Решаване на неравенства онлайн

Преди да решите неравенствата, е необходимо да разберете добре как се решават уравненията.

Няма значение дали неравенството е строго () или нестрого (≤, ≥), първата стъпка е да решите уравнението, като замените знака за неравенство с равенство (=).

Обяснете какво означава да разрешите неравенство?

След като изучава уравненията, ученикът има следната картина в главата си: трябва да намерите такива стойности на променливата, за които и двете части на уравнението приемат едни и същи стойности. С други думи, намерете всички точки, където важи равенството. Всичко е правилно!

Когато се говори за неравенства, те имат предвид намирането на интервалите (отсечките), на които важи неравенството. Ако в неравенството има две променливи, тогава решението вече няма да бъде интервали, а някои области в равнината. Познайте какво ще бъде решението на неравенството в три променливи?

Как да решим неравенствата?

Методът на интервалите (известен още като методът на интервалите) се счита за универсален начин за решаване на неравенства, който се състои в определяне на всички интервали, в рамките на които ще бъде изпълнено даденото неравенство.

Без да навлизаме в вида на неравенството, в този случай това не е същността, необходимо е да се реши съответното уравнение и да се определят неговите корени, последвано от обозначаването на тези решения по числовата ос.

Какъв е правилният начин да се запише решението на неравенство?

Когато сте определили интервалите за решаване на неравенството, трябва правилно да напишете самото решение. Има важен нюанс - границите на интервалите са включени в решението?

Тук всичко е просто. Ако решението на уравнението удовлетворява ODZ и неравенството не е строго, тогава границата на интервала се включва в решението на неравенството. Иначе не.

Като се има предвид всеки интервал, решението на неравенството може да бъде самият интервал, или полуинтервал (когато една от границите му удовлетворява неравенството), или сегмент - интервал заедно с неговите граници.

Важен момент

Не мислете, че само интервали, полуинтервали и сегменти могат да бъдат решение на неравенство. Не, в решението могат да бъдат включени и отделни точки.

Например, неравенството |x|≤0 има само едно решение - точка 0.

И неравенството |x|

За какво е калкулаторът за неравенство?

Калкулаторът за неравенство дава правилния краен отговор. В този случай в повечето случаи се дава илюстрация на числовата ос или равнина. Можете да видите дали границите на интервалите са включени в решението или не - точките се показват запълнени или пробити.

Благодарение на онлайн калкулатора за неравенство можете да проверите дали сте намерили правилно корените на уравнението, отбелязали сте ги на числовата права и сте проверили условията за неравенство на интервалите (и границите)?

Ако отговорът ви се различава от отговора на калкулатора, тогава определено трябва да проверите отново решението си и да идентифицирате допуснатата грешка.

Днес, приятели, няма да има сополи и сантименти. Вместо това ще ви изпратя в битка с един от най-страшните противници в курса по алгебра за 8-9 клас без допълнителни въпроси.

Да, разбрахте всичко правилно: говорим за неравенства с модул. Ще разгледаме четири основни техники, с които ще се научите да решавате около 90% от тези проблеми. Какво ще кажете за останалите 10%? Е, ще говорим за тях в отделен урок. :)

Въпреки това, преди да анализирам някакви трикове там, бих искал да припомня два факта, които вече трябва да знаете. В противен случай рискувате изобщо да не разберете материала от днешния урок.

Това, което вече трябва да знаете

Капитан Евиденс сякаш намеква, че за да решите неравенства с модул, трябва да знаете две неща:

1. Как се разрешават неравенствата?
2. Какво е модул.

Да започнем с втората точка.

Дефиниция на модула

Тук всичко е просто. Има две дефиниции: алгебрично и графично. Да започнем с алгебрата:

Определение. Модулът на числото $x$ е или самото число, ако е неотрицателно, или числото срещу него, ако първоначалното $x$ все още е отрицателно.

Пише се така:

\[\вляво| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Казано по-просто, модулът е „число без минус“. И именно в тази двойственост (някъде не е нужно да правите нищо с оригиналния номер, но някъде трябва да премахнете някакъв минус там) и се крие цялата трудност за начинаещи студенти.

Има и геометрична дефиниция. Също така е полезно да го знаете, но ще се позоваваме на него само в сложни и някои специални случаи, когато геометричният подход е по-удобен от алгебричния (спойлер: не днес).

Определение. Нека точката $a$ е отбелязана на реалната права. Тогава модулът $\left| x-a \right|$ е разстоянието от точката $x$ до точката $a$ на тази права.

Ако нарисувате картина, ще получите нещо подобно:

Дефиниране на графичен модул

По един или друг начин, неговото ключово свойство веднага следва от дефиницията на модула: модулът на числото винаги е неотрицателна стойност. Този факт ще бъде червена нишка през цялата ни история днес.

Решение на неравенствата. Метод на разстояние

Сега нека се справим с неравенствата. Има много от тях, но нашата задача сега е да можем да решим поне най-простите от тях. Тези, които се свеждат до линейни неравенства, както и до метода на интервалите.

Имам два големи урока по тази тема (между другото, много, МНОГО полезни - препоръчвам да изучавате):

1. Интервалният метод за неравенства (особено гледайте видеото);
2. Дробно-рационалните неравенства са много обемен урок, но след него изобщо няма да ви останат въпроси.

Ако знаете всичко това, ако фразата „да преминем от неравенство към уравнение“ не ви кара смътно да искате да се самоубиете до стената, значи сте готови: добре дошли в ада в основната тема на урока. :)

1. Неравенства от вида "Модул по-малък от функция"

Това е една от най-често срещаните задачи с модули. Необходимо е да се реши неравенство от вида:

\[\вляво| е\вдясно| \ltg\]

Всичко може да действа като функции $f$ и $g$, но обикновено те са полиноми. Примери за такива неравенства:

\[\begin(подравняване) & \left| 2x+3\вдясно| \ltx+7; \\ & \вляво| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \вляво| ((x)^(2))-2\вляво| х \вдясно|-3 \вдясно| \lt 2. \\\end(подравняване)\]

Всички те се решават буквално в един ред според схемата:

\[\вляво| е\вдясно| \lt g\Стрелка надясно -g \lt f \lt g\quad \left(\Стрелка надясно \вляво\( \begin(подравняване) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(подравняване) \вдясно\вдясно)\]

Лесно е да се види, че се отърваваме от модула, но вместо това получаваме двойно неравенство (или, което е същото, система от две неравенства). Но този преход отчита абсолютно всички възможни проблеми: ако числото под модула е положително, методът работи; ако е отрицателен, пак работи; и дори с най-неадекватната функция на мястото на $f$ или $g$, методът ще продължи да работи.

Естествено възниква въпросът: не е ли по-лесно? За съжаление не можете. Това е целият смисъл на модула.

Но стига философстване. Нека решим няколко проблема:

Задача. Решете неравенството:

\[\вляво| 2x+3\вдясно| \ltx+7\]

Решение. И така, имаме класическо неравенство от формата „модулът е по-малък от“ - дори няма какво да се трансформира. Работим по алгоритъма:

\[\begin(подравняване) & \left| е\вдясно| \lt g\Стрелка надясно -g \lt f \lt g; \\ & \вляво| 2x+3\вдясно| \lt x+7\Стрелка надясно -\ляво(x+7 \вдясно) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(подравняване)\]

Не бързайте да отваряте скобите, предхождани от „минус“: напълно възможно е поради бързането да направите обидна грешка.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(подравняване) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(подравняване) \вдясно.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Проблемът е сведен до две елементарни неравенства. Отбелязваме техните решения на успоредни реални прави:

Пресичане на много

Отговорът ще бъде пресечната точка на тези множества.

Отговор: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Задача. Решете неравенството:

\[\вляво| ((x)^(2))+2x-3 \вдясно|+3\вляво(x+1 \вдясно) \lt 0\]

Решение. Тази задача е малко по-трудна. Като начало изолираме модула, като преместваме втория член надясно:

\[\вляво| ((x)^(2))+2x-3 \вдясно| \lt -3\ляво(x+1 \вдясно)\]

Очевидно отново имаме неравенство във формата „модулът е по-малко“, така че се отърваваме от модула според вече познатия алгоритъм:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Сега внимание: някой ще каже, че съм малко перверзник с всички тези скоби. Но още веднъж напомням, че нашата основна цел е Решете правилно неравенството и получете отговора. По-късно, когато овладеете перфектно всичко, което е описано в този урок, можете да се извратите както искате: да отваряте скоби, да добавяте минуси и т.н.

