Пусть - система векторов из векторного пространства V над полем P .

Определение 2: Линейной оболочкой L системы A называется множество всех линейных комбинаций векторов системы A . Обозначение L(A) .

Можно показать, что для любых двух систем A и B ,

A линейно выражается через B тогда и только тогда, когда . (1)

A эквивалентна B тогда и только тогда, когда L(A)=L(B) . (2)

Доказательство следует из предыдущего свойства

3 Линейная оболочка любой системы векторов является подпространством пространства V .

Доказательство

Возьмём любые два вектора и из L(A) , имеющие следующие разложения по векторам из A : . Проверим выполнимость условий 1) и 2) критерия:

Так как представляет собой линейную комбинацию векторов системы A .

Так как тоже представляет собой линейную комбинацию векторов системы A .

Рассмотрим теперь матрицу . Линейная оболочка строк матрицы A называется строчечным пространством матрицы и обозначается L r (A) . Линейная оболочка столбцов матрицы A называется столбцовым пространством и обозначается L c (A) . Обратите внимание, что при строчечное и столбцовое пространство матрицы A являются подпространствами разных арифметических пространств P n и P m соответственно. Пользуясь утверждением (2), можно придти к следующему выводу:

Теорема 3: Если одна матрица получена из другой цепочкой элементарных преобразований, то строчечные пространства таких матриц совпадают.

Сумма и пересечение подпространств

Пусть L и M - два подпространства пространства R .

Cуммой L +M называется множество векторов x+y , где x ∈L и y ∈M . Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежитL+M , следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R ).

Пересечением L ∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).

Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M . Пусть G g -мерное подпространство. Выберем в нем базис . Так как G ⊂L и G ⊂M , следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M . Пусть базис подпространства L и пусть базис подпространства M . Покажем, что векторы

(6.1)составляют базис F=L+M . Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).

Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства F представляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:

Левая часть (6.3) является вектором подпространства L , а правая часть является вектором подпространства M . Следовательно вектор

(6.4)принадлежит подпространству G=L∩M . С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G :

(6.5)Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:

Но векторы являются базисом подпространства M , следовательно они линейно независимы и . Тогда (6.2) примет вид:

В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:

Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы

линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y , где x ∈ L, y ∈ M . В свою очередь x представляется линейной комбинацей векторов а y - линейной комбинацией векторов . Следовательно векторы (6.10) пораждают подпространство F . Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M .

Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m . Следовательно:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Прямая сумма подпространств

Определение 6.2. Пространство F представляет собой прямую сумму подпространств L и M , если каждый вектор x пространства F может быть единственным способом представлен в виде суммы x=y+z , где y ∈L и z ∈M .

Прямая сумма обозначается L ⊕M . Говорят, что если F=L ⊕M , то F разлагается в прямую сумму своих подпространств L и M .

Теорема 6.2. Для того, чтобы n -мерное пространство R представляло собой прямую сумму подпространств L и M , достаточно, чтобы пересечениеL и M содержало только нулевой элемент и чтобы размерность R была равна сумме размерностей подпространств L и M .

Доказательство. Выберем некоторый базис в подпространстве L и некоторый базис в подпространстве M. Докажем, что

(6.11)является базисом пространства R . По условию теоремы размерность пространства R n равна сумме подпространств L и M (n=l+m ). Достаточно доказать линейную независимость элементов (6.11). Пусть нулевой вектор пространстваR представляется линейной комбинацией векторов (6.11) с некоторыми коэффициентами:

(6.13)Так как левая часть (6.13) является вектором подпространства L , а правая часть - вектором подпространства M и L ∩M =0 , то

(6.14)Но векторы и являются базисами подпространств L и M соответственно. Следовательно они линейно независимы. Тогда

(6.15)Установили, что (6.12) справедливо лишь при условии (6.15), а это доказывает линейную независимость векторов (6.11). Следовательно они образуют базис в R .

