Үшін практикалық іс-шаралароқиғаларды олардың пайда болу мүмкіндігі дәрежесіне қарай салыстыра білу қажет. Классикалық жағдайды қарастырайық. Урнада 10 шар бар, оның 8-і ақ, 2-і қара. «Ұрнадан ақ доп суырылады» оқиғасы мен «Ұрнадан қара доп шығады» оқиғасы бар екені анық. әртүрлі дәрежедеолардың пайда болу мүмкіндігі. Сондықтан оқиғаларды салыстыру үшін белгілі бір сандық өлшем қажет.

Оқиғаның орын алу мүмкіндігінің сандық өлшемі болып табылады ықтималдық . Оқиғаның ықтималдығының ең көп қолданылатын анықтамалары классикалық және статистикалық болып табылады.

Классикалық анықтамаықтималдық қолайлы нәтиже ұғымымен байланысты. Мұны толығырақ қарастырайық.

Кейбір сынақтардың нәтижелері оқиғалардың толық тобын құрасын және бірдей мүмкін болсын, яғни. бірегей мүмкін, үйлесімсіз және бірдей мүмкін. Мұндай нәтижелер деп аталады қарапайым нәтижелер, немесе жағдайлар. Сынақ қайнайды дейді іс схемасынемесе « урна схемасы", өйткені Мұндай сынақ үшін кез келген ықтималдық мәселесі әртүрлі түсті урналар мен шарлармен баламалы есеппен ауыстырылуы мүмкін.

Нәтиже деп аталады қолайлыоқиға А, егер бұл жағдайдың орын алуы оқиғаның туындауына әкеп соқтырса А.

Классикалық анықтама бойынша оқиғаның ықтималдығы A осы оқиғаға қолайлы нәтижелер санының қатынасына тең жалпы санынәтижелері, яғни.

,

(1.1)

Қайда P(A)– оқиғаның ықтималдығы А; м– оқиғаға қолайлы жағдайлар саны А; n– істердің жалпы саны.

1.1-мысал.Сүйектерді лақтыру кезінде алты ықтимал нәтиже бар: 1, 2, 3, 4, 5, 6 ұпай. Жұп ұпай алу ықтималдығы қандай?

Шешім. Барлық n= 6 нәтиже оқиғалардың толық тобын құрайды және бірдей мүмкін, яғни. бірегей мүмкін, үйлесімсіз және бірдей мүмкін. А оқиғасы – «ұпайлардың жұп санының пайда болуы» - 3 нәтиже (жағдайлар) – 2, 4 немесе 6 ұпай жоғалту арқылы қолайлы. Оқиғаның ықтималдығының классикалық формуласын қолданып, аламыз

P(A) = = . ◄

негізделген классикалық анықтамаоқиғаның ықтималдығы, оның қасиеттерін атап өтеміз:

1. Кез келген оқиғаның ықтималдығы нөл мен бір арасында, яғни.

0 ≤ Р(А) ≤ 1.

2. Ықтималдық сенімді оқиғабіріне тең.

3. Ықтималдық мүмкін емес оқиғанөлге тең.

Бұрын айтылғандай, ықтималдықтың классикалық анықтамасы ықтимал нәтижелердің симметриясы бар сынақтар нәтижесінде туындауы мүмкін оқиғаларға ғана қолданылады, яғни. жағдайлар үлгісіне дейін азайтылады. Дегенмен, ықтималдықтарын классикалық анықтаманы пайдаланып есептелмейтін оқиғалардың үлкен класы бар.

Мысалы, монета тегістелген деп есептесек, «елтаңбаның пайда болуы» мен «бастардың пайда болуы» оқиғаларын бірдей мүмкін деп санауға болмайтыны анық. Сондықтан классикалық схема бойынша ықтималдықты анықтау формуласы бұл жағдайда қолданылмайды.

Дегенмен, орындалған сынақтарда берілген оқиғаның қаншалықты жиі болатынына негізделген оқиғалардың ықтималдығын бағалаудың басқа тәсілі бар. Бұл жағдайда ықтималдықтың статистикалық анықтамасы қолданылады.

Статистикалық ықтималдықА оқиғасы – бұл оқиғаның орындалған n сынақта орын алуының салыстырмалы жиілігі (жиілігі), яғни.

,

(1.2)

Қайда P*(A)– оқиғаның статистикалық ықтималдығы А; w(A)– оқиғаның салыстырмалы жиілігі А; м– оқиға болған сынақтардың саны А; n– тесттердің жалпы саны.

Математикалық ықтималдыққа қарағанда P(A), классикалық анықтамада қарастырылады, статистикалық ықтималдық P*(A)қасиет болып табылады тәжірибелі, эксперименттік. Басқаша айтқанда, оқиғаның статистикалық ықтималдығы Асалыстырмалы жиілік тұрақтандырылатын сан (орнатылған) w(A)бірдей шарттар жиынтығында жүргізілетін сынақтар санының шексіз ұлғаюымен.

Мысалы, олар атқыш туралы оның нысанаға 0,95 ықтималдықпен тиетінін айтқан кезде, бұл оның белгілі бір жағдайларда (бірдей қашықтықта бірдей нысана, бірдей мылтық және т. ), орташа есеппен 95-ке жуық табысты. Әрине, әрбір жүзде 95 сәтті кадр болмайды, кейде аз, кейде көп болады, бірақ орташа есеппен бірдей жағдайларда бірнеше рет қайталанатын ату кезінде хиттердің бұл пайызы өзгеріссіз қалады. Атқыштың шеберлігінің көрсеткіші ретінде қызмет ететін 0,95 көрсеткіші әдетте өте тұрақты, яғни. көптеген түсірілімдердегі соққылардың пайызы берілген атқыш үшін дерлік бірдей болады, тек сирек жағдайларда оның орташа мәнінен айтарлықтай ауытқиды.

Ықтималдықтың классикалық анықтамасының тағы бір кемшілігі ( 1.1 ) оны пайдалануды шектеу оның ықтимал сынақ нәтижелерінің шектеулі санын қабылдауы болып табылады. Кейбір жағдайларда бұл кемшілікті ықтималдықтың геометриялық анықтамасын қолдану арқылы жеңуге болады, яғни. нүктенің белгілі бір аумаққа түсу ықтималдығын табу (сегмент, жазықтықтың бөлігі және т.б.).

Тегіс фигура болсын gжалпақ фигураның бөлігін құрайды Г(Cурет 1.1). Сәйкес Гнүкте кездейсоқ лақтырылады. Бұл аймақтағы барлық нүктелерді білдіреді Глақтырылған кездейсоқ нүктенің соғуына қатысты «тең құқықтар». Оқиғаның ықтималдығы деп есептей отырып А– лақтырылған нүкте фигураға тиеді g– бұл фигураның ауданына пропорционал және оның орналасуына қатысты емес Г, пішіннен де емес g, табамыз

Ықтималдық бір кездейсоқ эксперимент бірнеше рет жүргізілгенде және қазірдің өзінде жүргізілген эксперименттердің нәтижелері кейінгілерге ешқандай әсер етпейтіндей түрде көрінеді. Бұл шарттарда тәжірибелер санының шексіз өсуімен оқиғаның пайда болу жиілігі оқиғаның ықтималдылығына бейім.

