Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.

Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"

Подобные документы

Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

лекция , добавлен 18.08.2012


Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Признак уравнения в полных дифференциалах, построение общего интеграла. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя. Случай множителя, зависящего только от Х и только от Y.

курсовая работа , добавлен 24.12.2014


Особенности дифференциальных уравнений как соотношения между функциями и их производными. Доказательство теоремы существования и единственности решения. Примеры и алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель в примерах.

курсовая работа , добавлен 11.02.2014


Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.

курсовая работа , добавлен 26.01.2015


Уравнение с разделяющимися переменными. Однородные и линейные дифференциальные уравнения. Геометрические свойства интегральных кривых. Полный дифференциал функции двух переменных. Определение интеграла методами Бернулли и вариации произвольной постоянной.

реферат , добавлен 24.08.2015


Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.

дипломная работа , добавлен 10.06.2010


Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.

контрольная работа , добавлен 02.11.2011

Уравнение M (x , y ) dx + N (x , y ) dy =0 называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число k , что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x , y , dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k ‑ го измерения, dx и dy – соответственно нулевого и (k -1) -го измерений. Например, таким будет уравнение . (6.1)

Действительно при сделанном предположении относительно измерений

x , y , dx и dy члены левой части
иdy будут иметь соответственно измерения -2, 2k и k -1. Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k : -2 = 2k = k -1. Это условие выполняется при k = -1 (при таком k все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщенным однородным.

Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки
, гдеz – новая неизвестная функция. Проинтегрируем указанным методом уравнение (6.1). Так как k = -1, то
, после чего получаем уравнение.

Интегрируя его, находим
, откуда
. Это общее решение уравнения (6.1).

§ 7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид:

, (7.1)

где P (x ) и Q (x ) – заданные непрерывные функции от x . Если функция
, то уравнение (7.1) имеет вид:
(7.2)

и называется линейным однородным уравнением, в противном случае
оно называется линейным неоднородным уравнением.

Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:

(7.3)

Выражение (7.3) есть общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее решение уравнения (7.1), в котором функция P (x ) обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), применим прием, называемый методом вариации произвольной постоянной и состоящий в следующем: постараемся подобрать функцию С=С(x ) так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось бы решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда для производной функции (7.3) получим:

.

Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь:

или
.

Откуда
, где- произвольная постоянная. В результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет(7.4)

Первое слагаемое в этой формуле представляет общее решение (7.3) линейного однородного дифференциального уравнения (7.2), а второе слагаемое формулы (7.4) есть частное решение линейного неоднородного уравнения (7.1), полученное из общего (7.4) при
. Этот важный вывод выделим в виде теоремы.

Теорема. Если известно одно частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
, то все остальные решения имеют вид
, где
- общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Однако надо отметить, что для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется другой метод, иногда называемый методом Бернулли. Будем искать решение уравнения (7.1) в виде
. Тогда
. Подставим найденную производную в исходное уравнение:
.

Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и вынесем функцию u (x ) за скобку:
(7.5)

Потребуем обращения в нуль круглой скобки:
.

Решим это уравнение, полагая произвольную постоянную C равной нулю:
. С найденной функциейv (x ) вернемся в уравнение (7.5):
.

Решая его, получим:
.

Следовательно, общее решение уравнения (7.1) имеет вид.

def 1 ДУ вида

называется однородным дифференциальным уравнением I порядка (ОДУ).

Th 1 Пусть для функции выполнены условия:

1) непрерывна при

Тогда ОДУ (1) имеет общий интеграл, который при задаётся формулой:

где - некоторая первообразная функции с – произвольная константа.

Замечание 1 Если при некоторых будет выполнено условие то в процессе решения ОДУ (1) могут быть потеряны решения вида к таким случаям надо относиться внимательнее и проверять каждый из них отдельно.

Таким образом из теоремы Th1 следует общий алгоритм решения ОДУ (1):

1) Сделать замену:

2) Таким образом, будет получено ДУ с разделяющимися переменными, которое следует проинтегрировать;

3) Вернуться к старым gпеременным;

4) Проверить значения , на их причастность к решению исходного ДУ , при которых будет выполнено условие

5) Записать ответ.

Пример 1 Решить ДУ (4).

Решение: ДУ (4) – это однородное дифференциальное уравнение, так как оно имеет вид (1). Сделаем замену (3), это приведёт уравнение (4) к виду:

Уравнение (5) – это общий интеграл ДУ (4).

