Text práce je umiestnený bez obrázkov a vzorcov.
Plná verzia práce je dostupná v záložke „Súbory úloh“ vo formáte PDF

Úvod

Geometria je jednou z najdôležitejších súčastí matematického vzdelávania, ktorá je potrebná na získanie špecifických vedomostí o priestore a prakticky významných zručností, formovanie jazyka na opis predmetov okolitého sveta, na rozvoj priestorovej predstavivosti a intuície, matematickej kultúry , ako aj na estetickú výchovu. Štúdium geometrie prispieva k rozvoju logického myslenia, formovaniu dôkazových schopností.

Kurz geometrie 7. ročníka systematizuje poznatky o najjednoduchších geometrických útvaroch a ich vlastnostiach; zavádza sa pojem rovnosti čísel; rozvíja sa schopnosť dokázať rovnosť trojuholníkov pomocou študovaných znakov; zavádza sa trieda konštrukčných problémov s pomocou kružidla a pravítka; je predstavený jeden z najdôležitejších pojmov - pojem rovnobežné čiary; zvažujú sa nové zaujímavé a dôležité vlastnosti trojuholníkov; jedna z najdôležitejších teorémov v geometrii je považovaná za vetu o súčte uhlov trojuholníka, ktorá nám umožňuje klasifikovať trojuholníky podľa uhlov (ostrouhlé, pravouhlé, tupé).

Počas vyučovania, najmä pri prechode z jednej časti vyučovacej hodiny do druhej, pri zmene činností, vzniká otázka udržania záujmu o vyučovanie. Touto cestou, relevantné vyvstáva otázka aplikácie úloh v triede z geometrie, v ktorej je podmienka problémovej situácie a prvkov tvorivosti. Touto cestou, cieľ tohto štúdia je systematizácia úloh geometrického obsahu s prvkami tvorivosti a problémových situácií.

Predmet štúdia: Problémy v geometrii s prvkami kreativity, zábavy a problémových situácií.

Ciele výskumu: Analyzovať existujúce problémy v geometrii, zamerané na rozvoj logiky, predstavivosti a tvorivého myslenia. Ukážte, ako môžu zábavné techniky rozvíjať záujem o predmet.

Teoretický a praktický význam výskumu spočíva v tom, že zozbieraný materiál je možné využiť v procese ďalšieho vyučovania geometrie, a to na olympiádach a súťažiach v geometrii.

Rozsah a štruktúra štúdia:

Štúdia pozostáva z úvodu, dvoch kapitol, záveru, bibliografického zoznamu, obsahuje 14 strán hlavného strojopisného textu, 1 tabuľku, 10 obrázkov.

Kapitola 1. PLOCHÉ GEOMETRICKÉ OBRÁZKY. ZÁKLADNÉ POJMY A DEFINÍCIE

1.1. Základné geometrické tvary v architektúre budov a stavieb

Vo svete okolo nás je množstvo hmotných predmetov rôznych tvarov a veľkostí: obytné budovy, časti strojov, knihy, šperky, hračky atď.

V geometrii namiesto slova objekt hovoria geometrický útvar, pričom geometrické útvary rozdeľujú na ploché a priestorové. V tomto článku sa budeme zaoberať jednou z najzaujímavejších sekcií geometrie - planimetriou, v ktorej sa berú do úvahy iba rovinné útvary. Planimetrie(z latinčiny planum - „rovina“, iná gréčtina μετρεω - „meriam“) - časť euklidovskej geometrie, ktorá študuje dvojrozmerné (jednorovinné) postavy, to znamená postavy, ktoré možno umiestniť do rovnakej roviny. Plochý geometrický útvar je taký útvar, ktorého všetky body ležia v rovnakej rovine. Myšlienka takejto postavy je daná akýmkoľvek výkresom vyrobeným na liste papiera.

Pred zvažovaním plochých figúrok je však potrebné zoznámiť sa s jednoduchými, no veľmi dôležitými figúrkami, bez ktorých ploché figúry jednoducho nemôžu existovať.

Najjednoduchší geometrický útvar je bodka. Toto je jedna z hlavných postáv geometrie. Je veľmi malý, ale vždy sa používa na stavbu rôznych foriem na rovine. Pointa je hlavnou postavou pre absolútne všetky konštrukcie, dokonca aj pre najvyššiu zložitosť. Bod je z pohľadu matematiky abstraktný priestorový objekt, ktorý nemá také charakteristiky ako plocha, objem, no zároveň zostáva základným pojmom v geometrii.

