Деление угла на три равные части при помощи циркуля и линейки (Трисекция угла).

Аннотация:

Предлагается общий подход к решению задач о делении угла на равные части с помощью циркуля и линейки. В качестве примера показано деление угла на три равные части (Трисекция угла).

Ключевые слова:

угол; деление угла; трисекция угла.

Введение.

Трисекция угла - задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла - лучи, делящие угол на три равные части. Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.

Целью данной статьи является доказательство ошибочности выше приведённого утверждения о неразрешимости, во всяком случае, в отношении задачи о трисекции угла.

Предлагаемое решение не требует сложных построений, практически универсально и позволяет делить углы на любое количество равных частей , что в свою очередь позволяет строить любые правильные многоугольники.

Вступительная часть.

Проведём прямую линию a и построим на ней ∆CDE. Условно назовём его «базовым» (Рис.1).

Выберем на линии a произвольную точку F и проведём ещё одну прямую линию b через т.F и вершину D треугольника. На линии b возьмем две произвольные точки G и H и соединим их c точками C и E как показано на Рис.1. Анализ рисунка позволяет записать следующие очевидные соотношения между углами:

1. α 1 -α 3 =y 1 ; α 3 -α 5 =y 3 ; α 1 -α 5 =y 1 +y 3 ;

2. α 2 -α 4 =y 2 ; α 4 -α 6 =y 4 ; α 2 -α 6 =y 2 +y 4 ;

3. y 1 /y 2 =y 3 /y 4 ;

Пояснение1. к п.3: Пусть углы - ∟C,∟D,∟E являются углами при соответствующих вершинах базового треугольника ∆CDE. Тогда можно записать:

∟C+∟D+∟E=180 0 – сумма углов ∆CDE;

∟C+y 2 +∟D-(y 2 +y 1 )+∟E+y 1 =180 0 – сумма углов ∆CGE;

Пусть y 1 /y 2 =n или y 1 =n*y 2 , тогда,

∟C+y 2 +∟D-(y 2 +y 1 )+∟E+n*y 2 =180 0

Сумма углов ∆CHE:

∟C+(y 2 +y 4 )+∟D-(y 2 +y 4 +y 1 +y 3 )+∟E+n*(y 2 +y 4 )=180 0 , откуда

y 1 +y 3 =n*(y 2 +y 4 ) или y 1 +y 3 =n*y 2 +n*y 4 , и так как y 1 =n*y 2 ,то

y 3 =n*y 4 и следовательно y 1 /y 2 =y 3 /y 4 =n.

Далее, возьмем две произвольные точки на линии a – N и M, и проведём через них две линии c и d как показано на Рис.2. Очевидно, в том числе из ранее сказанного, что отношение изменений соответствующих углов на линиях c и d величина постоянная, т. е.: (β 1 -β 3 )/(β 3 -β 5 )= (β 2 -β 4 )/(β 4 -β 6 )= y 1 / y 3 = y 2 / y 4 ;

Деление угла на три равные части.

На окружности с центром в точке A отложим угол E 1 AE 2 =β (см. Рис. 3.1). На противоположной стороне окружности отложим симметрично три угла - CAC 1 , C 1 AC 2 , C 2 AC 3 каждый равный β. Разделим угол E 1 AE 2 , в точках K 1 ,K 3 , на три равных угла - ∟E 1 AK 1 , ∟K 1 AK 3 , ∟K 3 AE 2 равных β/3. Проведём прямые линии через точки на окружности как это показано на Рис. 3.1. Соединим прямыми линиями точки C,E 1 и C 2 ,E. (см. Рис. 3.2)

Через точку K – пересечения линий, и точку K 1 проведём прямую линию. Выберем на этой линии произвольную точку K 2 и проведём через неё две прямые из точек C и C 2 .

Не трудно заметить что Рис. 3.2, если убрать линию окружности, практически идентичен Рис. 2. (Для наглядности добавлена штриховая линия CC 2 ). Значит и все соотношения, о которых говорилось выше, применимы и здесь, а именно для углов которые необходимо разделить на три равные части справедливо соотношение y 1 /y 2 =y 3 /y 4 =1/2 (см. Пояснение 1. в вступительной части). Из рисунка 3.2 становится ясно, как поделить угол на три равных части.

Рассмотрим, в качестве примера, деление на три равных части угла β=50 0 .

Вариант 1.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB (см. Рис 4.1) дуги C 1 C 2 =B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 1 B 4 равные β=50 0 - относительно центра окружности. Половину дуги C 1 C 2 – CC 1 делим пополам (точка D). Проводим прямые через точки B 1 и D, и точки B 3 и C. Соединяем между собой точки B 1 и C, B 3 и C 1 . Соединяем точки пересечения – F и E, ранее проведённых линий, между собой. Полученный угол α=C 1 AG, где G точка пересечения линии FE с окружностью, равен β/3.

Вариант 2.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB (см. Рис 4.2) дуги C 1 C 2 =B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 1 B 4 =β=50 0 - относительно центра окружности. Соединяем между собой точки B 1 и C, B 3 и C 1 . Отложим углы y 2 =2y 1 (см. Рис 4.2) от линий B 1 C и B 3 C 1 и проведём прямые линии соответственно этим углам. Соединяем точки пересечения – F и E, ранее проведённых линий, между собой. Полученный угол α=C 1 AG≈16.67 0 , где G точка пересечения линии FE с окружностью, равен β/3.

Полное построение деления угла на три равных части (на примере угла β=50 0 ) показано на Рис.5

Деление угла на нечётное количество (>3-х) равных углов.

В качестве примера рассмотрим деление угла β=35 0 на пять равных между собой углов.

