Първоначална геометрична информация

Концепцията за сегмент, както и концепцията за точка, права, лъч и ъгъл, се отнася до първоначална геометрична информация. Изследването на геометрията започва с изброените концепции.

Под "първичната информация" обикновено разбират нещо елементарно и просто. В разбирането, може би е така. Въпреки това, такива прости концепции често се срещат и са необходими не само в нашето ежедневие, но и в производството, строителството и други области на нашия поминък.

Да започнем с дефиниции.

Определение 1.

Сегментът е част от директен, ограничен до две точки (краища).

Ако сегментите на сегмента са точки от $ a $ и $ b $, полученият сегмент е написан като $ ab или $ ba $. Този сегмент принадлежи към точките $ a $ и $ b $, както и всички точки, които пряко разпознават между тези точки.

Определение 2.

В средата на сегмента е точката на сегмента, който го разделя на половината на два равни сегмента.

Ако това е точка $ c $, тогава $ AC \u003d CB $.

Измерването на сегмента се извършва с сравнение с определен сегмент, приет за единица за измерване. Най-често се използва сантиметър. Ако в даден сегмент, сантиметърът е подреден точно четири пъти, тогава това означава, че дължината на този сегмент е $ 4 $ cm.

Въвеждаме просто наблюдение. Ако точката разделя сегмента на два сегмента, тогава дължината на целия сегмент е равна на сумата на дължините на тези сегменти.

Формула за намиране на координатите на средата на сегмента

Формулата за намиране на координата на средата на сегмента се отнася до хода на аналитичната геометрия в равнината.

Даваме определението за координати.

Определение 3.

Координати са определени (или поръчани) номера, които показват позицията на точката на равнината, на повърхността или в пространството.

В нашия случай координатите се отбелязват в равнина, определена от координатните оси.

Фигура 3. Координатната равнина. Автор24 - Студентска интернет обмяна

Ние описваме картината. Самолетът избра точка, наречена започване на координатите. Той се обозначава с буквата $ o $. Чрез началото на координатите, две права (координатни оси), пресичащи се под прав ъгъл и един от тях е строго хоризонтален, а другият е вертикален. Тази разпоредба се счита за обичайна. Хоризонталната директна се нарича ASCCISSA AXIS и се обозначава с вертикален $ Vertical - собственикът на $ oy $ $.

Така осите определят равнината на $ xoy $.

Координатите на точките в такава система се определят от две числа.

Има различни формули (уравнения), които определят тези или други координати. Обикновено различни формули на директни, ъгли, дължина на сегмента и други изучават аналитична геометрия.

Нека незабавно се обърнем към координатната формула на средата на сегмента.

Определение 4.

Ако координатите на точката $ e (x, y) $ е средата на сегмента от $ m_1m_2 $, след това:

Фигура 4. Формула за намиране на координата на средата на сегмента. Автор24 - Студентска интернет обмяна

Практическа част

Примери от учебната година на геометрията са доста прости. Обмислете няколко основни.

За по-добро разбиране, помислете за началото на елементарен визуален пример.

Пример 1.

Имаме рисуване:

На фигурата сегментите от $ AC, CD, DE, EB $ са равни.

1. Среда Какви сегменти е точката $ d $?
2. Каква е средата на $ db $ сегмент?

1. $ D $ е средата на $ ab $ и $ ce $;
2. точка $ e $.

Помислете за друг прост пример, в който трябва да изчислите дължината.

Пример 2.

$ B $ е средата на сегмента от $ AC $. $ Ab \u003d 9 $ Вижте какво е $ AC дължина?

Тъй като t. $ B $ разделя $ AC $ на половина, след това $ ab \u003d bc \u003d 9 $ cm. Така че $ AC \u003d 9 + 9 \u003d 18 cm.

Отговор: 18 cm.

Други подобни примери обикновено са идентични и фокусирани върху уменията за сравняване на дължината на дължината и тяхното представяне с алгебрични действия. Често в задачите има случаи, когато сантиметърът не отговаря на плавния брой пъти в сегмента. След това измерването на единицата е разделена на равни части. В нашия случай, сантиметърът е разделен на 10 милиметра. Отделно измерване на остатъка, сравняващ с милиметър. Даваме пример, който да демонстрира такъв случай.

