Степенная функция

Степенная функция определяется формулой y = x a .

Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.

• когда степенная функция имеет целый показатель a , то вид графика степенной функции и ее свойства зависят от того, четный или нечетный показатель степени, а также того, какой знак имеет показатель степени. Рассмотрим все эти частные случаи подробнее ниже;
• показатель степени может быть дробным или иррациональным – в зависимости от этого также варьируется вид графиков и свойства функции. Мы разберем частные случаи, задав несколько условий: 0 < a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• степенная функция может иметь нулевой показатель, этот случай также ниже разберем подробнее.

Разберем степенную функцию y = x a , когда a – нечетное положительное число, например, a = 1 , 3 , 5 …

Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y = x (черный цвет графика), y = x 3 (синий цвет графика), y = x 5 (красный цвет графика), y = x 7 (зеленый цвет графика). Когда a = 1 , получаем линейную функцию y = x .

Определение 6

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный

• функция является возрастающей при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• функция имеет выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] и вогнутость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (исключая линейную функцию);
• точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) (исключая линейную функцию);
• асимптоты отсутствуют;
• точки прохождения функции: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Разберем степенную функцию y = x a , когда a – четное положительное число, например, a = 2 , 4 , 6 …

Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y = x 2 (черный цвет графика), y = x 4 (синий цвет графика), y = x 8 (красный цвет графика). Когда a = 2 , получаем квадратичную функцию, график которой – квадратичная парабола.

Определение 7

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:

• область определения: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• убывающей при x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• функция имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• очки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;
• точки прохождения функции: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y = x a , когда a – нечетное отрицательное число: y = x - 9 (черный цвет графика); y = x - 5 (синий цвет графика); y = x - 3 (красный цвет графика); y = x - 1 (зеленый цвет графика). Когда a = - 1 , получаем обратную пропорциональность, график которой – гипербола.

Определение 8

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:

Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 - 0 x a = - ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 1 , - 3 , - 5 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значений: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• функция является нечетной, поскольку y (- x) = - y (x) ;
• функция является убывающей при x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• функция имеет выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0) и вогнутость при x ∈ (0 ; + ∞) ;
• точки перегиба отсутствуют;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда а = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• точки прохождения функции: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y = x a , когда a – четное отрицательное число: y = x - 8 (черный цвет графика); y = x - 4 (синий цвет графика); y = x - 2 (красный цвет графика).

Определение 9

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:

• область определения: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 - 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 2 , - 4 , - 6 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота;

• функция является четной, поскольку y (- x) = y (x) ;
• функция является возрастающей при x ∈ (- ∞ ; 0) и убывающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• функция имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y = 0 , поскольку:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• точки прохождения функции: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

С самого начала обратите внимание на следующий аспект: в случае, когда a – положительная дробь с нечетным знаменателем, некоторые авторы принимают за область определения этой степенной функции интервал - ∞ ; + ∞ , оговаривая при этом, что показатель a – несократимая дробь. На данный момент авторы многих учебных изданий по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции, где показатель – дробь с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придержемся именно такой позиции: возьмем за область определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество [ 0 ; + ∞) . Рекомендация для учащихся: выяснить взгляд преподавателя на этот момент во избежание разногласий.

Итак, разберем степенную функцию y = x a , когда показатель степени – рациональное или иррациональное число при условии, что 0 < a < 1 .

Проиллюстрируем графиками степенные функции y = x a , когда a = 11 12 (черный цвет графика); a = 5 7 (красный цвет графика); a = 1 3 (синий цвет графика); a = 2 5 (зеленый цвет графика).

Иные значения показателя степени a (при условии 0 < a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Определение 10

Свойства степенной функции при 0 < a < 1:

• область значений: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• функция является возрастающей при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• функция имеет выпуклость при x ∈ (0 ; + ∞) ;
• точки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;

Разберем степенную функцию y = x a , когда показатель степени – нецелое рациональное или иррациональное число при условии, что a > 1 .

Проиллюстрируем графиками степенную функцию y = x a в заданных условиях на примере таких функций: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (черный, красный, синий, зеленый цвет графиков соответственно).

Иные значения показателя степени а при условии a > 1 дадут похожий вид графика.

