Цель урока: Формирование навыков составления уравнения касательной к графику функции и рассмотреть основные типы заданий ЕГЭ, связанных с пониманием геометрического смысла производной.

Задачи урока:

Обучающие:

Систематизировать навыки применения геометрического смысла производной.

Закрепить такие понятия, как «угловой коэффициент касательной», «тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ», значение производной в точке касания».

Продолжить развивать навыки вычисления производных с использованием формул и правил дифференцирования.

отработать и систематизировать навыки и умения по теме «Касательная, уравнение касательной к графику функции».

Развивающие:

способствовать развитию внимания;

интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;

организовывать себя на работу, пользоваться умением самопроверки;

развивать познавательный интерес;

способствовать развитию логического мышления, математической интуиции;

способствовать развитию и пониманию у учащихся межпредметных связей;

Воспитательные:

воспитывать настойчивость и упорство в достижении цели;

развивать у учащихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах, умение аргументировать свою точку зрения);

показать красоту математики;

эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание в тетради, через наглядные и дидактические пособия.

создавать условия для осознания необходимости самостоятельных действий при решении проблем;

осознавать большую практическую и историческую значимость производной.

Тип урока урок закрепления изучаемого материала

Планируемый результат урока:

1.Учащиеся знают правила нахождения производных и готовы к выполнению заданий ЕГЭ.

2.Учащиеся почуствовали ответственность за качество и результат выполняемой работы на уроке.

Формы учебной работы :

индивидуальная;

индивидуально - коллективная (парами, в группе).

Оснащение: интерактивная доска, меловая доска, листы с заданиями из тренировочных вариантов ЕГЭ и из открытого банка заданий ЕГЭ, оценочный лист, презентация.

Ход урока:

1. Организационный момент

Здравствуйте! Я очень рада всех вас видеть, надеюсь, что это взаимно, и в доказательство оного улыбнемся, друг другу и начнём урок.

Эпиграфом к уроку служат слова французского философа-материалиста Дени Дидро (1713 - 1784) - современника Декарта, Лейбница, личного библиотекаря Екатерины Великой. «Начинать исследования можно по-разному... Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь, к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь... На пути к истине мы почти всегда обречены, совершать ошибки» (Дени Дидро) (слайд).

2) Мотивация учебной деятельности учащихся, постановка цели и задач урока.

В первом полугодии мы исследовали функцию по её графику. На данный момент стоим на пути исследования функция по её формуле. Три шага уже сделали.

Какие это шаги? (Высказывания учащихся: изучили определение производной, правила нахождения производных, уравнение касательной)

Какую тему мы начали рассматривать на предыдущем уроке? (Высказывания учащихся: Уравнение касательной)

Какие цели ставите вы перед собой на этом уроке? (Высказывания учащихся: отработать и систематизировать навыки и умения по теме «Касательная, уравнение касательной к графику функции»).

Сегодня мы закрепим материал на тему «Уравнение касательной» решением ключевых или опорных задач, проверим усвоение техники нахождения производной и исследуем связь уравнения касательной с исследованием свойств графика функции, что в дальнейшем нам даст аппарат для построения практически графика любой функции и нахождения ее свойств.

Настройтесь на то, что сегодня на уроке вы будете много работать самостоятельно. В центре внимания на уроке будет «Оценочный лист» (приложение 1). Она находится у каждого из вас. Впишите фамилию и имя. После каждого этапа урока оцените себя и внесите результат в оценочный лист. Просмотрите критерии оценивания каждого этапа урока. В конце урока сами подведёте итог своей работы и поставите оценку за усвоение темы.

3. Повторение опорных знаний.

3.1. Выполнение заданий из открытого банка ЕГЭ 2 мин (УЭ-1) (Приложение № 2)

В начале урока выполним задание из открытого банка заданий ЕГЭ на движение. Перед вами лежат карточки.

3.2. Выполнение теста. (УЭ-2)

- Для того, чтобы исследовать в дальнейшем функцию, нужно уметь находить производные функции. Какие существуют правила вычисления производных? (Ответы учащихся).

Повторим их применение. Выполним тест. (Приложение № 3). Зашифровано, как Исаак Ньютон называл производную функции. Для этого вы должны найти производные функции и записать в тетрадь букву, соответствующую правильному ответу. (Выполнение теста).

Итак, как Исаак Ньютон называл производную?

Самопроверка теста. Ответ: флюксия (на слайде).

3.3. Мини проект. (УЭ-3)

Работа по созданию мини-проекта прошла следующие этапы:

Постановка проблемы;

планирование работы,;

исследование, на котором учащийся выполнил задания, согласно правилу, алгоритму и сделал вывод по результатам работы.

представление мини-проекта одноклассникам, ответы на вопросы по проведенному исследованию.

Он дал возможность организовать учебную деятельность, соблюдая разумный баланс между теорией и практикой; успешно интегрируется в образовательный процесс; обеспечивает не только интеллектуальное, но и нравственное развитие детей, их самостоятельность, активность.

- О методе флюксий расскажет учащийся. (Приложение № 4).

