Қуат функциясы

Қуат функциясы у = x a формуласымен анықталады.

Графиктердің пайда болуы және функцияның қасиеттері дәреженің мәніне байланысты.

• дәрежелік функцияның бүтін көрсеткіші а болса, онда дәреже функциясының графигінің түрі және оның қасиеттері көрсеткіштің жұп немесе тақ болуына, сондай-ақ көрсеткіштің қандай белгісі бар екеніне байланысты. Осы ерекше жағдайлардың барлығын төменде толығырақ қарастырайық;
• көрсеткіш бөлшек немесе иррационал болуы мүмкін – осыған байланысты функцияның графиктерінің түрі мен қасиеттері де өзгереді. Біз бірнеше шарттарды қою арқылы ерекше жағдайларды талдаймыз: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• қуат функциясы нөлдік көрсеткішке ие болуы мүмкін, біз бұл жағдайды төменде толығырақ талдаймыз.

Қуат функциясын талдап көрейік y = x a, a тақ оң сан болғанда, мысалы, a = 1, 3, 5...

Түсінікті болу үшін мұндай дәрежелік функциялардың графиктерін көрсетеміз: у = х (графикалық түс қара), y = x 3 ( Көк түсграфика өнері), y = x 5 (графиктің қызыл түсі), y = x 7 (графикалық түс жасыл). a = 1 болғанда, біз аламыз сызықтық функция y = x.

Анықтама 6

Көрсеткіш тақ оң болғанда дәрежелік функцияның қасиеттері

• функция x ∈ үшін өсуде (- ∞ ; + ∞) ;
• функция x ∈ үшін дөңес (- ∞ ; 0 ] және x ∈ [ 0 ; + ∞) үшін ойыс болады (сызықтық функцияны қоспағанда);
• иілу нүктесінің координаттары бар (0 ; 0) (сызықтық функцияны қоспағанда);
• асимптоталар жоқ;
• функциясының өту нүктелері: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Қуат функциясын талдап көрейік y = x a, а жұп оң сан болғанда, мысалы, a = 2, 4, 6...

Түсінікті болу үшін біз осындай қуат функцияларының графиктерін көрсетеміз: y = x 2 (графикалық түс қара), y = x 4 (графиктің көк түсі), y = x 8 (графиктің қызыл түсі). a = 2 болғанда, біз аламыз квадраттық функция, графигі квадраттық парабола.

Анықтама 7

Көрсеткіш жұп оң болғанда дәрежелік функцияның қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• x ∈ үшін кему (- ∞ ; 0 ] ;
• функцияның x ∈ үшін ойыстығы бар (- ∞ ; + ∞) ;
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• асимптоталар жоқ;
• функциясының өту нүктелері: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Төмендегі суретте қуат функциясы графиктерінің мысалдары көрсетілген а тақ болғанда y = x a теріс сан: y = x - 9 (графикалық түс қара); y = x - 5 (графиктің көк түсі); y = x - 3 (графиктің қызыл түсі); y = x - 1 (графикалық түс жасыл). a = - 1 болғанда, графигі гипербола болатын кері пропорционалдылықты аламыз.

Анықтама 8

Көрсеткіш тақ теріс болғанда дәрежелік функцияның қасиеттері:

x = 0 болғанда, екінші текті үзіліс аламыз, өйткені lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 1, - 3, - 5, …. Сонымен, х = 0 түзу тік асимптотаны құрайды;

• диапазон: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• функция тақ, себебі y (- x) = - y (x);
• функция x ∈ - ∞ үшін кемиді; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• функция x ∈ (- ∞ ; 0) үшін дөңес және x ∈ (0 ; + ∞) үшін ойыс болады;
• бұрылыс нүктелері жоқ;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 болғанда, a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• функциясының өту нүктелері: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Төмендегі суретте а жұп теріс сан болғанда y = x a дәреже функциясының графиктерінің мысалдары көрсетілген: y = x - 8 (графикалық түс қара); y = x - 4 (графиктің көк түсі); y = x - 2 (графиктің қызыл түсі).