Способ №1.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB углы C 2 AC 1 =B 1 AB 2 =B 2 AB 3 =B 3 AB 4 =B 4 AB 5 =B 5 AB 6 =β=35 0 .(см. Рис.6)

Делим угол C 2 AC равный половине угла C 2 AC 1 пополам в точке E. Соединяем точки

E,C 2 ,B 1 ,B 2 ,B 3 между собой как показано на рисунке 6. Далее, для деления угла, используем Вариант 2 из ранее приведённого примера, т. к. Вариант 1 для деления углов на нечётное количество >3-х равных углов очевидно не применим. От линий B 3 E и B 1 C 2 в точках B 3 и B 1 соответственно, отложим углы y 1 и y 2 в соотношении 1:4. Из точек B 3 и B 1 проведём прямые соответственно этим углам, до пересечения в точке N. Угол C 2 AK=α=7 0 будет искомым.

Способ №2.

Этот способ (см. Рис.7) аналогичен первому с той лишь разницей, что для построений используется ¼ угла C2AC1 – угол EAC прилегающий к средней линии окружности BC. Преимущество данного способа в том, что он облегчает деление угла на большое количество углов - 7, 9, 11 и т. д.

Построение правильного семиугольника.

Примем, что n – число разбиений (количество секторов на которое делится угол).

Тогда если n-1=2 k (1), где k – любое целое число, то угол делится в один этап, что было показано ранее. Если n-1≠2 k (2) – то угол делится в два этапа, вначале на n-1 , а затем уже на n . При этом во всех случаях соблюдается соотношение: y 1 /y 2 = 1/n-1 (3).

Поясним это на примере построения правильного семиугольника.

Для того чтобы построить семиугольник надо найти 1/7-ю часть угла 60 0 ,умножить её на шесть, и отложить полученный угол семь раз по окружности (это один из возможных вариантов). Так как 7-1=6 то в соответствии с формулой (2) угол 60 0 будем делить в два этапа. На первом этапе разделим на шесть, а затем, на втором этапе, на семь. С этой целью, разделим угол 30 0 на три равных сектора по 10 0 (см. Рис.8), используя, как самый простой, Вариант 1 описанный в начале статьи. Полученный угол ECL=10 0 отложим от средней линии окружности (см. Рис.9). Будем считать, что угол ECL принадлежит симметрично отложенному относительно средней линии углу 60 0 .

Далее чтобы найти 1/7-ю часть угла 60 0 используем Способ №2 описанный ранее. С этой целью отложим угол D 1 CD 2 =60 0 симметрично к средней линии и угол D 2 CD 3 =60 0 примыкающий к нему. В точках D 1 и D 3 построим углы y 1 и y 2 к линиям D 1 E и D 3 L соответственно, соблюдая пропорции в соответствии с формулой (3) – то есть 1 к 6.

Проведём прямые линии под углами y 1 и y 2 . Соединим точки пересечения G и F соответствующих линий. Угол LCH=60 0 /7. Отложим этот угол шесть раз от точки L до точки B. Отложим полученный угол BCL ещё шесть раз, и в результате получим семиугольник LBKFMNA.

Заключение.

Способ деления угла на равные части, предлагаемый в данной статье имеет ограничение – невозможность его применения непосредственно для углов > 60 0 , что впрочем, не столь существенно с точки зрения принципиальной решаемости задачи.

Библиографический список:

1. Метельский Н. В. Математика. Курс средней школы для поступающих в вузы и техникумы. Изд. 3-е, стереотип. Мн., «Вышэйш. Школа», 1975 г. 688 с. с илл.

Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются математически весьма интересными. Уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии. Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений. Задачи на построение вызывают интерес, способствуют активизации мыслительной и познавательной деятельности. При их решении активно используются знания о свойствах фигур, совершенствуются навыки геометрических построений. В результате развиваются конструктивные способности, что является одной из целей изучения геометрии.

Круг задач, рассматриваемых в геометрии, очень широк. Среди них особое место занимают задачи на построение, которые способствуют развитию определенности, последовательности и обоснованности мышления. На этих задачах можно научиться таким методам познания, как анализ и синтез.

Тема урока: Деление угла циркулем и линейкой.

Класс: 7 (углубленное изучение)

Тип урока: урок изучения нового материала. Методы и приёмы ведения урока:

• фронтальная работа с классом;
• закрепление: работа учащихся в парах по карточкам.

Цели урока:

Обучающая: обеспечить усвоение нового материала, проверка знания учащимися фактического материала по теме «Задачи на построение циркулем и линейкой»; умений учащихся самостоятельно применять знания в измененных нестандартных условиях.

Развивающая: Развивать мышление учащихся при решении задач, выходящих за рамки школьного курса; развивать умение анализировать, сравнивать, делать выводы; развивать память учащихся.

Воспитательная: воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения работать в коллективе и в парах.

Оборудование:

• интерактивная доска или проектор;
• рабочая карточка для каждого ученика (Приложение);
• презентация Деление угла циркулем и линейкой .

Задачи урока:

1. повторить основные построения циркулем и линейкой;
2. рассмотреть возможность деления угла на равных углов;
3. отработать навык построения биссектрисы угла, равностороннего треугольника.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Постановка цели и задач урока.

Ребята должны

знать: стандартные построения циркулем и линейкой,

уметь: 1) строить биссектрису угла, равносторонний треугольник; 2) применять стандартные построения при решении задач на деление угла циркулем и линейкой.

III. Актуализация опорных знаний

На экране появляются слайды, на которых последовательность шагов. Ученикам необходимо определить какую задачу на построение описывает данная последовательность шагов.

Задание 1:

1. АВ – прямая.
2. Проведем окр.(А;АВ) С – точка пересечения окружности и прямой АВ.
3. Проведем окр.(С;R) и окр.(В;R) Р – точка пересечения окружностей.
4. Проведем СР.

Ответ: построение прямого угла

Задание 2:

1. АВ – отрезок.
2. Проведем окр.(А;R) и окр.(В;R) Р, Н – точки пересечения окружностей.
3. Проведем РН, получим точку О на АВ.

Ответ: построение серединного перпендикуляра РН к АВ

Задание 3:

1. Проведем окр.(А;R) Р, Н – точки пересечения окружности и сторон угла.
2. Проведем окр.(Р;РН) и окр.(Н;РН) К – точка пересечения окружностей.
3. Проведем АК.