Rovno- jeden zo základných pojmov geometrie Pri systematickom predstavovaní geometrie sa obyčajne berie priamka ako jeden z východiskových pojmov, ktorý je len nepriamo určený axiómami geometrie (euklidovský). Ak je základom pre konštrukciu geometrie pojem vzdialenosti medzi dvoma bodmi v priestore, potom priamku možno definovať ako čiaru, pozdĺž ktorej sa dráha rovná vzdialenosti medzi dvoma bodmi.

Priame čiary v priestore môžu zaberať rôzne polohy, niektoré z nich zvážime a uvedieme príklady, ktoré sa nachádzajú v architektonickom vzhľade budov a štruktúr (tabuľka 1):

stôl 1

1.2. Ploché geometrické obrazce. Vlastnosti a definície

Pozorovaním foriem rastlín a zvierat, hôr a meandrov riek, čŕt krajiny a vzdialených planét si človek požičal od prírody jej správne formy, veľkosti a vlastnosti. Materiálne potreby podnietili človeka stavať obydlia, vyrábať nástroje na prácu a lov, vyrezávať riad z hliny atď. To všetko postupne prispelo k tomu, že človek dospel k realizácii základných geometrických pojmov.

Štvoruholníky:

Paralelogram(staroveká gréčtina παραλληλόγραμμον z παράλληλος - rovnobežka a γραμμμή - čiara, čiara) je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú po pároch rovnobežné, to znamená, že ležia na rovnobežných čiarach.

Vlastnosti rovnobežníka:

Štvoruholník je rovnobežník, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok: 1. Ak sú protiľahlé strany štvoruholníka v pároch rovnaké, potom štvoruholník je rovnobežník. 2. Ak sa v štvoruholníku pretínajú uhlopriečky a priesečník je rozdelený na polovicu, potom je tento štvoruholník rovnobežníkom. 3. Ak sú v štvoruholníku dve strany rovnaké a rovnobežné, potom tento štvoruholník je rovnobežník.

Nazýva sa rovnobežník so všetkými pravými uhlami obdĺžnik.

Nazýva sa rovnobežník so všetkými rovnakými stranami kosoštvorec.

hrazda- je štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné a ostatné dve strany nie sú rovnobežné. Štvoruholník sa tiež nazýva lichobežník, v ktorom je jeden pár protiľahlých strán rovnobežný a strany nie sú rovnaké.

Trojuholník- Toto je najjednoduchší geometrický útvar tvorený tromi segmentmi, ktoré spájajú tri body, ktoré neležia na jednej priamke. Tieto tri body sa nazývajú vrcholy. trojuholník a segmenty sú strany trojuholník. Práve pre svoju jednoduchosť bol trojuholník základom mnohých meraní. Zememerači pri výpočtoch plôch a astronómovia pri zisťovaní vzdialeností k planétam a hviezdam využívajú vlastnosti trojuholníkov. Tak vznikla veda o trigonometrii - veda o meraní trojuholníkov, o vyjadrení strán cez ich uhly. Plocha akéhokoľvek mnohouholníka je vyjadrená ako plocha trojuholníka: stačí rozdeliť tento mnohouholník na trojuholníky, vypočítať ich plochy a pridať výsledky. Je pravda, že nebolo možné okamžite nájsť správny vzorec pre oblasť trojuholníka.

Vlastnosti trojuholníka boli obzvlášť aktívne študované v 15.-16. Tu je jedna z najkrajších teorém tej doby, vďaka Leonhardovi Eulerovi:

Obrovské množstvo práce na geometrii trojuholníka vykonanej v XY-XIX storočiach vytvorilo dojem, že o trojuholníku je už známe všetko.

Mnohouholník - je to geometrický útvar, zvyčajne definovaný ako uzavretá lomená čiara.

Kruh- ťažisko bodov v rovine, vzdialenosť od ktorej k danému bodu, nazývanému stred kružnice, nepresahuje dané nezáporné číslo, nazývané polomer tejto kružnice. Ak je polomer nula, potom kruh degeneruje do bodu.

Existuje veľké množstvo geometrických tvarov, všetky sa líšia parametrami a vlastnosťami, niekedy prekvapujú svojimi tvarmi.

