Имоти

Тъй като ур. х 2 + г 2 = z 2 хомогенен, при размножаване х , гИ zза същото число получавате друга питагорова тройка. Питагоровата тройка се нарича примитивен, ако не може да се получи по този начин, тоест взаимно прости числа.

Примери

Някои питагорови тройки (сортирани във възходящ ред на максимален брой, примитивните са подчертани):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

История

Питагорови тройкиса известни от много дълго време. Среща се в архитектурата на древни месопотамски надгробни паметници равнобедрен триъгълник, съставен от две правоъгълни със страни 9, 12 и 15 лакти. Пирамидите на фараона Снофру (XXVII век пр. н. е.) са построени с помощта на триъгълници със страни 20, 21 и 29, както и 18, 24 и 30 десетки египетски лакти.

X Всеруски симпозиум по приложна и промишлена математика. Санкт Петербург, 19 май 2009 г

Доклад: Алгоритъм за решаване на диофантови уравнения.

В статията се разглежда методът за изследване на диофантовите уравнения и се представят решените чрез този метод: - последната теорема на Ферма; - търсене на Питагорови тройки и др. http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html

Връзки

• Е. А. ГоринСтепени на прости числа в питагорови тройки // Математическо образование. - 2008. - Т. 12. - С. 105-125.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво представляват „Питагоровите тройки“ в други речници:

В математиката Питагоровите числа (Питагоровата тройка) са набор от три цели числа, отговарящи на Питагоровата връзка: x2 + y2 = z2. Съдържание 1 Свойства ... Уикипедия

Три от тях естествени числаче триъгълник, чиито дължини на страните са пропорционални (или равни на) тези числа, е правоъгълен, например. тройка от числа: 3, 4, 5... Голям енциклопедичен речник

Тройки естествени числа, така че триъгълник, чиито дължини на страните са пропорционални (или равни) на тези числа, е правоъгълен. Според теоремата, обратна на теорематаПитагор (вижте Питагоровата теорема), за това е достатъчно те... ... Велика съветска енциклопедия

Тройки цели положителни числа x, y, z, удовлетворяващи уравнението x2+y 2=z2. Всички решения на това уравнение и следователно всички частични числа се изразяват с формулите x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2, където a и b са произволни положителни цели числа (a>b). П.ч... Математическа енциклопедия

Тройки от естествени числа, така че триъгълник, чиито дължини на страните са пропорционални (или равни) на тези числа, е правоъгълен, например. тройка от числа: 3, 4, 5... Естествени науки. енциклопедичен речник

Тройки от естествени числа, така че триъгълник, чиито дължини на страните са пропорционални (или равни) на тези числа, е правоъгълен, например тройка от числа: 3, 4, 5. * * * ПИТАГОРОВИ ЧИСЛА ПИТАГОРОВИ ЧИСЛА, тройки от естествени числа като че... ... енциклопедичен речник

В математиката питагоровата тройка е набор от три естествени числа, които отговарят на питагоровата връзка: В този случай числата, образуващи питагорова тройка, се наричат ​​питагорейски числа. Съдържание 1 Примитивни тризнаци ... Уикипедия

Питагоровата теорема е една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник. Съдържание 1 ... Уикипедия

Питагоровата теорема е една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник. Съдържание 1 Твърдения 2 Доказателства ... Уикипедия

Това е уравнение във формата, където P е целочислена функция (например полином с цели коефициенти), а променливите приемат цели числа. Наречен на древногръцкия математик Диофант. Съдържание 1 Примери ... Wikipedia

Образователни: изучавайте редица питагорови триплети, разработвайте алгоритъм за тяхното използване в различни ситуации, съставете бележка за тяхното използване.

Образователни: формиране на съзнателно отношение към ученето, развитие на познавателната активност, култура на образователната работа.

Развитие: развитие на геометрична, алгебрична и числова интуиция, интелигентност, наблюдателност, памет.

По време на часовете

I. Организационен момент

II. Обяснение на нов материал

Учителят: Мистерията на привлекателната сила на Питагоровите тризнаци отдавна тревожи човечеството. Уникалните свойства на Питагоровите триплети обясняват тяхната специална роля в природата, музиката и математиката. Заклинанието на Питагор, Питагоровата теорема, остава в мозъците на милиони, ако не и на милиарди хора. Това е фундаментална теорема, която всеки ученик е принуден да запомни. Въпреки че Питагоровата теорема може да бъде разбрана от десетгодишни деца, тя е вдъхновяващо начало на проблем, който най-големите умове в историята на математиката не са успели да решат, теоремата на Ферма. Питагор от остров Самос (вж. Приложение 1 , слайд 4) беше една от най-влиятелните и същевременно мистериозни фигури в математиката. Тъй като няма оцелели надеждни разкази за живота и работата му, животът му е обвит в митове и легенди и на историците може да им е трудно да отделят фактите от измислицата. Няма съмнение обаче, че Питагор развива идеята за логиката на числата и че именно на него дължим първия златен век на математиката. Благодарение на неговия гений числата престават да се използват само за броене и изчисления и за първи път са оценени. Питагор изучава свойствата на определени класове числа, връзките между тях и фигурите, които образуват числата. Питагор осъзнава, че числата съществуват независимо от материалния свят и следователно изучаването на числата не се влияе от неточността на нашите сетива. Това означаваше, че Питагор придоби способността да открива истини, независимо от мнението или предразсъдъците на другите. Истини, по-абсолютни от всяко предишно знание. Въз основа на проучената литература относно питагоровите тройки, ще се интересуваме от възможността за използване на питагорови тройки при решаване на тригонометрични задачи. Затова ще си поставим за цел: да изучим редица питагорови триплети, да разработим алгоритъм за тяхното използване, да съставим бележка за тяхното използване и да проведем изследвания за тяхното използване в различни ситуации.

