Определение на перпендикулярни линии

Перпендикулярни прави линии.

Нека a и b са прави линии, пресичащи се в точка A (фиг. 1). Всяка от тези прави линии е разделена от точка А на две полуправи. Полулиниите на една права линия образуват четири ъгъла с полулиниите на другата права линия. Нека алфа е един от тези ъгли. Тогава всеки от другите три ъгъла ще бъде или в съседство с алфа, или вертикално към алфа.

От това следва, че ако един от ъглите е прав, тогава и другите ъгли също ще бъдат прави.В този случай казваме, че правите се пресичат под прав ъгъл.
Определение.
Две прави линии се наричат ​​перпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл (фиг. 2).

Перпендикулярността на правите линии е обозначена със знака ⊥ Обозначение a ⊥ b гласи: Правата a е перпендикулярна на права b.
Теорема.

През всяка точка на правата линия можете да начертаете права линия, перпендикулярна на нея, и само една.

Доказателство.
Нека a е дадена линия и A е дадена точка върху нея. Нека обозначим с ax една от полуправите на права а с начална точка A (фиг. 3). Нека оставим настрана ъгъла (a1b1), равен на 90 ° от полулинията a1.
Тогава правата линия, съдържаща лъча b1, ще бъде перпендикулярна на правата a.

Да предположим, че има друга права линия, преминаваща през точка А и перпендикулярна на правата а. Ние обозначаваме с c полуправата на тази права, която лежи в същата полуплоскост с лъча b2. Ъглите (a1b1) и (a1c1), всеки равен на 90 °, са нанесени в една полуравнина от полулинията a1. Но от полулинията a1, само един ъгъл, равен на 90 °, може да бъде оставен настрана в тази полуравнина. Следователно не може да има друга права линия, преминаваща през точка А и перпендикулярна на права а. Теоремата е доказана.

Определение.

Перпендикуляр на дадена линия е отсечка от права, перпендикулярна на дадена, която има един от краищата си точка на пресичане. Този край на линията се нарича основа на перпендикуляра.
На фигура 4 перпендикулярът AB е изтеглен от точка А до права а. Точка В е основата на перпендикуляра.

За да изградите перпендикуляр, използвайте квадрат за рисуване (фиг. 5).

Две пресичащи се прави линии се наричат ​​перпендикулярни (или взаимно перпендикулярни), ако образуват четири прави ъгъла. Перпендикулярността на правите линии AC и BD се обозначава, както следва: AC ⊥ BD (прочетете: "Правата AC е перпендикулярна на линията BD").
Имайте предвид, че две прави линии, перпендикулярни на третата, не се пресичат (фиг. 6, а). Наистина, помислете за правите линии АА1 и ВВ1, перпендикулярни на правата РQ (фиг. 6, б). Мислено огъваме чертежа по права линия РQ, така че горната част на рисунката да припокрива долната. Тъй като правите ъгли 1 и 2 са равни, PA лъчът ще бъде наслагван върху PA1 гредата. По същия начин лъч QB ще бъде наслагван върху лъч QB1. Следователно, ако приемем, че линии AA1 и BB1 се пресичат в точка M, тогава тази точка ще се наслагва върху някаква точка M1, също лежаща върху тези линии (фиг. 6, в), и получаваме, че две линии преминават през точки M и M1 : AA1 и BB1. Но това е нереално. Следователно нашето предположение е неправилно и следователно линиите АА1 и ВВ1 не се пресичат.

Начертаване на прави ъгли на земята

За изграждане на прави ъгли на земята се използват специални устройства, най -простото от които е екерът. Ecker се състои от две пръти, разположени под прав ъгъл и фиксирани върху статив (фиг. 7). В краищата на прътите се забиват пирони, така че правите линии, преминаващи през тях, да са взаимно перпендикулярни. За да се изгради прав ъгъл на земята с дадена страна ОА, се монтира статив с екер, така че отвесът е точно над точката О, а посоката на една лента съвпада с посоката на лъча ОА. Подравняването на тези посоки може да се осъществи с помощта на крайъгълен камък, поставен върху гредата. След това права линия е окачена в посока на другата лента (линия OB на фигура 7). Оказва се прав ъгъл AOB.
В геодезията по -модерни инструменти, като теодолит, се използват за конструиране на прави ъгли.

