Ideálna tekutina- v hydrodynamike - imaginárna nestlačiteľná tekutina, v ktorej nie je žiadna viskozita a tepelná vodivosť. Pretože v ňom nie je žiadne vnútorné trenie, nevznikajú medzi dvoma susednými vrstvami tekutiny šmykové napätia.

Ideálny model kvapaliny sa používa pri teoretickom zvažovaní problémov, pri ktorých viskozita nie je určujúcim faktorom a možno ju zanedbávať. Konkrétne je takáto idealizácia prípustná v mnohých prípadoch prietokov uvažovaných hydroaeromechanikou a poskytuje dobrý popis skutočných tokov kvapalín a plynov v dostatočnej vzdialenosti od premytých pevných povrchov a je v styku so stacionárnym médiom. Matematický popis prietokov ideálnych kvapalín vám umožňuje nájsť teoretické riešenie mnohých problémov týkajúcich sa pohybu kvapalín a plynov v kanáloch. rôznych tvarov, s odtokom prúdov a s prúdom okolo tiel.

Poiseuilleov zákon je vzorec pre objemový prietok kvapaliny. Experimentálne to objavil francúzsky fyziológ Poiseuille, ktorý skúmal prietok krvi v cievach. Poiseuilleov zákon sa často nazýva hlavným zákonom hydrodynamiky.

Poiseuilleov zákon spája objemový prietok kvapaliny s tlakovým rozdielom na začiatku a na konci trubice ako hnacia sila prietok, viskozita kvapaliny, polomer a dĺžka trubice. Poiseuilleov zákon sa používa, ak je tok tekutiny laminárny. Vzorec zákona Poiseuille:

Kde Q- objemová rýchlosť kvapaliny (m 3 / s), (P 1- P 2)- rozdiel v tlaku na koncoch trubice ( Pa), r- vnútorný polomer trubice ( m),l- dĺžka trubice ( m), η je viskozita kvapaliny ( Pa s).

Poiseuilleov zákon ukazuje, že množstvo Qúmerné tlakovému rozdielu P 1 - P 2 na začiatku a na konci tuby. Ak P 1 rovná sa P 2, prietok kvapaliny sa zastaví. Vzorec pre Poiseuilleov zákon tiež ukazuje, že vysoká viskozita kvapaliny vedie k zníženiu objemového prietoku kvapaliny. Ukazuje tiež, že rýchlosť objemovej tekutiny je extrémne závislá od polomeru trubice. To znamená, že mierne zmeny v polomere krvných ciev môžu spôsobiť veľké rozdiely v objemovej rýchlosti tekutiny pretekajúcej cievou.

Vzorec pre Poiseuilleov zákon je zjednodušený a stáva sa univerzálnejším zavedením pomocnej veličiny - hydrodynamický odpor R, ktoré pre valcovú trubicu možno určiť podľa vzorca:

Poiseuille flow- laminárne prúdenie kvapaliny tenkými valcovými trubicami. Popísané Poiseuilleovým zákonom.

Napokon strata tlaku počas laminárneho pohybu tekutiny v potrubí:

Miernou transformáciou vzorca na stanovenie tlakovej straty dostaneme Poiseuilleov vzorec:

Zákon ustáleného toku vo viskóznej nestlačiteľnej tekutine v tenkej valcovitej rúrke kruhového prierezu. Prvýkrát formulovaný Gottfilchom Hagenom v roku 1839 a čoskoro znovu odvodený J.L. Poiseuille v roku 1840. Podľa zákona je objemový prietok za sekundu úmerný poklesu tlaku na jednotku dĺžky trubice ... Poiseuilleov zákon je použiteľné iba pre laminárne prúdenie a za predpokladu, že dĺžka trubice presahuje takzvanú dĺžku počiatočného úseku potrebného pre vývoj laminárneho prúdenia v trubici.

Poiseuilleove prietokové vlastnosti:

Tok Poiseuille je charakterizovaný distribúciou parabolických rýchlostí pozdĺž polomeru trubice.

V každom priereze rúry je priemerná rýchlosť polovičná oproti maximálnej rýchlosti v tomto úseku.

Z Poiseuilleovho vzorca je zrejmé, že tlakové straty počas laminárneho pohybu sú úmerné prvému stupňu rýchlosti alebo rýchlosti prúdenia kvapaliny.

Poiseuilleov vzorec sa používa na výpočet ukazovateľov prepravy tekutín a plynov v potrubiach na rôzne účely. Laminárny spôsob prevádzky ropovodov a plynovodov je z hľadiska energie najvýhodnejší. Takže najmä koeficient trenia v laminárnom režime je prakticky nezávislý od drsnosti vnútorného povrchu rúrky (hladké rúrky).