Представление мини-проекта.

Заносим результат в оценочный лист.

3.4. Фронтальный опрос. (УЭ-4)

1.Что называется секущей для графика функции y=f(x)?

2. Какая прямая называется касательной к графику функции?

3.В чем состоит геометрический смысл производной?

4. Когда касательная наклонена к под тупым углом к положительному направлению оси Ох?

5. Когда касательная наклонена к под острым углом к положительному направлению оси Ох?

6. Назвать уравнение касательной к графику функции в заданной точке в общем виде.

7. Рассказать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.

Заносим результат в оценочный лист.

4. Решение задач.

4.1. Работа в парах. (УЭ-5)

- Вам выданы карточки на нахождение значения производной в заданной точке на чертеже, выполняете совместно задания на партах. (Приложение № 5). Далее правильные ответы появятся на экране. Самостоятельно проверите правильность выполнения задания. Занесете результат в оценочный лист.

Выполнение заданий. Самопроверка по слайду.

4.2. Самостоятельная работа по вариантам . (УЭ-6)Задания подготовлены на карточках. (Приложение № 5).

Выполним индивидуальную самостоятельную работу по вариантам на составление уравнения касательной. Приглашаются двое учащихся, от каждого варианта для работы на закрытой от класса плоскости меловой доски. Для тех, кто справится с самостоятельной работой быстрее, чем появится готовое решение на доске, выполняет дополнительное задание.

По мере выполнения учитель проверяет работу учащихся у доски. Остальные проверяют правильность своих решений по решениям на доске, так как они уже выверены учителем.

Самопроверка.

Заносим результат в оценочный лист.

4.3. Работа в группах . (УЭ-7)Формируются группы, учитывая математические способности ребят, каждой группе предлагаются карточки с разными видами заданий. С карточкой работают вчетвером. В группе идет совместное решение задания и один учащийся от группы отчитывается о проделанной работе. Проверка выполнения заданий учителем.

Работаем в группах постоянного состава. Выполняем задание на применение геометрического смысла производной. Совместно решаем и один учащийся от группы отчитается о проделанной работе.

Выполнение заданий.

Проверяем. Заносим результат в оценочный лист.

5. Домашнее задание: Пункт 19(уравнение касательной, геометрический смысл производной), стр. 134 № 256 (в,г), № 257 (а,б) , стр. 171 №4(3(а)) . Практическая задача на карточке:

6. Рефлексия. Итоги урок.

Подсчитайте, пожалуйста, сумму баллов за сегодняшний урок и поставьте себе отметку в соответствии с критериями в оценочном листе, подчеркните на ваш взгляд верные высказывания в таблице «Итоги урока»

Спасибо вам за урок, мне было приятно с вами работать. До свидания!

Список литературы:

1. Учебник- Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова -М..: Просвещение, 2011

2. Возняк Г.М. Взаимосвязь теории с практикой в процессе изучения математики. - К.: Радянська школа, 1989.

3. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Савин А.П. - М.: Педагогика, 1985.

Электронные издания:

Большая Российская энциклопедия. - «Кирилл и Мефодий», 2002.

Приложение № 1

Урок по теме «Уравнение касательной»

Цель урока:

Отрабатывать умения и навыки в составлении уравнения касательной для различных функций и применения геометрического смысла производной.

Номер учебного элемента	Учебный материал с указанием заданий	Советы учителя	Примечание
УЭ-1	Выполнение заданий из открытого банка ЕГЭ Цель : Подготовка к ЕГЭ Время выполнения: 3 минуты.	Критерии оценки: 4 верных ответа- «5» 3 верных ответов- «4» 2 верных ответа- «3»	Оценка:______
УЭ-2	Выполнение теста. Цель : проверить знание основных правил дифференцирования. Время выполнения: 5 минуты. Самопроверка теста.	Критерии оценки: 7 верных ответов- «5» 6,5 верных ответов- «4» 4,3 верных ответа- «3»	Оценка:______
УЭ-3	Историческая справка. Цель : расширение кругозора.	Запомните новые термины.	Подчеркните своё отношение к услышанному: Запомнил Принял к сведению Заинтересовался.
УЭ-4	Проверка основных теоретических сведений.		Подчеркните Знаю твёрдо Могу ответить с подсказкой Плохо знаю
УЭ-5	Работа в парах Цель : Отрабатывать умения и навыки применения геометрического смысла производной Время выполнения: 3 минуты.	Критерии оценки: Выполнили 2 зад. верно- «5» Выполнили 1 зад верно и начали выполнять 2-е верно-«4» Выполнили 1 зад. - «3»	Оценка:______
УЭ-6	Самостоятельная работа . Записать решение в тетрадь Время выполнения: Время выполнения: 5 минут.		Подчеркните Верно решил задание неверно решил задание
УЭ-7	Работа в группе Записать решение в тетрадь Время выполнения: 5 минут.		Подчеркните решил задание неверно решил задание.