Ответ: построение биссектрисы угла

Задание 4:

1. АВ – отрезок.
2. Проведем окр.(А;АВ) и окр.(В;АВ) С – точка пересечения окружностей.
3. Проведем АС и ВС

Ответ: построение равностороннего треугольника

IV. Изучение нового материала

Учитель: Сегодня нам необходимо определить всегда ли выполнимо «Деление данного угла на равных углов».

Учитель: Как вы считаете, какое стандартное построение позволит нам выполнить деление угла на 2, 4, 8, 16, … равных угла?

Ответ: Построение биссектрисы угла позволяет разделить любой угол на 2, 4, 8, … 2n равных углов. В каждом случае задача сводится к построению биссектрис полученных углов, что выполнимо всегда циркулем и линейкой. Например, разделить угол АВС на 4 равных угла. Строим биссектрису ВК угла АВС, получаем угол АВК= углу СВК= угол АВС:2. Строим биссектрисы ВР и ВМ углов АВК и CDR соответственно. Получаем: углы АВР= РВК= МВК= СВМ= АВК:2= АВС:4.

Учитель: Можно ли разделить произвольный угол на 3 равных угла?

Историческая справка. Можно дать задание ученикам подготовить небольшой доклад на тему трисекции угла. Трисекция угла. Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Знаменитой была в древности задача о трисекции угла (о разделении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки). Любой угол невозможно разделить на три равных части с помощью только циркуля и линейки. Попытки решения задачи с помощью инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н.э. Французский математик П. Ванцель в 1837г. первым строго доказал, что невозможно осуществить трисекцию циркулем и линейкой.

Задача о трисекции угла становится разрешимой и общем случае, если не ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими инструментами, циркулем и линейкой. Так, например, Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э., пользовался для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик Никомед (II в. до н.э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной кривой, названной конхоидой Никомеда, и дал описание прибора для черчения этой кривой. Интересное решение задачи о трисекции угла дал Архимед в своей книге «Леммы».

Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла: 90, 45, 135 (в градусах). Деление прямого угла на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 градусов.

Учитель: На интерактивной доске приведено решение задачи.

1. Рассмотрите решение данной задачи.
2. Определите основные построения.
3. Докажите, что данные шаги приведут к необходимому результату.

Задача 1: Трисекция прямого угла.

Пусть требуется разделить на три равные части прямой угол MAN. Откладываем на луче АN произвольный отрезок АК, на котором строим равносторонний треугольник AКB. Так как угол КAB равен 60 градусов, то угол МАВ = 30 градусов. Построим биссектрису угла КАВ, получаем искомое деление прямого угла MAN на три равных угла.

Ответы:

2. Построение равностороннего треугольника, построение биссектрисы угла.

3. Доказательство: угол MAN=90 градусов. Треугольник AКB – равносторонний, угол КAB = 60 градусов. Значит, угол МАВ= угол MAN – угол КAB = 30 градусов. АР – биссектриса угла КАВ, значит угол КАР= углу РАВ=30 градусов. Получаем, что угол КАР=уголу РАВ=углу МАВ =30 градусов, т.е. искомое деление прямого угла MAN на три равных угла.

Учитель: В рабочей тетради выполните построение трисекции прямого угла, опи-сав все этапы «Построения». Обязательно написать «Доказательство».

Учитель: Какие углы всегда можно построить с помощью циркуля и линейки?

Ответ: углы: 60 градусов – угол в равностороннем треугольнике, 30 градусов – биссектриса угла в равностороннем треугольнике, 45 градусов – биссектриса прямого угла, 15 градусов – биссектриса угла 30 градусов, 90 градусов – перпендикуляр к прямой, 180 градусов – точка на прямой.

Учитель: Можно ли разделить произвольный угол на 5, 7, 11, … равных углов?

Учитель: Данная задача оказывается разрешимой при некоторых частных значениях угла. Например: циркулем и линейкой можно выполнить следующее построение (при условии, что заданные углы уже построены и их величина известна):

Задача 2: Разделить угол 66 градусов на 11 равных частей (при условии, что этот угол построен и его величина известна).

Решение: Т.к. 66 градусов: 11=6 градусов, то для решения этой задачи опять воспользуемся углом 60 градусов – равносторонним треугольником. При построении равностороннего треугольника получаем 66 градусов–60 градусов = 6 градусов, строим дважды по углу 6 градусов (60–6–6 = 48 градусов), затем делим угол 48 градусов на 8 равных углов (т.е. проводим биссектрисы). При этом получаем 11 углов по 6 градусов.

При рассмотрении данной задачи учитель задает наводящие вопросы и подводит ребят к решению задачи. Решение задачи записывается в рабочую тетрадь.

V. Физкультминутка Учитель проводит с учащимися упражнения для расслабления глаз.

V. Закрепление изученного материала – самостоятельная работа в парах

Учитель: Каждый ученик получает карточку с задачами (Приложение). У учеников, сидящих за одной партой, одинаковый вариант заданий. Работу ученики выполняют в паре, но каждый оформляет решение на своей карточке.

Оценка за работу на карточке (учитель озвучивает перед началом работы):

«5» - за 3 правильно выполненные и оформленные задачи.

«4» - за 2 правильно выполненные и оформленные задачи или за 3 задачи с недочетами в оформлении.

«3» - за 1 правильно выполненную и оформленную задачу или за 2 задачи с недочетами в оформлении.

Решение задач самостоятельной работы:

Задача 1: Трисекция угла в 45 градусов.

Решение данной задачи сводится к построению равностороннего треугольника. Пусть требуется разделить на три равные части угол MAN=45 градусов. Откладываем на луче АN произвольный отрезок АК, на котором строим равносторонний треугольник AКB в одной полуплоскости с точкой М относительно прямой АК. Строим биссектрису АР угла КАВ, затем биссектрису АС угла РАК и получаем искомое деление угла MAN на три равных угла углы МАР=РАС=САК=15 градусов.

