Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia

Stredná škola Savinskaja

Výskum

Rovnobežník a jeho nové vlastnosti

Vykonal: žiak 8. ročníka

Stredná škola MBOU Savinskaya

Kuznetsova Svetlana, 14 rokov

Vedúci: učiteľ matematiky

Tulčevskaja N.A.

Savino

Ivanovský región, Rusko

2016

ja Úvod ________________________________________________ strana 3

II. Z histórie rovnobežníka ____________________________________ strana 4

III Ďalšie vlastnosti rovnobežníka _______________________strana 4

IV. Dôkaz o vlastnostiach ______________________________________ strana 5

V. Riešenie problémov pomocou ďalších vlastností __________strana 8

VI. Aplikácia vlastností rovnobežníka v živote _____________________strana 11

VII. Záver __________________________________________________ strana 12

VIII. Literatúra __________________________________________________ strana 13

Úvod

"Medzi rovnakými hlavami

pri podobnosť iných podmienok

lepší ako tí, ktorí poznajú geometriu“

(Blaise Pascal).

Pri štúdiu témy "Paralelogram" na hodinách geometrie sme zvažovali dve vlastnosti rovnobežníka a tri vlastnosti, ale keď sme začali riešiť úlohy, ukázalo sa, že to nestačí.

Mal som otázku, či má rovnobežník nejaké ďalšie vlastnosti a ako pomôžu pri riešení problémov.

A rozhodol som sa študovať ďalšie vlastnosti rovnobežníka a ukázať, ako ich možno použiť na riešenie problémov.

Predmet štúdia : rovnobežník

Predmet štúdia : vlastnosti rovnobežníka
Cieľ:

formulácia a dôkaz ďalších vlastností rovnobežníka, ktoré sa v škole neštudujú;

použitie týchto vlastností na riešenie problémov.

Úlohy:

Študovať históriu rovnobežníka a históriu vývoja jeho vlastností;

Nájdite ďalšiu literatúru o skúmanom probléme;

Študovať ďalšie vlastnosti rovnobežníka a dokázať ich;

Ukážte použitie týchto vlastností pri riešení problémov;

Zvážte uplatnenie vlastností rovnobežníka v živote.
Výskumné metódy:

Práca s náučnou a vedeckou – populárnou literatúrou, internetovými zdrojmi;

Štúdium teoretického materiálu;

Výber rozsahu úloh, ktoré možno vyriešiť pomocou dodatočných vlastností rovnobežníka;

Pozorovanie, porovnávanie, analýza, analógia.

Dĺžka štúdia : 3 mesiace: január-marec 2016

1. Z histórie rovnobežníka

V učebnici geometrie čítame nasledujúcu definíciu rovnobežníka: Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné v pároch.

Slovo "paralelogram" sa prekladá ako "rovnobežné čiary" (z gréckych slov Parallelos - rovnobežka a gram - čiara), tento pojem zaviedol Euklides. Euclid vo svojej knihe „Elements“ dokázal nasledujúce vlastnosti rovnobežníka: protiľahlé strany a uhly rovnobežníka sú rovnaké a uhlopriečka ho pretína. Euklides nespomína priesečník rovnobežníka. Až koncom stredoveku bola vyvinutá úplná teória rovnobežníkov a až v 17. storočí sa v učebniciach objavili rovnobežníkové vety, ktoré sa dokazujú pomocou Euklidovej vety o vlastnostiach rovnobežníka.

III Ďalšie vlastnosti rovnobežníka

V učebnici geometrie sú uvedené iba 2 vlastnosti rovnobežníka:

Opačné uhly a strany sú rovnaké

Uhlopriečky rovnobežníka sa pretínajú a priesečník je rozdelený na polovicu

V rôznych zdrojoch o geometrii možno nájsť nasledujúce dodatočné vlastnosti:

Súčet susedných uhlov rovnobežníka je 180°

Osa uhla rovnobežníka z neho odreže rovnoramenný trojuholník;

Bisektory opačných uhlov rovnobežníka ležia na rovnobežkách;

Osy susedných uhlov rovnobežníka sa pretínajú v pravých uhloch;

Priesečníky všetkých uhlov rovnobežníka tvoria pri pretínaní obdĺžnik;

Vzdialenosti od protiľahlých rohov rovnobežníka k jednej a tej istej uhlopriečke sú rovnaké.

Ak spojíte opačné vrcholy v rovnobežníku so stredmi protiľahlých strán, získate ďalší rovnobežník.

Súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná dvojnásobku súčtu druhých mocnín jeho priľahlých strán.

Ak nakreslíme výšky z dvoch protiľahlých uhlov v rovnobežníku, dostaneme obdĺžnik.