И за начало просто се отърваваме от двойния минус вляво:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\вляво(x+1\вдясно)\]

Сега нека отворим всички скоби в двойното неравенство:

Да преминем към двойното неравенство. Този път изчисленията ще бъдат по-сериозни:

\[\left\( \begin(подравняване) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(подравняване) \вдясно.\]

\[\left\( \begin(подравняване) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( подравняване)\вдясно.\]

И двете неравенства са квадратни и се решават по интервалния метод (затова казвам: ако не знаете какво е, по-добре все още да не поемате модулите). Преминаваме към уравнението в първото неравенство:

\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\ляво(x+5 \вдясно)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\край (подравняване)\]

Както можете да видите, изходът се оказа непълно квадратно уравнение, което се решава елементарно. Сега нека се заемем с второто неравенство на системата. Там трябва да приложите теоремата на Виета:

\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\край (подравняване)\]

Отбелязваме получените числа на две успоредни линии (отделно за първото неравенство и отделно за второто):

Отново, тъй като решаваме система от неравенства, ние се интересуваме от пресечната точка на щрихованите множества: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Това е отговорът.

Отговор: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Мисля, че след тези примери схемата за решение е много ясна:

1. Изолирайте модула, като преместите всички останали членове на противоположната страна на неравенството. Така получаваме неравенство от вида $\left| е\вдясно| \ltg$.
2. Решете това неравенство, като се отървете от модула, както е описано по-горе. В даден момент ще е необходимо да се премине от двойно неравенство към система от два независими израза, всеки от които вече може да бъде решен поотделно.
3. И накрая, остава само да пресечем решенията на тези два независими израза - и това е всичко, ще получим окончателния отговор.

Подобен алгоритъм съществува за неравенства от следния тип, когато модулът е по-голям от функцията. Има обаче няколко сериозни "но". Сега ще говорим за тези „но“.

2. Неравенства от вида "Модулът е по-голям от функцията"

Те изглеждат така:

\[\вляво| е\вдясно| \gt g\]

Подобно на предишния? Изглежда като. Въпреки това подобни задачи се решават по съвсем различен начин. Формално схемата е следната:

\[\вляво| е\вдясно| \gt g\Стрелка надясно \left[ \begin(подравняване) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(подравняване) \вдясно.\]

С други думи, разглеждаме два случая:

1. Първо, просто игнорираме модула - решаваме обичайното неравенство;
2. Тогава всъщност отваряме модула със знака минус и след това умножаваме двете части на неравенството по −1 със знак.

В този случай опциите се комбинират с квадратна скоба, т.е. Имаме комбинация от две изисквания.

Обърнете внимание отново: следователно пред нас не е система, а съвкупност в отговора множествата се комбинират, а не се пресичат. Това е фундаментална разлика от предишния параграф!

Като цяло много студенти имат много объркване със съюзи и кръстовища, така че нека разгледаме този въпрос веднъж завинаги:

• "∪" е знак за конкатенация. Всъщност това е стилизирана буква "U", която дойде при нас от английския език и е съкращение за "Union", т.е. „Асоциации“.
• "∩" е знакът за пресичане. Тази глупост не дойде отникъде, а просто се появи като опозиция на "∪".

За да го запомните още по-лесно, просто добавете крака към тези знаци, за да направите очила (само не ме обвинявайте, че насърчавам наркоманията и алкохолизма сега: ако изучавате сериозно този урок, значи вече сте наркоман):

Разлика между пресичане и обединение на множества

В превод на руски това означава следното: съюзът (колекцията) включва елементи от двата набора, следователно, не по-малко от всеки един от тях; но пресечната точка (системата) включва само онези елементи, които са както в първия набор, така и във втория. Следователно пресечната точка на множествата никога не е по-голяма от изходните множества.

Значи стана по-ясно? Това е страхотно. Да преминем към практиката.

Задача. Решете неравенството:

\[\вляво| 3x+1 \вдясно| \gt 5-4x\]

Решение. Действаме по схемата:

\[\вляво| 3x+1 \вдясно| \gt 5-4x\Стрелка надясно \left[ \begin(подравняване) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(подравняване) \ правилно.\]

Ние решаваме всяко неравенство на населението:

\[\left[ \begin(подравняване) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(подравняване) \вдясно.\]

\[\left[ \begin(подравняване) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(подравняване) \вдясно.\]

\[\left[ \begin(подравняване) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Маркираме всеки получен набор на числовата линия и след това ги комбинираме:

Съюз на множества

Очевидно отговорът е $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Отговор: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Задача. Решете неравенството:

\[\вляво| ((x)^(2))+2x-3 \вдясно| \gtx\]

Решение. Добре? Не, всичко е същото. Преминаваме от неравенство с модул към набор от две неравенства:

\[\вляво| ((x)^(2))+2x-3 \вдясно| \gt x\Стрелка надясно \left[ \begin(подравняване) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\край (подравняване) \вдясно.\]

Решаваме всяко неравенство. За съжаление корените няма да са много добри там:

\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\край (подравняване)\]

Във второто неравенство има и малко игра:

\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\край (подравняване)\]

Сега трябва да отбележим тези числа на две оси - по една ос за всяко неравенство. Въпреки това, трябва да маркирате точките в правилния ред: колкото по-голямо е числото, толкова повече точката се измества надясно.

И тук чакаме настройка. Ако всичко е ясно с числата $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (членовете в числителя на първия дроб са по-малки от членовете в числителя на втория , така че сумата също е по-малка), с числата $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21))(2)$ също няма да има затруднения (положително число очевидно е по-отрицателно), но с последната двойка всичко не е толкова просто. Кое е по-голямо: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ или $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Подреждането на точките върху числовите прави и всъщност отговорът ще зависи от отговора на този въпрос.

Така че нека сравним:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Изолирахме корена, получихме неотрицателни числа от двете страни на неравенството, така че имаме право да квадратираме двете страни:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Мисля, че е безсмислено, че $4\sqrt(13) \gt 3$, така че $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, накрая точките по осите ще бъдат подредени така:

Случай с грозни корени

Нека ви напомня, че решаваме множество, така че отговорът ще бъде обединението, а не пресечната точка на защрихованите множества.

Отговор: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\вдясно)$

Както можете да видите, нашата схема работи чудесно както за прости задачи, така и за много трудни. Единственото „слабо място“ в този подход е, че трябва правилно да сравнявате ирационалните числа (и повярвайте ми: това не са само корени). Но отделен (и много сериозен урок) ще бъде посветен на въпросите за сравнение. И продължаваме напред.

3. Неравенства с неотрицателни "опашки"

И така стигнахме до най-интересното. Това са неравенства от вида:

\[\вляво| е\вдясно| \gt\вляво| g\вдясно|\]

Най-общо казано, алгоритъмът, за който ще говорим сега, е валиден само за модула. Той работи във всички неравенства, където има гарантирани неотрицателни изрази отляво и отдясно:

Какво да правим с тези задачи? Просто запомни:

При неравенства с неотрицателни опашки и двете страни могат да бъдат повдигнати до всяка естествена степен. Няма да има допълнителни ограничения.

На първо място, ще се интересуваме от квадратурата - той изгаря модули и корени:

\[\begin(подравняване) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\ляво(\sqrt(f) \вдясно))^(2))=f. \\\край (подравняване)\]

Просто не бъркайте това с вземането на корена на квадрата:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Бяха направени безброй грешки, когато ученик забрави да инсталира модул! Но това е съвсем различна история (това са сякаш ирационални уравнения), така че няма да навлизаме в нея сега. Нека по-добре да решим няколко проблема:

Задача. Решете неравенството:

\[\вляво| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \надясно|\]

Решение. Веднага забелязваме две неща:

1. Това е нестрого неравенство. Точките на числовата линия ще бъдат избити.
2. И двете страни на неравенството очевидно са неотрицателни (това е свойство на модула: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Следователно можем да квадратираме двете страни на неравенството, за да се отървем от модула и да решим проблема, използвайки обичайния интервален метод:

\[\begin(подравняване) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\край (подравняване)\]

На последната стъпка изневерих малко: промених последователността на термините, използвайки четността на модула (всъщност умножих израза $1-2x$ по −1).

\[\begin(подравняване) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ вдясно)\вдясно)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Решаваме по интервалния метод. Нека преминем от неравенство към уравнение:

\[\begin(подравняване) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\край (подравняване)\]

Отбелязваме намерените корени на числовата права. Още веднъж: всички точки са засенчени, защото първоначалното неравенство не е строго!

Да се ​​отървем от знака на модула

Нека ви напомня за особено упоритите: вземаме знаците от последното неравенство, което беше записано преди да преминем към уравнението. И рисуваме върху необходимите площи в същото неравенство. В нашия случай това е $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Е, това е всичко. Проблема решен.

Отговор: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Задача. Решете неравенството:

\[\вляво| ((x)^(2))+x+1 \вдясно|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \вдясно|\]

Решение. Правим всичко по същия начин. Няма да коментирам - просто погледнете последователността на действията.

Нека го направим на квадрат:

\[\begin(подравняване) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \вдясно| \вдясно))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left((x)^(2))+3x+4 \вдясно))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left((x)^(2))+3x+4 \ вдясно))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \вдясно)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Метод на разстояние:

\[\begin(подравняване) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Стрелка надясно x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Стрелка надясно D=16-40 \lt 0\Стрелка надясно \varnothing . \\\край (подравняване)\]

Има само един корен на числовата права:

Отговорът е цяла гама

Отговор: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Малка бележка за последната задача. Както един от моите студенти точно отбеляза, и двата подмодулни израза в това неравенство са очевидно положителни, така че знакът на модула може да бъде пропуснат без вреда за здравето.