Доказательство: Т.к. треугольник АКВ – равносторонний, то угол КАВ=60 градусов. АР – биссектриса угла КАВ, значит углы ВАР= РАК=30 градусов и угол МАР=угол МАК– угол РАК = 45 градусов – 30 градусов = 15 градусов. АС – биссектриса угла РАК, значит углы РАС= САК=15 градусов. Значит, углы МАР=РАС=САК=15 градусов.

Задача 2 (1 вариант): Разделить угол 50 градусов на 10 равных углов.

Решение: Т.к. 50: 5=10, то для решения этой задачи воспользуемся углом 60 градусов – равносторонним треугольником. Получаем 1) 60–50 = 10 , 2) 50–10= 40, 3) 40: 4=10(в градусах).

Задача 2 (2 вариант): Разделить угол 720 на 6 равных углов.

Решение: Т.к. 72: 6=12, то для решения этой задачи воспользуемся углом 60 – равносторонним треугольником. Получаем 1) 72–60 = 12, 2) 60–12= 48, 3) 48: 4=12 (в градусах).

Задача 3: Разделить угол на 4 равных угла.

Решение: Разделить угол АВС на 4 равных угла. Строим биссектрису ВК угла АВС, получаем углы АВК= СВК=угол АВС:2. Строим биссектрисы ВР и ВМ углов АВК и CDR соответственно. Получаем: углы АВР=РВК=МВК=СВМ= угол АВК:2= угол АВС:4.

VI. Домашняя работа

Дома. Решить задачи:

1.Трисекция угла в 135 градусов.

2.Построить угол 53 градуса, если построен угол 104 градуса.

VII. Итог урока

Ответить на вопросы:

1.Всегда ли выполнима трисекция угла?

Только в некоторых частных случаях: 450, 900.

2.Что нового узнали на уроке?

Всегда можно построить циркулем и линейкой:

1) угла в n раз больше данного угла.

2) разделить любой угол на 2, 4, 8, … 2n равных углов.

3) углы: 60, 30, 45, 15, 90, 180 (в градусах).

4) можно разделить некоторые заданные углы на данное количество равных углов или построить угол необходимой величины.

3.Можно ли разделить произвольный угол на 5, 7, 11, … равных углов?

Нет. Только в некоторых частных случаях.

Домашняя работа:

Задача 1: Трисекция угла в 135 градусов.

Пусть требуется разделить на три равные части угол MAN=135 градусов. Т.к. 135:3 = 45, то из точки А строим перпендикуляр АК к прямой АМ. Затем строим биссектрису АР угла КАМ. При этом получаем искомое деление угла MAN на три равных угла углы КАN=КАР=РАМ=45 градусов.

Доказательство: Т.к. АК – перпендикуляр к прямой АМ, то угол КАМ=90 градусов, угол NАК= 135 градусов – 90 градусов = 45 градусов. АР – биссектриса угла КАМ, значит угол ВАР= углу РАК = 45 градусов. Значит, углы МАР=РАС=САК=45 градусов.

Задача 2: Построить угол 53 градуса, если построен угол 104 градуса.

При решении используем построения прямого угла, биссектрисы угла и угла 60 градусов.

Построение: 1) 104 градуса–90 градусов =14 градусов, 2) 14 градусов: 2 = 7 градусов, 3) строим 60 градусов и 60 градусов –7 градусов = 53 градуса.

Приложение:

Список литературы:

1. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. М.: Просвещение, 2005. - 335 с.
2. Далингер В.А. Планиметрические задачи на построение. Омск: Изд-во ОГПИ, 1999. - 78 с.
3. Ильина Н.И. Геометрические построения на плоскости. М.: Школа - пресс, 1997. - 172 с.
4. Манин И.Ю. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки // Энциклопедия элементарной математики. М.: Физматгиз, 1963. Т. 4: Геометрия. С. 205-227.
5. Погорелов А.В. Геометрия, 7–11. М.: Просвещение, 1992
6. Прасолов В.В. Три классические задачи на построение. М.: Наука, 1992. 80 с.
7. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Ред. коллегия: М.Аксенова, В.Володин и др. – М.: Аванта+, 2005.

Возникновение задачи о трисекции угла (т. е. деления угла на три равные части) обуславливается необходимостью решения задачи о построении правильных многоугольников. Построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой должно было произвести на пифагорейцев большое впечатление, потому что правильная пятиконечная звезда была их опознавательным знаком (она символизировала здоровье). Известна следующая легенда.

Один пифагореец умирал на чужбине и не мог заплатить человеку, который за ним ухаживал. Перед смертью он велел ему изобразить на своем жилище пятиконечную звезду: если когда-нибудь мимо будет идти пифагореец, он обязательно спросит о ней. И действительно, несколько лет спустя некий пифагореец увидел этот знак и вознаградил хозяина дома.

Происхождение задачи о трисекции угла также связано с практической деятельностью, в частности, уметь делить окружность на равные части нужно было при изготовлении колеса со спицами, деление угла или дуги окружности на несколько равных частей необходимо было и в архитектуре, в создании орнаментов, в строительной технике и в астрономии.

С помощью циркуля и линейки для n=6 и 8 правильные n-угольники построить можно, а для n =7 и 9 нельзя. Построение правильного семиугольника - интересная задача: ее можно решить с помощью способа «вставок». Построение правильного семиугольника предложил Архимед. А вот попытки построить правильный девятиугольник как раз и должны были привести к задаче трисекции угла, потому что для построения правильного девятиугольника нужно было построить угол 360°/9= 120/3, т. е. разделить угол 120° на три равные части.

Почему греки предпочитали циркуль и линейку иным инструментам?

Ответить на этот вопрос однозначно и в достаточной степени убедительно ученые не могут. Потому ли, что циркуль и линейка являются наиболее простыми инструментами? Может быть и так. Однако можно указать множество иных инструментов, столь же простых, как циркуль и линейка, или почти столь же простых. С помощью некоторых из них решаются и сформулированные задачи.