След усърдна работа, изведнъж забелязах, че размерът на уеб страниците е достатъчно голям, и ако отиде по-далеч, тогава можете да се обеднете спокойно мирно \u003d) следователно, аз предявявам на вашето внимание малко есе, посветено на много често срещана геометрична задача - относно разделянето на сегмента в това отношениеи, като специален случай, за разделянето на сегмента наполовина.

Тази задача по една или друга причина не се вписва в други уроци, но сега има чудесна възможност да го разгледате подробно и спокойно. Приятната новина е, че ще почиваме малко от векторите и ще се концентрираме върху точките и сегментите.

Формули за разделяне на сегмента в това отношение

Понятието за разделяне на сегмента в това отношение

Често, обещано да чакаме изобщо, веднага ще обмисля няколко точки и очевидни невероятни - нарязани:

Разглежданият проблем е валиден както за сегменти на равнината, така и за сегменти на пространството. Това означава, че демонстрационният сегмент може да бъде настанен в равнината или в пространството. За удобството на обяснението я нарисувах хоризонтално.

Какво ще правим с този сегмент? Този път за рязане. Някой видя бюджет, някой видя съпруг, някой, който изрева дърва за огрев и ние ще започнем да намаляваме сегмента на две части. Сегментът е разделен на две части с определена точка, която е разбираема, разположена точно върху нея:

В този пример, точката разделя сегмента по такъв начин, че сегментът да е два пъти по-малък от сегмента. Все още можете да кажете, че точката разделя сегмента към ("един на два"), като се брои от върха.

На сух математически език този факт е написан, както следва: или по-често под формата на познат пропорция :. Съотношението на сегментите се прави стандартно гръцкото писмо "Ламбда", в този случай :.

Пропорцията е лесна за компилиране в различен ред: - Този запис означава, че сегментът е два пъти по-дълъг от сегмента, но няма фундаментална стойност за решаване на проблеми. Можете да го направите така и така възможно.

Разбира се, сегментът е лесен за разделяне на някаква друга връзка и като консолидация на концепцията, вторият пример:

Съотношението е вярно тук :. Ако направите пропорция напротив, тогава получаваме :.

След като разбрахме какво означава да разделим сегмента в това отношение, нека се обърнем към разглеждането на практическите задачи.

Ако са известни две равнинни точки, координатите на точката, които разделят сегмента във връзка с, се изразяват чрез формули:

Откъде идват формулите? В хода на аналитичната геометрия тези формули са строго показани с помощта на вектори (където иначе без тях? \u003d)). Освен това те са валидни не само за картозърската координатна система, но и за арбитражна координатна система (вж. Урока Линейна (не) векторна зависимост. Основни вектори). Такава универсална задача.

Пример 1.

Да намерите координатите на точката, разделяща сегмента във връзка с това, ако точките са известни

Решение: В тази задача. Според формулите за разделяне в това отношение ще намерим точката:

Отговор:

Обърнете внимание на техниката на изчисление: първо трябва да изчислявате отделно числитета и отделно знаменателя. В резултат на това често (но не винаги) е тристранна или четириетажна фракция. След това се отърваваме от посвещението на фракцията и провеждаме окончателни опростяване.

Задачата не е необходима за изграждане на рисунка, но винаги е полезно да се изпълни по проекта:

Всъщност се извършва съотношението, т.е. сегментът е три пъти по-кратък сегмент. Ако пропорцията не е очевидна, тогава сегментите винаги могат да бъдат глупаво измерени от обичайния владетел.

Equalcense. вторият начин за решаване: В него броенето започва от точката и е справедлива на отношението: (Човешки думи, нарязани три пъти по-дълги от сегмента). Според формулите за разделяне на сегмента в това отношение:

Отговор:

Обърнете внимание, че във формулите е необходимо да се преместят точките координати на първо място, тъй като малкият трилър започна с него.

Също така се вижда, че вторият метод е рационален поради по-опростеното изчисление. Все пак тази задача е по-често решена в "традиционния" ред. Например, ако условието е дадено сегмент, се предполага, че сте пропорционален, ако се даде сегмент, тогава "бруто" означава съотношение.

