10.4. Zákon zachovania energie pri harmonických kmitoch

10.4.1. Úspora energie pri mechanické harmonické vibrácie

Zachovanie energie pri kmitoch matematického kyvadla

Počas harmonických vibrácií sa celková mechanická energia systému zachováva (zostáva konštantná).

Celková mechanická energia matematického kyvadla

E = Wk + Wp,

kde Wk je kinetická energia, Wk = = mv2/2; W p - potenciálna energia, W p = mgh; m je hmotnosť nákladu; g - modul zrýchlenia voľného pádu; v - modul rýchlosti zaťaženia; h je výška zaťaženia nad rovnovážnou polohou (obr. 10.15).

Pri harmonických kmitoch prechádza matematické kyvadlo radom po sebe nasledujúcich stavov, preto je vhodné uvažovať energiu matematického kyvadla v troch polohách (pozri obr. 10.15):

Ryža. 10.15

1) v rovnovážnej polohe

potenciálna energia je nulová; Celková energia sa zhoduje s maximálnou kinetickou energiou:

E = Wkmax;

2) v pohotovostna situacia(2) teleso je zdvihnuté nad počiatočnú úroveň do maximálnej výšky h max, preto je potenciálna energia tiež maximálna:

Wpmax = mghmax;

kinetická energia je nulová; celková energia sa zhoduje s maximálnou potenciálnou energiou:

E = Wpmax;

3) v medzipoloha(3) teleso má okamžitú rýchlosť v a zdvihne sa nad počiatočnú úroveň do určitej výšky h, preto je celková energia súčtom

E = mv22 + mgh,

kde mv 2 /2 je kinetická energia; mgh - potenciálna energia; m je hmotnosť nákladu; g - modul zrýchlenia voľného pádu; v - modul rýchlosti zaťaženia; h - výška zdvihu bremena nad rovnovážnu polohu.

Počas harmonických kmitov matematického kyvadla sa zachováva celková mechanická energia:

E = konšt.

Hodnoty celkovej energie matematického kyvadla v jeho troch polohách sú uvedené v tabuľke. 10.1.

Hodnoty celkovej mechanickej energie uvedené v poslednom stĺpci tabuľky. 10.1, majú rovnaké hodnoty pre akúkoľvek polohu kyvadla, čo je matematický výraz:

m v max 2 2 = m g h max;

mv max 2 2 = m v 2 2 + m g h;

m g h max = m v 2 2 + m g h ,

kde m je hmotnosť nákladu; g - modul zrýchlenia voľného pádu; v je modul okamžitej rýchlosti záťaže v polohe 3; h - výška zdvihu bremena nad rovnovážnu polohu v polohe 3; v max - modul maximálnej rýchlosti záťaže v polohe 1; h max - maximálna výška zdvihu bremena nad rovnovážnu polohu v polohe 2.

Uhol vychýlenia závitu matematické kyvadlo od vertikály (obr. 10.15) je určené výrazom

cos α = l − hl = 1 − hl ,

kde l je dĺžka vlákna; h - výška zdvihu bremena nad rovnovážnu polohu.

Maximálny uhol odchýlka α max je určená maximálnou výškou zdvihu bremena nad rovnovážnu polohu h max:

cos α max = 1 − h max l .

Príklad 11. Perióda malých kmitov matematického kyvadla je 0,9 s. Aký je maximálny uhol, pod ktorým sa závit odchýli od vertikály, ak sa gulička pri prechode cez rovnovážnu polohu pohybuje rýchlosťou 1,5 m/s? V systéme nie je žiadne trenie.

Riešenie . Obrázok ukazuje dve polohy matematického kyvadla:

• rovnovážna poloha 1 (charakterizovaná maximálnou rýchlosťou gule v max);
• krajná poloha 2 (charakterizovaná maximálnou výškou zdvihu lopty h max nad rovnovážnou polohou).

Požadovaný uhol je určený rovnosťou

cos α max = l − h max l = 1 − h max l ,

kde l je dĺžka kyvadlového závitu.

Maximálnu výšku gule kyvadla nad rovnovážnou polohou nájdeme zo zákona zachovania celkovej mechanickej energie.

Celková energia kyvadla v rovnovážnej polohe a v krajnej polohe je určená nasledujúcimi vzorcami:

• v rovnováhe -

E 1 = m v max 2 2,

kde m je hmotnosť gule kyvadla; v max - modul rýchlosti gule v rovnovážnej polohe (maximálna rýchlosť), v max = 1,5 m/s;

• v krajnej polohe -

E2 = mgh max,

kde g je modul gravitačného zrýchlenia; h max je maximálna výška zdvihu lopty nad rovnovážnu polohu.

Zákon zachovania celkovej mechanickej energie:

m v max 2 2 = m g h max.

Vyjadrime odtiaľ maximálnu výšku vzostupu gule nad rovnovážnu polohu:

h max = v max 2 2 g .

Dĺžku závitu určíme zo vzorca pre periódu kmitania matematického kyvadla

T = 2 π l g ,

tie. dĺžka závitu

l = T2g4π2.

Dosadíme h max a l do výrazu pre kosínus požadovaného uhla:

cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

a vykonajte výpočet s prihliadnutím na približnú rovnosť π 2 = 10:

cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1,5) 2 10 2 ⋅ (0,9) 2 = 0,5 .

Z toho vyplýva, že maximálny uhol vychýlenia je 60°.

Presne povedané, pri uhle 60° nie sú kmity gule malé a je nezákonné použiť štandardný vzorec pre periódu kmitania matematického kyvadla.

Zachovanie energie pri kmitoch pružinového kyvadla

Celková mechanická energia pružinového kyvadla pozostáva z kinetickej energie a potenciálnej energie:

E = Wk + Wp,

kde Wk je kinetická energia, Wk = mv2/2; Wp - potenciálna energia, Wp = k (Δx)2/2; m je hmotnosť nákladu; v - modul rýchlosti zaťaženia; k je koeficient tuhosti (elasticity) pružiny; Δx - deformácia (ťah alebo stlačenie) pružiny (obr. 10.16).