Pre lepšie zapamätanie a rozlíšenie plochých figúrok podľa vlastností a čŕt som si vymyslel geometrickú rozprávku, ktorú by som vám rád dal do pozornosti v ďalšom odseku.

Kapitola 2

2.1.Hádanky na zostavenie zložitého obrazca zo sady plochých geometrických prvkov.

Po preštudovaní plochých figúrok som si pomyslel, že existujú nejaké zaujímavé problémy s plochými figúrkami, ktoré možno použiť ako úlohy – hry alebo úlohy – hádanky. A prvý problém, ktorý som našiel, bola skladačka Tangram.

Toto je čínska hádanka. V Číne sa tomu hovorí „chi tao tu“, teda sedemdielna mentálna skladačka. V Európe názov "Tangram" s najväčšou pravdepodobnosťou vznikol zo slova "tan", čo znamená "čínsky" a koreňa "gram" (gréčtina - "písmeno").

Najprv musíte nakresliť štvorec 10 x 10 a rozdeliť ho na sedem častí: päť trojuholníkov 1-5 , námestie 6 a rovnobežník 7 . Podstatou puzzle je použiť všetkých sedem dielikov na zostavenie figúrok znázornených na obrázku 3.

Obr.3. Prvky hry "Tangram" a geometrické tvary

Obr.4. Úlohy "Tangram"

Zaujímavé je najmä zhotovovanie „figuratívnych“ polygónov z plochých figúrok, poznajúcich len obrysy predmetov (obr. 4). Viaceré z týchto obrysových úloh som si vymyslel sám a tieto úlohy som ukázal svojim spolužiakom, ktorí sa s radosťou pustili do riešenia úloh a poskladali mnoho zaujímavých polyedrických útvarov podobných obrysom predmetov vo svete okolo nás.

Na rozvoj fantázie môžete využiť aj takéto formy zábavných hlavolamov ako úlohy na vystrihovanie a reprodukovanie daných tvarov.

Príklad 2. Problémy s rezaním (parkiet) sa môžu na prvý pohľad zdať veľmi rôznorodé. Väčšina z nich však používa len niekoľko základných typov rezov (zvyčajne také, ktoré sa dajú použiť na získanie ďalšieho z jedného rovnobežníka).

Poďme sa pozrieť na niektoré techniky rezania. V tomto prípade sa budú volať vyrezané figúrky polygóny.

Ryža. 5. Techniky rezania

Obrázok 5 zobrazuje geometrické tvary, z ktorých môžete zostaviť rôzne ozdobné kompozície a vyrobiť si ozdobu vlastnými rukami.

Príklad 3. Ďalšia zaujímavá úloha, ktorú môžete vymyslieť a zdieľať s ostatnými žiakmi, pričom ten, kto nazbiera najviac narezaných dielikov, je vyhlásený za víťaza. Úloh tohto typu môže byť pomerne veľa. Na kódovanie si môžete vziať všetky existujúce geometrické tvary, ktoré sú rozrezané na tri alebo štyri časti.

6. Príklady úloh na rezanie:

------ - obnovené námestie; - strihať nožnicami;

Hlavná postava

2.2 Rovnako veľké a rovnako zložené postavy

Zvážte ďalšiu zaujímavú techniku ​​​​na rezanie plochých postáv, kde hlavnými "hrdinami" rezania budú polygóny. Pri výpočte plôch polygónov sa používa jednoduchý trik nazývaný metóda delenia.

Vo všeobecnosti sa o mnohouholníkoch hovorí, že sú rovnako zložené, ak po rozrezaní mnohouholníka určitým spôsobom F do konečného počtu častí je možné ich rozdielnym usporiadaním vytvoriť z nich mnohouholník H.

Z toho vyplýva nasledovné veta: Rovnako zložené polygóny majú rovnakú plochu, takže budú považované za rovnakú plochu.

Na príklade rovnako komponovaných polygónov možno uvažovať aj o takom zaujímavom reze, akým je premena „gréckeho kríža“ na štvorec (obr. 7).

Obr.7. Transformácia "gréckeho kríža"

V prípade mozaiky (parkety) tvorenej gréckymi krížmi je dobovým rovnobežníkom štvorec. Úlohu môžeme vyriešiť preložením obkladu štvorcov na obklad krížov tak, aby sa zhodné body jedného obkladu zhodovali so zhodnými bodmi druhého obkladu (obr. 8).