Hydraulický odpor

v potrubiach ( a. hydraulický odpor; n. hydraulischer Widerstand; f. odporová hydraulika; a. perdida de presion por rozamiento) - odolnosť voči pohybu tekutín (a plynov) poskytovaných potrubím. G. s. na úseku potrubia sa odhaduje podľa hodnoty „strateného“ tlaku ∆p, čo je tá časť mernej energie prietoku, ktorá sa nenávratne vynakladá na prácu odporových síl. Pri rovnomernom prietoku kvapaliny (plynu) v kruhovom potrubí je ∆p (n / m 2) určená vzorcom

kde λ - koef. hydraulika odpor potrubia; u - porov. rýchlosť prietoku prierezu, m / s; D - int. priemer potrubia, m; L je dĺžka potrubia, m; ρ je hustota kvapaliny, kg / m 3.
Miestny G. s. sa odhadujú podľa vzorca

kde ξ - koef. miestny odpor.
Počas prevádzky hlavných potrubí mesta s. sa zvyšuje v dôsledku usadzovania parafínu (ropovody), akumulácie vody, kondenzátu alebo tvorby hydrátov uhľovodíkových plynov (plynovody). Na zníženie G. s. vyrábať periodicky. čistenie interné dutiny potrubí špeciálne. škrabky alebo rozpery

V roku 1851 získal George Stokes výraz pre treciu silu (tiež nazývanú sila čelného odporu) pôsobiacu na sférické objekty s veľmi malými Reynoldsovými číslami (napríklad veľmi malé častice) v spojitej viskóznej tekutine riešením Navier-Stokesovej rovnice:

· g- zrýchlenie voľný pád(m / s²),

· ρ str- hustota častíc (kg / m³),

· ρ f- hustota kvapaliny (kg / m³),

· - dynamická viskozita kvapaliny (Pa s).

Poiseuille flow- laminárne prúdenie kvapaliny kanálikmi vo forme priameho kruhového valca alebo vrstvy medzi rovnobežnými rovinami. Poiseuilleov prietok je jedným z najjednoduchších presných riešení rovníc Navier - Stokes. Popísané Poiseuilleov zákon(Hagen - Poiseuille).

Formulácia problému

Uvažuje sa o rovnomernom prietoku nestlačiteľnej kvapaliny s konštantnou viskozitou v tenkej valcovej trubici kruhového prierezu pôsobením konštantného tlakového rozdielu. Ak predpokladáme, že tok bude laminárny a jednorozmerný (iba s rýchlostnou zložkou nasmerovanou pozdĺž kanála), potom sa rovnica vyrieši analyticky a získa sa parabolický profil pre rýchlosť (často nazývaný Profil Poiseuille) - rozloženie rýchlosti v závislosti od vzdialenosti k osi kanálu:

texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v matematike / README.): V \ left (r \ right) = \ frac (p_1-p_2) (4 \ eta L) (R ^ 2-r ^ 2),

• Nepodarilo sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s konfiguráciou nájdete v matematike / README.): V- rýchlosť tekutiny pozdĺž potrubia;
• Nepodarilo sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s konfiguráciou nájdete v matematike / README.): R- vzdialenosť od osi potrubia;
• Nepodarilo sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v matematike / README.): R- polomer potrubia;
• Nepodarilo sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozrite si matematiku / README - pomoc s konfiguráciou.): P_1-p_2- tlakový rozdiel na vstupe a výstupe z potrubia;
• Nepodarilo sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri matematiku / README - referenčné informácie o nastavení.): \ Eta- viskozita kvapaliny;
• Nepodarilo sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri matematiku / README - pomoc s nastavením.): L- dĺžka potrubia.

Rovnaký profil v zodpovedajúcich označeniach má rýchlosť pri prúdení medzi dvoma nekonečnými rovnobežnými rovinami. Tento tok sa tiež nazýva Poiseuilleov tok.

Zákon Poiseuille (Hagen - Poiseuille)

Rovnica alebo Poiseuilleov zákon(Zákon Hagen - Poiseuille alebo zákon Hagen - Poiseuille) je zákon, ktorý určuje rýchlosť prúdenia kvapaliny pri rovnomernom prúdení viskóznej nestlačiteľnej kvapaliny v tenkej valcovitej rúrke kruhového prierezu.