триъгълник ( слайд 14), чиито страни са равни Числата на Питагор, е правоъгълна. Освен това всеки такъв триъгълник е херонов, т.е. такава, в която всички страни и площ са цели числа. Най-простият от тях е египетският триъгълник със страни (3, 4, 5).

Нека създадем поредица от питагорови тройки, като умножим числата (3, 4, 5) по 2, по 3, по 4. Ще получим поредица от питагорови тройки, ще ги сортираме във възходящ ред на максималния брой и ще изберем примитивните .

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. По време на часовете

1. Да се ​​завъртим около задачите:

1) Използвайки отношения между тригонометрични функции на един и същи аргумент, намерете if

известно е, че.

2) Намерете стойността на тригонометричните функции на ъгъла?, ако е известно, че:

3) Система от обучителни задачи по темата „Формули за добавяне“

като знаете, че sin = 8/17, cos = 4/5 и са ъглите на първата четвърт, намерете стойността на израза:

знаейки, че и са ъглите на втората четвърт, sin = 4/5, cos = – 15/17, намерете: .

4) Система от обучителни задачи по темата „Формули за двоен ъгъл“

а) Нека sin = 5/13 е ъгълът на втората четвърт. Намерете sin2, cos2, tan2, ctg2.

б) Известно е, че tg? = 3/4, – ъгъл трета четвърт. Намерете sin2, cos2, tan2, ctg2.

в) Известно е, че , 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

г) Известно е, че , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

д) Намерете tan( + ), ако е известно, че cos = 3/5, cos = 7/25, където и са ъглите на първата четвърт.

е) Намерете , – ъгъл трета четвърт.

Решаваме проблема по традиционния начин, използвайки основни тригонометрични идентичности, а след това решаваме същите проблеми по по-рационален начин. За целта използваме алгоритъм за решаване на задачи с помощта на питагорови тройки. Нека създадем ръководство за решаване на проблеми с помощта на питагорови тройки. За да направите това, припомняме дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс, острия ъгъл на правоъгълен триъгълник, нарисуваме го, в зависимост от условията на проблема, правилно подреждаме питагоровите тройки по страните на правоъгълния триъгълник ( ориз. 1). Записваме отношението и подреждаме знаците. Алгоритъмът е разработен.

Снимка 1

Алгоритъм за решаване на задачи

Преглед (проучване) на теоретичен материал.

Познавайте примитивните питагорови тройки наизуст и, ако е необходимо, можете да конструирате нови.

Приложете Питагоровата теорема за точки с рационални координати.

Да знае дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник, да може да начертае правоъгълен триъгълник и в зависимост от условията на задачата да постави правилно питагоровите тройки върху страните на триъгълника.

Познавайте знаците за синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимост от местоположението им в координатна равнина.

Необходими изисквания:

1. знаят какви знаци имат синус, косинус, тангенс, котангенс във всяка една от четвъртините на координатната равнина;
2. знаят определението за синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник;
3. познават и умеят да прилагат Питагоровата теорема;
4. знаят основите тригонометрични тъждества, формули за събиране, формули за двоен ъгъл, формули за половин аргумент;
5. знаят формули за намаляване.

Като вземем предвид горното, нека попълним таблицата ( маса 1). Трябва да се попълни, като се следва дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс или като се използва Питагоровата теорема за точки с рационални координати. В този случай винаги е необходимо да запомните знаците на синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимост от местоположението им в координатната равнина.

маса 1

		Тройки числа		грях	cos	tg	ctg
		(3, 4, 5)	I час
		(6, 8, 10)	Част II			-	-
		(5, 12, 13)	Част III	-	-
		(8, 15, 17)	IV час	-		-	-
		(9, 40, 41)	I час

За успешна работаМожете да използвате инструкциите за използване на питагорови тройки.

таблица 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Нека решим заедно.

1) Задача: намерете cos, tg и ctg, ако sin = 5/13, ако - ъгълът на втората четвърт.

Питагорови тройки числа

Творческа работа

ученик 8 "А"клас

МАОУ "Гимназия №1"

Октябрьски район на Саратов

Панфилов Владимир

Ръководител – учител по математика най-висока категория

Гришина Ирина Владимировна

Съдържание

Въведение……………………………………………………………………………………3

Теоретична част на работата

Намиране на основния триъгълник на Питагор

(формули на древните индуси)…………………………………………………………………4

Практическа част от работата

Състав на Питагоровите тройки различни начини……………………........6

Важно свойство на Питагоровите триъгълници…………………………………………………………...8

Заключение…………………………………………………………………………………..9

Литература……………………………………………………………………………………………...10

Въведение

В това академична годинаВ уроците по математика изучавахме една от най-популярните теореми на геометрията - теоремата на Питагор. Питагоровата теорема се използва в геометрията на всяка стъпка, намерила е широко приложение в практиката и ежедневието. Но, в допълнение към самата теорема, ние също изучавахме теоремата, обратна на Питагоровата теорема. Във връзка с изучаването на тази теорема се запознахме с питагоровите тройки числа, т.е. с набори от 3 естествени числаа , b И° С , за които е валидна връзката: = + . Такива набори включват например следните триплети:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Веднага имах въпроси: колко питагорови тройки можете да измислите? Как да ги съставим?