Но това вече е съвсем различно ниво на мислене и различен подход - условно може да се нарече метод на последствията. За него - в отделен урок. И сега нека да преминем към последната част на днешния урок и да разгледаме един универсален алгоритъм, който винаги работи. Дори когато всички предишни подходи бяха безсилни. :)

4. Метод за изброяване на опциите

Ами ако всички тези трикове не работят? Ако неравенството не се сведе до неотрицателни опашки, ако е невъзможно да се изолира модулът, ако изобщо болка-тъга-копнеж?

Тогава на сцената излиза „тежката артилерия“ на цялата математика - методът на изброяване. По отношение на неравенствата с модула, това изглежда така:

1. Изпишете всички изрази на подмодула и ги приравнете на нула;
2. Решете получените уравнения и маркирайте намерените корени на една числова права;
3. Правата линия ще бъде разделена на няколко секции, в рамките на които всеки модул има фиксиран знак и следователно недвусмислено се разширява;
4. Решете неравенството на всеки такъв участък (можете отделно да разгледате граничните корени, получени в параграф 2 - за надеждност). Комбинирайте резултатите - това ще бъде отговорът. :)

Е, как? Слаб? Лесно! Само за дълго време. Да видим на практика:

Задача. Решете неравенството:

\[\вляво| x+2 \вдясно| \lt\вляво| x-1 \вдясно|+x-\frac(3)(2)\]

Решение. Тази глупост не се свежда до неравенства като $\left| е\вдясно| \lt g$, $\left| е\вдясно| \gt g$ или $\left| е\вдясно| \lt\вляво| g \right|$, така че да продължим.

Изписваме подмодулни изрази, приравняваме ги на нула и намираме корените:

\[\begin(подравняване) & x+2=0\Стрелка надясно x=-2; \\ & x-1=0\Стрелка надясно x=1. \\\край (подравняване)\]

Като цяло имаме два корена, които разделят числовата права на три секции, вътре в които всеки модул се разкрива уникално:

Разделяне на числовата права с нули на субмодуларни функции

Нека разгледаме всеки раздел поотделно.

1. Нека $x \lt -2$. Тогава и двата израза на подмодула са отрицателни и първоначалното неравенство се пренаписва, както следва:

\[\begin(подравняване) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(подравняване)\]

Имаме доста просто ограничение. Нека го пресечем с първоначалното предположение, че $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(подравняване) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(подравняване) \вдясно.\Стрелка надясно x\in \varnothing \]

Очевидно променливата $x$ не може едновременно да бъде по-малка от −2, но по-голяма от 1,5. В тази област няма решения.

1.1. Нека отделно разгледаме граничния случай: $x=-2$. Нека просто заместим това число в първоначалното неравенство и да проверим: важи ли?

\[\begin(подравняване) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \вдясно|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Стрелка надясно \varnothing . \\\край (подравняване)\]

Очевидно веригата от изчисления ни доведе до погрешно неравенство. Следователно първоначалното неравенство също е невярно и $x=-2$ не е включено в отговора.

2. Сега нека $-2 \lt x \lt 1$. Левият модул вече ще се отваря с "плюс", но десният все още е с "минус". Ние имаме:

\[\begin(подравняване) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\край(подравняване)\]

Отново се пресичаме с първоначалното изискване:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\rightarrow x\in \varnothing \]

И отново празният набор от решения, тъй като няма числа, които са едновременно по-малки от −2,5 и по-големи от −2.

2.1. И отново специален случай: $x=1$. Заместваме в първоначалното неравенство:

\[\begin(подравняване) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \вляво| 3\вдясно| \lt\вляво| 0 \вдясно|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Стрелка надясно \varnothing . \\\край (подравняване)\]

Подобно на предишния „специален случай“, числото $x=1$ очевидно не е включено в отговора.

3. Последната част от реда: $x \gt 1$. Тук всички модули са разширени със знак плюс:

\[\begin(подравняване) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(подравняване)\ ]

И отново пресичаме намереното множество с оригиналното ограничение:

\[\left\( \begin(подравняване) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(подравняване) \вдясно.\Стрелка надясно x\in \left(4,5;+\infty \вдясно)\]

Най-накрая! Намерихме интервала, който ще бъде отговорът.

Отговор: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

И накрая, една забележка, която може да ви спаси от глупави грешки при решаването на реални проблеми:

Решенията на неравенствата с модули обикновено са непрекъснати множества на числовата права - интервали и отсечки. Изолираните точки са много по-редки. И още по-рядко се случва границите на решението (края на сегмента) да съвпадат с границата на разглеждания диапазон.

Следователно, ако границите (същите тези „специални случаи“) не са включени в отговора, тогава областите вляво-дясно от тези граници почти сигурно също няма да бъдат включени в отговора. И обратното: границата, въведена в отговор, което означава, че някои области около нея също ще бъдат отговори.

Имайте това предвид, когато проверявате решенията си.

И днес не всеки може да реши рационалните неравенства. По-точно, не само всеки може да реши. Малко хора могат да го направят.
Кличко

Този урок ще бъде труден. Толкова трудно, че само Избраните ще стигнат до края. Ето защо, преди да прочетете, препоръчвам да премахнете жените, котките, бременните деца и ...

Добре, всъщност е доста просто. Да предположим, че сте усвоили интервалния метод (ако не сте го усвоили, препоръчвам ви да се върнете и да го прочетете) и сте научили как да решавате неравенства от вида $P\left(x \right) \gt 0$, където $P \left(x \right)$ е някакъв полином или произведение от полиноми.

Вярвам, че няма да ви е трудно да решите например такава игра (между другото, опитайте я за загряване):

\[\begin(подравняване) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Сега нека да усложним малко задачата и да разгледаме не само полиноми, а така наречените рационални дроби от формата:

където $P\left(x \right)$ и $Q\left(x \right)$ са едни и същи полиноми от вида $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, или произведението на такива полиноми.

Това ще бъде рационално неравенство. Основният момент е наличието на променливата $x$ в знаменателя. Ето например рационалните неравенства:

\[\begin(подравняване) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \вдясно))\ge 0. \\ \end(подравняване)\]

И това не е рационално, а най-често срещаното неравенство, което се решава чрез интервалния метод:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Поглеждайки напред, веднага ще кажа: има поне два начина за решаване на рационални неравенства, но всички те по един или друг начин се свеждат до метода на вече познатия ни интервал. Ето защо, преди да анализираме тези методи, нека си припомним старите факти, в противен случай няма да има смисъл от новия материал.

Това, което вече трябва да знаете

Няма много важни факти. Наистина ни трябват само четири.

Съкратени формули за умножение

Да, да: те ще ни преследват в цялата учебна програма по математика. И в университета също. Има доста от тези формули, но се нуждаем само от следното:

\[\begin(подравняване) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\вдясно); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\вдясно). \\ \end(подравняване)\]

Обърнете внимание на последните две формули - това е сборът и разликата на кубовете (а не кубът на сбора или разликата!). Те са лесни за запомняне, ако забележите, че знакът в първата скоба е същият като знака в оригиналния израз, а във втората скоба е противоположен на знака в оригиналния израз.

Линейни уравнения

Това са най-простите уравнения от вида $ax+b=0$, където $a$ и $b$ са обикновени числа, а $a\ne 0$. Това уравнение е лесно за решаване:

\[\begin(подравняване) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(подравняване)\]

Отбелязвам, че имаме право да разделим на коефициента $a$, защото $a\ne 0$. Това изискване е съвсем логично, тъй като с $a=0$ получаваме това:

Първо, в това уравнение няма променлива $x$. Това, най-общо казано, не трябва да ни обърква (това се случва, да речем, в геометрията и доста често), но все пак ние вече не сме линейно уравнение.

Второ, решението на това уравнение зависи единствено от коефициента $b$. Ако $b$ също е нула, тогава нашето уравнение е $0=0$. Това равенство винаги е вярно; следователно $x$ е произволно число (обикновено се записва като $x\in \mathbb(R)$). Ако коефициентът $b$ не е равен на нула, тогава равенството $b=0$ никога не е изпълнено, т.е. няма отговори (написано $x\in \varnothing $ и се чете "наборът от решения е празен").

За да избегнем всички тези сложности, ние просто приемаме $a\ne 0$, което по никакъв начин не ни ограничава от по-нататъшни разсъждения.

Квадратни уравнения

Нека ви напомня, че това се нарича квадратно уравнение:

Тук отляво е полином от втора степен и отново $a\ne 0$ (в противен случай вместо квадратно уравнение получаваме линейно). Следните уравнения се решават чрез дискриминанта:

1. Ако $D \gt 0$, получаваме два различни корена;
2. Ако $D=0$, тогава коренът ще бъде един, но от втората кратност (какъв вид кратност е и как да се вземе предвид - повече за това по-късно). Или можем да кажем, че уравнението има два еднакви корена;
3. За $D \lt 0$ изобщо няма корени и знакът на полинома $a((x)^(2))+bx+c$ за всеки $x$ съвпада със знака на коефициента $a $. Това, между другото, е много полезен факт, който по някаква причина е забравен да се разказва в часовете по алгебра.

