Властивості

Оскільки рівняння x 2 + y 2 = z 2 однорідно, при домноженні x , yі zна те саме число вийде інша піфагорова трійка. Піфагорова трійка називається примітивноюякщо вона не може бути отримана таким способом, тобто - взаємно прості числа .

Приклади

Деякі піфагорові трійки (відсортовані за зростанням максимального числа, виділено примітивні):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Історія

Піфагорові трійкивідомі дуже давно. В архітектурі давньомесопотамських надгробків зустрічається рівнобедрений трикутник, Складений з двох прямокутних зі сторонами 9, 12 і 15 ліктів. Піраміди фараона Снофру (XXVII століття до н.е.) побудовані з використанням трикутників зі сторонами 20, 21 та 29, а також 18, 24 та 30 десятків єгипетських ліктів.

X Всеросійський симпозіум з прикладної та промислової математики. Санкт-Петербург, 19 травня 2009р.

Алгоритм рішення Діофантових рівнянь.

У роботі розглянуто метод дослідження Діофантових рівнянь та представлені вирішені цим методом: - велика теорема Ферма; - пошук Піфагорових трійок і т.д. http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html

Посилання

• Є. А. ГорінСтупені простих чисел у складі піфагорових трійок // Математичне просвітництво. – 2008. – В. 12. – С. 105-125.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Піфагорові трійки" в інших словниках:

У математиці піфагоровими числами (піфагорової трійкою) називається кортеж із трьох цілих чисел, що задовольняють співвідношенню Піфагора: x2 + y2 = z2. Зміст 1 Властивості … Вікіпедія

Трійки таких натуральних чисел, Що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, напр. трійка чисел: 3, 4, 5… Великий Енциклопедичний словник

Трійки натуральних чисел таких, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (чи рівні) цим числам, є прямокутним. За теоремою, зворотній теореміПіфагора (див. Піфагора теорема), для цього достатньо, щоб вони… Велика радянська енциклопедія

Трійки цілих позитивних чиселх, у,z, що задовольняють рівняння x2+у 2=z2. Усі рішення цього рівняння, отже, і всі П. год. виражаються формулами х=а 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, де а, b довільні цілі позитивні числа (а>b). П. год. Математична енциклопедія

Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, напр. трійка чисел: 3, 4, 5… Природознавство. Енциклопедичний словник

Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, наприклад трійка чисел: 3, 4, 5. * * * Енциклопедичний словник

У математиці піфагорової трійкою називається кортеж із трьох натуральних чисел, що задовольняють співвідношенню Піфагора: При цьому числа, що утворюють піфагорову трійку, називаються піфагоровими числами. Зміст 1 Примітивні трійки … Вікіпедія

Теорема Піфагора одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Зміст 1 … Вікіпедія

Теорема Піфагора одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. 1 Формулювання 2 Докази … Вікіпедія

Це рівняння виду, де P цілочислова функція (наприклад, поліном з цілими коефіцієнтами), а змінні приймають цілі значення. Названо на честь давньогрецького математика Діофанта. Зміст 1 Приклади … Вікіпедія

Навчальна: вивчити ряд піфагорових трійок, розробити алгоритм їх застосування у різних ситуаціях, скласти пам'ятку щодо їх використання.

Виховна: формування свідомого ставлення до навчання, розвиток пізнавальної активності, культури навчальної праці

Розвиваюча: розвиток геометричної, алгебраїчної та числової інтуїції, кмітливості, спостережливості, пам'яті

Хід уроку

I. Організаційний момент

ІІ. Пояснення нового матеріалу

Вчитель: Загадка привабливої ​​сили піфагорових трійок давно турбує людство. Унікальні властивості піфагорових трійок пояснюють їхню особливу роль у природі, музиці, математиці. Заклинання Піфагора, теорема Піфагора, залишається в мозку мільйонів, якщо не мільярдів, людей. Це – фундаментальна теорема, заучувати яку змушують кожного школяра. Незважаючи на те, що теорема Піфагора доступна розумінню десятирічних, вона є надихаючим початком проблеми, при вирішенні якої зазнали найбільших фіаско розумів в історії математики, теорема Ферма. Піфагор із острова Самос (див. Додаток 1 , слайд 4) був однією з найвпливовіших і тим не менш загадкових постатей у математиці. Оскільки достовірних повідомлень про його життя та роботу не збереглося, його життя виявилося оповитим міфами та легендами, і історикам буває важко відокремити факти від вигадки. Не підлягає сумніву, однак, що Піфагор розвинув ідею про логіку чисел і що саме ми зобов'язані першим золотим століттям математики. Завдяки його генію, числа перестали використовуватися тільки для рахунку та обчислень і були гідно оцінені. Піфагор вивчав властивості певних класів чисел, співвідношення між ними та фігури, що утворюють числа. Піфагор зрозумів, що числа існують незалежно від матеріального світу, і тому на вивченні чисел не позначається неточність наших органів чуття. Це означало, що Піфагор знайшов можливість відкривати істини, незалежні від чиєїсь думки або забобону. Істини більш абсолютні, ніж будь-яке попереднє знання. На основі вивченої літератури, що стосується піфагорових трійок, нас буде цікавити можливість застосування піфагорових трійок при вирішенні задач тригонометрії. Тому ми поставимо собі за мету: вивчити ряд піфагорових трійок, розробити алгоритм їх застосування, скласти пам'ятку щодо їх використання, провести дослідження щодо їх застосування в різних ситуаціях.

Трикутник ( слайд 14), сторони якого рівні піфагоровим числамє прямокутним. З іншого боку, будь-який такий трикутник є героновим, тобто. таким, у якого всі сторони та площа є цілими. Найпростіший із них – єгипетський трикутник зі сторонами (3, 4, 5).