Пусть x∈R. Разложим его по базису (6.11):

(6.16)Из (6.16) имеем:

(6.18)Из (6.17) и (6.18) следует, что любой вектор из R можно представить суммой векторов x 1 ∈L и x 2 ∈M . Остается доказать что это представление является единственным. Пусть кроме представления (6.17) есть и следующее представление:

(6.19)Вычитая (6.19) из (6.17), получим

(6.20)Так как , и L ∩M =0 , то и . Следовательно и . ■

Теорема 8.4 о размерности суммы подпространств. Если и подпространства конечномерного линейного пространства , то размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей без размерности их пересечения (формула Грассмана ):

(8.13)

В самом деле, пусть - базис пересечения . Дополним его упорядоченным набором векторов до базиса подпространства и упорядоченным набором векторов до базиса подпространства . Такое дополнение возможно по теореме 8.2. Из указанных трех наборов векторов составим упорядоченный набор векторов. Покажем, что эти векторы являются образующими пространства . Действительно, любой вектор этого пространства представляется в виде линейной комбинации векторов из упорядоченного набора

Следовательно, . Докажем, что образующие линейно независимы и поэтому они являются базисом пространства . Действительно, составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору: . Все коэффициенты такого разложения нулевые: подпространства векторного пространства с билинейной формой - это множество всех векторов , ортогональных каждому вектору из . Это множество является векторным подпространством , которое обычно обозначается .

Ве́кторное (или лине́йное ) простра́нство - математическая структура , которая представляет собой набор элементов, называемых векторами , для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число - скаляр . Эти операции подчинены восьми аксиомам. Скаляры могут быть элементами вещественного , комплексного или любого другого поля чисел . Частным случаем подобного пространства является обычное трехмерное евклидово пространство , векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил . При этом следует отметить, что вектор, как элемент векторного пространства, не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы .

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры . Одна из главных характеристик векторного пространства - его размерность. Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубой геометрической интерпретации, число направлений, невыразимых друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением . Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе , преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств (англ. ) , где в качестве векторов выступают функции . Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев - подходящей топологией , что позволяет определить понятия близости и непрерывности . Такие топологические векторные пространства , в частности, банаховы и гильбертовы , допускают более глубокое изучение.

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку . Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия , учения о матрицах , системах линейных уравнений , евклидовых векторах .

Определение

Линейное или векторное пространство V (F) {\displaystyle V\left(F\right)} над полем F {\displaystyle F} - это упорядоченная четвёрка (V , F , + , ⋅) {\displaystyle (V,F,+,\cdot)} , где

• V {\displaystyle V} - непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами ;
• F {\displaystyle F} - поле , элементы которого называются скалярами ;
• Определена операция сложения векторов V × V → V {\displaystyle V\times V\to V} , сопоставляющая каждой паре элементов x , y {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} } множества V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} , называемый их суммой и обозначаемый x + y {\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} } ;
• Определена операция умножения векторов на скаляры F × V → V {\displaystyle F\times V\to V} , сопоставляющая каждому элементу λ {\displaystyle \lambda } поля F {\displaystyle F} и каждому элементу x {\displaystyle \mathbf {x} } множества V {\displaystyle V} единственный элемент множества V {\displaystyle V} , обозначаемый λ ⋅ x {\displaystyle \lambda \cdot \mathbf {x} } или λ x {\displaystyle \lambda \mathbf {x} } ;

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным - над полем комплексных чисел).

Простейшие свойства

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
2. Нейтральный элемент 0 ∈ V {\displaystyle \mathbf {0} \in V}
3. 0 ⋅ x = 0 {\displaystyle 0\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0} } для любого .
4. Для любого x ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} \in V} противоположный элемент − x ∈ V {\displaystyle -\mathbf {x} \in V} является единственным, что вытекает из групповых свойств.
5. 1 ⋅ x = x {\displaystyle 1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x} } для любого x ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} \in V} .
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) {\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf {x} =\alpha \cdot (-\mathbf {x})=-(\alpha \mathbf {x})} для любых и x ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} \in V} .
7. α ⋅ 0 = 0 {\displaystyle \alpha \cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} } для любого α ∈ F {\displaystyle \alpha \in F} .