Біртекті емес материалдан жасалған матрица лақтырылатын кездейсоқ тәжірибені қарастырайық. Оның ауырлық центрі геометриялық орталықта емес. Бұл жағдайда нәтижелерді (бір, екі, т.б. жоғалту) бірдей ықтимал деп санай алмаймыз. Физикадан сүйектің ауырлық орталығына жақынырақ бетке жиі түсетіні белгілі. Мысалы, үш ұпай алу ықтималдығын қалай анықтауға болады? Сіз жасай алатын жалғыз нәрсе - бұл өлікті айналдыру nрет (қайда n- айтарлықтай үлкен сан, айталық n=1000 немесе n=5000), оралған үш ұпай санын есептеңіз n 3және үш нүктені айналдыру нәтижесінің ықтималдығын қарастырыңыз n 3/n- үш ұпай алудың салыстырмалы жиілігі. Осыған ұқсас басқа қарапайым нәтижелердің ықтималдығын анықтауға болады - бір, екі, төрт және т.б.

Ықтималдылықтың классикалық анықтамасы барлық қарапайым нәтижелердің бірдей мүмкін екендігін болжайды. Эксперимент нәтижелерінің теңдігі симметрияны ескерумен (тиын немесе сүйек сияқты) қорытындыланады. Тәжірибеде симметрияны қарастыруға болатын есептер сирек кездеседі. Көптеген жағдайларда барлық қарапайым нәтижелер бірдей мүмкін деп сену үшін себептерді келтіру қиын. Осыған байланысты ықтималдықтың статистикалық деп аталатын басқа анықтамасын енгізу қажет болды. Бұл анықтаманы беру үшін алдымен оқиғаның салыстырмалы жиілігі түсінігі енгізіледі.

Анықтама 18.2.2. Оқиғаның салыстырмалы жиілігі немесе жиілігі , қатынас деп аталады

осы оқиға орын алған эксперименттер саны барлық орындалған эксперименттер санына дейін. А оқиғасының жиілігін арқылы белгілейік W(A),содан кейін анықтама бойынша W(A)= m/n ,

мұндағы m – А оқиғасы пайда болған эксперименттер саны; n- орындалған барлық эксперименттердің саны.

Оқиға жиілігі келесі қасиеттерге ие.

1. Кездейсоқ оқиғаның жиілігі нөл арасындағы сан

және бірлік:

0< W(A)< 1

2. Сенімді оқиғаның жиілігі Ω бірге тең:

W(Ω)= 1

3. Ø мүмкін емес оқиғаның жиілігі мынаған тең:

W(Ø)=0.

4. А және В үйлесімсіз екі оқиғаның қосындысының жиілігі қосындыға тең

Бұл оқиғалардың жиілігі:

W(А+ B) = W(A)+ W(B)

Бақылаулар салыстырмалы жиіліктің статистикалық тұрақтылық қасиеттеріне ие екенін анықтауға мүмкіндік берді: полиномдық сынақтардың әртүрлі серияларында (олардың әрқайсысында бұл оқиға пайда болуы немесе болмауы мүмкін) ол қандай да бір тұрақтыға өте жақын мәндерді қабылдайды. құбылыстың объективті сандық сипаттамасы болып табылатын бұл тұрақты шама берілген оқиғаның ықтималдығы болып саналады.

Анықтама 18.2.3.( Оқиғаның статистикалық ықтималдығы - берілген оқиғаның жиілік мәндері көптеген сынақтардың әртүрлі серияларына топтастырылған сан.

Қатаңырақ статистикалық ықтималдық P( мен) нәтиженің туындауының салыстырмалы жиілігінің шегі ретінде анықталады w iкездейсоқ эксперименттер санының шексіз ұлғаюы процесінде n, яғни

Қайда м н(w i) – кездейсоқ эксперименттер саны (жалпы саннан nкездейсоқ эксперименттер орындалды) қарапайым нәтиженің пайда болуы тіркелген w i.

Статистикалық анықтамада ықтималдық классикалық схема бойынша анықталған ықтималдықпен бірдей қасиеттерге ие болады:

қасиеттері: 1) сенімді оқиғаның ықтималдығы біреуге тең;

2) мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы нөлге тең; 3) ықтималдық

кездейсоқ оқиға нөл мен бір арасында жатыр; 4) ықтималдық

үйлеспейтін екі оқиғаның қосындысы осы оқиғалардың ықтималдығының қосындысына тең.

Мысал. Кездейсоқ алынған 500 бөліктің 10-ы ақаулы болды. Ақаулы бөлшектердің жиілігі қандай?

W = 10/500 = 1/50 = 0,2

Геометриялық ықтималдық

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы қарапайым нәтижелер санының шекті екенін болжайды. Тәжірибеде мұндай нәтижелердің жиынтығы шексіз болатын эксперименттер бар.

Ықтималдықтың классикалық анықтамасының кемшілігін жеңу үшін, яғни ол нәтижелердің шексіз саны бар сынақтарға қолданылмайды, геометриялық ықтималдықтар енгізіледі - нүктенің аймаққа түсу ықтималдығы.

Тәжірибе белгілі бір аумақтан нүктені кездейсоқ таңдаудан тұрсын. Кез келген нүктені таңдау бірдей мүмкін деп есептейміз. Кеңістікте W арқылы анықталған аймақты белгілейміз. W нүктесінен тек бір нүктені кездейсоқ таңдауды қамтитын тәжірибеде W жиыны элементар оқиғалар кеңістігі болып табылады. Бұл жағдайда кездейсоқ оқиғаларды W жиынынан әртүрлі жиындар деп санауға болады. Кездейсоқ таңдалған x нүктесі А жиынына жататын болса, кездейсоқ А оқиғасы орын алғанын айтамыз, яғни.

Анықтама 18.2.4.

W қандай кесінді болсын, оның ұзындығы L болсын. A – ұзындық сегменті л,тиесілі В . А оқиғасы лақтырылған нүктеге соғудан тұрады ұзын сегментА. Содан кейін

Сол сияқты, егер кездейсоқ эксперименттің қарапайым нәтижелерінің W жиыны ауданы S бар жазықтықтағы және А аймағы бар фигура болса, W-ға кездейсоқ лақтырылған нүкте құлауы мүмкін оның ішкі жиыны s ауданына ие, А оқиғасының сәйкес ықтималдығы. - содан кейін А аймағына түседі

Соңында, егер біз көлемдік сандар туралы айтатын болсақ, сәйкесінше V томның W және v көлемінің А енгізілген аймағы

Ескерту 18.2.3.. Дәлірек айтқанда, мұнда қарастырылатын тәсіл көбірек енгізуді талап етеді жалпы сипаттамаларжиынның (функциялары) – оның өлшемдері ( мес(A)), ерекше жағдайлары ұзындық, аудан және көлем, содан кейін А оқиғасының ықтималдығы А жиынының өлшемі W жиынының өлшеміне қатынасы болады.