Prvýkrát formuloval Gotthilf Hagen (nemecky. Gotthilf Hagen niekedy Hagen) v roku 1839 na základe experimentálnych údajov a čoskoro ho znova odvodil J.L.Poiseuille (fr. J. L. Poiseuille) v roku 1840 (tiež na základe experimentu). Podľa zákona je druhý objemový prietok kvapaliny úmerný poklesu tlaku na jednotku dĺžky trubice (tlakový gradient v potrubí) a štvrtému výkonu polomeru (priemeru) potrubia:

Nepodarilo sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Nápovedu k nastaveniu nájdete v matematike / README.): Q = \ int \ limits_ (S) v \ left (r \ right) dS = 2 \ pi \ int \ limits_0 ^ R v \ left (r \ right) r dr = \ frac (\ pi D ^ 4 (p_1-p_2)) (128 \ eta L) = \ frac (\ pi R ^ 4 (p_1-p_2)) (8 \ eta L),

• Nepodarilo sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v matematike / README.): Q- prietok kvapaliny v potrubí;
• Nepodarilo sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Viď matematika / README - pomoc s nastavením.): D- priemer potrubia;

Poiseuilleov zákon funguje iba pre laminárne prúdenie a za predpokladu, že dĺžka trubice presahuje takzvanú dĺžku počiatočného úseku, ktorá je nevyhnutná pre vývoj laminárneho prúdenia s parabolickým rýchlostným profilom v trubici.

Vlastnosti

• Tok Poiseuille je charakterizovaný distribúciou parabolických rýchlostí pozdĺž polomeru trubice.
• V každom priereze rúry je priemerná rýchlosť polovičná oproti maximálnej rýchlosti v tomto úseku.

pozri tiež

Napísať recenziu na článok "Poiseuille Flow"

Literatúra

• Kasatkin A.G. Základné procesy a prístroje chemickej technológie. - M.: GKHI, - 1961. - 831 s.

Odkazy

Výňatok z Poiseuille Flow

- Nedávno sme ... Vždy privedie nových ľudí, niekedy aj malé zvieratá, a potom zmiznú, a privedie nových.
S hrôzou som pozrel na Stellu:
- Toto je veľmi skutočný, skutočný svet a úplne skutočné nebezpečenstvo! .. Toto nie je nevinná krása, ktorú sme vytvorili! .. Čo budeme robiť?
- Odíď. - dieťa sa znova tvrdohlavo opakovalo.
- Môžeme to skúsiť, však? Áno, a babička nás neopustí, ak je to skutočne nebezpečné. Podľa všetkého sa stále môžeme dostať von sami, ak nepríde. Neboj sa, neopustí nás.
Mala by som jej sebadôveru! .. Väčšinou som ani zďaleka nebola hanblivá, ale táto situácia ma veľmi znervóznila, keďže sme tu neboli len my, ale aj tí, pre ktorých sme prišli k tejto hrôze. A ako sa dostať z tejto nočnej mory - to som, bohužiaľ, nevedel.
- Nie je tu čas, ale zvyčajne prichádza v rovnakom intervale, približne ako dni na Zemi. - zrazu chlapec odpovedal na moje myšlienky.
- Bol si už dnes? - zjavne potešený, spýtala sa Stella.
Chlapec prikývol.
- No, poďme? - pozorne sa na mňa pozrela a uvedomil som si, že žiada, aby som im „nasadil“ svoju „ochranu“.
Stella ako prvá vystrčila červenú hlavu ...
- Nikto! - potešila sa. - Páni, aká je to hrôza! ..
Ja som to samozrejme nevydržal a vyliezol som za ňou. Skutočne tam bola skutočná „nočná mora“! .. Blízko nášho zvláštneho „väzenia“, úplne nepochopiteľným spôsobom, visiace v „zväzkoch“ hore nohami, viseli ľudské bytosti ... Boli zavesené za nohy a vytvorila akoby obrátenú kyticu ...
Prišli sme bližšie - nikto z ľudí nejavil známky života ...
- Sú úplne „odčerpané“! - Stella bola zhrozená. - Nezostala im ani kvapka vitality! .. To je všetko, poďme preč!
Ponáhľali sme sa, ako sa len dalo, niekam nabok, absolútne nevediac, kam utekáme, ďalej od všetkej tej hrôzou mrznúcej v krvi ... Bez toho, aby sme si mysleli, že by sme sa mohli opäť vrhnúť do toho istého, alebo ešte horšieho , hrôza ...
Zrazu sa prudko zotmelo. Po oblohe sa rútili modro-čierne mraky, akoby ich hnali silný vietor hoci ešte nefúkal vietor. V hlbinách čiernych mračien blčali oslepujúce blesky, vrcholy hôr sršali červenou žiarou ... Občas sa nafúknuté mraky roztrhli proti zlým vrcholom a z nich sa ako vodopád vyliala tmavohnedá voda. Celý tento strašidelný obrázok pripomínal, najdesivejšie z tých strašidelných, nočných môr ...
- Oci, zlatko, strašne sa bojím! - zaškriekali slabo a zabudli na svoju bývalú bojovnosť, chlapec.
Zrazu sa jeden z mrakov „zlomil“ a z neho vyšľahlo oslepujúco jasné svetlo. A v tomto svetle, v iskrivom kokóne, sa priblížila postava veľmi štíhleho mladého muža s tvárou ostrou ako čepeľ noža. Všetko okolo neho svietilo a svietilo, z tohto ľahkého čierneho mračna sa „topili“, ktoré sa zmenili na špinavé, čierne zvyšky.
- Sakra! - zakričala Stella radostne. - Ako to robí?!
- Poznáš ho? - Bol som neskutočne prekvapený, ale Stella pokrútila hlavou.
Mladý muž klesol vedľa nás na zem a s láskavým úsmevom sa spýtal:
- Prečo si tu? Toto nie je vaše miesto.
- Vieme, že sme sa iba snažili dostať na vrchol! - už na celom twitteri radostná Stella. - Pomôžete nám dostať sa späť na poschodie? .. Určite sa musíme rýchlo dostať domov! A potom nás tam čakajú babičky a teraz tiež čakajú, ale rôzne.