Хоризонтално:
3 ... Отсечка с права линия, свързваща точка на окръжност с нейния център. 6 ... Изявление, което не изисква доказателства. 9 ... Конструкция, мисловна система. 10 ... Четириъгълен изглед. 15 ... Отсечка с права линия, която свързва две точки на крива. 16 ... Мярка за дължина. 17 18 ... Точката на пресичане на диаметрите на окръжността. 19 . Тригонометрична функция. 20 ... Част от кръг. 21 ... Древна мярка за дължина.
Вертикално:
1 ... Символ на азбука. 2 ... Паралелограмен изглед. 4 ... Акорд, преминаващ през центъра на кръга. 5 ... Геометричен елемент. 7 ... Греда, която разделя ъгъл на две части. 8 ... Символ на гръцката азбука. 10 ... Сумата от дължините на страните на триъгълника. 11 ... Спомагателно предложение, използвано за доказване. 12 ... Елемент на правоъгълен триъгълник. 13 ... Една от прекрасните линии на триъгълника. 14 ... Тригонометрична функция.

Има такава задача:

В Омагьосаната гора биеха 10 омагьосани извора - номера 1, 2, 3, ... 10. Водата на всеки извор беше неразличима по цвят, вкус и мирис от обикновената вода, но това беше най -силната отрова. Този, който го е изпил, е обречен - освен ако в рамките на един час след това не е изпил водата на извора с по -голям брой (например, изворите 4-10 са спасени от отровата на извор 3; отровата на 10 -та пролет не остави никакъв шанс за спасение). Първите 9 извора бяха публично достъпни, но 10 бяха в пещерата на Кащей Безсмъртния и само Кащеи имаше достъп до него.
И тогава един ден Иван Глупакът предизвика Кащей на дуел. Условията бяха прости: всеки носи чаша малко течност със себе си, съперниците си разменят чаши и пият съдържанието им. И тогава те се справят както могат.
Кащей беше доволен. И все пак: той ще даде на Иван отрова номер 10 и нищо не може да спаси Иван. И самият той ще изпие отровата, дадена от Иван с вода от 10 -ти извор - и ще бъде спасен.
Опитайте се да разработите план за дуел за Иван. Задачата е да останете сами и да довършите Кащей.

Отговор 1. Дич Кащей. Трябва да му се даде не отрова, а чиста вода. Той ще го измие с отровата си - и е обречен.
Отговор 2. Не се отказвайте от себе си. Всяка отрова, различна от номер 1, може да бъде противоотрова. Преди да дойдете на дуел, трябва да изпиете малко отрова. И тогава отрова номер 10, получена от Кащей в дуел, няма да убие, а ще спаси.

Като цяло идеята е тривиална. Не винаги е възможно да се претегли едно действие изолирано. Същото действие може да бъде както отрова, така и противоотрова. Много зависи от фона. Няма да кажа, че всичко - но несъмнено много.
И когато чуете, че някой от вашите познати е извършил такива и такива и такива, и такива гадни неща, не бързайте да окачвате етикети. Сигурни ли сте, че това е точно гадно? Възможно ли е те просто да изглеждат така? Сигурни ли сте, че знаете предисторията на тези действия?

Изчертаване на перпендикулярна линия

Сега ще се опитаме да изградим перпендикулярна линия с помощта на компас. За това имаме точка O и права линия a.

Първата фигура показва права линия, на която лежи точката О, а на втората тази точка не лежи на права а.

Сега нека разгледаме тези две възможности поотделно.

1 -ви вариант

Първо вземаме компас, поставяме го в центъра на точка О и начертаваме окръжност с произволен радиус. Сега виждаме, че тази окръжност пресича права a в две точки. Нека това са точки A и B.

