ОСИ ИНЕРЦИИ

ОСИ ИНЕРЦИИ

Главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через к.-л. точку тела и обладающие тем св-вом, что если их принять за координатные оси, то центробежные инерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если тв. тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокруг оси, к-рая в данной точке явл. главной О. и., то тело при отсутствии внеш. сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной. Понятие о главных О. и. играет важную роль в динамике тв. тела.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .

ОСИ ИНЕРЦИИ

Главные - три взаимноперпендикулярные оси, проведённые через к.-н. точку тела, совпадающие сосями эллипсоида инерции тела в этой точке. Главные О. и. обладают темсвойством, что если их принять за координатные оси, то центробежные моментыинерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если одна из координатныхосей, напр. ось Ох, является для точки О главной О. и., тоцентробежные моменты инерции, в индексы к-рых входит наименование этойоси, т. е. I xy и I xz , равны нулю. Еслитвёрдое тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокругоси, к-рая в данной точке является главной О. и., то тело при отсутствиивнеш. сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое "ОСИ ИНЕРЦИИ" в других словарях:

Главные три взаимно перпендикулярные оси, которые можно провести через любую точку твердого тела, отличающиеся тем, что если тело, закрепленное в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внешних сил оно будет… … Большой Энциклопедический словарь

Главные, три взаимно перпендикулярные оси, которые можно провести через любую точку твердого тела, отличающиеся тем, что если тело, закреплённое в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внешних сил оно будет… … Энциклопедический словарь

Главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через какую нибудь точку тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции (См. Момент инерции) тела относительно этих осей… … Большая советская энциклопедия

Главные, три взаимно перпендикулярные оси, к рые можно провести через любую точку тв. тела, отличающиеся тем, что если тело, закреплённое в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внеш. сил оно будет продолжать… … Естествознание. Энциклопедический словарь

главные оси инерции - Три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр тяжести тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю.… … Справочник технического переводчика

главные оси инерции - три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр тяжести тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю.… …

- … Википедия

Оси главные - : Смотри также: главные оси инерции главные оси (тензора) деформации … Энциклопедический словарь по металлургии

Размерность L2M Единицы измерения СИ кг·м² СГС … Википедия

Момент инерции скалярная физическая величина, характеризующая распределение масс в теле, равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости). Единица измерения СИ: кг·м².… … Википедия

Книги

• Торетическая физика. Часть 3. Механика твердого тела (2-е издание) , А.А. Эйхенвальд. Третья часть данного курса теоретической физики представляет собой естественное продолжение части II: основные принципы механики применяются здесь к твердому телу, т. е. к системе…

Посмотрим, как изменяются моменты инерции при повороте осей координат. Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей х, у (не обязательно центральных). Требуется определить J u , J v , J uv -- моменты инерции относительно осей и, v, повернутых относительно первой системы на угол (рис. 3).

Проектируем замкнутый четырехугольник ОАВСО на оси и и v. Так как проекция ломаной линии равна проекции замыкающей, находим:

u = y sin +x cos , v = y cos -- x sin

В выражениях (3), подставив вместо x 1 и y 1 соответственно u и v, исключаем u и v

Рассмотрим два первых уравнения. Складывая их почленно, получим, что сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла и при повороте осей остается постоянной. При этом

где -- расстояние от начала координат до элементарной площадки (рис. 3). Таким образом,

J x + J y = J p

где J p -- полярный момент инерции

величина которого, естественно, не зависит от поворота осей ху.

С изменением угла поворота осей каждая из величин J u и J v меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое , при котором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время как другой момент инерции принимает минимальное значение.

Дифференцируя выражение J u (5) по и приравнивая производную нулю, находим

При этом значении угла один из осевых моментов будет наибольшим, а другой -- наименьшим. Одновременно центробежный момент инерции J uv при указанном угле обращается в нуль, что легко устанавливается из третьей формулы (5).