Складемо ряд піфагорових трійок шляхом примноження чисел (3, 4, 5) на 2, на 3, на 4. Отримаємо ряд піфагорових трійок, відсортуємо їх за зростанням максимального числа, виділимо примітивні.

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

ІІІ. Хід уроку

1. Покрутимося навколо завдань:

1) Використовуючи співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу знайдіть, якщо

відомо, що .

2) Знайдіть значення тригонометричних функцій кута?, якщо відомо, що:

3) Система тренувальних завдань на тему “Формули складання”

знаючи, що sin = 8/17, cos = 4/5, і – кути першої чверті, знайдіть значення виразу:

знаючи, що й – кути другої чверті, sin = 4/5, cos = – 15/17, знайдіть: .

4) Система тренувальних завдань на тему “Формули подвійного кута”

a) Нехай sin = 5/13 – кут другої чверті. Знайдіть sin2, cos2, tg2, ctg2.

b) Відомо, що tg? = 3/4 – кут третьої чверті. Знайдіть sin2, cos2, tg2, ctg2.

c) Відомо, що 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

d) Відомо, що , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) Знайдіть tg( + ), якщо відомо, що cos = 3/5, cos = 7/25, де і – кути першої чверті.

f) Знайдіть , - Кут третьої чверті.

Вирішуємо завдання традиційним способом з використанням основних тригонометричних тотожностей, а потім вирішуємо ці ж завдання раціональнішим способом. Для цього використовуємо алгоритм розв'язання задач з використанням піфагорових трійок. Складаємо пам'ятку розв'язання задач з використанням піфагорових трійок. Для цього згадуємо визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, гострого кута прямокутного трикутника, зображуємо його, залежно від умов задачі на сторонах прямокутного трикутника правильно розставляємо піфагорові трійки ( рис. 1). Записуємо співвідношення та розставляємо знаки. Алгоритм вироблено.

Малюнок 1

Алгоритм розв'язання задач

Повторити (вивчити) теоретичний матеріал.

Знати напам'ять примітивні піфагорові трійки і за необхідності вміти конструювати нові.

Застосовувати теорему Піфагора для точок із раціональними координатами.

Знати визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенса гострого кута прямокутного трикутника, вміти зобразити прямокутний трикутник і залежно від умови завдання правильно розставити трійки піфагорів на сторонах трикутника.

Знати знаки синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу в залежності від їх розташування в координатної площини.

Необхідні вимоги:

1. знати, які знаки синус, косинус, тангенс, котангенс мають у кожній із чвертей координатної площини;
2. знати визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу гострого кута прямокутного трикутника;
3. знати та вміти застосовувати теорему Піфагора;
4. знати основні тригонометричні тотожності, формули додавання, формули подвійного кута, формули половинного аргументу;
5. знати формули наведення.

З урахуванням вищевикладеного заповнимо таблицю ( таблиця 1). Її потрібно заповнювати, дотримуючись визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу або з використанням теореми Піфагора для точок з раціональними координатами. При цьому необхідно пам'ятати знаки синуса, косинуса, тангенса і котангенса в залежності від їх розташування в координатній площині.

Таблиця 1

		Трійки чисел		sin	cos	tg	ctg
		(3, 4, 5)	І год.
		(6, 8, 10)	ІІ год.			-	-
		(5, 12, 13)	ІІІ год.	-	-
		(8, 15, 17)	IV год.	-		-	-
		(9, 40, 41)	І год.

Для успішної роботиможна скористатися пам'яткою застосування піфагорових трійок.

Таблиця 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Вирішуємо разом.

1) Завдання: знайдіть cos, tg і ctg, якщо sin = 5/13, якщо кут другої чверті.

Піфагорові трійки чисел

Творча робота

учня 8 ”A”класу

МАОУ "Гімназія №1"

Жовтневого району м. Саратова

Панфілова Володимира

Керівник – учитель математики вищої категорії

Гришина Ірина Володимирівна

Зміст

Вступ……………………………………………………………………………………3

Теоретична частина роботи

Знаходження основного трикутника Піфагорова

(Формули древніх індусів)………………………………………………………………4

Практична частина роботи

Складання піфагорових трійок у різний спосіб……………………........6

Важлива властивість піфагорових трикутників……………………………………...8

Заключение………………………………………………………………………………....9

Література….……………………………………………………………………………...10

Вступ

У цьому навчальному роціпід час уроків математики ми вивчили одну з найпопулярніших теорем геометрії – теорему Піфагора. Теорема Піфагора застосовується в геометрії на кожному кроці, вона знайшла широке застосування у практиці та повсякденному житті. Але, крім самої теореми, ми вивчили і теорему, зворотну до теореми Піфагора. У зв'язку з вивченням цієї теореми, ми відбулося знайомство з піфагоровими трійками чисел, тобто. з наборами із 3-х натуральних чиселa , b іc , Для яких справедливе співвідношення: = + . До таких наборів відносять, наприклад, такі трійки:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

У мене відразу виникли питання: а скільки піфагорових трійок можна вигадати? А як їх складати?

У нашому підручнику геометрії після викладу теореми, зворотній теоремі Піфагора, було зроблено важливе зауваження: можна довести, що катетиа іb та гіпотенузаз прямокутних трикутників, довжини сторін яких виражаються натуральними числами, можна знаходити за формулами:

а = 2kmn b = k ( - ) c = k ( + , (1)

деk , m , n - будь-які натуральні числа, причомуm > n .

Звісно, ​​постає питання – як довести дані формули? І чи тільки за цими формулами можна складати піфагорові трійки?