Итог урока:

Я считаю, что сегодня на уроке работал на ______(оценка)

Приложение № 2

Вариант 1

1.На графике изображена зависимость скорости движения рейсового автобуса от времени. На вертикальной оси отмечена скорость автобуса в км/ч, на горизонтальной — время в минутах, прошедшее с начала движения автобуса.

графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автобуса на этом интервале.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ	ХАРАКТЕРИСТИКИ
А) 4-8 мин.	1) была остановка длительностью 2 минуты
Б) 8--12 мин	2) скорость не меньше 20 км/ч на всём интервале
В) 12-16 мин.	3) скорость не больше 60 км/ч
Г) 18-22 мин.	4) была остановка длительностью ровно 1 минута

В таблице напротив каждой буквой укажите соответствующий номер.

Вариант 2

На графике изображена зависимость скорости движения легкового автомобиля от времени. На вертикальной оси отмечена скорость легкового автомобиля в км/ч, на горизонтальной -время в секундах, прошедшее с начала движения автомобиля

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автомобиля на этом интервале.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ	ХАРАКТЕРИСТИКИ
А) 0-30 c	1) скорость автомобиля достигла максимума за всё время движения автомобиля
Б) 30-60 c	2) скорость автомобиля не уменьшалась и не превышала 40 км/ч
В) 60-90 c	3) автомобиль сделал остановку на 15 секунд
Г) 90-120 c	4) скорость автомобиля не увеличивалась на всём интервале

В таблице напротив каждой буквой укажите соответствующий номер

Приложение № 3

Тест

Найдите производную функции:

y=x2+3sinx 2) y= 3) y= 4) y=cos3x 5)y= 6)y=cos(4x-1) 7)y=sin2x

С- y’= Ф- y’=2х+3cosх Я- y’=sin2х Л- y’=3х5 И- y’=-4 sin(4x-1)

Ю- y’= К- y’=-3 sin3х

Приложение №4

История появления производной.

Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу.

Английский поэт Александр Поуп так охарактеризовал то время:

Был этот мир глубокой тьмой окутан.

Да будет свет! И вот явился Ньютон.

Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач - метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой. Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 - 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления. Метод флюксий применяется здесь к большому числу геометрических вопросов (задачи на касательные, кривизну, экстремумы, квадратуры, спрямления и др.

Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания.

Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу.

К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси ОX.

Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 - 1557гг.) - здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта.

Термин производная и современные обозначения y’ , f ’ ввёл Ж.Лагранж в 1797г.

Приложение № 5

Приложение № 6

Вариант 1

Вариант 2

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Дополнительное задание: Составьте уравнение касательной к графику

функции y=f(x) в точке с абсциссой х0. х0=2

Приложение № 7

Прямая y = 6x +9 является касательной к графику функции

у=х3 -4х2 +9х+14. Найдите абсциссу точки касания.

Прямая y = 6x + 8 параллельна касательной к графику функции

у = х² +7х - 6. Найдите абсциссу точки касания

При каком значении а прямая у = 3х + а является касательной к графику функции у = 2х² - 5х + 1?

План-конспект урока в 10 классе

«Уравнение касательной к графику функции»

Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний и формирования первоначальных предметных навыков, овладения предметными умениями.

Дидактическая задача урока: Обеспечение осознания и усвоения понятий, правил, алгоритмов; формирование умений применения теоретических положений в условиях решения учебных задач.

Цели урока: вывести уравнение касательной к графику функции, научить составлять уравнение касательной для заданной функции в заданной точке.

Планируемые результаты:

ЗУНы. Учащиеся должны

знать: уравнение касательной к графику функции в точке х 0 ;

уметь: составлять уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке.

формирование навыка составления уравнения касательной к графику заданной функции в заданной точке.

Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, учебники, тетради учащихся, письменные принадлежности.

Учитель: Нестерова Светлана Юрьевна

Здравствуйте, ребята! Все готовы к уроку? Можете садиться.

1 слайд. «Касательная к графику функции»

Устная работа, направленная на подготовку учащихся к восприятию новой темы (повторение ранее изученного материала)

10.01 – 10.03

Фронтальная

Устная работа

Для того чтобы качественно разобраться с темой сегодняшнего урока, нам необходимо вспомнить то, что мы с вами ранее изучали.

Ответьте на следующие вопросы.

2 слайд.

Графиком какой функции является прямая? (линейной)

Каким уравнением задается линейная функция? (у = k х + b )

Как называется число, стоящее перед « х »? (угловой коэффициент прямой)

По-другому уравнение у = k х + b называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.

3 слайд.

Чему равен угловой коэффициент прямой? (тангенсу угла наклона прямой, который эта прямая образует с положительным направлением оси Ох).

Сформулируйте определение касательной: (прямая, проходящая через точку (х о ; f (х о )), с отрезком которой практически сливается график дифференцируемой в точке х о функции f при значениях х близких к х о ).

4 слайд.

Если в точке x o существует производная , то существует касательная (невертикальная) к графику функции в точке x o .

5 слайд.

Если же f ’ ( x 0 ) не существует, то касательная либо

не существует (как у функции у = |х|),

либо вертикальная (как у графика у = 3 √х).