Связанные определения и свойства

Подпространство

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество K {\displaystyle K} линейного пространства V {\displaystyle V} такое, что K {\displaystyle K} само является линейным пространством по отношению к определенным в V {\displaystyle V} действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как L a t (V) {\displaystyle \mathrm {Lat} (V)} . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

Для всяких векторов x , y ∈ K {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K} вектор α x + β y {\displaystyle \alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} } также принадлежал K {\displaystyle K} для любых α , β ∈ F {\displaystyle \alpha ,\beta \in F} .

В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными .

Свойства подпространств

Линейные комбинации

Конечная сумма вида

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n {\displaystyle \alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}}

Линейная комбинация называется:

Базис. Размерность

Векторы x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}} называются линейно зависимыми , если существует их нетривиальная линейная комбинация, значение которой равно нулю; то есть

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 {\displaystyle \alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}=\mathbf {0} }

при некоторых коэффициентах α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F,} причём хотя бы один из коэффициентов α i {\displaystyle \alpha _{i}} отличен от нуля.

В противном случае эти векторы называются линейно независимыми .

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из V {\displaystyle V} называется линейно зависимым , если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым , если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Свойства базиса:

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n {\displaystyle \mathbf {x} =\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}} .

Линейная оболочка

Линейная оболочка подмножества X {\displaystyle X} линейного пространства V {\displaystyle V} - пересечение всех подпространств V {\displaystyle V} , содержащих X {\displaystyle X} .

Линейная оболочка является подпространством V {\displaystyle V} .

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X {\displaystyle X} . Говорят также, что линейная оболочка V (X) {\displaystyle {\mathcal {V}}(X)} - пространство, натянутое на множество X {\displaystyle X} .

В статье описаны основы линейной алгебры: линейное пространство, его свойства, понятие базиса, размерности пространства, линейная оболочка, связь линейных пространств и рангом матриц.

Линейное пространство

Множество L называется линейным пространством, если для всех его элементов определены операции сложения двух элементов и умножения элемента на число, удовлетворяющее I группе аксиом Вейля . Элементы линейного пространства называются векторами . Это полное определение; более кратко можно сказать, что линейное пространство – это множество элементов, для которых определены операции сложения двух элементов и умножения элемента на число.

Аксиомы Вейля.

Герман Вейль предположил, что в геометрии у нас есть два типа объектов (вектора и точки ), свойства которых описываются следующими аксиомами, которые и были положены в основу раздела линейной алгебры . Аксиомы удобно разбить на 3 группы.

Группа I

1. для любых векторов х и у выполняется равенство х+у=у+х;
2. для любых векторов х, у и z выполняется равенство х+(у+z)=(х+y)+z;
3. существует такой вектор о, что для любого вектора х выполняется равенство х+о=х;
4. для любого вектора х существует такой вектор (-х), что х+(-х)=о;
5. для любого вектора х имеет место равенство 1х=х;
6. для любых векторов х и у и любого числа λ выполняется равенство λ(х +у )=λх +λу ;
7. для любого вектора х и любых чисел λ и μ имеет место равенство (λ+μ)х =λх +μх ;
8. для любого вектора х и любых чисел λ и μ имеет место равенство λ(μх )=(λμ)х ;

Группа II

Группа I определяет понятие линейной комбинации векторов, линейной зависимости и линейной независимости. Это позволяет сформулировать еще две аксиомы:

1. существует n линейно независимых векторов;
2. любые (n+1) векторов линейно зависимы.

Для планиметрии n=2, для стереометрии n=3.

Группа III

Даная группа предполагает, что имеется операция скалярного умножения, ставящая в соответствие паре векторов х и у число (х,у ). При этом:

1. для любых векторов х и у выполняется равенство (х,у )=(у,х );
2. для любых векторов х , у и z выполняется равенство (х+у,z )=(x,z )+(y,z );
3. для любых векторов х и у и любого числа λ выполняется равенство (λх,у )=λ(х,у );
4. для любого вектора х имеет место неравенство (х,х )≥0, причем (х,х )=0 тогда и только тогда, когда х =0.