Самите корени се изчисляват по добре познатата формула:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Оттук, между другото, и ограниченията за дискриминанта. В крайна сметка корен квадратен от отрицателно число не съществува. Що се отнася до корените, много ученици имат ужасна бъркотия в главите си, така че специално записах цял урок: какво е корен в алгебрата и как да го изчислим - силно препоръчвам да го прочетете. :)

Операции с рационални дроби

Всичко, което беше написано по-горе, вече знаете, ако сте изучавали метода на интервалите. Но това, което ще анализираме сега, няма аналози в миналото – това е напълно нов факт.

Определение. Рационалната дроб е израз на формата

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

където $P\left(x \right)$ и $Q\left(x \right)$ са полиноми.

Очевидно е, че е лесно да се получи неравенство от такава дроб - достатъчно е просто да припишем знака „по-голямо от“ или „по-малко от“ вдясно. И малко по-нататък ще открием, че решаването на подобни проблеми е удоволствие, там всичко е много просто.

Проблемите започват, когато има няколко такива дроби в един израз. Те трябва да бъдат сведени до общ знаменател - и точно в този момент се правят голям брой обидни грешки.

Следователно, за да се решават успешно рационални уравнения, е необходимо твърдо да овладеете две умения:

1. Факторизиране на полинома $P\left(x \right)$;
2. Всъщност привеждане на дроби до общ знаменател.

Как да разложим на множители полином? Много просто. Нека имаме полином от вида

Нека го приравним на нула. Получаваме уравнението на $n$-та степен:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Да кажем, че решихме това уравнение и получихме корените $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (не се притеснявайте: в повечето случаи няма да има повече от два от тези корени). В този случай нашият оригинален полином може да бъде пренаписан по следния начин:

\[\begin(подравняване) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \вдясно)\cdot \left(x-((x)_(2)) \вдясно)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \вдясно) \end(подравняване)\]

Това е всичко! Моля, обърнете внимание: водещият коефициент $((a)_(n))$ не е изчезнал никъде - той ще бъде отделен фактор пред скобите и ако е необходимо, може да бъде вмъкнат във всяка от тези скоби (практиката показва че с $((a)_ (n))\ne \pm 1$ почти винаги има дроби между корените).

Задача. Опростете израза:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Решение. Първо, нека разгледаме знаменателите: всички те са линейни биноми и тук няма какво да се разлага на множители. Така че нека разложим на множители числителите:

\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\вдясно)\ляво(x-1\вдясно); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \вдясно)\ляво(2-5x \вдясно). \\\край (подравняване)\]

Моля, обърнете внимание: във втория полином старшият коефициент "2", в пълно съответствие с нашата схема, първо се появи пред скобата, а след това беше включен в първата скоба, тъй като там излезе дроб.

Същото се случи и в третия полином, само че там редът на членовете също е объркан. Въпреки това, коефициентът „−5” се оказа включен във втората скоба (запомнете: можете да въведете множител в една и само една скоба!), което ни спаси от неудобството, свързано с дробни корени.

Що се отнася до първия полином, там всичко е просто: корените му се търсят или по стандартния начин чрез дискриминанта, или с помощта на теоремата на Виета.

Нека се върнем към оригиналния израз и да го пренапишем с числители, разложени на фактори:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \вдясно))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \вдясно)-\ляво(x-1 \вдясно)-\ляво(2-5x \вдясно)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(матрица)\]

Отговор: $5x+4$.

Както виждате, нищо сложно. Малко математика за 7-8 клас и толкова. Смисълът на всички трансформации е да се превърне сложен и страшен израз в нещо просто и лесно за работа.

Това обаче не винаги ще бъде така. Така че сега ще разгледаме по-сериозен проблем.

Но първо, нека да разберем как да доведем две дроби до общ знаменател. Алгоритъмът е изключително прост:

1. Разложете на множители и двата знаменателя;
2. Помислете за първия знаменател и добавете към него факторите, присъстващи във втория знаменател, но не и в първия. Полученият продукт ще бъде общ знаменател;
3. Разберете какви множители липсват на всяка от оригиналните дроби, така че знаменателите да станат равни на общия.

Може би този алгоритъм ще ви се стори просто текст, в който има „много букви“. Така че нека да разгледаме конкретен пример.

Задача. Опростете израза:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \вдясно)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Решение. Такива обемни задачи се решават най-добре на части. Нека напишем какво има в първата скоба:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

За разлика от предишния проблем, тук знаменателите не са толкова прости. Нека разложим на множители всеки от тях.

Квадратният тричлен $((x)^(2))+2x+4$ не може да бъде разложен на множители, тъй като уравнението $((x)^(2))+2x+4=0$ няма корени (дискриминантът е отрицателен) . Оставяме го непроменено.

Вторият знаменател, кубичният полином $((x)^(3))-8$, при по-внимателно разглеждане е разликата на кубчетата и може лесно да бъде разложен с помощта на съкратените формули за умножение:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \вдясно)\]

Нищо друго не може да бъде разложено на множители, тъй като първата скоба съдържа линеен бином, а втората е вече позната за нас конструкция, която няма реални корени.

И накрая, третият знаменател е линеен бином, който не може да бъде разложен. По този начин нашето уравнение ще приеме вида:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \вдясно))-\frac(1)(x-2)\]

Съвсем очевидно е, че $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ ще бъде общият знаменател и за да намалите всички дроби до него, вие трябва да умножите първата дроб до $\left(x-2 \right)$, а последната до $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. След това остава само да донесете следното:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ дясно))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left((x)^(2))+2x +4 \вдясно))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \вдясно))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \вдясно))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ ляво(((x)^(2))+2x+4 \вдясно)). \\ \end(матрица)\]

Обърнете внимание на втория ред: когато знаменателят вече е общ, т.е. вместо три отделни дроби, ние написахме една голяма, не трябва веднага да се отървете от скобите. По-добре е да напишете допълнителен ред и да отбележите, че, да речем, имаше минус преди третата дроб - и няма да отиде никъде, а ще „виси“ в числителя пред скобата. Това ще ви спести много грешки.

Е, в последния ред е полезно да разложим числителя на множители. Освен това това е точен квадрат и съкратените формули за умножение отново ни идват на помощ. Ние имаме:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Сега нека се справим с втората скоба по същия начин. Тук просто ще напиша верига от равенства:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \вдясно)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(матрица)\]

Връщаме се към първоначалния проблем и разглеждаме продукта:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \вдясно)\ляво(x+2 \вдясно))=\frac(1)(x+2)\]

Отговор: \[\frac(1)(x+2)\].

Значението на този проблем е същото като на предишния: да покаже колко рационални изрази могат да бъдат опростени, ако подходите разумно към тяхната трансформация.

И сега, когато знаете всичко това, нека да преминем към основната тема на днешния урок – решаването на дробни рационални неравенства. Освен това, след такава подготовка, самите неравенства ще щракат като ядки. :)

Основният начин за решаване на рационални неравенства

Има поне два подхода за решаване на рационални неравенства. Сега ще разгледаме един от тях - този, който е общоприет в училищния курс по математика.

Но първо нека отбележим една важна подробност. Всички неравенства са разделени на два вида:

1. Строги: $f\left(x \right) \gt 0$ или $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Нестроги: $f\left(x \right)\ge 0$ или $f\left(x \right)\le 0$.

Неравенствата от втория тип лесно се свеждат до първия, както и уравнението:

Това малко "добавка" $f\left(x \right)=0$ води до такова неприятно нещо като запълнени точки - срещнахме ги още в интервалния метод. В противен случай няма разлики между строги и нестроги неравенства, така че нека анализираме универсалния алгоритъм:

1. Съберете всички ненулеви елементи от едната страна на знака за неравенство. Например отляво;
2. Приведете всички дроби до общ знаменател (ако има няколко такива дроби), доведете подобни. След това, ако е възможно, разложете на числителя и знаменателя. По един или друг начин получаваме неравенство от вида $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, където отметката е знакът за неравенство.
3. Приравнете числителя към нула: $P\left(x \right)=0$. Решаваме това уравнение и получаваме корените $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... След това изискваме че знаменателят не е равен на нула: $Q\left(x \right)\ne 0$. Разбира се, по същество трябва да решим уравнението $Q\left(x \right)=0$ и получаваме корените $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (при реални проблеми едва ли ще има повече от три такива корена).
4. Маркираме всички тези корени (както със звездички, така и без) на една числова права, като корените без звезди се боядисват, а тези със звезди се изрязват.
5. Поставяме знаците плюс и минус, избираме интервалите, от които се нуждаем. Ако неравенството има формата $f\left(x \right) \gt 0$, тогава отговорът ще бъде интервалите, отбелязани с "плюс". Ако $f\left(x \right) \lt 0$, тогава разглеждаме интервалите с "минуси".

