Сумма внутренних углов треугольника равна 180 0 . Это одна из основополагающих аксиом геометрии Эвклида. Именно эту геометрию изучают школьники. Геометрию определяют наукой, изучающей пространственные формы реального мира.

Что побудило древних греков разработать геометрию? Потребность измерять поля, луга - участки земной поверхности. При этом древние греки приняли, что поверхность Земли горизонтальная, плоская. С учетом этого допущения и создавались аксиомы Эвклида, в том числе и о сумме внутренних углов треугольника в 180 0 .

Под аксиомой понимается положение, не требующее доказательства. Как это нужно понимать? Высказывается пожелание, устраивающее человека, и далее оно подтверждается иллюстрациями. Но все, что не доказано - вымысел, то, чего нет в реальности.

Принимая земную поверхность горизонтальной, древние греки автоматически приняли форму Земли плоской, но она другая - сферическая. Горизонтальных плоскостей и прямых линий в природе вообще нет, потому что гравитация искривляет пространство. Прямые линии и горизонтальные плоскости имеются только в мозгу головы человека.

Поэтому, геометрия Эвклида, объясняющая пространственные формы вымышленного мира, является симулякром - копией, не имеющей оригинала.

Одна из аксиом Эвклида гласит, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 0 . На самом деле в реальном искривленном пространстве, или на сферической поверхности Земли, сумма внутренних углов треугольника всегда больше 180 0 .

Рассуждаем так. Любой меридиан на глобусе пересекается с экватором под углом 90 0 . Чтобы получить треугольник, нужно от меридиана отодвинуть другой меридиан. Сумма углов треугольника между меридианами и стороной экватора составит 180 0 . Но еще останется угол у полюса. В итоге сумма всех углов и составит больше 180 0 .

Если на полюсе стороны пересекутся под углом 90 0 , то сумма внутренних углов такого треугольника будет 270 0 . Два меридиана, пересекающиеся с экватором под прямым углом в этом треугольнике, будет параллельными друг другу, а на полюсе, пересекающиеся друг с другом под углом 90 0 , станут перпендикулярами. Получается, две параллельные линии на одной плоскости не только пересекаются, но могу на полюсе быть перпендикулярами.

Конечно, стороны такого треугольника будут не прямыми линиями, а выпуклыми, повторяющими сферическую форму земного шара. Но, именно такой реальный мир пространства.

Геометрию реального пространства с учетом его кривизны в середине XIX в. разработал немецкий математик Б. Риман (1820-1866). Но об этом школьникам не говорят.

Итак, эвклидова геометрия, принимающая форму Земли плоской с горизонтальной поверхностью, чего на самом деле нет, представляет собой симулякр. Ноотик - геометрия Римана, учитывающая кривизну пространства. Сумма внутренних углов треугольника в ней больше 180 0 .

Треугольник представляет собой многоугольник, имеющий три стороны (три угла). Чаще всего стороны обозначают маленькими буквами, соответствующими заглавным буквам, которыми обозначают противоположные вершины. В данной статье мы ознакомимся с видами этих геометрических фигур, теоремой, которая определяет, чему равняется сумма углов треугольника.

Виды по величине углов

Различают следующие виды многоугольника с тремя вершинами:

• остроугольный, у которого все углы острые;
• прямоугольный, имеющий один прямой угол, при его образующие, называют катетами, а сторона, которая размещена противоположно прямому углу, именуется гипотенузой;
• тупоугольный, когда один ;
• равнобедренный, у которого две стороны равные, и называются они боковыми, а третья - основанием треугольника;
• равносторонний, имеющий все три равные стороны.

Свойства

Выделяют основные свойства, которые характерны для каждого вида треугольника:

• напротив большей стороны всегда располагается больший угол, и наоборот;
• напротив равных по величине сторон находятся равные углы, и наоборот;
• у любого треугольника есть два острых угла;
• внешний угол больше по сравнению с любым внутренним углом, не смежным с ним;
• сумма каких-либо двух углов всегда меньше 180 градусов;
• внешний угол равняется сумме остальных двух углов, которые не межуют с ним.

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема утверждает, что если сложить все углы данной геометрической фигуры, которая расположена на евклидовой плоскости, то их сумма будет составлять 180 градусов. Попробуем доказать данную теорему.

Пускай у нас есть произвольный треугольник с вершинами КМН.

