просто неравенство. Има само 2 множителя. Сега си представете, че няма да има 2 множителя, а поне 4. Например:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Как да решим такова неравенство? Преминете през всички възможни комбинации от плюсове и минуси? Да, ще заспим по-бързо, отколкото да намерим решение. Чертането на графика също не е опция, тъй като не е ясно как се държи такава функция в координатната равнина.

За такива неравенства е необходим специален алгоритъм за решение, който ще разгледаме днес.

Какво представлява интервалният метод

Интервалният метод е специален алгоритъм, предназначен за решаване на сложни неравенства от формата f (x) > 0 и f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Решете уравнението f (x) \u003d 0. Така вместо неравенство получаваме уравнение, което е много по-лесно за решаване;
2. Маркирайте всички получени корени върху координатната права. Така правата линия ще бъде разделена на няколко интервала;
3. Намерете знака (плюс или минус) на функцията f (x) в най-десния интервал. За да направите това, достатъчно е да замените в f (x) всяко число, което ще бъде вдясно от всички маркирани корени;
4. Маркирайте знаци на други интервали. За да направите това, достатъчно е да запомните, че при преминаване през всеки корен знакът се променя.

Това е всичко! След това остава само да напишем интервалите, които ни интересуват. Те се отбелязват със знак „+“, ако неравенството е във вида f (x) > 0, или със знак „−“, ако неравенството е във вид f (x)< 0.

На пръв поглед може да изглежда, че интервалният метод е някакъв вид калай. Но на практика всичко ще бъде много просто. Необходима е малко практика - и всичко ще стане ясно. Разгледайте примерите и се убедете сами:

Задача. Решете неравенството:

(x − 2)(x + 7)< 0

Работим по метода на интервалите. Стъпка 1: Заменете неравенството с уравнение и го решете:

(x − 2)(x + 7) = 0

Продуктът е равен на нула тогава и само ако поне един от множителите е равен на нула:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Има два корена. Отидете на стъпка 2: маркирайте тези корени на координатната линия. Ние имаме:

Сега стъпка 3: намираме знака на функцията в най-десния интервал (вдясно от маркираната точка x = 2). За да направите това, трябва да вземете всяко число, което е по-голямо от числото x = 2. Например, нека вземем x = 3 (но никой не забранява да вземе x = 4, x = 10 и дори x = 10 000). Получаваме:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
х=3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Получаваме, че f (3) = 10 > 0, така че поставяме знак плюс в най-десния интервал.

Преминаваме към последната точка - необходимо е да се отбележат знаците на останалите интервали. Не забравяйте, че при преминаване през всеки корен знакът трябва да се промени. Например, вдясно от корена x = 2 има плюс (уверихме се в това в предишната стъпка), така че трябва да има минус отляво.

Това минус се простира до целия интервал (−7; 2), така че има минус вдясно от корена x = −7. Следователно има плюс отляво на корена x = −7. Остава да маркирате тези знаци върху координатната ос. Ние имаме:

Нека се върнем към първоначалното неравенство, което изглеждаше така:

(x − 2)(x + 7)< 0

Така че функцията трябва да е по-малка от нула. Това означава, че се интересуваме от знака минус, който се среща само на един интервал: (−7; 2). Това ще бъде отговорът.

Задача. Решете неравенството:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Стъпка 1: Приравнете лявата страна към нула:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Запомнете: произведението е нула, когато поне един от факторите е нула. Затова имаме право да приравняваме на нула всяка отделна скоба.

Стъпка 2: маркирайте всички корени на координатната линия:

Стъпка 3: открийте знака на най-дясната празнина. Взимаме всяко число, което е по-голямо от x = 1. Например, можем да вземем x = 10. Имаме:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
х=10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.

Стъпка 4: Поставете останалите знаци. Не забравяйте, че при преминаване през всеки корен знакът се променя. В резултат нашата снимка ще изглежда така:

Това е всичко. Остава само да напиша отговора. Погледнете отново първоначалното неравенство:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Това е неравенство от формата f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Това е отговорът.

Бележка за функционалните знаци

Практиката показва, че най-големите трудности при интервалния метод възникват при последните две стъпки, т.е. при поставяне на знаци. Много ученици започват да се объркват: какви числа да вземат и къде да поставят знаци.