Laminárny tok viskóznej nestlačiteľnej tekutiny vo valcovom potrubí

Animácia

Popis

Kvôli laminárnej (vrstvenej) povahe prúdenia viskóznej nestlačiteľnej tekutiny vo valcovom potrubí je rýchlosť prúdenia nejakým spôsobom rozložená po priereze potrubia (obr. 1).

Distribúcia rýchlosti na vstupe do potrubia v laminárnom prúdení

Obr. jeden

L1 je dĺžka počiatočného úseku tvorby profilu konštantnej rýchlosti.

Poiseuilleov zákon (ktorého matematické vyjadrenie je Poiseuilleov vzorec) ustanovuje vzťah medzi objemom kvapaliny pretekajúcej potrubím za jednotku času (prietok), dĺžkou a polomerom potrubia a poklesom tlaku v ňom.

Nechajte os potrubia sa zhodovať s osou Oz pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému. Pri laminárnom prúdení je rýchlosť v kvapaliny vo všetkých bodoch potrubia rovnobežná s osou Oz, t.j. v x = v y = 0, v z = v. Z rovnice spojitosti

dv / dt = F - (1 / r) grad p,

kde F je sila poľa hmotnostných síl;

p - tlak;

r je hustota kvapaliny,

z toho vyplýva

dv / dz = 0, t.j. v = f (x, y).

Z pohybovej rovnice viskóznej nestlačiteľnej tekutiny (Navier-Stokes) vyplýva:

dp / dx = dp / dy = 0,

dp / dz = dp / dz = h (d 2 v / dx 2 + d 2 v / dy 2) = const = - (D p / l),

kde D p je pokles tlaku v úseku potrubia s dĺžkou l.

Pre okrúhle valcovité potrubie možno túto rovnicu znázorniť ako

(1 / r) d (r (dv / dr)) / dr = - D p / h l,

kde r = sqr (x 2 + y 2) je vzdialenosť od osi potrubia.

Distribúcia rýchlostí po priereze potrubia je parabolická a je vyjadrená vzorcom:

v (r) = (Dp / 4 h l) (R2 - r2),

kde R je polomer potrubia;

r je vzdialenosť od osi k predmetnému bodu prierez;

h je dynamická viskozita kvapaliny;

D p - pokles tlaku v časti potrubia dĺžky l.

Druhý objemový prietok kvapaliny je určený vzťahom Poiseuilleov vzorec:

Qc = [(pR4) / 8 hl] D p.

Tento vzorec platí pre laminárne toky, ktorých podmienky existencie sú charakterizované kritickým Reynoldsovým číslom Re cr (Re = 2Q c / pRn, n je kinematická viskozita). Pri Re = Re cr sa laminárne prúdenie stáva turbulentným. Pre hladké kruhové rúry Re cr »2300.