Освен това вземаме и изчертаваме кръгове от точки А и В. Радиусът на тези окръжности ще бъде АВ, но точка С ще бъде точката на пресичане на тези окръжности. Ако си спомняте, в самото начало получихме точки A и B, когато нарисувахме окръжност и взехме произволен радиус.

В резултат на това виждаме, че желаната перпендикулярна линия минава през точки C и O.

Доказателство

За това доказателство трябва да нарисуваме сегменти AC и CB. И виждаме, че получените триъгълници са равни: Δ ACO = Δ BCO, това следва от третия знак за равенство на триъгълниците, тоест излиза, че AO = OB, AC = CB и CO са често срещани в конструкцията. Получените ъгли ∠ COA и ∠ COB са равни и и двата имат величина 90 °. От това следва, че линията CO е перпендикулярна на AB.

От това можем да заключим, че ъглите, образувани в пресечната точка на две прави линии, са перпендикулярни, ако поне една от тях е перпендикулярна, което означава, че такъв ъгъл е 90 градуса и е прав.

2 -ри вариант

Нека сега разгледаме възможността за изграждане на перпендикулярна права линия, където тази точка не лежи на права а.

В този случай с помощта на компас от точка О начертаваме окръжност с такъв радиус, че тази окръжност пресича правата линия a. И нека точките A и B са пресечните точки на тази окръжност с тази права а.

След това вземаме същия радиус, но начертаваме кръгове, чиито центрове ще бъдат точки A и B. Поглеждаме фигурата и виждаме, че имаме точка O1, която също е точката на пресичане на окръжностите и се намира в полуравнината, но различна от тази, в която е точката О.

Следващото нещо, което ще направим, е да начертаем права линия през точките O и O1. Това ще бъде перпендикулярната линия, която търсихме.

Доказателство

Да приемем, че точката на пресичане на линии OO1 и AB е точка C. Тогава триъгълниците AOB и BO1A са равни в третия знак за равенство на триъгълниците и AO = OB = AO1 = O1B, а AB е често срещан в конструкцията. От това следва, че ъглите OAC и O1AC са равни. Триъгълниците OAC и O1AC, следващи от първия знак за равенство на триъгълниците AO, са равни на AO1, а по конструкция ъглите OAC и O1AC са равни с общ AC. Следователно ъгълът OCA равен на ъгъла O1CA, но тъй като са съседни, това означава прави линии. Следователно, заключаваме, че OC е перпендикулярът, който е изпуснат от точката O към правата a.

Така че, само с помощта на компас и линийка, можете лесно да изградите перпендикулярни линии. И няма значение къде се намира точката, през която трябва да премине перпендикулярът, на сегмент или извън този сегмент, основното в тези случаи е правилно да се намерят и обозначат началните точки A и B.

Въпроси:

1. Кои прави линии се наричат ​​перпендикулярни?
2. Какъв е ъгълът между перпендикулярните линии?
3. Какво използвам за изграждане на перпендикулярни линии?

Правата линия (сегмент от права линия) се обозначава с две главни букви от латинската азбука или една малка буква. Точката е обозначена само с главна латиница.

Линиите не могат да се пресичат, пресичат или съвпадат. Пресичащите се прави имат само една обща точка, не пресичащи се прави - няма обща точка, съвпадащите прави линии имат всички общи точки.

Определение. Две прави линии, пресичащи се под прав ъгъл, се наричат ​​перпендикулярни. Перпендикулярността на правите линии (или техните сегменти) се обозначава със знака за перпендикулярност "⊥".

Например:

Вашият ABи CD(Фиг. 1) се пресичат в точката Ои ∠ AOC = ∠VOS = ∠AOD = ∠БПК= 90 °, тогава AB ⊥ CD.

Ако AB ⊥ CD(фиг. 2) и се пресичат в точката V, след това ∠ ABC = ∠ABD= 90 °

Свойства на перпендикулярни линии

1. Чрез точка А(фиг. 3) може да се начертае само една перпендикулярна линия ABнаправо CD;останалите линии, преминаващи през точката Аи пресичане CD, се наричат ​​наклонени прави линии (фиг. 3, прави линии) AEи AF).

