Lineárna funkcia sa nazýva funkcia formy y = kx + b uvedené na súbore všetkých reálne čísla... Tu k- sklon (skutočné číslo), b – voľný termín (skutočný), X Je nezávislá premenná.

V konkrétnom prípade, ak k = 0, dostaneme konštantná funkcia y = b, ktorého graf je priamka rovnobežná s osou Ox prechádzajúca bodom so súradnicami (0; b).

Ak b = 0, potom dostaneme funkciu y = kx, ktorý je priama úmernosť.

b – dĺžka segmentu, ktorý je orezaný čiarou pozdĺž osi Oy, počítajúc od začiatku.

Geometrický význam koeficientu k – uhol sklonu priamka do kladného smeru osi Ox, sa počíta proti smeru hodinových ručičiek.

Vlastnosti lineárnej funkcie:

1) Doménou lineárnej funkcie je celá skutočná os;

2) Ak k ≠ 0, potom je rozsah hodnôt lineárnej funkcie celá skutočná os. Ak k = 0, potom rozsah hodnôt lineárnej funkcie pozostáva z čísla b;

3) Rovnomernosť a nepárnosť lineárnej funkcie závisí od hodnôt koeficientov k a b.

a) b ≠ 0, k = 0, preto, y = b - párne;

b) b = 0, k ≠ 0, preto y = kx - nepárne;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, preto y = kx + b - funkcia všeobecný pohľad;

d) b = 0, k = 0, preto y = 0 - párna aj nepárna funkcia.

4) Lineárna funkcia nemá vlastnosť periodicity;

5) Priesečníky so súradnicovými osami:

Vôl: y = kx + b = 0, x = -b / k, teda (-b / k; 0)- priesečník s osou úsečky.

Oy: y = 0k + b = b, teda (0; b)- priesečník s osou súradnice.

Poznámka: Ak b = 0 a k = 0, potom funkcia y = 0 zmizne pre akúkoľvek hodnotu premennej NS... Ak b ≠ 0 a k = 0, potom funkcia y = b nezaniká pre žiadnu hodnotu premennej NS.

6) Intervaly konštantného znamienka závisia od koeficientu k.

a) k> 0; kx + b> 0, kx> -b, x> -b / k.

y = kx + b- je pozitívny v X od (-b / k; + ∞),

y = kx + b- je záporný pri X od (-∞; -b / k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- je pozitívny v X od (-∞; -b / k),

y = kx + b- je záporný pri X od (-b / k; + ∞).

c) k = 0, b> 0; y = kx + b je pozitívny v celej doméne,

k = 0, b< 0; y = kx + b je záporné v celej doméne.

7) Intervaly monotónnosti lineárnej funkcie závisia od koeficientu k.

k> 0, teda y = kx + b sa zvyšuje v celej oblasti definície,

k< 0 , teda y = kx + b klesá v celej definičnej oblasti.

8) Graf lineárnej funkcie je priamka. Na vybudovanie rovnej čiary stačí poznať dva body. Poloha priamky na súradnicovej rovine závisí od hodnôt koeficientov k a b... Nasleduje tabuľka, ktorá to názorne ilustruje.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše zásady ochrany osobných údajov a v prípade akýchkoľvek otázok nám dajte vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré je možné použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo na jej kontaktovanie.

Kedykoľvek nás kontaktujete, môžeme byť požiadaní o poskytnutie vašich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a spôsobov, akými ich môžeme použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď na stránke zanecháte požiadavku, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e -mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Zhromaždené nami osobné informácie nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a ďalších udalostiach a nadchádzajúcich udalostiach.
• Čas od času môžeme použiť vaše osobné údaje na odosielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je napríklad vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, s cieľom zlepšiť služby, ktoré poskytujeme, a poskytnúť vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného propagačného podujatia, informácie, ktoré poskytnete, môžeme použiť na správu týchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás obdržíme, neposkytujeme tretím stranám.