Мысал 1. Шаршыға шеңбер сызылған. Нүкте кездейсоқ түрде шаршыға лақтырылады. Оның шеңберге түсу ықтималдығы қандай? Жоғарыда келтірілген формулаға сәйкес, сәйкес ықтималдық шеңбердің ауданы мен шаршы ауданына қатынасы болады.

Мысал 2. Бір уақытта басталып, 1 сағатқа созылатын, 12-ден 13 сағатқа дейін, түскі үзіліс кезінде екі адам кафеде түскі ас ішеді. Олардың әрқайсысы кездейсоқ уақытта келеді және 10 минут ішінде түскі ас ішеді. Олардың кездесу ықтималдығы қандай?

Болсын x- кафеге бірінші келу уақыты, және ж- екіншісінің келу уақыты. Екеуі кафеде болғанда ғана кездесе алады.

Екіншісі біріншіден кешікпей келсе ( x ³ ж), онда жиналыс 0 £ шартымен өтеді x - y£1/6..

Осылайша, бірінші жағдайда біз шартты қанағаттандырамыз ж£ x+ 1/6, ал екіншісінде

y ≥ x- 1/6. Осы екі шартты қанағаттандыратын аймақ суретте көлеңкеленген. 2

Басқаша айтқанда, геометриялық ықтималдық тұрғысынан кездесу ықтималдығы түзу сызықтар арасындағы көлеңкеленген «жолақ» ауданының қатынасы болып табылады. ж= x+ 1/6 және y = x- шаршының 1/6 бөлігі шаршының өзіне дейін.

Қажетті ықтималдық бКөлеңкелі аймақтың бүкіл шаршы ауданына қатынасына тең.. Шаршы ауданы бірге тең, ал көлеңкеленген аумақтың ауданы ретінде анықтауға болады 7-суретте көрсетілген екі үшбұрыштың бір және жалпы ауданы арасындағы айырмашылық. Ол келесідей:

Негізгі ұғымдар. Қосу және көбейту теоремалары.

Толық ықтималдық формулалары, Бейс, Бернулли. Лаплас теоремалары.

Сұрақтар

1. Ықтималдық теориясының пәні.
2. Оқиға түрлері.
3. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.
4. Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы.
5. Геометриялық анықтамаықтималдықтар.
6. Үйлесімсіз оқиғалардың ықтималдықтарын қосу теоремасы.
7. Тәуелсіз оқиғалардың ықтималдықтарын көбейту теоремасы.
8. Шартты ықтималдық.
9. Тәуелді оқиғаларды көбейту.
10. Бірлескен оқиғаларды қосу.
11. Жалпы ықтималдық формуласы.
12. Бейс формуласы.

13. Бином, көпмүшелік таралу заңы.

1. Ықтималдық теориясының пәні. Негізгі ұғымдар.

Ықтималдықтар теориясындағы оқиға - бұл қандай да бір тәжірибе (тест) нәтижесінде пайда болуы мүмкін кез келген факт.

Мысалы:Атқыш нысанаға атады. Ату – сынақ, нысанаға тигізу – оқиға. Оқиғалар әдетте белгіленеді

Бір кездейсоқ оқиға көптеген кездейсоқ себептердің салдары болып табылады, олар өте жиі ескерілмейді. Алайда, егер жаппай біртекті оқиғаларды қарастырсақ (бірдей жағдайларда эксперимент кезінде көп рет байқалды), онда олар белгілі бір заңдылықтарға бағынады: егер сіз бірдей жағдайда тиынды көп рет лақтырсаңыз, сіз болжауға болады. аздаған қателікпен елтаңбаның оқиғалар саны лақтыру санының жартысына тең болады.

Ықтималдықтар теориясының пәні жаппай біртекті кездейсоқ оқиғалардың ықтималдық заңдылықтарын зерттеу болып табылады. Ықтималдық теориясының әдістері сенімділік, түсіру, автоматты басқару және т.б теорияларында кеңінен қолданылады. Ықтималдықтар теориясы математикалық және қолданбалы статистиканың негізі ретінде қызмет етеді, ол өз кезегінде өндірісті жоспарлау мен ұйымдастыруда, технологиялық процестерді талдауда және т.б.

Анықтамалар.

1. Егер тәжірибе нәтижесінде оқиға

а) әрқашан болады, онда бұл сенімді оқиға,

б) ешқашан болмайды, онда - мүмкін емес оқиға,

в) болуы мүмкін, ол болмауы мүмкін, онда бұл кездейсоқ (мүмкін) оқиға.

2. Осы оқиғалардың ешқайсысының басқаларға қарағанда тәжірибе нәтижесінде орын алу мүмкіндігі жоғары емес деп санауға негіз болса, оқиғалар бірдей ықтимал деп аталады.

3. Оқиғалар және біріккен (үйлесімсіз), егер олардың біреуінің болуы екіншісінің болуын жоққа шығармаса (алып тастамаса).

4. Осы топтың кемінде екі оқиғасы үйлесімді болса, оқиғалар тобы үйлесімді, әйтпесе ол үйлеспейді.

5. Оқиғалар тобы толық деп аталады, егер олардың біреуі тәжірибе нәтижесінде міндетті түрде орын алса.

1-мысал.Нысанаға үш оқ атылады: Let - бірінші оқта - екінші оқта - үшінші оқта тигізу (сатып алу). Содан кейін

а) – бірдей ықтимал оқиғалардың бірлескен тобы.

б) – үйлесімсіз оқиғалардың толық тобы. - керісінше болатын оқиға.

в) – оқиғалардың толық тобы.

Классикалық және статистикалық ықтималдық

Ықтималдылықты анықтаудың классикалық әдісі бірдей ықтимал үйлеспейтін оқиғалардың толық тобы үшін қолданылады.

Бұл топтағы әрбір оқиға жағдай немесе элементарлық нәтиже деп аталады. Әрбір оқиғаға қатысты істер қолайлы және қолайсыз болып бөлінеді.

Анықтама 2.Оқиғаның ықтималдығы - бұл сан

мұндағы оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлардың саны, берілген эксперименттегі бірдей ықтимал жағдайлардың жалпы саны.

2-мысал.Екі сүйек лақтырылады. Оқиға - түсірілген ұпайлардың қосындысы -ге тең болсын. Табыңыз.

а) қате шешім. Тек 2 ықтимал жағдай бар: және - үйлесімсіз оқиғалардың толық тобы. Бір ғана жағдай қолайлы, яғни.

Бұл қате, өйткені олар бірдей мүмкін емес.

b) Барлығы бірдей ықтимал жағдайлар. Қолайлы жағдайлар: пролапс

Әлсіз жақтарыклассикалық анықтамалар:

1. - жағдайлардың саны шектеулі.

2. Тәжірибе нәтижесі өте жиі элементар оқиғалар (жағдайлар) жиынтығы түрінде ұсынылмайды.

3. Істерді бірдей мүмкін деп қараудың себептерін көрсету қиын.

Бірқатар сынақтар жүргізілсін.

