Predavanje 5. Teorema o promjeni kinetičke energije

5. 1. Radni rad

Pustiti moć - jednakost svih sigranskih snaga primjenjuje se na tačku p, a ( dX., dy., dZ.) - Elementarno kretanje tačke p po svojoj putanju P 1 P 2 (Sl. 5.1). Osnovni rad d.Ali Snage nazivaju skalarni proizvod

Osnovni rad je skalarna vrijednost. Ako je ugao između snage i smjera kretanja, izraz (5.1) može biti predstavljen kao

gdje je projekcija sile na smjeru osnovnog pokreta (ili smjera brzine točke).

Znak elementarnog rada ovisi o funkciji funkcije. Ako je - oštar ugao, onda ako - tup ugao, ako onda.

Pusti točku R Dovršava konačni pokret iz položaja u položaj koji opisuje luk. Ugrožena Arca n. proizvoljni mali dijelovi koji označavaju dužinu područja s brojem k. kroz. Tada je osnovni rad sile na k."Stranica će biti jednaka, a svi načini do - količina rada u nekim odjeljcima

Dobijamo tačnu vrijednost rada, okrećući se do granica, pod uvjetom da je broj područja n. Povećava se u nedogled, a dužina svake web stranice smanjuje:

.

Ova se granica naziva Curvilinear integral prve vrste luka i piše se na sljedeći način.

. (5.3)

Rezultat integracije je potpun rad. Ali Sile F. Na završnom pokretu uz stazu uz put.

5. 1. 1. Rad gravitacije

Neka bude m. - masovna tačka, g. - ubrzanje slobodan pad. Onda

Izračunavanje rada prema formulama (5.1) i (5.3), imamo

gdje je visina spuštanja tačke.

Prilikom podizanja točke, dakle.

5. 1. 2. Rad linearne sile elastičnosti

Neka materijalna točka R Pomiče se uz osovinu Oh (Sl. 5.3) pod djelovanjem proljeća do koje je priložen. Ako , Proljeće je deformirano i sa malim biranjem točke, možemo pretpostaviti da se snaga elastičnosti nanosi na strani proljeća. Tada je rad sile elastičnosti u pokretu x. 0 x. 1 biće jednak

. (5.5)

Rad snage elastičnosti jednak je polovini rada koeficijenta krutosti do razlike u trgovima početnog i završnog izduženja (ili kompresije) proljeća.

5. 1. 3. Osnovni rad sila priloženih kruti

Razmislite o kretanju tijela u avionu. Neka bude O- proizvoljno odabrano mjesto na čvrstom (Sl. 5.4). Nazovimo njen pol. Tada se kretanje tijela u ravnini može predstavljati kao zbroj najjednostavnijeg: translacijskog pokreta zajedno s polom i rotacijom tijela oko stuba. Zatim se brzina točke relativno fiksnog koordinatnog sustava određena kao geometrijska zbroja dvije brzine.

gde - brzina polja, vektor ugalne brzine čvrstog tijela, brzina je eulera, t e. brzina točke kada je devastiran oko stuba.

Predstavljamo solidno kao mehanički sistem koji se sastoji od N. Odvojene točke, međusobna udaljenost između koje se ne mijenja.

Izračunajte poenta poen pod silom:

Onda.

Osnovni rad, prema (5.1), evidentirat će se na sljedeći način.

Iskoristite svojstva smiješnog proizvoda vektora , prepišite posljednji izraz u obliku

Neka budu rezultirajuće sve snage, vanjsko i unutarnje (Sl5.4) priložene na mjestu tijela, I.E.

.

Tada će (a) biti zabilježen tako

Prema (3.1 i 3.2), glavni vektor i glavni trenutak Unutarnje sile sistema su nula, dobivamo

evo: - glavni vektor, - glavni trenutak vanjskih sila u odnosu na točku O.

Privatni slučajevi

SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: Čvrsto kretanje čvrstog. Sve bodove tijela imaju isti pokret (Sl. 5.5, a) i modul, a u smjeru, zatim iz (5.6), dobivamo (ovdje):

. (5.7)

B. Rotacija čvrstog oko stacionarne osi. Pusti osovinu z. prolazi kroz pol O(Sl. 5.5b). Onda ,; Od (5.6)

. (5.8)

Primjer. Masa zavojnice m. i radijus R. pokreće se stalnom silom F.u prilogu Ali(Sl. 5.6). Zavojnica se valja udesno bez klizanja na grubu površinu.

Izračunajte rad svih vanjskih sila ako se središte zavojnice premjesti na udaljenost, koeficijent kotrljanja trenja, sila trenja, R radijus jezgre zavojnice, na koju se primijenila sila.

Odluka. Zavojnica počini ravni pokret. Budući da se kombinacija pojavljuje bez klizanja, tada je trenutni brzi centar na mjestu dodirnuti zavojnice sa avionom, tj. U točki R(Sl. 5.6). Osovinu ćemo poslati vodoravno udesno. U skladu sa smjerom kretanja, uzet ćemo pozitivan smjer ugao rotacije protiv kursa u smjeru kazaljke na satu.