Časové charakteristiky

Inicializačný čas (log od -1 do 1);

Životnosť (log tc od -1 do 5);

Čas degradácie (log td od -1 do 1);

Optimálny čas vývoja (log tk od 0 do 2).

Schéma:

Technické realizácie účinku

Poiseuilleov zákon sa používa na stanovenie koeficientov rôznych kvapalín pri rôznych teplotách pomocou kapilárnych viskozimetrov.

Technická implementácia účinku

Obr. 2

Legenda:

1 - riadiaca časť potrubia;

2 - balón;

3 - reduktor;

4 - regulátor tlaku;

5 - manometer;

6 - ventil;

7 - prietokomer.

Hrá Poiseuilleova rovnica dôležitá úloha vo fyziológii nášho krvného obehu.

Aplikácia efektu

Poiseuilleov vzorec sa používa na výpočet ukazovateľov prepravy tekutín a plynov v potrubiach na rôzne účely. Laminárny spôsob prevádzky ropovodov a plynovodov je z hľadiska energie najvýhodnejší. Takže najmä koeficient trenia v laminárnom režime je prakticky nezávislý od drsnosti vnútorného povrchu rúrky (hladké rúrky).

Literatúra

1. Brekhovskikh L.M., Goncharov V.V. Úvod do mechaniky spojitého média), Moskva: Nauka, 1982.

2. Vývoj a prevádzka ropných, plynových a plynových kondenzátových polí / pozn. Sh.K. Gimatudinová, Moskva: Nedra, 1988.

Kľúčové slová

• viskozita
• tlak
• dynamická viskozita
• hydrodynamika
• viskózna kvapalina
• laminárne prúdenie
• tlak
• pokles tlaku
• trúbka
• Poiseuilleov zákon
• Poiseuilleov vzorec
• Reynoldsovo číslo
• Reynoldsovo číslo je kritické

Sekcie prírodných vied:

Obsah

1. Vyhlásenie o probléme

2. Rovnica kontinuity

4. Rovnomerný laminárny tok medzi rovnobežnými rovinami

5. Tok Couette

6. Poiseuille flow

7. Všeobecný prípad prietoku medzi rovnobežnými stenami

8. Ukážka úlohy

Formulácia problému

Laminárne toky, z ktorých niektoré sú zohľadnené v tomto kurze, sa nachádzajú v rôznych technických problémoch, najmä v medzerách a malých dutinách strojov. Najmä v prúdení viskóznych kvapalín, ako je olej, olej, rôzne kvapaliny pre hydraulický prevod, sa vytvárajú stabilné laminárne prietoky, pre opis ktorých môžu byť spoľahlivým základom rovnice Navier - Stokes. Prietok Hartmann, podobný prietoku Poiseuille, sa používa napríklad v čerpadlách MHD. V tomto prípade sa uvažuje s rovinným stacionárnym tokom elektricky vodivej kvapaliny medzi dvoma izolovanými doskami v priečnom magnetickom poli.

Cieľom tohto kurzu je zvážiť a nájsť hlavné charakteristiky rovinného stacionárneho laminárneho prúdenia viskóznej nestlačiteľnej kvapaliny s parabolickým rozložením rýchlostí (prietok Poiseuille).

Rovnica spojitosti

Zákon zachovania hmotnosti pre tekutinu pohybujúcu sa ľubovoľným spôsobom je vyjadrený rovnicou kontinuity alebo kontinuity, ktorá je jednou zo základných rovníc hydromechaniky. Aby sme to odvodili, nakreslíme do kvapaliny uzavretý povrch S, fixovaný v priestore, ohraničujúci objem W, a na ňom vyberieme elementárnu oblasť dS. N označíme jednotkový vektor vonkajšej normály k S. Produkt сV n dS bude potom hmota vytekajúca z objemu W alebo vstupujúca do nej za jednotku času v závislosti od smeru rýchlosti v mieste dS. Pretože n je vonkajší normál, potom V p> 0 na tých oblasti dS, kde kvapalina vyteká z objemu W, a V p< 0 на той части поверхности S, через которую она втекает в этот объем. Следовательно, интеграл представляет собой разность масс жидкости, вытекшей из объема и поступившей в него за единицу времени.

Túto zmenu hmotnosti je možné vypočítať iným spôsobom. Z tohto dôvodu vyberieme elementárny objem dW. Hmotnosť kvapaliny v tomto objeme sa môže meniť v dôsledku nerovnakého prítoku a odtoku. Druhá zmena hmotnosti v objeme dW sa bude rovnať a druhá zmena hmotnosti v objeme W je vyjadrená integrálom.