Na obrázku sa zhodné body mozaiky krížikov, konkrétne stredy krížikov, zhodujú so zhodnými bodmi „štvorcovej“ mozaiky – vrcholmi štvorcov. Paralelným posunutím štvorcového obkladu vždy získame riešenie problému. Úloha má navyše niekoľko riešení, ak sa pri príprave parketového ornamentu použije farba.

Obr.8. Parkety zostavené z gréckeho kríža

Ďalší príklad rovnako zložených útvarov možno zvážiť na príklade rovnobežníka. Napríklad rovnobežník je rovnako vzdialený od obdĺžnika (obr. 9).

Tento príklad ilustruje metódu rozdelenia, ktorá spočíva v tom, že na výpočet plochy polygónu sa pokúsime rozdeliť ho na konečný počet častí tak, aby z týchto častí bolo možné vytvoriť jednoduchší polygón, ktorého oblasť už poznáme.

Napríklad trojuholník je rovnako vzdialený s rovnobežníkom s rovnakou základňou a polovičnou výškou. Z tejto pozície sa dá ľahko odvodiť vzorec pre oblasť trojuholníka.

Všimnite si, že pre vyššie uvedenú vetu máme tiež konverzná veta: ak majú dva polygóny rovnakú veľkosť, potom sú rovnaké.

Táto veta, preukázaná v prvej polovici XIX storočia. maďarským matematikom F. Bolyaiom a nemeckým dôstojníkom a matematikom P. Gervinom, môže byť zastúpená aj v tejto podobe: ak je torta v tvare mnohouholníka a polygonálna krabica úplne iného tvaru, ale rovnakého oblasti, potom môžete tortu nakrájať na konečný počet kúskov (bez toho, aby ste ich otočili krémom), ktoré sa dajú vložiť do tejto škatule.

Záver

Na záver podotýkam, že úlohy pre ploché figúrky sú v rôznych zdrojoch zastúpené dostatočne, ale mňa zaujali tie, na základe ktorých som si musel vymyslieť vlastné puzzle úlohy.

Koniec koncov, pri riešení takýchto problémov môžete nielen nazbierať životné skúsenosti, ale aj získať nové vedomosti a zručnosti.

V hádankách, pri stavaní akcií-pohybov pomocou rotácií, posunov, presunov na rovinách alebo ich kompozícií, som získal nové obrázky, ktoré som sám vytvoril, napríklad mnohostenné figúrky z hry Tangram.

Je známe, že hlavným kritériom mobility ľudského myslenia je schopnosť vykonávať určité činnosti v stanovenom časovom období a v našom prípade pohyby figúrok po rovine pomocou obnovy a tvorivej predstavivosti. Štúdium matematiky a najmä geometrie v škole mi preto dá ešte viac vedomostí, aby som ich mohol ďalej uplatniť v mojej budúcej profesijnej činnosti.

Bibliografický zoznam

1. Pavlová, L.V. Netradičné prístupy k výučbe kreslenia: učebnica / L.V. Pavlova. - Nižný Novgorod: Vydavateľstvo NGTU, 2002. - 73 s.

2. Encyklopedický slovník mladého matematika / Komp. A.P. Savin. - M.: Pedagogika, 1985. - 352 s.

3.https://www.srops.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane

4.https://www.votpusk.ru/country/dostoprim_info.asp?ID=16053

Príloha 1

Dotazník pre spolužiakov

1. Viete, čo je hlavolam Tangram?

2. Čo je to „grécky kríž“?

3. Zaujímalo by vás, čo je to „Tangram“?

4. Zaujímalo by vás, čo je to „grécky kríž“?

Opýtaných bolo 22 žiakov 8. ročníka. Výsledky: 22 žiakov nevie, čo je „Tangram“ a „grécky kríž“. 20 študentov by malo záujem dozvedieť sa, ako získať zložitejší obrazec pomocou puzzle Tangram, pozostávajúceho zo siedmich plochých obrazcov.Výsledky prieskumu sú zhrnuté v diagrame.

Dodatok 2

Prvky hry "Tangram" a geometrické tvary

Transformácia "gréckeho kríža"

A kruh- Geometrické tvary, vzájomne prepojené. existuje hraničná línia (krivka) kruh,

Definícia. Kruh je uzavretá krivka, ktorej každý bod je rovnako vzdialený od bodu nazývaného stred kruhu.

Na zostrojenie kruhu sa vyberie ľubovoľný bod O, ktorý sa berie ako stred kruhu, a pomocou kružidla sa nakreslí uzavretá čiara.

Ak je bod O stredu kruhu spojený s ľubovoľnými bodmi na kruhu, všetky výsledné segmenty sa budú navzájom rovnať a takéto segmenty sa nazývajú polomery, skrátené latinským malým alebo veľkým písmenom „er“ ( r alebo R). V kruhu je toľko polomerov, koľko je bodov po obvode.

Úsečka spájajúca dva body kružnice a prechádzajúca jej stredom sa nazýva priemer. Priemer pozostáva z dvoch polomery ležiace na rovnakej priamke. Priemer je označený latinským malým alebo veľkým písmenom „de“ ( d alebo D).

Pravidlo. Priemer kruh sa rovná dvom jeho polomery.

d = 2r
D = 2R

Obvod sa vypočíta podľa vzorca a závisí od polomeru (priemeru) kruhu. Vzorec obsahuje číslo ¶, ktoré ukazuje, koľkokrát je obvod kruhu väčší ako jeho priemer. Číslo ¶ má nekonečný počet desatinných miest. Pre výpočty sa akceptuje ¶ = 3,14.

Obvod kruhu sa označuje latinským veľkým písmenom „ce“ ( C). Obvod kruhu je úmerný jeho priemeru. Vzorce na výpočet obvodu kruhu podľa jeho polomeru a priemeru:

C = ¶d
C = 2r

• Príklady
• Dané: d = 100 cm.
• Obvod: C=3,14*100cm=314cm
• Dané: d = 25 mm.
• Obvod: C=2*3,14*25=157mm

Sečna kruhu a oblúk kruhu

Ľubovoľná sečna (priamka) pretína kruh v dvoch bodoch a rozdeľuje ho na dva oblúky. Veľkosť oblúka kruhu závisí od vzdialenosti medzi stredom a sečnicou a meria sa pozdĺž uzavretej krivky od prvého bodu priesečníka sečny s kružnicou po druhý.

oblúky kruhy sú rozdelené sekanta na veľké a malé, ak sečnica nezhoduje s priemerom, a na dva rovnaké oblúky, ak sečna prechádza pozdĺž priemeru kruhu.

Ak sečna prechádza stredom kružnice, potom jej segment, ktorý sa nachádza medzi priesečníkmi s kružnicou, je priemer kružnice alebo najväčšia tetiva kružnice.

Čím ďalej sa sečna nachádza od stredu kružnice, tým menšia je miera stupňa menšieho oblúka kružnice a tým viac - väčší oblúk kružnice, a segment sečnice, tzv. akord, klesá, keď sa sečna vzďaľuje od stredu kruhu.

Definícia. Kruh je časť roviny, ktorá leží vo vnútri kruhu.

Stred, polomer, priemer kružnice sú zároveň stredom, polomerom a priemerom príslušnej kružnice.

Keďže kruh je súčasťou roviny, jedným z jeho parametrov je plocha.

Pravidlo. Oblasť kruhu ( S) sa rovná súčinu druhej mocniny polomeru ( r2) na číslo ¶.

• Príklady
• Dané: r = 100 cm
• Oblasť kruhu:
• S \u003d 3,14 * 100 cm * 100 cm \u003d 31 400 cm 2 ≈ 3 m 2
• Dané: d = 50 mm
• Oblasť kruhu:
• S \u003d ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm \u003d 1 963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Ak sú v kruhu nakreslené dva polomery do rôznych bodov kruhu, potom sa vytvoria dve časti kruhu, ktoré sa nazývajú sektorov. Ak je tetiva nakreslená v kruhu, potom sa nazýva časť roviny medzi oblúkom a tetivou kruhový segment.

Kruh, jeho časti, ich veľkosti a pomery sú veci, s ktorými sa klenotník neustále stretáva. Prstene, náramky, kasty, trubičky, gule, špirály – treba urobiť veľa okrúhlych vecí. Ako to všetko môžete vypočítať, najmä ak ste mali to šťastie, že ste v škole vynechali hodiny geometrie? ..

Najprv sa pozrime na to, aké časti má kruh a ako sa nazývajú.

