Nech je funkcia nezáporná a spojitá na intervale. Potom, podľa geometrického významu určitého integrálu, plocha krivočiareho lichobežníka ohraničená zhora grafom tejto funkcie, zdola osou, vľavo a vpravo priamkami a (pozri obr. 2 ) sa vypočíta podľa vzorca

Príklad 9. Nájdite oblasť tvaru ohraničenú čiarou a os.

Riešenie... Funkčný graf je parabola, ktorej vetvy smerujú nadol. Poďme si ho postaviť (obr. 3). Na určenie hraníc integrácie nájdeme priesečníky priamky (paraboly) s osou (priamka). Aby sme to dosiahli, riešime sústavu rovníc

Dostaneme: , kde , ; teda,,.

Ryža. 3

Plochu obrázku nájdeme podľa vzorca (5):

Ak je funkcia nekladná a spojitá na segmente, potom plocha zakriveného lichobežníka ohraničená zdola grafom tejto funkcie, zhora osou, vľavo a vpravo priamymi čiarami a vypočíta sa vzorec

. (6)

Ak je funkcia spojitá na segmente a mení znamienko na konečnom počte bodov, potom sa plocha tieňovaného útvaru (obr. 4) rovná algebraickému súčtu zodpovedajúcich určitých integrálov:

Ryža. 4

Príklad 10. Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú osou a grafom funkcie at.

Ryža. 5

Riešenie... Urobme si kresbu (obr. 5). Požadovaná plocha je súčtom plôch a. Poďme nájsť každú z týchto oblastí. Najprv určíme hranice integrácie riešením systému Dostaneme,. teda:

;

.

Oblasť tieňovaného obrázku je teda

(jednotky štvorcových).

Ryža. 6

Nakoniec nech je krivočiary lichobežník ohraničený nad a pod grafmi spojitých funkcií na intervale a,
a vľavo a vpravo - rovné čiary a (obr. 6). Potom sa jeho plocha vypočíta podľa vzorca

. (8)

Príklad 11. Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami a.

Riešenie. Tento obrázok je znázornený na obr. 7. Jeho plochu vypočítame podľa vzorca (8). Riešením sústavy rovníc nájdeme,; teda,,. Na segmente máme:. Preto vo vzorci (8) berieme X, a ako -. Dostaneme:

(jednotky štvorcových).

Zložitejšie problémy výpočtu plôch sa riešia rozdelením obrazca na nepretínajúce sa časti a vypočítaním plochy celého obrazca ako súčtu plôch týchto častí.

Ryža. 7

Príklad 12. Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami,,.

Riešenie... Urobme si kresbu (obr. 8). Tento obrázok možno považovať za zakrivený lichobežník ohraničený zospodu osou, zľava a sprava - rovnými čiarami a zhora - grafmi funkcií a. Keďže obrazec je zhora ohraničený grafmi dvoch funkcií, na výpočet jeho plochy rozdelíme tento obrazec priamkou na dve časti (1 je úsečka priesečníka priamok a). Plochu každej z týchto častí nájdeme podľa vzorca (4):

(štvorcové jednotky); (jednotky štvorcových). teda:

(jednotky štvorcových).

Ryža. osem

X= j ( pri)

Ryža. 9

Na záver poznamenávame, že ak je krivočiary lichobežník ohraničený priamkami a osou a spojitým na krivke (obr. 9), potom jeho obsah nájdeme podľa vzorca

Objem rotačného telesa

Nechajte krivočiary lichobežník ohraničený grafom spojitej funkcie na úsečke osou, priamkami a rotovať okolo osi (obr. 10). Potom sa objem výsledného rotačného telesa vypočíta podľa vzorca

. (9)

Príklad 13. Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osi zakriveného lichobežníka ohraničeného hyperbolou, priamkami a osou.

Riešenie... Urobme si kresbu (obr. 11).

Z vyjadrenia problému vyplýva, že,. Podľa vzorca (9) dostaneme

.

Ryža. 10

Ryža. jedenásť

Objem telesa získaný rotáciou okolo osi OU zakrivený lichobežník ohraničený priamkami y = c a y = d, os OU a graf spojitej funkcie na segmente (obr. 12), je určený vzorcom

. (10)

X= j ( pri)

Ryža. 12

Príklad 14... Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osi OU zakrivený lichobežník ohraničený čiarami X 2 = 4pri, y = 4, x = 0 (obr. 13).

