Vlastnosti

Od rovnice X 2 + r 2 = z 2 homogénne, keď sa násobí X , r a z za rovnaké číslo dostanete ďalšiu pytagorovskú trojku. Pytagorova trojica sa nazýva primitívny, ak sa to nedá získať týmto spôsobom, teda - relatívne prvočísla.

Príklady

Niektoré pytagorejské trojky (zoradené vzostupne podľa maximálneho počtu, primitívne sú zvýraznené):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Príbeh

Pytagorejské trojky sú známe už veľmi dlho. V architektúre starých mezopotámskych náhrobných kameňov sa nachádza rovnoramenný trojuholník zložený z dvoch pravouhlých so stranami 9, 12 a 15 lakťov. Pyramídy faraóna Snefru (XXVII. storočie pred Kristom) boli postavené pomocou trojuholníkov so stranami 20, 21 a 29, ako aj 18, 24 a 30 desiatok egyptských lakťov.

X Celoruské sympózium o aplikovanej a priemyselnej matematike. Petrohrad, 19. máj 2009

Správa: Algoritmus na riešenie diofantických rovníc.

Článok sa zaoberá metódou štúdia diofantických rovníc a uvádza riešenia riešené touto metódou: - Veľká Fermatova veta; - hľadanie pytagorových trojíc atď. http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html

Odkazy

• E. A. Gorin Mocniny prvočísel v pytagorejských trojiciach // Matematické vzdelanie. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo sú „pytagorejské trojky“ v iných slovníkoch:

V matematike sú Pytagorejské čísla (Pytagorejská trojica) n-ticou troch celých čísel, ktoré spĺňajú pytagorovský vzťah: x2 + y2 = z2. Obsah 1 Vlastnosti ... Wikipedia

Trojice prirodzených čísel také, že trojuholník, ktorého dĺžky strán sú úmerné (alebo rovné) týmto číslam, je pravouhlý, napr. trojica čísel: 3, 4, 5… Veľký encyklopedický slovník

Trojice prirodzených čísel také, že trojuholník, ktorého dĺžka strán je úmerná (alebo sa rovná) týmto číslam, je pravouhlý trojuholník. Podľa vety, inverznej k Pytagorovej vete (pozri Pytagorovu vetu), na to stačí, že ... ... Veľká sovietska encyklopédia

Trojice kladných celých čísel x, y, z spĺňajúce rovnicu x2+y 2=z2. Všetky riešenia tejto rovnice a následne všetky P. p. sú vyjadrené vzorcami x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, kde a, b sú ľubovoľné kladné celé čísla (a>b). P. h... Matematická encyklopédia

Trojice prirodzených čísel také, že trojuholník, ktorého dĺžky strán sú úmerné (alebo rovné) týmto číslam, je napríklad pravouhlý. trojica čísel: 3, 4, 5… Prírodná veda. encyklopedický slovník

Trojky prirodzených čísel také, že trojuholník, ktorého dĺžky strán sú úmerné (alebo rovné) týmto číslam, je pravouhlý, napríklad trojica čísel: 3, 4, 5. * * * PYTAGORANSKÉ ČÍSLA PYTAGORANSKÉ ČÍSLA, trojice prirodzených čísel napr. že ... ... encyklopedický slovník

V matematike je pytagorovská trojica n-ticou troch prirodzených čísel, ktoré spĺňajú pytagorovský vzťah: V tomto prípade sa čísla, ktoré tvoria pytagorovskú trojicu, nazývajú pytagorejské čísla. Obsah 1 Primitívne trojky ... Wikipedia

Pytagorova veta je jednou zo základných teorém euklidovskej geometrie, ktorá stanovuje vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka. Obsah 1 ... Wikipedia

Pytagorova veta je jednou zo základných teorém euklidovskej geometrie, ktorá stanovuje vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka. Obsah 1 Tvrdenia 2 Dôkazy ... Wikipedia

Toto je rovnica v tvare, kde P je celočíselná funkcia (napríklad polynóm s celočíselnými koeficientmi) a premenné nadobúdajú celočíselné hodnoty. Pomenovaný podľa starogréckeho matematika Diofanta. Obsah 1 Príklady ... Wikipedia

vzdelávacie: študovať niekoľko pytagorovských trojíc, vyvinúť algoritmus na ich aplikáciu v rôznych situáciách, zostaviť poznámku o ich použití.

Vzdelávacie: formovanie vedomého postoja k učeniu, rozvoj kognitívnej činnosti, kultúra vzdelávacej práce.

Vzdelávacie: rozvoj geometrickej, algebraickej a numerickej intuície, vynaliezavosti, pozorovania, pamäti.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment

II. Vysvetlenie nového materiálu

Učiteľ: Záhada príťažlivej sily pytagorejských trojíc už dlho znepokojuje ľudstvo. Jedinečné vlastnosti pytagorovských trojíc vysvetľujú ich osobitnú úlohu v prírode, hudbe a matematike. Pytagorovo kúzlo, Pytagorova veta, zostáva v mozgoch miliónov, ak nie miliárd ľudí. Toto je základná veta, ktorú si musí každý školák zapamätať. Hoci Pytagorovu vetu dokážu pochopiť aj desaťročné deti, je to inšpiratívny začiatok problému, ktorý zlyhal najväčším hlavám v dejinách matematiky, Fermatova veta. Pytagoras z ostrova Samos (porov. Príloha 1 , snímka 4) bol jednou z najvplyvnejších, no zároveň záhadných postáv v matematike. Keďže neexistujú žiadne spoľahlivé záznamy o jeho živote a diele, jeho život je zahalený mýtmi a legendami a pre historikov je ťažké oddeliť fakty od fikcie. Niet pochýb o tom, že Pytagoras rozvinul myšlienku logiky čísel a že práve jemu vďačíme za prvý zlatý vek matematiky. Vďaka jeho genialite už čísla neslúžili len na počítanie a výpočty a boli najskôr oceňované. Pytagoras študoval vlastnosti určitých tried čísel, vzťahy medzi nimi a útvary tvoriace čísla. Pytagoras si uvedomil, že čísla existujú nezávisle od hmotného sveta, a preto nepresnosť našich zmyslov neovplyvňuje štúdium čísel. Znamenalo to, že Pytagoras získal schopnosť objavovať pravdy nezávisle od názoru či predsudkov kohokoľvek. Pravdy sú absolútnejšie ako akékoľvek predchádzajúce poznatky. Na základe preštudovanej literatúry týkajúcej sa pytagorovských trojíc nás bude zaujímať možnosť využitia pytagorovských trojíc pri riešení úloh trigonometrie. Preto si stanovíme cieľ: preštudovať niekoľko pytagorovských trojíc, vyvinúť algoritmus na ich aplikáciu, zostaviť poznámku o ich použití a vykonať štúdiu o ich aplikácii v rôznych situáciách.