Заметим, что при разделении переменных и делении на могли быть потеряны решения, однако не является решением ДУ (4), что легко проверяется непосредственной подстановкой в равенство (4), так как это значение не входит в область определения исходного ДУ.

Ответ:

Замечание 2 Иногда встречается запись ОДУ через дифференциалы переменных х и у. Рекомендуется от этой записи ДУ перейти к выражению через производную и только затем выполнять замену (3).

Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.

def 2 Функцию называют однородной функцией степени k в области , для которой будет выполнено равенство:

Вот наиболее часто встречающиеся типы ДУ, которые допускают приведение к виду (1) после различных преобразований.

1) где функция является однородной, степени нуль , то есть справедливо равенство: ДУ (6) легко приводится к виду (1), если положить , которое далее интегрируется с использованием замены (3).

2) (7), где функции являются однородными одной и той же степени k . ДУ вида (7) также интегрируется с помощью замены (3).

Пример 2 Решить ДУ (8).

Решение: Покажем, что ДУ (8) является однородным. Разделим на что возможно, так как не является решением ДУ (8).

Сделаем замену (3), это приведёт уравнение (9) к виду:

Уравнение (10) – это общий интеграл ДУ (8).

Заметим, что при разделении переменных и делении на могли быть потеряны решения, соответствующие значениям и . Проверим эти выражения. Подставим их в ДУ (8):

Ответ:

Интересно отметить, что при решении данного примера появляется функция называемая «знак» числа х (читается «сигнум икс »), определённая выражением:

Замечание 3 Приводить ДУ (6) или (7) к виду (1) не является обязательным, если очевидно, что ДУ является однородным, то можно и сразу произвести замену

3) ДУ вида (11), интегрируется как ОДУ если , при этом первоначально выполняют подстановку:

(12), где - решение системы: (13), а затем используют замену (3) для функции После получения общего интеграла возвращаются к переменным х и у .

Если же , то, полагая в уравнении (11) получим ДУ с разделяющимися переменными.

Пример 3 Решить задачу Коши (14).

Решение: Покажем, что ДУ (14) приводится к однородному ДУ и интегрируется по вышеуказанной схеме:

Решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений (15) методом Крамера:

Сделаем замену переменных и проинтегрируем полученное уравнение:

(16) – Общий интеграл ДУ (14). При разделении переменных могли быть потеряны решения при делении на выражение , которые могут быть получены в явном виде после решения квадратного уравнения . Однако, они учтены в общем интеграле (16) при

Найдём решение задачи Коши: подставим значения и в общий интеграл (16) и найдём с .

Таким образом, частный интеграл будет задаваться формулой:

Ответ:

4) Некоторые ДУ возможно привести к однородным для новой, пока неизвестной функции , если применить замену вида:

При этом число m подбирается из условия того, чтобы полученное уравнение, если это возможно, стало однородным какой-либо степени. Однако, если этого сделать нельзя, значит, рассматриваемое ДУ привести к однородному таким способом нельзя.

Пример 4 Решить ДУ . (18)

Решение: Покажем, что ДУ (18) приводится к однородному ДУ с помощью подстановки (17) и далее интегрируется с использованием замены (3):

Найдём с:

Таким образом, частное решение ДУ (24) имеет вид

Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях

Пусть существует уравнение. Если - обычная функция, то ее решение есть первообразная, то есть. Пусть теперь - обобщенная функция.

Определение. Обобщенная функция называется первообразной обобщенной функцией, если. Если - сингулярная обобщенная функция, то возможны случаи, когда ее первообразная - регулярная обобщенная функция. Например, первообразная является; первообразная является функция, а решение уравнения можно записать в виде: , где.

Есть линейное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами

где - обобщенная функция. Пусть - дифференциальный полином -го порядка.

Определение. Обобщенным решением дифференциального уравнения (8) называется обобщенная функция, для которой выполняется соотношение:

Если - непрерывная функция, тогда единственным решением уравнения (8) является классическое решение.

Определение. Фундаментальным решением уравнения (8) называется любая обобщенная функция такая, что.

Функция Грина - фундаментальное решение, удовлетворяющее граничному, начальному или асимптотическому условию.

Теорема. Решение уравнения (8) существует и имеет вид:

если только свертка определена.

Доказательство. Действительно, . По свойству свертки следует: .