Pustite središte zavojnice Od Pređite na. U ovom slučaju, zavojnica se okreće u kut. Onda, iz

Uzimanje poantu R Za trenutnu osovinu rotacije izračunavamo elementarni rad prema formuli (5.8):

(ali)

Ovdje: linija akcije i mg. Stoga je prešao osi rotacije; Nadalje, gde N. - Moć normalne reakcije.

Da biste odredili željeni rad ostaje određeni integralni od (a) u rasponu od 0 do S. Ali. Primiti

5. 2. Power polje. Funkcija napajanja. Potencijalna energija

Pretpostavimo da se tačka kreće u određenom prostoru i silu djeluju sa strane prostora, što ovisi o položaju tačke u ovom prostoru, ali ne ovisi o brzini točke. U ovom slučaju kažu da u set svemiru polje sileTakođe, da se tačka kreće u polje za napajanje. Odgovarajući koncepti za sistem materijalnog tačaka su slični.

Snage ovisno o položaju tačaka njihove primjene, često se često postoje u mehanici. Na primjer, sila elastičnosti pričvršćena je na materijalnu točku, koja se kreće duž vodoravne ravno pod djelovanjem proljeća. Najvažniji primjer Polje za napajanje u prirodi je gravitaciono polje: djelovanje sunca na planeti ove mase određuje se na svakoj tački prostora po zakonu svet puna gravitacija.

Polje se zove potencijalAko postoji skalarna funkcija U.Ovisno samo o koordinatama, točkama materijalnog sustava (možda i na vrijeme), takva

Funkcija se zove funkcija napajanja.

Razmislite o svojstvima funkcije napajanja.

Osnovni rad (5.1) povezan je s funkcijom napajanja na sljedeći način.

Na ovaj način, elementarni rad moći u potencijalnom polju Power jednaki su puni diferencijal iz funkcije napajanjaai.

Potpuni rad na parceli od točke do tačke (Sl. 5.1)

oni. . (5.10)

Od dobijenih izraza slijedi to

1. Rad sile u potencijalnom polje za napajanje za bilo koji zatvoreni put je nula;

2. Rad sile u potencijalnom polju Power ovisi samo o položaju konačnog i početnog bodovi, ali uloga premještanja uloge ne igra.

Potencijalna energija. Potencijalna energija P U trenutnom pocnu Rodnose se na posao koji terenske snage djeluju na materijalnu točku kada se kreće iz točke R U polaznoj tački 1, I.E.

P\u003d ili P=

Povezujemo funkciju napajanja U.sa potencijalnom energijom. Imati

Primjeri izračuna potencijalne energije

1. Jednoliko polje gravitacije. Neka bude m. - tačka tačke; g. - ubrzanje gravitacije. Zatim (Sl. 5.2)

2. Elastična opružna polje. Neka se materijalna tačka kreće duž osi Oh (Sl. 5.3) pod djelovanjem proljeća do koje je priložen. Ako proljeće ne bude deformirano, tada vjerujemo u formulu (5,5), dobivamo

.

5. 3. Kinetička energija

5. 3. 1. Kinetički energetski sistem. Kenigue Theorem

Kinetička energija materijalna tačka Naziva polovinom mase tačke tačke po kvadratu svoje brzine, I.E. . Kinetička energija je skalarna pozitivna vrijednost. U SI sistemu Jedinica mjerenja kinetičke energije je Joule: .

Kinetička energija mehanički sistem Zbroj kinetičkih energija svih tačaka koji su prijavljeni nazivaju se:

(5.11)

Brzina točaka sistema (5.1) određuje se relativno fiksnim referentnim sustavom.

Kompatibilno je porijeklo koordinata sa centrom masovnog sistema. Pretpostavimo da mehanički sistem, zajedno sa koordinatnim sistemom, kreće pravilno u odnosu na fiksni koordinatni sustav (Sl. 5.7). Tačka je točka sistema.

Zatim na osnovu teoreme o dodavanju brzine, apsolutna brzina točke R K.. Sistemi će biti napisani tako vektorskim sumom prijenosnih i relativnih brzina:

, (ali)

gdje - brzina početka pokretne koordinatnog sustava (prijenosna brzina, I.E. brzina masovnog sistema); - brzina brzine R K. u odnosu na pokretni koordinatni sistem Ohuz. (relativna brzina).

Zamjena (a) u formuli (5.11), dobivamo

(5.12)

Ovdje - masa čitavog sistema.

Polumjer-vektor središnjeg sustava masovnog sustava u pokretnom koordinatnom sustavu određuje se, prema (2.1), - Od! . . Od porijekla koordinata O To je centar masovnog sistema, a zatim, onda, i.e. Druga zbroj u izrazu (5.12) je nula.

Dakle, kinetička energija sistema (5.12) ima

(5.13)

Ova jednakost određuje kenigova teorema.

Teorema. Kinetička energija sistema jednaka je količini kinetičke energije, koja bi imala materijalnu točku koja se nalazi u središtu mase sustava i ima masu, jednaka masa Sistemi i kinetička energija pokreta sistema u odnosu na centar mase.