Через вершину М проведем КН (еще эту прямую называют прямой Евклида). На ней отметим точку А таким образом, чтоб точки К и А были расположены с разных сторон прямой МН. Мы получаем равные углы АМН и КНМ, которые, как и внутренние, лежат накрест и образовываются секущей МН совместно с прямыми КН и МА, которые являются параллельными. Из этого следует, что сумма углов треугольника, расположенных при вершинах М и Н, равняется размеру угла КМА. Все три угла составляют сумму, которая равна сумме углов КМА и МКН. Поскольку данные углы являются внутренними односторонними относительно параллельных прямых КН и МА при секущей КМ, их сумма составляет 180 градусов. Теорема доказана.

Следствие

Из выше доказанной теоремы вытекает следующее следствие: любой треугольник имеет два острых угла. Чтобы это доказать, допустим, что данная геометрическая фигура имеет всего один острый угол. Также можно предположить, что ни один из углов не является острым. В этом случае должно быть как минимум два угла, величина которых равна или больше 90 градусов. Но тогда сумма углов будет больше, чем 180 градусов. А такого быть не может, поскольку согласно теореме сумма углов треугольника равна 180° - не больше и не меньше. Вот это и нужно было доказать.

Свойство внешних углов

Чему равна сумма углов треугольника, которые являются внешними? Ответ на этот вопрос можно получить, применив один из двух способов. Первый заключается в том, что необходимо найти сумму углов, которые взяты по одному при каждой вершине, то есть трех углов. Второй подразумевает, что нужно найти сумму всех шести углов при вершинах. Для начала разберемся с первым вариантом. Итак, треугольник содержит шесть внешних углов - при каждой вершине по два.

Каждая пара имеет равные между собой углы, поскольку они являются вертикальными:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Кроме этого, известно, что внешний угол у треугольника равняется сумме двух внутренних, которые не межуются с ним. Следовательно,

∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.

Из этого получается, что сумма внешних углов, которые взяты по одному возле каждой вершины, будет равна:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (∟А + ∟В + ∟С).

С учетом того, что сумма углов равняется 180 градусам, можно утверждать, что ∟А + ∟В + ∟С = 180°. А это значит, что ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 х 180° = 360°. Если же применяется второй вариант, то сумма шести углов будет, соответственно, большей в два раза. То есть сумма внешних углов треугольника будет составлять:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Прямоугольный треугольник

Чему равняется сумма углов прямоугольного треугольника, являющихся острыми? Ответ на этот вопрос, опять же, вытекает из теоремы, которая утверждает, что углы в треугольнике в сумме составляют 180 градусов. А звучит наше утверждение (свойство) так: в прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90 градусов. Докажем его правдивость.

Пускай нам дан треугольник КМН, у которого ∟Н = 90°. Необходимо доказать, что ∟К + ∟М = 90°.

Итак, согласно теореме о сумме углов ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. В нашем условии сказано, что ∟Н = 90°. Вот и получается, ∟К + ∟М + 90° = 180°. То есть ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90°. Именно это нам и следовало доказать.

В дополнение к вышеописанным свойствам прямоугольного треугольника, можно добавить и такие:

• углы, которые лежат против катетов, являются острыми;
• гипотенуза треугольна больше любого из катетов;
• сумма катетов больше гипотенузы;
• катет треугольника, который лежит напротив угла 30 градусов, в два раза меньше гипотенузы, то есть равняется ее половине.

Как еще одно свойство данной геометрической фигуры можно выделить теорему Пифагора. Она утверждает, что в треугольнике с углом 90 градусов (прямоугольном) сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы.

Сумма углов равнобедренного треугольника

Ранее мы говорили, что равнобедренным называют многоугольник с тремя вершинами, содержащий две равные стороны. Известно такое свойство данной геометрической фигуры: углы при его основании равны. Докажем это.

Возьмем треугольник КМН, который является равнобедренным, КН - его основание.

От нас требуется доказать, что ∟К = ∟Н. Итак, допустим, что МА - это биссектриса нашего треугольника КМН. Треугольник МКА с учетом первого признака равенства равен треугольнику МНА. А именно по условию дано, что КМ = НМ, МА является общей стороной, ∟1 = ∟2, поскольку МА - это биссектриса. Используя факт равенства этих двух треугольников, можно утверждать, что ∟К = ∟Н. Значит, теорема доказана.

Но нас интересует, какова сумма углов треугольника (равнобедренного). Поскольку в этом отношении у него нет своих особенностей, будем отталкиваться от теоремы, рассмотренной ранее. То есть мы можем утверждать, что ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, или 2 х ∟К + ∟М = 180° (поскольку ∟К = ∟Н). Данное свойство доказывать не будем, поскольку сама теорема о сумме углов треугольника была доказана ранее.