Свойства линейного пространства

В большинстве своем свойства линейного пространства основаны на аксиомах Вейля:

1. Вектор о , существование которого гарантируется аксиомой 3, определяется единственным образом;
2. Вектор (-х ), существование которого гарантируется аксиомой 4, определяется единственным образом;
3. Для любых двух векторов а и b , принадлежащих пространству L , существует единственный вектор х , также принадлежащий пространству L , являющийся решением уравнения a+ x= b и называемый разностью векторов b-a .

Определение. Подмножество L’ линейного пространства L называется линейным подпространством пространства L , если оно само является линейным пространством, в котором сумма векторов и произведение вектора на число определяются также, как в L .

Определение. Линейной оболочкой L (х1 , х2 , х3 , …, хk ) векторов х1 , х2 , х3 , и хk называется множество всех линейных комбинаций этих векторов. Про линейную оболочку можно сказать, что

- линейная оболочка является линейным подпространством;

– линейная оболочка является минимальным линейным подпространством, содержащим векторы х1 , х2 , х3 , и хk.

Определение. Линейное пространство называется n- мерным, если оно удовлетворяет II группе системы аксиом Вейля. Число n называется размерностью линейного пространства и пишут dimL=n .

Базис – любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов пространства . Смысл базиса таков, что векторами , составляющими базис, можно расписать любой вектора в пространстве .

Теорема. Любые n линейно независимых векторов в пространстве L образуют базис.

Изоморфизм.

Определение. Линейные пространства L и L’ называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие х↔х’ , что:

1. если х↔х’ , у↔у’ , то х+у↔х’+у’ ;
2. если х↔х’ , то λх↔ λх’.

Само это соответствие называется изоморфизмом . Изоморфизм позволяет сделать следующие утверждения:

• если два пространства изоморфны, то их размерности равны;
• любые два линейных пространства над одним и тем же полем и одинаковой размерности изоморфны.

1. Множество многочленов P n (x ) степени не выше n .

2. Множество n -членных последовательностей (с почленным сложением и умножением на скаляр).

3 . Множество функций C [ а , b ] непрерывных на [а , b ] и с поточечным сложением и умножением на скаляр.

4. Множество функций, заданных на [а , b ] и обращающихся в 0 в некоторой фиксированной внутренней точке c: f (c ) = 0 и с поточечными операциями сложения и умножения на скаляр.

5. Множество R + , если x ⊕ y  x  y , ⊙x  x  .

§8. Определение подпространства

Пусть множество W является подмножеством линейного пространства V (W  V ) и такое, что

а) x , y W  x ⊕ y W ;

б) x W ,    ⊙ x W .

Операции сложения и умножения здесь те же, что и в пространстве V (они называются индуцированными пространством V ).

Такое множество W называется подпространством пространства V .

7  . Подпространство W само является пространством.

◀ Для доказательства достаточно доказать существование нейтрального элемента и противоположного. Равенства 0⊙x =  и (–1)⊙х = –х доказывают необходимое.

Подпространство, состоящее только из нейтрального элемента {}и подпространство, совпадающее с самим пространством V , называются тривиальными подпространствами пространства V .

§9. Линейная комбинация векторов. Линейная оболочка системы векторов

Пусть векторы e 1 , e 2 , … e n V и  1 ,  2 , …  n .

Вектор x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = называется линейной комбинацией векторов e 1 , e 2 , … , e n с коэффициентами  1 ,  2 , …  n .

Если все коэффициенты в линейной комбинации равны нулю, то линейная комбинация называется тривиальной.

Множество всевозможных линейных комбинаций векторов
называется линейной оболочкой этой системы векторов и обозначается:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n ) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Корректность операций сложения и умножения на скаляр следует из того, что ℒ(e 1 , e 2 , …, e n ) – это множество всевозможных линейных комбинаций. Нейтральный элемент – это тривиальная линейная комбинация. Для элемента х =
противоположным является элемент –x =
. Аксиомы, которым должны удовлетворять операции, также выполнены. Таким образом,ℒ(e 1 , e 2 , …, e n ) является линейным пространством.