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если они к тому же являются центральными, то тогда они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Для определения этого первые две формулы (5) перепишем в виде

Верхний знак соответствует максимальному моменту инерции, а нижний -- минимальному. После того как сечение вычерчено в масштабе и на чертеже показано положение главных осей, нетрудно установить, которой из двух осей соответствует максимальный и которой -- минимальный момент инерции.

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда будет главной. Центробежный момент инерции части сечения, расположенной по одну сторону от оси, будет равен моменту части, расположенной по другую сторону, но противоположен ему по знаку. Следовательно, J ху = 0 и оси х и у являются главными.

Задание 5.3.1: Для сечения известны осевые моменты инерции сечения относительно осей х1, у1, х2 : , . Осевой момент инерции относительно оси у2 равен…

1) 1000 см4; 2) 2000 см4; 3) 2500 см4; 4) 3000 см4.

Решение: Верный ответ - 3). Сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте осей на некоторый угол остается постоянной, то есть

После подстановки заданных значений получим.

Задание 5.3.2: Из указанных центральных осей сечения равнополочного уголка главными являются…

1) х3 ; 2) все; 3) х1 ; 4) х2 .

Решение: Верный ответ - 4). Для симметричных сечений оси симметрии являются главными осями инерции.

Задание 5.3.3: Главные оси инерции …

• 1) можно провести только через точки, лежащие на оси симметрии;
• 2) можно провести только через центр тяжести плоской фигуры;
• 3) это оси, относительно которых моменты инерции плоской фигуры равны нулю;
• 4) можно провести через любую точку плоской фигуры.

Решение: Верный ответ - 4). На рисунке показана произвольная плоская фигура. Через точку С проведены две взаимно перпендикулярные оси U и V .

В курсе сопротивления материалов доказывается, что если эти оси поворачивать, то можно определить такое их положение, при котором центробежный момент инерции площади обращается в ноль, а моменты инерции относительно этих осей принимают экстремальные значения. Такие оси называются главными осями.

Задание 5.3.4: Из указанных центральных осей главными осями сечения являются…

1) все; 2) х1 и х3 ; 3) х2 и х3 ; 4) х2 и х4 .

Решение: Верный ответ - 1). Для симметричных сечений оси симметрии являются главными осями инерции.

Задание 5.3.5: Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются…

• 1) центральными осями; 2) осями симметрии;
• 3) главными центральными осями; 4) главными осями.

Решение: Верный ответ - 4). При повороте осей координат на угол б моменты инерции сечения меняются.

Пусть заданы моменты инерции сечения относительно координатных осей x , y . Тогда моменты инерции сечения в системе координатных осей u , v , повернутых на некоторый угол относительно осей x , y , равны

При некотором значении угла центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения. Данные оси называются главными осями.

Задание 5.3.6: Момент инерции сечения относительно главной центральной оси хС равен…

1); 2) ; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 2)

Для вычисления используем формулу

Из формул (6.22) – (6.25) следует, что при повороте осей моменты инерции изменяются, но сумма осевых моментов остается постоянной .

Следовательно, если относительно одной оси значение момента инерции будет наибольшим , то относительно другой – наименьшим . В этом случае центробежный момент относительно этих осей оказывается равным нулю .

Главными центральными осями называются оси, проходящие через центр тяжести и относительно которых центробежный момент равен нулю, а осевые моменты относительно них (осей) обладают свойствами экстремальности и называются главными центральными моментами инерции. Относительно одной главной оси момент инерции имеет наименьшее значение – , относительно другой – наибольшее .

Будем обозначать эти оси буквами u и v . Докажем приведенное утверждение. Пусть оси x и y – центральные оси несимметричного сечения (рис. 6.12).

Определим положение главных осей путем поворота центральных осей на угол , при котором центробежный момент становится равным нулю.

.

Тогда из формулы (6.25)

. (6.26)

Формула (6.26) определяет положение главных осей, где – угол, на который нужно повернуть центральные оси, чтобы они стали главными. Отрицательные углы откладываются по ходу часовой стрелки от оси x .