• Kruh je čiara, ktorá obklopuje kruh.
• Oblúk je súčasťou kruhu.
• Polomer je úsečka, ktorá spája stred kruhu s bodom na kruhu.
• Tetiva je úsečka, ktorá spája dva body na kruhu.
• Úsečka je časť kružnice ohraničená tetivou a oblúkom.
• Sektor je časť kruhu ohraničená dvoma polomermi a oblúkom.

Množstvá, ktoré nás zaujímajú, a ich označenia:

Teraz sa pozrime, aké úlohy súvisiace s časťami kruhu je potrebné vyriešiť.

• Nájdite dĺžku vývoja ktorejkoľvek časti prsteňa (náramku). Vzhľadom na priemer a tetivu (možnosť: priemer a stredový uhol) nájdite dĺžku oblúka.
• Na rovine je kresba, jej veľkosť si treba zistiť v projekcii po ohnutí do oblúka. Vzhľadom na dĺžku oblúka a priemer nájdite dĺžku tetivy.
• Zistite výšku dielu získaného ohnutím plochého obrobku do oblúka. Možnosti počiatočných údajov: dĺžka a priemer oblúka, dĺžka oblúka a tetiva; nájdite výšku segmentu.

Život vyzve ďalšie príklady, a tie som uviedol len preto, aby som ukázal, že je potrebné nastaviť ľubovoľné dva parametre na nájdenie všetkých ostatných. To je to, čo budeme robiť. Konkrétne vezmeme päť parametrov segmentu: D, L, X, φ a H. Potom, keď z nich vyberieme všetky možné dvojice, budeme ich považovať za počiatočné údaje a všetky ostatné nájdeme brainstormingom.

Aby som čitateľa zbytočne nezaťažoval, nebudem uvádzať podrobné riešenia, ale uvediem len výsledky vo forme vzorcov (budem diskutovať o tých prípadoch, kde neexistuje formálne riešenie).

A ešte jedna poznámka: o jednotkách merania. Všetky veličiny, okrem stredového uhla, sa merajú v rovnakých abstraktných jednotkách. To znamená, že ak napríklad zadáte jednu hodnotu v milimetroch, druhú nie je potrebné zadať v centimetroch a výsledné hodnoty sa budú merať v rovnakých milimetroch (a plochy v milimetroch štvorcových) . To isté možno povedať o palcoch, stopách a námorných míľach.

A iba stredový uhol sa vo všetkých prípadoch meria v stupňoch a nič iné. Pretože, ako ukazuje prax, ľudia, ktorí navrhujú niečo okrúhle, nemajú sklon merať uhly v radiánoch. Fráza „uhol pí o štyri“ mnohých mätie, zatiaľ čo „uhol štyridsaťpäť stupňov“ je zrozumiteľný pre každého, pretože je iba päť stupňov nad normou. Vo všetkých vzorcoch však bude ešte jeden uhol - α - ako medzihodnota. Z hľadiska významu je to polovica stredového uhla, meraná v radiánoch, ale tento význam nemôžete bezpečne preniknúť.

1. Udáva sa priemer D a dĺžka oblúka L

; dĺžka akordu ;
výška segmentu ; centrálny roh .

2. Priemer D a dĺžka tetivy X sú dané

; dĺžka oblúka;
výška segmentu ; centrálny roh .

Keďže akord rozdeľuje kruh na dva segmenty, tento problém nemá jedno, ale dve riešenia. Ak chcete získať druhý, musíte nahradiť uhol α uhlom vo vyššie uvedených vzorcoch.

3. Udáva sa priemer D a stredový uhol φ

; dĺžka oblúka;
dĺžka akordu ; výška segmentu .

4. Vzhľadom na priemer D a výšku segmentu H

; dĺžka oblúka;
dĺžka akordu ; centrálny roh .

6. Vzhľadom na dĺžku oblúka L a stredový uhol φ

; priemer ;
dĺžka akordu ; výška segmentu .

8. Vzhľadom na dĺžku tetivy X a stredový uhol φ

; dĺžka oblúka ;
priemer ; výška segmentu .

9. Vzhľadom na dĺžku tetivy X a výšku segmentu H

; dĺžka oblúka ;
priemer ; centrálny roh .

10. Vzhľadom na stredový uhol φ a výšku segmentu H

; priemer ;
dĺžka oblúka; dĺžka akordu .