Любое линейное пространство содержит в себе в, общем случае, бесконечное множество других линейных пространств (подпространств) – линейных оболочек

В дальнейшем мы постараемся ответить на следующие вопросы:

Когда линейные оболочки разных систем векторов состоят из одних и тех же векторов (т.е. совпадают)?

2) Какое минимальное число векторов определяет одну и ту же линейную оболочку?

3) Является ли исходное пространство линейной оболочкой некоторой системы векторов?

§10. Полные системы векторов

Если в пространстве V существует конечный набор векторов
такой что,ℒ
 V , то система векторов
называется полной системой вV , а пространство называется конечномерным. Таким образом, система векторов e 1 , e 2 , …, e n V называется полной в V системой, т.е. если

х V   1 ,  2 , …  n  такие, что x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Если в пространстве V не существует конечной полной системы (а полная существует всегда – например, множество всех векторов пространства V ), то пространство V называется бесконечномерным.

9  . Если
полная вV система векторов и y V , то {e 1 , e 2 , …, e n , y } – также полная система.

◀ Достаточно в линейных комбинациях коэффициент перед y брать равным 0.

Пусть – система векторов из . Линейной оболочкой системы векторов называется множество всех линейных комбинаций векторов данной системы, т.е

Свойства линейной оболочки: Если , то для и .

Линейная оболочка обладает свойством замкнутости по отношению к линейным операциям (операции сложения и умножения на число).

Подмножество пространства , обладающее свойством замкнутости по отношению к операциям сложения и умножения на числа, называется линейным подпространством пространства .

Линейная оболочка системы векторов – линейное подпространство пространства .

Система векторов из называется базисом ,если

Любой вектор можно выразить в виде линейной комбинации базисных векторов:

2. Система векторов линейно независима.

Лемма Коэффициенты разложения вектора по базису определены однозначно.

Вектор , составленный из коэффициентов разложения вектора по базису называется координатным вектором вектора в базисе .

Обозначение . Данная запись подчеркивает, что координаты вектора зависят от базиса.

Линейные пространства

Определения

Пусть дано множество элементов произвольной природы. Пусть для элементов этого множества определены две операции: сложения и умножения на любое вещественное число : , и множество замкнуто относительно этих операций: . Пусть эти операции подчиняются аксиомам:

3. в cуществует нулевой вектор со свойством для ;

4. для каждого существует обратный вектор со свойством ;

6. для , ;

7. для , ;

Тогда такое множество называется линейным (векторным) пространством , его элементы называются векторами , и - чтобы подчеркнуть их отличие от чисел из - последние называютсяскалярами 1) . Пространство, состоящее из одного только нулевого вектора, называется тривиальным .

Если в аксиомах 6 - 8 допустить умножение и на комплексные скаляры, то такое линейное пространство называетсякомплексным . Для упрощения рассуждений всюду в дальнейшем мы будем рассматривать только вещественные пространства.

Линейное пространство является группой относительно операции сложения, причем группой абелевой.

Элементарно доказывается единственность нулевого вектора, и единственность вектора, обратного вектору : , его привычно обозначают .

Подмножество линейного пространства , само являющееся линейным пространством (т.е. замкнуто относительно сложения векторов и умножения на произвольный скаляр), называется линейным подпространством пространства . Тривиальными подпространствами линейного пространства называются само и пространство, состоящее из одного нулевого вектора .

Пример. Пространство упорядоченных троек вещественных чисел

операциями, определяемыми равенствами:

Геометрическая интерпретация очевидна: вектор в пространстве, «привязанный» к началу координат, может быть задан в координатах своего конца . На рисунке показано и типичное подпространство пространства : плоскость, проходящая через начало координат. Точнее говоря, элементами являются векторы, имеющие начало в начале координат и концы - в точках плоскости. Замкнутость такого множества относительно сложения векторов и их растяжения 2) очевидна.