Анықтама 9

Көрсеткіш жұп теріс болғандағы дәрежелік функцияның қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

x = 0 болғанда, екінші текті үзіліс аламыз, өйткені lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 2, - 4, - 6, …. Сонымен, х = 0 түзу тік асимптотаны құрайды;

• функциясы жұп, себебі y(-x) = y(x);
• функция x ∈ (- ∞ ; 0) үшін өсуде және x ∈ 0 үшін кемуде; + ∞ ;
• функцияның x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) кезінде ойыстығы бар;
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• горизонталь асимптота – түзу у = 0, себебі:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 болғанда, a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• функциясының өту нүктелері: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Ең басынан бастап мына аспектіге назар аударыңыз: а тақ бөлімі бар оң бөлшек болған жағдайда, кейбір авторлар бұл дәреже функциясының анықталу облысы ретінде - ∞ интервалын алады; + ∞ , a көрсеткішінің азайтылмайтын бөлшек екенін шарттай отырып. Қосулы осы сәткөптеген авторлар оқу басылымдарыалгебрада және талдау принциптерінде дәрежелік функцияларды АНЫҚТАМАҢЫЗ, мұндағы дәреже көрсеткіші тақ бөлгіші бар бөлшек теріс мәндераргумент. Әрі қарай біз дәл осы ұстанымды ұстанамыз: жиынды аламыз [ 0 ; + ∞) . Студенттерге ұсыныс: келіспеушіліктерді болдырмау үшін осы мәселе бойынша мұғалімнің көзқарасын біліңіз.

Сонымен, қуат функциясын қарастырайық y = x a , дәреже көрсеткіші рационал болғанда немесе иррационал сан 0 болған жағдайда< a < 1 .

Қуат функцияларын графиктер арқылы көрсетейік y = x a кезінде a = 11 12 (графикалық түс қара); a = 5 7 (графиктің қызыл түсі); a = 1 3 (графиктің көк түсі); a = 2 5 (графиктің жасыл түсі).

a көрсеткішінің басқа мәндері (0 берілген< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Анықтама 10

0-дегі қуат функциясының қасиеттері< a < 1:

• диапазон: y ∈ [ 0 ; + ∞);
• функция x ∈ [ 0 үшін өсуде; + ∞);
• функциясы х ∈ (0 ; + ∞) үшін дөңес;
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• асимптоталар жоқ;

Қуат функциясын талдап көрейік y = x a, дәреже көрсеткіші бүтін емес рационал немесе иррационал сан болғанда, a > 1 болған жағдайда.

Қуат функциясын графиктер арқылы көрсетейік y = x a берілген шарттарда келесі функцияларды мысал ретінде пайдалана отырып: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (графиктердің қара, қызыл, көк, жасыл түсі, тиісінше).

a > 1 жағдайында a көрсеткішінің басқа мәндері ұқсас графикті береді.

Анықтама 11

a > 1 үшін қуат функциясының қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ [ 0 ; + ∞);
• диапазон: y ∈ [ 0 ; + ∞);
• бұл функция функция болып табылады жалпы көрініс(тақ та, жұп та емес);
• функция x ∈ [ 0 үшін өсуде; + ∞);
• функция x ∈ (0 ; + ∞) үшін ойыс болады (1 болғанда< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• асимптоталар жоқ;
• функциясының өту нүктелері: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Назар аударыңыз, егер а тақ бөлгіші бар теріс бөлшек болса, кейбір авторлардың еңбектерінде анықтау облысы мынада деген көзқарас бар. бұл жағдайда– интервал – ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) a көрсеткішінің азайтылмайтын бөлшек екенін ескертеді. Қазіргі уақытта авторлар оқу материалдарыалгебра және талдау принциптерінде аргументтің теріс мәндері үшін тақ бөлгіші бар бөлшек түріндегі көрсеткіші бар дәрежелік функцияларды АНЫҚТАМАҢЫЗ. Әрі қарай, біз дәл осы көзқарасты ұстанамыз: бөлшек теріс көрсеткішті дәрежелік функцияларды анықтау облысы ретінде (0 ; + ∞) жиынын аламыз. Оқушыларға ұсыныс: Келіспеушіліктерді болдырмау үшін осы сәтте мұғалімнің көзқарасын нақтылаңыз.