За да разберете най-накрая интервалния метод, разгледайте две забележки, върху които е изграден:

1. Непрекъсната функция променя знака само в точките където е равно на нула. Такива точки разбиват координатната ос на части, в рамките на които знакът на функцията никога не се променя. Ето защо решаваме уравнението f (x) \u003d 0 и маркираме намерените корени на права линия. Намерените числа са "граничните" точки, разделящи плюсовете от минусите.
2. За да разберете знака на функция на всеки интервал, достатъчно е да замените всяко число от този интервал във функцията. Например за интервала (−5; 6) можем да вземем x = −4, x = 0, x = 4 и дори x = 1,29374, ако искаме. Защо е важно? Да, защото много студенти започват да глождат съмнения. Например какво ще стане, ако за x = −4 получим плюс, а за x = 0 получим минус? Нищо такова никога няма да се случи. Всички точки в същия интервал дават един и същ знак. Запомни това.

Това е всичко, което трябва да знаете за интервалния метод. Разбира се, ние го разглобихме в най-простата му форма. Има по-сложни неравенства - нестроги, дробни и с повтарящи се корени. За тях можете да приложите и интервалния метод, но това е тема за отделен голям урок.

Сега бих искал да анализирам един усъвършенстван трик, който драстично опростява интервалния метод. По-точно, опростяването засяга само третата стъпка - изчисляването на знака на най-дясната част от линията. По някаква причина тази техника не се провежда в училищата (поне никой не ми обясни това). Но напразно - всъщност този алгоритъм е много прост.

И така, знакът на функцията е в дясната част на цифровата ос. Това парче има формата (a; +∞), където a е най-големият корен на уравнението f (x) = 0. За да не ни пръснете мозъка, разгледайте конкретен пример:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Имаме 3 корена. Изброяваме ги във възходящ ред: x = −2, x = 1 и x = 7. Очевидно най-големият корен е x = 7.

За тези, на които им е по-лесно да разсъждават графично, ще маркирам тези корени върху координатната права. Да видим какво ще се случи:

Изисква се да се намери знакът на функцията f (x) на най-десния интервал, т.е. на (7; +∞). Но както вече отбелязахме, за да определите знака, можете да вземете произволно число от този интервал. Например можете да вземете x = 8, x = 150 и т.н. А сега – същата техника, която не се преподава в училищата: да вземем безкрайността като число. По-точно, плюс безкрайност, т.е. +∞.

„Накаменен ли си? Как можете да замените безкрайността във функция? може би, питате вие. Но помислете за това: не се нуждаем от стойността на самата функция, имаме нужда само от знака. Следователно, например, стойностите f (x) = −1 и f (x) = −938 740 576 215 означават едно и също нещо: функцията е отрицателна в този интервал. Следователно всичко, което се изисква от вас, е да намерите знака, който се среща в безкрайност, а не стойността на функцията.

Всъщност заместването на безкрайността е много просто. Да се ​​върнем към нашата функция:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Представете си, че х е много голямо число. Милиард или дори трилион. Сега нека видим какво се случва във всяка скоба.

Първа скоба: (x − 1). Какво се случва, ако извадите едно от един милиард? Резултатът ще бъде число, което не е много по-различно от милиард, и това число ще бъде положително. По същия начин с втората скоба: (2 + x). Ако добавим милиард към два, получаваме милиард с копейки - това е положително число. И накрая, третата скоба: (7 − x). Тук ще има минус един милиард, от който е „отгризано“ мизерно парче под формата на седем. Тези. полученото число няма да се различава много от минус милиард - то ще бъде отрицателно.

Остава да намерим знака на цялата работа. Тъй като имахме плюс в първите скоби и минус в последните скоби, получаваме следната конструкция:

(+) · (+) · (−) = (−)

Последният знак е минус! Няма значение каква е стойността на самата функция. Основното е, че тази стойност е отрицателна, т.е. в най-десния интервал има знак минус. Остава да завършим четвъртата стъпка от интервалния метод: подредете всички знаци. Ние имаме:

Първоначалното неравенство изглеждаше така:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Следователно, ние се интересуваме от интервалите, отбелязани със знак минус. Пишем отговора:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Това е целият трик, който исках да разкажа. В заключение има още едно неравенство, което се решава чрез интервалния метод с използване на безкрайност. За да съкратя визуално решението, няма да пиша номера на стъпки и подробни коментари. Ще напиша само това, което наистина трябва да се напише при решаване на реални проблеми:

Задача. Решете неравенството:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Заменяме неравенството с уравнение и го решаваме:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
х = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Маркираме и трите корена на координатната линия (веднага със знаци):

Има плюс от дясната страна на координатната ос, защото функцията изглежда така:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

И ако заместим безкрайност (например милиард), получаваме три положителни скоби. Тъй като оригиналният израз трябва да е по-голям от нула, ние се интересуваме само от плюсове. Остава да напиша отговора:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Например изразът \(x>5\) е неравенство.