5. 3. 2. Kinetička čvrsta energija

Čvrsta je poseban slučaj mehaničkog sistema i smatra se kontinuirano raspoređenom masom, tada se svi iznosi uključene u izraz za kinetičku energiju sistema prenose na integrale. Dakle, za kruto tijelo formula (5.11) preuzet će obrazac

. (5.14)

1. Kinetička energija čvrstog, kreće se progresivno.

Istovremeno, brzina brzine svih točaka tijela je ista (Sl. 5.8). Taloženje u formuli (5.14) za znak integralnog, dobivamo

. (5.15)

Kinetička energija čvrstog, kreće se progresivno, polovina je tjelesne mase tijelaM. Na kvadratu njegove brzine.

2. Kinetička energija čvrstog, rotirajući se oko stacionarne osi

Modul brzine V. Bilo koja točka čvrstog tijela okreće se oko stacionarne osi jednaka je gdje - modul kutne brzine čvrstog tijela - udaljenost od tačke do rotacijske osi z. (Sl. 5.9). Zamjena u formuli (5.14), dobivamo

ovdje - Trenutak solidne inercije u odnosu na osovinu z..

Kinetička energija čvrstog, rotirajuća oko fiksne osi, jednaka je polovini proizvoda u trenutku inercije tijela u odnosu na osi rotacije do kvadrata ugaone brzine tijela.

3. Kinetička čvrsta energija sa ravnim - paralelnim kretanjem

Sa stambenim paralelnim kretanjem brzina bilo koje tačke tijela sastoji se od geometrijskog zbroja brzine stupova i brzine točke prilikom rotiranja oko stuba. Neka se tijelo premješta u avion Oksija, onda

|| . Za pol, odaberite središte masovnog tijela, zatim u formuli (5.13), brzina je brzina tačke k. Tijela tokom rotacije u odnosu na pol (središte mase) i jednake gdje je udaljenost k.- oh točka na pol. Tada (5.13) prepisati

Imajući u vidu to - trenutak inercije tijela u odnosu na osovinu z.pol Od, posljednji izraz može se prepisati kao

, (5.17)

sa ravnim paralelnim pokretom tijela, kinetička energija se preklopa iz kinetičke energije translačkog pokreta zajedno sa središtem mase i kinetičke energije od rotacije oko osi prolazeći kroz sredinu mase i okomitskog ravnine pokreta.

5. 4. Teorema o promjeni kinetičke energije

5. 4. 1. Teorema o promjeni u kinetičkoj energetskoj tački

Pronađite vezu između posla i promjene brzine. Neka materijalna masa m. Pomiče se uz osovinu Oh Pod djelovanjem sile, poput komprimiranog ili srušenog proljeća, fiksirana na početku koordinata - poenta O (Sl. 5.10). Jednadžba pokreta poenta ima obrazac

Pomnožite oba dijela ove jednadžbe i, s obzirom na to , dobiti

. (5.19)

U desnom dijelu ove jednakosti, zamijenite V X. na i umnožavati dalje dT. Desni i lijevi dijelovi. Onda

. (5.20)

U ovom obliku jednakost ima vrlo vizuelno značenje: kada se poenta prebaci na dX., snaga čini posao, što rezultira veličinom kinetička energetska tačka karakterizirajući kretanje tačke i posebno modula njegove brzine. Ako se tačka pomaknu sa položaja, a njegova se brzina mijenja od do, zatim, integrirajući (5.20), imamo

. (5.21)

S obzirom na to , konačno nađite

. (5.22)

Promjena kinetičke energije materijalne točke na bilo koji način premještanja jednak je radu sile koja djeluje u točku na istom pokretu.

Radivši sve prethodne postupke, dobivamo

,

evo luka duž kojeg se tačka kreće (Sl. 5.11).

5. 4. 2. Teorem o promjeni u kinetičkom energetskom sustavu

Neka se tačka sustava premjestila na masu tako da su njihovi polumjerski vektori u inercijalnom referentnom sustavu dobili priraštaj. Otkrivamo kako se kinetička energija promijenila T. Sistemi.

Prema (5.11), kinetičkoj energiji sistema

.

Izračunati razliku od kinetičke energije sistema i transformiramo rezultirajući izraz

ovdje

Uzimajući u obzir to , gdje - ubrzanje točke A i jednake su vanjske i unutrašnje sile priložene na točku, prepisati posljednju ravnopravnost u obliku

Na ovaj način,

. (5.23)

Posljednja ravnopravnost izražava teoremu o promjeni kinetičke energije mehaničkog sistema u diferencijalnom obliku: diferencijal u kinetičkoj energiji sistema jednaka je elementarnom radu svih sila sistema.

Privatni slučaj . Za apsolutno čvrsto tijelo, količina rada svih unutrašnjih sila sustava je nula:

.

Shodno tome, teorema o promjeni kinetičke energije (5.23) za čvrstu mogu se napisati kao

Promjena u kinetičkoj energiji krute sa bilo kojim osnovnim pokretom jednaka je elementarnom radu vanjskih sila koji djeluju na tijelu.

Ako oba dijela (5,24) integriraju između dva položaja - početni i konačni, u kojem, respektivno, kinetička energija i, dobivamo

. (5.25)

Primjer 1.. Masa diska m.\u003d 5 kg a radijus se potakne stalnom silom pričvršćenom u točki Ali(Sl. 5.6). Disk se valja na gruboj površini udesno bez klizanja. Odredite brzi centar Od Zavojnice u trenutku kada se kreće na udaljenost, koeficijent kliznog trenja, radijus inercije diska

Odluka. Disk pravi ravno kretanje. Theorem pišemo o promjeni kinetičke energije za čvrsto

Izračunajte kinetičku energiju diska. U početnom trenutku, disk je bio u mirovanju, I.E. . Kinetička energija na krajnjem položaju diska

Uvodimo koncept druge velike dinamičke karakteristike kretanja kinetičke energije. Kinetička energija materijalne točke je skalarna vrijednost jednaka polovini proizvoda tačke tačke po kvadratu njegove brzine.

Jedinica mjerenja kinetičke energije je ista kao i rad (u C - 1 J). Pronađite ovisnost da su ove dvije vrijednosti povezane.

Razmotrite materijalnu točku s masom koji se kreće iz položaja na kojem ima brzinu za položaj gdje njegova brzina

Da biste dobili željenu ovisnost, obraćamo se izražavajućim zakonom dinamike jednadžbe koji dizajniraju oba dijela na tangenti na tank točku M, usmjerena prema pokretu, dobivamo

Ovdje se uključe u tangencijalne ubrzane bodove u obrascu

Kao rezultat toga, to otkrivamo

Pomnožite oba dijela ove jednakosti i predate diferencijalni znak. Zatim, primjećujući da gdje - osnovni rad sile dobijamo izraz teoreme o promjeni u kinetičkoj energetskoj tački u diferencijalnom obliku:

Integriranje sada oba dijela ove jednakosti unutar odgovarajućih vrijednosti varijabli na bodovima naiđe na kraju

Jednadžba (52) izražava teoremu o promjeni u kinetičkoj energiji točke u konačnom obliku: promjena kinetičke energije točke u nekim njenim kretanjem jednaka je algebarskom količinom svih snaga koje djeluju tačka na istom pokretu.

Slučaj ne-slobodnog pokreta. Sa ne-slobodnim kretanjem tačke u desnu stranu ravnopravnosti (52), ući će operacija navedenih (aktivnih) sila i operacija komunikacijske reakcije. Ograničavamo se na razmatranje kretanja tačke na fiksno glatko (lišeno trenje) površine ili krivulje. U ovom slučaju, n (vidi Sl. 233) odgovor će biti usmjeren normalnim na putanju puta i. Zatim, prema formuli (44), operacija reakcije fiksne glatke površine (ili krivulje) tokom bilo kojeg pokreta tačke bit će nula, a mi dobivamo iz jednadžbe (52)

Slijedom toga, kada se kreće uz fiksnu glatku površinu (ili krivulju), promjena u kinetičkoj energiji točke jednaka je zbroju rada na ovom pokretu pričvršćenom na točku aktivnih sila.

Ako površina (krivulja) nije glatka, rad trenja bit će dodan radu aktivnih snaga (vidi § 88). Ako se površina (krivulja) pomiče, tada apsolutno kretanje točke M možda nije okomito na n, a zatim rad reakcije N neće biti nula (na primjer, operacija reakcije platforme dizala).

Rješavanje zadataka. Teorema o promjeni kinetičke energije [Formula (52)] omogućava znajući kako ona mijenja brzinu kada se točka promijeni, određuje rad trenutnih sila (prvog zadatka zvučnika) ili, znajući rad zvučnika) ili, znajući rad Tekuće snage, određuju kako se točka tačke mijenja prilikom premještanja (drugi zadatak promjena zvučnika). Prilikom rješavanja drugog zadatka, kada su se sile date, potrebno je izračunati njihov rad. Kao što se može vidjeti iz formula (44), (44), to se može učiniti samo kad su sile konstantne ili ovise samo o položaju (koordiniraju) pokretne točke, poput, na primjer, sile elastičnosti ili groba (vidi § 88).

Stoga se formula (52) može direktno koristiti za rješavanje drugog problema dinamike, kada zadatak u broju podataka i željenih vrijednosti uključuje: trenutne sile, kretanje tačke i njegove početne i konačne brzine (tj Vrijednosti), a snaga moraju biti trajne ili ovisne točke samo na položaju (koordinate).

Teorem u diferencijalnom obliku [Formula (51)] može se, naravno, može koristiti za sve postojeće snage.