2. От точка Аможете да спуснете перпендикуляра до права линия CD; перпендикулярна дължина (дължина на сегмента AB) извлечено от точката Апо права линия CD, е най -краткото разстояние от Апреди CD(фиг. 3).

Аназ. взаимно перпендикулярни, ако l е перпендикулярна на всяка права, лежаща върху a. За обобщение на понятието за перпендикулярност вижте чл. Ортогоналност.

Енциклопедия по математика. - М.: Съветска енциклопедия... И. М. Виноградов. 1977-1985.

Вижте какво представлява „PERPENDICULAR LINE“ в други речници:

Двоична връзка между различни обекти (вектори, линии, подпространства и т.н.) в евклидовото пространство. Специален случайортогоналност. Съдържание 1 На равнина 1.1 Перпендикулярно ... Уикипедия

Клон на математиката, занимаващ се с изучаване на свойствата на различни форми (точки, линии, ъгли, двуизмерни и триизмерни обекти), техния размер и относително положение. За удобство на преподаването геометрията се подразделя на планиметрия и стереометрия. V …… Енциклопедия на Collier

ДЕКАРТИАНСКА КОРДИНАТИВНА СИСТЕМА, праволинейна координатна система в равнина или в пространството (обикновено с взаимно перпендикулярни оси и същите скали по осите). Кръстен на Р. Декарт (вж. Рене ДЕКАРТ). Декарт представи за първи път ... ... енциклопедичен речник

Раздел от геометрията, който изследва най -простите геометрични обекти посредством елементарна алгебра въз основа на метода на координатите. Създаването на аналитична геометрия обикновено се приписва на Р. Декарт, който очертава нейните основи в последната глава на своя ... ... Енциклопедия на Collier

Пространство, което има повече от три измерения (измерение). Реалното пространство е триизмерно. Три взаимно перпендикулярни прави линии могат да бъдат изтеглени през всяка от нейните точки, но четири вече не могат да бъдат изтеглени. Ако вземем тези три прави линии като оси ... ... енциклопедичен речник

Светът около нас е динамичен и разнообразен и не всеки обект може просто да бъде измерен с линийка. За този трансфер се използват специални техники, като триангулация. Необходимостта от сложни почиствания обикновено е ... ... Уикипедия

Геометрия, подобна на евклидовата геометрия по това, че определя движението на фигурите, но се различава от евклидовата геометрия по това, че един от петте й постулата (втори или пети) се заменя с отрицанието си. Отричане на един от евклидовите постулати ... ... Енциклопедия на Collier

- (история) Първоначална концепцияза К. може да се намери дори сред диваците, особено тези, които живеят по бреговете и за вас и имат повече или по -малко ясна представа за местностите около тяхната територия. Пътуващите, които разпитваха ескимосите от Северна Америка и ... Енциклопедичен речник на F.A. Брокхаус и И.А. Ефрон

Раздел по геометрия. Основните понятия на анатомията са най -простите геометрични изображения (точки, линии, равнини, криви и повърхности от втори ред). Основните изследователски инструменти в А. г. са методът на координатите (виж по -долу) и методите ... ... Велика съветска енциклопедия

Раздел по геометрия. Основните понятия на алгебричната геометрия са най -простите геометрични. изображения (точки, линии, равнини, криви и повърхности от втори ред). Методът на координатите и методите на елементарната алгебра са основните средства за изследване в археологията. ... ... Енциклопедия по математика

Книги

• Комплект маси. Геометрия. 7 клас. 14 таблици + методология ,. Масите са отпечатани върху дебел полиграфичен картон с размери 680 x 980 мм. Включва брошура с насокиза учителя. Образователен албум от 14 листа. Греда и ъгъл ....

Статията разглежда въпроса за перпендикулярните линии на равнина и триизмерно пространство. Нека анализираме подробно дефиницията на перпендикулярни линии и техните обозначения с дадените примери. Нека разгледаме условията за прилагане на необходимото и достатъчно условие за перпендикулярността на две прави линии и ще разгледаме подробно с пример.