Riešenie... V súlade s podmienkou problému nachádzame hranice integrácie:,. Podľa vzorca (10) dostaneme:

Ryža. trinásť

Dĺžka oblúka plochej krivky

Nech krivka daná rovnicou, kde, leží v rovine (obr. 14).

Ryža. 14

Definícia. Dĺžka oblúka je chápaná ako hranica, ku ktorej smeruje dĺžka prerušovanej čiary vpísanej do tohto oblúka, keď počet článkov prerušovanej čiary má tendenciu k nekonečnu a dĺžka najväčšieho článku smeruje k nule.

Ak je funkcia a jej derivácia spojitá na segmente, potom sa dĺžka oblúka krivky vypočíta podľa vzorca

. (11)

Príklad 15... Vypočítajte dĺžku oblúka krivky uzavretej medzi bodmi, pre ktoré .

Riešenie... Od stavu problému, ktorý máme ... Podľa vzorca (11) dostaneme:

.

4. Nevlastné integrály
s nekonečnými hranicami integrácie

Pri zavádzaní pojmu určitý integrál sa predpokladalo, že sú splnené tieto dve podmienky:

a) limity integrácie a a sú konečné;

b) integrand je ohraničený na segmente.

Ak aspoň jedna z týchto podmienok nie je splnená, potom sa volá integrál nesprávny.

Uvažujme najprv nevlastné integrály s nekonečnými hranicami integrácie.

Definícia. Nech je funkcia definovaná a spojitá na intervale a neobmedzené vpravo (obr. 15).

Ak nevlastný integrál konverguje, potom je táto oblasť konečná; ak sa nevlastný integrál diverguje, potom je táto oblasť nekonečná.

Ryža. 15

Nevlastný integrál s nekonečnou spodnou hranicou integrácie je definovaný podobne:

. (13)

Tento integrál konverguje, ak limita na pravej strane rovnosti (13) existuje a je konečná; inak sa integrál nazýva divergentný.

Nevlastný integrál s dvoma nekonečnými hranicami integrácie je definovaný takto:

, (14)

kde c je ľubovoľný bod intervalu. Integrál konverguje len vtedy, ak oba integrály na pravej strane rovnosti (14) konvergujú.

;

G) = [vyberte celý štvorec v menovateli:] = [náhrada:

] =

Nevlastný integrál teda konverguje a jeho hodnota sa rovná.

V predchádzajúcej časti, venovanej analýze geometrického významu určitého integrálu, sme získali niekoľko vzorcov na výpočet plochy krivočiareho lichobežníka:

S (G) = ∫ a b f (x) d x pre spojitú a nezápornú funkciu y = f (x) na segmente [a; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pre spojitú a nekladnú funkciu y = f (x) na segmente [a; b].

Tieto vzorce sú použiteľné na riešenie relatívne jednoduchých problémov. V skutočnosti musíme často pracovať so zložitejšími tvarmi. V tejto súvislosti budeme túto časť venovať analýze algoritmov na výpočet plochy obrazcov, ktoré sú obmedzené funkciami v explicitnej forme, t.j. ako y = f (x) alebo x = g (y).

Veta

Nech sú funkcie y = f 1 (x) a y = f 2 (x) definované a spojité na segmente [a; b], a f1 (x) < f2 (x) pre akúkoľvek hodnotu x z [a; b]. Potom vzorec na výpočet plochy obrazca G ohraničeného priamkami x = a, x = b, y = f 1 (x) a y = f 2 (x) bude mať tvar S (G) = ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx.

Podobný vzorec bude platiť pre oblasť obrazca ohraničenú priamkami y = c, y = d, x = g 1 (y) a x = g 2 (y): S (G) = ∫ cd ( g 2 (y) - g 1 (y) dy.

Dôkaz

Uvažujme tri prípady, pre ktoré bude vzorec platiť.

V prvom prípade, berúc do úvahy vlastnosť plošnej aditivity, sa súčet plôch pôvodného obrázku G a krivočiareho lichobežníka G 1 rovná ploche obrázku G 2. Znamená to, že

Preto S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Posledný prechod môžeme urobiť pomocou tretej vlastnosti určitého integrálu.