Zadatak 98. Teretna masa KG, napuštena brzinom točke A, koja se nalazi na visini (Sl. 235), ima smisao na mjestu pada brzine da bi se utvrdilo ono što je jednako radujt zraka koji djeluje teret kada je sila otpornosti na vazduh

Odluka. U smislu njegovog pokreta, snagu gravitacije P i jačina otpornosti zraka R. Theorem o promjeni kinetičke energije, uzimajući u obzir materijal opterećenja, imamo

Iz ove jednakosti, jer prema formuli nalazimo

Zadatak 99. Prema uvjetima zadatka 96 (vidi [§ 84), odredite koji će put prenijeti teret za zaustavljanje (vidi Sl, 223, gdje - početni položaj tereta, i - konačnih).

Odluka. Za teret, kao i u problemu, snage P, N, F. da bi se utvrdilo kočioni put, s obzirom da uvjeti ovog problema uključuju stalnu silu F, koristimo teoru promjenu u kinetičkoj energiji

U slučaju koji se razmatra, brzina tereta u vrijeme zaustavljanja). Pored toga, budući da su snage p i n okomito da se kreću, na kraju dolazimo od mjesta gdje nalazimo

Prema rezultatima problema 96, vrijeme kočenja raste proporcionalno početna brzina, a kočni put, kao što smo pronašli, proporcionalan je kvadratu početne brzine. Što se tiče podzemnog prevoza, pokazuje kako se opasnost povećava sa povećanjem brzine.

Zadatak 100. Težina P je suspendovan na dužini dužine navoja, zajedno s teretom, odstupajući od okomitog na ugao (Sl. 236, a) i otpustite bez početne brzine. Prilikom vožnje u teret, otpornost na R, koja otprilike zamjenjuje prosječnu vrijednost kako bi se pronašao brzina tereta u to vrijeme kada se nit formira s vertikalnim uglom

Odluka. S obzirom na uvjete zadatka, koristit ćemo ponovo teorem (52):

Težina gravitacije P, reakcija niti otpornosti, predstavljena svojom prosječnom vrijednošću R. za silu p koristeći formulu (47) za silu n, jer konačno dobivamo, za snagu, od formule ( 45) će biti (dužina s luka jednaka radnom polumjeru l na središnjem uglu). Pored toga, pod uvjetima problema, kao rezultat jednakosti (a) daje:

U nedostatku otpora, dobivamo odavde poznata Galilea formula valjana, očito i za brzinu slobodno padajućih tereta (Sl, 236, B).

U problemu koji se razmatra, zatim uvođenjem ravnomjerne oznake - prosječna snaga otpornosti po jedinici težine tereta), konačno dobivamo

Zadatak 101. Proljeće ventila ima duljinu ventila u donjem statusu. Sa potpuno otvorenim ventilom, dužinom cm i visina podizanja ventila (Sl. 237). Proljetna krutost masovnog ventila kg. Zanemarivanje učinka gravitacionih i otpornih snaga, određuju brzinu ventila u vrijeme zatvorenog.

Odluka, koristite jednadžbu

Prema uvjetima zadatka, rad je obavljao samo snagu elastičnosti proljeća. Tada će formula (48) biti

U ovom slučaju

Pored toga, zamjenjuju sve ove vrijednosti u jednadžbu (a), konačno ćemo dobiti

Zadatak 102. Teret leži na sredini elastičnog snopa (Sl. 238), preklinjem ga na vrijednosti (statistički otklon statističkim snopom) zanemarujući težinu greda, utvrđuju koji će mu maksimalni otklon biti jednak ako teret pada na Greda sa visine N.

Odluka. Kao u prethodnom zadatku, koristimo za rješavanje jednadžbe (52). U ovom slučaju, početna brzina tereta i njene konačne brzine (u vrijeme razgovora maksimalnog snopa) je nula i jednadžba (52)

Ovdje je napravljeno silom gravitacije p o kretanju i sili elastičnosti snopa f o pokretu istovremeno kao za Balkn, zamjenjuju ove vrijednosti u jednakost (a), dobivamo

Ali sa ravnotežom tereta na gredu gravitacija je izjednačena silom elastičnosti, dakle, prethodna jednakost može biti zastupljena kao

Rješavanje kvadratna jednadžba i s obzirom na to da u skladu s uvjetima zadatka treba pronaći

Zanimljivo je napomenuti da se kada se isključuje, ako se opterećenje stavi na sredinu vodoravnog snopa, tada će njegov maksimalni otklon prilikom spuštanja tereta biti jednak dvostrukoj statičkoj. Ubuduće će teret započeti s gredom kako bi se oscilacija u blizini ravnotežne pozicije. Pod utjecajem otpora, ove će oscilacije biti izblijedjele i sustav je izbalansiran u položaju u kojem je otklon grede jednak

Zadatak 103. Odredite početnu brzinu originalnog originalnog, početna brzina mora biti obaviještena da se izlazi sa površine zemlje na navedenu visinu H (Sl. 239) snagu privlačnosti za razmatranje variranja u razmatranju razmatranja različitih kvadrat udaljenosti od centra zemlje. Otpor zraka za zanemarivanje.