Тақырыпты жалғастырып, қуат функциясына талдау жасайық y = x a берілген: - 1< a < 0 .

Мына функциялардың графиктерінің сызбасын ұсынайық: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (қара, қызыл, көк, жасыл түсті жолдар, тиісінше).

Анықтама 12

- 1 кезіндегі қуат функциясының қасиеттері< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ болғанда - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• диапазон: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
• бұрылыс нүктелері жоқ;

Төмендегі сызбада у = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (қара, қызыл, көк, жасыл түстертиісінше қисықтар).

Анықтама 13

a үшін қуат функциясының қасиеттері< - 1:

• анықтау облысы: x ∈ 0 ; + ∞ ;

a болғанда lim x → 0 + 0 x a = + ∞< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• диапазон: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
• функция x ∈ 0 үшін кемиді; + ∞ ;
• функцияның x ∈ 0 үшін ойыстығы бар; + ∞ ;
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• көлденең асимптот – түзу у = 0;
• функцияның өту нүктесі: (1; 1) .

a = 0 және x ≠ 0 болғанда, (0; 1) нүктесі алынып тасталатын түзуді анықтайтын y = x 0 = 1 функциясын аламыз (0 0 өрнегіне ешқандай мағына берілмейді деп келісілді. ).

Көрсеткіштік функцияның пішіні бар y = a x, мұндағы a > 0 және a ≠ 1, және бұл функцияның графигі a негізінің мәніне байланысты басқаша көрінеді. Ерекше жағдайларды қарастырайық.

Алдымен көрсеткіштік функцияның негізі нөлден бірге дейінгі мәнге ие болатын жағдайды қарастырайық (0< a < 1) . Айқын мысал a = 1 2 (қисық сызықтың көк түсі) және a = 5 6 (қисық сызықтың қызыл түсі) функцияларының графиктері қызмет етеді.

Көрсеткіштік функцияның графиктері 0 шарты бойынша негіздің басқа мәндері үшін ұқсас көрініске ие болады< a < 1 .

Анықтама 14

Көрсеткіштік функцияның негізі бірден кіші болғандағы қасиеттері:

• диапазон: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
• негізі біреуден кіші экспоненциалды функция анықтаудың барлық облысы бойынша кемиді;
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• көлденең асимптота – y = 0 түзу сызық x айнымалысы + ∞-ке бейім;

Енді көрсеткіштік функцияның негізі бірден үлкен (a > 1) болған жағдайды қарастырайық.

Осыны суреттеп көрейік жеке оқиғаэкспоненциалды функциялардың графигі y = 3 2 x (қисықтың көк түсі) және y = e x (графиктің қызыл түсі).

Негіздің басқа мәндері, үлкенірек бірліктер экспоненциалды функцияның графигіне ұқсас көрініс береді.

Анықтама 15

Көрсеткіштік функцияның негізі бірден үлкен болғандағы қасиеттері:

• анықтау облысы – нақты сандар жиыны;
• диапазон: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
• негізі біреуден үлкен көрсеткіштік функция x ∈ - ∞ ретінде өседі; + ∞ ;
• функцияның х ∈ - ∞ нүктесінде ойыстығы бар; + ∞ ;
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• көлденең асимптота – y = 0 түзу сызық, х айнымалысы - ∞ бейім;
• функцияның өту нүктесі: (0; 1) .

Логарифмдік функция y = log a (x) түрінде болады, мұндағы a > 0, a ≠ 1.

Мұндай функция тек аргументтің оң мәндері үшін анықталады: x ∈ 0 үшін; + ∞ .

Логарифмдік функцияның графигі бар әртүрлі түрі, a негізінің мәніне негізделген.

Алдымен 0 болған жағдайды қарастырайық< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Үлкен бірліктер емес, негіздің басқа мәндері графиктің ұқсас түрін береді.

Анықтама 16

Логарифмдік функцияның негізі бірден кіші болғандағы қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ 0 ; + ∞ . x оң жақтан нөлге ұмтылатындықтан, функция мәндері +∞-ке бейім;
• мәндер диапазоны: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
• логарифмдік
• функцияның x ∈ 0 үшін ойыстығы бар; + ∞ ;
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• асимптоталар жоқ;

Енді логарифмдік функцияның негізі бірден үлкен болатын ерекше жағдайды қарастырайық: a > 1 . Төмендегі сызбада y = log 3 2 x және y = ln x логарифмдік функциялардың графиктері көрсетілген (тиісінше графиктердің көк және қызыл түстері).