V Medzinárodnej sústave jednotiek sa energia mechanického oscilačného systému meria v jouloch (1 J).

Pri harmonických kmitoch prechádza kyvadlo pružiny radom po sebe nasledujúcich stavov, preto je vhodné uvažovať energiu kyvadla pružiny v troch polohách (pozri obr. 10.16):

1) v rovnovážnej polohe(1) rýchlosť telesa má maximálnu hodnotu v max, preto je maximálna aj kinetická energia:

Wkmax = mvmax22;

potenciálna energia pružiny je nulová, pretože pružina nie je deformovaná; Celková energia sa zhoduje s maximálnou kinetickou energiou:

E = Wkmax;

2) v pohotovostna situacia(2) pružina má maximálnu deformáciu (Δx max), takže potenciálna energia má tiež maximálnu hodnotu:

Wpmax = k (A x max)22;

kinetická energia telesa je nulová; celková energia sa zhoduje s maximálnou potenciálnou energiou:

E = Wpmax;

3) v medzipoloha(3) teleso má okamžitú rýchlosť v, pružina má v tomto momente určitú deformáciu (Δx), takže celková energia je súčet

E = mv22 + k (Δ x)22,

kde mv 2 /2 je kinetická energia; k (Δx) 2 /2 - potenciálna energia; m je hmotnosť nákladu; v - modul rýchlosti zaťaženia; k je koeficient tuhosti (elasticity) pružiny; Δx - deformácia (napätie alebo stlačenie) pružiny.

Keď sa zaťaženie kyvadla pružiny posunie z jeho rovnovážnej polohy, pôsobí naň obnovujúca sila, ktorej priemet na smer pohybu kyvadla je určený vzorcom

F x = −kx ,

kde x je posunutie zaťaženia kyvadla pružiny z rovnovážnej polohy, x = ∆x, ∆x je deformácia pružiny; k je koeficient tuhosti (elasticity) pružiny kyvadla.

Počas harmonických kmitov pružinového kyvadla sa zachováva celková mechanická energia:

E = konšt.

Hodnoty celkovej energie pružinového kyvadla v jeho troch polohách sú uvedené v tabuľke. 10.2.

Hodnoty celkovej mechanickej energie uvedené v poslednom stĺpci tabuľky majú rovnaké hodnoty pre akúkoľvek polohu kyvadla, čo je matematický výraz zákon zachovania celkovej mechanickej energie:

mvmax22 = k (A x max)22;

mvmax22 = mv22 + k (Ax)22;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

kde m je hmotnosť nákladu; v je modul okamžitej rýchlosti záťaže v polohe 3; Δx - deformácia (napätie alebo stlačenie) pružiny v polohe 3; v max - modul maximálnej rýchlosti záťaže v polohe 1; Δx max - maximálna deformácia (ťah alebo stlačenie) pružiny v polohe 2.

Príklad 12. Pružinové kyvadlo vykonáva harmonické kmity. Koľkokrát je jeho kinetická energia väčšia ako jeho potenciálna energia v momente, keď je vychýlenie telesa z rovnovážnej polohy štvrtina amplitúdy?

Riešenie . Porovnajme dve polohy pružinového kyvadla:

• krajná poloha 1 (charakterizovaná maximálnym posunutím zaťaženia kyvadla z rovnovážnej polohy x max);
• medzipoloha 2 (charakterizovaná strednými hodnotami posunutia z rovnovážnej polohy x a rýchlosti v →).

Celková energia kyvadla v krajnej a strednej polohe je určená nasledujúcimi vzorcami:

• v krajnej polohe -

E 1 = k (Δ x max) 2 2,

kde k je koeficient tuhosti (elasticity) pružiny; ∆x max - amplitúda kmitov (maximálne posunutie z rovnovážnej polohy), ∆x max = A;

• v strednej polohe -

E2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

kde m je hmotnosť zaťaženia kyvadla; ∆x - posunutie záťaže z rovnovážnej polohy, ∆x = A /4.

Zákon zachovania celkovej mechanickej energie pre pružinové kyvadlo má nasledujúci tvar:

k (A x max)22 = k (Ax)22 + mv22.

Vydeľme obe strany zapísanej rovnosti k (∆x) 2 /2:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

kde W k je kinetická energia kyvadla v medzipolohe, W k = mv 2 /2; W p - potenciálna energia kyvadla v medzipolohe, W p = k (∆x) 2 /2.

Požadovaný energetický pomer vyjadrime z rovnice:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 − 1

a vypočítajte jeho hodnotu:

W k W p = (A A / 4) 2 − 1 = 16 − 1 = 15 .

V uvedenom časovom okamihu je pomer kinetickej a potenciálnej energie kyvadla 15.

Štúdium kmitov kyvadla sa vykonáva pomocou zostavy, ktorej schéma je znázornená na obr. Zariadenie pozostáva z pružinového kyvadla, systému zaznamenávania vibrácií na báze piezoelektrického snímača, systému budenia vynútených vibrácií a systému spracovania informácií na osobnom počítači. Skúmané pružinové kyvadlo pozostáva z oceľovej pružiny s koeficientom tuhosti k a kyvadlové telesá m, v strede ktorého je upevnený permanentný magnet. K pohybu kyvadla dochádza v kvapaline a pri nízkych rýchlostiach kmitania možno výslednú treciu silu aproximovať s dostatočnou presnosťou lineárnym zákonom, t.j.