6 слайд.

Вспоминаем, каким может быть взаимное расположение касательной с осью абсцисс?

Прямая возрастающая => угловой коэффициент k >0, tg > 0 => угол острый.

Прямая // оси ОХ => угловой коэффициент k =0, tg = 0 => угол = 0 0

Прямая убывающая => угловой коэффициент k <0, tg < 0 => угол тупой.

7 слайд.

Геометрический смысл производной:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке проведения касательной k = f `( x o ).

Хорошо, молодцы, повторение окончено.

Тема урока. Постановка цели урока

10.03-10.05

Обсуждение, беседа

Выполните следующее задание:

Дана функция у = х 3 . Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке х 0 = 1.

ПРОБЛЕМА ? Да. Каким образом её решать? Ваши варианты? Где вы сможете найти помощь в решении этой проблемы? В каких источниках? Но проблема решаема? Так как вы думаете, какова будет тема нашего урока?

Тема сегодняшнего урока «Уравнение касательной» .

Ну а теперь сформулируйте цели нашего урока (ДЕТИ ):

1. Вывести уравнения касательной к графику функции в точке х о .

2. Научиться составлять уравнение касательной для заданной функции.

Открываем тетради, записываем на полях число, «классная работа», тема урока.

Первичное восприятие и усвоение нового теоретического учебного материала

10.06- 10.12

Фронтальная

Поисково - исследовательская

8 слайд.

Решим эту практическую задачу. Я пишу на доске – вы смотрите, рассуждаете вместе со мной.

Дана функция у = х 3 . Необходимо написать уравнение касательной к графику этой функции в точке х 0 = 1.

Рассуждаем: уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: у = k х + b .

Для того чтобы его написать, нам необходимо знать значение k и b .

Найдем k (из геометрического смысла производной):

k = f `( x o ) = f `(1) = 3 * 1 2 = 3, т.е. k = 3 .

Наше уравнение приобретает вид: у = 3х + b .

Вспомните: если прямая проходит через заданную точку, то при подстановке координат этой точки в уравнение прямой должно получиться верное равенство. Значит, нам необходимо найти ординату точки – значение функции в точке х 0 = 1: f (1) =1 3 =1. Точка касания имеет координаты (1; 1).

Подставляем найденные значения в уравнение прямой, получаем:

1 = 3 . 1+ b ; значит b = - 2 .

Подставим найденные значения k = 3 и b = - 2 в уравнение прямой: у = 3х - 2.

Задача решена.

9 слайд.

А теперь решим эту же задачу в общем виде.

Дана функция у = f ( x ), необходимо написать уравнение касательной к графику этой функции в точке х 0 .

Рассуждаем по той же схеме: уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: у = k х + b .

Из геометрического смысла производной: k = f `( x o )=> у = f `( x o ) * х + b .

Значение функции в точке х 0 есть f ( x o ), значит касательная проходит через точку с координатами ( х 0 ; f ( x o ))=> f ( x o )= f `( x o ) * x o + b .

Выразим из данной записи b : b = f ( x o ) - f `( x o ) * x o .

Подставим все выражения в уравнение прямой:

у = f `( x o ) * х + b = f `( x o ) * х + f ( x o ) - f `( x o ) * x o = f `( x o ) * ( х - x o )+ f ( x o ).

СРАВНИТЬ С УЧЕБНИКОМ (стр. 131)

Найдите, пожалуйста, в тексте учебника запись уравнения касательной и сравните с тем, что у нас получилось.

Запись немного отличается (чем?), но она верна.

Принято записывать уравнение касательной в следующем виде:

у = f ( x o ) + f `( x o )( х - x o )

Запишите эту формулу себе в тетрадь и выделите – вы должны её знать!

9 слайд.

А теперь давайте составим алгоритм нахождения уравнения касательной. Все «подсказки» у нас в формуле.

Найти значение функции в точке х о

Вычислить производную функции

Найти значение производной функции в точке х о

Подставить полученные числа в формулу

y = f ( x o ) + f `( x o )( x – x o )

Привести уравнение к стандартному виду

Отработка первичных навыков

10.12-10.14

Фронтальная

Письменная + совместное обсуждение

Каким образом эта формула работает? Рассмотрим на примере. Записываем пример в тетрадь.

Напишите уравнение касательной к графику функции f (x ) = х 3 – 2х 2 + 1 в точке с абсциссой 2.

Выполняем вывод уравнения с записью на доске и в тетрадях.

Ответ: у = 4х – 7.

Работа с источником информации

10.14-10.15

Индивидуальная

Чтение текста, обсуждение

Посмотрите в учебник на с. 131, пример 2. Прочитайте до п.3. О чем идет речь в данном примере? (можно составить уравнение для заданной функции в общем виде и потом найти уравнение касательной при любом значении х 0 , а ещё можно найти точку пересечения касательной к стандартной параболе с осью Ох

Динамическая пауза

10.15-10.16

Отдых

Минутка отдыха.

Слайд – зарядка для тела, зарядка для глаз.