И втория метод, който доведох поради причината, че проблемът с задачата често се опитва да умишлено. Ето защо е много важно да се извърши проект на чертеж, така че първо да се анализира правилно условието и, второ, за да се провери. Срамно е да правите грешки в такава проста задача.

Пример 2.

Точки . Да намеря:

а) точка разделянето на сегмент по отношение на;
б) точка, разделяща сегмент във връзка.

Това е пример за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока.

Понякога има задачи, при които един от краищата на сегмента е неизвестен:

Пример 3.

Точката принадлежи към сегмента. Известно е, че сегментът е два пъти по-дълъг от сегмента. Намери точка, ако .

Решение: От условието следва, че точката разделя сегмента във връзка с, преброяването от върха, т.е. съотношението е валидно :. Според формулите за разделяне на сегмента в това отношение:

Сега ние сме неизвестни координатите на точката: но това не е специален проблем, тъй като те са лесни за изразяване от горните формули. Като цяло, не си струва да се изразява нищо, много по-лесно е да се замени специфични номера и внимателно да се справим с изчисленията:

Отговор:

За да проверите, можете да вземете краищата на сегмента и, като използвате формулите в пряк ред, уверете се, че съотношението ще получи точка. И, разбира се, разбира се, няма да бъде излишно. И най-накрая да ви убедим за ползите от кавирания лаптоп, простият молив е да линейка, предлагам трудна задача за независимо решение:

Пример 4.

Точка . Сегмент един и половина пъти по-кратък. Намери точка, ако са известни координатите на точките. .

Решение в края на урока. Това, между другото, не е единственият, ако се различавате различно от пробата, това няма да е грешка, най-важното е, че отговорите съвпадат.

За пространствени сегменти всичко ще бъде по същия начин, ще се добави само една координатна.

Ако са известни две точки на място, координатите на точката, които разделят сегмента във връзка с, се изразяват чрез формули:
.

Пример 5.

Проклети точки. Намерете координатите на точката, принадлежащи към сегмента, ако е известно, че това .

Решение: От условието отношението: . Този пример е взет от действителната тестова работа и неговият автор си позволи малка шега (внезапно някой се оказва) - съотношението в състоянието е по-добре да се записва като: .

Според координатите на средата на сегмента:

Отговор:

Триизмерните чертежи за тестови цели са много по-сложни. Въпреки това, винаги можете да направите схематичен чертеж, за да разберете поне в състоянието - кои сегменти трябва да бъдат корелирани.

Що се отнася до фракциите в отговора, не се изненадвайте, обичайното нещо. Той говореше многократно, но повтарям: във висша математика е обичайно да се пише с обикновени правилни и грешни фракции. Отговор във формата Тя ще отиде, но опцията с неправилни фракции е по-стандартна.

Задача за тренировка за саморешения:

Пример 6.

Проклети точки. Намерете точката координати, ако е известно, че разделя сегмента във връзка.

Решение и отговор в края на урока. Ако е трудно да се придвижвате в пропорции, извършете схематичен чертеж.

При независима и тестване на работата, разглежданите примери се намират както сами, така и неразделна част от по-големи задачи. В този смисъл е типична задача за намиране на центъра на тежестта на триъгълника.

Някаква задача, в която един от краищата на сегмента е неизвестен, не виждам много чувство за разглобяване, тъй като всичко ще бъде като плосък случай, освен за изчисляване малко повече. По-добре помни учебните години:

Средно нарязани координатни формули

Дори неподготвените читатели могат да си спомнят как да разделят сегмента наполовина. Задачата за разделяне на сегмента на две равни части е специален случай на разделяне на сегмента в това отношение. Двуръчният трион работи като демократичен начин и всеки съсед е взет на бюрото в същата пръчка:

При този тържествен час барабаните чукат, като приветства значителна част. И общи формули По чудо трансформиран в нещо познато и просто:

Удобна точка е фактът, че координатите на краищата на сегмента могат да бъдат безболезнени за пренареждане:

Като цяло формули, такъв луксозен номер, както разбирате, не преминават. Да, и тук няма особена нужда от него, така че хубаво малко нещо.

За пространствен случай е валидна очевидна аналогия. Ако се даде сегментите, координатите на средата му се изразяват чрез формули:

Пример 7.