Видове неравенства:

Ако \(a\) и \(b\) са числа или , тогава неравенството се извиква числови. Всъщност това е просто сравнение на две числа. Тези неравенства се подразделят на верени неверен.

Например:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) е невалидно числово неравенство, защото \(17+3=20\) и \(20\) е по-малко от \(115\) (не е по-голямо или равно на).

Ако \(a\) и \(b\) са изрази, съдържащи променлива, тогава имаме неравенство с променлива. Такива неравенства са разделени на видове в зависимост от съдържанието:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Променлива само на първа степен
\(3x^2-x+5>0\)				Има променлива на втора степен (квадрат), но няма по-високи степени (трета, четвърта и т.н.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... и така нататък.

Какво е решение на неравенство?

Ако някое число бъде заменено в неравенството вместо променлива, то ще се превърне в числово.

Ако дадената стойност за x прави оригиналното неравенство истинско числено, то се извиква решаване на неравенството. Ако не, тогава тази стойност не е решение. И към решаване на неравенство- трябва да намерите всички негови решения (или да покажете, че не съществуват).

Например,ако сме в линейното неравенство \(x+6>10\), заместваме числото \(7\) вместо x, получаваме правилното числено неравенство: \(13>10\). И ако заместим \(2\), ще има неправилно числено неравенство \(8>10\). Тоест \(7\) е решение на първоначалното неравенство, но \(2\) не е.

Неравенството \(x+6>10\) обаче има и други решения. Наистина, ще получим правилните числени неравенства, когато заместим и \(5\), и \(12\), и \(138\) ... И как можем да намерим всички възможни решения? За да направите това, използвайте За нашия случай имаме:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Тоест можем да използваме всяко число, по-голямо от четири. Сега трябва да запишем отговора. Решенията на неравенствата по правило се записват цифрово, като допълнително се маркират върху цифровата ос с щриховка. За нашия случай имаме:

Отговор: \(x\in(4;+\infty)\)

Кога се променя знакът в неравенство?

Има един голям капан в неравенствата, в който учениците наистина „обичат“ да попадат:

При умножаване (или деление) на неравенство с отрицателно число, то се обръща („по-голямо от“ с „по-малко“, „по-голямо или равно на“ с „по-малко или равно на“ и т.н.)

Защо се случва това? За да разберем това, нека разгледаме трансформациите на численото неравенство \(3>1\). Вярно е, тройката наистина е повече от едно. Първо, нека се опитаме да го умножим по всяко положително число, например две:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Както можете да видите, след умножението неравенството остава вярно. И без значение какво положително число умножаваме, винаги ще получим правилното неравенство. А сега нека се опитаме да умножим по отрицателно число, например минус три:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Оказа се неправилно неравенство, защото минус девет е по-малко от минус три! Тоест, за да стане неравенството вярно (което означава, че преобразуването на умножението с минус е било „законно“), трябва да обърнете знака за сравнение по следния начин: \(−9<− 3\).
С разделянето ще се окаже подобно, можете да го проверите сами.

Правилото, написано по-горе, важи за всички видове неравенства, а не само за числовите.

Пример: Решете неравенството \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:

\(2x+2-1<7+8x\)	Нека преместим \(8x\) наляво и \(2\) и \(-1\) надясно, като не забравяме да сменим знаците
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Разделете двете страни на неравенството на \(-6\), като не забравяте да промените от "по-малко" на "по-голямо"
	Нека отбележим цифров интервал върху оста. Неравенство, така че стойността \(-1\) е „избита“ и ние не я приемаме в отговор
	Нека запишем отговора като интервал

Отговор: \(x\in(-1;\infty)\)

Неравенства и DHS

Неравенствата, както и уравненията, могат да имат ограничения върху , тоест върху стойностите на x. Съответно тези стойности, които са неприемливи според ODZ, трябва да бъдат изключени от интервала на решение.