У своїй роботі я здійснив спробу відповісти на питання, що виникли в мене.

Теоретична частина роботи

Знаходження основного Піфагорова трикутника (формули стародавніх індусів)

Спочатку доведемо формули (1):

Позначимо довжини катетів черезх іу , а довжину гіпотенузи черезz . За теоремою Піфагора маємо рівність:+ = .(2)

Це рівняння називають рівнянням Піфагора. Дослідження піфагорових трикутників зводиться до розв'язання у натуральних числах рівняння (2).

Якщо кожну сторону деякого піфагорового трикутника збільшити в те саме число разів, то отримаємо новий прямокутний трикутник, Подібний до цього зі сторонами, вираженими натуральними числами, тобто. знову піфагорів трикутник.

Серед усіх подібних трикутників є найменший, легко здогадатися, що це буде трикутник, сторони якогох іу виражаються взаємно простими числами

(НОД (х,у )=1).

Такий піфагорів трикутник назвемоосновним .

Знаходження основних піфагорових трикутників.

Нехай трикутник (x , y , z ) - Основний піфагорів трикутник. Числах іу - Взаємно прості, і тому не можуть бути обидва парними. Доведемо, що вони не можуть бути обома і непарними. Для цього зауважимо, щоквадрат непарного числа при розподілі на 8 дає у залишку 1. Насправді, будь-яке непарне натуральне число можна подати у вигляді2 k -1 , деk належитьN .

Звідси: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

Числа( k -1) іk - Послідовні, одне з них обов'язково парне. Тоді виразk ( k -1) ділиться на2 , 4 k ( k -1) ділиться на 8, отже, число при розподілі на 8 дає у залишку 1.

Сума квадратів двох непарних чисел дає при розподілі на 8 у залишку 2, отже, сума квадратів двох непарних чисел є число парне, але не кратне 4, а тому це числоможе бути квадратом натурального числа.

Отже, рівність (2) не може мати місця, якщоx іу обидва непарні.

Таким чином, якщо піфагорів трикутник (х, у, z ) - основний, то серед чиселх іу одне має бути парним, а інше – непарним. Нехай число у є парним. Числах іz непарні (непарністьz випливає з рівності (2)).

З рівняння+ = отримуємо, що= ( z + x )( z - x ) (3).

Числаz + x іz - x як сума та різниця двох непарних чисел – числа парні, а тому (4):

z + x = 2 a , z - x = 2 b , деа іb належатьN .

z + x =2 a , z - x = 2 b ,

z = a+b , x = a - b. (5)

З цих рівностей випливає, щоa іb - Взаємно прості числа.

Доведемо це, розмірковуючи від неприємного.

Нехай НОД (a , b )= d , деd >1 .

Тодіd z іx , а отже, і чиселz + x іz - x . Тоді на підставі рівності (3) було б дільником числа . У такому разіd був би спільним дільникомчиселу іх , але числау іх мають бути взаємно простими.

Числоу , як відомо, парне, томуу = 2с , дез - Натуральне число. Рівність (3) на підставі рівності (4) набуває такого вигляду: =2а*2 b , або = ab.

З арифметики відомо, щоякщо добуток двох взаємно простих чисел є квадратом натурального числа, кожна з цих чисел також є квадратом натурального числа.

Значить,а = іb = , деm іn - Взаємно прості числа, т.к. вони є дільниками взаємно простих чисела іb .

На підставі рівності (5) маємо:

z = + , x = - , = ab = * = ; з = mn

Тодіу = 2 mn .

Числаm іn , т.к. є взаємно простими, неможливо знайти одночасно парними. Але й непарними одночасно не можуть, т.к. у цьому випадкух = - було б парним, що неможливо. Отже, одне з чисел,m абоn парно, а інше непарно. Очевидно,у = 2 mn ділиться на 4. Отже, у кожному основному трикутнику піфагорів хоча б один з катетів ділиться на 4. Звідси випливає, що немає піфагорових трикутників, всі сторони якого були б простими числами.

Отримані результати можна виразити у вигляді наступної теореми:

Усі основні трикутники, в якиху є парним числом, що виходять з формули

х = - , y =2 mn , z = + ( m > n ), деm іn – всі пари взаємно простих чисел, у тому числі одне є парним, інше непарним (байдуже, яке). Кожна основна піфагорова трійка (х, у, z ), деу - парне, - визначається цим способом однозначно.

Числаm іn неможливо знайти обидва парними чи обидва непарними, т.к. у цих випадках

х = були б парними, що неможливо. Отже, одне із чиселm абоn парно, а інше непарно (y = 2 mn ділиться на 4).

Практична частина роботи

Складання піфагорових трійок різними способами

У формулах індусівm іn - Взаємно прості, але можуть бути числами довільної парності і складати піфагорові трійки за ними досить важко. Тому спробуємо знайти інший підхід до складання піфагорових трійок.

= - = ( z - y )( z + y ), дех - непарне,y - парне,z - непарне

v = z - y , u = z + y

= uv , деu - непарне,v - непарне (взаємно прості)

Т.к. добуток двох непарних взаємно простих чисел є квадратом натурального числа, тоu = , v = , деk іl - Взаємно прості, непарні числа.

z - y = z + y = k 2 , звідки, складаючи рівності та віднімаючи з одного інше, отримуємо:

2 z = + 2 y = - тобто

z = y = x = kl

k

l

x

y

z

37

9

1

9

40

41 (sнулів)*(100…0 (sнулів) +1)+1 =200…0 (s-1нулів) 200…0 (s-1нулів) 1

Важлива властивість піфагорових трикутників

Теорема

В основному піфагоровому трикутнику один з катетів обов'язково ділиться на 4 один з катетів обов'язково ділиться на 3 і площа піфагорового трикутника обов'язково кратна 6.