Кроме рассмотренных свойств об углах треугольника, имеют место и такие немаловажные утверждения:

• в которая была опущена на основание, является одновременно медианой, биссектрисой угла, который находится между равными сторонами, а также его основания;
• медианы (биссектрисы, высоты), которые проведены к боковым сторонам такой геометрической фигуры, равны.

Равносторонний треугольник

Его еще называют правильным, это тот треугольник, у которого равны все стороны. А поэтому равны также и углы. Каждый из них составляет 60 градусов. Докажем это свойство.

Допустим, что у нас есть треугольник КМН. Нам известно, что КМ = НМ = КН. А это значит, что согласно свойству углов, расположенных при основании в равнобедренном треугольнике, ∟К = ∟М = ∟Н. Поскольку согласно теореме сумма углов треугольника ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, то 3 х ∟К = 180° или ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟Н = 60°. Таким образом, утверждение доказано.

Как видно из выше приведенного доказательства на основании теоремы, сумма углов как и сумма углов любого другого треугольника, составляет 180 градусов. Снова доказывать эту теорему нет необходимости.

Существуют еще такие свойства, характерные для равностороннего треугольника:

• медиана, биссектриса, высота в такой геометрической фигуре совпадают, а их длина вычисляется как (а х √3) : 2;
• если описать вокруг данного многоугольника окружность, то ее радиус будет равен (а х √3) : 3;
• если вписать в равносторонний треугольник окружность, то ее радиус будет составлять (а х √3) : 6;
• площадь этой геометрической фигуры вычисляется по формуле: (а2 х √3) : 4.

Тупоугольный треугольник

Согласно определению один из его углов находится в промежутке от 90 до 180 градусов. Но учитывая то, что два остальных угла данной геометрической фигуры острые, можно сделать вывод, что они не превышают 90 градусов. Следовательно, теорема о сумме углов треугольника работает при расчете суммы углов в тупоугольном треугольнике. Получается, мы смело можем утверждать, опираясь на вышеупомянутую теорему, что сумма углов тупоугольного треугольника равна 180 градусам. Опять-таки, данная теорема не нуждается в повторном доказательстве.

Доказательство:

• Дан треугольник АВС.
• Через вершину B проведем прямую DK параллельно основанию AC.
• \angle CBK= \angle C как внутренние накрест лежащие при параллельных DK и AC, и секущей BC.
• \angle DBA = \angle A внутренние накрест лежащие при DK \parallel AC и секущей AB. Угол DBK развернутый и равен
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Так как развернутый угол равен 180 ^\circ , а \angle CBK = \angle C и \angle DBA = \angle A , то получим 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

Теорема доказана

Следствия из теоремы о сумме углов треугольника:

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° .
2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45° .
3. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60° .
4. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий - тупой или прямой.
5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Теорема о внешнем угле треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с этим внешним углом

Доказательство:

• Дан треугольник АВС, где ВСD - внешний угол.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• Из равенств угол \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Получаем \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

Теорема. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам.

Возьмём какой-нибудь треугольник AВС (рис. 208). Обозначим его внутренние углы цифрами 1, 2 и 3. Докажем, что

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Проведём через какую-нибудь вершину треугольника, например В, прямую МN параллельно АС.

При вершине В мы получили три угла: ∠4, ∠2 и ∠5. Их сумма составляет развёрнутый угол, следовательно, она равна 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Но ∠4 = ∠1 - это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых МN и АС и секущей АВ.

∠5 = ∠3 - это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых МN и АС и секущей ВС.

Значит, ∠4 и ∠5 можно заменить равными им ∠1 и ∠3.

Следовательно, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Теорема доказана.

2. Свойство внешнего угла треугольника.

В самом деле, в треугольнике ABC (рис. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, но и ∠ВСD, внешний угол этого треугольника, не смежный с ∠1 и ∠2, также равен 180° - ∠3.

Таким образом:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Следовательно, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Выведенное свойство внешнего угла треугольника уточняет содержание ранее доказанной теоремы о внешнем угле треугольника, в которой утверждалось только, что внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла треугольника, не смежного с ним; теперь же устанавливается, что внешний угол равен сумме обоих внутренних углов, не смежных с ним.

3. Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°.

Пусть в прямоугольном треугольнике АСВ угол В равен 30° (рис. 210). Тогда другой его острый угол будет равен 60°.

Докажем, что катет АС равен половине гипотенузы АВ. Продолжим катет АС за вершину прямого угла С и отложим отрезок СМ, равный отрезку АС. Точку М соединим с точкой В. Полученный треугольник ВСМ равен треугольнику АСВ. Мы видим, что каждый угол треугольника АВМ равен 60°, следовательно, этот треугольник - равносторонний.