Ъгълът между пресичащите се прави линии в пространството може да бъде прав. Тогава те казват, че данните са перпендикулярни прави линии. Когато ъгълът между пресичането на прави линии е прав, тогава правите линии също са перпендикулярни. От това следва, че перпендикулярните прави линии в равнината се пресичат, а перпендикулярните прави пространствени линии могат да се пресичат и пресичат.

Тоест понятията „прави линии a и b са перпендикулярни“ и „прави линии b и a са перпендикулярни“ се считат за равни. Оттук идва и концепцията за взаимно перпендикулярни прави линии. Обобщавайки горното, помислете за определението.

Определение 1

Две прави линии се наричат ​​перпендикулярни, ако ъгълът, когато се пресичат, е 90 градуса.

Перпендикулярността се обозначава с "⊥", а обозначението има формата a ⊥ b, което означава, че линията a е перпендикулярна на права b.

Например, перпендикулярните линии в равнината могат да бъдат страните на квадрат с общ връх. В триизмерното пространство линиите O x, O z, O y са перпендикулярни по двойки: O x и O z, O x и O y, O y и O z.

Перпендикулярност на линиите - условия на перпендикулярност

Необходимо е да се знаят свойствата на перпендикулярността, тъй като повечето задачи се свеждат до проверка за последващо решение. Има случаи, когато перпендикулярността се обсъжда дори при условията на заданието или когато е необходимо да се използват доказателства. За да се докаже перпендикулярността, достатъчно е ъгълът между правите линии да е прав.

За да се определи тяхната перпендикулярност с известните уравнения на правоъгълна координатна система, е необходимо да се приложи необходимото и достатъчно условие за перпендикулярността на правите линии. Помислете за формулировката.

Теорема 1

За да бъдат правите линии a и b перпендикулярни, е необходимо и достатъчно векторът на посоката на правата линия да е перпендикулярен на вектора на посоката на дадената права b.

Самото доказателство се основава на дефиницията на вектора на посоката на линията и на дефиницията на перпендикулярността на линиите.

Доказателство 1

Нека се въведе правоъгълна декартова координатна система O x y с дадените уравнения на права линия на равнина, които определят правите a и b. Векторите на посоките на линиите a и b ще се означават с a → и b →. От уравнението на линиите a и b необходимо и достатъчно условие е перпендикулярността на векторите a → и b →. Това е възможно само когато скаларното произведение на вектори a → = (a x, a y) и b → = (b x, b y) е равно на нула, а обозначението е a →, b → = a x b x + a y b y = 0. Получаваме, че a →, b → = ax bx + ay по = 0, където a → = (ax, ay) и b → = bx, by са векторите на посоките на линиите a и b.

Условието е приложимо, когато е необходимо да се намерят координатите на посоките на векторите или при наличие на канонични или параметрични уравнения на прави линии в равнината на дадените прави линии a и b.

Пример 1

Три точки A (8, 6), B (6, 3), C (2, 10) са дадени в правоъгълна координатна система O x y. Определете дали линиите A B и A C са перпендикулярни или не.

Решение

Линии A B и A C имат вектори на посоката A B → и A C → съответно. Първо, нека изчислим A B → = (- 2,- 3), A C → = (- 6, 4). Получаваме, че векторите A B → и A C → са перпендикулярни от свойството върху скаларното произведение на вектори, равно на нула.

A B →, A C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0

Очевидно е изпълнено необходимото и достатъчно условие, което означава, че AB и AC са перпендикулярни.

Отговор:правите линии са перпендикулярни.

Пример 2

Определете дали дадените линии x - 1 2 = y - 7 3 и x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ са перпендикулярни или не.

Решение

a → = (2, 3) е векторът на посоката на дадената линия x - 1 2 = y - 7 3,

b → = (1, - 2) е векторът на посоката на правата линия x = 1 + λ y = 2 - 2 λ.

Нека пристъпим към изчисляване на скаларното произведение на вектори a → и b →. Изразът ще бъде написан:

a →, b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 ≠ 0

Резултатът от произведението не е нула, можем да заключим, че векторите не са перпендикулярни, което означава, че правите линии също не са перпендикулярни.