Pozorný čitateľ si nemohol nevšimnúť, že mi unikli dve možnosti:

5. Vzhľadom na dĺžku oblúka L a dĺžku tetivy X

7. Vzhľadom na dĺžku oblúka L a výšku segmentu H

To sú práve tie dva nepríjemné prípady, keď úloha nemá riešenie, ktoré by sa dalo napísať vo forme vzorca. A úloha nie je taká zriedkavá. Napríklad máte plochý kus dĺžky L a chcete ho ohnúť tak, aby jeho dĺžka bola X (alebo jeho výška bola H). Aký priemer vziať tŕň (priečnik)?

Táto úloha je zredukovaná na riešenie rovníc:
; - v možnosti 5
; - v možnosti 7
a hoci nie sú riešené analyticky, dajú sa ľahko vyriešiť programovo. A dokonca viem, kde takýto program získať: práve na tejto stránke pod názvom . Všetko, čo tu dlho rozprávam, robí v mikrosekundách.

Na dokončenie obrázku pridajme k výsledkom našich výpočtov obvod a tri hodnoty oblastí - kruh, sektor a segment. (Plochy nám veľmi pomôžu pri výpočte hmotnosti ľubovoľných guľatých a polkruhových častí, ale o tom v samostatnom článku.) Všetky tieto veličiny sú vypočítané pomocou rovnakých vzorcov:

obvod ;
oblasť kruhu ;
sektorová oblasť ;
oblasť segmentu ;

A na záver mi dovoľte, aby som vám ešte raz pripomenul existenciu úplne bezplatného programu, ktorý vykonáva všetky vyššie uvedené výpočty, čím vás zbaví potreby pamätať si, čo je arkus tangens a kde ho hľadať.

Ciele lekcie:

• Vzdelávacie: formovať u žiakov pojem kruhu a kruhu ako geometrických útvarov, oboznámiť ich s históriou vzniku týchto útvarov, históriou vzniku kružidla;
• Rozvíjanie: rozvíjať logické myslenie, vizuálno-figuratívne znázornenie matematických pojmov;
• Výchovné: naďalej formovať estetický postoj k predmetu, grafickú kultúru.

"Zo všetkých postáv je najkrajší kruh"

Pytagoras

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

2. Motivácia hodiny.

V starovekom Grécku bol kruh a obvod považovaný za korunu dokonalosti. V každom svojom bode je kruh usporiadaný rovnakým spôsobom, čo mu umožňuje pohybovať sa samostatne. Táto vlastnosť kruhu bola impulzom pre vznik kolesa, keďže náprava a náboj kolesa musia byť vždy v kontakte. Bohužiaľ, vynálezca kolesa je neznámy. Koleso je úžasné! Čo je na ňom zvláštne? - myslíš. Ale to je len na prvý pohľad. Predstavte si na chvíľu, že sa náhle stala katastrofa: všetky kolesá zmizli na Zemi!

Úplne prvé kolesá boli vyrobené v Mezopotámii (dnes Irak) v rokoch 3500-3000 pred Kristom. BC e. a predstavoval hrnčiarsky kruh a vozový kruh.

Nielen v procese práce sa ľudia zoznamovali s rôznymi postavami. Od dávnych čias sa radi zdobili seba, svoje oblečenie, svoje domovy. A mnohé z ozdôb vytvorených už dávno mali takú či onakú podobu.

Korálky boli guľovité, náramky a prstene mali tvar kruhu. Starovekí remeselníci sa naučili, ako dať krásny tvar bronzu, zlatu, striebru a drahým kameňom. Kruh používali aj umelci, ktorí maľovali paláce.

Od vynálezu hrnčiarskeho kruhu sa ľudia naučili vyrábať okrúhle riady – hrnce, vázy, amfory. Okrúhle boli aj stĺpy podopierajúce budovy. Najdôležitejšia medzi okrúhlymi telami bola lopta.

Teraz sa pozrime bližšie na obvod a kruh.

3. Aktualizácia základných poznatkov.

V tejto fáze hodiny sú deti informované o pokračovaní štúdia geometrických tvarov. Pripomínajú sa predtým študované geometrické útvary (segment, priamka, uhol, obdĺžnik, štvorec atď.) a uvádza sa, že dnes sa zoznámime s ďalšími dvoma. Uvádzajú a zobrazujú sa príklady zo života predmetov, ktoré majú tvar kruhu (ciferník, pohár a pod.). Zvyčajne chlapci nazývajú tieto postavy, kto je kruh, kto je kruh. Ktorá z nich má pravdu? Aby sme odpovedali na tieto otázky, obrátime sa na geometriu. Čo znamená v geometrii kruh a čo je kruh.