В соответствующей литературе можно найти попытки объяснения такой необычной симпатии греков именно к циркулю и линейке. Любая геометрическая фигура состоит из двух видов линий – прямой или кривой. А любая кривая состоит из частей окружностей различного диаметра. При этом прямая и окружность – единственные линии постоянной кривизны на плоскости.

Деление прямого угла на три равные части.

В некоторых частных случаях легко удается выполнить деление угла. Так, деление прямого угла на три равные части умели производить еще пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60º.

Пусть требуется разделить на три равные части прямой (MAN.

Откладываем на луче AN произвольный отрезок АС, на котором строим равносторонний треугольник АСВ. Так как (САВ равен 60º, то (ВАМ равен 30º. Построим биссектрису АD угла САВ, получаем искомое деление прямого (МАN на три равные угла: (NAD, (DAB, (ВАМ.

Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла (например, для углов в 90о / 2n, где n – натуральное число). То, что любой угол невозможно разделить на три равные части с помощью только циркуля и линейки было доказано лишь в первой половине XIX века.

Решение способом «вставок»

Некоторые способы трисекции угла, рассматриваемые греками, использовали так называемый метод вставки. Он заключался в том, чтобы найти положение прямой, проходящей через данную точку O, на которой две заданные прямые (или прямая и окружность) высекали бы отрезок данной длины a. Такое построение можно осуществить с помощью циркуля и линейки с двумя делениями, расстояние между которыми равно a.

С помощью «вставок» разделить угол на три равные части очень легко. Возьмем на стороне угла с вершиной В произвольную точку А и опустим из нее перпендикуляр АС на другую сторону.

Проведем через точку А луч сонаправленный с лучом ВС. Вставим теперь между лучами АС и l отрезок DE длиной 2АВ так, чтобы его продолжение проходило через точку В. Тогда (ЕВС= (ABC/3. В самом деле, пусть G - середина отрезка DE. Точка А лежит на окружности с диаметром DE, поэтому AG = GE = DE/2 = AB. Треугольники BAG и AGE равнобедренные, поэтому (ABG = (AGB = 2(AEG = 2(EBC.

Папп Александрийский показал, что задача «вставления» отрезка между данными перпендикулярными прямыми l1 и l2 сводится к построению точки пересечения окружности и гиперболы. Рассмотрим прямоугольник ABCD, продолжения сторон ВС и CD которого являются данными прямыми, а вершина А является данной точкой, через которую нужно провести прямую, пересекающую прямые l1 и l2 в таких точках Е и F, что отрезок EF имеет данную длину.

Достроим треугольник DEF до параллелограмма DEFG. Для построения искомой прямой достаточно построить точку G, а затем через точку А провести прямую, параллельную прямой DG. Точка G удалена от точки D на данное расстояние DG = EF, поэтому точка G лежит на окружности, которую можно построить.

С другой стороны, из подобия треугольников ABF и EDA получаем АВ: ED = BF: AD, т. е. ED*BF=AB*AD. Следовательно, FG*BF=AB*AD = SABCD, т. е. точка G лежит на гиперболе (если направить оси Ох и Оу по лучам BF и ВА, то эта гипербола задается уравнением xy = SABCD)

Решение с помощью квaдрaтрисы

К «грaммическим» зaдaчaм относится зaдaчa о делении углa в любом отношении. Первую кривую для решения тaкой зaдaчи изобрел Гиппий Элидский. B дальнейшем (нaчинaя с Динострaтa) эту кривую тaкже использовaли и для решения квaдрaтуры кругa. Лейбниц нaзвaл эту кривую квaдрaтрисой.

Oнa получается следующим образом. Пусть в квaдрaте ABCD концы отрезкa B′C′ рaвномерно движутся по сторонaм, соответственно, BA и CD, a отрезок AN рaвномерно врaщaется вокруг точки A. Oтрезок B′C′ в нaчaльный момент совпaдaет с отрезком BC, a отрезок AN – с отрезком AB; обa отрезкa одновременно достигaют своего конечного положения AD. Квaдрaтрисой нaзывaется кривaя, которую при этом описывaет точкa пересечения отрезков B′C′ и AN.

Для того чтобы разделить острый угол φ в некотором отношении, надо на вышеприведенном чертеже отложить угол DAL = φ, где L лежит на квадратрисе. Опустим перпендикуляр LH на отрезок AD. Пазделим этот перпендикуляр в нужном отношении точкой P. Проведем через P отрезок, параллельный AD, до пересечения с квадратрисой в точке Q; луч AQ делит угол LAD в необходимом отношении, так как, по определению квадратрисы, (LAQ: (QAD = (LP: (LH.

Практическая работа по построению трисектрис угла

Способом «вставок»

С помощью квaдрaтрисы

Решение с помощью теоремы Морлея

Так как любой угол нельзя разделить на три равные части, то мы можем решить задачу о трисекции угла в обратном порядке, используя теорему Морлея.

Теорема. Пусть ближайшие к стороне ВС трисектрисы углов B и С пересекаются в точке A1; точки В1 и С1 определяются аналогично. Тогда треугольник А1В1С1 равносторонний, а отрезок С1С является перпендикуляром к основанию правильного треугольника.

Решим следующую задачу: построим треугольник, из всех углов которого проведены трисектрисы.

План построения.

1) Построим два произвольных угла (BAC1 и (АВС1, одна сторона которых является общей.

Построенные углы должны удовлетворять неравенству:

2) Пусть луч АС1 – ось симметрии. Отразим (ВАС1 относительно оси АС1. Аналогично, отразим относительно оси ВС1 (АВС1.

3) Пусть луч АС2 – ось симметрии. Отразим (C1АC2 относительно оси АС2. Аналогично, отразим относительно оси ВС2 (C1ВC2.

4) Соединим точки пересечения трисектрис С1 и С2 отрезком С1С2.