Паралелограмата се определя от координатите на техните върхове. Намерете точка на пресичане на диагоналите му.

Решение: Кой желае да направи чертежа. Графити особено препоръчва тези, които преразгледаха училищния курс на геометрията.

Според добре познат собственост, диагоналът на паралелара на точката на пресичане е разделен на половина, така че задачата може да бъде решена по два начина.

Първо мода: Разгледайте противоположните върхове . Според формулите за разделяне ще открием средата на диагонала:

Много често в задачата C2 трябва да работите с точки, които разделят сегмента наполовина. Координатите на тези точки лесно се разглеждат, ако координатите на краищата на сегмента са известни.

Така че, нека сегментът е зададен от неговите краища - точки A \u003d (x A; Y A; Z а) и b \u003d (x b; y b; z b). Тогава координатите на средата на сегмента - означават по неговата точка Н - могат да бъдат намерени по формулата:

С други думи, координатите на средата на сегмента са аритметичните координати на нейните цели.

· Задача . ABCDA 1 B 1 c 1 d 1 куб се поставя в координатна система, така че осите X, Y и Z са насочени съответно по ръбовете на AB, AD и AA 1, а произходът на координатата съвпада с точката А , Точка К - средата на ръба 1 b. Намерете координатите на тази точка.

Решение. Тъй като точката k е средата на сегмента А 1 B 1, нейните координати са равни на средните аритметични координати на краищата. Пишаме координатите на краищата: a 1 \u003d (0; 0; 1) и b 1 \u003d (1; 0; 1). Сега откриваме координатите на точката k:

Отговор: K \u003d (0.5; 0; 1)

· Задача . ABCDA 1 B 1 c 1 d 1 куб се поставя в координатна система, така че осите X, Y и Z са насочени съответно по ръбовете на AB, AD и AA 1, а произходът на координатата съвпада с точката А , Намерете координатите на точката L, в която те се пресичат. Квадратна диагонална част A 1 B 1S 1 d1.

Решение. От скоростта на планиране е известно, че точката на пресичане на диагоналите на площада е еквивалентна на всичките му върхове. По-специално, a 1 l \u003d c 1 l, т.е. Точка L е средата на сегмента А 1 С1. Но 1 \u003d (0; 0; 1), С1 \u003d (1; 1; 1), така че имаме:

Отговор: L \u003d (0.5; 0.5; 1)

Най-простите задачи на аналитичната геометрия.
Действия с вектори в координатите

Задачите, които ще бъдат считани, е изключително желателно да се научите да решавате на пълна машина, но формули запомни СвятДори особено да не се запомни, те ще запомнят \u003d) Това е много важно, защото други задачи на аналитична геометрия се основават на най-простите елементарни примери и ще дразнят допълнителното време за ядене на пешки. Няма нужда да мигате горните бутони на ризата, много неща са запознати с вас от училище.

Представянето на материала ще върви успоредно на равнината и за пространството. Поради причината, че всички формули ... виж себе си.

Той не работи. За тяхното изчисление има прост израз, който е лесен за запомняне. Например, ако координатите на краищата на всеки сегмент са съответно свързани (X1; U1) и (x2; U2), съответно, координатите на средата му се изчисляват като средноаритметичната средна стойност на тези координати, т.е.:

Това е всичко.
Помислете за изчисляването на координатите на центъра на един от сегментите в конкретен пример, както поискахте.

Задача.
Намерете координатите на определена точка М, ако тя е средна (център) на сегмента на република Киргизстан, чиито краища имат такива координати: (-3; 7) и (13; 21) съответно.

Решение.
Използваме формулата, обсъдена по-горе:

Отговор. M (5; 14).

С тази формула също е възможно да се намерят не само координатите на средата на всеки сегмент, но и краищата му. Помислете за пример.

Задача.
Дадени са координатите на две точки (7; 19) и (8; 27). Намерете координатите на един от краищата на сегмента, ако предишните две точки са негов край и среда.

Решение.
Означаваме краищата на сегмента и P, а средата S. пренаписва формулата с регистрацията на нови имена:

Ние заменяме добре познатите координати и изчисляваме индивидуалните координати: