Tento materiál je venovaný takej koncepcii, ako je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami. V prvom odseku si vysvetlíme, čo to je a ukážeme to na ilustráciách. Potom analyzujeme, akými spôsobmi môžete nájsť sínus, kosínus tohto uhla a samotný uhol (samostatne zvážime prípady s rovinou a trojrozmerným priestorom), uvedieme potrebné vzorce a na príkladoch ukážeme, ako sa používajú. v praxi.

Aby sme pochopili, aký uhol vytvára, keď sa pretínajú dve priame čiary, musíme si zapamätať samotnú definíciu uhla, kolmosti a priesečníka.

Definícia 1

Dve pretínajúce sa priamky nazývame, ak majú jeden spoločný bod. Tento bod sa nazýva priesečník dvoch čiar.

Každá čiara je rozdelená priesečníkom na lúče. V tomto prípade obe priamky zvierajú 4 uhly, z ktorých dva sú vertikálne a dva susedia. Ak poznáme mieru jedného z nich, môžeme určiť ostatné zostávajúce.

Predpokladajme, že vieme, že jeden z uhlov sa rovná α. V tomto prípade sa uhol, ktorý je vzhľadom k nemu vertikálny, bude rovnať α. Aby sme našli zostávajúce uhly, musíme vypočítať rozdiel 180 ° - α. Ak sa α rovná 90 stupňom, všetky uhly budú správne. Priamky pretínajúce sa v pravom uhle sa nazývajú kolmé (pojmom kolmosť je venovaný samostatný článok).

Pozrite sa na obrázok:

Prejdime k formulácii hlavnej definície.

Definícia 2

Uhol tvorený dvoma pretínajúcimi sa čiarami je mierou menšieho zo 4 uhlov, ktoré tieto dve čiary zvierajú.

Z definície treba vyvodiť dôležitý záver: veľkosť uhla v tomto prípade bude vyjadrená ľubovoľným reálnym číslom v intervale (0, 90]. Ak sú priamky kolmé, potom uhol medzi nimi v každom prípade bude byť rovný 90 stupňom.

Schopnosť nájsť mieru uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami je užitočná pri riešení mnohých praktických problémov. Spôsob riešenia je možné vybrať z niekoľkých možností.

Na začiatok môžeme použiť geometrické metódy. Ak vieme niečo o dodatočných uhloch, potom ich môžeme spojiť s uhlom, ktorý potrebujeme, pomocou vlastností rovnakých alebo podobných tvarov. Ak napríklad poznáme strany trojuholníka a potrebujeme vypočítať uhol medzi priamkami, na ktorých sa tieto strany nachádzajú, potom je pre nás vhodná kosínusová veta. Ak máme v podmienke pravouhlý trojuholník, tak sa nám pri výpočtoch bude hodiť aj znalosť sínusu, kosínusu a tangensu uhla.

Súradnicová metóda je tiež veľmi vhodná na riešenie problémov tohto typu. Poďme si vysvetliť, ako ho správne používať.

Máme pravouhlý (karteziánsky) súradnicový systém O x y, v ktorom sú dané dve priamky. Označme ich písmenami a a b. V tomto prípade môžu byť priame čiary opísané pomocou akýchkoľvek rovníc. Pôvodné čiary majú priesečník M. Ako určiť požadovaný uhol (označte ho α) medzi týmito priamkami?

Začnime formulovaním základného princípu hľadania uhla za daných podmienok.

Vieme, že pojem priamka úzko súvisí s pojmami ako smer a normálový vektor. Ak máme rovnicu nejakej priamky, môžeme z nej prevziať súradnice týchto vektorov. Môžeme to urobiť pre dve pretínajúce sa čiary naraz.

Uhol tvorený dvoma pretínajúcimi sa čiarami možno nájsť pomocou:

• uhol medzi smerovými vektormi;
• uhol medzi normálovými vektormi;
• uhol medzi normálovým vektorom jednej priamky a smerovým vektorom druhej.

Teraz zvážime každú metódu samostatne.

1. Predpokladajme, že máme priamku a so smerovým vektorom a → = (a x, a y) a priamku b so smerovým vektorom b → (b x, b y). Teraz odložíme dva vektory a → a b → z priesečníka. Potom uvidíme, že každý bude umiestnený na svojej vlastnej linke. Potom máme štyri možnosti ich relatívnej polohy. Pozri ilustráciu:

Ak uhol medzi týmito dvoma vektormi nie je tupý, potom to bude uhol, ktorý potrebujeme medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b. Ak je tupý, potom sa hľadaný uhol bude rovnať uhlu susediacemu s uhlom a →, b → ^. Teda α = a →, b → ^ ak a →, b → ^ ≤ 90 ° a α = 180 ° - a →, b → ^ ak a →, b → ^> 90 °.

Na základe skutočnosti, že kosínusy rovnakých uhlov sú rovnaké, môžeme výsledné rovnosti prepísať takto: cos α = cos a →, b → ^, ak a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ak a →, b → ^> 90 °.

V druhom prípade boli použité redukčné vzorce. Touto cestou,

cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ ≥ 0 - cos a →, b → ^, cos a →, b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Napíšme posledný vzorec slovami:

Definícia 3

Kosínus uhla vytvoreného dvoma pretínajúcimi sa priamkami sa bude rovnať modulu kosínusu uhla medzi jeho smerovými vektormi.

Všeobecný pohľad na vzorec pre kosínus uhla medzi dvoma vektormi a → = (a x, a y) a b → = (b x, b y) vyzerá takto:

cos a →, b → ^ = a →, b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Z toho môžeme odvodiť vzorec pre kosínus uhla medzi dvoma danými priamkami:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Samotný uhol potom možno nájsť pomocou nasledujúceho vzorca:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tu a → = (a x, a y) a b → = (b x, b y) sú smerové vektory daných čiar.

Uveďme príklad riešenia problému.

Príklad 1

V pravouhlom súradnicovom systéme v rovine sú dané dve pretínajúce sa priamky a a b. Možno ich opísať pomocou parametrických rovníc x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R a x 5 = y - 6 - 3. Vypočítajte uhol medzi týmito čiarami.

Riešenie

V podmienke máme parametrickú rovnicu, čo znamená, že pre túto priamku si môžeme okamžite zapísať súradnice jej smerového vektora. Aby sme to dosiahli, musíme vziať hodnoty koeficientov v parametri, t.j. priamka x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R bude mať smerový vektor a → = (4, 1).

Druhá priamka je opísaná pomocou kanonickej rovnice x 5 = y - 6 - 3. Tu môžeme prevziať súradnice z menovateľov. Táto priamka má teda smerový vektor b → = (5, - 3).

Ďalej prejdeme priamo k hľadaniu uhla. Aby sme to dosiahli, jednoducho dosadíme dostupné súradnice týchto dvoch vektorov do vyššie uvedeného vzorca α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2. Získame nasledovné:

α = arc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a rc cos 17 17 34 = a rc cos 1 2 = 45 °

Odpoveď: Tieto priame čiary zvierajú uhol 45 stupňov.

Podobný problém môžeme vyriešiť nájdením uhla medzi normálovými vektormi. Ak máme priamku a s normálnym vektorom na → = (nax, nay) a priamku b s normálnym vektorom nb → = (nbx, nby), potom sa uhol medzi nimi bude rovnať uhlu medzi na → a nb → alebo uhol, ktorý bude susediť s na →, nb → ^. Táto metóda je znázornená na obrázku:

Vzorce na výpočet kosínusu uhla medzi pretínajúcimi sa priamkami a samotným uhlom pomocou súradníc normálnych vektorov vyzerajú takto:

cos α = cos n a →, n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b 2 n b y + n b y 2

Tu n a → a n b → označujú normálové vektory dvoch daných čiar.

Príklad 2

V pravouhlom súradnicovom systéme sú dve priamky dané pomocou rovníc 3 x + 5 y - 30 = 0 a x + 4 y - 17 = 0. Nájdite sínus, kosínus uhla medzi nimi a hodnotu tohto uhla samotného.

Riešenie

Pôvodné priamky sú dané pomocou rovníc normálnej priamky v tvare A x + B y + C = 0. Normálny vektor označujeme n → = (A, B). Nájdite súradnice prvého normálového vektora pre jednu priamku a zapíšme si ich: n a → = (3, 5). Pre druhú priamku x + 4 y - 17 = 0 bude mať normálový vektor súradnice n b → = (1, 4). Teraz pridajme získané hodnoty do vzorca a vypočítajme súčet:

cos α = cos n a →, n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ak poznáme kosínus uhla, potom môžeme vypočítať jeho sínus pomocou základnej goniometrickej identity. Pretože uhol α tvorený priamkami nie je tupý, potom sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

V tomto prípade α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34.

Odpoveď: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34

Preskúmajme posledný prípad - nájdenie uhla medzi priamkami, ak poznáme súradnice smerového vektora jednej priamky a normálového vektora druhej.

Predpokladajme, že priamka a má smerový vektor a → = (a x, a y) a priamka b je normálový vektor n b → = (n b x, n b y). Musíme tieto vektory odložiť z priesečníka a zvážiť všetky možnosti ich relatívnej polohy. Pozri na obrázku:

Ak hodnota uhla medzi danými vektormi nie je väčšia ako 90 stupňov, ukáže sa, že doplní uhol medzi a a b do pravého uhla.

a →, n b → ^ = 90 ° - α, ak a →, n b → ^ ≤ 90 °.

Ak je menej ako 90 stupňov, dostaneme nasledovné:

a →, n b → ^> 90 °, potom a →, n b → ^ = 90 ° + α

Pomocou pravidla rovnosti kosínusov s rovnakými uhlami píšeme:

cos a →, n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α ako a →, n b → ^ ≤ 90 °.

cos a →, n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α ako a →, n b → ^> 90 °.

Touto cestou,

sin α = cos a →, nb → ^, a →, nb → ^ ≤ 90 ° - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^> 90 ° ⇔ sin α = cos a →, nb → ^, a →, nb → ^> 0 - čos a →, nb → ^, a →, nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Sformulujme záver.

Definícia 4

Ak chcete nájsť sínus uhla medzi dvoma priamkami pretínajúcimi sa v rovine, musíte vypočítať modul kosínusu uhla medzi smerovým vektorom prvého riadku a normálovým vektorom druhého.

Zapíšme si potrebné vzorce. Nájdenie sínusu uhla:

sin α = cos a →, n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Nájdenie samotného rohu:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Tu a → je smerový vektor prvého riadku a n b → je normálový vektor druhého.

Príklad 3

Dve pretínajúce sa priamky sú dané rovnicami x - 5 = y - 6 3 a x + 4 y - 17 = 0. Nájdite uhol priesečníka.

Riešenie

Súradnice smerových a normálových vektorov preberáme z daných rovníc. Ukazuje sa a → = (- 5, 3) a n → b = (1, 4). Zoberieme vzorec α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 a uvažujeme:

α = a rc sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a rc sin 7 2 34

Upozorňujeme, že sme prevzali rovnice z predchádzajúceho problému a dostali sme presne rovnaký výsledok, ale iným spôsobom.

odpoveď:α = a rc sin 7 2 34

Tu je ďalší spôsob, ako nájsť požadovaný uhol pomocou sklonov daných priamych čiar.

Máme priamku a, ktorá je daná v pravouhlom súradnicovom systéme pomocou rovnice y = k 1 x + b 1, a priamku b, ktorá je definovaná ako y = k 2 x + b 2. Sú to rovnice priamych čiar so sklonom. Ak chcete nájsť uhol priesečníka, použite vzorec:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1, kde k 1 a k 2 sú sklony daných priamok. Na získanie tohto záznamu boli použité vzorce na určenie uhla z hľadiska súradníc normálových vektorov.

Príklad 4

V rovine sú dve pretínajúce sa priamky dané rovnicami y = - 3 5 x + 6 a y = - 1 4 x + 17 4. Vypočítajte uhol priesečníka.

Riešenie

Sklony našich čiar sú k 1 = - 3 5 a k 2 = - 1 4. Pridajte ich do vzorca α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 a vypočítajte:

α = arc cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a rc cos 23 20 34 24 17 16 = a rc cos 23 2 34

odpoveď:α = a rc c cos 23 2 34

V záveroch tohto odseku treba poznamenať, že tu uvedené vzorce na nájdenie uhla sa netreba učiť naspamäť. Na to stačí poznať súradnice vodítok a / alebo normálových vektorov daných priamych čiar a vedieť ich určiť pomocou rôznych typov rovníc. Ale je lepšie si zapamätať alebo zapísať vzorce na výpočet kosínusu uhla.

Ako vypočítať uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami v priestore

Výpočet takéhoto uhla možno zredukovať na výpočet súradníc smerových vektorov a určenie hodnoty uhla, ktorý tieto vektory zvierajú. Pre takéto príklady sa používa rovnaké zdôvodnenie, aké sme uviedli predtým.

Povedzme, že máme pravouhlý súradnicový systém umiestnený v 3D priestore. Obsahuje dve priamky a a b s priesečníkom M. Na výpočet súradníc smerových vektorov potrebujeme poznať rovnice týchto priamok. Smerové vektory označujeme a → = (a x, a y, a z) a b → = (b x, b y, b z). Na výpočet kosínusu uhla medzi nimi použijeme vzorec:

cos α = cos a →, b → ^ = a →, b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Aby sme našli samotný uhol, potrebujeme tento vzorec:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Príklad 5

Máme priamku definovanú v trojrozmernom priestore pomocou rovnice x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Je známe, že sa pretína s osou O z. Vypočítajte uhol priesečníka a kosínus tohto uhla.