Výsledné výrazy je možné rovnať, pretože majú rovnakú hodnotu. V tomto prípade je potrebné vziať do úvahy, že prvý integrál je pozitívny, ak povrchom S preteká viac tekutín, ako prúdi dovnútra, a druhý za rovnakých podmienok je negatívny, pretože z dôvodu kontinuity toku v v danom prípade hustota s časom klesá.

Podľa Ostrogradského - Gaussovej vety:

Vo vektorovej analýze sa súčet čiastkových derivácií vektorových projekcií pozdĺž súradníc rovnakého mena nazýva divergencia alebo divergencia vektora. V tomto prípade

preto možno rovnicu (1) prepísať na

Pretože objem W je ľubovoľný, celé číslo je nula, t.j.

(2)

Rovnica (2) je rovnica diferenciálnej kontinuity pre ľubovoľný pohyb stlačiteľnej tekutiny. Vzťah (1) možno považovať za integrálnu formu rovnice kontinuity.

Ak vezmeme do úvahy podmienku zachovania hmotnosti objemu pohybujúcej sa kvapaliny, dostaneme sa aj k rovnici (2), ktorej v tomto prípade môžeme dať inú podobu.

Pretože c = c (x, y, z, t) a keď sa objem kvapaliny pohybuje x = x (t),

y = y (t), z = z (t), potom

rovnica (2) bude mať tvar

(3)

kde dc / dt je celková derivácia hustoty.

Pre stály pohyb stlačiteľnej kvapaliny ∂с / ∂t = 0 a. teda z rovnice (2) dostaneme

Pre akýkoľvek pohyb nestlačiteľnej tekutiny s = konšt, a teda

(5)

3. Pohybová rovnica viskóznej tekutiny vo forme Navier-Stokes

Rovnica pohybu tekutín v napätiach:

Podľa Newtonovho zákona sú viskózne napätia v priamočiarom pohybe tekutiny úmerné rýchlosti uhlových deformácií. Zovšeobecnením tejto skutočnosti pre prípad svojvoľného pohybu je hypotéza, že šmykové napätia, ako aj časti normálových napätí, ktoré závisia od orientácie podložiek, sú úmerné zodpovedajúcim rýchlostiam deformácie. Inými slovami, vo všetkých prípadoch pohybu tekutiny sa predpokladá, že existuje lineárny vzťah medzi viskóznymi napätiami a rýchlosťami deformácie. V tomto prípade by koeficientom proporcionality vo vzorcoch vyjadrujúcich tento vzťah mal byť dynamický koeficient viskozity m. Použitím hypotézy, že v bode kvapaliny (v praxi sa to nepriamo potvrdzuje), môžete do viskóznej tekutiny napísať výrazy pre bežné a tangenciálne napätia:

(7)

Uvedením výrazov (7) do rovnice (6) získame

Zoskupením výrazov s druhými derivátmi, vydelením c a pomocou Laplaceovho operátora napíšeme:

Tieto rovnice sa nazývajú Navier-Stokesove rovnice; používajú sa na opis pohybu viskóznych stlačiteľných kvapalín a plynov.

Pohybové rovnice nevidiacich kvapalín a plynov možno ľahko získať z Navier - Stokesových rovníc ako špeciálny prípad pri m = konšt; pre nestlačiteľné tekutiny by sa malo brať c = const.

Systém Navier-Stokesových rovníc nie je uzavretý, pretože obsahuje šesť neznámych: V x, V y, V z, p, c a m. Ďalšou rovnicou spájajúcou tieto neznáme je rovnica kontinuity (3).

Ako rovnice, ktoré uzatvárajú systém, sa používajú stavové rovnice média a závislosť viskozity od stavových parametrov. V mnohých prípadoch sa musia uplatniť aj iné termodynamické vzťahy.

Pre nestlačiteľnú tekutinu divV = 0 získame výrazy, ktoré priamo vyplývajú zo systému (8)

Vo vektorovej forme má Navier-Stokesova rovnica pre nestlačiteľnú tekutinu tvar:

Rovnomerný laminárny tok medzi rovnobežnými rovinami

Nechajte viskóznu tekutinu prúdiť v kanáli tvorenom dvoma rovnobežnými stenami, z ktorých jedna sa pohybuje v svojej rovine konštantnou rýchlosťou (pozri obrázok).

a - vývojový diagram; b - distribúcia rýchlosti pri absencii tlakového gradientu (Couetteov prúd); c - rozdelenie rýchlostí v prípade stacionárnych hraničných rovín (prúdenie v plochom kanáli).