В нашия учебник по геометрия, след представяне на теоремата, обратна на Питагоровата теорема, беше направена важна забележка: може да се докаже, че кракатаА Иb и хипотенузас правоъгълни триъгълници, дължините на страните на които са изразени в естествени числа, могат да бъдат намерени по формулите:

А = 2kmn b = k( - ) c = k( + , (1)

Къдеток , м , н – всякакви естествени числа, им > н .

Естествено възниква въпросът: как да докажем тези формули? И само с тези формули ли могат да се съставят питагорови тройки?

В работата си направих опит да отговоря на възникналите у мен въпроси.

Теоретична част на работата

Намиране на основния триъгълник на Питагор (древни индуски формули)

Първо доказваме формули (1):

Нека означим дължините на краката сх Ипри , и дължината на хипотенузата презz . Според Питагоровата теорема имаме равенството:+ = .(2)

Това уравнение се нарича уравнение на Питагор. Изучаването на питагоровите триъгълници се свежда до решаване на уравнение (2) в естествени числа.

Ако всяка страна на определен Питагоров триъгълник се увеличи с еднакъв брой пъти, получаваме нов правоъгълен триъгълник, подобен на този със страни, изразени в естествени числа, т.е. отново триъгълника на Питагор.

Сред всички подобни триъгълници има най-малкият, лесно е да се досетите, че това ще бъде триъгълник, чиито страних Ипри изразени с взаимно прости числа

(GCD (x,y )=1).

Нека наречем този триъгълник на Питагоросновен .

Намиране на основните триъгълници на Питагор.

Нека триъгълник (х , г , z ) е основният триъгълник на Питагор. Числах Ипри са относително прости и следователно не могат и двете да бъдат четни. Нека докажем, че и двете не могат да бъдат странни. За да направите това, имайте предвид, чеКвадратът на нечетно число, когато се раздели на 8, оставя остатък 1. Всъщност всяко нечетно естествено число може да бъде представено като2 к -1 , Къдеток принадлежин .

Оттук: = -4 к +1 = 4 к ( к -1)+1.

Числа( к -1) Ик – последователни, единият от тях е задължително четен. Тогава изразътк ( к -1) разделена на2 , 4 к ( к -1) делимо на 8, което означава числото Когато се раздели на 8, остатъкът е 1.

Сумата от квадратите на две нечетни числа дава остатък от 2, когато се раздели на 8, следователно сумата от квадратите на две нечетни числа е четно число, но не кратно на 4, и следователно това числоне може да бъде квадрат на естествено число.

Така че равенство (2) не може да се осъществи, акох Ипри и двете са странни.

Така, ако питагоров триъгълник (x, y, z ) - основен, след това сред числатах Ипри едното трябва да е четно, а другото нечетно. Нека числото y е четно. Числах Иz странно (странноz следва от равенството (2)).

От ур.+ = разбираме това= ( z + х )( z - х ) (3).

Числаz + х Иz - х тъй като сборът и разликата на две нечетни числа са четни числа и следователно (4):

z + х = 2 а , z - х = 2 b , КъдетоА Иb принадлежатн .

z + х =2 а , z - х = 2 b ,

z = a+b , х = а - b. (5)

От тези равенства следва, чеа Иb - взаимно прости числа.

Нека докажем това, като аргументираме противното.

Нека НОД (а , b )= д , Къдетод >1 .

Тогавад z Их , и следователно числатаz + х Иz - х . Тогава въз основа на равенството (3) ще бъде делител на числото . В такъв случайд би било общ делителчислапри Их , но числатапри Их трябва да бъде относително прост.

Номерпри , както е известно, е четен, следователноy = 2c , Къдетос - естествено число. Равенство (3), базирано на равенство (4), приема следната форма: =2а*2 b , или =аб.

От аритметиката се знае, чеако произведението на две относително прости числа е квадрат на естествено число, тогава всяко от тези числа също е квадрат на естествено число.

означава,а = Иb = , Къдетом Ин са относително прости числа, защото те са делители на взаимно прости числаА Иb .

Въз основа на равенството (5) имаме:

z = + , х = - , = аб = * = ; c = мн

Тогаваy = 2 мн .

Числам Ин , защото са относително прости и не могат да бъдат четни едновременно. Но те не могат да бъдат нечетни в същото време, защото в такъв случайx = - ще бъде равно, което е невъзможно. И така, едно от числатам илин е четен, а другият е нечетен. очевидно,y = 2 мн се дели на 4. Следователно, във всеки основен питагоров триъгълник поне един от катетите се дели на 4. От това следва, че няма питагорови триъгълници, чиито страни да са прости числа.

Получените резултати могат да бъдат изразени под формата на следната теорема:

Всички основни триъгълници, в коитопри е четно число, получено от формулата

x = - , г =2 мн , z = + ( м > н ), Къдетом Ин – всички двойки взаимно прости числа, едното от които е четно, а другото нечетно (няма значение кое). Всяка основна питагорова тройка (x, y, z ), Къдетопри – дори, се определя по този начин еднозначно.

Числам Ин и двете не могат да бъдат четни или и двете нечетни, защото в тези случаи

x = ще бъде равно, което е невъзможно. И така, едно от числатам илин е четен, а другият е нечетен (г = 2 мн делимо на 4).

Практическа част от работата

Съставяне на Питагорови тройки по различни начини

Във формулите на индуситем Ин – са сравнително прости, но могат да бъдат числа с произволен паритет и е доста трудно да се образуват питагорови тройки, използвайки ги. Затова нека се опитаме да намерим различен подход към съставянето на питагорови тройки.