Riešenie

Označme uhol, ktorý sa má vypočítať, písmenom α. Zapíšme si súradnice smerového vektora pre prvú priamku - a → = (1, - 3, - 2). Pre aplikačnú os môžeme použiť súradnicový vektor k → = (0, 0, 1) ako smer. Dostali sme potrebné údaje a môžeme ich doplniť do požadovaného vzorca:

cos α = cos a →, k → ^ = a →, k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

V dôsledku toho sme dostali, že uhol, ktorý potrebujeme, sa bude rovnať a r c cos 1 2 = 45 °.

odpoveď: cos α = 1 2, α = 45 °.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

V tejto lekcii uvedieme definíciu spolunasmerovaných lúčov a dokážeme vetu o rovnosti uhlov so spolunasmerovanými stranami. Ďalej zadáme definíciu uhla medzi pretínajúcimi sa priamkami a pretínajúcimi sa priamkami. Zvážte, aký môže byť uhol medzi dvoma priamymi čiarami. Na konci lekcie vyriešime niekoľko problémov o hľadaní uhlov medzi pretínajúcimi sa priamkami.

Téma: Rovnobežnosť priamok a rovín

Lekcia: Rohy so spoluriadenými stranami. Uhol medzi dvoma priamymi čiarami

Akákoľvek priamka, napr OO 1(obr. 1.), rozreže rovinu na dve polroviny. Ak lúče OA a О 1 А 1 sú rovnobežné a ležia v rovnakej polrovine, potom sa nazývajú spolurežírovaný.

Nosníky О 2 А 2 a OA nie sú kosmerné (obr. 1.). Sú rovnobežné, ale neležia v rovnakej polrovine.

Ak sú strany dvoch rohov nasmerované spoločne, potom sú tieto uhly rovnaké.

Dôkaz

Dajme nám rovnobežné lúče OA a О 1 А 1 a paralelné lúče OV a Približne 1 v 1(obr. 2.). To znamená, že máme dva rohy AOB a A101B1 ktorých strany ležia na spolunasmerovaných lúčoch. Dokážme, že tieto uhly sú rovnaké.

Na strane lúča OA a О 1 А 1 vyberte body A a A 1 tak, že úsečky OA a О 1 А 1 boli si rovní. Podobne aj body V a V 1 vyberte tak, aby segmenty OV a Približne 1 v 1 boli si rovní.

Zvážte štvoruholník A 1 O 1 OA(Obr. 3.) OA a О 1 А 1 A 1 O 1 OA A 1 O 1 OA OO 1 a AA 1 sú paralelné a rovnaké.

Zvážte štvoruholník В 1 О 1 ОВ... Na tejto strane štvoruholníka OV a Približne 1 v 1 sú paralelné a rovnaké. Rovnobežník, štvoruholník В 1 О 1 ОВ je rovnobežník. Pretože В 1 О 1 ОВ- rovnobežník, potom strany OO 1 a BB 1 sú paralelné a rovnaké.

A rovno AA 1 rovnobežne s priamkou OO 1 a rovno BB 1 rovnobežne s priamkou OO 1 znamená rovný AA 1 a BB 1 sú paralelné.

Zvážte štvoruholník B 1 A 1 AB... Na tejto strane štvoruholníka AA 1 a BB 1 sú paralelné a rovnaké. Rovnobežník, štvoruholník B 1 A 1 AB je rovnobežník. Pretože B 1 A 1 AB- rovnobežník, potom strany AB a A 1 B 1 sú paralelné a rovnaké.

Zvážte trojuholníky AOB a A101B1. strany OA a О 1 А 1 sú rovnaké v štruktúre. strany OV a Približne 1 v 1 sú rovnaké aj v štruktúre. A ako sme dokázali, obe strany AB a A 1 B 1 sú si tiež rovní. Takže trojuholníky AOB a A101B1 rovnaký na troch stranách. Rovnaké trojuholníky majú rovnaké uhly oproti rovnakým stranám. Takže uhly AOB a A101B1 sú rovnaké, podľa potreby.

1) Pretínajúce sa priame čiary.

Ak sa čiary pretínajú, potom máme štyri rôzne uhly. Uhol medzi dvoma priamymi čiarami, sa nazýva najmenší z uhlov medzi dvoma priamkami. Uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b označíme α (obr. 4.). Uhol α je taký, že.

Ryža. 4. Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami

2) Prekrížené rovné čiary

Nechajte rovné čiary a a b kríženie. Vyberme si ľubovoľný bod O... Cez bod O nakreslíme rovnú čiaru 1 rovnobežne s priamkou a a rovno b 1 rovnobežne s priamkou b(obr. 5.). Priamy 1 a b 1 pretínajú v bode O... Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami 1 a b 1, uhol φ, a nazýva sa uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami.