5) В теореме Морли сказано, что при пересечении трисектрис треугольника получается правильный треугольник, а отрезок С1С2 является перпендикуляром к основанию правильного треугольника и проходит через вершину этого треугольника. Для того, чтобы построить правильный треугольник, зная его высоту, необходимо: а) построить лучи, исходящие из точки С1 под углом 30º относительно отрезка С1С2; б) отметить точки пересечения построенных лучей с трисектрисами буквами В1 и А1; в) соединить точки А1, В1, С1. Получим равносторонний треугольник А1В1С1.

6) Проведем лучи из точки С, проходящие через вершины правильного треугольника В1 и А1.

Оставим на рисунке отрезки трисектрис треугольника.

Мы построили треугольник АВС, из всех углов которого проведены трисектрисы.

Неразрешимость трисекции угла с помощью циркуля и линейки

Для доказательства невозможности разделить любой угол на три равные части с помощью циркуля и линейки достаточно доказать, что нельзя так разделить некоторый конкретный угол. Мы докажем, что с помощью циркуля и линейки нельзя произвести трисекцию угла 30°. Введем систему координат Оху, выбрав в качестве начала координат вершину данного угла АОВ и направив ось Ох по стороне ОА. Можно считать, что точки А и В удалены от точки О на расстояние 1. Тогда в задаче трисекции угла требуется по точке с координатами (cos Зφ, sin Зφ) построить точку (cosφ, sinφ). В случае, когда φ=10°, исходная точка имеет координаты. Обе ее координаты выражаются в квадратных радикалах. Поэтому достаточно доказать, что число sin 10° не выражается в квадратных радикалах.

Так как sin3φ = sin(φ + 2φ) =

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ

Sinφ cos2φ + cosφ sin2φ =

cos2α = cos2α - sin2α

sin2α = 2sinα cosα

Sinφ(cos2φ - sin2φ) + cosφ(2sinφ cosφ) =

sin2α + cos2α = 1 cos2α = 1 - sin2α

Sinφ(1 - sin2φ - sin2φ) + 2sinφ cos2φ =

Sinφ(1 - 2sin2φ) + 2sinφ(1 - sin2φ) =

Sinφ(1 - 2sin2φ + 2 - 2sin2φ) =

Sinφ(3 - 4sin2φ) =

3sinφ - 4sin3φ sin3φ = 3sinφ - 4sin3φ, то число х = sin 10° удовлетворяет кубическому уравнению

3x - 4x3 = ½ (φ =10°, 3φ =30°, sin3φ = ½)

8x3 - 6x + 1 = 0

(2x)3 -3*2x + 1 = 0

Достаточно доказать, что у этого уравнения нет рациональных корней. Предположим, что 2x=p/q, где р и q - целые числа, не имеющие общих делителей. Тогда p3 – 3pq2 + q3 = 0, т. е. q3=p(3q2-p2). Следовательно, число q делится на р, а значит, р=±1. Поэтому ±13q2 + q3 =0, т. е. q2(q±3)= ±1. Число 1 делится на q, поэтому q=±1. В итоге получаем, что х=±1/2. Легко проверить, что значения ±1/2 не являются корнями уравнения. Получено противоречие, поэтому уравнение не имеет рациональных корней, а значит, число sin10° не выражается в квадратных радикалах.

Применение

Трисекция угла необходима при построении правильных многоугольников. Мы рассмотрим процесс построения на примере правильного девятиугольника, вписанного в окружность.

Строим прямоугольный треугольник АВС. Строим трисектрисы ВС1 и ВС2. Получились углы по 30º. Делим один из образовавшихся углов на два по 15º биссектрисой. К прямому углу «добавляем» по 15º с каждой стороны. Снова строим трисектрисы получившегося угла DBE. Повторяем так еще дважды, поворачивая треугольник в точке В так, чтобы DB совпала с предыдущим положением ВЕ. Соединяем полученные точки.

Нам удалось построить правильный девятиугольник, используя построение трисектрис.

Трисектор

Задача о трисекции угла в общем случае не разрешима при помощи циркуля и линейки, но это вовсе не значит, что данную задачу нельзя решить другими вспомогательными средствами.

Для достижения указанной цели придумано много механических приборов, которые называются трисекторами. Простейший трисектор легко изготовить из плотной бумаги, картона или тонкой жести. Он послужит подсобным чертёжным инструментом.

Трисектор и схема его применения.

Примыкающая к полукругу полоска АВ равна по длине радиусу полукруга. Край полоски ВD составляет прямой угол с прямой АС; он касается полукруга в точке В; длина этой полоски произвольна. На том же рисунке показано применение трисектора. Пусть, например, требуется разделить на три равные части угол КSМ

Трисектор помещают так, чтобы вершина угла S находилась на линии ВD, одна сторона угла прошла через точку А, а другая сторона коснулась полукруга. Затем проводят прямые SВ и SО, и деление данного угла на три равные части окончено. Для доказательства соединим отрезком прямой центр полукруга О с точкой касания N. Легко убедиться в том, что треугольник АSВ равен треугольнику SВО, а треугольник SВО равен треугольнику OSN. Из равенства этих трех треугольников следует, что углы АSВ, ВS0 и 0SN равны между собой, что и требовалось доказать.

Такой способ трисекции угла не является чисто геометрическим; его скорее можно назвать механическим.

Часы-трисектор

(инструкция по применению)

Оборудование: циркуль, линейка, часы со стрелками, карандаш, прозрачная бумага.

Ход работы:

Переведите фигуру данного угла на прозрачную бумагу и в тот момент, когда обе стрелки часов совмещаются, наложите чертеж на циферблат так, чтобы вершина угла совпала с центром вращения стрелок и одна сторона угла пошла вдоль стрелок.

В тот момент, когда минутная стрелка часов передвинется до совпадения с направлением второй стороны данного угла, проведите из вершины угла луч по направлению часовой стрелки. Образуется угол, равный углу поворота часовой стрелки. Теперь при помощи циркуля и линейки этот угол удвойте и удвоенный угол снова удвойте. Полученный таким образом угол и будет составлять ⅓данного.