= - = ( z - г )( z + г ), Къдетох – странно,г - дори,z – странно

v = z - г , u = z + г

= uv , Къдетоu – странно,v – нечетни (взаимно прости)

защото произведението на две нечетни взаимно прости числа е квадрат на естествено число, тогаваu = , v = , Къдеток Ил – относително прости, нечетни числа.

z - г = z + г = к 2 , откъдето, събирайки равенствата и изваждайки другото от едно, получаваме:

2 z = + 2 г = - това е

z = y = x = kl

к

л

х

г

z

37

9

1

9

40

41 (снули)*(100…0 (снули) +1)+1 =200…0 (s-1нули) 200…0 (s-1нули) 1

Важно свойство на Питагоровите триъгълници

Теорема

В основния триъгълник на Питагор един от краката задължително се дели на 4, един от краката задължително се дели на 3, а площта на триъгълника на Питагор е задължително кратна на 6.

Доказателство

Както знаем, във всеки Питагоров триъгълник поне един от катетите се дели на 4.

Нека докажем, че един от катетите също се дели на 3.

За да докажем това, да предположим, че в Питагоров триъгълник (х , г , z х илиг кратно на 3.

Сега доказваме, че площта на питагоровия триъгълник се дели на 6.

Всеки питагоров триъгълник има площ, изразена с естествено число, делимо на 6. Това следва от факта, че поне един от катетите се дели на 3 и поне един от катетите се дели на 4. Площта на триъгълника , определено от полупроизведението на краката, трябва да се изрази с число, делящо се на 6 .

Заключение

В ход

- формулите на древните индуси са доказани

- проведено е изследване на броя на Питагоровите тройки (има безкрайно много от тях)

- посочени са методи за намиране на питагорови тройки

- изследвани са някои свойства на питагоровите триъгълници

За мен беше много интересна темаи намирането на отговори на въпросите ми стана много интересна дейност. В бъдеще планирам да разгледам връзката на Питагоровите тройки с редицата на Фибоначи и теоремата на Ферма и да науча много повече свойства на Питагоровите триъгълници.

Литература

Л.С. Атанасян „Геометрия 7-9 клас” М.: Образование, 2012.

В. Серпински “Питагорови триъгълници” М.: Учпедгиз, 1959.

Саратов

2014

Изследването на свойствата на естествените числа доведе питагорейците до друг „вечен“ проблем на теоретичната аритметика (теория на числата) - проблем, чиито зародиши си проправиха път много преди Питагор в Древен Египети Древен Вавилон, но общо решение не е намерено и до днес. Нека започнем със задачата, която на съвременен език може да се формулира по следния начин: решаване на неопределено уравнение в естествени числа

Днес тази задача се нарича Питагорова задача, а неговите решения - тройки естествени числа, удовлетворяващи уравнение (1.2.1) - се наричат Питагорови тройки. Поради очевидната връзка на Питагоровата теорема с Питагоровата задача, на последната може да се даде геометрична формулировка: намерете всички правоъгълни триъгълници с цели катети х, ги цяло число хипотенуза z.

Конкретни решения на проблема на Питагор са били известни в древността. В папирус от времето на фараона Аменемхат I (ок. 2000 г. пр. н. е.), съхраняван в Египетския музей в Берлин, намираме правоъгълен триъгълник със съотношение на страните (). Според най-големия немски историк на математиката М. Кантор (1829 - 1920) в Древен Египет е имало специална професия арпедонапти- „теглечи на въже“, които по време на тържествената церемония по полагането на храмове и пирамиди маркираха прави ъгли с помощта на въже с 12 (= 3 + 4 + 5) еднакво разположени възела. Метод на изграждане прав ъгъл harpedonaptami е очевидно от фигура 36.

Трябва да се каже, че друг експерт по древна математика, ван дер Ваерден, категорично не е съгласен с Кантор, въпреки че самите пропорции на древната египетска архитектура свидетелстват в полза на Кантор. Както и да е, днес се нарича правоъгълен триъгълник със съотношението на страните му египетски.

Както е отбелязано на стр. 76, е запазена глинена плочка, датираща от древната вавилонска епоха и съдържаща 15 реда питагорейски триплети. В допълнение към тривиалната тройка, получена от египетската (3, 4, 5) чрез умножение по 15 (45, 60, 75), има и много сложни питагорейски тройки, като (3367, 3456, 4825) и дори (12709 , 13500, 18541)! Няма съмнение, че тези числа са намерени не чрез просто търсене, а по определени единни правила.

И все пак въпросът за общо решениеуравнение (1.2.1) в естествени числа е поставено и решено само от питагорейците. Обща настройкавсякакъв вид математически проблем е бил чужд както на древните египтяни, така и на древните вавилонци. Едва с Питагор започва развитието на математиката като дедуктивна наука и една от първите стъпки по този път е решаването на проблема с питагоровите тройки. Древната традиция свързва първите решения на уравнение (1.2.1) с имената на Питагор и Платон. Нека се опитаме да реконструираме тези решения.

Ясно е, че Питагор мисли за уравнение (1.2.1) не в аналитична форма, а под формата на квадратно число, в рамките на което е необходимо да се намерят квадратните числа и. Естествено беше числото да се представи като квадрат със страна гедна страна по-малко z оригинален квадрат, т.е. Тогава, както е лесно да се види от Фигура 37 (вижте само!), оставащото квадратно число трябва да отговаря на равенството . Така стигаме до системата линейни уравнения

Чрез добавяне и изваждане на тези уравнения намираме решението на уравнение (1.2.1):

Лесно е да се провери, че полученото решение дава естествени числа само за нечетни. Така най-накрая имаме

И т.н. Традицията свързва това решение с името на Питагор.

Забележете, че системата (1.2.2) може също да бъде получена формално от уравнение (1.2.1). Наистина,

откъдето, приемайки , достигаме до (1.2.2).