Trojuholník ( snímka 14), ktorého strany sa rovnajú pytagorovým číslam, je obdĺžnikový. Navyše každý takýto trojuholník je Herónsky, t.j. taký, v ktorom sú všetky strany a plocha celé čísla. Najjednoduchší z nich je egyptský trojuholník so stranami (3, 4, 5).

Urobme sériu pytagorovských trojíc tak, že čísla (3, 4, 5) vynásobíme 2, 3, 4. Dostaneme rad pytagorovských trojíc, zoradíme ich vzostupne podľa maximálneho počtu, vyberieme primitívne.

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Počas vyučovania

1. Vráťme sa k úlohám:

1) Pomocou vzťahov medzi goniometrickými funkciami toho istého argumentu nájdite, či

je známe, že.

2) Nájdite hodnotu goniometrických funkcií uhla?, ak je známe, že:

3) Systém tréningových úloh na tému „Sčítacie vzorce“

s vedomím, že sin = 8/17, cos = 4/5 a sú to uhly prvej štvrtiny, nájdite hodnotu výrazu:

vediac, že ​​a sú uhly druhej štvrtiny, sin = 4/5, cos = - 15/17, nájdite:.

4) Systém tréningových úloh na tému „Vzorce s dvojitým uhlom“

a) Nech sin = 5/13 je uhol druhej štvrtiny. Nájdite sin2, cos2, tg2, ctg2.

b) Je známe, že tg? \u003d 3/4, - uhol tretej štvrtiny. Nájdite sin2, cos2, tg2, ctg2.

c) Je známe, že , 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

d) Je známe, že , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) Nájdite tg( + ), ak je známe, že cos = 3/5, cos = 7/25, kde a sú uhly prvej štvrtiny.

f) Nájsť , je uhol tretej štvrtiny.

Problém riešime tradičným spôsobom pomocou základných goniometrických identít a potom tie isté problémy riešime racionálnejším spôsobom. Na tento účel používame algoritmus na riešenie problémov pomocou pytagorovských trojíc. Vytvárame poznámku na riešenie problémov pomocou pytagorovských trojíc. Aby sme to dosiahli, pripomíname si definíciu sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu, ostrého uhla pravouhlého trojuholníka, znázorníme ho, v závislosti od podmienok problému na stranách pravého trojuholníka, správne usporiadame pytagorove trojice ( ryža. jeden). Zapíšeme pomer a usporiadame znamienka. Algoritmus bol vyvinutý.

Obrázok 1

Algoritmus riešenia problémov

Zopakujte si (preštudujte si) teoretický materiál.

Poznať naspamäť primitívne pytagorejské trojky a v prípade potreby vedieť zostrojiť nové.

Použite Pytagorovu vetu pre body s racionálnymi súradnicami.

Poznať definíciu sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu ostrého uhla pravouhlého trojuholníka, vedieť nakresliť pravouhlý trojuholník a podľa stavu úlohy správne usporiadať pytagorejské trojice na stranách trojuholníka.

Poznať znamienka sínus, kosínus, tangens a kotangens v závislosti od ich umiestnenia v rovine súradníc.

Požadované požiadavky:

1. vedieť, aké znamienka majú sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens v každej zo štvrtín súradnicovej roviny;
2. poznať definíciu sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu ostrého uhla pravouhlého trojuholníka;
3. poznať a vedieť aplikovať Pytagorovu vetu;
4. poznať základné goniometrické identity, vzorce sčítania, vzorce dvojitého uhla, vzorce polovičného argumentu;
5. poznať vzorce znižovania.

Na základe vyššie uvedeného vyplňte tabuľku ( stôl 1). Musí sa vyplniť podľa definície sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu alebo pomocou Pytagorovej vety pre body s racionálnymi súradnicami. V tomto prípade je neustále potrebné pamätať na znamienka sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens v závislosti od ich polohy v súradnicovej rovine.

stôl 1

		Trojice čísel		hriech	cos	tg	ctg
		(3, 4, 5)	I hodina
		(6, 8, 10)	II hodina			-	-
		(5, 12, 13)	3. hodina	-	-
		(8, 15, 17)	IV hodina	-		-	-
		(9, 40, 41)	I hodina

Pre úspešnú prácu môžete použiť poznámku o používaní pytagorovských trojíc.

tabuľka 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Rozhodujeme sa spolu.

1) Úloha: nájdite cos, tg a ctg, ak sin = 5/13, ak - uhol druhej štvrtiny.

Pytagorove trojice čísel

tvorivá práca

študent 8 "A" trieda

MAOU "Gymnázium č. 1"

Oktyabrsky okres Saratov

Panfilová Vladimír

Školiteľ - učiteľ matematiky najvyššej kategórie

Grishina Irina Vladimirovna

Obsah

Úvod……………………………………………………………………………………………………… 3

Teoretická časť práce

Nájdenie základného Pytagorovho trojuholníka

(vzorce starých hinduistov) ……………………………………………………………………… 4

Praktická časť práce

Skladanie pytagorovských trojíc rôznymi spôsobmi……………………………….. 6

Dôležitá vlastnosť pytagorovských trojuholníkov………………………………………...8

Záver………………………………………………………………………………………....9

Literatúra………………………………………………………………………………………... 10

Úvod

V tomto akademickom roku sme na hodinách matematiky študovali jednu z najobľúbenejších teorém v geometrii – Pytagorovu vetu. Pytagorova veta sa v geometrii uplatňuje na každom kroku, našla široké uplatnenie v praxi i každodennom živote. Ale okrem samotnej vety sme študovali aj vetu inverznú k Pytagorovej vete. V súvislosti so štúdiom tejto vety sme sa zoznámili s pytagorovskými trojicami čísel, t.j. s množinami 3 prirodzených čísela , b ac , pre ktorý platí vzťah: = + . Medzi takéto množiny patria napríklad tieto trojičky:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Okamžite som mal otázky: koľko pytagorovských trojíc dokážete vymyslieť? A ako ich skladať?

V našej učebnici geometrie, po predložení vety konvertujúcej k Pytagorovej vete, zaznela dôležitá poznámka: možno dokázať, že nohya ab a preponus pravouhlé trojuholníky, ktorých dĺžky strán sú vyjadrené v prirodzených číslach, možno nájsť podľa vzorcov:

a = 2 km b = k( - )c = k( + , (1)

kdek , m , n sú akékoľvek prirodzené čísla am > n .