IV Dôkaz vlastností rovnobežníka

Súčet susedných uhlov rovnobežníka je 180 0

Dané:

ABCD je rovnobežník

dokázať:

A+
B=

dôkaz:

A a
B - vnútorné jednostranné rohy s rovnobežnými priamkami BC AD a sečna AB, tak
A+
B=

2

Vzhľadom na to: A B C D - rovnobežník,

AK -sektor
ALE.

dokázať: AVK - rovnoramenné

dôkaz:

1)
1=
3 (krížom s BC AD a secant AK ),

2)
2=
3, pretože AK je os,

znamená 1=
2.

3) ABK je rovnoramenný, pretože 2 uhly trojuholníka sú rovnaké

. Osa uhla rovnobežníka z neho odreže rovnoramenný trojuholník

3

Vzhľadom na to: ABCD je rovnobežník

AK je osou A,

СР je osou C.

dokázať: AK ║ SR

dôkaz:

1) 1=2 od AK-sektora

2) 4=5 pretože SR - bisektor

3) 3=1 (priečne ležiace uhly pri

BC ║ AD a AK-sekant),

4) A \u003d C (vlastnosťou rovnobežníka), čo znamená 2 \u003d 3 \u003d 4 \u003d 5.

4) Z odsekov 3 a 4 vyplýva, že 1 = 4 a tieto uhly zodpovedajú priamkam AK a SR a sečnici BC,

teda AK ║ SR (na základe rovnobežiek)

. Osy protiľahlých uhlov rovnobežníka ležia na rovnobežkách

Osy susedných uhlov rovnobežníka sa pretínajú v pravých uhloch

Vzhľadom na to: ABCD - rovnobežník,

os AC A,

Stred DP D

dokázať: DP AK.

dôkaz:

1) 1 = 2, pretože AK - bisector

Nech 1=2=x, potom A=2x,

2) 3 = 4, pretože D P - osička

Nech 3=4=y, potom D=2y

3) A + D \u003d 180 0, pretože súčet susedných uhlov rovnobežníka je 180

2) Zvážte OD

1+3 = 90 0 potom
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Priesečníky všetkých uhlov rovnobežníka tvoria pri pretínaní obdĺžnik

Vzhľadom na to: ABCD - rovnobežník, AK-sektor A,

DP-osektor D,

CM je stred C,

BF -sektor B.

dokázať: KRNS -obdĺžnik

dôkaz:

Na základe predchádzajúcej vlastnosti 8=7=6=5=90 0 ,

znamená, že KRNS je obdĺžnik.

Vzdialenosti od protiľahlých rohov rovnobežníka k jednej a tej istej uhlopriečke sú rovnaké.

Vzhľadom na to: ABCD-rovnobežník, AC-uhlopriečka.

VC AU, D.P. AC

dokázať: BK = DP

dôkaz: 1) DCP \u003d KAB, ako interný krížovo ležiaci na AB ║ CD a sečna AC.

2) AKB= CDP (pozdĺž strany a dvoch susedných rohov AB=CD CD P=AB K).

A v rovnakých trojuholníkoch sú zodpovedajúce strany rovnaké, takže DP \u003d BK.

Ak spojíte opačné vrcholy v rovnobežníku so stredmi protiľahlých strán, získate ďalší rovnobežník.

Vzhľadom na to: ABCD rovnobežník.

dokázať: VKDP je rovnobežník.

dôkaz:

1) BP=KD (AD=BC, body K a P

rozpolte tieto strany)

2) BP ║ KD (ležať na AD BC)

Ak sú protiľahlé strany štvoruholníka rovnaké a rovnobežné, potom je tento štvoruholník rovnobežníkom.

Ak nakreslíme výšky z dvoch protiľahlých uhlov v rovnobežníku, dostaneme obdĺžnik.

Súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná dvojnásobku súčtu druhých mocnín jeho priľahlých strán.

Vzhľadom na to: ABCD je rovnobežník. BD a AC sú uhlopriečky.

dokázať: AC 2 + BD 2 = 2 (AB 2 + AD 2 )

dôkaz: 1)OPÝTAŤ SA: AC ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + PD 2 (podľa Pytagorovej vety)

3) AC ²+ BD ²=SC²+A K²+B Р²+РD ²

4) SK = BP = H(výška )

5) AC 2 +VD 2 = H 2 + A TO 2 + H 2 +PD 2

6) Nechať byť D K=A P = x, potom C TOD : H 2 = CD 2 - X 2 podľa Pytagorovej vety )

7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+VD ² = 2CD 2 -2x 2 + A TO 2 +PD 2

8) A TO=AD+ X, RD=AD- X,

AC²+VD ² = 2CD 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -X) 2 ,

AC²+ IND²=2 ODD²-2 X²+AD 2 +2AD X+ X 2 + AD 2 -2AD X+ X 2 ,
AC²+ IND² = 2 CD 2 +2AD 2 = 2 (CD 2 + AD 2 ).

V . Riešenie problémov pomocou týchto vlastností

Priesečník osi dvoch uhlov rovnobežníka susediaceho s jednou stranou patrí protiľahlej strane. Kratšia strana rovnobežníka je 5 . Nájdite jeho veľkú stránku.