Применение теоретических положений в условиях выполнения упражнений и решения задач

10.16- 10.30

Фронтальная, индивидуальная

Письменная (доска + тетрадь)

Ну а теперь приступим к практической работе, цель которой – сформировать навык составления уравнения касательной.

На доске записать №№ 255(а, б), 256(а, б), резерв 257 (а, б), * .

* – задание следующего уровня сложности для наиболее подготовленных учеников: На параболе у = 3х 2 - 4х + 6 найти точку, в которой касательная к ней // прямой у =2х+4 и написать уравнение касательной к параболе в этой точке.

Для работы к доске приглашаются учащиеся (поочерёдно).

Ответы:

№255

а) у = - 3х – 6, у = - 3х + 6 б) у = 2х, у = - 2х +4

№256

а) у = 3, у = - 3х + 3π б) у = 2х + 1 – π/ 2 , у = 4х + √3 - 4 π/ 3

№257 (резерв)

а) х = 1, у = 1, в т. (1; 1) касательная // Ох

б) х = - 2, у = - 24, в т. (-2; -24) касательная // Ох

Задание *ответы:

А (1; 5), уравнение касательной у = 2х + 3.

Самостоятельное использование навыков

10.30-10.35

Групповая, индивидуальная, самостоятельная

Письменная (тетрадь), обсуждение работы в парах

Итак, чем мы занимались? Кому был понятен материал? У кого остались вопросы? Проведем самоконтроль понимания темы урока.

Работать вы будете в парах - на столах у вас лежат карточки с заданиями. Внимательно прочитайте задание, на выполнение работы даётся 4-5 минут.

Задание: Написать уравнение касательной к заданной функции f (x ) в точке с заданной абсциссой.

I : f ( x ) = х 2 – 2х – 8, в точке с абсциссой -1 . Ответ: у = -4х – 9.

II : f ( x ) = 2х 2 – 4х + 12, в точке с абсциссой 2 . Ответ: у = 4х + 4.

III : f ( x ) = 3х 2 – х – 9, в точке с абсциссой 1 . Ответ: у = 5х –12.

IV : f ( x ) = 4х 2 + 2х + 3, в точке с абсциссой -0,5 . Ответ: у = -2х + 2.

Проверка выполнения самостоятельной работы

10.35-10.37

Фронтальная, групповая

Осуществление самоконтроля по образцу, обсуждение

На доске (поворотной) ответы. Учащиеся проводят самоконтроль.

У кого получились такие же ответы?

У кого ответы не сошлись?

Где вы допустили ошибку?

Вопросы учащимся на закрепление геометрического смысла производной:

Назовите прямые, которые пересекают ось Ох под острым углом.

Назовите прямые, которые // оси Ох.

Назовите прямые, которые образуют с осью Ох угол, тангенс которого является отрицательным числом.

Рефлексия деятельности

10.37-10.39

Фронтальная

Беседа

Подведение итогов урока.

Какая ПРОБЛЕМА возникла перед нами в ходе урока? (нужно было написать уравнение касательной, а мы не знали, как это сделать)

Какие цели мы с вами ставили на этот урок? (вывести уравнение касательной, научиться составлять уравнение касательной для заданной функции в заданной точке)

Достигли ли вы цели урока?

Кто из вас может сказать с уверенностью, что научился составлять уравнение касательной?

У кого ещё остались вопросы? Мы обязательно ещё будем работать над этой темой и, я надеюсь, проблемы Ваши будут решены на 100%!

Домашнее задание

10.39-10.40

Запишите домашнее задание - №№ 255(вг), 256(вг), 257(вг), * , формула!!!

Посмотрите в учебник на задания вашей домашней работы.

№№ 255(вг), 256(вг) – продолжение классной работы по отработке навыка написания уравнения касательной.

* – задание следующего уровня сложности для тех, кто хочет себя проверить:

На параболе у = х 2 + 5х – 16 найти точку, в которой касательная к ней // прямой 5х+у+4 =0.

Спасибо за работу. Урок окончен.

Дата:__________________

Тема: Уравнение касательной к графику функции.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока.

Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.

Развивать логическое мышление, математическую речь.

Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.

“Человек лишь там чего–то добивается, где он верит в свои силы”

Л. Фейербах

Ход урока.

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”.

Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.

Рассмотрим пример.

Пусть дана парабола и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной, а вторая является.

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования.

III. Подготовительная работа к изучению нового материала.

Сформулировать определение производной.

Заполнить таблицу произвольных элементарных функций.

Вспомнить правила дифференцирования.

Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно)

IV Изучение нового материала.

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абсциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле .

Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле .

Следовательно, .

Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у , то выражает угловой коэффициент касательной.

Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке .

Это и есть геометрический смысл производной.

Причем, если:

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:

– уравнение касательной к графику функции.

Рассмотрим примеры:

Составим уравнение касательной:

Решая эти примеры, мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем:

Рассмотрим типичные задания и их решение.

№1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .

2)

3) ;

4) Подставим найденные числа ,, в формулу.

Ответ:

№2. К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой .

Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .

Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно: ; .

