Треугольник, у которого две стороны равны между собой, называется равнобедренным. Эти его стороны называют боковыми, а третью сторону называют основанием. В этой статье мы расскажем Вам о том, какие бывают свойства равнобедренного треугольника.

Теорема 1

Углы возле основания равнобедренного треугольника равны между собой

Доказательство теоремы.

Допустим, мы имеем равнобедренный треугольник ABC, основание которого AB. Давайте рассмотрим треугольник BAC. Эти треугольники, по первому признаку, равны между собой. Так и есть, ведь BC = AC, AC = BC, угол ACB = углу ACB. Отсюда вытекает, что угол BAC = углу ABC, ведь это соответствующие углы наших равных между собой треугольников. Вот Вам и свойство углов равнобедренного треугольника.

Теорема 2

Медиана в равнобедренном треугольнике, которую провели к его основанию, является также высотой и биссектрисой

Доказательство теоремы.

Допустим, мы имеем равнобедренный треугольник ABC, основание которого AB, а CD - это медиана, которую мы провели к его основанию. В треугольниках ACD и BCD угол CAD = углу CBD, как соответствующие углы при основании равнобедренного треугольника (Теореме 1). А сторона AC = стороне BC (по определению равнобедренного треугольника). Сторона AD = стороне BD, Ведь точка D делит отрезок AB на равные части. Отсюда выходит, что треугольник ACD = треугольнику BCD.

Из равенства этих треугольников мы имеем равенство соответствующих углов. То есть угол ACD = углу BCD и угол ADC = углу BDC. Из равенства 1 выходит, что CD - это биссектриса. А угол ADC и угол BDC - смежные углы, и из равенства 2 выходит, что они оба прямые. Получается, что CD - это высота треугольника. Это и есть свойство медианы равнобедренного треугольника.

А теперь немного о признаках равнобедренного треугольника.

Теорема 3

Если в треугольнике два угла равны между собой, то такой треугольник равнобедренный

Доказательство теоремы.

Допустим, мы имеем треугольник ABC, в котором угол CAB = углу CBA. Треугольник ABC = треугольнику BAC по второму признаку равенства между треугольниками. Так и есть, ведь AB = BA; угол CBA = углу CAB, угол CAB = углу CBA. Из такого равенства треугольников мы имеем равенство соответствующих сторон треугольника - AC = BC. Тогда выходит, что треугольник ABC равнобедренный.

Теорема 4

Если в любом треугольнике его медиана является также и его высотой, то такой треугольник равнобедренный

Доказательство теоремы.

В треугольнике ABC мы проведем медиану CD. Она также будет являться и высотой. Прямоугольный треугольник ACD = прямоугольному треугольнику BCD, так как катет CD общий для них, а катет AD = катету BD. С этого следует, что их гипотенузы равны между собой, как соответственные части равных треугольников. Это значит, что AB = BC.

Теорема 5

Если три стороны треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны

Доказательство теоремы.

Допустим, мы имеем треугольник ABC и треугольник A1B1C1 такие, в которых стороны AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Рассмотрим доказательство этой теоремы от противного.

Допустим, что эти треугольники не равны между собой. Отсюда имеем, что угол BAC не равен углу B1A1C1, угол ABC не равен углу A1B1C1, угол ACB не равен углу A1C1B1 одновременно. В противном случае, эти треугольники были бы равны по вышерассмотренному признаку.

Допустим, что треугольник A1B1C2 = треугольнику ABC. У треугольника вершина C2 лежит с вершиной C1 относительно прямой A1B1 в одной полуплоскости. Мы предположили, что вершины C2 и C1 не совпадают. Допустим, что точка D - это середина отрезка C1C2. Так мы имеем равнобедренные треугольники B1C1C2 и A1C1C2, у которых есть общее основание C1C2. Выходит, что их медианы B1D и A1D - это также и их высоты. А это значит, что прямая B1D и прямая A1D перпендикулярны прямой C1C2.