Vzhľadom na to: ABCD je rovnobežník,

AK - bisector
ALE,

D K - osička
D, AB = 5

Nájsť: slnko

Riešenie

Riešenie

Pretože AK - bisector
A, potom je ABC rovnoramenné.

Pretože D K - osička
D teda DCK - rovnoramenný

DC \u003d C K \u003d 5

Potom VS=VK+SK=5+5 = 10

odpoveď: 10

2. Nájdite obvod rovnobežníka, ak os jedného z jeho uhlov rozdeľuje stranu rovnobežníka na segmenty 7 cm a 14 cm.

1 prípad

Vzhľadom na to:
ALE,

VK=14 cm, KS=7 cm

Nájsť: R rovnobežník

Riešenie

BC=VK+KS=14+7=21 (cm)

Pretože AK - bisector
A, potom je ABC rovnoramenné.

AB=BK=14 cm

Potom P \u003d 2 (14 + 21) \u003d 70 (cm)

deje

Vzhľadom na to: ABCD je rovnobežník,

D K - osička
D,

VK=14 cm, KS=7 cm

Nájsť: R rovnobežník

Riešenie

BC=VK+KS=14+7=21 (cm)

Pretože D K - osička
D teda DCK - rovnoramenný

DC \u003d C K \u003d 7

Potom P \u003d 2 (21 + 7) \u003d 56 (cm)

odpoveď: 70 cm alebo 56 cm

3. Strany rovnobežníka sú 10 cm a 3 cm Stredy dvoch uhlov susediacich s väčšou stranou rozdeľujú protiľahlú stranu na tri segmenty. Nájdite tieto segmenty.

1 prípad: osi sa pretínajú mimo rovnobežníka

Vzhľadom na to: ABCD - rovnobežník, AK - bisector
ALE,

D K - osička
D, AB = 3 cm, BC = 10 cm

Nájsť: BM, MN, NC

Riešenie

Pretože AM - bisector
A potom je AVM rovnoramenný.

Pretože DN - bisector
D teda DCN - rovnoramenný

DC=CN=3

Potom MN \u003d 10 - (BM + NC) \u003d 10 - (3 + 3) \u003d 4 cm

2 prípad: osi sa pretínajú vo vnútri rovnobežníka

Pretože AN - bisector
A, potom ABN je rovnoramenný.

AB=BN = 3 D

A posuvná mriežka - presuňte sa do požadovanej vzdialenosti vo dverách

Paralelogramový mechanizmus- štvorčlánkový mechanizmus, ktorého články tvoria rovnobežník. Používa sa na realizáciu translačného pohybu kĺbových mechanizmov.

Paralelogram s pevným spojením- jeden článok je nehybný, opačný robí kývavý pohyb, pričom zostáva rovnobežný s nehybným. Dva paralelogramy spojené za sebou dávajú konečnému spoju dva stupne voľnosti, pričom je rovnobežný s pevným.

Príklady: stierače predného skla autobusov, vysokozdvižné vozíky, trojnožky, vešiaky, vešiaky do auta.

Rovnobežník s pevným pántom- vlastnosť rovnobežníka sa využíva na udržanie konštantného pomeru vzdialeností medzi tromi bodmi. Príklad: kresliaci pantograf - zariadenie na úpravu mierky výkresov.

Rhombus- všetky články sú rovnako dlhé, priblíženie (stiahnutie) dvojice protiľahlých závesov vedie k roztiahnutiu ďalších dvoch závesov. Všetky odkazy fungujú v kompresii.

Príkladom je automobilový diamantový zdvihák, električkový pantograf.

nožnicový alebo Mechanizmus v tvare X, taktiež známy ako Norimberské nožnice- variant kosoštvorca - dva články spojené v strede závesom. Výhodou mechanizmu je kompaktnosť a jednoduchosť, nevýhodou je prítomnosť dvoch posuvných párov. Dva (alebo viac) takýchto mechanizmov, zapojených do série, tvoria v strede kosoštvorec. Používa sa vo výťahoch, detských hračkách.

VII Záver

Kto sa matematike venuje od detstva,

rozvíja pozornosť, trénuje si mozog,

vlastná vôľa, pestuje vytrvalosť

a vytrvalosť pri dosahovaní cieľa

A. Markuševič

V priebehu práce som dokázal ďalšie vlastnosti rovnobežníka.

Bol som presvedčený, že aplikáciou týchto vlastností dokážete vyriešiť problémy rýchlejšie.

Ako sa tieto vlastnosti aplikujú, som ukázal na príkladoch riešenia konkrétnych problémov.

Naučil som sa veľa o rovnobežníku, ktorý nie je v našej učebnici geometrie

O tom, že znalosť geometrie je v živote veľmi dôležitá, som sa presvedčil na príkladoch aplikácie vlastností rovnobežníka.

Cieľ mojej výskumnej práce bol splnený.