Obr.5 Bloková schéma experimentálneho nastavenia

Na zvýšenie odporovej sily pri pohybe v kvapaline je telo kyvadla vyrobené vo forme podložky s otvormi. Na zaznamenávanie vibrácií slúži piezoelektrický snímač, na ktorý je zavesená kyvadlová pružina. Počas pohybu kyvadla je elastická sila úmerná posunutiu X,
Pretože EMF vznikajúce v piezoelektrickom snímači je zase úmerné tlakovej sile, signál prijatý zo snímača bude úmerný posunutiu telesa kyvadla z rovnovážnej polohy.
Oscilácie sú excitované pomocou magnetického poľa. Harmonický signál vytvorený PC sa zosilní a privedie do budiacej cievky umiestnenej pod telesom kyvadla. V dôsledku tejto cievky sa vytvára magnetické pole, ktoré je premenlivé v čase a nerovnomerné v priestore. Toto pole pôsobí na permanentný magnet namontovaný v tele kyvadla a vytvára vonkajšiu periodickú silu. Keď sa teleso pohybuje, hnaciu silu možno znázorniť ako superpozíciu harmonických funkcií a kmity kyvadla budú superpozíciou kmitov s frekvenciami mw. Na pohyb kyvadla však bude mať citeľný vplyv len silová zložka pri frekvencii w, pretože je najbližšie k rezonančnej frekvencii. Preto amplitúdy komponentov kyvadla kmitajú pri frekvenciách mw bude malý. To znamená, že v prípade ľubovoľného periodického vplyvu možno oscilácie s vysokým stupňom presnosti považovať za harmonické pri frekvencii w.
Systém spracovania informácií pozostáva z analógovo-digitálneho prevodníka a osobného počítača. Analógový signál z piezoelektrického snímača je reprezentovaný v digitálnej forme pomocou analógovo-digitálneho prevodníka a privádzaný do osobného počítača.

Ovládanie experimentálneho nastavenia pomocou počítača
Po zapnutí počítača a načítaní programu sa na obrazovke monitora objaví hlavná ponuka, ktorej celkový vzhľad je znázornený na obr.5. Pomocou kurzorových tlačidiel , , , , môžete vybrať jednu z položiek ponuky. Po stlačení tlačidla ENTER počítač začne vykonávať zvolený prevádzkový režim. Najjednoduchšie rady pre zvolený prevádzkový režim sú obsiahnuté vo zvýraznenom riadku v spodnej časti obrazovky.
Zvážte možné prevádzkové režimy programu:
Statika- táto položka menu slúži na spracovanie výsledkov prvého cvičenia (pozri obr. 5) Po stlačení tlačidla ENTER počítač požaduje hmotnosť kyvadla. Po ďalšom stlačení tlačidla ENTER na obrazovke sa objaví nový obrázok s blikajúcim kurzorom. Postupne zapíšte na obrazovku hmotnosť bremena v gramoch a po stlačení medzerníka veľkosť napnutia pružiny. Lisovanie ENTER prejdite na nový riadok a znova zapíšte hmotnosť bremena a veľkosť napnutia pružiny. Úpravy údajov v poslednom riadku sú povolené. Ak to chcete urobiť, stlačte tlačidlo Backspace odstráňte nesprávnu hodnotu hmotnosti alebo natiahnutia pružiny a zapíšte novú hodnotu. Ak chcete zmeniť údaje v iných riadkoch, musíte postupne stlačiť Esc A ENTER a potom zopakujte sadu výsledkov.
Po zadaní údajov stlačte funkčné tlačidlo F2. Na obrazovke sa zobrazia hodnoty koeficientu tuhosti pružiny a frekvencie voľných kmitov kyvadla vypočítané metódou najmenších štvorcov. Po kliknutí na ENTER Na obrazovke monitora sa zobrazí graf pružnej sily v závislosti od veľkosti predĺženia pružiny. Návrat do hlavnej ponuky nastane po stlačení ľubovoľného tlačidla.
Experimentujte- táto položka má niekoľko podpoložiek (obr. 6). Pozrime sa na vlastnosti každého z nich.
Frekvencia- v tomto režime sa pomocou kurzorových kláves nastavuje frekvencia hnacej sily. V prípade, že sa experiment vykonáva s voľnými osciláciami, potom je potrebné nastaviť hodnotu frekvencie rovnú 0 .
Štart- v tomto režime po stlačení tlačidla ENTER program začne odstraňovať experimentálnu závislosť výchylky kyvadla na čase. V prípade, že je frekvencia hnacej sily nulová, na obrazovke sa objaví obraz tlmených kmitov. Hodnoty frekvencie kmitania a konštanty tlmenia sa zaznamenávajú v samostatnom okne. Ak frekvencia budiacej sily nie je nulová, potom spolu s grafmi závislostí odchýlky kyvadla a hnacej sily od času, hodnoty frekvencie hnacej sily a jej amplitúdy, ako aj nameraná frekvencia a amplitúda kmitov kyvadla sa zaznamenávajú na obrazovku v samostatných oknách. Stlačenie klávesu Esc môžete opustiť hlavné menu.
Uložiť- ak je výsledok experimentu uspokojivý, potom ho možno uložiť stlačením príslušného tlačidla ponuky.
Nový séria- táto položka ponuky sa používa, ak je potrebné opustiť údaje aktuálneho experimentu. Po stlačení klávesu ENTER v tomto režime sa výsledky všetkých predchádzajúcich experimentov vymažú z pamäte stroja a je možné spustiť novú sériu meraní.
Po experimente sa prepnú do režimu Merania. Táto položka ponuky má niekoľko podpoložiek (obr. 7)
Graf frekvenčnej odozvy- táto položka menu sa používa po skončení experimentu na štúdium vynútených oscilácií. Amplitúdová-frekvenčná charakteristika vynútených kmitov je vykreslená na obrazovke monitora.
Rozpis FFC- V tomto režime, po skončení experimentu na štúdium vynútených oscilácií, sa na obrazovke monitora vykreslí fázovo-frekvenčná charakteristika.
Tabuľka- táto položka ponuky vám umožňuje zobraziť na obrazovke monitora hodnoty amplitúdy a fázy kmitov v závislosti od frekvencie hnacej sily. Tieto údaje sa skopírujú do zošita pre správu o tejto práci.
Položka ponuky počítača VÝCHOD- koniec programu (pozri napr. obr. 7)

Cvičenie 1. Stanovenie súčiniteľa tuhosti pružiny statickou metódou.