V druhom prípade platí rovnosť: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx + - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx

Grafické znázornenie bude vyzerať takto:

Ak sú obe funkcie kladné, dostaneme: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ abf 2 (x) dx - - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx. Grafické znázornenie bude vyzerať takto:

Prejdime k úvahe o všeobecnom prípade, keď y = f 1 (x) a y = f 2 (x) pretínajú os O x.

Priesečníky budú označené ako x i, i = 1, 2,. ... ... , n - 1. Tieto body rozdeľujú segment [a; b] na n častí x i - 1; x i, i = 1, 2,. ... ... , n, kde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

teda

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx = = ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f ( x)) dx = ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx

Posledný prechod môžeme urobiť pomocou piatej vlastnosti určitého integrálu.

Znázornime všeobecný prípad na grafe.

Vzorec S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x možno považovať za preukázaný.

A teraz prejdime k analýze príkladov výpočtu plochy obrázkov, ktoré sú ohraničené priamkami y = f (x) a x = g (y).

Začneme uvažovať o ktoromkoľvek z príkladov vytvorením grafu. Obrázok nám umožní znázorniť zložité tvary ako kombinácie jednoduchších tvarov. Ak vám vykresľovanie grafov a tvarov na nich spôsobuje ťažkosti, môžete si pri skúmaní funkcie preštudovať časť o základných atómových funkciách, geometrickej transformácii grafov funkcií a vykresľovaní.

Príklad 1

Je potrebné určiť plochu obrázku, ktorá je ohraničená parabolou y = - x 2 + 6 x - 5 a priamkami y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Riešenie

Nakreslíme čiary na grafe v karteziánskom súradnicovom systéme.

Na segmente [1; 4] graf paraboly y = - x 2 + 6 x - 5 sa nachádza nad priamkou y = - 1 3 x - 1 2. V tomto ohľade na získanie odpovede používame vzorec získaný skôr, ako aj metódu na výpočet určitého integrálu podľa vzorca Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odpoveď: S (G) = 13

Pozrime sa na zložitejší príklad.

Príklad 2

Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je ohraničená čiarami y = x + 2, y = x, x = 7.

Riešenie

V tomto prípade máme iba jednu priamku rovnobežnú s osou x. Toto je x = 7. To si vyžaduje, aby sme sami našli druhý integračný limit.

Zostavme graf a nakreslite doň čiary uvedené v zadaní problému.

Keď máme graf pred očami, môžeme ľahko určiť, že spodná hranica integrácie bude úsečka priesečníka grafu priamky y = x a semiparaboly y = x + 2. Na nájdenie úsečky použijeme rovnosti:

y = x + 2 О Д З: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ О Д З

Ukazuje sa, že úsečka priesečníka je x = 2.

Upozorňujeme na skutočnosť, že vo všeobecnom príklade na výkrese sa priamky y = x + 2, y = x pretínajú v bode (2; 2), takže takéto podrobné výpočty sa môžu zdať nadbytočné. Takéto podrobné riešenie sme tu poskytli len preto, že v zložitejších prípadoch nemusí byť riešenie také zrejmé. To znamená, že súradnice priesečníka čiar sa vždy najlepšie vypočítajú analyticky.

Na intervale [2; 7] graf funkcie y = x sa nachádza nad grafom funkcie y = x + 2. Použime vzorec na výpočet plochy:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) dx = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odpoveď: S (G) = 59 6

Príklad 3

Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená grafmi funkcií y = 1 x a y = - x 2 + 4 x - 2.

Riešenie

Nakreslíme čiary na grafe.

Definujme hranice integrácie. Aby sme to dosiahli, určíme súradnice priesečníkov priamok porovnaním výrazov 1 x a - x 2 + 4 x - 2. Za predpokladu, že x nie je nula, rovnosť 1 x = - x 2 + 4 x - 2 sa stáva ekvivalentnou rovnici tretieho stupňa - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 s celočíselnými koeficientmi. Algoritmus na riešenie takýchto rovníc si môžete osviežiť v časti „Riešenie kubických rovníc“.

Koreň tejto rovnice je x = 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 = 0.

Vydelením výrazu - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 dvojčlenkou x - 1 dostaneme: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Zostávajúce korene nájdeme z rovnice x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3. 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Našli sme interval x ∈ 1; 3 + 13 2, v ktorom je nad modrou a pod červenou čiarou vložený obrázok G. To nám pomáha určiť oblasť tvaru:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odpoveď: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Príklad 4

Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená krivkami y = x 3, y = - log 2 x + 1 a osou x.

Riešenie

Umiestnime všetky čiary na graf. Graf funkcie y = - log 2 x + 1 dostaneme z grafu y = log 2 x, ak ho usporiadame symetricky okolo osi x a zdvihneme o jednotku. Rovnica na vodorovnej osi je y = 0.

Označme si priesečníky čiar.

Ako vidno z obrázku, grafy funkcií y = x 3 a y = 0 sa pretínajú v bode (0; 0). Je to preto, že x = 0 je jediným skutočným koreňom rovnice x 3 = 0.

x = 2 je jediný koreň rovnice - log 2 x + 1 = 0, preto sa grafy funkcií y = - log 2 x + 1 a y = 0 pretínajú v bode (2; 0).

x = 1 je jediný koreň rovnice x 3 = - log 2 x + 1. V tomto smere sa grafy funkcií y = x 3 a y = - log 2 x + 1 pretínajú v bode (1; 1). Posledné tvrdenie nemusí byť zrejmé, ale rovnica x 3 = - log 2 x + 1 nemôže mať viac ako jeden koreň, pretože funkcia y = x 3 je striktne rastúca a funkcia y = - log 2 x + 1 je prísne klesá.

Ďalšie riešenie predpokladá niekoľko možností.

Možnosť číslo 1

Obrázok G môžeme znázorniť ako súčet dvoch krivočiarych lichobežníkov umiestnených nad osou x, z ktorých prvý je umiestnený pod stredovou čiarou na úsečke x ∈ 0; 1 a druhý je pod červenou čiarou na segmente x ∈ 1; 2. To znamená, že plocha bude S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x.

Možnosť číslo 2

Obrázok G môže byť znázornený ako rozdiel dvoch obrázkov, z ktorých prvý je umiestnený nad osou x a pod modrou čiarou na úsečke x ∈ 0; 2 a druhá je medzi červenou a modrou čiarou na segmente x ∈ 1; 2. To nám umožňuje nájsť oblasť takto:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

V tomto prípade na nájdenie oblasti budete musieť použiť vzorec v tvare S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. V skutočnosti môžu byť čiary, ktoré viažu tvar, reprezentované ako funkcie argumentu y.

Vyriešte rovnice y = x 3 a - log 2 x + 1 pre x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Získame požadovanú oblasť:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) dy = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odpoveď: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Príklad 5

Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je ohraničená čiarami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Riešenie

Červenou čiarou nakreslite na graf čiaru určenú funkciou y = x. Nakreslite čiaru y = - 1 2 x + 4 modrou farbou a čiaru y = 2 3 x - 3 nakreslite čiernou farbou.

Označme priesečníky.

Nájdite priesečníky grafov funkcií y = x a y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 О Д З: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Skontrolujte: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nie Mám riešenie x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 i s e r t e r s ⇒ (4; 2) priesečník i y = x a y = - 1 2 x + 4

Nájdite priesečník grafov funkcií y = x a y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrola: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 Mám riešenie ⇒ (9; 3) priesečník bodov y = x a y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 žiadne riešenie

Nájdite priesečník priamok y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) priesečník y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3

Metóda číslo 1

Predstavme si plochu požadovaného obrazca ako súčet plôch jednotlivých obrazcov.

Potom sa plocha obrázku rovná:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metóda číslo 2

Plochu pôvodného tvaru si možno predstaviť ako súčet ostatných dvoch tvarov.

Potom vyriešime rovnicu čiary vzhľadom na x a až potom použijeme vzorec na výpočet plochy obrázku.

y = x ⇒ x = y 2 červená čiara y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 čierna čiara y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8

Plocha sa teda rovná:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 dy + ∫ 2 3 3 2 r + 9 2 - r 2 dy = = 7 4 r. 2 - 7 4 r. 1 2 + - r 3 3 + 3 r. 2 4 + 9 2 r. 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Ako vidíte, hodnoty sú rovnaké.

Odpoveď: S (G) = 11 3

výsledky

Aby sme našli plochu obrázku, ktorá je ohraničená danými čiarami, musíme postaviť čiary na rovine, nájsť ich priesečníky, použiť vzorec na nájdenie plochy. V tejto časti sme preskúmali najbežnejšie možnosti úloh.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Integrálna aplikácia na riešenie aplikovaných problémov

Výpočet plochy

Určitý integrál spojitej nezápornej funkcie f (x) sa numericky rovná oblasť zakriveného lichobežníka ohraničená krivkou y = f (x), osou O x a priamkami x = a a x = b. V súlade s tým je vzorec oblasti napísaný takto:

Pozrime sa na niekoľko príkladov na výpočet plôch plochých postáv.