O dôležitosti matematických vedomostí svedčí aj to, že bola zriadená cena pre toho, kto vydá knihu o človeku, ktorý celý život prežil bez pomoci matematiky. Toto ocenenie doteraz nikto nezískal.

VIII Literatúra

1. Pogorelov A.V. Geometria 7-9: učebnica pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie-M.: Školstvo, 2014

   L.S. Atanasyan a ďalší.Geometria. Pridať. Kapitoly k učebnici 8 buniek: učebnica. príspevok pre žiakov škôl a tried s prehlbovaním. štúdium matematiky. – M.: Vita-press, 2003

   internetové zdroje

   Materiály z Wikipédie

Téma lekcie

• Vlastnosti uhlopriečok rovnobežníka.

Ciele lekcie

• Zoznámte sa s novými definíciami a pripomeňte si niektoré už naštudované.
• Formulujte a dokážte vlastnosť uhlopriečok rovnobežníka.
• Naučiť sa aplikovať vlastnosti tvarov pri riešení úloh.
• Rozvíjajúce – rozvíjať pozornosť žiakov, vytrvalosť, vytrvalosť, logické myslenie, matematickú reč.
• Vzdelávacie - prostredníctvom lekcie pestovať pozorný postoj k sebe navzájom, vštepovať schopnosť počúvať kamarátov, vzájomnú pomoc, nezávislosť.

Ciele lekcie

• Skontrolujte schopnosť študentov riešiť problémy.

Plán lekcie

1. Úvod.
2. Opakovanie predtým naučeného učiva.
3. Rovnobežník, jeho vlastnosti a znaky.
4. Príklady úloh.
5. Samokontrola.

Úvod

"Veľký vedecký objav poskytuje riešenie na veľký problém, ale v riešení akéhokoľvek problému je zrnko objavu."

Vlastnosti protiľahlých strán rovnobežníka

Rovnobežník má rovnaké protiľahlé strany.

Dôkaz.

Nech ABCD je daný rovnobežník. A nech sa jeho diagonály pretínajú v bode O.
Keďže Δ AOB = Δ COD podľa prvého znamienka rovnosti trojuholníkov (∠ AOB = ∠ COD, ako zvislé, AO=OC, DO=OB, podľa vlastnosti uhlopriečok rovnobežníka), potom AB=CD. Podobne z rovnosti trojuholníkov BOC a DOA vyplýva, že BC=DA. Veta bola dokázaná.

Vlastnosť opačných uhlov rovnobežníka

Rovnobežník má opačné uhly.

Dôkaz.

Nech ABCD je daný rovnobežník. A nech sa jeho diagonály pretínajú v bode O.
Z vlastností protiľahlých strán rovnobežníka dokázaného vo vete o Δ ABC = Δ CDA na troch stranách (AB=CD, BC=DA z dokázaného, ​​AC je všeobecné). Z rovnosti trojuholníkov vyplýva, že ∠ABC = ∠CDA.
Je tiež dokázané, že ∠ DAB = ∠ BCD, čo vyplýva z ∠ ABD = ∠ CDB. Veta bola dokázaná.

Vlastnosť uhlopriečok rovnobežníka

Uhlopriečky rovnobežníka sa pretínajú a priesečník je rozdelený na polovicu.

Dôkaz.

Nech ABCD je daný rovnobežník. Nakreslíme uhlopriečku AC. Označíme na ňom stred O. Na pokračovanie úsečky DO odložíme úsečku OB 1 rovnú DO.
Podľa predchádzajúcej vety je AB 1 CD rovnobežník. Preto je čiara AB 1 rovnobežná s jednosmerným prúdom. Ale cez bod A možno nakresliť iba jednu čiaru rovnobežnú s DC. Čiara AB 1 sa teda zhoduje s čiarou AB.
Je tiež dokázané, že BC 1 sa zhoduje s BC. Takže bod C sa zhoduje s C 1 . rovnobežník ABCD sa zhoduje s rovnobežníkom AB 1 CD. Preto sa uhlopriečky rovnobežníka pretínajú a priesečník je rozpoltený. Veta bola dokázaná.

V učebniciach pre bežné školy (napríklad v Pogorelove) sa to dokazuje takto: uhlopriečky rozdeľujú rovnobežník na 4 trojuholníky. Zvážte jeden pár a zistite - sú rovnaké: ich základne sú protiľahlé strany, zodpovedajúce uhly, ktoré k nemu priliehajú, sú rovnaké ako vertikálne s rovnobežnými čiarami. To znamená, že segmenty uhlopriečok sú párovo rovnaké. Všetko.

Je to všetko?
Vyššie bolo dokázané, že priesečník pretína uhlopriečky - ak existuje. Vyššie uvedené zdôvodnenie jeho existenciu nijako nedokazuje. To znamená, že časť vety "úhlopriečky rovnobežníka sa pretínajú" zostáva nedokázaná.