Prirodzene vyvstáva otázka - ako dokázať tieto vzorce? A možno len pomocou týchto vzorcov vytvoriť pytagorejské trojky?

Vo svojej práci som sa pokúsil odpovedať na otázky, ktoré mi vyvstali v mysli.

Teoretická časť práce

Nájdenie hlavného pytagorejského trojuholníka (vzorce starých hinduistov)

Najprv dokážme vzorce (1):

Označme dĺžky nôh cezX apri a dĺžka prepony cezz . Podľa Pytagorovej vety máme rovnosť:+ = .(2)

Táto rovnica sa nazýva Pytagorova rovnica. Štúdium pytagorovských trojuholníkov sa redukuje na riešenie rovnice (2) v prirodzených číslach.

Ak sa každá strana nejakého pytagorejského trojuholníka zväčší o rovnaký počet, tak dostaneme nový pravouhlý trojuholník podobný danému so stranami vyjadrenými v prirodzených číslach, t.j. opäť pytagorovský trojuholník.

Medzi všetkými podobnými trojuholníkmi je ten najmenší, je ľahké uhádnuť, že to bude trojuholník, ktorého stranyX apri vyjadrené v hlavných číslach

(gcd (x, y )=1).

Takýto pytagorovský trojuholník nazývamehlavné .

Nájdenie hlavných pytagorovských trojuholníkov.

Nechajte trojuholník (X , r , z ) je hlavný pytagorejský trojuholník. číslaX apri sú coprime, a preto nemôžu byť obe párne. Dokážme, že nemôžu byť oboje nepárne. Za týmto účelom poznamenávameDruhá mocnina nepárneho čísla pri delení 8 dáva zvyšok 1. Akékoľvek nepárne prirodzené číslo môže byť reprezentované ako2 k -1 , kdek patríN .

Odtiaľ: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

čísla( k -1) ak sú za sebou, jeden z nich musí byť párny. Potom výrazk ( k -1) deleno2 , 4 k ( k -1) je deliteľné 8, čo znamená pri delení 8 je zvyšok 1.

Súčet druhých mocnín dvoch nepárnych čísel dáva pri delení 8 zvyšok 2, preto súčet druhých mocnín dvoch nepárnych čísel je párne číslo, ale nie násobok 4, a preto toto číslonemôže byť druhou mocninou prirodzeného čísla.

Takže rovnosť (2) nemôže platiť, akX apri obaja sú zvláštne.

Ak teda Pytagorejský trojuholník (x, y, z ) - hlavný, potom medzi číslamiX apri jeden musí byť párny a druhý musí byť nepárny. Nech je číslo y párne. číslaX az nepárny (nepárnyz vyplýva z rovnosti (2)).

Z rovnice+ = dostaneme to= ( z + X )( z - X ) (3).

číslaz + X az - X keďže súčet a rozdiel dvoch nepárnych čísel sú párne čísla, a preto (4):

z + X = 2 a , z - X = 2 b , kdea ab patriaN .

z + X =2 a , z - X = 2 b ,

z = a+b , X = a - b. (5)

Z týchto rovností vyplýva, žea ab sú relatívne prvočísla.

Dokazujeme to tvrdením z opaku.

Nechajte GCD (a , b )= d , kded >1 .

Potomd z aX , a teda tie číslaz + X az - X . Potom na základe rovnosti (3) by bol deliteľ . V tomto prípaded by bol spoločným deliteľom číselpri aX , ale číslapri aX musí byť coprime.

číslopri je známe, že je párne, takžey = 2 s , kdes - prirodzené číslo. Rovnosť (3) založená na rovnosti (4) má nasledujúcu formu: = 2a*2 b , alebo =ab.

Z aritmetiky je známe, žeak súčin dvoch prvočísel je druhou mocninou prirodzeného čísla, potom každé z týchto čísel je tiež druhou mocninou prirodzeného čísla.

znamená,a = ab = , kdem an sú prvočísla, pretože sú deliteľmi prvočísela ab .

Na základe rovnosti (5) máme:

z = + , X = - , = ab = * = ; c = mn

Potomy = 2 mn .

číslam an , pretože sú coprime, nemôžu byť súčasne. Ale nemôžu byť zároveň nepárne, pretože v tomto prípadex = - by bolo rovnomerné, čo je nemožné. Takže jedno z číselm alebon je párne a druhé je nepárne. samozrejme,y = 2 mn je deliteľné 4. Preto v každom hlavnom pytagorejskom trojuholníku je aspoň jedna z ramien deliteľná 4. Z toho vyplýva, že neexistujú pytagorejské trojuholníky, ktorých všetky strany sú prvočísla.

Získané výsledky možno vyjadriť ako nasledujúca veta:

Všetky hlavné trojuholníky, v ktorýchpri je párne číslo, sa získajú zo vzorca

x = - , r =2 mn , z = + ( m > n ), kdem an - všetky dvojice prvočísel, z ktorých jeden je párny a druhý nepárny (je jedno ktoré). Každá základná pytagorejská trojica (x, y, z ), kdepri – dokonca, je určená jednoznačne týmto spôsobom.

číslam an nemôže byť oboje párne alebo oboje nepárne, pretože v týchto prípadoch

x = by bolo rovnomerné, čo je nemožné. Takže jedno z číselm alebon párne a druhé nepárner = 2 mn deliteľné 4).

Praktická časť práce

Skladanie pytagorovských trojíc rôznymi spôsobmi

V hinduistických vzorcochm an - coprime, ale môžu to byť čísla s ľubovoľnou paritou a je dosť ťažké pomocou nich vytvoriť pytagorejské trojky. Skúsme preto nájsť iný prístup k zostavovaniu pytagorovských trojíc.

= - = ( z - r )( z + r ), kdeX - zvláštny,r - dokonca,z - zvláštny

v = z - r , u = z + r

= UV , kdeu - zvláštny,v – nepárny (koprimový)

Pretože súčin dvoch nepárnych prvočísel je teda druhou mocninou prirodzeného číslau = , v = , kdek al sú coprime, nepárne čísla.

z - r = z + r = k 2 , preto pripočítaním rovnosti a odčítaním od seba dostaneme:

2 z = + 2 r = - to jest

z= y= x = kl

k

l

X

r

z

37

9

1

9

40

41 (snuly)*(100…0 (snuly) +1)+1 =200…0 (s-1nuly) 200…0 (s-1nuly) 1

Dôležitá vlastnosť pytagorovských trojuholníkov

Veta

V hlavnom pytagorejskom trojuholníku je jedna z nôh nutne deliteľná 4, jedna z nôh je nutne deliteľná 3 a plocha pytagorejského trojuholníka je nevyhnutne násobkom 6.