Бірден жоғары негіздің басқа мәндері ұқсас график түрін береді.

Анықтама 17

Негізі бірден үлкен болғанда логарифмдік функцияның қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ 0 ; + ∞ . x оң жақтан нөлге ұмтылатындықтан, функция мәндері - ∞ ;
• мәндер диапазоны: y ∈ - ∞ ; + ∞ (нақты сандар жиыны);
• бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
• логарифмдік функция x ∈ 0 үшін өсуде; + ∞ ;
• функция х ∈ 0 үшін дөңес; + ∞ ;
• бұрылыс нүктелері жоқ;
• асимптоталар жоқ;
• функцияның өту нүктесі: (1; 0) .

Тригонометриялық функцияларға синус, косинус, тангенс және котангенс жатады. Олардың әрқайсысының қасиеттерін және сәйкес графиканы қарастырайық.

Жалпы алғанда, барлық тригонометриялық функциялар периодтылық қасиетімен сипатталады, яғни. функция мәндері қайталанған кезде әртүрлі мағыналар f (x + T) = f (x) (T – период) периоды бойынша бір-бірінен ерекшеленетін аргументтер. Осылайша, тригонометриялық функциялардың қасиеттерінің тізіміне «ең кіші оң кезең» тармағы қосылады. Сонымен қатар, сәйкес функция нөлге айналатын аргументтің мәндерін көрсетеміз.

1. Синус функциясы: y = sin(x)

Бұл функцияның графигі синус толқыны деп аталады.

Анықтама 18

Синус функциясының қасиеттері:

• анықтау облысы: нақты сандардың бүкіл жиыны x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• функция x = π · k болғанда жойылады, мұндағы k ∈ Z (Z – бүтін сандар жиыны);
• функция x ∈ - π 2 + 2 π · k үшін өсуде; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z және x ∈ π 2 + 2 π · k үшін кему; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• синус функциясының π 2 + 2 π · k нүктелерінде жергілікті максимумдары бар; 1 және нүктелердегі жергілікті минимумдар - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• x ∈ - π + 2 π · k болғанда синус функциясы ойыс болады; 2 π · k, k ∈ Z және x ∈ 2 π · k болғанда дөңес; π + 2 π k, k ∈ Z;
• асимптоталар жоқ.

1. Косинус функциясы: y = cos(x)

Бұл функцияның графигі косинус толқыны деп аталады.

Анықтама 19

Косинус функциясының қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ең кіші оң период: T = 2 π;
• мәндер диапазоны: y ∈ - 1 ; 1 ;
• бұл функция жұп, өйткені y (- x) = y (x);
• функция x ∈ - π + 2 π · k үшін өсуде; 2 π · k, k ∈ Z және x ∈ 2 π · k үшін кему; π + 2 π k, k ∈ Z;
• косинус функциясы 2 π · k нүктелерінде жергілікті максимумдарға ие; 1, k ∈ Z және π + 2 π · k нүктелеріндегі жергілікті минимумдар; - 1, k ∈ z;
• x ∈ π 2 + 2 π · k болғанда косинус функциясы ойыс болады; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z және х ∈ - π 2 + 2 π · k кезінде дөңес; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• иілу нүктелерінің координаталары π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
• асимптоталар жоқ.

1. Тангенс функциясы: y = t g (x)

Бұл функцияның графигі деп аталады жанама.

Анықтама 20

Тангенс функциясының қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, мұндағы k ∈ Z (Z – бүтін сандар жиыны);
• lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ анықтау облысы шекарасындағы тангенс функциясының әрекеті . Сонымен, x = π 2 + π · k k ∈ Z түзулері тік асимптоталар;
• k ∈ Z үшін x = π · k болғанда функция жойылады (Z – бүтін сандар жиыны);
• мәндер диапазоны: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• бұл функция тақ, өйткені y (- x) = - y (x) ;
• функциясы ретінде артады - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• тангенс функциясы x ∈ [π · k үшін ойыс; π 2 + π · k) , k ∈ Z және x ∈ үшін дөңес (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• иілу нүктелерінің координаталары бар π · k ; 0 , k ∈ Z ;

1. Котангенс функциясы: y = c t g (x)

Бұл функцияның графигі котангентоид деп аталады. .