Je smiešne, že túto časť je oveľa ťažšie dokázať. To mimochodom vyplýva zo všeobecnejšieho výsledku: pre akýkoľvek konvexný štvoruholník sa uhlopriečky pretínajú, pre akýkoľvek nekonvexný nie.

O rovnosti trojuholníkov pozdĺž strany a dvoch uhlov k nej priľahlých (druhé znamenie rovnosti trojuholníkov) a ďalšie.

Veta o rovnosti dvoch trojuholníkov pozdĺž strany a dvoch uhlov priľahlých k nej Thales našla dôležité praktické uplatnenie. V prístave Miletus bol zostrojený diaľkomer, ktorý určuje vzdialenosť lode na mori. Pozostával z troch zarazených kolíkov A, B a C (AB = BC) a vyznačenej priamky SK, kolmej na CA. Keď sa loď objavila na priamke SC, našiel sa bod D taký, že body D, .B a E boli na rovnakej priamke. Ako je zrejmé z nákresu, vzdialenosť CD na zemi je požadovaná vzdialenosť od lode.

Otázky

1. Sú uhlopriečky štvorca rozpolené priesečníkom?
   
2. Sú uhlopriečky rovnobežníka rovnaké?
3. Sú opačné uhly rovnobežníka rovnaké?
4. Aká je definícia rovnobežníka?
5. Koľko vlastností má rovnobežník?
   
6. Môže byť kosoštvorec rovnobežníkom?
   

Zoznam použitých zdrojov

1. Kuznecov A. V., učiteľ matematiky (5.-9. ročník), Kyjev
2. „Jednotná štátna skúška 2006. Matematika. Vzdelávacie a školiace materiály pre prípravu študentov / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "Riešenie hlavných súťažných problémov v matematike zborníka edited by M. I. Scanavi"
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometria, 7 - 9: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie"

Práca na lekcii

Kuznecov A.V.

Poturnak S.A.

Jevgenij Petrov

Môžete položiť otázku o modernom vzdelávaní, vyjadriť myšlienku alebo vyriešiť naliehavý problém na Vzdelávacie fórum kde sa na medzinárodnej úrovni stretáva vzdelávacia rada nových myšlienok a činov. Po vytvorení blog, Zlepšíte si nielen svoj status kompetentného učiteľa, ale výrazne prispejete aj k rozvoju školy budúcnosti. Cech vedúcich vzdelávania otvára dvere špičkovým odborníkom a pozýva vás k spolupráci v smere vytvárania najlepších škôl na svete.

Predmety > Matematika > Matematika 8. ročník

Definícia

Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú v pároch rovnobežné.

Veta (prvý znak rovnobežníka)

Ak sú dve strany štvoruholníka rovnaké a rovnobežné, potom je štvoruholník rovnobežník.

Dôkaz

Nech sú strany \(AB\) a \(CD\) štvoruholníka \(ABCD\) rovnobežné a \(AB = CD\) .

Nakreslite uhlopriečku \(AC\) rozdeľujúcu daný štvoruholník na dva rovnaké trojuholníky: \(ABC\) a \(CDA\) . Tieto trojuholníky sú rovnaké v dvoch stranách a uhol medzi nimi (\(AC\) je spoločná strana, \(AB = CD\) podľa podmienky, \(\uhol 1 = \uhol 2\) ako priečne ležiace uhly v priesečník rovnobežných priamok \ (AB\) a \(CD\) sečnice \(AC\) ), takže \(\uhol 3 = \uhol 4\) . Ale uhly \(3\) a \(4\) ležia priečne v priesečníku priamok \(AD\) a \(BC\) sečny \(AC\) , preto \(AD\paralelné BC\). V štvoruholníku \(ABCD\) sú teda protiľahlé strany po pároch rovnobežné, a preto je štvoruholník \(ABCD\) rovnobežník.

Veta (druhá vlastnosť rovnobežníka)

Ak sú protiľahlé strany štvoruholníka rovnaké v pároch, potom je štvoruholník rovnobežník.

Dôkaz

Nakreslite uhlopriečku \(AC\) daného štvoruholníka \(ABCD\) a rozdeľte ho na trojuholníky \(ABC\) a \(CDA\) .

Tieto trojuholníky sú rovnaké v troch stranách (\(AC\) je spoločný, \(AB = CD\) a \(BC = DA\) podľa predpokladu), takže \(\uhol 1 = \uhol 2\) ležia priečne na \(AB\) a \(CD\) a sekante \(AC\) . Z toho vyplýva, že \(AB\paralelné CD\) . Pretože \(AB = CD\) a \(AB\paralelný CD\) , potom podľa prvého kritéria rovnobežníka je štvoruholník \(ABCD\) rovnobežníkom.

Veta (tretie znamienko rovnobežníka)

Ak sa v štvoruholníku pretínajú uhlopriečky a priesečník je rozpoltený, potom je tento štvoruholník rovnobežníkom.