Dôkaz

Ako vieme, v každom Pytagorovom trojuholníku je aspoň jedna z nôh deliteľná 4.

Dokážme, že jedna z nôh je tiež deliteľná 3.

Aby sme to dokázali, predpokladajme, že v Pytagorovom trojuholníku (X , r , z X alebor násobok 3.

Teraz dokážeme, že oblasť Pytagorovho trojuholníka je deliteľná 6.

Každý pytagorovský trojuholník má obsah vyjadrený ako prirodzený násobok 6. Vyplýva to zo skutočnosti, že aspoň jedna z nožičiek je deliteľná 3 a aspoň jedna z nožičiek je deliteľná 4. Plocha trojuholníka, určený polovičným súčinom nôh, musí byť vyjadrený násobkom 6 .

Záver

V práci

- osvedčené receptúry starých hinduistov

- vykonal štúdiu o počte pytagorovských trojíc (je ich nekonečne veľa)

- sú indikované metódy na nájdenie pytagorovských trojíc

- Študoval niektoré vlastnosti pytagorovských trojuholníkov

Pre mňa to bola veľmi zaujímavá téma a hľadanie odpovedí na moje otázky sa stalo veľmi zaujímavou činnosťou. V budúcnosti plánujem zvážiť spojenie Pytagorových trojíc s Fibonacciho postupnosťou a Fermatovou vetou a naučiť sa mnoho ďalších vlastností Pytagorových trojuholníkov.

Literatúra

L.S. Atanasyan "Geometria. 7-9 ročníkov" M.: Vzdelávanie, 2012.

V. Serpinsky „Pytagorejské trojuholníky“ M.: Uchpedgiz, 1959.

Saratov

2014

Štúdium vlastností prirodzených čísel priviedlo Pytagorejcov k ďalšiemu „večnému“ problému teoretickej aritmetiky (teória čísel) – problému, ktorého zárodky sa objavili dávno pred Pytagorasom v starovekom Egypte a starovekom Babylone a všeobecné riešenie nebolo nájdené. do dnešného dňa. Začnime problémom, ktorý možno v moderných podmienkach formulovať takto: vyriešte neurčitú rovnicu v prirodzených číslach

Dnes sa táto úloha volá problém Pytagoras, a jeho riešenia - trojice prirodzených čísel vyhovujúce rovnici (1.2.1) - sa nazývajú Pytagorove trojky. Vzhľadom na zjavnú súvislosť Pytagorovej vety s Pytagorovým problémom môže byť tomuto problému daná geometrická formulácia: nájdite všetky pravouhlé trojuholníky s celými nohami. X, r a celočíselnú preponu z.

Konkrétne riešenia pytagorejského problému boli známe už v staroveku. V papyruse z čias faraóna Amenemheta I. (asi 2000 pred Kr.), uloženom v Egyptskom múzeu v Berlíne, nájdeme pravouhlý trojuholník s pomerom strán (). Podľa najväčšieho nemeckého historika matematiky M. Kantora (1829 - 1920) v starovekom Egypte existovalo zvláštne povolanie harpedonapty- „napínače lana“, ktorí pri slávnostnom ceremoniáli kladenia chrámov a pyramíd vyznačili pravé uhly lanom s 12 (= 3 + 4 + 5) rovnako rozmiestnenými uzlami. Spôsob konštrukcie pravého uhla pomocou harpedonaptov je zrejmý z obrázku 36.

Treba povedať, že ďalší znalec antickej matematiky van der Waerden s Cantorom kategoricky nesúhlasí, hoci samotné proporcie staroegyptskej architektúry svedčia v prospech Cantora. Nech je to akokoľvek, dnes sa nazýva pravouhlý trojuholník s pomerom strán egyptský.

Ako je uvedené na str. 76 sa zachovala hlinená tabuľka pochádzajúca zo starobabylonskej éry, ktorá obsahuje 15 radov pytagorejských trojíc. Okrem triviálnej trojky získanej z egyptského (3, 4, 5) vynásobením 15 (45, 60, 75) existujú aj veľmi zložité pytagorejské trojky, ako (3367, 3456, 4825) a dokonca (12709 , 13500, 18541)! Niet pochýb o tom, že tieto čísla neboli zistené jednoduchým výpočtom, ale nejakými jednotnými pravidlami.

Napriek tomu otázku všeobecného riešenia rovnice (1.2.1) v prirodzených číslach nastolili a vyriešili až Pytagorovci. Všeobecná formulácia akéhokoľvek matematického problému bola cudzia tak starým Egypťanom, ako aj starým Babylončanom. Až Pytagorasom sa začína formovanie matematiky ako deduktívnej vedy a jedným z prvých krokov na tejto ceste bolo riešenie problému pytagorovských trojíc. Staroveká tradícia spája prvé riešenia rovnice (1.2.1) s menami Pytagoras a Platón. Skúsme tieto riešenia zrekonštruovať.

Je jasné, že Pytagoras neuvažoval o rovnici (1.2.1) v analytickej forme, ale vo forme štvorcového čísla , v ktorom bolo potrebné nájsť štvorcové čísla a . Bolo prirodzené reprezentovať číslo vo forme štvorca so stranou r o jednu stranu menej z pôvodný štvorec, t.j. Potom, ako je ľahké vidieť na obrázku 37 (len vidieť!), pre zostávajúce štvorcové číslo musí byť splnená rovnosť. Dostávame sa teda k sústave lineárnych rovníc

Sčítaním a odčítaním týchto rovníc nájdeme riešenie rovnice (1.2.1):

Je ľahké vidieť, že výsledné riešenie dáva prirodzené čísla len pre nepárne . Tak konečne máme

A tak ďalej.Tradícia spája toto rozhodnutie s menom Pytagoras.

Všimnite si, že systém (1.2.2) možno získať aj formálne z rovnice (1.2.1). Naozaj,

odkiaľ, za predpokladu, dospejeme k (1.2.2).