Odluka. S obzirom na tijelo kao materijalnu točku s masom, koristimo jednadžbu

Ovdje djeluje silu F. Zatim Formulom (50), s obzirom na to da je u ovom slučaju u kojem je R radijus zemlje, dobivamo

Od najvišoj tački, sa pronađenim vrijednošću posla, jednadžba (a) daje

Razmislite o privatnom slučaju:

a) Neka bude vrlo mala u odnosu na R. tada - vrijednost blizu nule. Izrada brojača i imena

Dakle, u malom n stižemo na Galilijsku formulu;

b) Nalazimo, u kojoj početnoj brzini, napušteno tijelo stupa na snagu u beskonačnosti, dijeljenjem brojača i imena na a, dobivamo

Ako razmotrimo neku točku sistema s masom , Brzina , Tada će za ovu poenta biti

,

gdje ja. - Elementarni radovi djeluju na mjestu vanjskih i unutrašnjih sila. Izradom takvih jednadžbi za svaku od točaka sistema i savladati ih straga, dobivamo

,

. (2)

Ravnopravnost izražava teoru o promjeni kinetičke energije sistema u diferencijalnom obliku.

Ako se dobiveni izraz pripisuje elementarnom vremenskom periodu tokom kojeg se dogodio pokret, moguće je dobiti drugu formulaciju diferencijalnog oblika teoreme: vremenski izvod iz kinetičke energije mehaničkog sistema je jednak zbroj kapaciteta svih vanjskih () i unutrašnjih () snaga, tj

Diferencijalni oblici teoreme o promjeni kinetičke energije mogu se koristiti za kompiliranje diferencijalne jednadžbe Pokret, ali to se radi prilično rijetko, jer postoje prikladnije tehnike.

Integriranje oba dijela jednakosti (2) u granicama koje odgovaraju kretanju sistema iz određenog početnog položaja, gdje je kinetička energija jednaka položaju u kojoj vrijednost kinetičke energije postaje jednaka , će imati

Rezultirajuća jednačina izražava teoru promjene u kinetičkoj energiji u konačnom obliku: promjena kinetičke energije sustava u nekim njenim pokretom jednaka je zbroju rada na ovom kretanju svih vanjskih i unutarnjih sila priloženih sistemu.

Za razliku od prethodnih teorema, unutrašnje sile u jednadžbi nisu isključene. Zapravo, ako su onda snage interakcije između bodova i sistema (vidi Sl.51). Ali u isto vrijeme, točka se može kretati prema K, a poenta je prema. Rad svake snage će tada pozitivno i količina rada neće biti nula. Primjer je fenomen povrata. Unutarnje sile (snage pod pritiskom), koje djeluju na projektilu i za kotrljanje dijelova, ovdje pozitivno djelovati. Zbir ovih radova, nije jednak nuli i mijenja kinetičku energiju sistema od vrijednosti na početku pucanja do kraja kraja.

Drugi primer: Dvije tačke povezane proljećem. Kad se udaljenost promijeni između tačaka, izvršit će se elastična sila pričvršćena na bodove. Ali ako se sistem sastoji od apsolutno čvrstih tijela i veza između njih je nepromjenljiva, a ne elastična, idealna, tada će operacija unutarnjih sila biti nula i ne mogu ih uzimati u obzir i ne prikazuju ih u izračunu Shema.

Razmotrite dva važna privatna događaja.

1) Nepromenljiv sistem. Nepromenljiv Nazvat ćemo sistem u kojem se udaljenosti između točaka primjene unutarnjih sila ne mijenjaju kada se sistem kreće. Konkretno, takav sistem je apsolutno čvrsto tijelo ili neprofitabilan nit.

Sl.51

Neka su dva boda i nepromjenjivi sustav (PIS.51), ponašajući jedni na druge sa silama i () u trenutku brzine i. Tada vremenom dT. Ove će točke napraviti osnovno kretanje i , usmjeren duž vektora i. Ali segment Takakaka je nepromjenjiv, zatim prema poznatoj kinematičkoj teoremi projekcije vektora i , i, prema tome, pokreti i smjer segmenta bit će jednaki jedno drugom, I.E. . Tada je osnovni rad snaga i bit će isti u modulu i suprotni su znaku i u iznosu će dati nulu. Ovaj rezultat je fer za sve interne sile u bilo kojem pokretu sistema.

Odavde zaključujemo to za nepromjenjivi sistem, količina rada svih unutrašnjih sila je nula i jednadžbe se pojavljuju

2) Sistem sa savršenim vezama. Razmislite o sistemu na kojem se vezama ne mijenjaju s vremenom. Podjeli smo sve spoljne i domaće snage na tačke sistema aktivan i reakcije veza. Onda

,

gde - elementarni rad koji djeluje na k-yU točka sistema vanjskih i unutrašnjih aktivnih snaga, a je elementarni rad reakcija naređenih na istoj točki vanjskih i unutrašnjih veza.