Merania sa uskutočňujú stanovením predĺženia pružiny pri pôsobení zaťaženia so známymi hmotnosťami. Odporúča sa minúť min 7-10 merania predĺženia pružiny postupným zavesovaním závaží a tým zmenou zaťaženia z 20 predtým 150 d) Pomocou položky ponuky prevádzky programu Štatistiky výsledky týchto meraní sa uložia do pamäte počítača a koeficient tuhosti pružiny sa určí metódou najmenších štvorcov. Pri cvičení je potrebné vypočítať hodnotu vlastnej frekvencie kmitania kyvadla

Voľné vibrácie sa uskutočňujú pod vplyvom vnútorných síl sústavy potom, čo sa sústava dostala z rovnovážnej polohy.

Za účelom dochádza k voľným vibráciám podľa harmonického zákona, je potrebné, aby sila smerujúca k návratu telesa do rovnovážnej polohy bola úmerná vychýleniu telesa z rovnovážnej polohy a smerovala v smere opačnom k ​​posunutiu (pozri §2.1 ):

Sily akejkoľvek inej fyzikálnej povahy, ktoré spĺňajú túto podmienku, sa nazývajú kvázi elastické .

Teda náklad nejakej hmoty m, pripevnený k výstužnej pružine k 2.2.1, ktorých druhý koniec je pevne pripevnený (obr. 2.2.1), tvoria systém schopný vykonávať voľné harmonické kmity bez trenia. Zaťaženie pružiny sa nazýva lineárne harmonické oscilátor.

Kruhová frekvencia ω 0 voľných kmitov zaťaženia pružiny sa zistí z druhého Newtonovho zákona:

Keď je systém pružinového zaťaženia umiestnený horizontálne, gravitačná sila pôsobiaca na zaťaženie je kompenzovaná reakčnou silou podpory. Ak je bremeno zavesené na pružine, potom gravitačná sila smeruje pozdĺž línie pohybu bremena. V rovnovážnej polohe je pružina natiahnutá o určitú hodnotu X 0 sa rovná

Preto druhý Newtonov zákon pre zaťaženie pružiny možno napísať ako

Nazýva sa rovnica (*). rovnica voľných vibrácií . Je potrebné poznamenať, že fyzikálne vlastnosti oscilačného systému určiť len vlastnú frekvenciu kmitov ω 0 alebo periódu T . Parametre oscilačného procesu, ako je amplitúda X m a počiatočná fáza φ 0 sú určené spôsobom, akým bol systém uvedený z rovnováhy v počiatočnom časovom okamihu.

Ak by sa napríklad zaťaženie posunulo z rovnovážnej polohy o vzdialenosť Δ l a potom v určitom časovom bode t= 0 uvoľnené bez počiatočnej rýchlosti, potom X m = A l, φ 0 = 0.

Ak zaťaženie, ktoré bolo v rovnovážnej polohe, dostalo počiatočnú rýchlosť ± υ 0 pomocou prudkého zatlačenia, potom

Teda amplitúda X určuje sa m voľných kmitov a jeho počiatočná fáza φ 0 počiatočné podmienky .

Existuje mnoho typov mechanických oscilačných systémov, ktoré využívajú elastické deformačné sily. Na obr. Obrázok 2.2.2 ukazuje uhlový analóg lineárneho harmonického oscilátora. Vodorovne umiestnený kotúč visí na elastickom vlákne pripevnenom k ​​jeho ťažisku. Keď sa disk pootočí o uhol θ, nastane moment sily M kontrola elastickej torznej deformácie:

Kde ja = ja C je moment zotrvačnosti disku voči osi prechádzajúcej ťažiskom, ε je uhlové zrýchlenie.

Analogicky so zaťažením pružiny môžete získať:

Voľné vibrácie. Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo nazývané malé teleso zavesené na tenkej neroztiahnuteľnej niti, ktorého hmotnosť je v porovnaní s hmotnosťou telesa zanedbateľná. V rovnovážnej polohe, keď kyvadlo visí kolmo, je gravitačná sila vyvážená napínacou silou nite. Keď sa kyvadlo vychýli z rovnovážnej polohy o určitý uhol φ, objaví sa tangenciálna zložka gravitácie F τ = - mg sin φ (obr. 2.3.1). Znamienko mínus v tomto vzorci znamená, že tangenciálna zložka smeruje v smere opačnom k ​​vychýleniu kyvadla.

Ak označíme podľa X lineárny posun kyvadla z rovnovážnej polohy po oblúku kružnice s polomerom l, potom sa jeho uhlové posunutie bude rovnať φ = X / l. Druhý Newtonov zákon, napísaný pre projekcie vektorov zrýchlenia a sily na smer dotyčnice, dáva:

Tento vzťah ukazuje, že matematické kyvadlo je komplex nelineárne systém, pretože sila, ktorá má tendenciu vrátiť kyvadlo do rovnovážnej polohy, nie je úmerná posunutiu X, A

Iba v prípade malé výkyvy, kedy približne možno nahradiť matematickým kyvadlom je harmonický oscilátor, teda systém schopný vykonávať harmonické kmity. V praxi táto aproximácia platí pre uhly rádovo 15-20°; v tomto prípade sa hodnota nelíši o viac ako 2 %. Kmity kyvadla pri veľkých amplitúdach nie sú harmonické.

Pre malé kmity matematického kyvadla je v tvare zapísaný druhý Newtonov zákon

Tento vzorec vyjadruje vlastná frekvencia malých kmitov matematického kyvadla .

teda

Každé teleso namontované na vodorovnej osi otáčania je schopné voľne oscilovať v gravitačnom poli, a preto je tiež kyvadlom. Takéto kyvadlo sa zvyčajne nazýva fyzické (obr. 2.3.2). Od matematického sa líši len rozložením hmotností. V stabilnej rovnovážnej polohe ťažisko C fyzické kyvadlo je umiestnené pod osou otáčania O na vertikále prechádzajúcej osou. Keď sa kyvadlo vychýli o uhol φ, vznikne moment gravitácie, ktorý má tendenciu vrátiť kyvadlo do rovnovážnej polohy:

a druhý Newtonov zákon pre fyzické kyvadlo má tvar (pozri § 1.23)

Tu ω 0 - vlastná frekvencia malých kmitov fyzikálneho kyvadla .

teda

Preto rovnica vyjadrujúca druhý Newtonov zákon pre fyzikálne kyvadlo môže byť napísaná vo forme

Nakoniec pre kruhovú frekvenciu ω 0 voľných kmitov fyzického kyvadla získame nasledujúci výraz:

Premeny energie počas voľných mechanických vibrácií

Počas voľných mechanických vibrácií sa kinetická a potenciálna energia periodicky mení. Pri maximálnej odchýlke telesa od jeho rovnovážnej polohy zaniká jeho rýchlosť, a teda aj kinetická energia. V tejto polohe dosiahne potenciálna energia kmitajúceho telesa svoju maximálnu hodnotu. Pre zaťaženie pružiny je potenciálna energia energiou pružnej deformácie pružiny. Pre matematické kyvadlo je to energia v gravitačnom poli Zeme.