Ясно е, че Питагоровото решение е намерено при доста строго ограничение () и не съдържа всички Питагорови тройки. Следващата стъпка е да поставите , Тогава , тъй като само в този случай ще бъде квадратно число. Така възниква системата, която също ще бъде питагорова тройка. Сега основното

Теорема.Ако стрИ рвзаимно прости числа с различни паритети, тогава всички примитивни питагорови тройки се намират по формулите

Beskrovny I.M. 1

1 ОАО Ангстрем-М

Целта на работата е да се разработят методи и алгоритми за изчисляване на питагорови тройки от вида a2+b2=c2. Процесът на анализ беше извършен в съответствие с принципите Систематичен подход. Наред с математическите модели бяха използвани графични модели, които показват всеки член на Питагоровата тройка под формата на съставни квадрати, всеки от които се състои от набор от единични квадрати. Реши това безкрайно множествоПитагоровите тройки съдържат безкраен брой подмножества, разграничени от разликата между стойностите b–c. Предложен е алгоритъм за образуване на питагорови тройки с всяка предварително зададена стойност на тази разлика. Показано е, че питагоровите тройки съществуват за всяка стойност 3≤a

Питагорови тройки

системен анализ

математически модел

графичен модел

1. Аносов Д.Н. Поглед към математиката и нещо от нея. – М.: МЦНМО, 2003. – 24 с.: ил.

2. Ирландия К., Росен М. Класическо въведение в съвременна теориячисла. – М.: Мир, 1987.

3. Beskrovny I.M. Системен анализ и информационни технологиив организации: Урок. – М.: РУДН, 2012. – 392 с.

4. Саймън Сингх. Страхотна теоремаФерма.

5. Ферма П. Изследвания по теория на числата и Диофантов анализ. – М.: Наука, 1992.

6. Яптро. Ucoz, достъпен на: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Питагоровите тройки са кохорта от три цели числа, отговарящи на Питагоровата връзка x2 + y2 = z2. Най-общо казано това специален случайДиофантови уравнения, а именно системи от уравнения, в които броят на неизвестните е по-голям от броя на уравненията. Те са известни отдавна, още от времето на Вавилон, тоест много преди Питагор. И те придобиха името си, след като Питагор доказа известната си теорема на тяхна основа. Въпреки това, както следва от анализа на многобройни източници, в които въпросът за питагоровите триплети е засегнат в една или друга степен, въпросът за съществуващите класове на тези триплети и възможните начини за тяхното формиране все още не е напълно разкрит.

Така че в книгата на Саймън Сингх се казва: - „Учениците и последователите на Питагор ... казаха на света тайната на намирането на така наречените Питагорови три ключа.“ След това обаче четем: - „Питагорейците са мечтали да намерят други питагорейски тройки, други квадрати, от които може да се сгъне трети голям квадрат. ...С увеличаването на числата, Питагоровите тройки стават все по-рядко срещани и стават все по-трудни за намиране. Питагорейците изобретиха метод за намиране на такива тройки и, използвайки го, доказаха, че има безкрайно много питагорейски тройки.”

В горния цитат са подчертани думите, които предизвикват объркване. Защо „Питагорейците са мечтали да открият...“, ако са „изобретили метод за намиране на такива тройки...“, и защо за големи числа „става все по-трудно да ги намерим...“.

В ход известен математикД.В. Аносов, търсеният отговор изглежда е даден. - „Има тройки естествени (т.е. цели положителни числа) числа x, y, z, така че

x2 + y2 = z2. (1)

… възможно ли е да се намерят всички решения на уравнението x2+y2=z2 в естествени числа? …Да. Отговорът е: всяко такова решение може да бъде представено във формата

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

където l, m, n са естествени числа, с m>n, или в подобна форма, в която x и y са разменени. Можем да кажем малко по-накратко, че x, y, z от (2) с всички възможни естествени l и m > n са всички възможни решения на (1) до пермутация на x и y. Например тройката (3, 4, 5) се получава при l=1, m=2, n=1. ... Очевидно вавилонците са знаели този отговор, но не е известно как са стигнали до него.”

Известно е, че математиците са много стриктни по отношение на строгостта на своите формулировки. Но в този цитат няма такава строгост. И така, какво точно: да намерите или да си представите? Очевидно това са съвсем различни неща. По-долу има ред от „прясно изпечени“ триплети (получени по описания по-долу метод):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Няма съмнение, че всяка от тези тройки може да бъде представена под формата на връзка (2) и след това да бъдат изчислени стойностите l, m, n. Но това е след като всички стойности на тройките са намерени. Какво да направите преди това?

Не е изключено отговорите на тези въпроси да са отдавна известни. Но по някаква причина те все още не са открити. Следователно целта на тази работа е систематичен анализ на населението известни примериПитагорови триплети, търсене на системообразуващи връзки в различни групи триплети и идентифициране на системни характеристики, характерни за тези групи и след това разработване на прости ефективни алгоритми за изчисляване на триплети с предварително определена конфигурация. Под конфигурация разбираме връзките между количествата, включени в тройката.

Използваните инструменти ще бъдат математически апарат на ниво, което не надхвърля обхвата на математиката, преподавана в гимназията, и системен анализ, базиран на методите, описани в.

Изграждане на модел

От гледна точка на системния анализ всяка питагорова тройка е система, образувана от обекти, които са три числа и техните свойства. Тяхната съвкупност, в която обектите са поставени в определени отношения и образуват система, която има нови свойства, които не са присъщи нито на отделни обекти, нито на друг набор от тях, където обектите са поставени в други отношения.