Доказ

Як нам відомо, у кожному піфагоровому трикутнику хоча б один із катетів ділиться на 4.

Доведемо, що з катетів ділиться і 3.

Для доказу припустимо, що в піфагоровому трикутнику (x , y , z x абоy кратно 3.

Тепер доведемо, що площа піфагорового трикутника поділяється на 6.

Кожен піфагорів трикутник має площу, що виражається натуральним числом, кратним 6. Це випливає з того, що хоча б один з катетів ділиться на 3 і хоча б один з катетів ділиться на 4. Площа трикутника, що визначається напівтвором катетів, повинна виражатися числом, кратним 6 .

Висновок

У роботі

- доведено формули стародавніх індусів

-проведено дослідження на кількість піфагорових трійок (їх нескінченно багато)

-зазначені способи знаходження піфагорових трійок

-Вивчені деякі властивості піфагорових трикутників

Для мене це була дуже цікава темаі знаходити відповіді на мої запитання стало дуже цікавим заняттям. Надалі я планую розглянути зв'язок піфагорових трійок з послідовністю Фібоначчі та теоремою Ферма та дізнатися ще багато властивостей піфагорових трикутників.

Література

Л.С. Атанасян "Геометрія. 7-9 класи" М.: Просвітництво, 2012.

В. Серпінський "Піфагорові трикутники" М.: Учпедгіз, 1959.

Саратов

2014

Вивчення властивостей натуральних чисел призвело піфагорійців до ще однієї «вічної» проблеми теоретичної арифметики (теорії чисел) - проблеми, паростки якої пробивалися задовго до Піфагора Стародавньому Єгиптіі Стародавньому Вавилоні, а загальне рішення не знайдено й досі. Почнемо із завдання, яке в сучасних термінах можна сформулювати так: розв'язати в натуральних числах невизначене рівняння

Сьогодні це завдання називається завданням Піфагораа її рішення - трійки натуральних чисел, що задовольняють рівнянню (1.2.1), - називаються піфагоровими трійками. В силу очевидного зв'язку теореми Піфагора із завданням Піфагора останнього можна дати геометричне формулювання: знайти всі прямокутні трикутники з цілими катетами x, yі цілою гіпотенузою z.

Приватні рішення завдання Піфагора були відомі в давнину. У папірусі часів фараона Аменемхета I (бл. 2000 до н. е.), що зберігається в Єгипетському музеї в Берліні, ми знаходимо прямокутний трикутник із ставленням сторін (). На думку найбільшого німецького історика математики М. Кантора (1829 – 1920), у Давньому Єгипті існувала особлива професія гарпедонаптів- «натягувачів мотузок», які під час урочистої церемонії закладання храмів та пірамід розмічали прямі кути за допомогою мотузки, що має 12 (= 3 + 4 + 5) рівновіддалених вузлів. Спосіб побудови прямого кутагарпедонаптами очевидний із малюнка 36.

Треба сказати, що з Кантором категорично не згоден інший знавець давньої математики – ван дер Варден, хоча самі пропорції давньоєгипетської архітектури свідчать на користь Кантора. Як би там не було, сьогодні прямокутний трикутник із ставленням сторін називається єгипетським.

Як зазначалося на с. 76, збереглася глиняна табличка, що відноситься до давньовавилонської доби і містить 15 рядків піфагорових трійок. Крім тривіальної трійки, одержуваної з єгипетської (3, 4, 5) множенням на 15 (45, 60, 75), тут є і дуже складні піфагорові трійки, такі, як (3367, 3456, 4825) і навіть (12700, 13) 18541)! Немає жодних сумнівів, що ці числа були знайдені не простим перебором, а за єдиними правилами.

І тим не менш питання про загальному рішеннірівняння (1.2.1) у натуральних числах було поставлено та вирішено лише піфагорійцями. Загальна постановкабудь-якого математичного завдання була далека як древнім єгиптянам, і стародавнім вавилонянам. Тільки з Піфагора починається становлення математики як дедуктивної науки, і одним із перших кроків на цьому шляху було вирішення завдання про піфагорові трійки. Перші рішення рівняння (1.2.1) антична традиція пов'язує з іменами Піфагора та Платона. Спробуймо реконструювати ці рішення.

Зрозуміло, що рівняння (1.2.1) Піфагор мислив над аналітичної формі, а вигляді квадратного числа , всередині якого треба було знайти квадратні числа і . Число природно було подати у вигляді квадрата зі стороною yна одиницю менше за сторону z вихідного квадрата, Т. е. . Тоді, як легко бачити з малюнка 37 (саме бачити!), для квадратного числа, що залишилося, повинна виконуватися рівність . Таким чином, ми приходимо до системи лінійних рівнянь

Складаючи та віднімаючи ці рівняння, знаходимо рішення рівняння (1.2.1):

Легко переконатися, що отримане рішення дає натуральні числа лише за непарних . Таким чином, остаточно маємо

І т. д. Це рішення традиція пов'язує з ім'ям Піфагора.

Зауважимо, що система (1.2.2) може бути отримана формально з рівняння (1.2.1). Справді,

звідки, вважаючи, приходимо до (1.2.2).

Зрозуміло, що рішення Піфагора знайдено за досить жорсткого обмеження () і містить далеко не всі піфагорові трійки. Наступним кроком можна покласти тоді, тому що тільки в цьому випадку буде квадратним числом. Так виникає система також буде піфагорової трійкою. Тепер може бути доведена основна

Теорема.Якщо pі qвзаємно прості числа різної парності, то всі примітивні піфагорові трійки знаходяться за формулами

Безкровний І.М. 1

1 OAO «Ангстрем-М»

Метою роботи є розробка методів та алгоритмів обчислення піфагорових трійок виду a2+b2=c2. Процес аналізу здійснювався відповідно до принципів системного підходу. Поряд із математичними моделями, використані графічні моделі, що відображають кожен член піфагорової трійки у вигляді складових квадратів, кожен з яких складається з сукупності одиничних квадратів. Встановлено, що безлічпіфагорові трійок містить нескінченну кількість підмножин, що розрізняють за ознакою різниці величин b-c. Запропоновано алгоритм формування піфагорових трійок із будь-яким наперед заданим значенням цієї різниці. Показано, що піфагорові трійки існують для будь-якого значення 3≤a

Піфагорові трійки

системний аналіз

математична модель

графічна модель

1. Аносов Д.М. Погляд на математику і щось із неї. - М.: МЦНМО, 2003. - 24 с.: Іл.

2. Айєрланд К., Роузен М. Класичне введення в сучасну теоріючисел. - М.: Світ, 1987.

3. Безкровний І.М. Системний аналіз та інформаційні технологіїв організаціях: Навчальний посібник. - М.: РУДН, 2012. - 392 с.

4. Саймон Сінгх. Велика теоремаФерма.

5. Ферма П. Дослідження з теорії чисел та діофантового аналізу. - М.: Наука, 1992.

6. Yaptro. Ucoz, Available at: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Піфагорові трійки є когорти з трьох цілих чисел, що задовольняють співвідношенню Піфагора x2 + y2 = z2. Взагалі кажучи, це окремий випадокДіофантових рівнянь, а саме системи рівнянь, в яких число невідомих більше, ніж число рівнянь . Відомі вони давно, ще з часів Вавилону, тобто задовго до Піфагора. А назви вони набули після того, як Піфагор на їх основі довів свою знамениту теорему. Однак, як випливає з аналізу численних джерел, в яких питання про піфагорових трійках тією чи іншою мірою торкається досі не розкрите повною мірою питання про існуючі класи цих трійок та можливі способи їх формування.

Так у книзі Саймона Сінгха говориться: - «Учні та послідовники Піфагора … розповіли світові секрет знаходження так званих піфагорових троє к.». Однак, слідом за цим читаємо: - «Піфагорійці мріяли знайти й інші піфагорійські трійки, інші квадрати, з яких можна було б скласти третій квадрат великих розмірів. ...У міру того, як числа зростають, піфагорові трійки зустрічаються все рідше, і знаходити їх стає все важче і важче. Піфагорійці винайшли метод відшукання таких трійок і, користуючись ним, довели, що піфагорових трійок існує дуже багато».

У наведеній цитаті виділені слова, що викликають подив. Чому «Піфагорійці мріяли знайти…», якщо вони «винайшли метод відшукання таких трійок…», і для великих чисел «знаходити їх стає дедалі складніше…».

У роботі відомого математикаД.В. Аносова шукана відповідь начебто наведена. - «Є такі трійки натуральних (тобто цілих позитивних) чисел x, y, z, що

x2 + y2 = z2. (1)

…Чи можна знайти всі рішення рівняння x2+y2=z2 у натуральних числах? …Так. Відповідь така: кожне таке рішення можна подати у вигляді

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

де l, m, n - натуральні числа, причому m>n, або в аналогічному вигляді, в якому x та y змінюються місцями. Можна трохи коротше сказати, що x, y, z (2) зі всілякими натуральними l і m > n суть всі можливі рішення (1) з точністю до перестановки x і y. Наприклад, трійка (3, 4, 5) виходить за l=1, m=2, n=1. ... Мабуть, вавилоняни знали цю відповідь, але як вони до неї прийшли – невідомо».

Зазвичай математики відомі своєю вимогливістю до суворості своїх формулювань. Проте, у цій цитаті такої суворості немає. То що саме: знайти чи уявити? Очевидно, що це зовсім різні речі. Ось нижче наводиться рядок «свіжоспечених» трійок (отримані способом, що описується нижче):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Не викликає сумнівів, що кожну з цих трійок можна подати у вигляді співвідношення (2) та обчислити після цього значення l, m, n. Але це вже після того, як всі значення трійок були знайдені. А як бути до того?

Не можна виключити те, що відповіді на ці питання давно відомі. Але їх чомусь знайти, доки не вдалося. Таким чином, метою цієї роботи є системний аналіз сукупності відомих прикладівпіфагорових трійок, пошук системоутворюючих відносин у різних групах трійок і виявлення системних ознак характерних цих груп і, потім - розробка простих ефективних алгоритмів розрахунку трійок з попередньо заданої конфігурацією. Під конфігурацією розумітимемо відносини між величинами, що входять до складу трійки.

В якості інструментарію буде використано математичний апарат на рівні, що не виходить за рамки математики, що викладається в середній школі, та системний аналіз на базі методів, викладених у .

Побудова моделі

З позицій системного аналізу будь-яка піфагорова трійка є системою, утвореною об'єктами, якими є три числа та їх властивості. Їх сукупність, в якій об'єкти поставлені в певні відносини і утворюють систему, що володіє новими властивостями, які не притаманні ні окремим об'єктам, ні будь-якій їхній сукупності, де об'єкти поставлені в інші відносини.