Keď teleso v pohybe prechádza rovnovážnou polohou, jeho rýchlosť je maximálna. Teleso prestrelí rovnovážnu polohu podľa zákona zotrvačnosti. V tomto momente má maximálnu kinetickú a minimálnu potenciálnu energiu. K zvýšeniu kinetickej energie dochádza v dôsledku poklesu potenciálnej energie. Pri ďalšom pohybe sa potenciálna energia začína zvyšovať v dôsledku poklesu kinetickej energie atď.

Pri harmonických kmitoch teda dochádza k periodickej premene kinetickej energie na potenciálnu energiu a naopak.

Ak v oscilačnom systéme nedochádza k treniu, potom celková mechanická energia počas voľných oscilácií zostáva nezmenená.

Pre pružinové zaťaženie(pozri § 2.2):

V reálnych podmienkach je akýkoľvek oscilačný systém pod vplyvom trecích síl (odpor). V tomto prípade sa časť mechanickej energie premení na vnútornú energiu tepelného pohybu atómov a molekúl a vibrácie sa stanú blednutiu (obr. 2.4.2).

Rýchlosť tlmenia vibrácií závisí od veľkosti trecích síl. Časový interval τ, počas ktorého klesá amplitúda kmitov v e≈ 2,7-krát, volaný čas rozpadu .

Frekvencia voľných kmitov závisí od rýchlosti, akou kmity doznievajú. Keď sa trecie sily zvyšujú, prirodzená frekvencia klesá. Zmena vlastnej frekvencie sa však prejaví až pri dostatočne veľkých trecích silách, keď prirodzené vibrácie rýchlo ustupujú.

Dôležitou charakteristikou oscilačného systému vykonávajúceho voľné tlmené oscilácie je faktor kvality Q. Tento parameter je definovaný ako číslo N celkové oscilácie vykonané systémom počas doby tlmenia τ, vynásobené π:

Faktor kvality teda charakterizuje relatívnu stratu energie v oscilačnom systéme v dôsledku prítomnosti trenia počas časového intervalu, ktorý sa rovná jednej perióde oscilácie.

Nútené vibrácie. Rezonancia. Vlastné oscilácie

Oscilácie vyskytujúce sa pod vplyvom vonkajšej periodickej sily sa nazývajú nútený.

Vonkajšia sila vykonáva pozitívnu prácu a zabezpečuje tok energie do oscilačného systému. Nedovoľuje, aby vibrácie vymizli napriek pôsobeniu trecích síl.

Periodická vonkajšia sila sa môže časom meniť podľa rôznych zákonov. Zvlášť zaujímavý je prípad, keď vonkajšia sila, meniaca sa podľa harmonického zákona s frekvenciou ω, pôsobí na oscilačný systém schopný vykonávať vlastné oscilácie pri určitej frekvencii ω 0.

Ak sa voľné kmity vyskytujú pri frekvencii ω 0, ktorá je určená parametrami systému, potom sa stále vynútené kmity vyskytujú vždy pri frekvencia ω vonkajšia sila.

Potom, čo vonkajšia sila začne pôsobiť na oscilačný systém, nejaký čas Δ t na vytvorenie nútených kmitov. Čas ustálenia sa rádovo rovná času tlmenia τ voľných kmitov v oscilačnom systéme.

V počiatočnom momente sú v oscilačnom systéme vybudené oba procesy - vynútené kmity s frekvenciou ω a voľné kmity s vlastnou frekvenciou ω 0. Voľné vibrácie sú však tlmené v dôsledku nevyhnutnej prítomnosti trecích síl. Preto po určitom čase v oscilačnom systéme zostanú len stacionárne kmity s frekvenciou ω vonkajšej hnacej sily.

Uvažujme ako príklad vynútené kmity telesa na pružine (obr. 2.5.1). Vonkajšia sila pôsobí na voľný koniec pružiny. Núti voľný (na obr. 2.5.1 vľavo) koniec pružiny pohybovať sa podľa zákona

Ak je ľavý koniec pružiny posunutý o vzdialenosť r, a ten pravý - do diaľky X z ich pôvodnej polohy, keď bola pružina nedeformovaná, potom predĺženie pružiny Δ l rovná sa:

V tejto rovnici je sila pôsobiaca na teleso znázornená ako dva pojmy. Prvý člen na pravej strane je elastická sila, ktorá má tendenciu vrátiť telo do rovnovážnej polohy ( X= 0). Druhým pojmom je vonkajší periodický účinok na telo. Tento termín je tzv donucovacia sila.

Rovnica vyjadrujúca druhý Newtonov zákon pre teleso na pružine za prítomnosti vonkajšieho periodického vplyvu môže dostať striktný matematický tvar, ak vezmeme do úvahy vzťah medzi zrýchlením telesa a jeho súradnicou: Potom sa zapíše do formulára

Rovnica (**) nezohľadňuje pôsobenie trecích síl. Na rozdiel od rovnice voľných vibrácií(*) (pozri § 2.2) rovnica nútenej oscilácie(**) obsahuje dve frekvencie - frekvenciu ω 0 voľných kmitov a frekvenciu ω hnacej sily.