В уравнение (1) обектите на системата са естествени числа, свързани с прости алгебрични отношения: вляво от знака за равенство е сумата от две числа, повдигнати на степен 2, вдясно е третото число, също повдигнато на степен 2. Отделни числа отляво на равенството, повдигнати на степен 2, те не налагат никакви ограничения върху операцията на тяхното сумиране - получената сума може да бъде всякаква. Но знакът за равенство, поставен след операцията за сумиране, налага системно ограничение върху стойността на тази сума: сумата трябва да бъде такова число, че резултатът от операцията за извличане на квадратния корен да е естествено число. Но това условие не е изпълнено за никакви числа, заместени от лявата страна на равенството. По този начин знак за равенство, поставен между два члена на уравнението и третия, превръща трите члена в система. Нова функция на тази система е въвеждането на ограничения върху стойностите на оригиналните числа.

Въз основа на формата на нотация, Питагоровата тройка може да се разглежда като математически модел на геометрична система, състояща се от три квадрата, свързани помежду си чрез отношенията на сумиране и равенство, както е показано на фиг. 1. Фиг. 1 е графичен модел на разглежданата система, а вербалният му модел е твърдението:

Площта на квадрат с дължина на страната c може да бъде разделена без остатък на два квадрата със страни с дължина a и b, така че сумата от техните площи да е равна на площта на оригиналния квадрат, т.е. три величини a, b и c са свързани чрез връзката

Графичен модел на квадратно разлагане

В рамките на каноните на системния анализ е известно, че ако един математически модел адекватно отразява свойствата на определена геометрична система, тогава анализът на свойствата на самата тази система ни позволява да изясним свойствата на нейния математически модел, да да ги разберете по-задълбочено, да ги изясните и, ако е необходимо, да ги подобрите. Това е пътят, който ще следваме.

Нека поясним, че според принципите на системния анализ операциите за събиране и изваждане могат да се извършват само върху съставни обекти, тоест обекти, съставени от набор от елементарни обекти. Следователно ще възприемаме всеки квадрат като фигура, съставена от колекция от елементарни или единични квадрати. Тогава условието за получаване на решение в естествени числа е еквивалентно на приемане на условието, че единичният квадрат е неделим.

Единичен квадрат е квадрат, чиято дължина на всяка страна е равна на единица. Това е, когато площта на единичен квадрат се определя от следния израз.

Количественият параметър на квадрат е неговата площ, определена от броя на единичните квадрати, които могат да бъдат поставени в дадена площ. За квадрат с произволна стойност x, изразът x2 определя площта на квадрата, образуван от сегменти с дължина x единични сегменти. Площта на този квадрат може да побере x2 единични квадрата.

Горните определения могат да се възприемат като тривиални и очевидни, но не са. Д.Н. Аносов дефинира понятието площ по различен начин: - „... площта на фигура е равна на сумата от площите на нейните части. Защо сме сигурни, че това е така? ...Представяме си фигура, направена от някакъв хомогенен материал, тогава нейната площ е пропорционална на количеството вещество, което съдържа - нейната маса. Освен това се подразбира, че когато разделяме едно тяло на няколко части, сумата от техните маси е равна на масата на първоначалното тяло. Това е разбираемо, защото всичко се състои от атоми и молекули и тъй като техният брой не се е променил, не се е променила и общата им маса... В края на краищата всъщност масата на парче хомогенен материал е пропорционална на неговия обем; Това означава, че трябва да знаете, че обемът на „лист“, който има формата на дадена фигура, е пропорционален на неговата площ. С една дума, ...че площта на една фигура е равна на сумата от площите на нейните части, това трябва да се докаже в геометрията. ... В учебника на Киселев съществуването на област, притежаваща самото свойство, което сега обсъждаме, беше честно постулирано като вид предположение и беше казано, че това всъщност е вярно, но ние няма да го доказваме. Така че Питагоровата теорема, ако се докаже с площи, е чиста логичноще остане не напълно доказано.”

Струва ни се, че дефинициите на единичния квадрат, въведени по-горе, премахват посочения D.N. Аносова несигурност. В крайна сметка, ако площта на квадрат и правоъгълник се определя от сумата на единичните квадрати, които ги запълват, тогава, когато правоъгълникът е разделен на произволни части, съседни една на друга, площта на правоъгълника е естествено равна към сумата от всички негови части.

Освен това въведените дефиниции премахват несигурността от използването на понятията „разделяне“ и „добавяне“ по отношение на абстрактни геометрични фигури. Всъщност какво означава да разделим правоъгълник или друга плоска фигура на части? Ако е лист хартия, тогава може да се реже с ножица. Ако е парцел, сложи ограда. Стая - сложи преграда. Ами ако е начертан квадрат? Начертайте разделителна линия и обявете, че квадратът е разделен? Но все пак Д.И. Менделеев: “...Можеш да декларираш всичко, но ти иди и демонстрирай!”

И когато използвате предложените дефиниции, „Разделяне на фигура“ означава разделяне на броя на единичните квадрати, запълващи тази фигура, на две (или повече) части. Броят на единичните квадрати във всяка от тези части определя нейната площ. Тези части могат да получат всякаква конфигурация, но сумата от техните площи винаги ще бъде равна на площта на оригиналната фигура. Може би математиците ще сметнат тези аргументи за неправилни, тогава ще ги приемем като предположение. Ако такива предположения са приемливи в учебника на Кисельов, тогава би било жалко за нас да не използваме подобна техника.