Пример: Решете неравенството \(\sqrt(x+1)<3\)

Решение: Ясно е, че за да бъде лявата страна по-малка от \(3\), коренният израз трябва да е по-малък от \(9\) (в крайна сметка от \(9\) само \(3\)). Получаваме:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(х<8\)

Всичко? Всяка стойност на x по-малка от \(8\) ще ни подхожда? Не! Защото ако вземем, например, стойността \(-5\), която изглежда отговаря на изискването, това няма да е решение на първоначалното неравенство, тъй като ще ни доведе до изчисляване на корен от отрицателно число.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Следователно трябва да вземем предвид и ограниченията за стойностите на x - не може да има отрицателно число под корена. Така имаме второто изискване за x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

И за да бъде x окончателно решение, то трябва да отговаря на двете изисквания едновременно: трябва да е по-малко от \(8\) (за да бъде решение) и по-голямо от \(-1\) (за да е валидно по принцип). Начертавайки върху числовата ос, имаме крайния отговор:

Отговор: \(\ляво[-1;8\дясно)\)

Неравенството е числено съотношение, което илюстрира големината на числата едно спрямо друго. Неравенствата се използват широко при търсене на количества в приложните науки. Нашият калкулатор ще ви помогне да се справите с такава трудна тема като решаването на линейни неравенства.

Какво е неравенство

Неравностойните съотношения в реалния живот съответстват на постоянното сравнение на различни обекти: по-високи или по-ниски, по-далечни или по-близки, по-тежки или по-леки. Интуитивно или визуално можем да разберем, че един обект е по-голям, по-висок или по-тежък от друг, но всъщност винаги става дума за сравняване на числа, които характеризират съответните количества. Можете да сравнявате обекти на всякаква основа и във всеки случай можем да направим числено неравенство.

Ако неизвестните величини при конкретни условия са равни, то за численото им определяне съставяме уравнение. Ако не, тогава вместо знака "равно" можем да посочим всяко друго съотношение между тези количества. Две числа или математически обекти могат да бъдат по-големи от ">", по-малки от "<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Знаците за неравенство в съвременната им форма са изобретени от британския математик Томас Хариот, който през 1631 г. публикува книга за неравните съотношения. По-голямо от ">" и по-малко от "<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Решаване на неравенства

Неравенствата, подобно на уравненията, се предлагат в различни видове. Линейни, квадратни, логаритмични или експоненциални неравни съотношения се отприщват чрез различни методи. Въпреки това, независимо от метода, всяко неравенство трябва първо да бъде приведено до стандартна форма. За това се използват идентични трансформации, които са идентични с модификациите на равенствата.

Тъждествени трансформации на неравенства

Такива трансформации на изрази са много подобни на призрака на уравненията, но имат нюанси, които е важно да се вземат предвид при развързването на неравенства.

Първата идентична трансформация е идентична с аналогичната операция с равенства. Към двете страни на неравното съотношение можете да добавяте или изваждате едно и също число или израз с неизвестно x, докато знакът за неравенство остава същият. Най-често този метод се използва в опростена форма като прехвърляне на условията на израза чрез знака за неравенство с промяната на знака на числото към противоположния. Това се отнася до промяната на знака на самия термин, тоест + R, когато се прехвърли през всеки знак за неравенство, ще се промени на - R и обратно.

Втората трансформация има две точки:

1. И двете страни на неравно съотношение могат да бъдат умножени или разделени на едно и също положително число. Самият знак на неравенството няма да се промени.
2. И двете страни на неравенството могат да бъдат разделени или умножени по едно и също отрицателно число. Знакът на самото неравенство ще се промени на противоположния.

Второто идентично преобразуване на неравенствата има сериозни разлики с модификацията на уравненията. Първо, когато се умножава/дели с отрицателно число, знакът на неравен израз винаги се обръща. Второ, разделянето или умножаването на части от релация е разрешено само с число, а не с израз, съдържащ неизвестно. Факт е, че не можем да знаем със сигурност дали зад неизвестното се крие число, по-голямо или по-малко от нула, така че второто идентично преобразуване се прилага към неравенства изключително с числа. Нека разгледаме тези правила с примери.