Нетрудно увидеть, что фундаментальным решением этого уравнения является, так как

Свойства обобщенных производных

Операция дифференцирования линейна и непрерывна из в:

в, если в;

Каждая обобщенная функция бесконечно дифференцируема. Действительно, если, то; в свою очередь и т.д.;

Результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Например, ;

Если и, то справедлива формула Лейбница дифференцирования произведения. Например, ;

Если обобщенная функция, то;

Если ряд, составленный из локально интегрируемых функций, сходится равномерно на каждом компакте, то его можно почленно дифференцировать любое число раз (как обобщенную функцию), и полученные ряды будут сходится в.

Пример. Пусть

Функция называется функцией Хевисайда или единичной функцией. Она локально интегрируема и потому может рассматриваться как обобщенная функция. Можно найти ее производную. Согласно определению, т.е. .

Обобщенные функция, отвечающие квадратичным формам с комплексными коэффициентами

До сих пор рассматривались исключительно квадратичные формы с вещественными коэффициентами. В этом пункте исследуется пространство всех квадратичных форм с комплексными коэффициентами.

Задачей является определение обобщенной функции, где - комплексное число. Однако в общем случае не будет однозначной аналитической функцией от. Поэтому в пространстве всех квадратичных форм выделяют «верхнюю полуплоскость» квадратичных форм с положительно определенной мнимой частью и определяют для них функцию. А именно, если квадратичная форма принадлежит этой «полуплоскости», то пологается, где. Такая функция является однозначной аналитической функцией от.

Можно сопоставить теперь функции обобщенную функцию:

где интегрирование ведется по всему пространству. Интеграл (13) сходится при и является в этой полуплоскости аналитической функцией от. Продолжая аналитически эту функцию, определяется функционал для других значений.

Для квадратичных форм с положительно определенной мнимой частью находятся особые точки функций и вычисляются вычеты этих функций в особых точках.

Обобщенная функция аналитически зависит не только от, но и от коэффициентов квадратичной формы. Тем самым, является аналитической функцией в верхней «полуплоскости» всех квадратичных форм вида, где есть положительно определенная форма. Следовательно, однозначно определяется своими значениями на «мнимой полуоси», т. е. на множестве квадратичных форм вида, где - положительно определенная форма.

Показано как распознать обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Рассмотрен способ решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка. Дан пример подробного решения такого уравнения.

Содержание

Определение

Обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка - это уравнение вида:
, где α ≠ 0 , α ≠ 1 , f - функция.

Как определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным

Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным, нужно ввести постоянную t и сделать замену:
y → t α · y , x → t·x .
Если удастся выбрать такое значение α , при котором постоянная t сократится, то это - обобщенное однородное дифференциальное уравнение . Изменение производной y′ при такой замене имеет вид:
.

Пример

Определить, является ли данное уравнение обобщенным однородным:
.

Делаем замену y → t α · y , x → t·x , y′ → t α-1 y′ :
;
.
Разделим на t α+5 :
;
.
Уравнение не будет содержать t , если
4 α - 6 = 0 , α = 3/2 .
Поскольку при α = 3/2 , t сократилось, то это обобщенное однородное уравнение .

Метод решения

Рассмотрим обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Покажем, что оно приводится к однородному уравнению с помощью подстановки:
t = x α .
Действительно,
.
Отсюда
; .
(1) :
;
.

Это - однородное уравнение . Оно решается подстановкой:
y = z · t ,
где z - функция от t .
При решении задач, проще сразу применять подстановку:
y = z x α ,
где z - функция от x .

Пример решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка

Решить дифференциальное уравнение
(П.1) .

Проверим, является ли данное уравнение обобщенным однородным. Для этого в (П.1) делаем замену:
y → t α · y , x → t·x , y′ → t α-1 y′ .
.
Разделим на t α :
.
t сократится, если положить α = -1 . Значит - это обобщенное однородное уравнение.

Делаем подстановку:
y = z x α = z x -1 ,
где z - функция от x .
.
Подставляем в исходное уравнение (П.1) :
(П.1) ;
;
.
Умножим на x и раскрываем скобки:
;
;
.
Разделяем переменные - умножим на dx и разделим на x z 2 . При z ≠ 0 имеем:
.
Интегрируем, пользуясь таблицей интегралов :
;
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную e C → C и уберем знак модуля, поскольку выбор нужного знака определяется выбором знака постоянной С :
.

Возвращаемся к переменной y . Подставляем z = xy :
.
Делим на x :
(П.2) .

Когда мы делили на z 2 , мы предполагали, что z ≠ 0 . Теперь рассмотрим решение z = xy = 0 , или y = 0 .
Поскольку при y = 0 , левая часть выражения (П.2) не определена, то к полученному общему интегралу, добавим решение y = 0 .

;
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.