Определение 11

Свойства степенной функции при a > 1:

• область определения: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• область значений: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• функция является возрастающей при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• функция имеет вогнутость при x ∈ (0 ; + ∞) (когда 1 < a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• точки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;
• точки прохождения функции: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Обращаем ваше внимание!Когда a – отрицательная дробь с нечетным знаменателем, в работах некоторых авторов встречается взгляд, что область определения в данном случае – интервал - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) с оговоркой, что показатель степени a – несократимая дробь. На данный момент авторы учебных материалов по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придерживаемся именно такого взгляда: возьмем за область определения степенных функций с дробными отрицательными показателями множество (0 ; + ∞) . Рекомендация для учащихся: уточните видение вашего преподавателя на этот момент во избежание разногласий.

Продолжаем тему и разбираем степенную функцию y = x a при условии: - 1 < a < 0 .

Приведем чертеж графиков следующий функций: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (черный, красный, синий, зеленый цвет линий соответственно).

Определение 12

Свойства степенной функции при - 1 < a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда - 1 < a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значений: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• точки перегиба отсутствуют;

На чертеже ниже приведены графики степенных функций y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (черный, красный, синий, зеленый цвета кривых соответственно).

Определение 13

Свойства степенной функции при a < - 1:

• область определения: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда a < - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• функция является убывающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• функция имеет вогнутость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y = 0 ;
• точка прохождения функции: (1 ; 1) .

Когда a = 0 и х ≠ 0 , получим функцию y = x 0 = 1 , определяющую прямую, из которой исключена точка (0 ; 1) (условились, что выражению 0 0 не будет придаваться никакого значения).

Показательная функция имеет вид y = a x , где а > 0 и а ≠ 1 , и график этой функции выглядит различно, исходя из значения основания a . Рассмотрим частные случаи.

Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы (0 < a < 1) . Наглядным примером послужат графики функций при a = 1 2 (синий цвет кривой) и a = 5 6 (красный цвет кривой).

Подобный же вид будут иметь графики показательной функции при иных значениях основания при условии 0 < a < 1 .

Определение 14

Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:

• область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• показательная функция, у которой основание меньше единицы, является убывающей на всей области определения;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x , стремящейся к + ∞ ;

Теперь рассмотрим случай, когда основание показательной функции больше, чем единица (а > 1) .

Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y = 3 2 x (синий цвет кривой) и y = e x (красный цвет графика).

Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.

Определение 15

Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:

• область определения – все множество действительных чисел;
• область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• показательная функция, у которой основание больше единицы, является возрастающей при x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• функция имеет вогнутость при x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x , стремящейся к - ∞ ;
• точка прохождения функции: (0 ; 1) .

Логарифмическая функция имеет вид y = log a (x) , где a > 0 , a ≠ 1 .

Такая функция определена только при положительных значениях аргумента: при x ∈ 0 ; + ∞ .

График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.

Рассмотрим сначала ситуацию, когда 0 < a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.

Определение 16

Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:

• область определения: x ∈ 0 ; + ∞ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к + ∞ ;
• область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• логарифмическая
• функция имеет вогнутость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• точки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;

Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а > 1 . На чертеже ниже –графики логарифмических функций y = log 3 2 x и y = ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).

Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.

Определение 17

Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:

• область определения: x ∈ 0 ; + ∞ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к - ∞ ;
• область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ (все множество действительных чисел);
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• логарифмическая функция является возрастающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• функция имеет выпуклость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• точки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;
• точка прохождения функции: (1 ; 0) .

Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.

В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f (x + T) = f (x) (T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.

1. Функция синус: y = sin (х)

График данной функции называется синусоида.

Определение 18

Свойства функции синус:

• область определения: все множество действительных чисел x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• функция обращается в нуль, когда x = π · k , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
• функция является возрастающей при x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z и убывающей при x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• функция синус имеет локальные максимумы в точках π 2 + 2 π · k ; 1 и локальные минимумы в точках - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
• функция синус вогнутая, когда x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и выпуклая, когда x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k , k ∈ Z ;
• асимптоты отсутствуют.

1. Функция косинус: y = cos (х)

График данной функции называется косинусоида.

Определение 19

Свойства функции косинус:

• область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• наименьший положительный период: Т = 2 π ;
• область значений: y ∈ - 1 ; 1 ;
• данная функция – четная, поскольку y (- x) = y (x) ;
• функция является возрастающей при x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и убывающей при x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k , k ∈ Z ;
• функция косинус имеет локальные максимумы в точках 2 π · k ; 1 , k ∈ Z и локальные минимумы в точках π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
• функция косинус вогнутая, когда x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z и выпуклая, когда x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• точки перегиба имеют координаты π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
• асимптоты отсутствуют.