Je jasné, že pytagorejské riešenie bolo nájdené pod dosť prísnym obmedzením () a obsahuje ďaleko od všetkých pytagorovských trojíc. Ďalším krokom je dať , potom , pretože iba v tomto prípade bude štvorcové číslo. Takže systém, ktorý vznikne, bude tiež pytagorovský trojitý. Teraz to hlavné

Veta. Ak p a q prvočísla rôznej parity, potom všetky primitívne pytagorejské trojice nájdeme podľa vzorcov

Beskrovny I.M. jeden

1 OAO Angstrem-M

Cieľom práce je vyvinúť metódy a algoritmy na výpočet pytagorovských trojíc v tvare a2+b2=c2. Proces analýzy bol vykonaný v súlade so zásadami systematického prístupu. Spolu s matematickými modelmi sa používajú aj grafické modely, ktoré zobrazujú každý člen pytagorejskej trojice vo forme zložených štvorcov, z ktorých každý pozostáva zo sady jednotkových štvorcov. Zistilo sa, že nekonečná množina pytagorovských trojíc obsahuje nekonečný počet podmnožín, ktoré sa odlišujú rozdielom medzi hodnotami b–c. Navrhuje sa algoritmus na tvorbu pytagorovských trojíc s akoukoľvek vopred určenou hodnotou tohto rozdielu. Ukazuje sa, že pytagorejské trojice existujú pre akúkoľvek hodnotu 3≤a

Pytagorove trojky

systémová analýza

matematický model

grafický model

1. Anosov D.N. Pohľad na matematiku a niečo z nej. - M.: MTSNMO, 2003. - 24 s.: chor.

2. Ayerland K., Rosen M. Klasický úvod do modernej teórie čísel. – M.: Mir, 1987.

3. Beskrovny I.M. Systémová analýza a informačné technológie v organizáciách: učebnica. - M.: RUDN, 2012. - 392 s.

4. Simon Singh. Fermatova posledná veta.

5. Ferma P. Štúdie v teórii čísel a diofantínovej analýze. – M.: Nauka, 1992.

6. Yaptro. Ucoz, Dostupné na: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Pytagorejské trojice sú kohortou troch celých čísel, ktoré spĺňajú pytagorovský vzťah x2 + y2 = z2. Vo všeobecnosti ide o špeciálny prípad diofantínskych rovníc, konkrétne sústavy rovníc, v ktorých je počet neznámych väčší ako počet rovníc. Sú známe už dávno, od čias Babylonu, teda dávno pred Pytagorasom. A meno získali po tom, čo Pytagoras na ich základe dokázal svoju slávnu vetu. Ako však vyplýva z analýzy mnohých zdrojov, v ktorých sa otázka pytagorejských trojíc tak či onak dotýka, otázka existujúcich tried týchto trojíc a možných spôsobov ich vzniku ešte nebola úplne odhalená.

Takže v knihe Simona Singha sa píše: - "Učeníci a nasledovníci Pytagoras ... povedali svetu tajomstvo nájdenia takzvaných pytagorovských troch k." V nadväznosti na to však čítame: - „Pytagorovci snívali o nájdení ďalších pytagorejských trojíc, iných štvorcov, z ktorých by bolo možné pridať tretí veľký štvorec. ...Ako počet narastá, pytagorejské trojky sú čoraz vzácnejšie a ťažšie a ťažšie sa hľadajú. Pytagorovci vynašli metódu na nájdenie takýchto trojíc a pomocou nej dokázali, že pytagorejských trojíc je nekonečne veľa.

Slová, ktoré spôsobujú zmätok, sú v citáte zvýraznené. Prečo „Pythagorejci snívali o nájdení...“ ak „vynašli metódu na nájdenie takýchto trojíc...“ a prečo pre veľké množstvo „je čoraz ťažšie nájsť ich...“.

V diele slávneho matematika D.V. Anosov, zdá sa, že bola daná požadovaná odpoveď. - „Existujú také trojice prirodzených (t. j. kladných celých čísel) čísel x, y, z, ktoré

x2 + y2 = z2. (jeden)

...je možné nájsť všetky riešenia rovnice x2+y2=z2 v prirodzených číslach? …Áno. Odpoveď je, že každé takéto riešenie môže byť reprezentované ako

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

kde l, m, n sú prirodzené čísla a m>n alebo v podobnom tvare, v ktorom sú x a y zamenené. Môžeme povedať trochu stručnejšie, že x, y, z z (2) so všetkými možnými prirodzenosťami l a m > n sú všetky možné riešenia (1) až po permutáciu x a y. Napríklad trojica (3, 4, 5) sa získa s l=1, m=2, n=1. ... Babylončania túto odpoveď zrejme poznali, ale ako k nej prišli, nie je známe.“

Matematici sú zvyčajne známi svojou náročnosťou v prísnosti svojich formulácií. Ale v tomto citáte sa takáto prísnosť nedodržiava. Takže čo presne: nájsť alebo si predstaviť? Je zrejmé, že ide o úplne odlišné veci. Tu je rad „čerstvo upečených“ trojíc (získaných metódou opísanou nižšie):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Niet pochýb o tom, že každá z týchto trojíc môže byť reprezentovaná vo forme vzťahu (2) a potom môžu byť vypočítané hodnoty l, m, n. Ale to je potom, čo boli nájdené všetky hodnoty trojíc. Ale čo pred tým?

Nedá sa vylúčiť, že odpovede na tieto otázky sú už dávno známe. Z nejakého dôvodu sa však ešte nenašli. Účelom tejto práce je teda systematická analýza súhrnu známych príkladov pytagorovských trojíc, hľadanie systémovotvorných vzťahov v rôznych skupinách trojíc a identifikácia systémových znakov charakteristických pre tieto skupiny a následne vývoj jednoduchých efektívne algoritmy na výpočet trojíc s vopred určenou konfiguráciou. Konfiguráciou rozumieme vzťah medzi veličinami, ktoré tvoria trojku.

Ako súbor nástrojov matematický aparát na úrovni, ktorá nepresahuje rámec matematiky vyučovanej na strednej škole, a systémová analýza založená na metódach opísaných v.

Stavba modelu

Z hľadiska systémovej analýzy je každá Pytagorova trojica systémom tvoreným objektmi, ktorými sú tri čísla a ich vlastnosti. Ich totalita, v ktorej sú objekty umiestnené v určitých vzťahoch a tvoria systém, ktorý má nové vlastnosti, ktoré nie sú vlastné ani jednotlivým objektom, ani žiadnemu inému z ich celku, kde sú objekty umiestnené v iných vzťahoch.