Анықтама 21

Котангенс функциясының қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ (π · k ; π + π · k) , мұндағы k ∈ Z (Z – бүтін сандар жиыны);

Анықтау облысы шекарасындағы котангенс функциясының әрекеті lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Сонымен, x = π · k k ∈ Z түзулері тік асимптоталар;

• ең кіші оң период: T = π;
• k ∈ Z үшін x = π 2 + π · k болғанда функция жойылады (Z – бүтін сандар жиыны);
• мәндер диапазоны: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• бұл функция тақ, өйткені y (- x) = - y (x) ;
• функция x ∈ π · k үшін кемиді; π + π k, k ∈ Z;
• котангенс функциясы x ∈ үшін ойыс (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z және x ∈ үшін дөңес [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
• иілу нүктелерінің координаталары π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
• Қиғаш немесе көлденең асимптоталар жоқ.

Кері тригонометриялық функциялар– бұларксинус, арккосинус, арктангенс және арккотангенс. Көбінесе атауында «доға» префиксінің болуына байланысты кері тригонометриялық функцияларды доға функциялары деп атайды. .

1. Доға синусы функциясы: y = a r c sin (x)

Анықтама 22

Арксинус функциясының қасиеттері:

• бұл функция тақ, өйткені y (- x) = - y (x) ;
• арксинус функциясының х ∈ 0 үшін ойыстығы бар; 1 және х ∈ - 1 үшін дөңес; 0 ;
• иілу нүктелерінің координаталары (0; 0) болады, бұл да функцияның нөлі;
• асимптоталар жоқ.

1. Косинус доғасының функциясы: y = a r c cos (x)

Анықтама 23

Доғалық косинус функциясының қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ - 1 ; 1 ;
• диапазон: y ∈ 0 ; π;
• бұл функция жалпы формада (жұп емес те, тақ та емес);
• функция анықтаудың барлық облысы бойынша кемиді;
• доғалық косинус функциясы х ∈ - 1 кезінде ойыс болады; 0 және х ∈ 0 үшін дөңес; 1 ;
• иілу нүктелерінің координаттары 0; π 2;
• асимптоталар жоқ.

1. Арктангенс функциясы: y = a r c t g (x)

Анықтама 24

Арктангенс функциясының қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• мәндер диапазоны: y ∈ - π 2 ; π 2;
• бұл функция тақ, өйткені y (- x) = - y (x) ;
• функция анықтаудың барлық облысы бойынша өсуде;
• арктангенс функциясының x ∈ (- ∞ ; 0 ] үшін ойыстығы және x ∈ [ 0 ; + ∞) үшін дөңестігі бар;
• иілу нүктесінде координаталар (0; 0) бар, бұл да функцияның нөлі;
• көлденең асимптоталар x → - ∞ түрінде y = - π 2 түзулері және x → + ∞ түрінде у = π 2 түзулері (суретте асимптоталар жасыл сызықтар).

1. Доғаның жанама функциясы: y = a r c c t g (x)

Анықтама 25

Аркотангенс функциясының қасиеттері:

• анықтау облысы: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• диапазон: y ∈ (0; π) ;
• бұл функция жалпы формада;
• функция анықтаудың барлық облысы бойынша кемиді;
• доға котангенсі функциясы x ∈ [ 0 үшін ойыс болады; + ∞) және x ∈ үшін дөңес (- ∞ ; 0 ] ;
• иілу нүктесінің координаттары 0; π 2;
• көлденең асимптоталар x → - ∞ (сызбадағы жасыл сызық) y = π түзулері және x → + ∞ нүктесінде у = 0 түзулері.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Презентацияны алдын ала қарауды пайдалану үшін Google есептік жазбасын жасаңыз және оған кіріңіз: https://accounts.google.com

Слайдтағы жазулар:

Сабақтың тақырыбы: Дәреже функциясы және оның графигі.