Действительно, всякий раз, когда минутная стрелка описывает некий угол, часовая стрелка за это время передвигается на угол, в 12 раз меньший, а после увеличения этого угла в 4 раза получается угол (a/12)*4=⅓ a.

Заключение

Итак, неразрешимые задачи на построение сыграли особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи - «доказать неразрешимость» - была смелым шагом вперёд.

Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре.

Закончив и проанализировав свою исследовательскую работу, я сделала следующие выводы:

✓ возникновение подобных задач обуславливалось их практической значимостью (в частности, построение правильных многоугольников);

✓ подобные задачи вызывают развитие новых методов и теорий (способ «вставок», появление квадратрисы, теоремы Морли);

✓ неразрешимые задачи привлекают больше внимания к наукам: найти решение или доказать невозможность – большой почёт.

А также я узнала:

✓ о математиках, изучавших данную задачу;

✓ новые понятия, термины (трисекция, трисектор, квадратриса) и теоремы (Морлея) и научилась:

✓ эффективно находить и отбирать необходимый материал;

✓ систематизировать полученные знания;

✓ правильно оформлять научно-исследовательскую работу.

Выполнить трисекцию угла - это значит разделить угол на три равные части. Сделать это, конечно, совсем нетрудно. Можно, например, измерить данный угол транспортиром, разделить найденное число градусов на три, а затем отложить посредством того же транспортира угол, содержащий полученное в частном число градусов. Но можно обойтись

и без транспортира, применяя метод «последовательных приближений»: построив произвольным радиусом дугу, для которой данный угол является центральным, возьмем на глаз хорду, соответствующую третьей части дуги, и отложим эту хорду последовательно три раза по дуге, начиная от одного из ее концов. Если после этого мы окажемся на другом конце дуги, задача решена. Если же, как это обыкновенно и бывает, мы не дойдем до другого конца дуги, или перейдем через него, то взятую нами на глаз хорду надо исправить, увеличив или уменьшив ее на одну треть расстояния от полученной точки до конца дуги, причем эту одну треть берем опять-таки на глаз. Эту исправленную хорду снова откладываем на дуге и в случае надобности вновь исправляем тем же способом. Каждая новая (исправленная) хорда будет давать все более точное решение, и, наконец, повторив операцию несколько раз, мы получим хорду, которая уложится на данной дуге практически ровно три раза, и трисекция угла будет выполнена. Конечно, эти два способа позволяют делить данный угол не только на три, но на любое число равных частей.

Однако, когда математики говорят о проблеме трисекции угла, они имеют в виду не эти весьма ценные в практическом отношении, но все же лишь приближенные способы, а точный способ, притом основанный на применении исключительно циркуля и линейки. Необходимо еще отметить, что имеется в виду использование одного лишь ребра линейки и что линейка должна служить только для проведения прямых (не допускается использование, например, масштабных делений), а циркуль - только для вычерчивания окружностей. Наконец, искомый способ должен давать решение задачи посредством конечного числа операций проведения прямых и окружностей. Последнее замечание очень существенно. Так, установив (по формуле суммы геометрической бесконечно убывающей прогрессии), что

можно предложить следующее решение задачи трисекции угла, требующее применения только линейки и циркуля: делим данный угол на 4 равные части, что, как известно, выполнимо посредством циркуля и линейки, а затем к полученному углу прибавляем поправку, равную четверти его самого, т. е. данного угла, потом вторую поправку,

равную первой, т. е. данного угла, и т. д. Точное решение задачи этим способом требует бесконечно большого числа операций (делений углов на 4 равные части), а потому не является тем классическим решением, какое имеют в виду, когда говорят о решении задачи трисекции угла и других задач на построение.

Итак, у нас будет идти речь о точном решении задачи трисекции угла посредством проведения конечного числа прямых и окружностей.

Для некоторых углов эта задача решается весьма просто. Так, для трисекции угла в 180° достаточно построить угол в 60°, т. е. угол равностороннего треугольника, а для трисекции углов в 90° и 45° - углы в 30° и 15°, т. е. половину и четверть угла равностороннего треугольника. Однако доказано, что наряду с бесконечным множеством углов, допускающих трисекцию, существует бесконечное же множество углов, не допускающих трисекции (в указанном выше смысле). Так, нельзя разделить на три равные части (посредством проведения конечного числа прямых и окружностей) ни угол в 60°, ни угол в 30°, ни угол в 15°, ни угол в 40°, ни угол в 120°, ни бесконечное множество других углов.

Теперь выясним, правилен ли следующий часто рекомендуемый способ деления произвольного угла на три равные части. Из вершины В произвольным радиусом проводим дугу окружности, которая пересечет стороны угла в точках (черт. 39). Делим хорду на три равные части и соединяем точки деления с В. Углы окажутся, будто бы, равными, и трисекция произвольного угла следовательно, будет выполнена так, как

требуется, т. е. посредством проведения конечного числа прямых и окружностей: деление отрезка на три равные части, которое здесь требовалось, выполнимо, как известно, именно так.

Предлагающие такое решение полагают, что равенство отрезков на которые мы разделили хорду влечет за собой и равенство дуг которые получатся, если продолжить и до пересечения с окружностью. Так ли это? Если эти дуги равны, то равны и углы (пусть каждый из них равен а), равны и стягивающие их хорды Но отрезок больше отрезка (это утверждение подсказывается чертежом, но ниже мы его докажем), а отрезок равен отрезку так как углы и равны:

Следовательно, при равенстве отрезков и отрезки и вопреки условию неравны, и предположение о равенстве и надо отвергнуть.

Опустив перпендикуляр из вершины В на хорду замечаем, что вся фигура симметрична относительно ВК: перегнув чертеж по мы приведем обе его половинки к совпадению. Отсюда заключаем, что отрезок III перпендикулярен к а в силу этого отрезок параллелен и треугольники и подобны, что дает: Но а потому и как мы и утверждали выше.