Анықтама 3.Оқиғаның салыстырмалы жиілігі – шама

мұндағы оқиғалар пайда болған сынақтардың саны және сынақтардың жалпы саны.

Ұзақ мерзімді бақылаулар әр түрлі эксперименттерде жеткілікті көлемде екенін көрсетті

Ол аз өзгереді, кейбір тұрақты санның айналасында ауытқиды, біз оны статистикалық ықтималдық деп атаймыз.

Ықтималдық келесі қасиеттерге ие:

Оқиғалар алгебрасы

7.3.1 Анықтамалар.

8. Бірнеше оқиғалардың қосындысы немесе бірігуі олардың кем дегенде біреуінен тұратын оқиға болып табылады.

9. Бірнеше оқиғалардың туындысы - бұл барлық оқиғалардың бірігіп кездесуінен тұратын оқиға.

1-мысалдан. - кем дегенде үш атумен бір соққы, - бірінші және екінші атумен соққы және үшіншісімен жіберіп алу.

Дәл бір соққы.

Кем дегенде екі соққы.

10. Екі оқиға тәуелсіз (тәуелді) деп аталады, егер олардың біреуінің ықтималдығы екіншісінің пайда болуына немесе болмауына тәуелді болмаса (тәуелді).

11. Бірнеше оқиғалар ұжымдық тәуелсіз деп аталады, егер олардың әрқайсысы және қалған оқиғалардың кез келген сызықтық комбинациясы тәуелсіз оқиғалар болса.

12. Шартты ықтималдық оқиға болды деген болжаммен есептелген оқиғаның ықтималдығы.

7.3.2 Ықтималдықтарды көбейту теоремасы.

Бірнеше оқиғалардың бірігіп пайда болу (шығару) ықтималдығы олардың біреуінің ықтималдығының қалған оқиғалардың шартты ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең, барлық алдыңғы оқиғалар болды деген жорамалмен есептелген.

Қорытынды 1.Егер - бірлесіп тәуелсіз болса, онда

Шынында да: бері.

3-мысал.Урнада 5 ақ, 4 қара, 3 көк шар бар. Әрбір сынақ урнадан кездейсоқ бір шарды тартудан тұрады. Бірінші сынақта ақ шардың, екіншісінде қара шардың, үшіншісінде көк шардың пайда болу ықтималдығы қандай, егер

а) доп урнаға қайтқан сайын.

- шарларды бірінші сынағаннан кейін урнада оның 4-і ақ түсті. . Осы жерден

б) доп урнаға оралмайды. Содан кейін - жиынтықта тәуелсіз және

7.3.3 Ықтималдықтарды қосу теоремасы.

Оқиғалардың кем дегенде біреуінің орын алу ықтималдығы тең

Қорытынды 2.Оқиғалар жұптық үйлесімсіз болса, онда

Бұл жағдайда шынымен

4-мысал.Бір нысанаға үш оқ атылады. Бірінші атыстағы соққының ықтималдығы , екіншісінде - , үшіншіде - . Кем дегенде бір соққының ықтималдығын табыңыз.

Шешім.Бірінші атылғанда, екіншісінде, үшіншіде, үш рет атылғанда кемінде бір соққы болсын. Сонда , жиынтықтағы бірлескен тәуелсіздер қайда. Содан кейін

Қорытынды 3.Егер жұптық үйлесімсіз оқиғалар толық топты құраса, онда

Қорытынды 4.Қарама-қарсы оқиғалар үшін

Кейде есептерді шешу кезінде қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығын табу оңайырақ. Мысалы, 4-мысалда - үш атумен жіберіп алу. Жиынтықта тәуелсіз болғандықтан, содан кейін

Ықтималдылық – қандай да бір оқиғаның орын алу мүмкіндігінің дәрежесі (өлшемі, сандық бағасы). Қандай да бір ықтимал оқиғаның себептері қарама-қарсы себептерден асып кетсе, бұл оқиға ықтимал деп аталады, әйтпесе - керемет немесе екіталай. Оң себептердің теріс себептерден басым болуы және керісінше, әртүрлі дәрежеде болуы мүмкін, нәтижесінде ықтималдық (және ықтималдық) үлкен немесе аз болуы мүмкін. Сондықтан ықтималдық көбінесе сапалық деңгейде бағаланады, әсіресе дәлірек немесе азырақ сандық бағалау мүмкін емес немесе өте қиын жағдайларда. Ықтималдықтың «деңгейлерінің» әртүрлі градациялары мүмкін.

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы нәтижелердің тең ықтималдығы тұжырымдамасына негізделген. Ықтималдық – берілген оқиға үшін қолайлы нәтижелер санының бірдей мүмкін болатын нәтижелердің жалпы санына қатынасы. Мысалы, кездейсоқ тиын лақтыру кезінде бастардың немесе құйрықтың пайда болу ықтималдығы, егер тек осы екі мүмкіндік орын алады және олар бірдей мүмкін деп болжанса, 1/2 құрайды. Ықтималдықтың бұл классикалық «анықтамасы» мүмкін мәндердің шексіз саны жағдайында жалпылануы мүмкін - мысалы, егер қандай да бір оқиға белгілі бір шектеулі аймақтың кез келген нүктесінде тең ықтималдықпен (нүктелер саны шексіз) орын алуы мүмкін болса. кеңістік (жазықтық), онда оның осы орындалатын аймақтың қандай да бір бөлігінде орын алу ықтималдығы осы бөліктің көлемінің (ауданының) барлық мүмкін нүктелер аймағының көлеміне (ауданына) қатынасына тең.

Белгілі бір құбылыстарды ықтималдық сипаттау кең тараған қазіргі ғылым, атап айтқанда, эконометрикада, макроскопиялық (термодинамикалық) жүйелердің статистикалық физикасында, тіпті бөлшектер қозғалысының классикалық детерминирленген сипаттамасы жағдайында бөлшектердің бүкіл жүйесін детерминирленген сипаттау іс жүзінде мүмкін емес және орынды болып көрінбейді. IN кванттық физикасипатталған процестердің өзі ықтималдық сипатта болады.

Ықтималдылық түсінігі мен теориясының пайда болуы

Ықтималдық туралы ілім туралы алғашқы еңбектер 17 ғасырға жатады. Ықтималдықтың ең ерте белгілі ғылыми түсіндірмелерін берген француз ғалымдары Б.Паскаль, П.Ферма (1654) және голланд ғалымы Х.Гюйгенстің (1657) хат алмасулары]. Негізінде, Гюйгенс математикалық күту тұжырымдамасымен жұмыс істеді. Швейцариялық математик Дж.Бернулли екі нәтижесі бар тәуелсіз сынақтарды жобалау үшін үлкен сандар заңын құрды (қайтыс болғаннан кейін, 1713 ж.). 18 ғасырда - 19 ғасырдың басы. ықтималдықтар теориясы А.Мовр (Англия) (1718), П.Лаплас (Франция), К.Гаусс (Германия) және С.Пуассон (Франция) еңбектерінде дамыған. Ықтималдық теориясы геодезия мен астрономияның қажеттіліктеріне байланысты дамыған бақылау қателерінің теориясында және түсіру теориясында қолданыла бастайды. Айта кету керек, қателерді бөлу заңын мәні бойынша Лаплас алғаш рет таңбаны есепке алмаған қатеге экспоненциалды тәуелділік ретінде (1774 ж.), содан кейін квадраттық қатенің экспоненциалды функциясы ретінде (1778 ж.) ұсынған. Соңғы заң әдетте Гаусс үлестірімі немесе қалыпты таралу деп аталады. Бернулли (1778) бір мезгілде болатын оқиғалардың ықтималдықтарының көбейтіндісі принципін енгізді. Адриен Мари Леджендре (1805) ең кіші квадраттар әдісін жасады.