У рівнянні (1), об'єктами системи є натуральні числа, пов'язані простими алгебраїчними співвідношеннями: ліворуч від знака рівність коштує сума двох чисел, зведених до ступеня 2, праворуч - третє число, також зведене до ступеня 2. Окремо взяті числа, ліворуч від рівності, будучи зведені в ступінь 2, не накладають жодних обмежень на операцію їх підсумовування - результуюча сума може бути будь-якою. Але, знак рівності, поставлений після операції підсумовування, накладає значення цієї суми системне обмеження: сума має бути таким числом, щоб результатом операції вилучення кореня квадратного стало натуральне число. І це умова виконується задля будь-яких чисел, підставлюваних у ліву частину рівності. Таким чином, знак рівності, поставлений між двома членами рівняння та третім, перетворює трійку членів на систему. Новою властивістю цієї системи є запровадження обмежень на значення вихідних чисел.

Виходячи з форми запису, піфагорова трійка може розглядатися як математична модель геометричної системи, що складається з трьох квадратів, пов'язаних між собою відносинами підсумовування та рівності, як це показано на рис. 1. Мал. 1 є графічною моделлю аналізованої системи, а вербальної її моделлю є твердження:

Площа квадрата з довжиною сторони c може бути розділена без залишку на два квадрати з довжинами сторін a і b, таких, що сума їх площ дорівнює площі вихідного квадрата, тобто всі три величини a, b, і c, пов'язані співвідношенням

Графічна модель розкладання квадрата

У межах канонів системного аналізу відомо, що й математична модель адекватно відображає властивості якоїсь геометричної системи, то аналіз властивостей самої цієї системи дозволяє уточнити властивості її математичної моделі, глибше їх пізнати, уточнити, і, за необхідності, удосконалити. Цього шляху ми й дотримуватимемося.

Уточнимо, що згідно з принципами системного аналізу операції складання та віднімання можуть проводитися лише над складовими об'єктами, тобто об'єктами, складеними із сукупності елементарних об'єктів. Тому сприйматимемо будь-який квадрат, як фігуру, складену із сукупності елементарних, або одиничних квадратів. Тоді умова отримання рішення в натуральних числах еквівалентно ухваленню умови, що одиничний квадрат неподільний.

Одиничним квадратом називатимемо квадрат, у якого довжина кожної зі сторін дорівнює одиниці. Тобто, при площу одиничного квадрата визначає такий вираз.

Кількісним параметром квадрата є площа, яка визначається кількістю одиничних квадратів, які можна розмістити на даній площі. Для квадрата з довільним значенням x, вираз x2 визначає величину площі квадрата, утвореного відрізками довжиною x одиничних відрізків. На площі цього квадрата можна розміщувати x2 одиничних квадратів.

Наведені визначення можуть бути сприйняті як очевидні і очевидні, але це не так. Д.М. Аносов визначає поняття площа інакше: - « … площа фігури дорівнює сумі площ її частин. Чому ми впевнені, що це так? …Ми ​​уявляємо собі фігуру зробленого з якогось однорідного матеріалу, тоді її площа пропорційна кількості речовини, що міститься в ній, - її масі. Далі мається на увазі, що коли ми поділяємо тіло на кілька частин, сума їх мас дорівнює масі вихідного тіла. Це зрозуміло, тому що все складається з атомів і молекул, і якщо їх число не змінилося, то не змінилася і їхня сумарна маса... Адже, власне, маса шматка однорідного матеріалу пропорційна його обсягу; отже, треба зазначити, що обсяг «аркуша», має форму цієї постаті, пропорційний її площі. Словом, що площа фігури дорівнює сумі площ її частин, в геометрії треба це доводити. … У підручнику Кисельова існування площі, що має ту саму властивість, яку ми зараз обговорюємо, чесно постулювалося як якесь припущення, причому говорилося, що це насправді вірно, але ми цього доводити не будемо. Так що і теорема Піфагора, якщо її доводити з площами, чисто логічному відношеннізалишиться не зовсім доведеною».

Нам здається, що введені вище визначення одиничного квадрата знімають зазначену Д.М. Аносова невизначеність. Адже якщо величина площі квадрата і прямокутника визначається сумою одиничних квадратів, що їх заповнюють, то при розбиванні прямокутника на довільні, прилеглі один до одного частини площа прямокутника природно дорівнює сумі всіх його частин.

Більше того, введені визначення знімають невизначеність використання понять «розділити» і «скласти» стосовно абстрактних геометричних фігур. Справді, що означає розділити прямокутник чи будь-яку іншу плоску фігуру на частини? Якщо це аркуш паперу, його можна розрізати ножицями. Якщо земельна ділянка – поставити паркан. Кімнату – поставити перегородку. А якщо це намальований квадрат? Провести розділову лінію та заявити, що квадрат розділений? Але ж говорив Д.І. Менделєєв: «…Заявити можна все, а ти – мабуть, демонструй!»

А при використанні запропонованих визначень «Розділити фігуру» означає розділити кількість одиничних квадратів, що заповнюють цю фігуру, на дві (або більше) частин. Кількість одиничних квадратів у кожній з таких частин визначає її площу. Конфігурацію цим частинам можна надавати довільну, але при цьому сума їх площ завжди дорівнюватиме площі вихідної фігури. Можливо, фахівці-математики визнають ці міркування некоректними, тоді приймемо їх за припущення. Якщо в підручнику Кисельова прийнятні такі припущення, те й нам подібним прийомом гріх не скористатися.

Першим етапом системного аналізу є виявлення проблемної ситуації. На початку цього етапу було переглянуто кілька сотень піфагорових трійок, знайдених у різних джерелах. При цьому увагу привернула та обставина, що всю сукупність піфагорових трійок, згадуваних у публікаціях, можна поділити на кілька груп, що відрізняються за конфігурацією. Ознакою специфічної конфігурації вважатимемо різницю довжин сторін вихідного і віднімається квадратів, тобто, величину c-b. Наприклад, у публікаціях досить часто як приклад демонструються трійки, що задовольняють умові c-b=1. Приймемо, що вся сукупність таких піфагорових трійок утворює безліч, яку називатимемо «Клас c-1», і проведемо аналіз властивостей цього класу.