4. Učenie sa nového materiálu.

1) Kruh je množina bodov v rovine, ktoré sú v rovnakej vzdialenosti od jedného bodu.

Kruh rozdeľuje rovinu na 2 časti.

Časť roviny, ktorá nie je vo vnútri kružnice spolu s touto kružnicou, sa nazýva kružnica.

Kruh má jednu priateľku

Jej vzhľad pozná každý.

Kráča na okraji kruhu

A volá sa... Kruh.

2) Uvádza sa znázornenie a definícia kružnice, stredu, polomeru a priemeru, tetivy kružnice. Uvažuje sa vzorec pre vzťah medzi polomerom a priemerom jedného kruhu. Hlásenie historických informácií

„radius“ (v preklade z latinčiny – lúč) sa prvýkrát nachádza v „geometrii“ francúzskeho vedca Ramusa, publikovanej v roku 1569, potom vo F. Viete; pojem "polomer" sa stal všeobecne akceptovaným až koncom 17. storočia.

„akord“ (z gréckeho „akord“ - struna) zaviedli v modernom zmysle európski vedci v storočiach XII-XIII.

Obsahuje priemer polomery? Ako?

3) Ukazuje sa, ako sa pomocou kružidla vytvára kruh.

Samozrejme, skúsení, vyškolení ľudia veľmi obratne zobrazujú kruh jedným ťahom. Hovorí sa, že veľký nemecký umelec Albrecht Dürer dokázal jediným pohybom ruky nakresliť kruh tak presne, že následná kontrola kružidlom nepreukázala žiadne odchýlky. Ako sa mu to podarilo? Chcem vám predstaviť pravidlo, ktoré vám umožňuje urobiť požadovaný obrázok ručne.

Odkaz na históriu.

Najstarší železný kompas bol objavený vo Francúzsku pri vykopávkach starovekej mohyly. Leží v zemi viac ako 2000 rokov. V popole, ktorý zasypal grécke mesto Pompeje, archeológovia objavili množstvo bronzových kompasov. Kompas bol vždy nepostrádateľným pomocníkom architektov a staviteľov. Nie je náhoda, že na fasáde jedného z najstarších a najkrajších chrámov v Gruzínsku je zobrazená ruka architekta a za ňou je kompas.

V starovekom Rusku milovali vzor malých kruhov. Archeológovia našli pri vykopávkach v Novgorode oceľový kružidlo na kreslenie takéhoto vzoru. Na tomto nástroji je niečo, čo človeka núti zaobchádzať s ním s rešpektom. Takto opísal Y. Oleina, autor slávnej rozprávky „Tri tuční muži“, svoje zoznámenie sa s ním v detstve: „V zamatovej posteli, pevne zvierajúc nohy, leží studený šumivý kompas. Má ťažkú ​​hlavu. Mám v úmysle to vyzdvihnúť. Zrazu sa otvorí a podá injekciu do ruky.“

4) Zohľadňuje sa vzájomná poloha priamky a kružnice.

Zavádza sa pojem a vlastnosť dotyčnice ku kružnici.

5) Uvažuje sa o vzájomnom usporiadaní dvoch kruhov.

Koncept sústredného kruhu.

5. Konsolidácia nového materiálu.

Riešenie č. 506, 508(2), 509.

6. Samostatná práca.

Pracujte vo dvojiciach s učebnicou.

Problém str.137.

7. Výsledky vyučovacej hodiny. Reflexia. D / s.

Naučte sa položku 17, otázky str. 137, riešiť za 7 bodov č.505, za 9 bodov č.508 (1), za 11 bodov č.514.

Kreatívna úloha: vytvorte vzor kruhov. Hodnotené samostatne.

Teraz pokračujte vo vetách, ktoré vidíte na tabuli:

Dnes som zistil...

Bolo to zaujímavé…

Uvedomil som si...

Teraz môžem…

Učil som sa…

Zvládol som…

Dnes sme sa v lekcii naučili, čo je kruh, kruh, ako sa líšia. Zoznámili sme sa s nástrojom - kompasom. Naučil sa s ním stavať kruh. Získajte informácie o polomere a priemere. V škole sa vlastnosti kruhu a kruhu študujú do 11. ročníka, ale prvé nápady by žiaci mali mať už v 6. ročníku.