Veľkosť kanála v smere kolmom na rovinu výkresu (pozdĺž osi z) sa považuje za dostatočne veľkú na to, aby bolo možné ignorovať vplyv stien rovnobežných s rovinou xOy. Ďalej predpokladáme, že pohyb nie je spôsobený iba posunom jednej zo stien kanála, ale aj poklesom tlaku (alebo gradientom) pozdĺž osi x. Zanedbávame vplyv masových síl, pretože číslo Froude je malé kvôli maličkosti h a prúdnice sa považujú za priame čiary rovnobežné s osou x.

Potom sú počiatočné podmienky problému vyjadrené vo forme:

Z rovnice kontinuity okamžite vyvodíme záver, že keďže sa to bude robiť vo všetkých bodoch, potom kvôli absencii pohybu pozdĺž osi z zmiznú aj všetky derivácie vzhľadom na túto súradnicu a Navier-Stokesova rovnica v projekcii na os z možno vynechať.

Potom sa sústava pohybových rovníc zredukuje na dve rovnice:

Prvý sa získa z priemetu Navierovej-Stokesovej rovnice na súradnicovú os x a druhý z týchto rovníc naznačuje, že tlak závisí iba od x, t. p (y) = p (z) = 0 a od tej doby môžete prejsť od čiastkových derivácií k úplným:

Označme, integrujeme túto rovnicu dvakrát, dostaneme:

Pretože v súlade s obrázkom a prijatými predpokladmi tlak závisí iba od súradnice x. Vyhľadanie integračných konštánt a použitie okrajových podmienok:

Zákon rozdelenia rýchlostí v plochom kanáli bude teda napísaný v tvare:

(10)

Tok Couette

Tok Couette - prietok bez gradientu V tomto prípade je jediným dôvodom pohybu pohyb dosky. Tok je charakterizovaný zákonom o distribúcii lineárnych rýchlostí (obr. B).

Šmykové (viskózne) napätie bude konštantná po celej hrúbke vrstvy a hodnote špecifickej spotreby, t.j. prietok živým prúdom S = h 1, unášaný pohyblivou doskou, sa rovná:

6. Poiseuille flow

Toto je prípad prietoku tlaku v plochom kanáli s distribúciou parabolických rýchlostí (obr. C). Podľa rovnice (10) dostaneme:

Maximálna rýchlosť na osi (pri y = h / 2) v dôsledku parabolického rozdelenia rýchlostí:

(12)

Delením (11) číslom (12) získame zákon o distribúcii rýchlosti

Nie je ťažké vypočítať ďalšie charakteristiky prietoku. Šmykové napätie

Na stenách, to znamená pri y = 0 a pri y = h, berie maximálne hodnoty

A na osi y = h / 2 zmizne. Ako je zrejmé z týchto vzorcov, existuje lineárne rozdelenie šmykových napätí po hrúbke vrstvy

Špecifická spotreba kvapaliny je určená vzorcom

priemerná rýchlosť

(13)

Priemerná rýchlosť bude jeden a polkrát nižšia ako maximálna.

Integráciou (13) cez x za predpokladu, že pri x = 0, tlaku p = p 0 *, získame požadovaný tlakový rozdiel:

Je tiež ľahké vypočítať intenzitu vírivej zložky pohybu. Pretože v tomto prípade teda V y = V z = 0 a V x = V

Ak vezmeme do úvahy, že dp / dx<0, мы получи:

Za r< h/2, щ z < 0, т.е. частицы вращаются по часовой стрелке;

Pre y> h / 2, uh z> 0, to znamená, častice sa otáčajú proti smeru hodinových ručičiek (obr. c).

Uvažovaný tok je teda vír vo všetkých bodoch, usporiadané čiary vírenia sú priamky, kolmé na rovinu toku.

Všeobecný prípad prietoku medzi rovnobežnými stenami

Tento prípad sa vyznačuje

Distribúcia rýchlosti je určená rovnicou (10), kde tlakový gradient dp / dx môže byť negatívny alebo pozitívny. V prvom prípade poklesne tlak v smere rýchlosti dosky V 0, v druhom stúpa. Prítomnosť gradientu pozitívneho tlaku môže spôsobiť spätné toky. Rovnica (10) je obvykle znázornená v bezrozmernej forme

ktorá je zakreslená ako rodina kriviek s jedným parametrom

Bezrozmerné rýchlostné profily pre všeobecný prípad prúdenia medzi rovnobežnými stenami.

Ukážka úlohy

Uvažujme o toku Poiseuille použitom na generátor MHD.