Практиката показва, че точки 2 и 4 предизвикват най-големи затруднения - компетентни трансформации и правилно подреждане на числата във възходящ ред. Е, на последната стъпка, бъдете изключително внимателни: ние винаги поставяме знаци въз основа на последното неравенство, написано преди да преминем към уравненията. Това е универсално правило, наследено от интервалния метод.

Значи има схема. Да се ​​упражняваме.

Задача. Решете неравенството:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Решение. Имаме строго неравенство от вида $f\left(x \right) \lt 0$. Очевидно точки 1 и 2 от нашата схема вече са завършени: всички елементи на неравенството са събрани вляво, нищо не трябва да се свежда до общ знаменател. И така, нека да преминем към третата точка.

Задайте числителя на нула:

\[\begin(подравняване) & x-3=0; \\ &x=3. \end(подравняване)\]

И знаменателят:

\[\begin(подравняване) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(подравняване)\]

На това място много хора се забиват, защото на теория трябва да запишете $x+7\ne 0$, както се изисква от ODZ (не можете да разделите на нула, това е всичко). Но в крайна сметка в бъдеще ще извадим точките, дошли от знаменателя, така че не бива да усложнявате изчисленията си още веднъж - пишете знак за равенство навсякъде и не се притеснявайте. Никой няма да отнема точки за това. :)

Четвърта точка. Отбелязваме получените корени на числовата права:

Всички точки са пробити, защото неравенството е строго

Забележка: всички точки са пробити, защото първоначалното неравенство е строго. И тук вече няма значение: тези точки идват от числителя или от знаменателя.

Е, вижте знаците. Вземете произволно число $((x)_(0)) \gt 3$. Например, $((x)_(0))=100$ (но бихте могли да вземете също толкова добре $((x)_(0))=3,1$ или $((x)_(0)) = 1\000\000$). Получаваме:

И така, вдясно от всички корени имаме положителна област. И при преминаване през всеки корен знакът се променя (това не винаги ще бъде така, но повече за това по-късно). Затова преминаваме към петата точка: поставяме знаците и избираме правилния:

Връщаме се към последното неравенство, което беше преди решаването на уравненията. Всъщност той съвпада с оригиналния, тъй като не сме извършили никакви трансформации в тази задача.

Тъй като е необходимо да се реши неравенство от вида $f\left(x \right) \lt 0$, защрих интервала $x\in \left(-7;3 \right)$ - той е единственият отбелязани със знак минус. Това е отговорът.

Отговор: $x\in \left(-7;3 \right)$

Това е всичко! Трудно е? Не, не е трудно. Наистина, това беше лесна задача. Сега нека да усложним малко мисията и да разгледаме едно по-„фантастично“ неравенство. При решаването му вече няма да давам толкова подробни изчисления - просто ще очертая ключовите моменти. Като цяло ще го подредим така, както бихме го направили на самостоятелна работа или изпит. :)

Задача. Решете неравенството:

\[\ frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Решение. Това е нестрого неравенство от формата $f\left(x \right)\ge 0$. Всички ненулеви елементи са събрани отляво, няма различни знаменатели. Да преминем към уравненията.

Числител:

\[\begin(подравняване) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Стрелка надясно ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Стрелка надясно ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(подравняване)\]

знаменател:

\[\begin(подравняване) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(подравняване)\]

Не знам какъв вид перверзник създаде този проблем, но корените не се оказаха много добре: ще бъде трудно да ги подредите на числова права. И ако всичко е повече или по-малко ясно с корена $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (това е единственото положително число - ще бъде вдясно), тогава $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ и $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ изискват допълнително проучване: кое е по-голям?

Можете да разберете това, например:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Надявам се, че няма нужда да обяснявам защо числовата дроб $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Ако е необходимо, препоръчвам да запомните как да извършвате действия с дроби.

И маркираме и трите корена на числовата права:

Точките от числителя са защриховани, от знаменателя се изрязват

Поставихме табели. Например, можете да вземете $((x)_(0))=1$ и да разберете знака в този момент:

\[\begin(подравняване) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Последното неравенство преди уравненията беше $f\left(x \right)\ge 0$, така че ни интересува знакът плюс.

Получихме две групи: едното е обикновен сегмент, а другото е отворен лъч на числовата права.

Отговор: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Важна забележка за числата, които заместваме, за да разберем знака на най-десния интервал. Не е необходимо да се заменя число близо до най-десния корен. Можете да вземете милиарди или дори "плюс-безкрайност" - в този случай знакът на полинома в скобата, числителя или знаменателя се определя единствено от знака на водещия коефициент.

Нека разгледаме отново функцията $f\left(x \right)$ от последното неравенство:

Съдържа три полинома:

\[\begin(подравняване) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\ляво(x\дясно)=13x-4. \end(подравняване)\]

Всички те са линейни биноми и всички имат положителни коефициенти (числа 7, 11 и 13). Следователно, когато се заменят много големи числа, самите полиноми също ще бъдат положителни. :)

Това правило може да изглежда твърде сложно, но само в началото, когато анализираме много лесни задачи. При сериозни неравенства заместването "плюс-безкрайност" ще ни позволи да разберем знаците много по-бързо от стандартния $((x)_(0))=100$.

Много скоро ще се изправим пред подобни предизвикателства. Но първо, нека разгледаме алтернативен начин за решаване на дробни рационални неравенства.

Алтернативен начин

Тази техника ми беше предложена от един от моите студенти. Самият аз никога не съм го използвал, но практиката показа, че наистина е по-удобно за много ученици да решават неравенствата по този начин.

Така че оригиналните данни са същите. Трябва да решим дробно рационално неравенство:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Нека помислим: защо полиномът $Q\left(x \right)$ е "по-лош" от полинома $P\left(x \right)$? Защо трябва да разглеждаме отделни групи корени (със и без звездичка), да мислим за перфорирани точки и т.н.? Просто е: една дроб има област на дефиниция, според която дробта има смисъл само когато знаменателят й е различен от нула.

В противен случай няма разлики между числителя и знаменателя: ние също го приравняваме на нула, търсим корените, след което ги отбелязваме на числовата права. Така че защо да не замените дробната лента (всъщност знакът за деление) с обичайното умножение и да запишете всички изисквания на DHS като отделно неравенство? Например, като това:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Моля, обърнете внимание: този подход ще ви позволи да намалите проблема до метода на интервалите, но изобщо няма да усложни решението. В крайна сметка, така или иначе, ще приравним полинома $Q\left(x \right)$ на нула.

Нека видим как работи при реални задачи.

Задача. Решете неравенството:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Решение. И така, нека преминем към интервалния метод:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Стрелка надясно \наляво\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(подравняване) \вдясно.\]

Първото неравенство се решава елементарно. Просто задайте всяка скоба на нула:

\[\begin(подравняване) & x+8=0\Стрелка надясно ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Стрелка надясно ((x)_(2))=11. \\ \end(подравняване)\]

С второто неравенство всичко също е просто:

Отбелязваме точките $((x)_(1))$ и $((x)_(2))$ на реалната права. Всички те са пробити, защото неравенството е строго:

Дясната точка се оказа пробита два пъти. Това е добре.

Обърнете внимание на точката $x=11$. Оказва се, че е „пробита два пъти”: от една страна, ние я пробиваме поради тежестта на неравенството, от друга – поради допълнителното изискване на ОДЗ.

Във всеки случай това ще бъде само пробита точка. Затова поставяме знаци за неравенството $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - последният, който видяхме преди да започнем да решаваме уравненията:

Ние се интересуваме от положителни области, тъй като решаваме неравенство от вида $f\left(x \right) \gt 0$ и ще ги оцветим. Остава само да запишете отговора.

Отговор. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Използвайки това решение като пример, бих искал да ви предупредя срещу често срещана грешка сред начинаещите студенти. А именно: никога не отваряйте скоби в неравенствата! Напротив, опитайте се да вземете предвид всичко - това ще опрости решението и ще ви спести много проблеми.

Сега нека опитаме нещо по-трудно.

Задача. Решете неравенството:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Решение. Това е нестрого неравенство от формата $f\left(x \right)\le 0$, така че тук трябва внимателно да наблюдавате попълнените точки.

Да преминем към интервалния метод:

\[\left\( \begin(подравняване) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(подравняване) \вдясно.\]

Да преминем към уравнението:

\[\begin(подравняване) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Стрелка надясно ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Стрелка надясно ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Стрелка надясно ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(подравняване)\]

Вземаме предвид допълнителното изискване:

Отбелязваме всички получени корени на числовата права:

Ако точка е едновременно избита и попълнена, тя се счита за избита.

Отново две точки се "припокриват" - това е нормално, винаги ще бъде така. Важно е само да се разбере, че точка, отбелязана едновременно като перфорирана и попълнена, всъщност е перфорирана точка. Тези. "Издълбаването" е по-силно действие от "боядисването".