Алгебрашылар АА, ААА, ... орнына А 2, А 3, ... деп жазатыны сияқты мен де -1, а -2, а -3, ... Ньютон I орнына жазамын.

y = x xy y = x 2 xy y = x 3 x y xy Тура парабола Кубтық парабола Гипербола Біз функциялармен танысамыз: Бұл функциялардың барлығы қуат функциясының ерекше жағдайлары болып табылады.

Мұндағы p – берілген нақты сан Анықтама: Дәрежелік функция – y = x p түріндегі функция Дәрежелік функцияның қасиеттері мен графигі нақты көрсеткіші бар дәреженің қасиеттеріне, атап айтқанда, мәндеріне байланысты. x және p санының x p күші мағынасы бар.

y=x 2 n функциясы жұп, өйткені (– x) 2 n = x 2 n Функция аралықта азаяды Функция аралықта артады Қуат функциясы: Көрсеткіш p = 2n – жұп натурал саны y = x 2, y = x 4, y = x 6, y = x 8 , ... 1 0 x y y = x 2

y x - 1 0 1 2 y = x 2 y = x 6 y = x 4 Дәрежелік функция: Көрсеткіш p = 2n – жұп натурал саны y = x 2, y = x 4, y = x 6, y = x 8, . ..

y=x 2 n -1 функциясы тақ, өйткені (– x) 2 n -1 = – x 2 n -1 Функция аралықта артады Қуат функциясы: Көрсеткіш p = 2n-1 – тақ натурал сан y = x 3, y = x 5, y = x 7, y = x 9 , … 1 0

Қуат функциясы: y x  - 1 0 1 2 y = x 3 y = x 7 y = x 5 Көрсеткіш p = 2n-1 – тақ натурал сан y = x 3, y = x 5, y = x 7, y = x 9 ,...

y=x- 2 n функциясы жұп, өйткені (– x) -2 n = x -2 n Функция аралықта артады Функция аралықта азаяды Қуат функциясы: Көрсеткіш p = -2n – мұндағы n – натурал сан y = x -2, y = x -4 , y = x -6 , y = x -8 , … 0 1

1 0 1 2 y = x -4 y = x -2 y = x -6 Дәрежелік функция: Көрсеткіш p = -2n – мұндағы n - натурал сан y = x -2, y = x -4, y = x - 6, y = x -8, ... y x

Функция аралықта азаяды y=x -(2 n -1) функциясы тақ, өйткені (– x) –(2 n -1) = – x –(2 n -1) Функция аралықта азаяды Қуат функциясы: Көрсеткіш p = -(2n-1) – мұндағы n – натурал сан y = x - 3, y = x -5, y = x -7, y = x -9, ... 1 0

y = x -1 y = x -3 y = x -5 Дәрежелік функция: Көрсеткіш p = -(2n-1) – мұндағы n – натурал сан y = x -3, y = x -5, y = x - 7, y = x -9 , … y x - 1 0 1 2

Қуат функциясы: Көрсеткіш p – оң нақты бүтін емес сан y = x 1,3, y = x 0,7, y = x 2,2, y = x 1/3,… 0 1 x y Функция аралықта артады

y = x 0,7 Қуат функциясы: Көрсеткіш p – оң нақты бүтін емес сан y = x 1,3, y = x 0,7, y = x 2,2, y = x 1/3,… y x - 1 0 1 2 y = x 0,5 y = x 0,84

Дәрежелік функция: Көрсеткіш p – оң нақты бүтін емес сан y = x 1,3, y = x 0,7, y = x 2,2, y = x 1/3,… y x - 1 0 1 2 y = x 1, 5 y = x 3,1 y = x 2,5

Қуат функциясы: Көрсеткіш p – теріс нақты бүтін емес сан y= x -1,3, y= x -0,7, y= x -2,2, y = x -1/3,… 0 1 x y Функция аралықта азаяды

y = x -0,3 y = x -2,3 y = x -3,8 Дәрежелік функция: Көрсеткіш p – теріс нақты бүтін емес сан y= x -1,3, y= x -0,7, y= x -2,2, y = x -1 /3,… y x - 1 0 1 2 y = x -1,3

Тақырып бойынша: әдістемелік әзірлемелер, презентациялар және жазбалар

Интеграцияны қолдану оқу процесіаналитикалық және шығармашылық қабілеттерін дамыту тәсілі ретінде....