Magnetohydrodynamický generátor, generátor MHD je elektráreň, v ktorej sa energia pracovnej tekutiny (kvapalné alebo plynné elektricky vodivé médium) pohybujúcej sa v magnetickom poli prevádza priamo na elektrická energia... Rýchlosť pohybu viskózneho média môže byť ako podzvuková, tak aj nadzvuková, volíme rýchlosť rovnajúcu sa V max = 300 m / s. Nech je dĺžka lineárneho kanála 10 metrov. Vzdialenosť medzi doskami, ktorými preteká plazma, je 1 meter. Maximálna hodnota viskozity plazmy sa považuje za 3,10 -4 Pa · Hs = 8,3 · 10 -8 Pa · s.

Nahradením údajov do vzorca pre tlakový rozdiel, berúc do úvahy, že priemerná rýchlosť je jeden a polkrát nižšia ako maximálna, dostaneme:

Toto je tlaková strata, keď pracovná tekutina prechádza lineárnym kanálom generátora MHD.

Bibliografia

1. Beknev V.S., Pankov O.M., Yanson R.A. - M.: Strojárstvo, 1973. - 389 s.

2. Emtsev B.T. Technická hydromechanika. - M.: Strojárstvo, 1978. - 458 s.

3. Emtsev B.T. Technická hydromechanika. - M.: Strojárstvo, 1987. - 438 s.

4. http://ru-patent.info/21/20-24/2123228.html

5. http://ligis.ru/effects/science/83/index.htm

Prietok v dlhej rúre kruhového prierezu pôsobením tlakového rozdielu na koncoch rúry študovali Hagen v roku 1839 a Poiseuille v roku 1840. Dá sa predpokladať, že prietok, podobne ako okrajové podmienky, bol osová symetria je to teda iba funkcia vzdialenosti od osi potrubia. Zodpovedajúce riešenie rovnice (4.2.4) je nasledujúce:

V tomto prípade má toto riešenie nereálnu vlastnosť (súvisí s konečnou silou pôsobiacou na kvapalinu na jednotku

dĺžka segmentu osi), ak sa konštanta A nerovná nule; preto zvolíme presne túto hodnotu A. Výber konštanty B, ako napríklad získanie na hranici potrubia, nájdeme

Praktickým záujmom je objemový tok kvapaliny ktoroukoľvek časťou potrubia, ktorej hodnota je

kde (upravené) tlaky v počiatočnej a koncovej časti segmentu potrubia s dĺžkou Hagen a Poiseuille stanovené pri pokusoch s vodou, že prietok závisí od prvého stupňa tlakovej straty a štvrtého stupňa polomeru potrubia (polovica tohto stupňa sa získa v dôsledku závislosti plochy prierezu rúrky od jej polomeru a druhá polovica je spojená so zvýšením rýchlosti a pre danú výslednú viskozitnú silu so zvýšením polomeru rúry) . Presnosť, s akou bola získaná stálosť pomeru v pozorovaniach, presvedčivo potvrdzuje predpoklad o absencii kĺzania kvapalných častíc na stenu potrubia a tiež nepriamo potvrdzuje hypotézu o lineárny vzťah viskózny stres verzus rýchlosť deformácie za daných podmienok.

Šmykové napätie na stenu potrubia je

takže celková trecia sila v smere toku v úseku potrubia dĺžky I sa rovná

Malo by sa očakávať také vyjadrenie celkovej trecej sily na stenu potrubia, pretože všetky prvky kvapaliny vo vnútri tejto časti potrubia sú v tento momentčas sú v stave ustáleného pohybu pôsobením normálnych síl na dva koncové úseky a trecích síl na stenu potrubia. Okrem toho je z výrazu (4.1.5) zrejmé, že rýchlosť disipácie mechanická energia na jednotku hmotnosti kvapaliny pod vplyvom viskozity je v tomto prípade určená výrazom

Celková disipačná rýchlosť v kvapalnej náplni sa teda v danom okamihu rovná segmentu kruhovej rúry s dĺžkou I.

V prípade, že médiom v potrubí je klesajúca kvapalina a atmosférický tlak pôsobí na obidva konce potrubia (akoby kvapalina vstupovala do potrubia z plytkého otvoreného zásobníka a vyteká z konca potrubia), tlak gradient pozdĺž potrubia je vytvorený gravitáciou. V takom prípade je absolútny tlak na oboch koncoch rovnaký a preto je konštantný v celej kvapaline, takže upravený tlak sa rovná a a