Úloha č.1. Vypočítajte plochu ohraničenú priamkami y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Riešenie. Zostavme obrázok, ktorého oblasť budeme musieť vypočítať.

y = x 2 + 1 je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor a parabola je posunutá vzhľadom na os O y nahor o jednu jednotku (obrázok 1).

Obrázok 1. Graf funkcie y = x 2 + 1

Úloha číslo 2. Vypočítajte plochu ohraničenú priamkami y = x 2 - 1, y = 0 v rozsahu od 0 do 1.

Riešenie. Grafom tejto funkcie je parabola vetvy, ktorá smeruje nahor a parabola je posunutá vzhľadom na os O y nadol o jednu jednotku (obrázok 2).

Obrázok 2. Graf funkcie y = x 2 - 1

Problém číslo 3. Urobte kresbu a vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami

y = 8 + 2x - x 2 a y = 2x - 4.

Riešenie. Prvá z týchto dvoch čiar je parabola s vetvami smerujúcimi nadol, pretože koeficient na x 2 je záporný, a druhá čiara je priamka, ktorá pretína obe súradnicové osi.

Na zostavenie paraboly nájdeme súradnice jej vrcholu: y ’= 2 - 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - súradnica vrcholu; y (1) = 8 + 2 ∙ 1 - 1 2 = 9 je jeho ordináta, N (1; 9) je vrchol.

Teraz nájdeme priesečníky paraboly a priamky riešením sústavy rovníc:

Vyrovnanie pravých strán rovnice, ktorej ľavé strany sú rovnaké.

Dostaneme 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 alebo x 2 - 12 = 0, odkiaľ .

Body sú teda priesečníky paraboly a priamky (obrázok 1).

Obrázok 3 Grafy funkcií y = 8 + 2x - x 2 a y = 2x - 4

Zostrojme priamku y = 2x - 4. Prechádza bodmi (0; -4), (2; 0) na súradnicových osiach.

Na zostrojenie paraboly môžete mať aj jej priesečníky s osou 0x, teda korene rovnice 8 + 2x - x 2 = 0 alebo x 2 - 2x - 8 = 0. Podľa Vietovej vety je to jednoduché nájsť jeho korene: x 1 = 2, x 2 = 4.

Obrázok 3 zobrazuje obrázok (parabolický segment M1N M2), ohraničený týmito čiarami.

Druhou časťou úlohy je nájsť oblasť tohto obrázku. Jeho obsah možno nájsť pomocou určitého integrálu podľa vzorca .

Vzhľadom na túto podmienku získame integrál:

2 Výpočet objemu rotačného telesa

Objem telesa získaný z rotácie krivky y = f (x) okolo osi O x sa vypočíta podľa vzorca:

Pri otáčaní okolo osi O y vzorec vyzerá takto:

Problém číslo 4. Určte objem telesa získaný rotáciou zakriveného lichobežníka ohraničeného priamkami x = 0 x = 3 a krivkou y = okolo osi O x.

Riešenie. Zostavme si obrázok (obrázok 4).

Obrázok 4. Graf funkcie y =

Požadovaný objem je

Problém číslo 5. Vypočítajte objem telesa získaný rotáciou zakriveného lichobežníka ohraničeného krivkou y = x 2 a priamkami y = 0 a y = 4 okolo osi O y.

Riešenie. Máme:

Kontrolné otázky

NASA spustí expedíciu na Mars v júli 2020. Kozmická loď doručí na Mars elektronický nosič s menami všetkých registrovaných členov expedície.

Ak tento príspevok vyriešil váš problém alebo sa vám len páčil, zdieľajte odkaz naň so svojimi priateľmi na sociálnych sieťach.

Jeden z týchto variantov kódu musíte skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky a alebo hneď za značkou ... Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky sleduje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, no nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v službe Blogger alebo WordPress: na hlavný panel svojej lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu načítavacieho kódu uvedeného vyššie a umiestnite miniaplikáciu bližšie k začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do webových stránok svojej webovej lokality.