Това е абсолютно логично, защото чрез пробиване маркираме точки, които влияят на знака на функцията, но сами по себе си не участват в отговора. И ако в даден момент номерът престане да ни удовлетворява (например не попада в ODZ), ние го изтриваме от разглеждане до самия край на задачата.

Изобщо спри да философстваш. Подреждаме знаците и рисуваме върху онези интервали, които са маркирани със знак минус:

Отговор. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

И отново исках да насоча вниманието ви към това уравнение:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Още веднъж: никога не отваряйте скоби в такива уравнения! Само затруднявате себе си. Запомнете: произведението е нула, когато поне един от факторите е равен на нула. Следователно това уравнение просто се „разпада“ на няколко по-малки, които решихме в предишния проблем.

Като се има предвид множеството корени

От предишните задачи е лесно да се види, че нестрогите неравенства са най-трудни, защото в тях трябва да следите попълнените точки.

Но има още по-голямо зло в света – това са множество корени в неравенствата. Тук вече е необходимо да се следват не някои запълнени точки там - тук знакът на неравенството може да не се промени внезапно при преминаване през същите тези точки.

Все още не сме разгледали нещо подобно в този урок (въпреки че подобен проблем често се срещаше в интервалния метод). Така че нека представим нова дефиниция:

Определение. Коренът на уравнението $((\left(x-a \right))^(n))=0$ е равен на $x=a$ и се нарича корен на $n$-та кратност.

Всъщност не се интересуваме особено от точната стойност на кратността. Единственото важно нещо е дали точно това число $n$ е четно или нечетно. защото:

1. Ако $x=a$ е корен от четна кратност, тогава знакът на функцията не се променя при преминаване през нея;
2. И обратно, ако $x=a$ е корен от нечетна кратност, тогава знакът на функцията ще се промени.

Специален случай на корен от нечетна кратност са всички предишни проблеми, разгледани в този урок: там кратността е равна на единица навсякъде.

И по-нататък. Преди да започнем да решаваме проблеми, бих искал да насоча вниманието ви към една тънкост, която изглежда очевидна за опитен ученик, но вкарва много начинаещи в ступор. а именно:

Коренът на множественост $n$ възниква само когато целият израз се повдигне до тази степен: $((\left(xa \right))^(n))$, а не $\left(((x)^(n) )-a\вдясно)$.

Още веднъж: скобата $((\left(xa \right))^(n))$ ни дава корен $x=a$ на множественост $n$, но скобата $\left(((x)^( n)) -a \right)$ или, както често се случва, $(a-((x)^(n)))$ ни дава корен (или два корена, ако $n$ е четно) от първата кратност , без значение какво е равно на $n$.

Сравнете:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Стрелка надясно x=3\left(5k \right)\]

Тук всичко е ясно: цялата скоба беше повдигната на пета степен, така че на изхода получихме корен от пета степен. И сега:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Стрелка надясно ((x)^(2))=4\Стрелка надясно x=\pm 2\]

Получихме два корена, но и двата имат първа кратност. Или ето още един:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Стрелка надясно ((x)^(10))=1024\Стрелка надясно x=\pm 2\]

И не се бъркайте от десетата степен. Основното е, че 10 е четно число, така че имаме два корена на изхода и двамата отново имат първата кратност.

Като цяло, бъдете внимателни: множественост се появява само когато степента се прилага за цялата скоба, а не само за променливата.

Задача. Решете неравенството:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))((\left(x+7) \вдясно))^(5)))\ge 0\]

Решение. Нека се опитаме да го решим по алтернативен начин - чрез прехода от конкретното към продукта:

\[\left\( \begin(подравняване) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(подравняване )\правилно.\]

Ние се занимаваме с първото неравенство, използвайки интервалния метод:

\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \вдясно))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Стрелка надясно x=0\ляво(2k \вдясно); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Стрелка надясно x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Стрелка надясно x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Стрелка надясно x=-7\left(5k \right). \\ \end(подравняване)\]

Освен това решаваме второто неравенство. Всъщност вече сме го решили, но за да не намерят грешки в решението, по-добре е да го решим отново:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Стрелка надясно x\ne -7\]

Забележете, че в последното неравенство няма множества. Наистина: каква разлика има колко пъти да зачеркнеш точката $x=-7$ на числовата права? Поне веднъж, поне пет пъти - резултатът ще бъде същият: пробита точка.

Нека отбележим всичко, което получихме на числовата права:

Както казах, точката $x=-7$ в крайна сметка ще бъде избита. Кратностите се подреждат въз основа на решението на неравенството по интервалния метод.

Остава да поставите знаците:

Тъй като точката $x=0$ е корен от четна кратност, знакът не се променя при преминаване през нея. Останалите точки имат нечетно множество и всичко е просто с тях.

Отговор. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Обърнете внимание отново на $x=0$. Поради равномерната множественост възниква интересен ефект: всичко вляво от него е боядисано, вдясно - също, а самата точка е напълно боядисана.

В резултат на това не е необходимо да се изолира при запис на отговор. Тези. не е нужно да пишете нещо като $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (въпреки че формално такъв отговор също би бил правилен). Вместо това веднага пишем $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Такива ефекти са възможни само за корени с четна кратност. И в следващата задача ще се сблъскаме с обратното „проявление“ на този ефект. Готов?

Задача. Решете неравенството:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Решение. Този път ще следваме стандартната схема. Задайте числителя на нула:

\[\begin(подравняване) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Стрелка надясно ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Стрелка надясно ((x)_(2))=4. \\ \end(подравняване)\]

И знаменателят:

\[\begin(подравняване) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Стрелка надясно x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Стрелка надясно x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(подравняване)\]

Тъй като решаваме нестрого неравенство от формата $f\left(x \right)\ge 0$, корените от знаменателя (които имат звездички) ще бъдат изрязани, а тези от числителя ще бъдат боядисани .

Подреждаме знаците и изчертаваме областите, отбелязани с "плюс":

Точката $x=3$ е изолирана. Това е част от отговора

Преди да запишете окончателния отговор, разгледайте внимателно снимката:

1. Точката $x=1$ има четна кратност, но сама по себе си е пробита. Следователно, той ще трябва да бъде изолиран в отговора: трябва да напишете $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, а не $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.
2. Точката $x=3$ също има четна кратност и е засенчена. Подредбата на знаците показва, че самата точка ни устройва, но крачка наляво и надясно – и се озоваваме в зона, която определено не ни устройва. Такива точки се наричат ​​изолирани и се записват като $x\in \left\( 3 \right\)$.

Обединяваме всички получени парчета в общ набор и записваме отговора.

Отговор: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Определение. Решаването на неравенството означава намерете множеството от всички негови решения, или докажете, че този набор е празен.

Изглежда: какво може да бъде неразбираемо тук? Да, фактът е, че наборите могат да се определят по различни начини. Нека пренапишем отговора на последния проблем:

Ние буквално четем написаното. Променливата "x" принадлежи на определен набор, който се получава от обединението (символ "U") на четири отделни набора:

• Интервалът $\left(-\infty ;1 \right)$, което буквално означава "всички числа по-малки от едно, но не само едно";
• Интервалът е $\left(1;2 \right)$, т.е. "всички числа между 1 и 2, но не и самите числа 1 и 2";
• Множеството $\left\( 3 \right\)$, състоящо се от едно число - три;
• Интервалът $\left[ 4;5 \right)$, съдържащ всички числа между 4 и 5, плюс самото 4, но не и 5.

Третата точка тук представлява интерес. За разлика от интервалите, които дефинират безкрайни набори от числа и обозначават само границите на тези множества, множеството $\left\( 3 \right\)$ дефинира точно едно число чрез изброяване.

За да разберем, че изброяваме конкретните числа, включени в набора (а не задаваме граници или нещо друго), се използват къдрави скоби. Например, нотацията $\left\( 1;2 \right\)$ означава точно "множество, състоящо се от две числа: 1 и 2", но не и сегмент от 1 до 2. В никакъв случай не бъркайте тези понятия .

Правило за събиране на кратност

Е, в края на днешния урок, малко тенекия от Павел Бердов. :)

Внимателните ученици вероятно вече са си задали въпроса: какво ще се случи, ако в числителя и знаменателя се намерят едни и същи корени? Така че следното правило работи:

Добавят се множество от еднакви корени. Е винаги. Дори ако този корен се среща и в числителя, и в знаменателя.

Понякога е по-добре да решиш, отколкото да говориш. Следователно решаваме следния проблем:

Задача. Решете неравенството:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left((x)^(2))+ 9x+14 \вдясно))\ge 0\]

\[\begin(подравняване) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(подравняване)\]

Засега нищо особено. Задайте знаменателя на нула:

\[\begin(подравняване) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Стрелка надясно x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Стрелка надясно x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(подравняване)\]

Намерени са два еднакви корена: $((x)_(1))=-2$ и $x_(4)^(*)=-2$. И двете имат първа кратност. Следователно, ние ги заместваме с един корен $x_(4)^(*)=-2$, но с кратност 1+1=2.