Исходя из этой геометрической интерпретации, часто говорят о векторе произвольного линейного пространства как оточке пространства . Иногда эту точку называют «концом вектора ». Кроме удобства ассоциативного восприятия, этим словам не придается никакого формального смысла: понятие «конец вектора» отсутствует в аксиоматике линейного пространства.

Пример. Основываясь на том же примере, можно дать и иную интерпретацию векторного пространства (заложенную, кстати, уже в самом происхождении слова «вектор» 3)) - оно определяет набор «сдвигов» точек пространства . Эти сдвиги - или параллельные переносы любой пространственной фигуры - выбираются параллельными плоскости .

Вообще говоря, с подобными интерпретациями понятия вектора все обстоит не так просто. Попытки аппелировать к его физическому смыслу - как к объекту, имеющему величину инаправление - вызывают справедливую отповедь строгих математиков. Определение же вектора как элемента векторного пространства очень напоминает эпизод с сепульками из знаменитого фантастического рассказа Станислава Лема (см. ☞ЗДЕСЬ). Не будем зацикливаться на формализме, а исследуем этот нечеткий объект в его частных проявлениях.

Пример. Естественным обобщением служит пространство : векторное пространство строк или столбцо . Один из способов задания подпространства в - задание набора ограничений.

Пример. Множество решений системы линейных однородных уравнений:

образует линейное подпространство пространства . В самом деле, если

Решение системы, то и

Тоже решение при любом . Если

Еще одно решение системы, то и

Тоже будет ее решением.

Почему множество решений системы неоднородных уравнений не образует линейного подпространства?

Пример. Обобщая далее, можем рассмотреть пространство «бесконечных» строк или последовательностей , обычно являющееся объектом математического анализа - при рассмотрении последовательностей и рядов. Можно рассматривать строки (последовательности) «бесконечные в обе стороны» - они используются в ТЕОРИИ СИГНАЛОВ.

Пример. Множество -матриц с вещественными элементами с операциями сложения матриц и умножения на вещественные числа образует линейное пространство.

В пространстве квадратных матриц порядка можно выделить два подпространства: подпространство симметричных матриц и подпространство кососимметричных матриц. Кроме того, подпространства образуют каждое из множеств: верхнетреугольных, нижнетреугольных идиагональных матриц.

Пример. Множество полиномов одной переменной степени в точности равной с коэффициентами из (где - любое из множеств или ) с обычными операциями сложения полиномов и умножения на число из не образует линейного пространства. Почему? - Потому что оно не является замкнутым относительно сложения: сумма полиномов и не будет полиномом -й степени. Но вот множество полиномов степенине выше

линейное пространство образует; только к этому множеству надо придать еще и тождественно нулевой полином 4) . Очевидными подпространствами являются . Кроме того, подпространствами будут множество четных и множество нечетных полиномов степени не выше . Множество всевозможных полиномов (без ограничения на степени) тоже образует линейное пространство.

Пример. Обобщением предыдущего случая будет пространствополиномов нескольких переменных степени не выше с коэффициентами из . Например, множество линейных полиномов

образует линейное пространство. Множество однородных полиномов(форм) степени (с присоединением к этому множеству тождественно нулевого полинома) - также линейное пространство.

С точки зрения приведенного выше определения, множество строк с целочисленными компонентами

рассматриваемое относительно операций покомпонентного сложения и умножения на целочисленные скаляры, не является линейным пространством. Тем не менее, все аксиомы 1 - 8 будут выполнены если мы допустим умножение только на целочисленные скаляры. В настоящем разделе мы не будем акцентировать внимание на этом объекте, но он довольно полезен в дискретной математике, например в ☞ ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ. Линейные пространства над конечными полями рассматриваются ☞ ЗДЕСЬ.

Переменных изоморфно пространству симметричных матриц -го порядка. Изоморфизм устанавливается соответствием, которое мы проиллюстрируем для случая :

Понятие изоморфизма вводится для того, чтобы исследование объектов, возникающих в различных областях алгебры, но с «похожими» свойствами операций, вести на примере одного образца, отрабатывая на нем результаты, которые можно будет потом дешево тиражировать. Какое именно линейное пространство взять «для образца»? - См. концовку следующего пункт