Розглянемо три квадрати, представлені малюнку, де c - довжина боку зменшуваного квадрата, b - довжина боку віднімається квадрата і a - довжина боку квадрата, утвореного з їхньої різниці. На рис. 1 видно, що при відніманні площі зменшуваного квадрата площі віднімається квадрата в залишку залишаються дві смуги одиничних квадратів:

Для того, щоб з цього залишку можна було утворити квадрат, необхідно виконання умови

Ці співвідношення дозволяють визначити значення всіх членів трійки за єдиним заданим числом c. Найменшим числом c, що задовольняє співвідношення (6), є число c = 5. Отже, були визначені довжини всіх трьох сторін квадратів, які відповідають співвідношенню (1). Нагадаємо, що значення b сторони середнього квадрата

було обрано, коли вирішили утворити середній квадрат шляхом зменшення боку вихідного квадрата на одиницю. Тоді із співвідношень (5), (6). (7) отримуємо наступне співвідношення:

з якого випливає, що обране значення c = 5 однозначно визначає значення b = 4, a = 3.

У результаті, отримані співвідношення, що дозволяють представити будь-яку трійку піфагорову класу «c - 1» в такому вигляді, де значення всіх трьох членів визначаються по одному задається параметру - значенню c:

Додамо, що число 5 у наведеному вище прикладі з'явилося як мінімальне з усіх можливих значень c, за яких рівняння (6) має рішення в натуральних числах. Наступне число, що має таку ж властивість, це 13, потім 25, далі 41, 61, 85 і т. д. Як видно, в цьому ряду чисел інтервали між сусідніми числами інтенсивно зростають. Так, наприклад, після допустимого значення , наступне допустиме значення , а після , наступне допустиме значення , тобто допустиме значення віддалено від попереднього більш ніж на п'ятдесят мільйонів!

Тепер зрозуміло, звідки з'явилася ця фраза у книзі: - «У міру того, як числа зростають, піфагорові трійки зустрічаються все рідше, і знаходити їх стає важче і важче…». Однак це твердження не є вірним. Варто лише поглянути на піфагорові трійки, що відповідають наведеним вище парам сусідніх значень c, як одразу впадає в око одна особливість - в обох парах, у яких значення c рознесені на такі великі інтервали, значення a виявляються сусідніми непарними числами. Дійсно, для першої пари маємо

і для другої пари

Отже, «все рідше зустрічаються» не самі трійки, а інтервали між сусідніми значеннями збільшуються. Самі ж піфагорові трійки, як це буде показано нижче, є для будь-якого натурального числа.

Тепер розглянемо, трійки наступного класу – «Клас c-2». Як видно із рис. 1, при відніманні із квадрата зі стороною c квадрата зі стороною (c - 2), утворюється залишок у вигляді суми двох одиничних смуг. Розмір цієї суми визначається рівнянням:

З рівняння (10) отримуємо співвідношення, що визначає будь-яку з нескінченної множини трійок клас «c-2»:

Умовою існування рішення рівняння (11) в натуральних числах є будь-яке значення c , при якому a є натуральним числом. Мінімальне значення c, за якого рішення існує, становить c = 5. Тоді «стартова» трійка для цього класу трійок визначається набором a = 4, b = 3, c = 5. Тобто, знову, утворюється класична трійка 3, 4, 5 , тільки тепер площа віднімається квадрата менше площі залишку.

І, нарешті, проведемо аналіз трійок класу «с-8». Для цього класу трійок при відніманні площі квадрата із площі с2 вихідного квадрата отримуємо:

Тоді, з рівняння (12) випливає:

Мінімальне значення c, при якому рішення існує: це c = 13. Піфагорова трійка при цьому значенні набуде вигляду 12, 5, 13. У цьому випадку знову площа квадрата, що віднімається, менше площі залишку. А переставивши позначення місцями, отримаємо трійку 5, 12, 13, яка за конфігурацією відноситься до класу «c - 1». Схоже, що подальший аналіз інших можливих змін нічого нового не відкриє.

Висновок розрахункових співвідношень

У попередньому розділі логіка аналізу розвивалася відповідно до вимог системного аналізу за чотирма з п'яти основних його етапів: аналіз проблемної ситуації, формування цілей, формування функцій та формування структури. Тепер настав час переходити до заключного, п'ятого етапу - перевірка реалізованості, тобто, перевірка того, якою мірою поставленої мети досягнуто. .

Нижче показано табл. 1, в якій наведено значення піфагорових трійок, що належать до класу "c - 1". Більшість трійок зустрічаються у різних публікаціях, але трійки для значень a, рівних 999, 1001 у відомих публікаціях не зустрічалися.

Таблиця 1

Піфагорові трійки класу «С-1»

Можна перевірити, що це трійки задовольняють співвідношенню (3). Таким чином, однієї з поставлених цілей досягнуто. Отримані в попередньому розділі співвідношення (9), (11), (13) дозволяють формувати безліч трійок, задаючи єдиний параметр c - сторону квадрата, що зменшується. Це, звичайно, більш конструктивний варіант, ніж співвідношення (2), для використання якого слід задати довільно три числа l, m, n, які мають будь-яке значення, потім шукати рішення, знаючи тільки, що в результаті неодмінно буде отримана трійка піфагорова, а яка - наперед невідомо. У нашому випадку заздалегідь відома конфігурація трійки, що формується, і потрібно задавати тільки один параметр. Зате, на жаль, для кожного значення цього параметра рішення існує. І треба наперед знати його допустимі значення. Так що отриманий результат хороший, проте, далекий від ідеалу. Бажано отримати таке рішення, щоб піфагорові трійки можна було обчислювати для будь-якого довільно заданого натурального числа. З цією метою повернемося до четвертого етапу – формування структури отриманих математичних співвідношень.