Ustálené vynútené kmity záťaže na pružine sa vyskytujú pri frekvencii vonkajších vplyvov podľa zákona

Amplitúda vynútených kmitov X m a počiatočná fáza θ závisia od pomeru frekvencií ω 0 a ω a od amplitúdy r m vonkajšia sila.

Pri veľmi nízkych frekvenciách, keď ω<< ω 0 , движение тела массой m, pripevnený k pravému koncu pružiny, opakuje pohyb ľavého konca pružiny. V čom X(t) = r(t) a pružina zostáva prakticky nedeformovaná. Vonkajšia sila pôsobiaca na ľavý koniec pružiny nevykoná žiadnu prácu, pretože modul tejto sily pri ω<< ω 0 стремится к нулю.

Ak sa frekvencia ω vonkajšej sily priblíži k vlastnej frekvencii ω 0, dôjde k prudkému zvýšeniu amplitúdy vynútených kmitov. Tento jav sa nazýva rezonancia . Amplitúdová závislosť X m vynútených kmitov od frekvencie ω hnacej sily sa nazýva rezonančná charakteristika alebo rezonančná krivka(obr. 2.5.2).

Pri rezonancii amplitúda X m kmitov záťaže môže byť mnohonásobne väčšia ako amplitúda r m vibrácie voľného (ľavého) konca pružiny spôsobené vonkajším vplyvom. Pri absencii trenia by sa amplitúda vynútených kmitov počas rezonancie mala zvyšovať bez obmedzenia. V reálnych podmienkach je amplitúda ustálených vynútených kmitov určená podmienkou: práca vonkajšej sily počas periódy kmitania sa musí rovnať strate mechanickej energie počas rovnakého času v dôsledku trenia. Čím menšie trenie (t. j. vyšší faktor kvality Q oscilačný systém), tým väčšia je amplitúda vynútených kmitov pri rezonancii.

V oscilačných systémoch s nie príliš vysokým faktorom kvality (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Fenomén rezonancie môže spôsobiť deštrukciu mostov, budov a iných stavieb, ak sa vlastné frekvencie ich kmitov zhodujú s frekvenciou periodicky pôsobiacej sily, ktorá vzniká napríklad rotáciou nevyváženého motora.

Nútené vibrácie sú netlmené výkyvy. Nevyhnutné straty energie v dôsledku trenia sú kompenzované dodávkou energie z externého zdroja periodicky pôsobiacej sily. Existujú systémy, v ktorých netlmené kmity nevznikajú v dôsledku periodických vonkajších vplyvov, ale v dôsledku schopnosti takýchto systémov regulovať dodávku energie z konštantného zdroja. Takéto systémy sú tzv samooscilujúce, a proces netlmených oscilácií v takýchto systémoch je samooscilácie . V samokmitajúcom systéme možno rozlíšiť tri charakteristické prvky - oscilačný systém, zdroj energie a spätnoväzbové zariadenie medzi oscilačným systémom a zdrojom. Ako oscilačný systém možno použiť akýkoľvek mechanický systém schopný vykonávať vlastné tlmené kmity (napríklad kyvadlo nástenných hodín).

Zdrojom energie môže byť deformačná energia pružiny alebo potenciálna energia záťaže v gravitačnom poli. Spätnoväzbové zariadenie je mechanizmus, ktorým samooscilačný systém reguluje tok energie zo zdroja. Na obr. 2.5.3 je znázornená schéma interakcie rôznych prvkov samooscilačného systému.

Príkladom mechanického samooscilačného systému je hodinový mechanizmus s Kotva pokrok (obr. 2.5.4). Pobehové koleso so šikmými zubami je pevne pripevnené k ozubenému bubnu, cez ktorý sa prehadzuje reťaz so závažím. Na hornom konci je kyvadlo upevnené Kotva(kotva) s dvoma doskami z pevného materiálu, zahnutými do kruhového oblúka so stredom na osi kyvadla. V ručičkových hodinkách je závažie nahradené pružinou a kyvadlo je nahradené vyvažovačom - ručným kolieskom spojeným so špirálovou pružinou. Balancér vykonáva torzné vibrácie okolo svojej osi. Oscilačný systém v hodinách je kyvadlo alebo vyvažovač.

Zdrojom energie je zdvihnuté závažie alebo navinutá pružina. Zariadenie slúžiace na poskytovanie spätnej väzby je kotva, ktorá umožňuje bežiacemu kolesu otočiť jeden zub v jednom polcykle. Spätnú väzbu poskytuje interakcia kotvy s pojazdovým kolesom. Pri každom kývaní kyvadla zub pojazdového kolesa tlačí kotviacu vidlicu v smere pohybu kyvadla a prenáša na ňu určitú časť energie, ktorá kompenzuje energetické straty spôsobené trením. Potenciálna energia závažia (alebo skrútenej pružiny) sa tak postupne v jednotlivých častiach prenáša na kyvadlo.

Mechanické samooscilačné systémy sú rozšírené v živote okolo nás a v technike. K vlastným kmitom dochádza v parných strojoch, spaľovacích motoroch, elektrických zvonoch, strunách sláčikových hudobných nástrojov, vzduchových stĺpcoch v píšťalách dychových nástrojov, hlasivkách pri hovorení alebo speve atď.

Obrázok 2.5.4. Hodinový mechanizmus s kyvadlom.

Telesá pod pôsobením elastickej sily, ktorej potenciálna energia je úmerná štvorcu posunutia telesa z rovnovážnej polohy:

Pri voľných mechanických vibráciách sa kinetická a potenciálna energia periodicky mení. Pri maximálnej odchýlke telesa od jeho rovnovážnej polohy zaniká jeho rýchlosť, a teda aj kinetická energia. V tejto polohe dosiahne potenciálna energia kmitajúceho telesa svoju maximálnu hodnotu. Pre zaťaženie vodorovnej pružiny je potenciálna energia energiou pružnej deformácie pružiny.

Keď teleso v pohybe prechádza rovnovážnou polohou, jeho rýchlosť je maximálna. V tomto momente má maximálnu kinetickú a minimálnu potenciálnu energiu. K zvýšeniu kinetickej energie dochádza v dôsledku poklesu potenciálnej energie. Pri ďalšom pohybe sa potenciálna energia začína zvyšovať v dôsledku poklesu kinetickej energie atď.