Освен това има и идентични корени: $((x)_(2))=-4$ и $x_(2)^(*)=-4$. Те също са от първата кратност, така че остава само $x_(2)^(*)=-4$ с кратност 1+1=2.

Моля, обърнете внимание: и в двата случая оставихме точно „изрязания“ корен и изхвърлихме „боядисания“ от разглеждане. Защото още в началото на урока се съгласихме: ако една точка е едновременно избита и боядисана, тогава все още я считаме за избита.

В резултат на това имаме четири корена и всички те се оказаха извадени:

\[\begin(подравняване) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\вляво(2k \вдясно). \\ \end(подравняване)\]

Маркираме ги на числовата права, като вземем предвид кратността:

Поставяме табелите и рисуваме върху областите, които ни интересуват:

Всичко. Без изолирани точки и други извращения. Можете да запишете отговора.

Отговор. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

правило за умножение

Понякога възниква още по-неприятна ситуация: уравнение, което има множество корени, се повишава до определена степен. Това променя множествата на всички оригинални корени.

Това е рядкост, така че повечето студенти нямат опит в решаването на подобни проблеми. И правилото тук е:

Когато едно уравнение се повдигне до степен $n$, кратността на всичките му корени също се увеличава с коефициент $n$.

С други думи, повишаването на степен води до умножаване на множествата по същата степен. Нека вземем това правило като пример:

Задача. Решете неравенството:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Решение. Задайте числителя на нула:

Продуктът е равен на нула, когато поне един от факторите е равен на нула. Всичко е ясно с първия множител: $x=0$. И ето откъде започват проблемите:

\[\begin(подравняване) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Както можете да видите, уравнението $((x)^(2))-6x+9=0$ има уникален корен от втората кратност: $x=3$. След това цялото уравнение се квадратира. Следователно кратността на корена ще бъде $2\cdot 2=4$, което накрая записахме.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Стрелка надясно x=4\left(5k \right)\]

Няма проблем и със знаменателя:

\[\begin(подравняване) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Стрелка надясно x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Стрелка надясно x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(подравняване)\]

Общо взехме пет точки: две избити и три попълнени. В числителя и знаменателя няма съвпадащи корени, така че просто ги маркираме на числовата права:

Подреждаме знаците, като вземем предвид множествата и рисуваме върху интервалите, които ни интересуват:

Отново една изолирана точка и една пробита

Поради корените на равномерното множество, отново получихме няколко „нестандартни“ елемента. Това е $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, а не $x\in \left[ 0;2 \right)$, а също и изолирана точка $ x\in \left\( 3 \right\)$.

Отговор. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Както виждате, всичко не е толкова трудно. Основното нещо е вниманието. Последният раздел на този урок е посветен на трансформациите - точно тези, които обсъждахме в самото начало.

Предварителни преобразувания

Неравенствата, които ще обсъдим в този раздел, не са сложни. Въпреки това, за разлика от предишните задачи, тук ще трябва да приложите умения от теорията на рационалните дроби – разлагане на множители и свеждане до общ знаменател.

Обсъдихме този въпрос подробно в самото начало на днешния урок. Ако не сте сигурни, че разбирате за какво става дума, силно препоръчвам да се върнете и да повторите. Защото няма смисъл да се тъпчат методите за решаване на неравенства, ако "плуваш" в преобразуването на дроби.

В домашната работа, между другото, също ще има много подобни задачи. Те са поставени в отделен подраздел. И там ще намерите много нетривиални примери. Но това ще бъде в домашната работа, но сега нека анализираме няколко такива неравенства.

Задача. Решете неравенството:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Решение. Преместване на всичко наляво:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Свеждаме до общ знаменател, отваряме скобите, даваме подобни термини в числителя:

\[\begin(подравняване) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ дясно))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Сега имаме класическо дробно рационално неравенство, чието решение вече не е трудно. Предлагам да го реша по алтернативен метод - чрез метода на интервалите:

\[\begin(подравняване) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(подравняване)\]

Не забравяйте ограничението, което идва от знаменателя:

Маркираме всички числа и ограничения на числовата права:

Всички корени имат първа кратност. Няма проблем. Просто поставяме знаците и рисуваме върху областите, от които се нуждаем:

Това е всичко. Можете да запишете отговора.

Отговор. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Разбира се, това беше много прост пример. Така че сега нека разгледаме проблема по-отблизо. И между другото, нивото на тази задача е доста съобразено със самостоятелна и контролна работа по тази тема в 8 клас.

Задача. Решете неравенството:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Решение. Преместване на всичко наляво:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Преди да доведем двете дроби до общ знаменател, разлагаме тези знаменатели на фактори. Изведнъж ще излязат същите скоби? С първия знаменател е лесно:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

Второто е малко по-трудно. Чувствайте се свободни да добавите постоянен множител към скобата, в която е намерена фракцията. Запомнете: оригиналният полином имаше цели коефициенти, така че е много вероятно факторизацията също да има цели коефициенти (всъщност винаги ще има, освен когато дискриминантът е ирационален).

\[\begin(подравняване) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Както можете да видите, има обща скоба: $\left(x-1 \right)$. Връщаме се към неравенството и довеждаме двете дроби до общ знаменател:

\[\begin(подравняване) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ ляво(3x-2\вдясно))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\ляво(3x-2 \вдясно))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(подравняване)\]

Задайте знаменателя на нула:

\[\begin(подравняване) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( подравняване)\]

Без множества и без съвпадащи корени. Отбелязваме четири числа на права линия:

Поставяме табелите:

Записваме отговора.

Отговор: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \вдясно)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ дясно) $.

Всичко! Така дочетох до този ред. :)

Формата ax 2 + bx + 0 0, където (вместо знака > може, разбира се, да има всеки друг знак за неравенство). Имаме всички факти от теорията, необходими за решаването на такива неравенства, които сега ще проверим.

Пример 1. Решете неравенството:

а) x 2 - 2x - 3 > 0; б) x 2 - 2x - 3< 0;
в) x 2 - 2x - 3 > 0; г) x 2 - 2x - 3< 0.
Решение,

а) Помислете за параболата y \u003d x 2 - 2x - 3, показана на фиг. 117.

Да се ​​реши неравенството x 2 - 2x - 3 > 0 - това означава да се отговори на въпроса, за кои стойности на x ординатите на точките на параболата са положителни.

Забелязваме, че y > 0, т.е. графиката на функцията е разположена над оста x, при x< -1 или при х > 3.

Следователно решенията на неравенството са всички точки от отвореното лъч(- 00 , - 1), както и всички точки на отворения лъч (3, +00).

Използвайки знака U (знак на обединението на множества), отговорът може да се запише по следния начин: (-00 , - 1) U (3, +00). Отговорът обаче може да бъде написан и така:< - 1; х > 3.

б) Неравенство x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: графикразположен под оста x, ако -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

в) Неравенството x 2 - 2x - 3 > 0 се различава от неравенството x 2 - 2x - 3 > 0 по това, че отговорът трябва да включва и корените на уравнението x 2 - 2x - 3 = 0, т.е. точки x = - 1

и x \u003d 3. По този начин решенията на това нестрого неравенство са всички точки на гредата (-00, - 1], както и всички точки на гредата.

Практическите математици обикновено казват това: защо ние, решавайки неравенството ax 2 + bx + c > 0, внимателно изграждаме параболна графика на квадратична функция

y \u003d ax 2 + bx + c (както беше направено в пример 1)? Достатъчно е да направите схематична скица на графиката, за която трябва само да намерите корениквадратен трином (точката на пресичане на параболата с оста x) и определете къде са насочени клоните на параболата - нагоре или надолу. Тази схематична скица ще даде визуална интерпретация на решението на неравенството.

Пример 2Решете неравенството - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Решение.

1) Намерете корените на квадратния трином - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 = - 1,5.

2) Параболата, която служи като графика на функцията y \u003d -2x 2 + Zx + 9, пресича оста x в точки 3 и - 1.5, а клоните на параболата са насочени надолу, тъй като по-старата коефициент- отрицателно число - 2. На фиг. 118 е скица на графика.

3) Използвайки фиг. 118, заключаваме:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Отговор: х< -1,5; х > 3.

Пример 3Решете неравенството 4x 2 - 4x + 1< 0.
Решение.

1) От уравнението 4x 2 - 4x + 1 = 0 намираме.

2) Квадратният трином има един корен; това означава, че параболата, служеща като графика на квадратен трином, не пресича оста x, а я докосва в точката. Клоновете на параболата са насочени нагоре (фиг. 119.)

3) Използвайки геометричния модел, показан на фиг. 119 установяваме, че посоченото неравенство е изпълнено само в точката, тъй като за всички други стойности на x ординатите на графиката са положителни.
Отговор: .
Вероятно сте забелязали, че всъщност в примери 1, 2, 3 е добре дефинирано алгоритъмрешавайки квадратни неравенства, ще го формализираме.