V rovnici (1) sú objektmi systému prirodzené čísla spojené jednoduchými algebraickými vzťahmi: naľavo od znamienka rovnosti je súčet dvoch čísel umocnených na 2, napravo je tretie číslo, tiež umocnené na mocninu 2. Jednotlivé čísla naľavo od rovnosti, umocnené na 2, nekladú žiadne obmedzenia na fungovanie ich sčítania - výsledný súčet môže byť akýkoľvek. Ale znamienko rovnosti umiestnené po operácii súčtu predstavuje systémové obmedzenie hodnoty tohto súčtu: súčet musí byť také číslo, aby výsledkom operácie extrakcie druhej odmocniny bolo prirodzené číslo. A táto podmienka nie je splnená pre žiadne čísla dosadené do ľavej strany rovnosti. Takže znamienko rovnosti vložené medzi dva členy rovnice a tretí zmení trojicu členov na systém. Novinkou tohto systému je zavedenie obmedzení na hodnoty pôvodných čísel.

Na základe formy zápisu možno Pytagorovu trojicu považovať za matematický model geometrického systému pozostávajúceho z troch štvorcov vzájomne prepojených súčtovými a rovnoprávnymi vzťahmi, ako je znázornené na obr. 1. Obr. 1 je grafický model posudzovaného systému a jeho verbálny model je výrok:

Plochu štvorca s dĺžkou strany c možno bezo zvyšku rozdeliť na dva štvorce s dĺžkami strán a a b tak, že súčet ich plôch sa rovná ploche pôvodného štvorca, teda všetkých troch veličiny a, b a c súvisia vzťahom

Grafický model rozkladu štvorca

V rámci kánonov systémovej analýzy je známe, že ak matematický model adekvátne odráža vlastnosti určitého geometrického systému, potom samotná analýza vlastností tohto systému nám umožňuje objasniť vlastnosti jeho matematického modelu. poznať ich hlbšie, objasniť a v prípade potreby zlepšiť. Toto je cesta, po ktorej pôjdeme.

Ujasnime si, že podľa princípov systémovej analýzy je možné operácie sčítania a odčítania vykonávať len na zložených objektoch, teda objektoch zložených z množiny elementárnych objektov. Akýkoľvek štvorec teda budeme vnímať ako obrazec zložený z množiny elementárnych alebo jednotkových štvorcov. Potom je podmienka získania riešenia v prirodzených číslach ekvivalentná akceptovaniu podmienky, že jednotka štvorca je nedeliteľná.

Jednotkový štvorec je štvorec, ktorého dĺžka každej strany je rovná jednej. To znamená, že keď plocha jednotkového štvorca určuje nasledujúci výraz.

Kvantitatívnym parametrom štvorca je jeho plocha, ktorá je určená počtom jednotkových štvorcov, ktoré je možné umiestniť na danú plochu. Pre štvorec s ľubovoľnou hodnotou x určuje výraz x2 plochu štvorca tvorenú segmentmi dĺžky x jednotkových segmentov. Na plochu tohto štvorca je možné umiestniť štvorce x2 jednotiek.

Vyššie uvedené definície môžu byť vnímané ako triviálne a zrejmé, ale nie sú. D.N. Anosov definuje pojem plochy iným spôsobom: - „... plocha postavy sa rovná súčtu plôch jej častí. Prečo sme si istí, že je to tak? ... Predstavíme si postavu z nejakého homogénneho materiálu, potom je jej plocha úmerná množstvu hmoty v nej obsiahnutej – jej hmotnosti. Ďalej sa rozumie, že keď rozdelíme teleso na niekoľko častí, súčet ich hmotností sa rovná hmotnosti pôvodného telesa. Je to pochopiteľné, pretože všetko pozostáva z atómov a molekúl a keďže sa nezmenil ich počet, nezmenila sa ani ich celková hmotnosť... Veď v skutočnosti je hmotnosť kusu homogénneho materiálu úmerná jeho objemu; preto musíte vedieť, že objem "listu", ktorý má tvar danej postavy, je úmerný jej ploche. Jedným slovom, ... že plocha postavy sa rovná súčtu plôch jej častí, v geometrii je potrebné to dokázať. ... V Kiselevovej učebnici bola existencia oblasti, ktorá má práve tú vlastnosť, o ktorej teraz diskutujeme, úprimne postulovaná ako istý druh predpokladu a hovorilo sa, že je to skutočne pravda, ale my to nepreukážeme. Takže Pytagorova veta, ak je dokázaná plochami, v čisto logickom zmysle, zostane nedokázaná úplne.

Zdá sa nám, že vyššie uvedené definície jednotkového štvorca odstraňujú uvedené D.N. Anosova neistota. Koniec koncov, ak je plocha štvorca a obdĺžnika určená súčtom jednotkových štvorcov, ktoré ich vyplňujú, potom keď je obdĺžnik rozdelený na ľubovoľné susedné časti, plocha obdĺžnika sa prirodzene rovná súčet všetkých jeho častí.

Okrem toho zavedené definície odstraňujú neistotu používania pojmov „rozdeliť“ a „sčítať“ vo vzťahu k abstraktným geometrickým útvarom. Čo to vlastne znamená rozdeliť obdĺžnik alebo akúkoľvek inú plochú postavu na časti? Ak je to list papiera, môže sa strihať nožnicami. Ak pozemok - dať plot. Izba - dajte priečku. Čo ak je to nakreslený štvorec? Nakreslite deliacu čiaru a vyhláste, že štvorec je rozdelený? Ale koniec koncov, D.I. Mendelejev: "... Môžete vyhlásiť všetko, ale vy - pokračujte, demonštrujte!"

A pomocou navrhovaných definícií, "Rozdeliť číslo" znamená rozdeliť počet jednotkových štvorcov vypĺňajúcich toto číslo na dve (alebo viac) častí. Počet jednotkových štvorcov v každej z týchto častí určuje jej plochu. Konfiguráciu týchto častí je možné zadať ľubovoľne, ale súčet ich plôch sa bude vždy rovnať ploche pôvodného obrázku. Možno budú matematici považovať tieto argumenty za nesprávne, potom ich budeme brať ako predpoklad. Ak sú takéto predpoklady v učebnici Kiseljova prijateľné, potom by bol hriech, keby sme takúto techniku ​​nepoužili.

Prvým krokom v systémovej analýze je identifikácia problémovej situácie. Na začiatku tejto etapy bolo preskúmaných niekoľko stoviek pytagorejských trojíc nájdených v rôznych zdrojoch. Zároveň sa upriamila pozornosť na skutočnosť, že celú množinu pytagorejských trojíc spomínanú v publikáciách možno rozdeliť do niekoľkých skupín, ktoré sa líšia konfiguráciou. Za znak konkrétnej konfigurácie budeme považovať rozdiel v dĺžkach strán pôvodného a odčítaného štvorca, teda hodnotu c-b. Napríklad v publikáciách sa ako príklad často uvádzajú trojky, ktoré spĺňajú podmienku c-b=1. Predpokladáme, že celá množina takýchto pytagorovských trojíc tvorí množinu, ktorú nazveme „Trieda c-1“ a rozoberieme vlastnosti tejto triedy.