Катет АС равен половине АМ, а так как АМ равняется АВ, то катет АС будет равен половине гипотенузы АВ.

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

НА ТЕМУ:

«Всегда ли сумма углов треугольника равна 180˚?»

Выполнил:

Ученик 7б класса

МБОУ Инзенская СШ №2

г. Инза, Ульяновская область

Малышев Ян

Научный руководитель:

Большакова Людмила Юрьевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………………..3 стр.

Основная часть……………………………………………4

поиск информации

опыты

вывод

Заключение………………………………………………..12

ВВЕДЕНИЕ

В этом году я начал изучать новый предмет-геометрию. Эта наука изучает свойства геометрических фигур. На одном из уроков мы изучали теорему о сумме углов треугольника. И с помощью доказательства сделали вывод: сумма углов треугольника равна 180˚.

Я задумался, а есть ли такие треугольники, у которых сумма углов не будет равна 180˚?

Тогда я поставил перед собой ЦЕЛЬ :

Узнать, когда сумма углов треугольника не равна 180˚?

Поставил следующие ЗАДАЧИ :

Познакомиться с историей возникновения геометрии;

Познакомиться с геометрией Евклида, Романа, Лобачевского;

Доказать опытным путем, что сумма углов треугольника может быть не равна 180˚.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Геометрия возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека. При строительстве даже самых примитивных сооружений необходимо уметь рассчитывать, сколько материала уйдет на постройку, вычислять расстояния между точками в пространстве и углы между плоскостями. Развитие торговли и мореплавания требовало умений ориентироваться во времени и пространстве.

Для развития геометрии много сделали ученые Древней Греции. Первые доказательства геометрических фактов связывают с именем Фалеса Милетского.

Одной из самых известных школ была пифагорейская, названная в честь своего основателя, автора доказательств многих теорем, Пифагора.

Геометрию, которую изучают в школе, называют Евклидовой, по имени Евклида - древнегреческого ученого.

Евклид жил в Александрии. Он написал знаменитую книгу «Начала». Последовательность и строгость сделали это произведение источником геометрических знаний во многих странах мира в течении более двух тысячелетий. До недавнего времени почти все школьные учебники были во многом схожи с «Началами».

Но в 19 веке было показано, что аксиомы Евклида не являются универсальными и верны не во всяких обстоятельствах. Основные открытия геометрической системы, в которой аксиомы Евклида не верны, были сделаны Георгом Риманом и Николаем Лобачевским. О них говорят как о создателях неевклидовой геометрии.

И вот, опираясь на учения Евклида, Римана и Лобачевского, попробуем ответить на вопрос: всегда ли сумма углов треугольника равна 180˚?

ОПЫТЫ

Рассмотрим треугольник с точки зрения геометрии Евклида.

Для этого возьмём треугольник.

Закрасим его углы красным, зеленым и синим цветами.

Проведем прямую линию. Это развернутый угол, он равен 180 ˚.

Отрежем углы нашего треугольника и приложим их к развернутому углу. Мы видим, что сумма трех углов равна 180˚.

Одним из этапов развития геометрии стала эллиптическая геометрия Римана. Частным случаем этой эллиптической геометрии является геометрия на сфере. В геометрии Римана сумма углов треугольника больше 180˚.

Итак, это сфера.

Внутри этой сферы меридианами и экватором образуется треугольник. Возьмем этот треугольник, закрасим его углы.

Отрежем их и приложим к прямой. Мы видим, что сумма трех углов больше 180˚.

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 180˚.

Эта геометрия рассматривается на поверхности гиперболического параболоида (это вогнутая поверхность, напоминающая седло).

Примеры параболоидов можно встретить в архитектуре.

И даже чипсы «прингл»-пример параболоида.

Проверим сумму углов на модели гиперболического параболоида.

На поверхности образуется треугольник.

Возьмем этот треугольник, закрасим его углы, отрежем их и приложим к прямой. Теперь мы видим, что сумма трех углов меньше 180˚.

ВЫВОД

Таким образом, мы доказали, что сумма углов треугольника не всегда равна 180˚.

Она может быть и больше, и меньше.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение своей работы хочу сказать, что работать над этой темой было интересно. Я узнал много нового для себя и, в дальнейшем, буду с удовольствием изучать эту интересную геометрию.

ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ

ru.wikipedia.org

e-osnova.ru

vestishki.ru

yun.moluch.ru