Ďalší Silvester ... mrazivé počasie a snehové vločky na okennej tabuli ... To všetko ma podnietilo opäť napísať o ... fraktáloch a o tom, čo o tom Wolfram Alpha vie. Je o tom zaujímavý článok, ktorý obsahuje príklady dvojrozmerných fraktálových štruktúr. Tu sa pozrieme na zložitejšie príklady 3D fraktálov.

Fraktál možno vizualizovať (opísať) ako geometrický útvar alebo teleso (čo znamená, že oba sú súborom, v tomto prípade súborom bodov), ktorých detaily majú rovnaký tvar ako samotný pôvodný útvar. To znamená, že ide o samopodobnú štruktúru, ktorej detaily pri zväčšení uvidíme rovnaký tvar ako bez zväčšenia. Zatiaľ čo v prípade pravidelného geometrického tvaru (nie fraktálu) pri priblížení uvidíme detaily, ktoré majú jednoduchší tvar ako samotný pôvodný tvar. Napríklad pri dostatočne veľkom zväčšení vyzerá časť elipsy ako úsečka. To sa pri fraktáloch nedeje: pri akomkoľvek náraste opäť uvidíme rovnaký zložitý tvar, ktorý sa bude pri každom náraste opakovať znova a znova.

Benoit Mandelbrot, zakladateľ vedy o fraktáloch, vo svojom článku Fraktály a umenie pre vedu napísal: "Fraktály sú geometrické útvary, ktoré sú rovnako zložité v detailoch ako vo svojej všeobecnej forme. Časť fraktálu sa zväčší na veľkosť celok bude vyzerať ako celok, alebo presne, alebo možno s miernou deformáciou."

Výpočet plochy tvaru- to je možno jeden z najťažších problémov v teórii oblastí. V školskej geometrii sa učia nájsť plochy základných geometrických útvarov ako napríklad trojuholník, kosoštvorec, obdĺžnik, lichobežník, kruh a pod. Často sa však musíte potýkať s výpočtom plôch zložitejších tvarov. Práve pri riešení takýchto problémov je veľmi vhodné použiť integrálny počet.

Definícia.

Zakrivený lichobežník sa nazýva nejaký obrazec G, ohraničený priamkami y = f (x), y = 0, x = a a x = b a funkcia f (x) je spojitá na úsečke [a; b] a nemení na ňom svoje znamienko (obr. 1). Oblasť zakriveného lichobežníka môže byť označená S (G).

Určitý integrál ʃ а b f (x) dx pre funkciu f (x), ktorá je spojitá a nezáporná na intervale [а; b] a je oblasťou zodpovedajúceho zakriveného lichobežníka.

To znamená, že na nájdenie plochy obrázku G, ohraničeného priamkami y = f (x), y = 0, x = a a x = b, je potrebné vypočítať určitý integrál ʃ abf (x) dx.

Touto cestou, S (G) = ʃ a b f (x) dx.

Ak funkcia y = f (x) nie je kladná na [a; b], potom pomocou vzorca možno nájsť oblasť zakriveného lichobežníka S (G) = -ʃ a b f (x) dx.

Príklad 1

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú priamkami y = x 3; y = 1; x = 2.

Riešenie.

Uvedené čiary tvoria obrazec ABC, ktorý je znázornený šrafovaním ryža. 2.

Požadovaná plocha sa rovná rozdielu medzi plochami zakriveného lichobežníka DACE a štvorca DABE.

Pomocou vzorca S = ʃ a b f (x) dx = S (b) - S (a) nájdeme hranice integrácie. Aby sme to dosiahli, riešime systém dvoch rovníc:

(y = x 3,
(y = 1.

Máme teda x 1 = 1 - spodná hranica a x = 2 - horná hranica.

Takže S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4/4 | 1 2 - 1 = (16 - 1) / 4 - 1 = 11/4 (štvorcové jednotky).

Odpoveď: 11/4 m2. Jednotky

Príklad 2

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú priamkami y = √x; y = 2; x = 9.

Riešenie.

Dané čiary tvoria obrazec ABC, ktorý je zhora ohraničený grafom funkcie

y \ u003d √x a pod grafom funkcie y \ u003d 2. Výsledný údaj je znázornený tieňovaním ryža. 3.

Požadovaná plocha je S = ʃ a b (√x - 2). Nájdite hranice integrácie: b = 9, aby sme našli a, riešime sústavu dvoch rovníc:

(y = √x,
(y = 2.