19 ғасырдың екінші жартысында. Ықтималдықтар теориясының дамуы орыс математиктері П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов және А.А.Марковтың (аға), сондай-ақ математикалық статистика бойынша А.Кетеле (Бельгия) мен Ф.Гальтонның (Англия) жұмыстарымен және физик-статист Л. Больцман (Австрияда), ол ықтималдықтар теориясының мәселелерін айтарлықтай кеңейтуге негіз жасады. Ықтималдықтар теориясының негіздерін құрудың қазіргі кезде кең тараған логикалық (аксиоматикалық) схемасын 1933 жылы кеңес математигі А.Н. Колмогоров жасаған.

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы:

Классикалық анықтамаға сәйкес, кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы Р(А) А-ға қолайлы нәтижелер санының элементар оқиғалар кеңістігін құрайтын нәтижелердің жалпы санына қатынасына тең, яғни.

ықтималдықтың статикалық классикалық теориясы

Бұл жағдайда ықтималдықтарды есептеу белгілі бір жиынның элементтерін санаумен аяқталады және көбінесе таза комбинаторлық тапсырма болып шығады, кейде өте қиын.

Классикалық анықтама эксперимент жүргізілетін жағдайлардың симметриясына негізделген ықтималдықты болжауға, демек, сынақ нәтижелерінің симметриясына негізделген жағдайда негізделген, бұл нәтижелердің «бірдей мүмкіндігі» тұжырымдамасына әкеледі. .

Мысалы. Егер біртекті материалдан жасалған геометриялық қалыпты матрица құлағанға дейін жеткілікті көп айналым жасай алатындай лақтырылса, оның кез келген бетінің жоғалуы бірдей ықтимал нәтиже болып саналады.

Симметрияның дәл осындай себептеріне байланысты мұқият араласқан және жанасу үшін ажыратылмайтын ақ және қара шарларды алып тастау сияқты эксперименттің нәтижелері бірдей мүмкін болып саналады, осылайша түсті тіркегеннен кейін әрбір шар қайтадан ыдысқа қайтарылады және мұқият болғаннан кейін. араластыру, келесі доп жойылады.

Көбінесе мұндай симметрия құмар ойындар сияқты жасанды түрде ұйымдастырылған эксперименттерде байқалады.

Осылайша, ықтималдықтың классикалық анықтамасы тең мүмкіндіктер түсінігімен байланысты және жағдай схемасына дейін төмендететін эксперименттер үшін қолданылады. Ол үшін e1, e2, en оқиғалары үйлесімсіз болуы керек, яғни олардың екеуі бірге пайда бола алмайды; олар толық топты құрайтындай, яғни олар барлық мүмкін нәтижелерді сарқылады (тәжірибе нәтижесінде олардың ешқайсысы да орын алмаған болуы мүмкін); эксперимент олардың әрқайсысының пайда болуының бірдей мүмкіндігін қамтамасыз еткен жағдайда бірдей мүмкін.

Әрбір эксперимент жағдай схемасын қанағаттандырмайды. Егер симметрия шарты бұзылса, онда істер схемасы болмайды.

«Классикалық формула» (1.1) формуласы кездейсоқ құбылыстар туралы ғылым пайда болған кезден бастап оқиғалардың ықтималдығын есептеу үшін қолданылды.

Симметриясы жоқ эксперименттер істер схемасына сәйкес келу үшін «түзетілді». Қазіргі уақытта «классикалық формуламен» қатар, эксперимент жағдайлар схемасына келтірілмеген жағдайда ықтималдықтарды есептеу әдістері бар. Осы мақсатта ықтималдықтың статистикалық анықтамасы қолданылады.

Статистикалық ықтималдық түсінігі кейінірек енгізіледі, бірақ енді классикалық формулаға оралайық.

Келесі мысалдарды қарастырыңыз.

Мысал 1. Тәжірибе екі тиын лақтырудан тұрады. Кем дегенде бір елтаңбаның пайда болу ықтималдығын табыңыз.

Шешім. Кездейсоқ А оқиғасы – кем дегенде бір елтаңбаның пайда болуы.

Бұл тәжірибедегі элементар оқиғалар кеңістігі келесі нәтижелермен анықталады: E = (GG, GR, RG, RR), олар сәйкесінше e1, e2, e3, e4 деп белгіленеді. Осылайша,

E=e1, e2, e3, e4; n=4.

Е-ден А-ның пайда болуын қолдайтын нәтижелер санын анықтау қажет. Бұл e1, e2, e3; олардың саны m=3.

А оқиғасының ықтималдығын анықтаудың классикалық формуласын қолданып, бізде

Мысал 2. Урнада 3 ақ және 4 қара шар бар. Урнадан бір доп алынады. Бұл шардың ақ болу ықтималдығын табыңыз.

Шешім. Кездейсоқ А оқиғасы – ақ шардың пайда болуы. E элементар оқиғалар кеңістігіне e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 нәтижелері кіреді, мұндағы ei - бір шардың (ақ немесе қара) пайда болуы;

E=(e1, e2, e3, e4, 5, e6, e7), n=7.

Е кеңістігіндегі кездейсоқ А оқиғасы 3 нәтижемен қолайлы; m=3. Демек,

Мысал 3. Урнада 3 ақ және 4 қара шар бар. Урнадан екі шар алынады. Екеуінің де ақ болу ықтималдығын табыңыз.

Шешім. Кездейсоқ А оқиғасы – екі шар да ақ болады.

3-мысалдың 2-мысалдан айырмашылығы, 3-мысалда қарапайым нәтижелердің Е кеңістігін құрайтын нәтижелер жеке шарлар емес, 2-ге 7 шардың комбинациясы болады. Яғни, E өлшемін анықтау үшін, ол 7-ден 2-ге дейінгі комбинациялар санын анықтау үшін қажет. Ол үшін «Комбинаторлық әдіс» бөлімінде берілген комбинаторика формулаларын қолдану керек. Бұл жағдайда 7-ден 2-ге дейінгі комбинациялар санын анықтау үшін комбинациялар санын анықтау үшін формула қолданылады.

өйткені таңдау қайтарусыз жасалады және шарлардың пайда болу реті маңызды емес. Осылайша,

А оқиғасының пайда болуы үшін қолайлы комбинациялар саны ретінде анықталады

Демек, .

Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы

Жеке сынақтардың нәтижелерін қараған кезде қандай да бір заңдылықтарды табу өте қиын. Дегенмен, бірдей сынақтар тізбегінде кейбір орташа сипаттамалардың тұрақтылығын анықтауға болады. Берілген n сынақ сериясындағы кез келген оқиғаның жиілігі m/n қатынасы, А оқиғасы орын алған сынақтардың m саны, n сынақтардың жалпы санына. Сынақтардың әрбір дерлік жеткілікті ұзақ сериясында А оқиғасының жиілігі А оқиғасының ықтималдығы ретінде қабылданатын белгілі бір мәннің айналасында белгіленеді. Жиілік шамасының тұрақтылығы арнайы тәжірибелермен расталады. Бұл түрдегі статистикалық үлгілер алғаш рет құмар ойынының мысалында, яғни нәтижелердің мүмкіндігімен сипатталатын сынақтардың мысалында табылды. Бұл тәжірибенің симметриялық шарты бұзылған кездегі ықтималдықты сандық анықтауға статистикалық тәсілге жол ашты. А оқиғасының жиілігі статистикалық ықтималдық деп аталады, ол белгіленеді

мұндағы мА – А оқиғасы пайда болған тәжірибелер саны;

n – тәжірибелердің жалпы саны.

Ықтималдылықты анықтауға арналған формулалар (1.1) және (1.2) үстірт ұқсас, бірақ олар негізінен ерекшеленеді. Формула (1.1) берілген тәжірибелік жағдайларда оқиғаның ықтималдығын теориялық тұрғыдан есептеуге қызмет етеді. Формула (1.2) оқиғаның жиілігін эксперименталды түрде анықтауға қызмет етеді. (1.2) формуланы қолдану үшін тәжірибелі статистикалық материал қажет.

Ықтималдылықты анықтаудың аксиоматикалық тәсілі

Ықтималдылықты анықтаудың үшінші тәсілі – аксиоматикалық тәсіл, онда ықтималдықтар олардың қасиеттерін тізіп көрсету арқылы көрсетіледі.

Ықтималдықтың қабылданған аксиоматикалық анықтамасын 1933 жылы А.Н. Колмогоров тұжырымдаған. Бұл жағдайда ықтималдық келесі аксиомаларды қанағаттандыратын берілген эксперимент арқылы анықталған барлық оқиғалар жиынында P(A) сандық функциясы ретінде көрсетіледі:

P(A)=1, егер А сенімді оқиға болса.

Егер А мен В сәйкес келмесе.

Ықтималдықтың негізгі қасиеттері

Әрбір кездейсоқ А оқиғасы үшін оның ықтималдығы анықталады, және.

Сенімді U оқиғасы үшін ықтималдық анықтамасынан 1 және 2-қасиеттер P(U)=1 орындалады.

Егер А және В оқиғалары үйлесімсіз болса, онда оқиғалар қосындысының ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең болады. Бұл қасиет белгілі бір жағдайда ықтималдықтарды қосу формуласы деп аталады (үйлесімсіз оқиғалар үшін).

А және В ерікті оқиғалары үшін

Бұл қасиет жалпы жағдайда ықтималдықтарды қосу формуласы деп аталады.

Қарама-қарсы А оқиғалары үшін теңдік орындалады.

Сонымен қатар, мүмкін емес оқиға енгізіледі, тағайындалады, оны қарапайым оқиғалар кеңістігінен ешқандай нәтиже көтермейді. Мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы 0, P()=0.

Мысал. Сауалнама нәтижесінде кездейсоқ таңдалған отбасының түсті, ақ-қара немесе түрлі-түсті және ақ-қара теледидарларының болуы ықтималдығы сәйкесінше 0,86; 0,35; 0,29. Отбасында түсті немесе ақ-қара теледидардың болуы ықтималдығы қандай?

Шешім. А оқиғасы отбасында түрлі-түсті теледидар бар болсын.

В оқиғасы отбасында ақ-қара теледидар бар.

C оқиғасы отбасында түсті немесе ақ-қара теледидар бар. С оқиғасы пішінде А және В арқылы анықталады, сондықтан А және В үйлесімді

Комбинаторлық әдіс

Көптеген ықтималдық есептерінде эксперименттің барлық мүмкін болатын нәтижелерін немесе берілген жағдайда мүмкін болатын элементар оқиғаларды тізімдеу немесе олардың санын есептеу қажет. Ол үшін келесі ережелерді қолдануға болады.

Ереже 1. Егер операция екі қадамнан тұрса, онда біріншісін n1 тәсілмен, екіншісін n2 тәсілмен орындауға болады, онда бүкіл операцияны n1·n2 тәсілмен орындауға болады.

«Операция» сөзі кез келген процедураны, процесті немесе таңдау әдісін білдіреді.

Бұл ережені растау үшін xi және yi қадамдарынан тұратын операцияны қарастырыңыз, х қадамын n1 тәсілдермен орындауға болады, яғни. , y қадамын n2 тәсілмен жүзеге асыруға болады, яғни. , онда барлық мүмкін жолдардың қатарын келесі n1n2 жұптарымен көрсетуге болады:

Мысал. Екі сүйекті лақтыратын экспериментте қанша нәтиже болуы мүмкін?

Шешім. Бұл жағдайда x және y арқылы біз бірінші және екінші матрицадағы кез келген беттің жоғалуын түсінеміз. Бірінші штамптағы беттің жоғалуы алты жолмен мүмкін болады xi, ; Екінші матрицаның беті де алты жолмен түсуі мүмкін xj, .

Жалпы мүмкін жолдар 6,6=36.

2-ереже.Егер операция k қадамнан тұрса, онда біріншісін n1 тәсілмен, екіншісін n2 тәсілмен, үшіншісін n2 тәсілмен және т.б., k-ші тәсілмен орындауға болады, онда бүкіл операцияны мына түрде орындауға болады. n1·n2…nk қадамдар .

Мысал. Сапа инспекторы сәйкесінше 4, 3, 5 және 4 бөліктері бар төрт контейнердің әрқайсысынан бір бөлікті таңдағысы келеді. Ол мұны қанша жолмен жасай алады?

Шешім. Жолдардың жалпы саны 4·3·5·4=240 ретінде анықталады.

Мысал. Студент әрбір сұраққа «иә» немесе «жоқ» деп жауап берсе, 20 сұрақтан тұратын тестке қанша мүмкін жауап бере алады?

Шешім. Барлық мүмкін жолдар 2·2...2=220=1048576.

Көбінесе іс жүзінде объектілерге тапсырыс беру керек болған жағдай туындайды.

Мысалы: қанша әртүрлі жолдарҮстелге 6 адам отыра ала ма? Олардың әртүрлі орналасуы ауыстырулар деп аталады.

Мысал. a, b, c әріптері үшін қанша ауыстыру мүмкін?

Шешім. Ықтимал орындар abc, acb, bac, bca, cab, cba. Мүмкін болатын орындар саны - алты.