B1D и A1D имеют разные точки B1 и A1, и соответственно, не могут совпадать. Но ведь через точку D прямой C1C2 мы можем провести всего одну перпендикулярную ей прямую. У нас получилось противоречие.

Теперь Вы знаете, какие бывают свойства равнобедренного треугольника!

В котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя неравная им сторона - основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.

Терминология

Если треугольник имеет две равные стороны, то эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона - основанием. Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом , а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании .

Свойства

• Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы , медианы и высоты , проведённые из этих углов.
• Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.

Пусть a - длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b - длина третьей стороны, h - высота равнобедренного треугольника

• $a\; =\; \backslash frac\; b\; \{2\; \backslash cos\; \backslash alpha\}$ (следствие теоремы косинусов);
• $b\; =\; a\; \backslash sqrt\; \{2\; (1\; -\; \backslash cos\; \backslash beta)\}$ (следствие теоремы косинусов);
• $b\; =\; 2a\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2$;
• $b\; =\; 2a\; \backslash cos\; \backslash alpha$ (теорема о проекциях)

Радиус вписанной окружности может быть выражен шестью способами в зависимости от того, какие два параметра равнобедренного треугольника известны:

• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{2a-b\}\{2a+b\}\}$
• $r=\backslash frac\{bh\}\{b+\backslash sqrt\{4h^2+b^2\}\}$
• $r=\backslash frac\{h\}\{1+\backslash frac\{a\}\{\backslash sqrt\{a^2-h^2\}\}\}$
• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash operatorname\{tg\}\; \backslash left\; (\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\; \backslash right)$
• $r=a\backslash cdot\; \backslash cos(\backslash alpha)\backslash cdot\; \backslash operatorname\{tg\}\; \backslash left\; (\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\; \backslash right)$

Углы могут быть выражены следующими способами:

• $\backslash alpha\; =\; \backslash frac\; \{\backslash pi\; -\; \backslash beta\}\; 2;$
• $\backslash beta\; =\; \backslash pi\; -\; 2\backslash alpha;$
• $\backslash alpha\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; a\; \{2R\},\; \backslash beta\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; b\; \{2R\}$ (теорема синусов).
• Угол может также найден без $\{\backslash pi\}$ и $R$. Треугольник делится медианой пополам, и в полученных двух равных прямоугольных треугольниках вычисляется углы:

$y\; =\; \backslash cos\backslash alpha\; =\backslash frac\; \{b\}\{c\},\; \backslash arccos\; y\; =\; x$

Периметр равнобедренного треугольника находится следующими способами:

• $P\; =\; 2a\; +\; b$ (по определению);
• $P\; =\; 2R\; (2\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; \backslash sin\; \backslash beta)$ (следствие теоремы синусов).

Площадь треугольника находится следующими способами:

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2bh;$

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; a^2\; \backslash sin\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; ab\; \backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; \{b^2\}\{4\; \backslash tan\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2\};$ $S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash sqrt\; \{\backslash left(a\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right)\; \backslash left(a\; -\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right)\};$ $S\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; a\; \backslash sqrt\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; ab\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; \{b^1\}\{2\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 1\};$

Смотри также

Напишите отзыв о статье "Равнобедренный треугольник"