Първият етап от системния анализ е идентифицирането проблемна ситуация. В началото на този етап бяха прегледани няколкостотин питагорейски триплета, открити в различни източници. В същото време беше обърнато внимание на факта, че целият набор от питагорови триплети, споменат в публикациите, може да бъде разделен на няколко групи, които се различават по конфигурация. Като знак за специфична конфигурация ще разгледаме разликата в дължините на страните на оригиналния и извадения квадрат, т.е. c-b стойност. Например публикации доста често показват като примери триплети, отговарящи на условието c-b=1. Да приемем, че цялата колекция от такива Питагорови тройки образува множество, което ще наречем „Клас c-1” и ще анализираме свойствата на този клас.

Помислете за трите квадрата, показани на фигурата, където c е дължината на страната на квадрата, който се намалява, b е дължината на страната на извадения квадрат и a е дължината на страната на квадрата, образуван от тяхната разлика. На фиг. 1 се вижда, че при изваждане на площта на извадения квадрат от площта на намаления квадрат остават две ленти от единични квадрати:

За да се образува квадрат от този остатък трябва да е изпълнено условието

Тези отношения позволяват да се определят стойностите на всички членове на тройката, като се използва едно дадено число c. Най-малкото число c, което удовлетворява съотношението (6), е числото c = 5. Така бяха определени дължините на трите страни на квадратите, удовлетворяващи съотношението (1). Спомнете си, че стойността b на страната на средния квадрат

беше избран, когато решихме да формираме средния квадрат чрез намаляване на страната на оригиналния квадрат с единица. Тогава от отношения (5), (6). (7) получаваме следната връзка:

от което следва, че избраната стойност c = 5 уникално задава стойностите b = 4, a = 3.

В резултат на това са получени отношения, които ни позволяват да представим всяка питагорова тройка от клас "c - 1" в такава форма, при която стойностите на всичките три члена се определят от един определен параметър - стойността на c:

Нека добавим, че числото 5 в горния пример се появи като минимум от всички възможни стойности на c, за които уравнение (6) има решение в естествени числа. Следващото число със същото свойство е 13, след това 25, след това 41, 61, 85 и т.н. Както можете да видите, в тази поредица от числа интервалите между съседните числа се увеличават бързо. Така например след валидната стойност следващата валидна стойност е , а след следващата валидна стойност е , тоест валидната стойност е на повече от петдесет милиона разстояние от предишната!

Сега е ясно откъде идва тази фраза в книгата: - „С нарастването на числата Питагоровите тройки са все по-рядко срещани и става все по-трудно да се намерят...“. Това твърдение обаче не е вярно. Човек трябва само да погледне питагоровите тройки, съответстващи на горните двойки съседни стойности на c, и една особеност веднага хваща окото - и в двете двойки, в които стойностите на c са разделени с толкова големи интервали, стойностите на едно се оказват съседни нечетни числа. Наистина, за първата двойка имаме

и за втората двойка

Така че не самите триплети „стават все по-редки“, а интервалите между съседни стойности на c се увеличават. Самите питагорови тройки, както ще бъде показано по-долу, съществуват за всяко естествено число.

Сега нека да разгледаме тройките от следващия клас - “Клас c-2”. Както се вижда от фиг. 1 при изваждане от квадрат със страна c на квадрат със страна (c - 2) се образува остатък под формата на сбор от две единични ивици. Стойността на тази сума се определя от уравнението:

От уравнение (10) получаваме отношения, които определят всеки от безкрайния набор от триплети от клас „c-2“:

Условието за съществуване на решение на уравнение (11) в естествени числа е всяка стойност на c, за която a е естествено число. Минималната стойност на c, за която съществува решение, е c = 5. Тогава „началната“ тройка за този клас тройки се определя от множеството a = 4, b = 3, c = 5. Това е, отново, класическата образува се тройка 3, 4, 5, само сега площта на извадения квадрат е по-малка от площта на остатъка.

И накрая, ще анализираме триплетите от клас „s-8“. За този клас тройки, когато извадим площта на квадрата от площта c2 на оригиналния квадрат, получаваме:

Тогава от уравнение (12) следва:

Минималната стойност на c, при която съществува решение, е c = 13. Питагоровата тройка при тази стойност приема формата 12, 5, 13. В този случай отново площта на извадения квадрат е по-малка от площта на ​остатъка. И чрез пренареждане на нотациите, получаваме тройката 5, 12, 13, която в своята конфигурация принадлежи към класа „c - 1“. Изглежда, че по-нататъшният анализ на други възможни конфигурации няма да разкрие нищо фундаментално ново.

Извеждане на изчислените коефициенти

В предишния раздел логиката на анализа се разви в съответствие с изискванията на системния анализ в четири от петте му основни етапа: анализ на проблемната ситуация, формиране на цели, формиране на функции и формиране на структура. Сега е време да преминем към последния, пети етап - проверка на осъществимостта, тоест проверка на степента, в която целите са постигнати. .

Таблицата е показана по-долу. 1, който показва стойностите на питагоровите тройки, принадлежащи към класа "c - 1". Повечето тройки се намират в различни публикации, но тройки за стойности равни на 999, 1001 не са намерени в известни публикации.

маса 1

Питагорови тройки от клас “c-1”

Може да се провери, че всички триплети отговарят на съотношението (3). Така една от поставените цели е постигната. Отношенията (9), (11), (13), получени в предишния раздел, позволяват да се формира безкраен набор от триплети чрез определяне на един параметър c - страната на квадрата, който се редуцира. Това, разбира се, е по-конструктивен вариант от съотношението (2), за да се използва което трябва произволно да посочите три числа l, m, n, имащи произволна стойност, след което да потърсите решение, знаейки само, че в крайна сметка се получава питагорова тройка със сигурност ще се получи, а кое е предварително неизвестно. В нашия случай конфигурацията на формираната тройка е предварително известна и трябва да се посочи само един параметър. Но, уви, няма решение за всяка стойност на този параметър. И трябва предварително да знаете неговите допустими стойности. Така че полученият резултат е добър, но далеч от идеалния. Желателно е да се получи такова решение, че питагоровите тройки да могат да бъдат изчислени за всяко произволно дадено естествено число. За целта ще се върнем към четвъртия етап – формирането на структурата на получените математически зависимости.