Výnimky:

• Ak je to nevyhnutné - v súlade so zákonom, súdnym príkazom, v súdnom konaní a / alebo na základe verejného prieskumu alebo žiadosti vládnych orgánov na území Ruskej federácie - zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo z iných spoločensky dôležitých dôvodov.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, postúpiť príslušnej tretej strane - právnemu nástupcovi.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia - vrátane administratívnych, technických a fyzických - na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, prinášame našim zamestnancom pravidlá dôvernosti a zabezpečenia a prísne monitorujeme implementáciu opatrení dôvernosti.

Nazýva sa lineárna funkcia funkcia daná vzorcom y = kx + b , kde k a b- akékoľvek skutočné čísla.
Graf lineárnej funkcie je priamka.

Ak k= 0, potom funkcia y = b nazývaný konštantný. Jeho graf je priamka rovnobežná s osou Vôl.
Ak b= 0, potom vzorec y = kx pýta sa priamo proporcionálny vzťah... Graf takejto funkcie je priamka prechádzajúca počiatkom.

Platí to aj naopak - každá rovná čiara, ktorá nie je rovnobežná s osou Oy, je graf nejakej lineárnej funkcie.

Číslo k zavolal sklon priamky , sa rovná dotyčnici uhla medzi priamkou a kladným smerom osi Vôl.
Obrázok ukazuje uhol α.

Zostavte graf lineárna funkcia je veľmi jednoduchá.
Poloha akejkoľvek priamky je jedinečne určená zadaním dvoch jej bodov. Lineárna funkcia je preto úplne určená zadaním jej hodnôt pre dve hodnoty argumentu. Napríklad,

Ak ste môj študent alebo môžete pracovať s interaktívnymi verziami týchto grafov.

Vlastnosti lineárnej funkcie o k ≠ 0, b ≠ 0.
1) Doménou funkcie je množina všetkých reálnych čísel: R. alebo (−∞; ∞).
2) Funkcia y = kx + b ani párne, ani nepárne.
3) Kedy k> 0 funkcia sa zvyšuje monotónne a pre k

Cvičenie:
Na obrázku sú 4 rovné čiary. Môžu to byť funkčné grafy? Ak áno, identifikujte ktoré.

Zobraziť odpoveď.

Rovné čiary naklonené k osi osi x pod akútnym alebo Tupý uhol- grafy lineárnej funkcie všeobecnej formy: y = kx + b. Parameter bľahké určiť v priesečníku čiary s osou y ( Oy). Parameter k je definovaný zostrojením buniek trojuholníka obsahujúceho uhol α pre ostré uhly alebo susediaci s ním pre tupé uhly. Presné odpovede sú na obrázku.
Priamka rovnobežná s osou úsečky (tu - vodorovná čiara) je graf konkrétnej formy lineárnej funkcie. y = b, ktorý sa nazýva konštantný alebo konštantný. Hodnota tejto funkcie sa nemení, takže súradnice bodu grafu sú vždy v rovnakej výške vzhľadom na os Vôl.

Nasledujúca rovná čiara NIE JE grafom žiadnej funkcie. Tu neexistuje jednoznačnosť. Ak X= 6, potom r=? Akékoľvek skutočné číslo! To znamená, že definícia funkcie nie je pre ňu splnená, a to podmienka, že každá hodnota argumentu X jedna hodnota funkcie sa musí zhodovať r... Ale stretávame sa aj s takými čiarami, ako napr vertikálne asymptoty... Preto musíte vedieť, že ich rovnica x = a, kde a- dané číslo.

Lineárna funkcia je funkciou tvaru y = kx + b, kde x je nezávislá premenná, k a b sú ľubovoľné čísla.
Graf lineárnej funkcie je priamka.

1. Postaviť funkčný graf, potrebujeme súradnice dvoch bodov patriacich do grafu funkcie. Aby ste ich našli, musíte vziať dve hodnoty x, nahradiť ich v rovnici funkcie a vypočítať z nich zodpovedajúce hodnoty y.