Сіз функциялармен таныссыз ба y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/xБұл функциялардың барлығы қуат функциясының, яғни функцияның ерекше жағдайлары болып табылады y=x б, мұндағы p – берілген нақты сан. Дәрежелік функцияның қасиеттері мен графигі нақты көрсеткіші бар дәреженің қасиеттеріне, атап айтқанда оның мәндеріне айтарлықтай тәуелді. xЖәне бдәрежесі мағынасы бар x б. Көрсеткішке байланысты әртүрлі жағдайларды ұқсас қарастыруға көшейік б.

Индекс p=2n-жұп натурал сан.

Бұл жағдайда қуат функциясы y=x 2n, Қайда n- натурал сан, келесісі бар

қасиеттері:

анықтау облысы – барлық нақты сандар, яғни R жиыны;

мәндер жиыны - теріс емес сандар, яғни y 0-ден үлкен немесе оған тең;

функциясы y=x 2nтіпті, өйткені x 2n =(-x) 2n

функция аралықта азаяды x<0 және аралықта артады x>0.

Функцияның графигі y=x 2nмысалы, функцияның графигі сияқты пішінге ие y=x 4 .

2. Көрсеткіш p=2n-1- тақ натурал сан Бұл жағдайда қуат функциясы y=x 2n-1, мұндағы натурал санның келесі қасиеттері бар:

анықтау облысы – R жиыны;

мәндер жиыны - R жиыны;

функциясы y=x 2n-1біртүрлі себебі (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

функция бүкіл нақты осьте өседі.

Функцияның графигі y=x2n-1мысалы, функцияның графигі сияқты пішінге ие y=x3.

3. Көрсеткіш p=-2n, Қайда n-натурал сан.

Бұл жағдайда қуат функциясы y=x -2н =1/х 2n келесі қасиеттерге ие:

мәндер жиыны – оң сандар y>0;

функциясы у =1/х 2nтіпті, өйткені 1/(-x) 2n =1/х 2n ;

функция x интервалында өседі<0 и убывающей на промежутке x>0.

y функциясының графигі =1/х 2nмысалы, у функциясының графигі сияқты пішінге ие =1/х 2 .

4. Көрсеткіш p=-(2n-1), Қайда n- натурал сан. Бұл жағдайда қуат функциясы y=x -(2n-1)келесі қасиеттерге ие:

анықтау облысы – R жиыны, x=0 қоспағанда;

мәндер жиыны - R жиыны, y=0 қоспағанда;

функциясы y=x -(2n-1)біртүрлі себебі (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

функция интервалдар бойынша азаяды x<0 Және x>0.

Функцияның графигі y=x -(2n-1)мысалы, функцияның графигі сияқты пішінге ие y=1/x 3 .

1. Кері тригонометриялық функциялар, олардың қасиеттері және графиктері.

Кері тригонометриялық функциялар, олардың қасиеттері және графиктері.Кері тригонометриялық функциялар (айналмалы функциялар, доға функциялары) - тригонометриялық функцияларға кері болатын математикалық функциялар.

1. arcsin функциясы

Функцияның графигі .

арксинуссандар мбұл бұрыштың мәні деп аталады x, ол үшін

Функция үздіксіз және бүкіл сан түзуімен шектелген. Функция қатаң түрде артып келеді.

1. [Өңдеу]arcsin функциясының қасиеттері

1. [Өңдеу]arcsin функциясын алу

Функцияның бүкіл бойына берілген анықтау аймағыол болады бөлшектік монотонды, демек, кері сәйкестік функция емес. Сондықтан, біз ол барлық мәндерді қатаң түрде арттыратын және қабылдайтын сегментті қарастырамыз мәндер ауқымы- . Интервалдағы функция үшін аргументтің әрбір мәні функцияның бір мәніне сәйкес келетіндіктен, бұл аралықта кері функция оның графигі түзу сызыққа қатысты сегменттегі функцияның графигіне симметриялы