Теперь покажем, что относительно главных осей осевые моменты инерции обладают свойством экстремальности. Вычислим производную от выражения (формула 6.22) и приравняем ее к нулю:

(6.27)

Сравнивая выражения (6.27) с (6.25) устанавливаем, что

.

Отсюда следует, что производная обращается в нуль, когда , а это значит, что экстремальные значения имеют моменты инерции относительно главных осей u и v . Тогда по формулам (6.22) и (6.23):

(6.28)

По формулам (6.28) определяются главные центральные моменты инерции.

Если сложить почленно формулы (6.28), то, очевидно, . Если исключить из формул (6.28) угол , то получим более удобную формулу для главных центральных моментов инерции:

Знак «+» перед вторым слагаемым в (6.29) относится к , знак «-» – к .

Полезно иметь в виду частные случаи:

Если фигура имеет две оси симметрии , то эти оси являются главными центральными осями.

2. Для правильных фигур – равносторонний треугольник, квадрат, круг и т.п., имеющих более двух осей симметрии, все центральные оси являются главными, а моменты инерции относительно них равны между собой.

Умение находить положение главных центральных осей и вычислять и необходимо для определения плоскости наибольшей жесткости сечения (след которой совпадает с осью ) при расчетах на изгиб (глава 7).

35. Общий порядок определения главных центральных

Моментов.

Пусть требуется найти положение главных центральных осей и вычислить относительно них моменты инерции для плоского сечения, состоящего из швеллера и полосы (рис. 6.13):

Проводят произвольную систему координат xOy .

Разбивают сечение на простые фигуры и по формулам (6.5) определяют положение центра тяжести С .

Находят моменты инерции простых фигур относительно собственных центральных осей, используя сортамент или по формулам.

Через точку С проводят центральные оси x c и y c параллельно осям простых фигур.

Определяют моменты инерции простых фигур относительно центральных осей сечения, используя формулы параллельного переноса (6.13).

Определяют центральные моменты инерции всего сечения как сумму соответствующих моментов простых фигур, найденных в пункте 5.

Вычисляют угол по формуле (6.26) и, поворачивая оси x c и y c на угол , изображают главные оси u и v .

По формулам (6.29) вычисляют и .

Делают проверку:

б) , если ;

36) Общий прядок определения главных центральных моментов инерции. Пример:

1. Если фигура имеет две оси симметрии, то эти оси и будут ГЦО.

2. Для правельных фигур (у которых больше 2- х оссей) все оси будут главными

3. Проводим вспомогательные оси(Х’ O’ Y’)

4. Разбиваем данное сечение на простые фигуры и показываем их собственные ЦО.

5. Находим положение ГЦО по формуле(21)

6. Вычисляем значения ГЦМ по формуле (23)

· Imax + Imin = Ix + Iy

· Imax >Ix>Iy>Iminесли Ix>Iy

· Iuv = Ix-Iy/2 sin2a + Ixycos2a +0

Формула 21:Tg2a = - 2Ixy/Ix - Iy

Формула23: Imax, Imin = *

37) Изгиб. Классификация видов изгиба. Прямой и чистый изгиб. Картина деформирования балки. Нейтральный слой и ось. Основные допущения .

Изгиб – деформирование при котором в поперечном сечении возникает изгибающий момент Мх. Брус, который работает на изгиб-балка

Виды изгиба:

Чистый изгиб имеет место, если в сечении возникает только изгибающий момент

Поперечный изгиб- если одновременно с моментом возникает поперечная сила

Плоский - все нагрузки лежат в одной плоскости

Пространственный - если все нагрузки лежат в разных продольных плоскостях

Прямой - если силовая плоскость совпадает с одной из главных осей инерции

Косой - если силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных осей

В результате деформирования на участке чистого изгиба можно видеть:

Продольные волокна искривляются по дуге окружности: одни- укорачиваются, другие-удлиняются; между ними есть слой волокон, которые не меняют своей длины- нейтральный слой (н.с.), линию его пересечения с плоскостью поперечного сечения называют нейтральной осью (н.о.)