1. Функция тангенс: y = t g (х)

График данной функции называется тангенсоида.

Определение 20

Свойства функции тангенс:

• область определения: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
• Поведение функции тангенс на границе области определения lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Таким образом, прямые x = π 2 + π · k k ∈ Z – вертикальные асимптоты;
• функция обращается в нуль, когда x = π · k при k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
• область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
• функция является возрастающей при - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z ;
• функция тангенс является вогнутой при x ∈ [ π · k ; π 2 + π · k) , k ∈ Z и выпуклой при x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• точки перегиба имеют координаты π · k ; 0 , k ∈ Z ;

1. Функция котангенс: y = c t g (х)

График данной функции называется котангенсоида.

Определение 21

Свойства функции котангенс:

• область определения: x ∈ (π · k ; π + π · k) , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);

Поведение функции котангенс на границе области определения lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Таким образом, прямые x = π · k k ∈ Z – вертикальные асимптоты;

• наименьший положительный период: Т = π ;
• функция обращается в нуль, когда x = π 2 + π · k при k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
• область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
• функция является убывающей при x ∈ π · k ; π + π · k , k ∈ Z ;
• функция котангенс является вогнутой при x ∈ (π · k ; π 2 + π · k ] , k ∈ Z и выпуклой при x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k) , k ∈ Z ;
• точки перегиба имеют координаты π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
• наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.

Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.

1. Функция арксинус: y = a r c sin (х)

Определение 22

Свойства функции арксинус:

• данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
• функция арксинус имеет вогнутость при x ∈ 0 ; 1 и выпуклость при x ∈ - 1 ; 0 ;
• точки перегиба имеют координаты (0 ; 0) , она же – нуль функции;
• асимптоты отсутствуют.

1. Функция арккосинус: y = a r c cos (х)

Определение 23

Свойства функции арккосинус:

• область определения: x ∈ - 1 ; 1 ;
• область значений: y ∈ 0 ; π ;
• данная функция - общего вида (ни четная, ни нечетная);
• функция является убывающей на всей области определения;
• функция арккосинус имеет вогнутость при x ∈ - 1 ; 0 и выпуклость при x ∈ 0 ; 1 ;
• точки перегиба имеют координаты 0 ; π 2 ;
• асимптоты отсутствуют.

1. Функция арктангенс: y = a r c t g (х)

Определение 24

Свойства функции арктангенс:

• область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• область значений: y ∈ - π 2 ; π 2 ;
• данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
• функция является возрастающей на всей области определения;
• функция арктангенс имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) , она же – нуль функции;
• горизонтальные асимптоты – прямые y = - π 2 при x → - ∞ и y = π 2 при x → + ∞ (на рисунке асимптоты – это линии зеленого цвета).

1. Функция арккотангенс: y = a r c c t g (х)

Определение 25

Свойства функции арккотангенс:

• область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• область значений: y ∈ (0 ; π) ;
• данная функция – общего вида;
• функция является убывающей на всей области определения;
• функция арккотангенс имеет вогнутость при x ∈ [ 0 ; + ∞) и выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• точка перегиба имеет координаты 0 ; π 2 ;
• горизонтальные асимптоты – прямые y = π при x → - ∞ (на чертеже – линия зеленого цвета) и y = 0 при x → + ∞ .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Тема урока: Степенная функция и ее график.

Как алгебраисты вместо АА, ААА, … пишут А 2 , А 3 , … так я вместо пишу а -1 , а -2 , а -3 , … Ньютон И.

у = х х у у = х 2 х у у = х 3 х у х у Прямая Парабола Кубическая парабола Гипербола Нам знакомы функции: Все эти функции являются частными случаями степенной функции

где р – заданное действительное число Определение: Степенной функцией называется функция вида у = х p Свойства и график степенной функции зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях х и р имеет смысл степень х р.