Dôkaz

Uvažujme štvoruholník \(ABCD\), v ktorom sa uhlopriečky \(AC\) a \(BD\) pretínajú v bode \(O\) a pretínajú tento bod.

Trojuholníky \(AOB\) a \(COD\) sú rovnaké podľa prvého kritéria rovnosti trojuholníkov (\(AO = OC\) , \(BO = OD\) podľa podmienky, \(\uhol AOB = \uhol COD \) ako zvislé rohy), takže \(AB = CD\) a \(\uhol 1 = \uhol 2\) . Z rovnosti uhlov \(1\) a \(2\) (krížovo ležiacich na \(AB\) a \(CD\) a sečny \(AC\) ) vyplýva, že \(AB\rovnobežka CD\).

Takže v štvoruholníku \(ABCD\) sú strany \(AB\) a \(CD\) rovnaké a rovnobežné, čo znamená, že podľa prvého znamienka rovnobežníka je štvoruholník \(ABCD\) rovnobežník.

Vlastnosti rovnobežníka:

1. V rovnobežníku sú protiľahlé strany rovnaké a opačné uhly sú rovnaké.

2. Uhlopriečky rovnobežníka sú rozpolené priesečníkom.

Vlastnosti osy rovnobežníka:

1. Osa rovnobežníka z neho odreže rovnoramenný trojuholník.

2. Osy susedných uhlov rovnobežníka sa pretínajú v pravom uhle.

3. Segmenty osí s opačnými uhlami sú rovnaké a rovnobežné.

Dôkaz

1) Nech \(ABCD\) je rovnobežník, \(AE\) je osi uhla \(BAD\) .

Uhly \(1\) a \(2\) sú rovnaké, pretože ležia medzi rovnobežkami \(AD\) a \(BC\) a sečnicou \(AE\) . Uhly \(1\) a \(3\) sú rovnaké, pretože \(AE\) je os. Nakoniec \(\uhol 3 = \uhol 1 = \uhol 2\), z čoho vyplýva, že trojuholník \(ABE\) je rovnoramenný.

2) Nech \(ABCD\) je rovnobežník, \(AN\) a \(BM\) sú osy uhlov \(BAD\) a \(ABC\).

Keďže súčet jednostranných uhlov pri rovnobežkách a sečne je \(180^(\circ)\) , potom \(\uhol DAB + \uhol ABC = 180^(\circ)\).

Keďže \(AN\) a \(BM\) sú osy \(\uhol BAN + \uhol ABM = 0,5(\uhol DAB + \uhol ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), kde \(\uhol AOB = 180^\circ - (\uhol BAN + \uhol ABM) = 90^\circ\).

3. Nech \(AN\) a \(CM\) sú osi uhla rovnobežníka \(ABCD\) .

Pretože opačné uhly v rovnobežníku sú rovnaké, \(\uhol 2 = 0,5\cdot\uhol BAD = 0,5\cdot\uhol BCD = \uhol 1\). Okrem toho sú uhly \(1\) a \(3\) rovnaké, ako keby ležali cez rovnobežné čiary \(AD\) a \(BC\) a sečnicu \(CM\) , potom \(\uhol 2 = \uhol 3\) , čo znamená, že \(AN\paralelný CM\) . Tiež \(AM\paralelný CN\) , potom \(ANCM\) je rovnobežník, teda \(AN = CM\) .

Definícia

Paralelogram sa nazýva štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú v pároch rovnobežné.

Obrázok 1 ukazuje rovnobežník $A B C D, A B\|C D, B C\| D$.

Vlastnosti rovnobežníka

1. V rovnobežníku sú protiľahlé strany rovnaké: $A B=C D, B C=A D$ (obr. 1).
2. V rovnobežníku sa protiľahlé uhly rovnajú $\uhol A=\uhol C, \uhol B=\uhol D$ (obr. 1).
3. Uhlopriečky rovnobežníka v priesečníku sú polovičné $A O=O C, B O=O D$ (obr. 1).
4. Uhlopriečka rovnobežníka ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky.

Súčet uhlov rovnobežníka susediaceho s jednou stranou je $180^(\circ)$:

$$\uhol A+\uhol B=180^(\circ), \uhol B+\uhol C=180^(\circ)$$

$$\uhol C+\uhol D=180^(\circ), \uhol D+\uhol A=180^(\circ)$$

Uhlopriečky a strany rovnobežníka sú spojené nasledujúcim vzťahom:

$$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 a^(2)+2 b^(2)$$

5. V rovnobežníku sa uhol medzi výškami rovná jeho ostrému uhlu: $\uhol K B H=\uhol A$.
6. Osy uhlov susediacich s jednou stranou rovnobežníka sú navzájom kolmé.
7. Osy dvoch protiľahlých uhlov rovnobežníka sú rovnobežné.