Из уравнения ,т.е. , находим, что и . Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.

Действуем по алгоритму.

4) Подставив значения ,, , получим , т.е. .

Подставив значения ,, , получим , т.е.

Ответ: , .

V. Решение задач.

1. Решение задач на готовых чертежах

VI. Подведение итогов.

1. Ответьте на вопросы:

Что называется касательной к графику функции в точке?

В чем заключается геометрический смысл производной?

Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?

3. Выставление оценок.

Видеоурок «Уравнение касательной к графику функции» демонстрирует учебный материал для освоения темы. В ходе видеоурока представлен теоретический материал, необходимый для формирования понятия об уравнении касательной к графику функции в данной точке, алгоритм нахождения такой касательной, описаны примеры решения задач с использованием изученного теоретического материала.

В видеоуроке используются методы, улучшающие наглядность материала. В представлении вставлены рисунки, схемы, даются важные голосовые комментарии, применяется анимация, выделение цветом и другими инструментами.

Видеоурок начинается с представления темы урока и изображения касательной к графику некоторой функции y=f(x) в точке M(a;f(a)). Известно, что угловой коэффициент касательной, построенной к графику в данной точке, равен производной функции f΄(a) в данной точке. Также из курса алгебры известно уравнение прямой y=kx+m. Схематично представлено решение задачи нахождения уравнения касательной в точке, которая сводится к нахождению коэффициентов k, m. Зная координаты точки, принадлежащей графику функции, можем найти m, подставив значение координат в уравнение касательной f(a)=ka+m. Из него находим m=f(a)-ka. Таким образом, зная значение производной в данной точке и координаты точки, можно представить уравнение касательной таким образом y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Далее рассматривается пример составления уравнения касательной, следуя схеме. Дана функция y=x 2 , x=-2. Приняв а=-2, находим значение функции в данной точке f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Определяем производную функции f΄(х)=2х. В данной точке производная равна f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Для составления уравнения найдены все коэффициенты а=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, поэтому уравнение касательной у=4+(-4)(х+2). Упростив уравнение, получаем у=-4-4х.

В следующем примере предлагается составить уравнение касательной в начале координат к графику функции y=tgx. В данной точке а=0, f(0)=0, f΄(х)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Таким образом, уравнение касательной выглядит у=х.

В качестве обобщения процесс составления уравнения касательной к графику функции в некоторой точке оформляется в виде алгоритма, состоящего из 4 шагов:

• Вводится обозначение а абсциссы точки касания;
• Вычисляется f(a);
• Определяется f΄(х) и вычисляется f΄(a). В формулу уравнения касательной y=f(a)+f΄(a)(x-a) подставляются найденные значения а, f(a), f΄(a).

В примере 1 рассматривается составление уравнения касательной к графику функции у=1/х в точке х=1. Для решения задачи пользуемся алгоритмом. Для данной функции в точке а=1 значение функции f(a)=-1. Производная функции f΄(х)=1/х 2 . В точке а=1 производная f΄(a)= f΄(1)=1. Используя полученные данные, составляется уравнение касательной у=-1+(х-1), или у=х-2.

В примере 2 необходимо найти уравнение касательной к графику функции у=х 3 +3х 2 -2х-2. Основное условие - параллельность касательной и прямой у=-2х+1. Сначала находим угловой коэффициент касательной, равный угловому коэффициенту прямой у=-2х+1. Так как f΄(a)=-2 для данной прямой, то k=-2 и для искомой касательной. Находим производную функции (х 3 +3х 2 -2х-2)΄=3х 2 +6х-2. Зная, что f΄(a)=-2, находим координаты точки 3а 2 +6а-2=-2. Решив уравнение, получаем а 1 =0, а 2 =-2. Используя найденные координаты, можно найти уравнение касательной с помощью известного алгоритма. Находим значение функции в точках f(а 1)=-2, f(а 2)=-18. Значение производной в точке f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Подставив найденные значения в уравнение касательной, получим для первой точки а 1 =0 у=-2х-2, а для второй точки а 2 =-2 уравнение касательной у=-2х-22.

В примере 3 описывается составление уравнения касательной для ее проведения в точке (0;3) к графику функции y=√x. Решение производится по известному алгоритму. Точка касания имеет координаты х=а, где а>0. Значение функции в точке f(a)=√x. Производная функции f΄(х)=1/2√х, поэтому в данной точке f΄(а)=1/2√а. Подставив все полученные значения в уравнение касательной, получаем у=√а+(х-а)/2√а. Преобразовав уравнение, получаем у=х/2√а+√а/2. Зная, что касательная проходит через точку (0;3), находим значение а. Находим а из 3=√а/2. Отсюда √а=6, а=36. Находим уравнение касательной у=х/12+3. На рисунке изображается график рассматриваемой функции и построенная искомая касательная.

Ученикам напоминаются приближенные равенства Δy=≈f΄(x)Δxи f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Принимая х=а, x+Δx=х, Δx=х-а, получаем f(х)- f(а)≈f΄(а)(х-а), отсюда f(х)≈f(а)+f΄(а)(х-а).

В примере 4 необходимо найти приближенное значение выражение 2,003 6 . Так как необходимо отыскать значение функции f(х)=х 6 в точке х=2,003, можем воспользоваться известной формулой, приняв f(х)=х 6 , а=2, f(а)= f(2)=64, f΄(x)=6х 5 . Производная в точке f΄(2)=192. Поэтому 2,003 6 ≈65-192·0,003. Вычислив выражение, получаем 2,003 6 ≈64,576.

Видеоурок «Уравнение касательной к графику функции» рекомендуется использовать на традиционном уроке математики в школе. Учителю, осуществляющему обучению дистанционно, видеоматериал поможет более понятно объяснить тему. Видео может быть рекомендовано для самостоятельного рассмотрения учениками при необходимости углубить их понимание предмета.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Нам известно, что если точка М (а; f(а)) (эм с координатами а и эф от а) принадлежит графику функции у =f (x) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную к оси абсцисс, то угловой коэффициент касательной равен f"(a) (эф штрих от а).

Пусть даны функция у = f(x) и точка М (a; f(a)), a также известно, что существует f´(a). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид y = kx+m (игрек равный ка икс плюс эм), поэтому задача состоит в отыскании значений коэффициентов k и m.(ка и эм)

Угловой коэффициент k= f"(a). Для вычисления значения m воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f (а)). Это значит, что, если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: f(a) = ka+m, откуда находим, что m = f(a) - ka.

Осталось подставить найденные значения коэффициентов kи mв уравнение прямой:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

y = f (a )+ f "(a ) (x - a ). (игрек равен эф от а плюс эф штрих от а, умноженный на икс минус а).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х=а.

Если, скажем, у = х 2 и х= -2 (т.е. а = -2), то f(а) = f(-2) = (-2) 2 =4; f´(x) = 2х, значит, f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (то эф от а равно четыре, эф штрих от икс равно два икс, значит эф штрих от а равно минус четыре)

Подставив в уравнение найденные значения a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4, получим: у = 4+(-4)(х+2), т.е. у = -4х-4.

(игрек равен минус четыре икс минус четыре)

Составим уравнение касательной к графику функции у = tgx(игрек равен тангенс икс) в начале координат. Имеем: а = 0, f(0) = tg0=0;

f"(x)= , значит, f"(0) = l. Подставив в уравнение найденные значения а=0, f(a)=0, f´(a) = 1, получим: у=х.

Обобщим наши шаги нахождения уравнения касательной к графику функции в точке х с помощью алгоритма.

АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ у = f(x):

1) Обозначить абсциссу точки касания буквой а.

2) Вычислить f (а).

3) Найти f´(x) и вычислить f´(a).

4) Подставить найденные числа a, f(a), f´(а) в формулуy = f (a )+ f "(a ) (x - a ).

Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции у = - в

точке х = 1.

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Подставим найденные три числа: а = 1, f(а) = -1, f"(а) = 1 в формулу. Получим: у = -1+(х-1), у = х-2.

Ответ: у = х-2.

Пример 2. Дана функция у = х 3 +3х 2 -2х-2 . Записать уравнение касательной к графику функции у= f(х), параллельной прямой у = -2х +1.

Используя алгоритм составления уравнения касательной, учтем, что в данном примере f(x) = х 3 +3х 2 -2х-2 , но здесь не указана абсцисса точки касания.

Начнем рассуждать так. Искомая касательная должна быть параллельна прямой у = -2х+1. А параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту заданной прямой: k кас. = -2. Hok кас. = f"(a). Таким образом, значение а мы можем найти из уравнения f ´(а) = -2.

Найдем производную функции у= f (x ):

f "(x )= (х 3 +3х 2 -2х-2)´ =3х 2 +6х-2; f "(а)= 3а 2 +6а-2.

Из уравнения f"(а) = -2, т.е. 3а 2 +6а-2 =-2 находим а 1 =0, a 2 =-2. Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 0, другая в точке с абсциссой -2.

Теперь можно действовать по алгоритму.

1) а 1 =0, а 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2 ; f(a 2)=(-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6 ;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Подставив значения a 1 = 0, f(a 1) =-2, f"(a 1) = -2 в формулу, получим:

у=-2-2(х-0), у=-2х-2.

Подставив значения а 2 =-2, f(a 2) =6, f"(a 2)= -2 в формулу, получим:

у=6-2(х+2), у=-2х+2.

Ответ: у=-2х-2, у=-2х+2.

Пример 3. Из точки (0; 3) провести касательную к графику функции у = . Решение. Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере f(x) = . Заметим, что и здесь, как в примере 2, не указана явно абсцисса точки касания. Тем не менее, действуем по алгоритму.

1) Пусть х = а — абсцисса точки касания; ясно, что а >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Подставив значения a, f(a) = , f"(a) = в формулу

y=f (a) +f "(a) (x-a) , получим:

По условию касательная проходит через точку (0; 3). Подставив в уравнение значения х = 0, у = 3, получим: 3 = , и далее =6, a =36.