Napríklad na vykreslenie funkcie y = x + 2 je vhodné vziať x = 0 a x = 3, potom súradnice týchto bodov budú rovné y = 2 a y = 3. Získame body A (0; 2) a B (3; 3). Spojíme ich a získame graf funkcie y = x + 2:

2. Vo vzorci y = kx + b sa číslo k nazýva koeficient proporcionality:
ak k> 0, potom sa funkcia y = kx + b zvyšuje
ak k
Koeficient b ukazuje posun funkčného grafu pozdĺž osi OY:
ak b> 0, potom graf funkcie y = kx + b sa získa z grafu funkcie y = kx posunutím jednotiek b nahor pozdĺž osi OY
ak b
Nasledujúci obrázok zobrazuje grafy funkcií y = 2x + 3; y = ½ x + 3; y = x + 3

Všimnite si, že vo všetkých týchto funkciách je koeficient k Nad nulou, a funkcie sú zvyšujúce sa. Navyše, čím väčšia je hodnota k, tým väčší je uhol sklonu priamky k kladnému smeru osi OX.

Vo všetkých funkciách b = 3 - a vidíme, že všetky grafy pretínajú os OY v bode (0; 3)

Teraz vezmite do úvahy grafy funkcií y = -2x + 3; y = - ½ x + 3; y = -x + 3

Tentoraz je vo všetkých funkciách koeficient k menej ako nula, a funkcie znížiť. Koeficient b = 3 a grafy, ako v predchádzajúcom prípade, pretínajú os OY v bode (0; 3)

Uvažujme grafy funkcií y = 2x + 3; y = 2x; y = 2x-3

Teraz vo všetkých rovniciach funkcií sú koeficienty k rovné 2. A dostali sme tri rovnobežné priamky.

Koeficienty b sú však odlišné a tieto grafy pretínajú os OY v rôznych bodoch:
Graf funkcie y = 2x + 3 (b = 3) pretína os OY v bode (0; 3)
Graf funkcie y = 2x (b = 0) pretína os OY v bode (0; 0) - počiatku.
Graf funkcie y = 2x -3 (b = -3) pretína os OY v bode (0; -3)

Ak teda poznáme znamienka koeficientov k a b, potom si môžeme okamžite predstaviť, ako vyzerá graf funkcie y = kx + b.
Ak k 0

Ak k> 0 a b> 0, potom graf funkcie y = kx + b má tvar:

Ak k> 0 a b, potom graf funkcie y = kx + b má tvar:

Ak k, potom graf funkcie y = kx + b má tvar:

Ak k = 0, potom sa funkcia y = kx + b zmení na funkciu y = b a jej graf vyzerá takto:

Súradnice všetkých bodov grafu funkcie y = b sa rovnajú b If b = 0, potom graf funkcie y = kx (priama úmernosť) prechádza počiatkom:

3. Samostatne si všimneme graf rovnice x = a. Graf tejto rovnice je priamka rovnobežná s osou OY, ktorej všetky body majú os x x a.

Napríklad graf rovnice x = 3 vyzerá takto:
Pozor! Rovnica x = a nie je funkciou, takže zodpovedá jedna hodnota argumentu rôzne významy funkcia, ktorá nezodpovedá definícii funkcie.

4. Podmienka rovnobežnosti dvoch čiar:

Graf funkcie y = k 1 x + b 1 je rovnobežný s grafom funkcie y = k 2 x + b 2, ak k 1 = k 2

5. Podmienka kolmosti dvoch priamych čiar:

Graf funkcie y = k 1 x + b 1 je kolmý na graf funkcie y = k 2 x + b 2, ak k 1 * k 2 = -1 alebo k 1 = -1 / k 2

6. Body priesečníka grafu funkcie y = kx + b so súradnicovými osami.

S osou OY. Osa x akéhokoľvek bodu patriaceho k osi OY je nula. Preto, aby ste našli priesečník s osou OY, musíte namiesto x v rovnici funkcie nahradiť nulu. Dostaneme y = b. To znamená, že priesečník s osou OY má súradnice (0; b).

S osou OX: Súradnica akéhokoľvek bodu patriaceho k osi OX je nula. Preto, aby ste našli priesečník s osou OX, musíte namiesto y nahradiť rovnicou funkcie nulu. Dostaneme 0 = kx + b. Preto x = -b / k. To znamená, že priesečník s osou OX má súradnice (-b / k; 0):