Vlastnosti rovnobežníka

Štvoruholník $ABCD$ je rovnobežník, ak

1. $A B=C D$ a $A B \| C D$
2. $A B=C D$ a $B C=A D$
3. $A O=O C$ a $B O=O D$
4. $\uhol A=\uhol C$ a $\uhol B=\uhol D$

Plochu rovnobežníka možno vypočítať pomocou jedného z nasledujúcich vzorcov:

$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$

$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$

Príklady riešenia problémov

Príklad

Úloha. Súčet dvoch uhlov rovnobežníka je $140^(\circ)$. Nájdite najväčší uhol rovnobežníka.

Riešenie. V rovnobežníku sú opačné uhly rovnaké. Označme väčší uhol rovnobežníka $\alpha$ a menší uhol $\beta$. Súčet uhlov $\alpha$ a $\beta$ je $180^(\circ)$, takže daný súčet $140^(\circ)$ je súčtom dvoch protiľahlých uhlov, potom $140^(\circ) : 2=70 ^(\circ)$. Menší uhol je teda $\beta=70^(\circ)$. Väčší uhol $\alpha$ nájdeme zo vzťahu:

$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$

$\Rightarrow \alpha=180^(\circ)-70^(\circ) \Rightarrow \alpha=110^(\circ)$

Odpoveď.$\alpha=110^(\circ)$

Príklad

Úloha. Strany rovnobežníka sú 18 cm a 15 cm a výška nakreslená k menšej strane je 6 cm. Nájdite inú výšku rovnobežníka.

Riešenie. Urobme si kresbu (obr. 2)

Podľa podmienok $a=15$ cm, $b=18$ cm, $h_(a)=6$ cm. Pre rovnobežník platia nasledujúce vzorce na nájdenie plochy:

$$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$$

Položte rovnítko medzi správne časti týchto rovníc a z výslednej rovnosti vyjadrite $h_(b) $:

$$a \cdot h_(a)=b \cdot h_(b) \Rightarrow h_(b)=\frac(a \cdot h_(a))(b)$$

Nahradením počiatočných údajov problému nakoniec dostaneme:

$h_(b)=\frac(15 \cdot 6)(18) \Rightarrow h_(b)=5$ (cm)

Rovnako ako v euklidovskej geometrii sú bod a priamka hlavnými prvkami teórie rovín, takže rovnobežník je jedným z kľúčových útvarov konvexných štvoruholníkov. Z nej, ako vlákna z lopty, prúdia pojmy "obdĺžnik", "štvorec", "kosoštvorec" a iné geometrické veličiny.

V kontakte s

Definícia rovnobežníka

konvexný štvoruholník, pozostávajúci zo segmentov, z ktorých každý pár je rovnobežný, je v geometrii známy ako rovnobežník.

Ako vyzerá klasický rovnobežník je štvoruholník ABCD. Strany sa nazývajú základne (AB, BC, CD a AD), kolmica vedená z ľubovoľného vrcholu na opačnú stranu tohto vrcholu sa nazýva výška (BE a BF), čiary AC a BD sú uhlopriečky.

Pozor!Štvorec, kosoštvorec a obdĺžnik sú špeciálne prípady rovnobežníka.

Strany a uhly: pomerové znaky

Kľúčové vlastnosti, celkovo, vopred určené samotným označením, sú dokázané teorémou. Tieto vlastnosti sú nasledovné:

1. Protiľahlé strany sú v pároch identické.
2. Uhly, ktoré sú proti sebe, sú v pároch rovnaké.

Dôkaz: zvážte ∆ABC a ∆ADC, ktoré sa získajú delením štvoruholníka ABCD čiarou AC. ∠BCA=∠CAD a ∠BAC=∠ACD, pretože AC je pre nich spoločný (vertikálne uhly pre BC||AD a AB||CD, v tomto poradí). Z toho vyplýva: ∆ABC = ∆ADC (druhé kritérium pre rovnosť trojuholníkov).

Segmenty AB a BC v ∆ABC zodpovedajú v pároch čiaram CD a AD v ∆ADC, čo znamená, že sú totožné: AB = CD, BC = AD. ∠B teda zodpovedá ∠D a sú rovnaké. Keďže ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, ktoré sú rovnaké aj v pároch, potom ∠A = ∠C. Nehnuteľnosť bola preukázaná.

Charakteristika uhlopriečok figúry

Hlavná prednosť tieto čiary rovnobežníka: priesečník ich pretína.

Dôkaz: nech m E je priesečník uhlopriečok AC a BD na obrázku ABCD. Tvoria dva úmerné trojuholníky - ∆ABE a ∆CDE.

AB=CD, pretože sú opačné. Podľa čiar a sekánov ∠ABE = ∠CDE a ∠BAE = ∠DCE.

Podľa druhého znaku rovnosti ∆ABE = ∆CDE. To znamená, že prvky ∆ABE a ∆CDE sú: AE = CE, BE = DE a navyše sú to úmerné časti AC a BD. Nehnuteľnosť bola preukázaná.