Примечания

Отрывок, характеризующий Равнобедренный треугольник

На Марью Дмитриевну, хотя и боялись ее, смотрели в Петербурге как на шутиху и потому из слов, сказанных ею, заметили только грубое слово и шепотом повторяли его друг другу, предполагая, что в этом слове заключалась вся соль сказанного.
Князь Василий, последнее время особенно часто забывавший то, что он говорил, и повторявший по сотне раз одно и то же, говорил всякий раз, когда ему случалось видеть свою дочь.
– Helene, j"ai un mot a vous dire, – говорил он ей, отводя ее в сторону и дергая вниз за руку. – J"ai eu vent de certains projets relatifs a… Vous savez. Eh bien, ma chere enfant, vous savez que mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir… Vous avez tant souffert… Mais, chere enfant… ne consultez que votre c?ur. C"est tout ce que je vous dis. [Элен, мне надо тебе кое что сказать. Я прослышал о некоторых видах касательно… ты знаешь. Ну так, милое дитя мое, ты знаешь, что сердце отца твоего радуется тому, что ты… Ты столько терпела… Но, милое дитя… Поступай, как велит тебе сердце. Вот весь мой совет.] – И, скрывая всегда одинаковое волнение, он прижимал свою щеку к щеке дочери и отходил.
Билибин, не утративший репутации умнейшего человека и бывший бескорыстным другом Элен, одним из тех друзей, которые бывают всегда у блестящих женщин, друзей мужчин, никогда не могущих перейти в роль влюбленных, Билибин однажды в petit comite [маленьком интимном кружке] высказал своему другу Элен взгляд свой на все это дело.
– Ecoutez, Bilibine (Элен таких друзей, как Билибин, всегда называла по фамилии), – и она дотронулась своей белой в кольцах рукой до рукава его фрака. – Dites moi comme vous diriez a une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux? [Послушайте, Билибин: скажите мне, как бы сказали вы сестре, что мне делать? Которого из двух?]
Билибин собрал кожу над бровями и с улыбкой на губах задумался.
– Vous ne me prenez pas en расплох, vous savez, – сказал он. – Comme veritable ami j"ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le prince (это был молодой человек), – он загнул палец, – vous perdez pour toujours la chance d"epouser l"autre, et puis vous mecontentez la Cour. (Comme vous savez, il y a une espece de parente.) Mais si vous epousez le vieux comte, vous faites le bonheur de ses derniers jours, et puis comme veuve du grand… le prince ne fait plus de mesalliance en vous epousant, [Вы меня не захватите врасплох, вы знаете. Как истинный друг, я долго обдумывал ваше дело. Вот видите: если выйти за принца, то вы навсегда лишаетесь возможности быть женою другого, и вдобавок двор будет недоволен. (Вы знаете, ведь тут замешано родство.) А если выйти за старого графа, то вы составите счастие последних дней его, и потом… принцу уже не будет унизительно жениться на вдове вельможи.] – и Билибин распустил кожу.
– Voila un veritable ami! – сказала просиявшая Элен, еще раз дотрогиваясь рукой до рукава Билибипа. – Mais c"est que j"aime l"un et l"autre, je ne voudrais pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [Вот истинный друг! Но ведь я люблю того и другого и не хотела бы огорчать никого. Для счастия обоих я готова бы пожертвовать жизнию.] – сказала она.
Билибин пожал плечами, выражая, что такому горю даже и он пособить уже не может.
«Une maitresse femme! Voila ce qui s"appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois», [«Молодец женщина! Вот что называется твердо поставить вопрос. Она хотела бы быть женою всех троих в одно и то же время».] – подумал Билибин.

1. Свойства равнобедренного треугольника.
2. Признаки равнобедренного треугольника.
3. Формулы равнобедренного треугольника:
   • формулы длины стороны;
   • формулы длины равных сторон;
   • формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , а третья сторона - основанием .

АВ = ВС - боковые стороны

АС - основание

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем :

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС .

Боковые стороны равны АВ = ВС ,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA .

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

• Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
• Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
• Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

• Дан Δ ABC .
• Из точки В проведем высоту BD.
• Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны ().
• Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
• В Δ ABD и Δ BCD ∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1).
• АВ = ВС - боковые стороны равны.
• Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам.
• Следовательно Δ ABD = ΔBCD.
• Биссектриса, высота и медиана это один отрезок - BD

Вывод:

1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

• Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Дано два Δ ABC и Δ A 1 B 1 C 1 . Стороны AB = A 1 B 1 ; BC = B 1 C 1 ; AC = A 1 C 1 .

Доказательство от противного.

• Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
• Пусть Δ A 1 B 1 C 2 = Δ ABC, у которого вершина C 2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C 1 относительно прямой A 1 B 1 . По предположению вершины C 1 и C 2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C 1 C 2 . Δ A 1 C 1 C 2 и Δ B 1 C 1 C 2 – равнобедренные с общим основанием C 1 C 2 . Поэтому их медианы A 1 D и B 1 D являются высотами. Значит, прямые A 1 D и B 1 D перпендикулярны прямой C 1 C 2 . A 1 D и B 1 D имеют разные точки A 1 и B 1 , следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C 1 C 2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
• Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

Признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны.
2. Сумма углов треугольника 180°.
3. Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
4. Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
5. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

Формулы равнобедренного треугольника

• b - сторона (основание)
• а - равные стороны
• a - углы при основании
• b

Формулы длины стороны (основания - b ):

• b = 2a \sin(\beta /2)= a \sqrt { 2-2 \cos \beta }
• b = 2a \cos \alpha

Формулы длины равных сторон - (а):

• a=\frac { b } { 2 \sin(\beta /2) } = \frac { b } { \sqrt { 2-2 \cos \beta } }
• a=\frac { b } { 2 \cos\alpha }

• L - высота=биссектриса=медиана
• b - сторона (основание)
• а - равные стороны
• a - углы при основании
• b - угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L ):

• L = a sina
• L = \frac { b } { 2 } *\tg\alpha
• L = a \sqrt { (1 + \cos \beta)/2 } =a \cos (\beta)/2)

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L ):

• L = \sqrt { a^ { 2 } -b^ { 2 } /4 }

• b - сторона (основание)
• а - равные стороны
• h - высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S ):

S=\frac { 1 } { 2 } *bh

Равнобедренный треугольник - это треугольник, в котором длины двух его сторон равны между собой.

Примечание . Из определения равнобедренного треугольника следует, что правильный треугольник также является равнобедренным. Однако, необходимо помнить, что обратное утверждение - неверно.

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства, приведенные ниже, используются при решении задач. Поскольку они широко известны, то подразумевается, что они не нуждаются в пояснении. Поэтому в текстах задач ссылка на них опущена.

• Углы равны между собой.
• Биссектрисы, медианы и высоты , проведённые из углов, противолежащих равным сторонам треугольника, равны между собой.
• Биссектриса, медиана и высота , проведенные к основанию, совпадают между собой.
• Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане (они совпадают) проведенных к основанию.
• Углы , противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые .

Стороны в равнобедренном треугольнике могут быть вычислены с помощью формул, выражающих их длину через другие стороны и углы, величина которых известна.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна частному от деления основания на двойной косинус угла при основании (Формула 1). Данное тождество может быть получено путем несложных преобразований из теоремы косинусов.

Основание равнобедренного треугольника равно произведению боковой стороны на квадратный корень из удвоенной разности единицы и косинуса угла при вершине (Формула 2)

Основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению боковой стороны на синус половины угла при вершине. (Формула 3)

Основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению боковой стороны на косинус угла при его основании (Формула 4).

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

Обозначения в формулах, можно посмотреть на рисунке выше. Радиус вписанной окружности для равнобедренного треугольника можно найти, исходя из величин основания и каждой стороны. (Формула 1) Радиус вписанной окружности для равнобедренного треугольника можно определить,исходя из величин основания и высоты, проведенной к этому основанию (Формула 2) Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности можно также вычислить через длину боковой стороны и высоту, проведенную к основанию треугольника (Формула 3) Знание величины угла между боковыми сторонами и длины основания также позволяет определить радиус вписанной окружности (Формула 4) Аналогичная формула (5) позволяет определить радиус вписанной окружности через боковые стороны и угол между ними

Признаки равнобедренного треугольника

Треугольник, у которого присутствуют перечисленные ниже признаки, является равнобедренным .

• Два угла треугольника равны
• Высота совпадает с медианой
• Высота совпадает с биссектрисой
• Биссектриса совпадает с медианой
• Две высоты равны
• Две медианы равны
• Две биссектрисы равны

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника находится по следующим формулам:

,
где
a - длина одной из двух равных сторон треугольника
b - длина основания
α - величина одного из двух равных углов при основании

β - величина угла между равными сторонами треугольника и противолежащего его основанию.

Геометрия - это не только предмет в школе, по которому нужно получить отличную оценку. Это еще и знания, которые часто требуются в жизни. Например, при строительстве дома с высокой крышей необходимо рассчитать толщину бревен и их количество. Это несложно, если знать, как находить высоту в равнобедренном треугольнике. Архитектурные сооружения базируются на знании свойств геометрических фигур. Формы зданий зачастую визуально напоминают их. Египетские пирамиды, пакеты с молоком, художественная вышивка, северные росписи и даже пирожки - это все треугольники, окружающие человека. Как говорил Платон, весь мир базируется на треугольниках.

Равнобедренный треугольник

Треугольник является равнобедренным, если он имеет две равных стороны. Их всегда называют боковыми. Сторона, размеры которой отличаются, получила название основания.

Основные понятия

Как и любая наука, геометрия имеет свои основные правила и понятия. Их достаточно много. Рассмотрим лишь те, без которых наша тема будет несколько непонятна.

Высота - это прямая линия, проведенная перпендикулярно к противоположной стороне.

Медиана - это отрезок, направленный из любой вершины треугольника исключительно к середине противоположной стороны.

Биссектриса угла - это луч, разделяющий угол пополам.

Биссектриса треугольника - это прямая, вернее, отрезок соединяющий вершину с противоположной стороной.

Очень важно запомнить, что биссектриса угла - это обязательно луч, а биссектриса треугольника - это часть такого луча.

Углы при основании

Теорема гласит, что углы, расположенные при основании любого равнобедренного треугольника, всегда равны. Доказать эту теорему очень просто. Рассмотрим изображенный равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ=ВС. Из угла АВС необходимо провести биссектрису ВД. Теперь следует рассмотреть два полученных треугольника. По условию АВ=ВС, сторона ВД у треугольников общая, а углы АВД и СВД равны, ведь ВД - биссектриса. Вспомнив первый признак равенства, можно смело заключить, что рассматриваемые треугольники равны. А следовательно, равны все соответствующие углы. И, конечно, стороны, но к этому моменту вернемся позже.

Высота равнобедренного треугольника

Основная теорема, на которой базируется решение практически всех задач, звучит так: высота в равнобедренном треугольнике является биссектрисой и медианой. Чтобы понять её практический смысл (или суть), следует сделать вспомогательное пособие. Для этого необходимо вырезать из бумаги равнобедренный треугольник. Легче всего это сделать из обычного тетрадного листка в клеточку.

Согните полученный треугольник пополам, совместив боковые стороны. Что получилось? Два равных треугольника. Теперь следует проверить догадки. Разверните полученное оригами. Прочертите линию сгиба. При помощи транспортира проверьте угол между прочерченной линией и основанием треугольника. О чем говорит угол в 90 градусов? О том, что прочерченная линия - перпендикуляр. По определению - высота. Как находить высоту в равнобедренном треугольнике, мы разобрались. Теперь займемся углами при вершине. При помощи того же транспортира проверьте углы, образованные теперь уже высотой. Они равны. Значит, высота одновременно является и биссектрисой. Вооружившись линейкой, измерьте отрезки, на которые разбивает высота основание. Они равны. Следовательно, высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам и является медианой.

Доказательство теоремы

Наглядное пособие ярко демонстрирует истинность теоремы. Но геометрия - наука достаточно точная, поэтому требует доказательств.

Во время рассмотрения равенства углов при основании было доказано равенство треугольников. Напомним, ВД - биссектриса, а треугольники АВД и СВД равны. Вывод был таков: соответствующие стороны треугольника и, естественно, углы равны. Значит, АД = СД. Следовательно, ВД - медиана. Осталось доказать, что ВД является высотой. Исходя из равенства рассматриваемых треугольников, получается, что угол АДВ равен углу СДВ. Но эти два угла являются смежными, и, как известно, дают в сумме 180 градусов. Следовательно, чему они равны? Конечно, 90 градусам. Таким образом, ВД - это высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию. Что и требовалось доказать.