Zoberme si tri štvorce zobrazené na obrázku, kde c je dĺžka strany štvorca, ktorá sa má zmenšiť, b je dĺžka strany štvorca, ktorá sa má odpočítať, a a je dĺžka strany vytvoreného štvorca. z ich odlišnosti. Na obr. 1 je vidieť, že pri odčítaní plochy odčítaného štvorca od plochy zmenšeného štvorca zostávajú vo zvyšku dva pásy jednotkových štvorcov:

Aby sa z tohto zvyšku vytvoril štvorec, musí byť splnená podmienka

Tieto vzťahy nám umožňujú určiť hodnoty všetkých členov trojice jedným daným číslom c. Najmenšie číslo c, ktoré spĺňa vzťah (6) je c = 5. Boli teda určené dĺžky všetkých troch strán štvorcov, ktoré spĺňajú vzťah (1). Pripomeňme, že hodnota b strany stredného štvorca

bol vybraný, keď sme sa rozhodli vytvoriť stredný štvorec zmenšením strany pôvodného štvorca o jednu. Potom zo vzťahov (5), (6). (7) dostaneme nasledujúci vzťah:

z čoho vyplýva, že zvolená hodnota c = 5 jednoznačne určuje hodnoty b = 4, a = 3.

V dôsledku toho sa získajú vzťahy, ktoré umožňujú reprezentovať akúkoľvek pytagorovskú trojicu triedy "c - 1" v takej forme, kde hodnoty všetkých troch členov sú určené jedným špecifikovaným parametrom - hodnotou c:

Dodávame, že číslo 5 vo vyššie uvedenom príklade sa javilo ako minimum zo všetkých možných hodnôt c, pre ktoré má rovnica (6) riešenie v prirodzených číslach. Ďalšie číslo s rovnakou vlastnosťou je 13, potom 25, potom 41, 61, 85 atď. Ako vidíte, v tomto rade čísel sa intervaly medzi susednými číslami rýchlo zväčšujú. Takže napríklad po platnej hodnote je nasledujúca platná hodnota a po nasledujúca platná hodnota je , to znamená, že platná hodnota je viac ako päťdesiat miliónov oproti predchádzajúcej!

Teraz je jasné, odkiaľ sa táto fráza v knihe vzala: - „S pribúdajúcimi číslami sú pytagorejské trojky čoraz menej bežné a je čoraz ťažšie ich nájsť ...“. Toto tvrdenie však nie je pravdivé. Stačí sa pozrieť na pytagorejské trojice zodpovedajúce vyššie uvedeným párom susedných hodnôt c, pretože jedna vlastnosť okamžite upúta pozornosť - v oboch pároch, v ktorých sú hodnoty c oddelené takými veľkými intervalmi, hodnoty jedného sa ukážu ako susedné nepárne čísla. Skutočne, pre prvý pár, ktorý máme

a pre druhý pár

Nie sú to teda samotné trojky, ktoré sú „menej a menej bežné“, ale intervaly medzi susednými hodnotami c sa zväčšujú. Samotné pytagorejské trojnásobky, ako bude ukázané nižšie, existujú pre akékoľvek prirodzené číslo.

Teraz zvážte trojičky ďalšej triedy - "Trieda c-2". Ako je možné vidieť na obr. 1, pri odčítaní od štvorca so stranou c štvorca so stranou (c - 2) je zvyšok súčtom dvoch jednotkových pásiem. Hodnota tohto súčtu je určená rovnicou:

Z rovnice (10) získame vzťah, ktorý definuje ľubovoľnú z nekonečnej množiny trojíc triedy „c-2“:

Podmienkou existencie riešenia rovnice (11) v prirodzených číslach je každá taká hodnota c, pre ktorú a je prirodzené číslo. Minimálna hodnota c, pre ktorú existuje riešenie, je c = 5. Potom je „východisková“ trojica pre túto triedu trojíc určená množinou a = 4, b = 3, c = 5. Teda opäť klasická je vytvorený trojitý 3, 4, 5, len teraz je plocha štvorca, ktorá sa má odpočítať, menšia ako plocha zvyšku.

A na záver si rozoberme trojky triedy „s-8“. Pre túto triedu trojíc, odčítaním plochy štvorca od plochy c2 pôvodného štvorca, dostaneme:

Potom z rovnice (12) vyplýva:

Minimálna hodnota c, pre ktorú existuje riešenie, je c = 13. Pytagorova trojica pri tejto hodnote bude mať tvar 12, 5, 13. V tomto prípade je plocha štvorca, ktorý sa má odpočítať, opäť menšia ako oblasť zvyšku. A usporiadaním označení na miestach dostaneme trojité 5, 12, 13, ktoré svojou konfiguráciou patrí do triedy "c - 1". Zdá sa, že ďalšia analýza ďalších možných konfigurácií neodhalí nič zásadne nové.

Odvodenie vypočítaných pomerov

V predchádzajúcej časti bola logika analýzy vyvinutá v súlade s požiadavkami systémovej analýzy v štyroch z jej piatich hlavných etáp: analýza problémovej situácie, formovanie cieľov, formovanie funkcií a formovanie štruktúry. Teraz je čas prejsť na záverečnú, piatu etapu – test realizovateľnosti, teda test, do akej miery sú ciele dosahované. .

Tabuľka 1 je uvedená nižšie. 1, ktorý ukazuje hodnoty pytagorovských trojíc patriacich do triedy "c - 1". Väčšina trojíc sa nachádza v rôznych publikáciách, ale trojky pre hodnoty rovné 999, 1001 sa v známych publikáciách nenašli.

stôl 1

Pytagorejské trojky triedy "c-1"

Dá sa skontrolovať, či všetky trojky spĺňajú vzťah (3). Jeden zo stanovených cieľov bol teda splnený. Vzťahy (9), (11), (13) získané v predchádzajúcej časti umožňujú vytvoriť nekonečnú množinu trojíc nastavením jediného parametra c, strany redukovaného štvorca. Toto je, samozrejme, konštruktívnejšia možnosť ako vzťah (2), na použitie ktorého by sa mali ľubovoľne nastaviť tri čísla l, m, n, ktoré majú akúkoľvek hodnotu, a potom hľadať riešenie s vedomím, že nakoniec určite sa získa pytagorejská trojka a ktorá je neznáma. V našom prípade je konfigurácia formovanej trojky vopred známa a je potrebné nastaviť iba jeden parameter. Bohužiaľ, nie každá hodnota tohto parametra má riešenie. A musíte vopred poznať jeho prípustné hodnoty. Výsledok je teda dobrý, no zďaleka nie ideálny. Je žiaduce získať také riešenie, aby bolo možné vypočítať pytagorejské trojice pre ľubovoľné ľubovoľne dané prirodzené číslo. Za týmto účelom sa vráťme do štvrtej etapy - formovania štruktúry získaných matematických vzťahov.