Алгоритъмът за решаване на квадратното неравенство ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Първата стъпка от този алгоритъм е да се намерят корените на квадратен трином. Но корените може да не съществуват, така че какво да правя? Тогава алгоритъмът е неприложим, което означава, че е необходимо да се разсъждава по различен начин. Ключът към тези аргументи е даден от следните теореми.

С други думи, ако Д< 0, а >0, то неравенството ax 2 + bx + c > 0 е изпълнено за всички x; напротив, неравенството ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Доказателство. график функции y \u003d ax 2 + bx + c е парабола, чиито клони са насочени нагоре (тъй като a > 0) и която не пресича оста x, тъй като квадратният трином няма корени по условие. Графиката е показана на фиг. 120. Виждаме, че за всички x графиката е разположена над оста x, което означава, че за всички x е изпълнено неравенството ax 2 + bx + c > 0, което се изискваше да се докаже.

С други думи, ако Д< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 няма решения.

Доказателство. Графиката на функцията y \u003d ax 2 + bx + c е парабола, клоните на която са насочени надолу (тъй като a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Пример 4. Решете неравенството:

а) 2x 2 - x + 4 > 0; б) -x 2 + Zx - 8 > 0.

а) Намерете дискриминанта на квадратния трином 2x 2 - x + 4. Имаме D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31< 0.
Старшият коефициент на тричлена (число 2) е положителен.

Следователно по теорема 1 за всички x неравенството 2x 2 - x + 4 > 0 е изпълнено, т.е. решението на даденото неравенство е цялото (-00, + 00).

б) Намерете дискриминанта на квадратния трином - x 2 + Zx - 8. Имаме D = Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Отговор: а) (-00, + 00); б) няма решения.

В следващия пример ще се запознаем с друг начин на разсъждение, който се използва при решаване на квадратни неравенства.

Пример 5Решете неравенството 3x 2 - 10x + 3< 0.
Решение. Нека разложим на множители квадратния трином 3x 2 - 10x + 3. Корените на тричлена са числата 3 и следователно, използвайки ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), получаваме Zx 2 - 10x + 3 = 3 (x - 3) (x - )
Отбелязваме на числовата права корените на тричлена: 3 и (фиг. 122).

Нека x > 3; тогава x-3>0 и x->0, и следователно произведението 3(x - 3)(x - ) е положително. След това нека< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Следователно произведението 3(x-3)(x-) е отрицателно. И накрая, нека x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) е положително.

Обобщавайки разсъжденията, стигаме до заключението: знаците на квадратния трином Zx 2 - 10x + 3 се променят, както е показано на фиг. 122. Интересуваме се за какво х квадратният трином приема отрицателни стойности. От фиг. 122 заключаваме: квадратният тричлен 3x 2 - 10x + 3 приема отрицателни стойности за всяка стойност на x от интервала (, 3)
Отговор (, 3) или< х < 3.

Коментирайте. Методът на разсъждение, който приложихме в пример 5, обикновено се нарича метод на интервалите (или метод на интервалите). Той се използва активно в математиката за решаване рационалнонеравенства. В 9. клас ще изучаваме метода на интервалите по-подробно.

Пример 6. При какви стойности на параметъра p е квадратното уравнение x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
а) има два различни корена;

б) има един корен;

в) няма корени?

Решение. Броят на корените на квадратното уравнение зависи от знака на неговия дискриминант D. В този случай намираме D \u003d 25 - 4p 2.

а) Квадратното уравнение има два различни корена, ако D> 0, тогава задачата се свежда до решаване на неравенството 25 - 4p 2 > 0. Умножаваме двете части на това неравенство по -1 (като не забравяме да сменим знака на неравенството). Получаваме еквивалентно неравенство 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Знаците на израза 4(p - 2.5) (p + 2.5) са показани на фиг. 123.

Заключаваме, че неравенството 4(p - 2.5)(p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

б) квадратно уравнениеима един корен, ако D е 0.
Както казахме по-горе, D = 0 при p = 2,5 или p = -2,5.

Именно за тези стойности на параметъра p това квадратно уравнение има само един корен.

в) Квадратното уравнение няма корени, ако D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Получаваме 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2.5) (p + 2.5)> 0, откъдето (виж фиг. 123) p< -2,5; р >2.5. За тези стойности на параметъра p това квадратно уравнение няма корени.

Отговор: а) при p (-2,5, 2,5);

б) при p = 2,5 или p = -2,5;
в) при r< - 2,5 или р > 2,5.

Мордкович А. Г., алгебра. 8 клас: Проб. за общо образование институции.- 3-то изд., финализиран. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с.: ил.

Помогнете на ученик онлайн, Математика за 8 клас изтегляне, календарно-тематично планиране

Здравейте! Скъпи мои ученици, в тази статия ще научим как да решаваме експоненциални неравенства .

Колкото и сложно да ви изглежда експоненциалното неравенство, след някои трансформации (ще говорим за тях малко по-късно), всички неравенства се свеждат до решаване на най-простите експоненциални неравенства:

a x > b, а х< b И a x ≥ b, a x ≤ b.

Нека се опитаме да разберем как се решават такива неравенства.

Ще разгледаме решение строги неравенства. Единствената разлика при решаване на нестроги неравенства е, че получените съответни корени се включват в отговора.

Нека е необходимо да се реши неравенство на формата и f(x) > b, където а>1И b>0.

Вижте схемата за решаване на такива неравенства (Фигура 1):

Сега нека разгледаме конкретен пример. Решете неравенството: 5 x - 1 > 125.

Тъй като 5 > 1 и 125 > 0, тогава
x - 1 > log 5 125, т.е
x - 1 > 3,
х > 4.

Отговор: (4; +∞) .

Какво е решението на това неравенство? и f(x) >b, ако 0И b>0?

И така, диаграмата на фигура 2

пример: Решете неравенството (1/2) 2x - 2 ≥ 4

Прилагайки правилото (Фигура 2), получаваме
2x - 2 ≤ log 1/2 4,
2x - 2 ≤ -2,
2x ≤ 0,
x ≤ 0.

Отговор: (–∞; 0] .

Помислете отново за същото неравенство и f(x) > b, ако a>0И б<0 .

И така, диаграмата на фигура 3:

Пример за решаване на неравенство (1/3) x + 2 > -9. Както забелязваме, без значение с какво число заменим x, (1/3) x + 2 винаги е по-голямо от нула.

Отговор: (–∞; +∞) .

Как се решават неравенствата от формата? a f(x)< b , където а>1И b>0?

Диаграма на фигура 4:

И следния пример: 3 3 – x ≥ 8.
Тъй като 3 > 1 и 8 > 0, тогава
3 - x\u003e log 3 8, т.е
-x > log 3 8 - 3,
х< 3 – log 3 8.

Отговор: (0; 3–log 3 8) .

Как да променим решението на неравенството a f(x)< b , при 0И b>0?

Диаграма на фигура 5:

И следния пример: Решете неравенството 0,6 2x - 3< 0,36 .

Следвайки диаграмата на фигура 5, получаваме
2x - 3 > log 0,6 0,36,
2x - 3 > 2,
2x > 5,
х > 2,5

Отговор: (2,5; +∞) .

Помислете за последната схема за решаване на неравенство на формата a f(x)< b , при a>0И б<0 показано на фигура 6:

Например, нека решим неравенството:

Забелязваме, че независимо с какво число заменим x, лявата част на неравенството винаги е по-голяма от нула, а в нашия случай този израз е по-малък от -8, т.е. и нула означава, че няма решения.

Отговор: никакви решения.

Знаейки как се решават най-простите експоненциални неравенства, можем да продължим към решаване на експоненциални неравенства.

Пример 1

Намерете най-голямата цяло число на x, което удовлетворява неравенството

Тъй като 6 x е по-голямо от нула (за не x знаменателят отива на нула), умножаваме двете страни на неравенството по 6 x, получаваме:

440 - 2 6 2x > 8, тогава
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2x > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

х< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Отговор: 1.

Пример 2.

Решете неравенството 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Означаваме 2 x с y, получаваме неравенството y 2 - 3y + 2 ≤ 0, решаваме това квадратно неравенство.

y 2 - 3y +2 = 0,
y 1 = 1 и y 2 = 2.

Клоновете на параболата са насочени нагоре, нека начертаем графика:

Тогава решението на неравенството ще бъде неравенство 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Отговор: (0; 1) .

Пример 3. Решете неравенството 5x+1 – 3x+2< 2·5 x – 2·3 x –1
Съберете изрази със същите основи в една част от неравенството

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Нека извадим неравенството от лявата страна на скобите 5 x , и от дясната страна на неравенството 3 x и да получим неравенството

5 x (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5 х< (25/3)·3 х

Разделяме двете части на неравенството на израза 3 3 x, знакът на неравенството няма да се промени, тъй като 3 3 x е положително число, получаваме неравенството:

х< 2 (так как 5/3 > 1).

Отговор: (–∞; 2) .

Ако имате въпроси относно решаването на експоненциални неравенства или искате да практикувате решаване на подобни примери, запишете се за моите уроци. Учител Валентина Галиневская.

сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.