Қорытындылау үшін бұл мысал, n нысан үшін тек n·(n-1)(n-2)…3 ·2 ·1 түрлі жолдар немесе n!, яғни ауыстырулар саны n!=1·2·3...·(n) - 2)(n-1)n, 0!=1 болғанда.

3-ереже. n түрлі нысандардың ауыстыру саны n-ге тең!.

Мысал. Төрт әріптің ауысу саны 4!=24, бірақ төрт әріптің 2 әріпін таңдасаңыз, қандай ауыстыру саны алынады?

Шешім. Біз төрт әріптен тұратын екі орынды толтыруымыз керек. Бірінші орынға – 4 жол, екінші орынға – 3 жол. Демек, 1 ережені қолданып, бізде 4·3=12 болады.

Бұл мысалды n түрлі нысанға жалпылау, олардың ішінен r > 0 үшін қайтарылмай r нысан таңдалады, барлығы n(n-1)...(n-r+1) бар. Біз бұл санды белгілейміз, ал алынған комбинациялар орналастыру деп аталады.

4-ереже. r арқылы n нысанды орналастыру саны ретінде анықталады

(r = 0,1,...,n үшін).

Объектілер шеңбер бойымен орналасқан орын ауыстырулар айналмалы ауыстырулар деп аталады. Екі айналма ауыстыру әр түрлі емес (бірақ тек біреу ретінде есептеледі), егер екі орналасудағы сәйкес нысандардың сол және оң жағында бірдей нысандар болса.

Мысалы: егер төрт адам көпір ойнап жатса, барлық ойыншылар бір орындықты оңға жылжытса, бізде әртүрлі тәртіп болмайды.

Мысал. Брикте ойнайтын төрт адам қанша дөңгелек ауыстыруға болады? Шешім. Егер біз төрт ойыншының біреуінің позициясын бекітілген етіп алсақ, қалған үш ойыншыны 3-ке орналастыра аламыз! тәсілдер, басқаша айтқанда, бізде алты түрлі айналмалы ауыстыру бар.

Осы мысалды жалпылай отырып, келесі ережені аламыз.

5-ереже. Шеңберде орналасқан n түрлі нысанның орын ауыстыру саны (n-1)!.

Осы уақытқа дейін біз r нысанды таңдап алып, ауыстыруларды құрайтын n нысан ерекше деп есептелді. Осылайша, бұрын айтылған формулалар «кітап» сөзіндегі әріптердің орналасу жолының санын немесе бір новелланың үш данасын және қалған төрт романның әрқайсысының бір данасын орналастыру тәсілдерінің санын анықтау үшін пайдаланыла алмайды. сөреде.

Мысал. «Кітап» сөзінде әріптердің неше түрлі ауысуы бар?

Шешім. Егер О әріптерін ажырату маңызды болса, онда біз оларды O1, O2 деп белгілейміз, содан кейін бізде O1, O2 және K әріптерінің 4!=24 түрлі ауыстырылуы болады. Алайда, егер индекстерді түсіріп алсақ, онда O1 O2 және O2 , O1 енді ажыратылмайды, онда жалпы сан ауыстырулар тең болады.

Мысал. Бір новелланың үш данасын және қалған төрт романның бір данасын сөреге неше түрлі жолмен орналастыруға болады?

Шешім. Егер біз бірінші новелланың үш данасын a1, a2, a3 және қалған төрт романды - b, c, d және e деп белгілесек, онда бұл жағдайда бізде 7 болады! әртүрлі жолдар және 3! a1, a2, a3 ретке келтіру тәсілі.

Егер индекстерді жіберіп алсаңыз, көшірмелерді реттеудің әртүрлі жолдары бар.

Осы дәлелдерді қорытындылай келе, біз келесі ережені аламыз.

6-ереже. n1 бір текті, n2 екінші текті, ..., nk k-тәрізді және n1+n2+...+nk=n болатын n нысанның ауыстырулар саны,

Таңдау ретіне қарамастан, n түрлі нысанның ішінен r нысанды таңдау тәсілдерінің санын анықтау қажет көптеген есептер бар. Мұндай комбинациялар комбинациялар деп аталады.

Мысал. Қоғамдық сауалнамаға 20 адамнан үш кандидатты неше әдіспен таңдауға болады?

Шешім. Үміткерлерді таңдау кезінде біз үшін тапсырыс маңызды болса, онда комбинациялар саны, бірақ үш үміткердің әрбір қатарында 3 таңдауға болады! тәсілдермен; іріктеу реті маңызды болмаса, онда жалпы таңдау әдістері.

Нысандардың өзінен айырмашылығы бар, бірақ реті бойынша емес, n түрлі объектіден r объектісін қайтармайтын комбинациялар комбинациялар деп аталады.

Ереже 7. n түрлі объектілерден r объектілерінің комбинацияларының саны санмен анықталады, комбинациялар санын былай белгілеуге болады.

Мысал. Алты тиын лақтырылған 2 бас пен 4 құйрықты неше түрлі жолмен алуға болады?

Шешім. Бастар мен құйрықтарды алу реті маңызды емес болғандықтан, 7-ережені қолдана отырып, біз аламыз.

Мысал. 4 химик пен 3 физиктен тұратын шағын колледждің факультетінде екі химик пен бір физиктен қанша түрлі комиссия құруға болады.

Шешім. Төрт химиктің 2 комбинациясының санын (алты) тәсілмен алуға болады.

Үш физиктің біреуін (үш) жолмен таңдауға болады.

Комитеттер саны 1 ережеге сәйкес 6·3=18 болып анықталады.

Мысал. Төрт нысаннан тұратын жолды тиісінше екі, бір және бір нысаннан тұратын үш қатарға неше жолмен бөлуге болады?

Шешім. Осы төрт нысанды a, b, c, d әріптерімен белгілейік. Екіге, бірге және бірге бөліну саны 12 болады:

Екі нысанның бөлімін 6 мүмкіндік беретін жолдармен алуға болады. Екінші бөлімді қалыптастыру жолдарының саны. Ал үшінші бөлім үшін жолдар саны 1.

2 ережеге сәйкес бөлу әдістерінің жалпы саны (6·2·1)=12.

Осы мысалды жалпылай отырып, келесі ережені аламыз.

8-ереже. n түрлі объектілер қатарын 1-ші бөлікте n1, 2-бөлікте n2, ... және k-та nk бар k бөлікке бөлу тәсілдерінің саны келесідей берілген:

Мысал. 7 бизнесменді бір үш бөлмелі және екі екі бөлмелі қонақүй бөлмесіне неше жолмен орналастыруға болады?

Шешім. 8-ережеге сәйкес, мұны (екі жүз) тәсілмен жасауға болады.

8-ереженің дәлелі

n1 нысандарын бірнеше жолмен таңдауға болатындықтан, n2 таңдауға болады

2 ережеге сәйкес, жолдардың жалпы саны нысанда анықталады

Өзіндік жұмысқа тапсырма

1. Бір сөреге кездейсоқ он кітап қойылады. Үш нақты кітаптың жақын жерде болу ықтималдығын анықтаңыз.

Жауабы: 0,066.