Keďže voľba hodnoty c ako základného parametra na určenie zostávajúcich členov trojice sa ukázala ako nepohodlná, treba vyskúšať inú možnosť. Ako je možné vidieť z tabuľky. 1, voľba parametra a ako základného sa zdá byť výhodnejšia, pretože hodnoty tohto parametra sú v rade nepárnych prirodzených čísel. Po jednoduchých transformáciách privádzame vzťahy (9) do konštruktívnejšej podoby:

Vzťahy (14) nám umožňujú nájsť Pytagorovu trojicu pre akúkoľvek vopred priradenú nepárnu hodnotu a. Jednoduchosť výrazu pre b zároveň umožňuje vykonávať výpočty aj bez kalkulačky. Ak napríklad vyberieme číslo 13, dostaneme:

A pre číslo 99 dostaneme:

Vzťahy (15) umožňujú získať hodnoty všetkých troch členov Pytagorovho reťazca pre akékoľvek dané n, počnúc n=1.

Teraz zvážte pytagorejské trojky triedy "c - 2". V tabuľke. 2 je znázornených desať takýchto trojíc ako príklad. Okrem toho sa v známych publikáciách našli iba tri páry trojíc - 8, 15, 23; 12, 35, 36; a 16, 63, 65. Ukázalo sa, že to stačí na určenie vzorov, ktorými sú tvorené. Zvyšných sedem sa zistilo z predtým odvodených vzťahov (11). Pre uľahčenie výpočtu boli tieto pomery transformované tak, že všetky parametre sú vyjadrené ako a. Z (11) zrejme vyplýva, že všetky trojky pre triedu "c - 2" spĺňajú nasledujúce vzťahy:

tabuľka 2

Pytagorejské trojky triedy "c-2"

Ako je možné vidieť z tabuľky. 2 možno celú nekonečnú množinu trojíc triedy "c - 2" rozdeliť na dve podtriedy. V prípade trojíc, kde je hodnota a bezo zvyšku deliteľná 4, sú hodnoty b a c nepárne. Takéto trojky, pre ktoré GCD = 1, sa nazývajú primitívne. Pre trojice, ktorých hodnoty a nie sú deliteľné 4 v celých číslach, sú všetky tri členy trojíc a, b, c párne.

Teraz prejdime k zhodnoteniu výsledkov analýzy tretej z vybraných tried – triedy „c – 8“. Vypočítané vzťahy pre túto triedu získané z (13) majú tvar:

Vzťahy (20), (21) sú v podstate totožné. Rozdiel je len vo výbere postupnosti akcií. Alebo v súlade s (20) sa vyberie požadovaná hodnota a (v tomto prípade je potrebné túto hodnotu vydeliť 4), potom sa určia hodnoty b a c. Alebo sa vyberie ľubovoľné číslo a potom sa zo vzťahov (21) určia všetky tri členy pytagorejskej trojice. V tabuľke. 3 ukazuje počet pytagorovských trojíc vypočítaných týmto spôsobom. Výpočet hodnôt pytagorovských trojíc je však ešte jednoduchší. Ak je známa aspoň jedna hodnota, potom sú všetky nasledujúce hodnoty veľmi jednoducho určené nasledujúcimi vzťahmi:

Tabuľka 3

Platnosť vzťahu (22) pre všetkých môžeme overiť aj trojicami z tabuľky. 2, ako aj z iných zdrojov. Ako príklad v tabuľke. 4 kurzívou písané trojičky z rozsiahlej tabuľky pytagorovských trojíc (10 000 trojíc) vypočítané na základe počítačového programu vzťahom (2) a tučným písmom - trojky vypočítané vzťahom (20). Tieto hodnoty neboli v špecifikovanej tabuľke.

Tabuľka 4

Pytagorejské trojky triedy "s-8"

V súlade s tým sa pre trojnásobok formulára môžu použiť nasledujúce vzťahy:

A pre trojičky formy<>, máme pomer:

Je potrebné zdôrazniť, že vyššie uvedené triedy trojíc "c - 1", "c - 2", "c - 8" tvoria viac ako 90% z prvých tisíc trojíc z tabuľky uvedenej v. To dáva dôvod považovať tieto triedy za základné. Dodajme, že pri odvodzovaní vzťahov (22), (23), (24) neboli použité žiadne špeciálne vlastnosti čísel študované v teórii čísel (prvočíslo, koprimé a pod.). Odhalené zákonitosti pri tvorbe pytagorovských trojíc sú spôsobené iba systémovými vlastnosťami geometrických útvarov opísaných týmito trojicami - štvorcami, pozostávajúcimi zo súboru jednotkových štvorcov.

Záver

Teraz, ako povedal Andrew Wiles v roku 1993: "Myslím, že by som sa tam mal zastaviť." Stanovený cieľ bol plne splnený. Ukazuje sa, že analýza vlastností matematických modelov, ktorých štruktúra je spojená s geometrickými obrazcami, je značne zjednodušená, ak sa v procese analýzy spolu s čisto matematickými výpočtami berú aj geometrické vlastnosti študovaných modelov. do úvahy. Zjednodušenie je dosiahnuté najmä tým, že výskumník „vidí“ požadované výsledky bez vykonávania matematických transformácií.

Napríklad rovnosť

sa stáva zrejmým bez premien na ľavej strane, stačí sa pozrieť na obr. 1 pre grafický model tejto rovnosti.

Výsledkom je, že na základe vykonanej analýzy sa ukazuje, že pre každý štvorec so stranou možno nájsť štvorce so stranami b a c tak, že je pre ne splnená rovnosť a získajú sa vzťahy, ktoré poskytujú výsledky s minimálnym množstvom z výpočtov:

pre nepárne hodnoty a,

a - pre párne hodnoty.

Bibliografický odkaz

Beskrovny I.M. SYSTÉMOVÁ ANALÝZA VLASTNOSTÍ PYTAGOROJSKÝCH TROJOK // Moderné vedy náročné technológie. - 2013. - č. 11. - S. 135-142;
URL: http://site/ru/article/view?id=33537 (dátum prístupu: 20.03.2020). Dávame do pozornosti časopisy vydávané vydavateľstvom "Academy of Natural History"