Ryža. 5. Uhol medzi dvoma prekríženými čiarami

Závisí hodnota uhla od zvoleného bodu O? Vyberme si bod O 1... Cez bod O 1 nakreslíme rovnú čiaru a 2 rovnobežne s priamkou a a rovno b 2 rovnobežne s priamkou b(obr. 6.). Uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a 2 a b 2 označovať φ 1... Potom uhly φ a φ 1 - rohy so spolu nasmerovanými stranami. Ako sme ukázali, takéto uhly sú si navzájom rovné. Preto hodnota uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami nezávisí od výberu bodu O.

Priamy OV a CD paralelný, OA a CD krížiť sa. Nájdite uhol medzi priamymi čiarami OA a CD, ak:

1) ∠AOB= 40°.

Vyberme si bod S... Prejdite cez ňu priamku CD... Budeme realizovať CA 1 paralelný OA(obr. 7.). Potom uhol 1 CD- uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami OA a CD... Podľa vety o uhloch so spoločne orientovanými stranami uhol 1 CD rovný uhlu AOB, teda 40°.

Ryža. 7. Nájdite uhol medzi dvoma priamkami

2) ∠AOB= 135 °C.

Urobme rovnakú konštrukciu (obr. 8.). Potom uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami OA a CD sa rovná 45 °, pretože je to najmenší z uhlov, ktoré sa získajú pri pretínaní čiar CD a CA 1.

3) ∠AOB= 90 °.

Urobme rovnakú konštrukciu (obr. 9.). Potom všetky uhly, ktoré sa získajú na priesečníku priamych čiar CD a CA 1 sú rovné 90°. Požadovaný uhol je 90°.

1) Dokážte, že stredy strán priestorového štvoruholníka sú vrcholy rovnobežníka.

Dôkaz

Daj nám priestorový štvoruholník A B C D. M,N,K,L- stred rebier BD,AD,AC,pred Kr respektíve (obr. 10.). Je potrebné to dokázať MNKL- rovnobežník.

Zvážte trojuholník ABD. МN МN paralelný AB a rovná sa jeho polovici.

Zvážte trojuholník ABC. LK- stredná čiara. Vlastnosťou strednej čiary, LK paralelný AB a rovná sa jeho polovici.

A МN a LK paralelný AB... znamená, МN paralelný LK podľa vety o troch rovnobežných priamkach.

Dostaneme to v štvoruholníku MNKL- strany МN a LK sú paralelné a rovnaké, keďže МN a LK rovná polovici AB... Takže na základe rovnobežníka, štvoruholníka MNKL- rovnobežník podľa potreby.

2) Nájdite uhol medzi priamymi čiarami AB a CD ak uhol MNK= 135 °C.

Ako sme už dokázali, МN rovnobežne s priamkou AB. NK- stredná čiara trojuholníka ACD, podľa majetku, NK paralelný DC... Preto cez bod N existujú dve rovné čiary МN a NK ktoré sú rovnobežné s pretínajúcimi sa priamkami AB a DC resp. Preto uhol medzi priamymi čiarami МN a NK je uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami AB a DC... Je nám daný tupý uhol MNK= 135 °C. Uhol medzi rovnými čiarami МN a NK- najmenší z uhlov získaných v priesečníku týchto priamych čiar, to znamená 45 °.

Preskúmali sme teda uhly so súmernými stranami a dokázali sme ich rovnosť. Zvažovali sme uhly medzi pretínajúcimi sa a prekríženými čiarami a vyriešili sme niekoľko problémov, aby sme našli uhol medzi dvoma priamymi čiarami. V ďalšej lekcii budeme pokračovať v riešení problémov a zopakovaní teórie.

1. Geometria. Ročníky 10-11: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (základná a profilová úroveň) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, prepracované a doplnené - M.: Mnemosina, 2008. - 288 s. : chorý.

2. Geometria. Ročník 10-11: Učebnica pre všeobecné vzdelávacie inštitúcie / Sharygin I.F. - M .: Drop, 1999. - 208 s.: Ill.

3. Geometria. 10. ročník: Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie s prehĺbeným a špecializovaným štúdiom matematiky / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. vydanie, stereotyp. - M.: Drop, 008 .-- 233 s. : chorý.

V) pred Kr a D 1 V 1.

Ryža. 11. Nájdite uhol medzi priamymi čiarami

4. Geometria. Ročníky 10-11: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (základná a profilová úroveň) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, prepracované a doplnené - M .: Mnemozina, 2008. - 288 s.: chor.

Úlohy 13, 14, 15 s. 54

Nech sú dva nenulové vektory a dané na rovine alebo v trojrozmernom priestore. Odložte z ľubovoľného bodu O vektory a. Potom platí nasledujúca definícia.

Definícia.

Uhol medzi vektormi a nazval uhol medzi lúčmi OA a OB.

Uhol medzi vektormi a bude označený ako.

Uhol medzi vektormi môže nadobúdať hodnoty od 0 do alebo, čo je to isté, od do.

Keď vektory sú a sú kosmerné, keď vektory sú a sú smerované opačne.

Definícia.

Vektory a sú tzv kolmý ak je uhol medzi nimi (radián).

Ak je aspoň jeden z vektorov nula, potom je uhol nedefinovaný.

Hľadanie uhla medzi vektormi, príkladmi a riešeniami.

Kosínus uhla medzi vektormi a, a teda aj samotný uhol, možno vo všeobecnom prípade nájsť buď pomocou bodového súčinu vektorov, alebo pomocou kosínusovej vety pre trojuholník postavený na vektoroch a.

Pozrime sa na tieto prípady.

Podľa definície je skalárny súčin vektorov. Ak sú vektory a nenulové, potom môžeme obe strany poslednej rovnosti vydeliť súčinom dĺžok vektorov a a dostaneme vzorec na nájdenie kosínusu uhla medzi nenulovými vektormi:. Tento vzorec možno použiť, ak sú známe dĺžky vektorov a ich bodový súčin.

Príklad.

Vypočítajte kosínus uhla medzi vektormi a a nájdite aj samotný uhol, ak sú dĺžky vektorov a rovnaké 3 a 6 a ich skalárny súčin je -9 .

Riešenie.

V stave problému sú uvedené všetky množstvá potrebné na aplikáciu vzorca. Vypočítajte kosínus uhla medzi vektormi a:.

Teraz nájdeme uhol medzi vektormi:.

Odpoveď:

Existujú problémy, kde sú vektory dané súradnicami v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine alebo v priestore. V týchto prípadoch môžete na nájdenie kosínusu uhla medzi vektormi použiť rovnaký vzorec, ale vo forme súradníc. Poďme na to.

Dĺžka vektora je druhá odmocnina súčtu druhých mocnín jeho súradníc, skalárny súčin vektorov sa rovná súčtu súčinov zodpovedajúcich súradníc. teda vzorec na výpočet kosínusu uhla medzi vektormi na rovine má formu, a pre vektory v trojrozmernom priestore -.

Príklad.

Nájdite uhol medzi vektormi v pravouhlom súradnicovom systéme.

Riešenie.

Okamžite môžete použiť vzorec:

Alebo môžete použiť vzorec na nájdenie kosínusu uhla medzi vektormi, po výpočte dĺžok vektorov a bodového súčinu podľa súradníc:

odpoveď:

Problém sa zredukuje na predchádzajúci prípad, keď sú uvedené súradnice troch bodov (napr A, V a S) v pravouhlom súradnicovom systéme a chcete nájsť nejaký uhol (napríklad).

V skutočnosti sa uhol rovná uhlu medzi vektormi a. Súradnice týchto vektorov sa vypočítajú ako rozdiel zodpovedajúcich súradníc bodov konca a začiatku vektora.

Príklad.

Na rovine v karteziánskom súradnicovom systéme sú uvedené súradnice troch bodov. Nájdite kosínus uhla medzi vektormi a.

Riešenie.

Určme súradnice vektorov a podľa súradníc daných bodov:

Teraz pomocou vzorca nájdeme kosínus uhla medzi vektormi v rovine v súradniciach:

odpoveď:

Uhol medzi vektormi a môže byť tiež vypočítaný pomocou kosínusová veta... Ak odložíte od bodu O vektorov a potom pomocou kosínusovej vety v trojuholníku OAV môžeme zapísať, čo je ekvivalentné rovnosti, odkiaľ nájdeme kosínus uhla medzi vektormi. Na aplikáciu výsledného vzorca potrebujeme iba dĺžky vektorov a, ktoré sa dajú ľahko nájsť podľa súradníc vektorov a. Táto metóda sa však prakticky nepoužíva, pretože kosínus uhla medzi vektormi je ľahšie nájsť pomocou vzorca.

Výpočet ortogonálnej projekcie (vlastná projekcia):

Priemet vektora na os l sa rovná súčinu modulu vektora o kosínus uhla φ medzi vektorom a osou, t.j. pr cosφ.

Dokument: Ak φ =< , то пр l =+ = *cos φ.