Расстояние между продольными волокнами не меняется

Поперечные сечения, оставаясь прямыми, поворачиваются на некоторый угол

Допущения:

1.Оненадавливании продольных волокон друг на друга, т.е. каждое волокно находиться в состоянии простого растяжения или сжатия, что сопровождается возникновением нормальных напряжений Ϭ

2.О справедливости гипотезы Бернули, т.е. сечения балки, плоские и нормальные к оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к ее оси после деформации

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными, а моменты инерции относительно этих осей называются главными моментами инерции.

Перепишем формулу (2.18) с учетом известных тригонометрических соотношений:

;

в таком виде

С целью определения положения главных центральных осей, продифференцируем равенство (2.21) по углу α один раз получим

При некотором значении угла α=α 0 , центробежный момент инерции может оказаться равным нулю. Следовательно, с учетом производной (в ), осевой момент инерции примет экстремальное значение. Приравнивая

,

получаем формулу для определения положения главных осей инерции в виде:

(2.22)

В формуле (2.21) вынесем за скобки соs2α 0 и подставим туда значение (2.22) и с учетом известной тригонометрической зависимости получим:

После упрощения окончательно получим формулу для определения значений главных моментов инерции:

(2.23)

Формула (20.1) применяется для определения моментов инерции относительно главных осей. Формула (2.22) не дает прямого ответа на вопрос о том: относительно какой оси момент инерции будет максимальный или минимальный. По аналогии с теорией по исследованию плоского напряженного состояния приведем более удобные формулы для определения положения главных осей инерции:

(2.24)

Здесь α 1 и α 2 определяют положение осей, относительно которых моменты инерции соответственно равны J 1 и J 2 . При этом следует иметь в виду, что сумма модулей углов α 01 и α 02 должна равняться π/2:

Условие (2.24) является условием ортогональности главных осей инерции плоского сечения.

Следует отметить, что при пользовании формулами (2.22) и (2.24) для определения положения главных осей инерции должна соблюдаться такая закономерность:

Главная ось, относительно которой момент инерции максимален, составляет наименьший угол с той исходной осью, относительно которой момент инерции больше.

Пример 2.2.

Определить геометрические характеристики плоских сечений бруса относительно главных центральных осей:

Решение

Предложенное сечение является несимметричным. Поэтому положение центральных осей будет определяться двумя координатами, главные центральные оси будут развернуты относительно центральных осей на определенный угол. Отсюда вытекает такой алгоритм решения задачи по определению основных геометрических характеристик.

1. Разбиваем сечение на два прямоугольника с такими площадями и моментами инерции относительно собственных центральных осей:

F 1 =12 cм 2 , F 2 =18 cм 2 ;

2. Задаемся системой вспомогательных осей х 0 у 0 с началом в точке А . Координаты центров тяжести прямоугольников в этой системе осей такие:

х 1 =4 см; х 2 =1 см; у 1 =1,5 см; у 2 =4,5 см.

3. Определяем координаты центра тяжести сечения по формулам (2.4):

Наносим центральные оси (на рис 2.9 красным цветом).

4. Вычисляем осевые и центробежный моменты инерции относительно центральных осей х с и у с по формулам (2.13) применительно к составному сечению:

5. Находим главные моменты инерции по формуле (2.23)

6. Определяем положение главных центральных осей инерции х и у по формуле (2.24):

Главные центральные оси показаны на (рис. 2.9) синим цветом.

7. Проверим проведенные вычисления. Для этого проведем следующие вычисления:

Сумма осевых моментов инерции относительно главных центральных и центральных осей должна быть одинаковой:

Сумма модулей углов α х и α у, , определяющих положение главных центральных осей:

Кроме того, выполняется положение о том, что главная центральная ось х , относительно которой момент инерции J x имеет максимальное значение, составляет меньший угол с той центральной осью, относительно которой момент инерции больше, т.е. с осью х с.