Отговор:правите линии не са перпендикулярни.

Необходимото и достатъчно условие за перпендикулярност на линии a и b се прилага за триизмерно пространство, записано като a →, b → = ax bx + ay чрез + az bz = 0, където a → = (ax, ay, az) и b → = (bx, by, bz) са посоките на векторите на линии a и b.

Пример 3

Проверете перпендикулярността на правите линии в правоъгълна координатна система на триизмерно пространство, дадена от уравненията x 2 = y - 1 = z + 1 0 и x = λ y = 1 + 2 λ z = 4 λ

Решение

Знаменателите от каноничните уравнения на правите линии се считат за координатите на насочващия вектор на правата линия. Координатите на вектора на посоката от параметричното уравнение са коефициенти. От това следва, че a → = (2, - 1, 0) и b → = (1, 2, 4) са посоки на векторите на дадените линии. За да идентифицираме тяхната перпендикулярност, откриваме скаларното произведение на векторите.

Изразът ще приеме формата a →, b → = 2 1 + (- 1) 2 + 0 4 = 0.

Векторите са перпендикулярни, тъй като произведението е нула. Необходимото и достатъчно условие е изпълнено, което означава, че линиите също са перпендикулярни.

Отговор:правите линии са перпендикулярни.

Проверката на квадратността може да се извърши въз основа на други необходими и достатъчни условия на квадратност.

Теорема 2

Линии a и b в равнината се считат за перпендикулярни, ако нормалният вектор на линията a с вектора b е перпендикулярен, това е необходимо и достатъчно условие.

Доказателство 2

Това условие е приложимо, когато уравненията на правите линии дават бързо намиране на координатите на нормалните вектори на дадените прави линии. Тоест, при наличието на общо уравнение на права линия от формата A x + B y + C = 0, уравнения на права линия в сегменти от формата xa + yb = 1, уравнения на права линия с наклон на формата y = kx + b, могат да се намерят координатите на векторите.

Пример 4

Разберете дали правите 3 x - y + 2 = 0 и x 3 2 + y 1 2 = 1 са перпендикулярни.

Решение

Въз основа на техните уравнения е необходимо да се намерят координатите на нормалните вектори на прави линии. Получаваме, че n α → = (3, - 1) е нормалният вектор за линията 3 x - y + 2 = 0.

Опростете уравнението x 3 2 + y 1 2 = 1 до формата 2 3 x + 2 y - 1 = 0. Сега ясно се виждат координатите на нормалния вектор, които пишем в този вид n b → = 2 3, 2.

Векторите n a → = (3, - 1) и n b → = 2 3, 2 ще бъдат перпендикулярни, тъй като техният точков продукт ще завърши със стойност 0. Получаваме n a →, n b → = 3 2 3 + (- 1) 2 = 0.

Необходимото и достатъчно условие е изпълнено.

Отговор:правите линии са перпендикулярни.

Когато правата линия a на равнината се дефинира с помощта на уравнението с наклона y = k 1 x + b 1 и правата линия b - y = k 2 x + b 2, следва, че нормалните вектори ще имат координати ( k 1, - 1) и (k 2, - 1). Самото условие за перпендикулярност намалява до k 1 k 2 + (- 1) (- 1) = 0 ⇔ k 1 k 2 =- 1.

Пример 5

Разберете дали правите y = - 3 7 x и y = 7 3 x - 1 2 са перпендикулярни.

Решение

Правата y = - 3 7 x има наклон, равен на - 3 7, а правият y = 7 3 x - 1 2 - 7 3.

Произведението на наклоните дава стойността - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1, тоест правите линии са перпендикулярни.

Отговор:дадените прави линии са перпендикулярни.

Има още едно условие, използвано за определяне на перпендикулярността на правите линии в равнина.

Теорема 3

За перпендикулярността на правите линии a и b в равнината необходимо и достатъчно условие е колинеарността на вектора на посоката на една от правите линии с нормалния вектор на втората права линия.