Ak φ> (φ≤), potom pr l = - = - * cos (-φ) = cosφ (pozri obrázok 10)

Ak φ =, potom pr l = 0 = cos φ.

Dôsledok: Projekcia vektora na os je kladná (záporná), ak vektor zviera s osou ostrý (tupý) uhol, a rovná sa nule, ak je tento uhol pravý.

Dôsledok: Projekcie rovnakých vektorov na rovnakú os sú si navzájom rovné.

Výpočet ortogonálnej projekcie súčtu vektorov (samoprojekcia):

Priemet súčtu niekoľkých vektorov na rovnakú os sa rovná súčtu ich priemetov na túto os.

Doc: Nech je napríklad = + +. Máme pr l = + = + + -, t.j. pr l (+ +) = pr l + pr l + pr l (pozri obrázok 11)

RYŽA. jedenásť

Výpočet súčinu vektora číslom:

Pri vynásobení vektora číslom λ sa týmto číslom vynásobí aj jeho priemet na os, t.j. pr l (λ *) = λ * pr l.

Dôkaz: Pre λ> 0 máme pr l (λ *) = * cos φ = λ * φ = λ * pr l

Keď λl (λ *) = * cos (-φ) = - * (-cosφ) = * cosφ = λ * pr l.

Nehnuteľnosť platí aj pre

Lineárne operácie na vektoroch teda vedú k zodpovedajúcim lineárnym operáciám na projekciách týchto vektorov.

Pozostáva z dvoch rôznych lúčov vychádzajúcich z rovnakého bodu. Lúče sú tzv. strany Y. a ich spoločným pôvodom je vrchol Y. Nech [ VA),[slnko) - strany rohu, V - jeho vrchol je rovina definovaná stranami Y. Obrázok rozdeľuje rovinu na dve postavy. i == l, 2, nazývaný aj U. alebo plochý uhol, tzv. vnútorná plocha bytu W.
Dva rohy sú tzv. rovnaké (alebo zhodné), ak sa dajú zarovnať tak, aby sa ich príslušné strany a vrcholy zhodovali. Z akéhokoľvek lúča v rovine v danom smere od nej môžete odložiť jediné Y., ktoré sa rovná danému Y. Porovnanie Y. sa vykonáva dvoma spôsobmi. Ak sa U. považuje za dvojicu lúčov so spoločným pôvodom, potom na objasnenie otázky, ktorý z dvoch U je väčší, je potrebné spojiť v jednej rovine vrcholy U a jeden pár ich strán ( pozri obr. 1). Ak sa ukáže, že druhá strana jedného W je umiestnená vo vnútri druhého W, potom hovoria, že prvý W je menší ako druhý. Druhý spôsob porovnávania U. je založený na porovnávaní každého U. s určitým číslom. Rovnaké Y. bude zodpovedať rovnakým stupňom alebo (pozri nižšie), väčšie Y. - väčšie číslo, menšie - menšie.

Volali dvaja U. susedné, ak majú spoločný vrchol a jednu stranu a ostatné dve strany tvoria priamku (pozri obr. 2). Vo všeobecnosti sa U. so spoločným vrcholom a jednou spoločnou stranou nazývajú. priľahlé. U. volala. vertikálne, ak sú strany jednej predĺžené za hornú časť strán druhej Y. Vertikálne Y. sú si navzájom rovné. U., pri ktorom strany tvoria priamku, tzv. nasadené. Polovica nasadených U. je tzv. priamy Y. Priamy Y. možno ekvivalentne definovať rôzne: Y., rovný jeho susednému, tzv. priamy. Vnútro plochého Y., ktoré nepresahuje rozvinuté, je konvexná oblasť v rovine. Za mernú jednotku W. sa považuje 90. podiel priameho W., tzv. stupňa.

Používa sa aj miera Y. Číselná hodnota radiánovej miery Y sa rovná dĺžke oblúka vyrezaného stranami Y z jednotkovej kružnice. Jeden radián sa pripisuje U. zodpovedajúcemu oblúku, ktorý sa rovná jeho polomeru. Rozložené U. sa rovná radiánom.
Na priesečníku dvoch priamok ležiacich v rovnakej rovine je tretia priamka tvorená U. (pozri obr. 3): 1 a 5, 2 a 6, 4 a 8, Z a 7 - tzv. zodpovedajúce; 2 a 5, 3 a 8 - vnútorné jednostranné; 1 a 6, 4 a 7 - vonkajšie jednostranné; 3 a 5, 2 a 8 - vnútorné ležiace priečne; 1 a 7, 4 a 6 - ležiace priečne.