Máme teda, že x = 4 = a - toto je spodná hranica.

Takže S = ∫ 4 9 (√x - 2) dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x | 4 9 - 2x | 4 9 = (18 - 16/3) - (18 - 8) = 2 2/3 (štvorcové jednotky).

Odpoveď: S = 2 2/3 štvorcových. Jednotky

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú priamkami y = x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Riešenie.

Zostrojme graf funkcie y = x 3 - 4x pre x ≥ 0. Aby sme to dosiahli, nájdeme deriváciu y ':

y '= 3x 2 - 4, y' = 0 pri x = ± 2 / √3 ≈ 1,1 sú kritické body.

Ak znázorníme kritické body na číselnej osi a usporiadame znamienka derivácie, dostaneme, že funkcia klesá z nuly na 2 / √3 a rastie z 2 / √3 do plus nekonečna. Potom x = 2 / √3 je minimálny bod, minimálna hodnota funkcie je min = -16 / (3√3) ≈ -3.

Definujme priesečníky grafu so súradnicovými osami:

ak x = 0, potom y = 0, čo znamená, že A (0; 0) je priesečník s osou Oy;

ak y = 0, potom x 3 - 4x = 0 alebo x (x 2 - 4) = 0, alebo x (x - 2) (x + 2) = 0, odkiaľ x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (nevhodné, pretože x ≥ 0).

Body A (0; 0) a B (2; 0) sú priesečníky grafu s osou Ox.

Špecifikované čiary tvoria tvar OAB, ktorý je znázornený šrafovaním ryža. 4.

Keďže funkcia y = x 3 - 4x nadobúda zápornú hodnotu na (0; 2), potom

S = | ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx |.

Máme: ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx = (x 4/4 - 4x 2/2) | 0 2 = -4, odkiaľ S = 4 sq. Jednotky

Odpoveď: S = 4 štvorcových. Jednotky

Príklad 4

Nájdite plochu obrazca ohraničenú parabolou y = 2x 2 - 2x + 1, priamkami x = 0, y = 0 a dotyčnicou k tejto parabole v bode s os x 0 = 2.

Riešenie.

Najprv zostavíme rovnicu dotyčnice k parabole y = 2x 2 - 2x + 1 v bode s os x₀ = 2.

Keďže derivácia y ’= 4x - 2, potom pri x 0 = 2 dostaneme k = y’ (2) = 6.

Nájdite súradnicu bodu dotyku: y 0 = 2 2 2 - 2 2 + 1 = 5.

Dotyková rovnica má preto tvar: y - 5 = 6 (x - 2) alebo y = 6x - 7.

Nakreslíme tvar ohraničený čiarami:

y = 2x 2 - 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x - 7.

G y = 2x 2 - 2x + 1 - parabola. Priesečníky so súradnicovými osami: A (0; 1) - s osou Oy; s osou Ox - neexistujú žiadne priesečníky, pretože rovnica 2x 2 - 2x + 1 = 0 nemá riešenia (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, to znamená, že vrchol bodu paraboly B má súradnice B (1/2; 1/2).

Takže číslo, ktorého oblasť chcete určiť, je znázornené šrafovaním ryža. 5.

Máme: S О A В D = S OABC - S ADBC.

Nájdite súradnice bodu D z podmienky:

6x - 7 = 0, t.j. x = 7/6, teda DC = 2 - 7/6 = 5/6.

Oblasť trojuholníka DBC sa zistí podľa vzorca S ADBC ​​​​= 1/2 DC BC. Touto cestou,

S ADBC ​​​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 štvorcových. Jednotky

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1) dx = (2x 3/3 - 2x 2/2 + x) | 0 2 = 10/3 (štvorcové jednotky).

Nakoniec dostaneme: S О A В D = S OABC - S ADBC ​​​​= 10/3 - 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (štvorcové jednotky).

Odpoveď: S = 1 1/4 štvorcových. Jednotky

Analyzovali sme príklady nájdenie oblastí obrázkov ohraničených určenými čiarami... Na úspešné vyriešenie takýchto problémov musíte byť schopní zostaviť čiary a grafy funkcií v rovine, nájsť priesečníky čiar, použiť vzorec na nájdenie oblasti, čo znamená prítomnosť zručností a schopností na výpočet určitých integrálov.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.