Доказателство 3

Условието е приложимо, когато е възможно да се намери векторът на посоката на една права линия и координатите на нормалния вектор на другата. С други думи, една права линия е дадена от канонично или параметрично уравнение, а другата общо уравнениеправа линия, уравнение в сегменти или уравнение на права линия с наклон.

Пример 6

Определете дали дадените линии x - y - 1 = 0 и x 0 = y - 4 2 са перпендикулярни.

Решение

Получаваме, че нормалният вектор на линията x - y - 1 = 0 има координати na → = (1, - 1), а b → = (0, 2) е векторът на посоката на линията x 0 = y - 4 2.

Това показва, че векторите n a → = (1, - 1) и b → = (0, 2) не са колинеарни, тъй като условието за колинеарност не е изпълнено. Няма такова число t, което да е равно на n a → = t · b →. Оттук и заключението, че правите линии не са перпендикулярни.

Отговор:правите линии не са перпендикулярни.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Перпендикулярните прави линии образуват цял ​​слой от фигури, конструкции и изчисления в геометрията. Без разбиране на перпендикулярните линии няма да е възможно да се решат такива цифри като правоъгълен триъгълник, правоъгълник, квадрат или правоъгълен трапец. Ето защо си струва да обърнете специално внимание на тези понятия.

Какво представляват перпендикулярните линии

При пресичане на две прави линии се образуват 4 ъгъла. Определението за перпендикулярни линии звучи така: това са прави линии, ъгълът между които е 90 градуса. Има само 4 ъгъла, пълният ъгъл е 360 градуса. Ако един от ъглите е 90 градуса, тогава 3 други ще бъдат по 90 всеки.

За да бъдат сегментите наречени перпендикулярни, също трябва да бъдат изпълнени две условия: сегментите трябва да се пресичат, а ъгълът на пресичане между тях трябва да бъде равен на 90 градуса.

Ориз. 1. Перпендикулярни линии.

Имоти

Перпендикулярните линии нямат много свойства. Всички те не изискват доказателства, тъй като изхождат от дефиницията за перпендикулярност.

• Ако всяка от двете линии е перпендикулярна на третата, тогава тези линии са успоредни. И те са успоредни поради факта, че получените едностранни ъгли ще добавят до 180 градуса. Това означава, че правите линии са успоредни според критерия 3 паралелизъм. Това свойство може да бъде доказано чрез всеки от трите критерия за паралелизъм.
• Перпендикулярен отсечен участък от точка до права или отсечка ще се нарича разстоянието от точка до права.
• Разстоянието от права линия до права линия също е перпендикуляр, паднал от всяка точка на една права линия към друга права линия.
• Ако по цялата дължина на две прави линии разстоянието между тях не се промени, тогава правите линии ще бъдат успоредни.

Форми с перпендикулярни линии

Една от първите фигури, които човек опознава, са квадрат и правоъгълник.

Правите ъгли са приятни за човешкото око, затова много често квадрат или правоъгълник се използва като форма за плотове, столове, нощни шкафчета и други предмети. Цялото заобикалящ човексветът се състои от успоредни и перпендикулярни линии.

Ориз. 2. Квадрат.

Още от времената Древна Гърцияизвестен е правоъгълен триъгълник. Различни инструменти за навигация имат формата на правоъгълен триъгълник; освен това Питагор отделя много време за изучаване на свойствата на правоъгълен триъгълник. Неговото авторство принадлежи на Питагоровата теорема, която е много търсена при решаването на проблеми.

Има правоъгълен трапец, чиято една от страните е правоъгълна с двете основи. И планометрията е пълна с перпендикуляри в пространството: правилна призма, правоъгълна пирамида и най -често срещаният куб.

Освен това във всеки триъгълник можете да нарисувате височината, която е необходима, за да намерите областта на фигурата. Перпендикулярът за намиране на областта е полезен и в паралелограма, а правоъгълният триъгълник и квадратът имат височина в състава на техните страни, което прави областта на тези фигури много по-лесна за намиране.