Как видите, в этом примере только на четвертом шаге алгоритма нам удалось найти абсциссу точки касания. Подставив значение a =36 в уравнение, получим: y=+3

На рис. 1 представлена геометрическая иллюстрация рассмотренного примера: построен график функции у =, проведена прямая у = +3.

Ответ: у = +3.

Нам известно, что для функции y = f(x), имеющей производную в точке х, справедливо приближенное равенство: Δyf´(x)Δx (дельта игрек приближенно равно эф штрих от икс, умноженное на дельта икс)

или, подробнее, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (эф от икс плюс дельта икс минус эф от икс приближенно равно эф штрих от икс на дельта икс).

Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения:

вместо х будем писать а ,

вместо х+Δxбудем писать х

вместо Δх будем писать х-а.

Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (эф от икс приближенно равно эф от а плюс эф штрих от а, умноженное на разность икса и а).

Пример 4. Найти приближенное значение числового выражения 2,003 6 .

Решение. Речь идет об отыскании значения функции у = х 6 в точке х = 2,003. Воспользуемся формулой f(x)f(a)+f´(a)(x-a), учтя, что в данном примере f(x)=x 6 , a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 и, следовательно, f"(а) = f"(2) = 6·2 5 =192.

В итоге получаем:

2,003 6 64+192· 0,003, т.е. 2,003 6 =64,576.

Если мы воспользуемся калькулятором, то получим:

2,003 6 = 64,5781643...

Как видите, точность приближения вполне приемлема.

Дата: _____________________

Тема урока: Физический и геометрический смысл производной. Касательная к графику функции.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

Учащиеся должны знать :

что называется угловым коэффициентом прямой;

углом между прямой и осью Ох;

в чем состоит геометрический смысл производной;

уравнение касательной к графику функции;

способ построения касательной к параболе;

уметь применять теоретические знания на практике.

Задачи урока :

Образовательные: создать условия для овладения учащимися системы знаний, умений и навыков с понятиями механический и геометрический смысл производной.

Воспитательные: формировать у учащихся научное мировоззрение.

Развивающие: развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, волю, память, речь, внимание, воображение, восприятие.

Методы организации учебно-познавательной деятельности:

наглядные;

практические;

по мыслительной деятельности: индуктивный;

по усвоению материала: частично-поисковый, репродуктивный;

стимулирующие: поощрения;

контроля: устный фронтальный опрос.

План урока

Устные упражнения (найти производную)

Изучение нового материала

Решение заданий.

Подведение итогов урока.

Оборудование : карточки

Ход урока

“Человек лишь там чего – то добивается, где он верит в свои силы”

Л. Фейербах

I. Организационный момент.

Организация класса в течение всего урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина.

Постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы.

Устный счет

1. Найдите производные:

", ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Логический тест.

а) Вставить пропущенное выражение.

5х 3 -6х	15х 2 -6
	2cosx …

II. Изучение нового материала.

Пойдем по пути Ньютона и Лейбница и посмотрим, каким способом можно анализировать процесс, рассматривая его как функцию времени.

Введем несколько понятий, которые помогут нам в дальнейшем.

Графиком линей ной функции y=kx+ b является прямая, число k называют угловым коэффициентом прямой k=tg, где – угол прямой, то есть угол между этой прямой и положительным направлением оси Ох.

Рисунок 1

Рассмотрим график функции у=f(х). Проведем секущую через любые две точки, например, секущую АМ. (Рис.2)

Угловой коэффициент секущей k=tg. В прямоугольном треугольнике АМС (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Рисунок 2

Рисунок 3

Сам термин “скорость” характеризует зависимость изменения одной величины от изменения другой, и последняя необязательно должна быть временем.

Итак, тангенс угла наклона секущей tg = .

Нас интересует зависимость изменения величин в более короткий промежуток времени. Устремим приращение аргумента к нулю. Тогда правая часть формулы – производная функции в точке А (объясните почему). Если х – 0, то точка М движется по графику к точке А, значит прямая АМ приближается к некоторой прямой АВ, которая является касательной к графику функции у = f(х) в точке А . (Рис.3)

Угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке.

Механический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, то есть новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц назвал производной , а Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость .

III. Решение заданий.

Показать на доске.

Угловой коэффициент касательной к кривой f(х) = х 3 в точке х 0 – 1 есть значение производной этой функции при х = 1. f’(1) = 3х 2 ; f’(1) = 3.

№ 159, № 161 – у доски.

Вопросы к классу:

Каков физический смысл производной перемещения? (Скорость).

Можно ли найти производную скорости? Используется ли эта величина в физике? Как она называется? (Ускорение).

Мгновенная скорость равна нулю. Что можно сказать о движении тела в это момент? (Это момент остановки).

Каков физический смысл следующих высказываний: производная движения равна нулю в точке t 0; при переходе через точку t 0 производная меняет знак? (Тело останавливается; меняется направление движения на противоположное).

IV. Подведение итогов урока

1) В чем состоит геометрический смысл производной?
2) В чем состоит механический смысл производной?