V praktickom problémov, je vhodné považovať U. za mieru rotácie pevného lúča okolo jeho začiatku do danej polohy. V závislosti od smeru rotácie Y. v tomto prípade možno uvažovať o pozitívnom aj negatívnom. U. teda v tomto zmysle môže mať akúkoľvek hodnotu. U. ako rotácia lúča sa uvažuje v teórii trigonometrie. funkcie: pre ľubovoľné hodnoty argumentu (Y.) môžete určiť hodnoty trigonometrie. funkcie. Pojem W. v geometrickom. systém, ktorý je založený na bodovo-vektorovej axiomatike, sa zásadne líši od definícií y množstvo spojené s dvoma vektormi pomocou skalárneho násobenia vektorov. Konkrétne, každá dvojica vektorov a a b definuje určitý uhol - číslo spojené s vektormi podľa vzorca

kde ( a, b) - bodový súčin vektorov.
Pojem U. ako plochá postava a ako určitá číselná hodnota sa používa v rôznych geometrických. problémy, v ktorých sa U určuje osobitným spôsobom. Takže pod pojmom Y. medzi pretínajúcimi sa krivkami, ktoré majú v bode priesečníka určité dotyčnice, rozumieme Y. tvorené týmito dotyčnicami.
Uhol medzi priamkou a rovinou sa berie ako uhol tvorený priamkou a jej pravouhlým priemetom do roviny; meria sa v rozsahu od 0

Encyklopédia matematiky. - M .: Sovietska encyklopédia... I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pozrite sa, čo je „ANGLE“ v iných slovníkoch:

žeravý uhlík- uhol / ek / ... Morfemicko-pravopisný slovník

manžel. zlomenina, zlomenina, koleno, lakeť, výčnelok alebo hala (depresia) o jednej tvári. Uhol je lineárny, každé dve protiľahlé priamky a ich interval; rovina alebo rovinný uhol, stretnutie dvoch rovín alebo stien; roh je hrubý, pevný, stretáva sa v jednom ... Dahlov vysvetľujúci slovník

Uhol, o uhle, na (v) rohu a (mat.) V uhle, m. 1. Časť roviny medzi dvoma priamkami vychádzajúcimi z jedného bodu (mat.). Horná časť rohu. Strany rohu. Meranie uhla v stupňoch. Pravý uhol. (90 °). Ostrý roh. (menej ako 90°). Tupý uhol.… … Ušakovov výkladový slovník

INJEKCIA- (1) uhol nábehu medzi smerom prúdenia vzduchu dopadajúceho na krídlo lietadla a tetivou časti krídla. Hodnota zdvihu závisí od tohto uhla. Uhol, pri ktorom je zdvih maximálny, sa nazýva kritický uhol nábehu. Urobte ... ... Veľká polytechnická encyklopédia

- (plochý) geometrický útvar tvorený dvoma lúčmi (stranami uhla) vychádzajúcimi z jedného bodu (vrcholu uhla). Akýkoľvek uhol s vrcholom v strede nejakého kruhu (stredový uhol) definuje oblúk AB na kruhu, ohraničený bodmi ... ... Veľký encyklopedický slovník

Hlava rohu, za rohom, medvedí roh, bez konca rohu, vo všetkých rohoch .. Slovník ruských synoným a výrazov podobných významom. pod. vyd. N. Abramova, M .: Ruské slovníky, 1999. horný roh, rohový hrot; ložisko, prístrešok, deväť, bod, ... ... Slovník synonym

injekciou- uhol, rod. uhol; ponuka o rohu, v (na) rohu a v reči matematikov v rohu; pl. uhly, rod. rohy. V predložkových a stabilných kombináciách: za roh a prípustné za roh (vstúpiť, zabaliť atď.), z rohu do rohu (pohyb, poloha atď.), roh ... ... Slovník problémov s výslovnosťou a stresom v modernej ruštine

UHOL, corner, about a corner, on (in) corner, manžel. 1. (v rohu.). V geometrii: plochá postava tvorená dvoma lúčmi (v 3 hodnotách) vychádzajúcimi z jedného bodu. Horná časť rohu. Priame y. (90 °). Ostré u. (menej ako 90°). Hlúpy y. (viac ako 90°). Vonkajšie a vnútorné ...... Ozhegovov výkladový slovník

injekciou- ANGLE (uhol), uhol, m. Štvrtina stávky, keď sa ohlási, okraj karty je zložený. ◘ Eso a Piková dáma s uhlom // Zabité. A.I. Polezhaev. Deň v Moskve, 1832. ◘ Po večeri rozhádže po stole zlatky, zamieša karty; ponters praskajú paluby, ... ... Terminológia a žargón kariet 19. storočia