Pri harmonických kmitoch teda dochádza k periodickej premene kinetickej energie na potenciálnu energiu a naopak.

Ak v oscilačnom systéme nedochádza k treniu, potom celková mechanická energia počas voľných oscilácií zostáva nezmenená.

Pre hmotnosť pružiny:

Oscilačný pohyb tela sa spúšťa pomocou tlačidla Štart. Tlačidlo Stop vám umožňuje kedykoľvek zastaviť proces.

Graficky znázorňuje vzťah medzi potenciálnou a kinetickou energiou počas oscilácií v akomkoľvek čase. Všimnite si, že pri absencii tlmenia zostáva celková energia oscilačného systému nezmenená, potenciálna energia dosahuje maximum, keď je teleso maximálne vychýlené z rovnovážnej polohy, a kinetická energia nadobúda maximálnu hodnotu, keď teleso prechádza rovnovážnou polohou. pozíciu.

Čo je to oscilačná perióda? Čo je to za veličinu, aký má fyzikálny význam a ako ju vypočítať? V tomto článku sa budeme zaoberať týmito problémami, zvážime rôzne vzorce, pomocou ktorých možno vypočítať periódu oscilácie, a tiež zistíme, aké spojenie existuje medzi takými fyzikálnymi veličinami, ako je perióda a frekvencia oscilácie telesa/systému.

Definícia a fyzikálny význam

Perióda kmitania je časový úsek, počas ktorého telo alebo systém vykoná jednu osciláciu (nevyhnutne úplnú). Zároveň si môžete všimnúť parameter, pri ktorom možno osciláciu považovať za úplnú. Úlohou takéhoto stavu je návrat telesa do pôvodného stavu (na pôvodné súradnice). Analógia s periódou funkcie je veľmi dobrá. Je omylom myslieť si, že sa vyskytuje výlučne v bežnej a vyššej matematike. Ako viete, tieto dve vedy sú neoddeliteľne spojené. A s periódou funkcií sa možno stretnúť nielen pri riešení goniometrických rovníc, ale aj v rôznych úsekoch fyziky, a to mechanike, optike a iných. Pri prenose periódy oscilácie z matematiky do fyziky ju treba chápať zjednodušene ako fyzikálnu veličinu (a nie funkciu), ktorá má priamu závislosť od plynúceho času.

Aké typy výkyvov existujú?

Kmity sa delia na harmonické a anharmonické, ako aj na periodické a neperiodické. Bolo by logické predpokladať, že v prípade harmonických kmitov k nim dochádza podľa nejakej harmonickej funkcie. Môže to byť sínus alebo kosínus. V tomto prípade môžu vstúpiť do hry aj koeficienty kompresia-predĺženie a zvýšenie-zníženie. Oscilácie môžu byť tiež tlmené. Teda keď na systém pôsobí určitá sila, ktorá postupne „spomalí“ samotné kmitanie. V tomto prípade sa perióda skracuje, zatiaľ čo frekvencia oscilácií sa neustále zvyšuje. Túto fyzikálnu axiómu veľmi dobre demonštruje jednoduchý experiment s použitím kyvadla. Môže byť pružinového typu, ale aj matematického. To je jedno. Mimochodom, doba oscilácie v takýchto systémoch bude určená rôznymi vzorcami. Ale o tom trochu neskôr. Teraz si uveďme príklady.

Skúsenosti s kyvadlami

Najprv si môžete vziať akékoľvek kyvadlo, nebude v tom žiadny rozdiel. Fyzikálne zákony sú fyzikálne zákony, pretože sa v každom prípade dodržiavajú. Ale z nejakého dôvodu preferujem matematické kyvadlo. Ak by niekto nevedel, čo to je: je to gulička na neroztiahnuteľnej nite, ktorá je pripevnená k vodorovnej tyči pripevnenej k nožičkám (alebo prvkom, ktoré plnia svoju úlohu - udržiavať systém v rovnovážnom stave). Najlepšie je vziať loptu z kovu, aby bol zážitok vizuálnejší.

Takže, ak vyvediete takýto systém z rovnováhy, aplikujte na loptičku určitú silu (inými slovami, zatlačte ju), potom sa loptička začne hojdať na nite po určitej trajektórii. Časom si môžete všimnúť, že dráha, po ktorej lopta prechádza, sa skracuje. Zároveň sa lopta začne pohybovať tam a späť rýchlejšie a rýchlejšie. To znamená, že frekvencia oscilácií sa zvyšuje. Ale čas potrebný na to, aby sa loptička vrátila do svojej pôvodnej polohy, sa znižuje. Ale čas jednej úplnej oscilácie, ako sme zistili skôr, sa nazýva perióda. Ak sa jedna veličina znižuje a druhá zvyšuje, potom hovoria o nepriamej úmernosti. Teraz sme dosiahli prvý bod, na základe ktorého sú zostavené vzorce na určenie periódy oscilácie. Ak si na test vezmeme pružinové kyvadlo, tak zákon bude dodržaný v trochu inej podobe. Aby to bolo čo najjasnejšie prezentované, uveďme systém do pohybu vo vertikálnej rovine. Aby to bolo jasnejšie, mali by sme si najprv povedať, čo je pružinové kyvadlo. Už z názvu je jasné, že jeho prevedenie musí obsahovať pružinu. A skutočne je. Opäť máme vodorovnú rovinu na podperách, z ktorých je zavesená pružina určitej dĺžky a tuhosti. Na ňom je zase zavesené závažie. Môže to byť valec, kocka alebo iná postava. Môže to byť dokonca nejaký druh objektu tretej strany. V každom prípade, keď je systém odstránený z rovnovážnej polohy, začne vykonávať tlmené oscilácie. Nárast frekvencie je najzreteľnejšie viditeľný vo vertikálnej rovine, bez akejkoľvek odchýlky. Tu môžeme dokončiť naše experimenty.