Vlastnosti susedných rohov

Na priľahlých stranách je súčet uhlov 180°, pretože ležia na rovnakej strane rovnobežných čiar a sečny. Pre štvoruholník ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Vlastnosti osy:

1. , poklesnuté na jednu stranu, sú kolmé;
2. protiľahlé vrcholy majú rovnobežné osi;
3. trojuholník získaný nakreslením osi bude rovnoramenný.

Určenie charakteristických vlastností rovnobežníka pomocou vety

Vlastnosti tohto obrázku vyplývajú z jeho hlavnej vety, ktorá znie takto: štvoruholník sa považuje za rovnobežník v prípade, že sa jej uhlopriečky pretínajú a tento bod ich rozdeľuje na rovnaké segmenty.

Dôkaz: Nech sa priamky AC a BD štvoruholníka ABCD pretínajú v t. E. Pretože ∠AED = ∠BEC a AE+CE=AC BE+DE=BD, potom ∆AED = ∆BEC (podľa prvého znamienka rovnosti trojuholníkov). To znamená, že ∠EAD = ∠ECB. Sú to tiež vnútorné uhly kríženia sečny AC pre čiary AD a BC. Teda podľa definície paralelizmu - AD || pred Kr. Odvodená je aj podobná vlastnosť línií BC a CD. Veta bola dokázaná.

Výpočet plochy postavy

Oblasť tohto obrázku nájsť niekoľkými spôsobmi jeden z najjednoduchších: vynásobenie výšky a základne, do ktorej je nakreslený.

Dôkaz: Nakreslite kolmice BE a CF z vrcholov B a C. ∆ABE a ∆DCF sú rovnaké, pretože AB = CD a BE = CF. ABCD sa rovná obdĺžniku EBCF, pretože pozostávajú aj z proporcionálnych čísel: S ABE a S EBCD, ako aj S DCF a S EBCD. Z toho vyplýva, že plocha tohto geometrického útvaru je rovnaká ako plocha obdĺžnika:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Na určenie všeobecného vzorca pre oblasť rovnobežníka označujeme výšku ako hb a bočné b. Respektíve:

Iné spôsoby, ako nájsť oblasť

Výpočty plôch cez strany rovnobežníka a uhla, ktorý tvoria, je druhou známou metódou.

,

Spr-ma - plocha;

a a b sú jeho strany

α - uhol medzi segmentmi a a b.

Táto metóda je prakticky založená na prvej, ale v prípade, že nie je známa. vždy odreže pravouhlý trojuholník, ktorého parametre sa nachádzajú pomocou trigonometrických identít, t.j. Transformáciou pomeru dostaneme . V rovnici prvého spôsobu nahradíme výšku týmto súčinom a získame dôkaz o platnosti tohto vzorca.

Cez uhlopriečky rovnobežníka a uhla, ktoré vytvárajú, keď sa pretínajú, môžete nájsť aj oblasť.

Dôkaz: AC a BD pretínajúce sa tvoria štyri trojuholníky: ABE, BEC, CDE a AED. Ich súčet sa rovná ploche tohto štvoruholníka.

Plochu každého z týchto ∆ možno nájsť z výrazu , kde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Od , potom sa pri výpočtoch používa jedna hodnota sínusu. T.j. Pretože AE+CE=AC= d 1 a BE+DE=BD= d 2 , vzorec plochy sa zníži na:

.

Aplikácia vo vektorovej algebre

Vlastnosti jednotlivých častí tohto štvoruholníka našli uplatnenie vo vektorovej algebre, konkrétne: sčítanie dvoch vektorov. Pravidlo rovnobežníka hovorí, že ak sú dané vektoryAniesú kolineárne, potom sa ich súčet bude rovnať uhlopriečke tohto obrazca, ktorého základne zodpovedajú týmto vektorom.

Dôkaz: z ľubovoľne zvoleného začiatku – tzn. - staviame vektory a . Ďalej zostavíme rovnobežník OASV, kde segmenty OA a OB sú strany. OS teda leží na vektore alebo súčte.

Vzorce na výpočet parametrov rovnobežníka

Totožnosť sa poskytuje za nasledujúcich podmienok:

1. a a b, α - strany a uhol medzi nimi;
2. d 1 a d 2 , γ - uhlopriečky a v bode ich priesečníka;
3. ha a h b - výšky znížené na strany a a b;

Parameter	Vzorec
Hľadanie strán
pozdĺž uhlopriečok a kosínus uhla medzi nimi
diagonálne a do strán
cez výšku a opačný vrchol
Nájdenie dĺžky uhlopriečok
na bokoch a veľkosť vrchnej časti medzi nimi
po stranách a jednej z uhlopriečok	 Výkon Rovnobežník, ako jedna z kľúčových postáv geometrie, sa používa v živote, napríklad v stavebníctve pri výpočte plochy miesta alebo iných meraní. Preto môžu byť znalosti o rozlišovacích znakoch a metódach výpočtu jeho rôznych parametrov užitočné kedykoľvek v živote.