Деление произвольно заданного угла на 3 равновеликие части. Трисекция угла

Россия. г. Пенза

Е. И. Терёшкин.

Возьмем прямой угол BAD (чертеж1) достроим его да квадрата ABCD, примем сторону квадрата за 1. Продолжим стороны BC и DC до величины равной. Поставим точки M и N. Соединим точки M и N с точкой A и наш прямой угол BAD разделен на 3 равновеликие части т.е.

Чертеж 1.

Но чтобы делить другие углы надо найти некоторую закономерность. Из точки C радиусом CM опишем окружность.

По теореме Пифагора находим. Из точки радиусом опишем окружность. Из точки через точку проводим линию до пересечения с большой дугой и ставим точку. , .

Диаметры большого круга. Проводим линию, она пересекает малый круг в точке. Из точки, через точку проводим линию до пересечения с большой дугой, ставим точку. Соединяем точки и.

По теореме Пифагора Из точки проводим линию. подобен, значит

Рассмотрим, т.к. этот угол вписанный и опирается на диаметр, а в этом треугольнике будет средняя линия, а значит По теореме косинусов, значит но, значит линия проходит через точку, т.е. через центр квадрата.

Далее чертим две пересекающиеся прямые, чтобы верхний и нижний вертикальные углы были тупыми (чертеж 3) и острыми (чертеж 4). В местах пересечения ставим точки. Из точек любым радиусом описываем окружность.

Чертеж 3. Чертеж 4.

Там где стороны верхнего тупого угла (чертеж 3) и острого (чертеж 4) пересекаются с дугой окружности ставим точки M и N. Проводим биссектрисы обоих тупых углов (чертеж 3) и острых углов (чертеж 4). Там где биссектрисы пересекаются с окружностями ставим точки и. Из точек радиусом описываем окружности. Там где биссектрисы пересекаются с нижней точкой окружности ставим точки F. Соединяем точки N с точками F. В местах пересечений линий NF с малой окружностью ставим точки Е. Из точек через точки Е проводим линии до пересечения с большой дугой и ставим точки. Соединяем точки М с точками. В местах пересечений линий М и F ставим точки О. От точек О в сторону точек F по биссектрисам откладываем расстояние СО. Получаем точки А. Из точек А // МС проводим линии до пересечения с продолжениями линий CN и ставим точки В. Из точек А // ВС проводим линии до пересечения с продолжениями линий МС и ставим точки D. Соединяем точки М с точками А и точки N с точками А. Если требуется разделить начальные углы MCN на три равновеликие части, то из точек С направляя вверх проводим линии параллельные AM и AN.

Теперь в местах пересечения АМ и ВС ставим точки Р, а в местах пересечения AN и СD ставим точки Q. Соединяем точки М с точками N. В местах пересечения хорды MN с биссектрисой А ставим точку. Треугольники АМ и АN равны по двум катетам. Треугольники АРС и АСQ равны, т.к. а АС - общая. Следовательно в обоих чертежах РС=СQ, а ВР=QD и АР=АQ. Далее вынесем оба наших ромба АВСD в отдельные чертежи.

Чертеж 5.

На чертеж 5 (а, б) вынесены ромбы АВСD с тупыми и острыми углами как и на чертежах 3 и 4. Только вместо букв Р и Q применим буквы М и N. Из доказанного ранее известно, что это ромбы, т.е. АВ=ВС=СD=АD, ВМ=ND, и АМ=АN.

Из точек А, радиусом АВ проводим дуги ВD, Из точек М, радиусом ВМ проводим дуги ВF до пересечения с дугами ВD. Из точек N радиусом DN проводим дуги DЕ до пересечения с дугами ВD. Соединяем точки Е с точками N, а точки F с точками М. ВМ=МF=EN=DN. Соединяем точки А с точками Е и F. Проводим хорды BF и ЕD,

Фигуры АВМF состоят из двух равнобедренных треугольников АВF и ВМF имеющих общее основание BF. Значит линии АМ делят эти фигуры на два равных треугольника АВМ и АМF, треугольники равны по трем сторонам.

Фигуры АЕND состоят из двух равнобедренных треугольников АЕD и ЕND, имеющих общее основание ЕD. Значит линии АN делят эти фигуры на два равных треугольника АЕN и АND, треугольники равны по трем сторонам.

Треугольники АВМ равны треугольникам AND по трем сторонам, значит и треугольники АМF равны треугольникам АЕN. Следовательно в обоих чертежах, а и фигуры АВМF равны фигурам AEND каждая в своем чертеже. Но точки Е на линиях АМ могут находиться, а могут и не находиться и точки F на линиях АN могут находиться, а могут и не находиться.

Рассмотрим на обоих чертежах по два четырехугольника: ромбы АВСD и фигуры АЕND. Сумма углов у обоих одинакова. а значит или

В обоих чертежах равны фигурам АЕND.

В результате получается:

Рассмотрим в обоих чертежах фигуры АВМF и ромбы АВСD.

следовательно

или Но где находятся точки Е и F пока не известно.

Чертеж 6.

На чертежах 6 (а, б) и 7 (а, б) указанны возможные варианты расположения точек Е и F относительно угла МАN.

Так как углы МАN симметричны относительно биссектрис ромбов АС, потому что, а, значит точки Е и F если и не находятся на линиях АМ и АN, то находятся на одинаковом расстоянии от этих линий. Иными словами и, если таковые углы существуют, то эти углы равны между собой. Если меньше то больше на 2 И наоборот если больше то меньше на 2

На чертеже 6 (а, б) рассмотрим (вместе равны фигуре АЕND) и ромб АВСD.

На чертеже 7 (а, б) рассмотрим и ромб АВСD.

Получится, что

Но и могут быть равны каким-либо углам, если.

Следовательно, наши углы NAF и EAM = 0, и точка Е находится на линии АМ, а точка F находится на линии AN и.

Угол больше развернутого этот способ не делит на три равновеликие части. Значит, его надо разделить пополам, любую из половинок разделить на три части и взять 2/3. Это и будет 1/3 делимого угла.