V ich priebehu sme teda zistili, že perióda a frekvencia kmitov sú dve fyzikálne veličiny, ktoré majú inverzný vzťah.

Označenie množstiev a rozmerov

Obdobie oscilácie sa zvyčajne označuje latinským písmenom T. Oveľa menej často sa dá označiť inak. Frekvencia je označená písmenom µ („Mu“). Ako sme povedali na úplnom začiatku, perióda nie je nič iné ako čas, počas ktorého v systéme nastane úplná oscilácia. Potom bude dimenzia obdobia sekundová. A keďže perióda a frekvencia sú nepriamo úmerné, dimenzia frekvencie bude jedna delená sekundou. V zázname úlohy bude všetko vyzerať takto: T (s), µ (1/s).

Vzorec pre matematické kyvadlo. Úloha č.1

Podobne ako v prípade experimentov som sa rozhodol najskôr zaoberať matematickým kyvadlom. Nebudeme sa podrobne zaoberať odvodením vzorca, pretože takáto úloha nebola pôvodne stanovená. A samotný záver je ťažkopádny. Poďme sa však zoznámiť so samotnými vzorcami a zistiť, aké množstvá obsahujú. Takže vzorec pre periódu oscilácie pre matematické kyvadlo má nasledujúci tvar:

Kde l je dĺžka vlákna, n = 3,14 a g je gravitačné zrýchlenie (9,8 m/s^2). Vzorec by nemal spôsobovať žiadne ťažkosti. Preto bez ďalších otázok prejdime priamo k riešeniu problému určenia periódy kmitania matematického kyvadla. Kovová gulička s hmotnosťou 10 gramov je zavesená na neroztiahnuteľnej nite dlhej 20 centimetrov. Vypočítajte periódu kmitania systému a vezmite ho ako matematické kyvadlo. Riešenie je veľmi jednoduché. Ako všetky problémy vo fyzike, aj tu je potrebné čo najviac zjednodušiť vyhadzovaním nepotrebných slov. Sú zahrnuté do kontextu s cieľom zmiasť rozhodovateľa, ale v skutočnosti nemajú absolútne žiadnu váhu. Vo väčšine prípadov samozrejme. Tu môžeme vylúčiť problém s „nerozšíriteľným vláknom“. Táto fráza by nemala byť mätúca. A keďže je naše kyvadlo matematické, hmotnosť nákladu by nás nemala zaujímať. To znamená, že slová o 10 gramoch majú tiež jednoducho zmiasť študenta. Vieme ale, že vo vzorci nie je žiadna hmota, a tak môžeme s čistým svedomím pristúpiť k riešeniu. Takže vezmeme vzorec a jednoducho do neho nahradíme hodnoty, pretože je potrebné určiť obdobie systému. Keďže neboli špecifikované žiadne ďalšie podmienky, hodnoty zaokrúhlime na 3 desatinné miesto, ako je zvykom. Vynásobením a delením hodnôt zistíme, že perióda oscilácie je 0,886 sekundy. Problém je vyriešený.

Vzorec pre pružinové kyvadlo. Úloha č.2

Vzorce kyvadiel majú spoločnú časť, a to 2p. Toto množstvo je prítomné v dvoch vzorcoch naraz, líšia sa však radikálnym vyjadrením. Ak je v úlohe týkajúcej sa periódy pružinového kyvadla uvedená hmotnosť bremena, nemožno sa vyhnúť výpočtom s jeho použitím, ako to bolo v prípade matematického kyvadla. Netreba sa však báť. Takto vyzerá dobový vzorec pre pružinové kyvadlo:

V ňom je m hmotnosť bremena zaveseného na pružine, k je koeficient tuhosti pružiny. V úlohe možno uviesť hodnotu koeficientu. Ale ak vo vzorci matematického kyvadla nie je veľmi čo vyjasňovať - ​​veď 2 zo 4 veličín sú konštanty - tak sa tu pridáva 3. parameter, ktorý sa môže meniť. A na výstupe máme 3 premenné: periódu (frekvenciu) kmitov, koeficient tuhosti pružiny, hmotnosť zaveseného bremena. Úloha môže byť zameraná na nájdenie ktoréhokoľvek z týchto parametrov. Znova nájsť obdobie by bolo príliš jednoduché, tak podmienku trochu pozmeníme. Nájdite koeficient tuhosti pružiny, ak doba úplného kmitania je 4 sekundy a hmotnosť kyvadla pružiny je 200 gramov.

Na vyriešenie akéhokoľvek fyzikálneho problému by bolo dobré si najskôr urobiť kresbu a napísať vzorce. Sú tu – polovica úspechu. Po napísaní vzorca je potrebné vyjadriť koeficient tuhosti. Máme to pod koreňom, takže odmocnime obe strany rovnice. Aby ste sa zbavili zlomku, vynásobte diely k. Teraz nechajme len koeficient na ľavej strane rovnice, to znamená, vydeľte časti T^2. V zásade by sa problém mohol trochu skomplikovať tým, že by sa obdobie neuvádzalo číslami, ale frekvenciou. Každopádne pri výpočte a zaokrúhľovaní (dohodli sme sa na zaokrúhľovaní na 3 desatinné miesto) vychádza, že k = 0,157 N/m.

Obdobie voľných kmitov. Vzorec pre periódu voľných kmitov

Vzorec pre periódu voľných oscilácií sa vzťahuje na tie vzorce, ktoré sme skúmali v dvoch vyššie uvedených úlohách. Tiež vytvárajú rovnicu pre voľné vibrácie, ale tam sa bavíme o posunoch a súradniciach a táto otázka patrí do iného článku.

1) Skôr ako sa pustíte do problému, zapíšte si vzorec, ktorý je s ním spojený.

2) Najjednoduchšie úlohy nevyžadujú výkresy, ale vo výnimočných prípadoch ich bude potrebné vykonať.

3) Ak je to možné, snažte sa zbaviť koreňov a menovateľov. Rovnica napísaná na riadku, ktorý nemá menovateľa, je oveľa pohodlnejšia a ľahšie riešiteľná.