Примери за развързване на неравенства

В задачите по алгебра има най-различни задачи на тема неравенства. Нека ни дадем израз:

6x − 3(4x + 1) > 6.

Първо отворете скобите и преместете всички неизвестни наляво и всички числа надясно.

6x − 12x > 6 + 3

Трябва да разделим двете части на израза на −6, така че когато намираме неизвестно x, знакът за неравенство ще се промени на противоположния.

При решаването на това неравенство използвахме и двете еднакви трансформации: преместихме всички числа вдясно от знака и разделихме двете страни на отношението на отрицателно число.

Нашата програма е калкулатор за решаване на числени неравенства, които не съдържат неизвестни. Програмата съдържа следните теореми за отношенията на три числа:

• ако< B то A–C< B–C;
• ако A > B, тогава A–C > B–C.

Вместо да изваждате членове A-C, можете да зададете всяка аритметична операция: събиране, умножение или деление. Така калкулаторът автоматично ще представи неравенствата на суми, разлики, произведения или дроби.

Заключение

В реалния живот неравенствата са толкова често срещани, колкото и уравненията. Естествено, в ежедневието знанията за разрешаването на неравенствата може да не са необходими. В приложните науки обаче неравенствата и техните системи се използват широко. Например, различни изследвания на проблемите на глобалната икономика се свеждат до компилирането и отприщването на системи от линейни или квадратни неравенства, а някои неравенства служат като недвусмислен начин за доказване на съществуването на определени обекти. Използвайте нашите програми за решаване на линейни неравенства или проверете собствените си изчисления.

Решаване на неравенства онлайн

Преди да решите неравенства, е необходимо да разберете добре как се решават уравненията.

Няма значение дали неравенството е строго () или нестрого (≤, ≥), първата стъпка е да решите уравнението, като замените знака за неравенство с равенство (=).

Обяснете какво означава да се реши неравенство?

След като изучава уравненията, ученикът има следната картина в главата си: трябва да намерите такива стойности на променливата, за които и двете части на уравнението приемат еднакви стойности. С други думи, намерете всички точки, в които е валидно равенството. Всичко е точно!

Когато се говори за неравенства, те имат предвид намирането на интервалите (отсечките), на които е валидно неравенството. Ако има две променливи в неравенството, тогава решението вече няма да бъде интервали, а някои области на равнината. Познайте какво ще бъде решението на неравенството с три променливи?

Как се решават неравенства?

Методът на интервалите (известен още като метод на интервалите) се счита за универсален начин за решаване на неравенства, който се състои в определяне на всички интервали, в рамките на които даденото неравенство ще бъде изпълнено.

Без да навлизаме в вида на неравенството, в този случай не е същността, необходимо е да се реши съответното уравнение и да се определят неговите корени, последвано от обозначаване на тези решения на цифровата ос.

Какъв е правилният начин за записване на решението на неравенство?

Когато сте определили интервалите за решаване на неравенството, трябва да напишете правилно самото решение. Има важен нюанс - включени ли са границите на интервалите в решението?

Тук всичко е просто. Ако решението на уравнението удовлетворява ODZ и неравенството не е строго, тогава границата на интервала се включва в решението на неравенството. В противен случай не.

Разглеждайки всеки интервал, решението на неравенството може да бъде самият интервал, или полуинтервал (когато една от неговите граници удовлетворява неравенството), или сегмент - интервал заедно с неговите граници.

Важен момент

Не си мислете, че само интервали, полуинтервали и отсечки могат да бъдат решение на неравенство. Не, отделни точки също могат да бъдат включени в решението.

Например неравенството |x|≤0 има само едно решение - точка 0.

И неравенството |x|

За какво е калкулаторът на неравенството?

Калкулаторът за неравенства дава правилния краен отговор. В този случай в повечето случаи се дава илюстрация на числовата ос или равнина. Можете да видите дали границите на интервалите са включени в решението или не - точките се показват запълнени или пробити.

Благодарение на онлайн калкулатора за неравенство можете да проверите дали сте намерили правилно корените на уравнението, маркирали сте ги на числовата ос и сте проверили условията за неравенство на интервалите (и границите)?

Ако вашият отговор се различава от отговора на калкулатора, тогава определено трябва да проверите повторно решението си и да идентифицирате допуснатата грешка.