Тъй като изборът на c като основен параметър за определяне на останалите членове на тройката се оказа неудобен, трябва да се опита друг вариант. Както се вижда от табл. 1, изборът на параметър a като основен изглежда за предпочитане, тъй като стойностите на този параметър са последователни в поредицата от нечетни естествени числа. След прости трансформации привеждаме отношенията (9) в по-конструктивна форма:

Съотношения (14) ни позволяват да намерим питагорова тройка за всяка дадена нечетна стойност на a. Освен това, простотата на израза за b позволява изчисления дори без калкулатор. Наистина, избирайки например числото 13, получаваме:

И за числото 99 получаваме съответно:

Релациите (15) ни позволяват да получим стойностите на трите члена на низа на Питагор за всяко дадено n, започвайки от n=1.

Сега разгледайте питагоровите тройки от клас “c - 2”. В табл 2 показва десет такива триплета като пример. Освен това в известни публикации са открити само три двойки тройки - 8, 15, 23; 12, 35, 36; и 16, 63, 65. Това беше достатъчно, за да се определят моделите, по които са образувани. Останалите седем са открити от предишни извлечени връзки (11). За удобство на изчислението тези съотношения бяха трансформирани, така че всички параметри бяха изразени чрез стойността a. От (11) очевидно следва, че всички тройки за класа “c - 2” удовлетворяват следните отношения:

таблица 2

Питагорови тройки от клас “c-2”

Както се вижда от табл. 2, целият безкраен набор от триплети от клас “c - 2” може да бъде разделен на два подкласа. За тройки, чиято стойност a се дели на 4 без остатък, стойностите b и c са странни. Такива тройки, за които НОД = 1 се наричат ​​примитивни. За тройки, чиито стойности a не се делят на 4 в цели числа, и трите члена на тройката a, b, c са четни.

Сега нека да преминем към разглеждане на резултатите от анализа на третия от идентифицираните класове - клас "c - 8". Изчислените отношения за този клас, получени от (13), имат формата:

Съотношенията (20), (21) са по същество идентични. Единствената разлика е в избора на последователност от действия. Или в съответствие с (20) се избира желаната стойност на a (в този случай се изисква тази стойност да бъде разделена на 4), след което се определят стойностите на b и c. Или се избира произволно число и след това от съотношения (21) се определят и трите члена на Питагоровата тройка. В табл Фигура 3 показва брой питагорови тройки, изчислени по този начин. Въпреки това, изчисляването на стойностите на питагоровите тройки може да бъде още по-просто. Ако е известна поне една стойност, всички следващи стойности се определят много просто от следните отношения:

Таблица 3

Валидността на релацията (22) за всеки може да се провери с помощта на тройките от таблицата. 2, и според други източници. Като пример, в табл. 4 в курсив са тройки от обширна таблица с питагорови тройки (10 000 тройки), изчислени на базата на компютърна програма, използваща релация (2), а в удебелен шрифт са тройки, изчислени чрез релация (20). Тези стойности не бяха в посочената таблица.

Таблица 4

Питагорови тройки от клас "c-8"

Съответно за тройки от формата могат да се използват следните отношения:

И за тризнаци от вида<>, имаме отношението:

Трябва да се подчертае, че разгледаните по-горе класове тройки “c - 1”, “c - 2”, “c - 8” съставляват повече от 90% от първите хиляда тройки от дадената таблица. Това дава основание тези класове да се възприемат като основни. Нека добавим, че при извеждането на съотношения (22), (23), (24) не използвахме специални свойства на числата, изучавани в теорията на числата (прости, взаимнопрости и т.н.). Разкритите модели на образуване на питагорейските триплети се определят само от системните свойства на геометричните фигури, описани от тези триплети - квадрати, състоящи се от набор от единични квадрати.

Заключение

Сега, както каза Андрю Уайлс през 1993 г.: „Мисля, че трябва да спра до тук.“ Поставената цел е постигната изцяло. Показано е, че анализът на свойствата математически модели, чиято структура е свързана с геометрични форми, значително се опростява, ако в процеса на анализ, наред с чисто математическите изчисления, геометрични свойстваизследвани модели. Опростяването се постига по-специално поради факта, че изследователят „вижда“ желаните резултати, без да извършва математически трансформации.

Например равенството

става очевидно без трансформации от лявата страна, просто погледнете фиг. 1, където е показан графичен модел на това равенство.

В резултат на това, въз основа на анализа, се показва, че за всеки квадрат със страна могат да се намерят квадрати със страни b и c, така че да има равенство за тях и да се получат отношения, които осигуряват получаване на резултати с минимално количество изчисления:

за нечетни стойности на a,

и - за четни стойности.

Библиографска връзка

Beskrovny I.M. СИСТЕМЕН АНАЛИЗ НА СВОЙСТВАТА НА ПИТАГОРОВИТЕ ТРОЙКИ // Съвременно висока технология. – 2013. – № 11. – С. 135-142;
URL: http://site/ru/article/view?id=33537 (дата на достъп: 20.03.2020 г.). Предлагаме на вашето внимание списания, издадени от издателство "Академия за естествени науки"