Kao što vidimo, promjena u kinetičkoj energiji sistema ovisi o radu i aktivnim silama i reakcijama veza. Međutim, moguće je uvesti koncept takvih "idealnih" mehaničkih sistema u kojima prisustvo obveznica ne utječe na promjenu u kinetičkoj energiji sistema tokom njegovog pokreta. Za takve veze treba se očitovati:

Ako za obveznice koje se ne mijenjaju s vremenom, količina svih reakcija u osnovnom pokretu sistema je nula, tada se takve veze nazivaju idealno. Za mehanički sistem koji se nadmašuje samo savršenim vezama koje nisu dugomelno, mi ćemo očito imati

Dakle, promjena u kinetičkoj energiji sistema s idealnim, ne-vremenskim vezama koje mijenjaju s bilo kojom od njenog pokreta jednaka sumu rada na ovom potezu pričvršćenom na vanjski i unutarnji sistem aktivne snage.

Pozvan je mehanički sistem konzervativan(Energija se čini da se rugaju, ne mijenja se) ako se energetski integral odvija za to

ili (3)

TO JE zakon očuvanja mehaničke energije: Kada se sistem kreće u potencijalnom polju, njegova mehanička energija (zbroj potencijalnih i kinetika) ostaje nepromijenjena, konstantna.

Mehanički sistem će biti konzervativan ako su snage koje djeluju na njemu potencijalno, poput snage gravitacije, snage elastičnosti. U konzervativnim mehaničkim sistemima, koristeći energetski integral, moguće je provjeriti ispravnost izrade diferencijalnih jednadžbi pokreta. Ako sustav bude konzervativan, a stanje (3) nije zadovoljno, znači da se greška vrši u pripremi jednadžbi kretanja.

Integralna energija se može koristiti za provjeru ispravnosti kompilacije jednadžbi i na drugi način, bez izračunavanja izvedenih. Da biste to učinili, nakon numeričke integracije jednadžbi kretanja, izračunajte vrijednost ukupne mehaničke energije za dvije različite trenutke vremena, na primjer, početni i konačni. Ako je razlika vrijednosti uporediva sa greškama izračuna, to će ukazivati \u200b\u200bna ispravnost korištenih jednadžbi.

Sve su prethodne teoremi omogućile isključenje unutarnjih sila iz jednadžbi pokreta, ali sve vanjske snage, uključujući one koji su neoznake reakcije vanjskih odnosa, sačuvane su u jednadžbe. Praktična vrijednost teoreme za promjenu kinetičke energije je da će sa ne-vremenskim promjenama idealnih priključaka eliminirati iz jednadžbi pokreta sve Alternativno nepoznate reakcije veza.

Ova teorema uspostavlja kvantitativni odnos između rada sile (uzrok) i kinetičke energije materijalne točke (posljedica).

Kinetički energetski materijal nazvana skalarna vrijednost jednaka polovici proizvoda tačke tačke na kvadrat njegove brzine

. (43)

Kinetička energija karakterizira mehanički učinak sile koji se može pretvoriti u druge vrste energije, na primjer, na toplinsku.

Rad moćina ovom pokretu se naziva karakteristikama akcije napajanjašto dovodi do promjene modula brzine.

Osnovni rad moći Određeno kao skalarni proizvod vektora snage na osnovnom vektoru pokreta na mjestu njegove primjene

, (44)

gde
- Osnovno kretanje.

Modul elementarnog rada određuje se formulom

gde  - ugao između vektora snage i vektora elementarnog pokreta; - Projekcija vektora snage na tangenta.

Potpuni rad na nekoj konačnom pokretu određuje se integralnim

. (46)

Od (46) slijedi da se kompletan rad može izračunati u dva slučaja, kada sila konstantna ili ovisi o pokretu.

Za F.\u003d Const Primanje
.

Prilikom rješavanja zadataka često je prikladno koristiti analitičku metodu za izračunavanje sile

gde F. x. , F. y. , F. z. - Projekcije sile na koordinatnim osi.

Dokazujemo sledeću teoremu.

Teorema: Promjena u kinetičkoj energiji materijalne točke na dio njegovog pokreta jednaka je radu sile koja djeluje u točku, na istom pokretu.

Neka materijalna tačka m masu m. kreće se pod djelovanjem snage F. Sa položaja m 0 do položaja m 1.

Oud:
. (47)

Uvodimo supstituciju
i dizajnirat ćemo (47) na tangentu

. (48)

Podijelimo se u (48) varijabli i integriramo

Kao rezultat toga, dobivamo

. (49)

Jednadžba (49) dokazuje da je teorema formulirana gore.

Prikladno je koristiti najozrenije kada se među navedenim i željenim parametrima nalazi tačku tačke, njezina početna i konačna brzina, snaga i pokret.

Izračunavanje rada karakterističnih snaga.

1. Rad gravitacije Izračunava se kao proizvod modula sile na pomjeranju tačke svoje vertikalne aplikacije

. (50)

Prilikom se krećem gore, rad je pozitivan, kada se krećete dolje - negativno.

2. Proljetna elastična sila F.=-cX. jednaki

, (51)

gde x. 0 - početno izduženje (kompresija) izvori;

x. 1 - Konačno proširenje (kompresijska) opruga.