Оскільки вибір величини c як базовий параметр визначення інших членів трійки виявився незручним, слід випробувати інший варіант. Як очевидно з табл. 1, вибір параметра a як базовий є кращим, оскільки значення цього параметра йдуть поспіль у ряді непарних натуральних чисел. Після нескладних перетворень наводимо співвідношення (9) до більш конструктивного вигляду:

Співвідношення (14) дозволяють знайти піфагорову трійку для будь-якого наперед заданого непарного значення a. При цьому простота виразу для b дозволяє проводити обчислення навіть без калькулятора. Дійсно, обравши, наприклад, число 13, отримуємо:

А для числа 99 відповідно отримуємо:

Співвідношення (15) дозволяють отримувати значення всіх трьох членів трофа піфагорової для будь-якого заданого n, починаючи з n=1.

Тепер розглянемо піфагорові трійки класу "c - 2". У табл. 2 наведено для прикладу десять таких трійок. Причому, у відомих публікаціях було знайдено лише три пари трійок – 8, 15, 23; 12, 35, 36; і 16, 63, 65. Цього виявилося достатньо, щоб визначити закономірності, якими вони формуються. Інші сім було знайдено з виведених раніше співвідношень (11). Для зручності обчислення ці співвідношення були перетворені те щоб всі параметри виражалися через величину a. З (11) очевидність випливає, що всі трійки для класу «c - 2» задовольняють наступним співвідношенням:

Таблиця 2

Піфагорові трійки класу «С-2»

Як очевидно з табл. 2, все безліч трійок класу «c - 2» можна розділити на два підкласи. Для трійок, які мають значення a ділиться на 4 без залишку, значення b і c - непарні. Такі трійки, які мають НОД = 1, називають примітивними . Для трійок, у яких значення a не ділиться на 4 у цілих числах, всі три члени трійки a, b, c – парні.

Тепер перейдемо до розгляду результатів аналізу третього із виділених класів – класу «c – 8». Розрахункові співвідношення для цього класу, отримані з (13), мають вигляд:

Співвідношення (20), (21), по суті, ідентичні. Відмінність лише у виборі послідовності дій. Або, відповідно (20) вибирається бажане значення a (в даному випадку потрібно, щоб це значення ділилося на 4), потім, визначаються величини b і c. Або вибирається довільне число, і потім, із співвідношень (21) визначаються всі три члени піфагорової трійки. У табл. 3 наведено ряд піфагорових трійок, обчислених вказаним способом. Однак обчислювати значення піфагорових трійок можна ще простіше. Якщо відомо хоч одне значення , всі наступні значення визначаються дуже просто по наступним співвідношенням:

Таблиця 3

Справедливість співвідношення (22) всім може бути перевірена як у трійках з табл. 2, і за іншими джерелами. Як приклад, у табл. 4 курсивом виділені трійки з великої таблиці піфагорових трійок (10000 трійок), обчислених на основі комп'ютерної програми за співвідношенням (2) та жирним шрифтом - трійки, обчислені за співвідношенням (20). Ці значення у вказаній таблиці були відсутні.

Таблиця 4

Піфагорові трійки класу «С-8»

Відповідно, для трійок виду можуть використовуватися співвідношення:

І для трійок виду<>, маємо співвідношення:

Слід наголосити, що розглянуті вище класи трійок «c - 1», «с - 2», «с - 8» становлять понад 90 % серед першої тисячі трійок, з таблиці наведеної в . Це дає підстави сприймати зазначені класи як базові. Додамо, що з виведенні співвідношень (22), (23), (24) не використовувалися якісь спеціальні властивості чисел, досліджувані теоретично чисел (прості, взаємно прості та інших.). Виявлені закономірності формування піфагорових трійок обумовлені лише системними властивостями геометричних фігур, що описуються цими трійками - квадратів, що складаються з сукупності одиничних квадратів.

Висновок

Тепер, як сказав Ендрю Уайлс у 1993 році: «Думаю, мені слід зупинитися на цьому» . Поставленої мети повністю досягнуто. Показано, що аналіз властивостей математичних моделейструктура яких пов'язана з геометричними фігурами, істотно спрощується, якщо в процесі аналізу поряд з суто математичними викладками враховуються і геометричні властивостідосліджуваних моделей. Спрощення досягається, зокрема за рахунок того, що дослідник «бачить» результати, не проводячи математичних перетворень.

Наприклад, рівність

стає очевидним без перетворень у лівій частині, варто лише поглянути на рис. 1, де наведено графічну модель цієї рівності.

У результаті, на основі проведеного аналізу показано, що для будь-якого квадрата зі стороною можуть бути знайдені квадрати зі сторонами b і c, такі, що для них виконується рівність та отримані співвідношення, що забезпечують одержання результатів при мінімальному обсязі обчислень:

для непарних значень a,

та - для парних значень.

Бібліографічне посилання

Безкровний І.М. СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ ВЛАСТИВОСТЕЙ ПІФАГОРОВИХ ТРІЙОК // Сучасні наукомісткі технології. - 2013. - № 11. - С. 135-142;
URL: http://сайт/ua/article/view?id=33537 (дата звернення: 20.03.2020). Пропонуємо до вашої уваги журнали, що видаються у видавництві «Академія Природознавства»