Функция у=х 2 n четная, т.к. (– х) 2 n = х 2 n Функция убывает на промежутке Функция возрастает на промежутке Степенная функция: Показатель р = 2n – четное натуральное число у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 , у = х 8 , … 1 0 х у у = х 2

y x - 1 0 1 2 у = х 2 у = х 6 у = х 4 Степенная функция: Показатель р = 2n – четное натуральное число у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 , у = х 8 , …

Функция у=х 2 n -1 нечетная, т.к. (– х) 2 n -1 = – х 2 n -1 Функция возрастает на промежутке Степенная функция: Показатель р = 2n-1 – нечетное натуральное число у = х 3 , у = х 5 , у = х 7 , у = х 9 , … 1 0

Степенная функция: y x - 1 0 1 2 у = х 3 у = х 7 у = х 5 Показатель р = 2n-1 – нечетное натуральное число у = х 3 , у = х 5 , у = х 7 , у = х 9 , …

Функция у=х- 2 n четная, т.к. (– х) -2 n = х -2 n Функция возрастает на промежутке Функция убывает на промежутке Степенная функция: Показатель р = -2n – где n натуральное число у = х -2 , у = х -4 , у = х -6 , у = х -8 , … 0 1

1 0 1 2 у = х -4 у = х -2 у = х -6 Степенная функция: Показатель р = -2n – где n натуральное число у = х -2 , у = х -4 , у = х -6 , у = х -8 , … y x

Функция убывает на промежутке Функция у=х -(2 n -1) нечетная, т.к. (– х) –(2 n -1) = – х –(2 n -1) Функция убывает на промежутке Степенная функция: Показатель р = -(2n-1) – где n натуральное число у = х -3 , у = х -5 , у = х -7 , у = х -9 , … 1 0

у = х -1 у = х -3 у = х -5 Степенная функция: Показатель р = -(2n-1) – где n натуральное число у = х -3 , у = х -5 , у = х -7 , у = х -9 , … y x - 1 0 1 2

Степенная функция: Показатель р – положительное действительное нецелое число у = х 1,3 , у = х 0,7 , у = х 2,2 , у = х 1/3 ,… 0 1 х у Функция возрастает на промежутке

у = х 0,7 Степенная функция: Показатель р – положительное действительное нецелое число у = х 1,3 , у = х 0,7 , у = х 2,2 , у = х 1/3 ,… y x - 1 0 1 2 у = х 0,5 у = х 0,84

Степенная функция: Показатель р – положительное действительное нецелое число у = х 1,3 , у = х 0,7 , у = х 2,2 , у = х 1/3 ,… y x - 1 0 1 2 у = х 1,5 у = х 3,1 у = х 2,5

Степенная функция: Показатель р – отрицательное действительное нецелое число у= х -1,3 , у= х -0,7 , у= х -2,2 , у = х -1/3 ,… 0 1 х у Функция убывает на промежутке

у = х -0,3 у = х -2,3 у = х -3,8 Степенная функция: Показатель р – отрицательное действительное нецелое число у= х -1,3 , у= х -0,7 , у= х -2,2 , у = х -1/3 ,… y x - 1 0 1 2 у = х -1,3

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Применение интеграции в учебном процессе как способа развития аналитических и творческих способностей....

Вы знакомы с функциями y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функцииy=x p , где p - заданное действительное число. Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значенияхx иp имеет смысл степеньx p . Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степениp.

Показатель p=2n -четное натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x 2n , гдеn - натуральное число, обладает следующими

свойствами:

область определения - все действительные числа, т. е. множество R;

множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;

функция y=x 2n четная, так какx 2n =(-x) 2n

функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.

График функции y=x 2n имеет такой же вид, как например график функцииy=x 4 .

2. Показатель p=2n-1 - нечетное натуральное число В этом случае степенная функцияy=x 2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

область определения - множество R;

множество значений - множество R;

функция y=x 2n-1 нечетная, так как (-x) 2n-1 =x 2n-1 ;

функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции y=x2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функцииy=x3 .

3.Показатель p=-2n , гдеn - натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x -2n =1/x 2n обладает следующими свойствами:

множество значений - положительные числа y>0;

функция y=1/x 2n четная, так как1/(-x) 2n =1/x 2n ;

функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.

График функции y=1/x 2n имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x 2 .

4.Показатель p=-(2n-1) , гдеn - натуральное число. В этом случае степенная функцияy=x -(2n-1) обладает следующими свойствами:

область определения - множество R, кроме x=0;

множество значений - множество R, кроме y=0;

функция y=x -(2n-1) нечетная, так как (-x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

функция является убывающей на промежутках x<0 иx>0 .

График функции y=x -(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функцииy=1/x 3 .

1. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции , аркфункции ) - математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.

1. Функция arcsin

График функции .

Арксинусом числа m называется такое значение угла x , для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.

1. [Править]Свойства функции arcsin

1. [Править]Получение функции arcsin

Дана функция На всей своей области определения она является кусочно-монотонной , и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений - . Так как для функции на интервале каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция график которой симметричен графику функции на отрезке относительно прямой