Основные признаки

• Чтобы успешно решать задачи, следует запомнить основные признаки равнобедренных треугольников. Они как бы обратны теоремам.
• Если в ходе решения задачи обнаруживается равенство двух углов, значит, вы имеете дело с равнобедренным треугольником.
• Если удалось доказать, что медиана является одновременно и высотой треугольника, смело заключайте - треугольник равнобедренный.
• Если биссектриса является и высотой, то, опираясь на основные признаки, треугольник относят к равнобедренным.
• И, конечно, если медиана выступает и в роли высоты, то такой треугольник - равнобедренный.

Формула высоты 1

Однако для большинства задач требуется найти арифметическую величину высоты. Именно поэтому рассмотрим, как находить высоту в равнобедренном треугольнике.

Вернемся к представленной выше фигуре АВС, у которой а - боковые стороны, в - основание. ВД - высота этого треугольника, она имеет обозначение h.

Что представляет собой треугольник АВД? Так как ВД - высота, то треугольник АВД - прямоугольный, катет которого необходимо найти. Воспользовавшись формулой Пифагора, получаем:

АВ² = АД² + ВД²

Определив из выражения ВД и подставив принятые ранее обозначения, получим:

Н² = а² - (в/2)².

Необходимо извлечь корень:

Н = √а² - в²/4.

Если вынести из под знака корня ¼ , то формула будет иметь вид:

Н = ½ √4а² - в².

Так находится высота в равнобедренном треугольнике. Формула вытекает из теоремы Пифагора. Даже если забыть эту символическую запись, то, зная метод нахождения, всегда можно её вывести.

Формула высоты 2

Формула, описанная выше, является основной и чаще всего используется при решении большинства геометрических задач. Но она не единственная. Иногда в условии, вместо основания, дано значение угла. При таких данных как находить высоту в равнобедренном треугольнике? Для решения подобных задач целесообразно использовать другую формулу:

где Н - высота, направленная к основанию,

а - боковая сторона,

α - угол при основании.

Если в задаче дано значение угла при вершине, то высота в равнобедренном треугольнике находится следующим образом:

Н = а/cos (β/2),

где Н - высота, опущенная на основание,

β - угол при вершине,

а - боковая сторона.

Прямоугольный равнобедренный треугольник

Очень интересным свойством обладает треугольник, вершина которого равна 90 градусам. Рассмотрим АВС. Как и в предыдущих случаях, ВД - высота, направленная к основанию.

Углы при основании равны. Вычислить их большого труда не составит:

α = (180 - 90)/2.

Таким образом, углы, находящиеся при основании, всегда по 45 градусов. Теперь рассмотрим треугольник АДВ. Он также является прямоугольным. Найдем угол АВД. Путем несложных вычислений получаем 45 градусов. А, следовательно, этот треугольник не только прямоугольный, но и равнобедренный. Стороны АД и ВД являются боковыми сторонами и равны между собой.

Но сторона АД в то же время является половиной стороны АС. Получается, что высота в равнобедренном треугольнике равна половине основания, а если записать в виде формулы, то получим следующее выражение:

Следует не забывать, что данная формула является исключительно частным случаем, и может быть использована только для прямоугольных равнобедренных треугольников.

Золотые треугольники

Очень интересным является золотой треугольник. В этой фигуре отношение боковой стороны к основанию равняется величине, названной числом Фидия. Угол, расположенный при вершине - 36 градусов, при основании - 72 градуса. Этим треугольником восхищались пифагорейцы. Принципы золотого треугольника положены в основу множества бессмертных шедевров. Известная всем построена на пересечении равнобедренных треугольников. Для многих творений Леонардо да Винчи использовал принцип «золотого треугольника». Композиция «Джоконды» основана как раз на фигурах, которые создают собой правильный звездчатый пятиугольник.

Картина «Кубизм», одно из творений Пабло Пикассо, завораживает взгляд положенными в основу равнобедренными треугольниками.