2. Карталар палубасынан (52 карта) үш карта кездейсоқ түрде шығарылады. Оның үш, жеті және эйс болу ықтималдығын табыңыз.

Жауабы: 0,0029.

3. Әрқайсысының құны 1 рубль болатын бес билет бар;

әрқайсысы 3 рубльден тұратын үш билет;

екі билеттің әрқайсысы 5 рубльден тұрады.

Үш билет кездейсоқ таңдалады. Ықтималдылықты анықтаңыз:

а) осы билеттердің кем дегенде екеуінің бағасы бірдей.

Жауабы: 0,75;

б) барлық үш билеттің құны 7 рубль.

Жауабы: 0,29.

4. Әмиянда 20 тиындық үш тиын және 3 тиындық жеті тиын бар. Кездейсоқ бір монета алынады, содан кейін 20 тиындық екінші монета алынады.

Бірінші монетаның да номиналы 20 тиын болу ықтималдығын анықтаңыз.

Жауабы: 0,22.

• 5. Он лотерея билетінің екеуі ұтысқа ие. Кездейсоқ алынған бес билеттің ықтималдығын анықтаңыз:
  • а) бір жеңген;
  • б) екі жеңімпаз;
  • в) кем дегенде бір жеңімпаз.

Жауабы: 0,55, 0,22, 0,78.

6. Себетте 1-ден n-ге дейінгі сандары бар n доп бар, шарлар қайтарылмай бір-бірден кездейсоқ алынып тасталады. Бірінші k ұтыс кезінде шарлар саны ұтыс санымен сәйкес келу ықтималдығы қандай?

Жауабы: (n - k)!/n!

Қолданылған әдебиет

• 1. http://kurs.ido.tpu.ru/courses/theory_ver/tema2/tema2.html
• 2. http://free.megacampus.ru/xbookM0018/index.html?go=part-003*page.htm
• 3. http://www.testent.ru/publ/studenty/vysshaja_matematika/klassicheskoe_opredelenie_verojatnosti/35-1-0-1121
• 4. http://ru.wikipedia.org/
• 5. http://www.kolasc.net.ru/cdo/books/tv/page15.html

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.

Сынақ нәтижесінде қарапайым нәтижелер (оқиғалар) пайда болсын: ω 1, ω 2, ω 3, …, ω м, ω m +1, …, ωn, олар жұптық үйлесімсіз бірдей ықтимал оқиғалардың толық тобын құрайды.

Анықтамасы:Біз үшін қызықты оқиға орын алатын қарапайым нәтижелерді осы оқиғаға қолайлы деп атаймыз.

Бізді қызықтыратын оқиға болсын Ақарапайым нәтижелердің бірі орын алған жағдайда байқалады: ω 1, ω 2, …, ω м.

Анықтамасы:А оқиғасының ықтималдығы – осы оқиғаға қолайлы нәтижелер санының толық топты құрайтын барлық бірдей мүмкін үйлеспейтін қарапайым нәтижелердің жалпы санына қатынасы:

мұндағы m – А оқиғасына қолайлы қарапайым нәтижелер саны;

n – барлық мүмкін болатын қарапайым сынақ нәтижелерінің саны.

Мысалы:Урнада алты бірдей шар бар: оның екеуі қызыл, үшеуі көк, біреуі ақ. Біз кездейсоқ допты тартамыз.

Оның ақ емес болу ықтималдығын табыңыз.

Шешімі:Алты негізгі нәтиже болуы мүмкін:

ω 1- ақ шар пайда болды,

ω 2, ω 3- қызыл шар пайда болды,

ω 4, ω 5, ω 6– көк шар пайда болды.

Біз ақ емес допты салу ықтималдығын есептейміз:

Өйткені м = 5, n = 6.

Ықтималдық анықтамасынан келесі қасиеттер шығады:

1-қасиет: Сенімді оқиғаның ықтималдығы біреуге тең.

Дәлелдеу:Оқиға белгілі, сондықтан сынақтың әрбір қарапайым нәтижесі оқиғаны жақсы көреді:

2-қасиет:Мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы нөлге тең.

Дәлелдеу:Оқиға мүмкін емес, сондықтан оқиға үшін бірде-бір қарапайым нәтиже қолайлы емес:

3-қасиет:Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы бар оң сан, нөл мен бір арасында қоршалған.

Дәлелдеу:Кездейсоқ оқиға сынақтың қарапайым нәтижелерінің жалпы санының бір бөлігін ғана қолдайды. Демек, 0 < m < n , Содан кейін:

Қорытынды:Кез келген оқиғаның ықтималдығы теңсіздікті қанағаттандырады:

Ықтималдықтың классикалық анықтамасының кемшіліктері бар екенін ескеріңіз. Мысалы, ол қарапайым нәтижелердің саны шектеулі деп есептейді. Іс жүзінде мүмкін болатын нәтижелердің саны шексіз болатын сынақтар жиі кездеседі. Бұл классикалық анықтаманың шектеулерін білдіреді. Ықтималдықтың классикалық анықтамасының тағы бір кемшілігі: сынақ нәтижесін элементар оқиғалар жиынтығы түрінде көрсету жиі мүмкін емес. Элементар оқиғаларды бірдей мүмкін деп санау себептерін көрсету одан да қиын. Ықтималдықтың басқа анықтамаларын енгізу қажет.

Статистикалық ықтималдықты анықтамас бұрын салыстырмалы жиілікті анықтайық.

Анықтамасы:Оқиғаның салыстырмалы жиілігі – оқиға болған сынақтар санының m нақты орындалған сынақтардың жалпы санына n қатынасы:

Ықтималдылық тәжірибеге дейін, ал салыстырмалы жиілік – тәжірибеден кейін есептелетінін ескеріңіз.

Мысалы:Сапаны бақылау бөлімі (техникалық бақылау бөлімі) кездейсоқ таңдалған 80 бөліктен тұратын партияда стандартты емес 3 бөлікті тапты.

Бұл жағдайда стандартты емес бөліктердің салыстырмалы жиілігі мынаған тең:

Салыстырмалы жиілік тұрақтылық қасиеті:Әртүрлі тәжірибелерде салыстырмалы жиілік аз өзгереді (неғұрлым аз болса, соғұрлым көп сынақтар орындалады), белгілі бір тұрақты санның айналасында ауытқиды.

Бұл тұрақты сан оқиғаның ықтималдығы болып шықты:

W(A) ≈ P(A).

Мысалы:Швед статистикасына сәйкес, 1935 жылғы қыздардың туылу жиілігі айлар бойынша (қаңтардан бастап) келесі сандармен сипатталады:

0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Содан кейін W(A) ≈ 0,481≈ P(A)– қыздың туу ықтималдығының шамамен мәні.

Анықтамасы:А оқиғасының ықтималдығы – тәжірибелер санының шектеусіз көбеюімен салыстырмалы жиілігі W(A) тұрақтанатын (жинақталатын) сан.

Ықтималдықтың статистикалық анықтамасында классикалық анықтамадан туындайтын ықтималдықтың барлық қасиеттері сақталатыны анық.