Rad gravitacije i elastične sile ne ovise o putanju premještanja njihovih točaka aplikacije. Takve sile čiji rad ne ovise o putanju nazivaju se potencijalne snage.

3. Rad sile trenja.

Budući da je sila trenja uvijek usmjerena prema suprotnom smjeru kretanja, njegov rad je jednak

Rad trenja sila je uvijek negativan. Sile čiji su rad uvijek negativni, nazivaju se disipativan.

Integralni (završni) obrazac. Teorema o promjeni u kinetičkoj energiji materijalne tačke: promjena kinetičke energije mate-rial točke na dio njegovog pokreta jednaka je algebarskom količini rada svih sila koje djeluju u ovom trenutku na istom pokretu.

Formulirana je teorema o promjeni u kinetičkoj energiji mehaničkog sistema: promjena kinetičke energije mehaničkog sistema kada se kreće iz jedne pozicije na drugu jednaku zbroju rada svih vanjskih i unutarnjih CU-ova priloženih u sustav, na ovom pokretu:

U slučaju nepromjenjivog sistema, zbroj rada unutrašnjih sila na bilo kojem pokretu je nula (), zatim

Zakon očuvanja mehaničke energije.Prilikom premještanja mehaničkog sistema pod djelovanjem snaga koji imaju potencijal, promjene u kinetičkoj energiji sustava određuju se ovisnosti o ovisnosti:

Gde

Zbir kinetičke i potencijalne energije sistema se zove kompletna mehanička energija Sistemi.

Na ovaj način, prilikom premještanja mehaničkog sistema u stacionarnom potencijalnom polju, potpuna mehanička energija sistema ostaje nepromijenjena tokom vožnje.

Zadatak. Mehanički sistem pod delovanjem gravitacionih sila dolazi u pokretu od stanja mirovanja. S obzirom na trenje klizišta 3, zanemarujući druge otpornosti i mase niti, navodno nerazumne, određuju brzinu i ubrzanje tijela 1 u trenutku kada je put prešao na njih postaje jednak s. (Sl. 3.70).

U zadatku, uzmi:

Odluka. Postoje aktivne snage na mehaničkom sistemu ,, Koristeći princip izuzeća iz obveznica sustava pokazujemo reakciju zglobne fiksne podrške 2 i grubu kosinu površinu. Zabilježeni će se uputstva brzina sistema sistema, uzimajući u obzir činjenicu da se tijelo 1 spušta.

Zadatak se rješava primjenom teoreme o promjeni kinetičke energije mehaničkog sistema:

gde T. i - kinetička energija sistema u početnim i krajnjim položajima; - algebarska količina rada vanjskih snaga priložena sustavu, na kretanju sistema iz početnog položaja do finala; - iznos rada unutrašnjih sila sistema na istom pokretu.

Za sustav koji se razmatra, koji se sastoji od apsolutno čvrstih tijela povezanih neprofitamnim nitima:

Kao B. početni položaj Sistem se tada odmarao. Dakle:

Kinetička energija sistema je količina kinetičkih energija tel 1, 2, 3:

Kinetička energija tereta 1, kreće se postupno, jednaka:

Kinetička energija bloka 2 izvedba rotacije oko osi Oz.okomito na planu za crtanje:

Kinetička energija tijela 3 u svom progresivnom pokretu:

Na ovaj način,

Izraz kinetičke energije sadrži nepoznatu brzinu svih tijela sistema. Započnite definiciju je neophodna sa. Oslobodite se nepoznatih nepoznanica, čineći jednadžbu veza.

Jednači odnosa nisu ništa drugo nego kinematični odnos između brzina i pokreta tačaka sistema. U sastavljanju jednadžbi odnosa, izrazit ćemo sve nepoznate brzine i kretanje tijela sustava kroz brzinu i kretanje tereta 1.

Brzina bilo koje točke malog polumjera podjednako je jednaka brzini tijela 1, kao i proizvod kutne brzine tijela 2 i rotacijski radijus r:

Dakle, izrazite kutnu brzinu tijela 2:

Brzina rotacije bilo koje točke obruča velike radijuse, s jedne strane, jednak je proizvodu kutne brzine bloka i radijusu rotacije, a na drugom - tjelesnu brzinu 3:

Zadržavamo vrijednost kutne brzine, dobivamo:

Integriranje u početnim uvjetima izražavanja (a) i (b), pišemo omjer pokreta sistemskih točaka:

Poznavanjem osnovnih ovinosti o brzinama sustava, vraća se na izraz kinetičke energije i zamjenskih jednadžbi (a) i (b) u njemu:

Trenutak inercije tijela 2 je:

Zamjena vrijednosti vrijednosti tijela i trenutak inercije tijela 2, mi pišemo:

Određivanje zbroja rada svih spoljnih sigranskih snaga na datom pokretu.

Sada, prema teoriji o promjeni kinetičke energije mehaničkog sistema, izjednačite vrijednosti T.i

Brzina tijela 1 Dobijamo iz izraza (G)

Ubrzanje tijela 1 može se odrediti direkcijom ravnopravnosti (G).