Две надеждни случайни и невъзможни събития. Тема на урока: "Надеждни, невъзможни и случайни събития." Малко информация от комбинаториката

Целта на урока:

Въведете концепцията за определени, невъзможни и случайни събития.
Да се формират знания и умения за определяне на вида на събитията.
Развиват: изчислителни умения; внимание; способността да анализирате, разсъждавате, да правите заключения; умения за групова работа.

По време на часовете

1) Организационен момент.

Интерактивно упражнение: децата трябва да решават примери и да дешифрират думи, според резултатите се разделят на групи (надеждни, невъзможни и произволни) и определят темата на урока.

1 карта.


0,5	1,6	12,6	5,2	7,5	8	5,2	2,08	0,5	9,54	1,6

2 карти


0,5	2,1	14,5	1,9	2,1	20,4	14	1,6	5,08	8,94	14

3 карта


5	2,4	6,7	4,7	8,1	18	40	9,54	0,78

2) Актуализиране на изучените знания.

Играта "Пляскане": четно число - пляскане, нечетно число - изправяне.

Задача: от дадена редица от числа 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... определете четно и нечетно.

3) Изучаване на нова тема.

Имате кубчета по масите. Нека ги разгледаме по-отблизо. Какво виждаш?

Къде се използват зарове? как?

Групова работа.

Провеждане на експеримент.

Какви прогнози можете да направите, когато хвърляте зарове?

Първа прогноза: едно от числата 1,2,3,4,5 или 6 ще падне.

Извиква се събитие, което със сигурност ще се случи в даден опит надежден.

Втора прогноза: ще излезе числото 7.

Мислите ли, че прогнозираното събитие ще се случи или не?

Това е невъзможно!

Извиква се събитие, което не може да се случи в даден експеримент невъзможен.

Трета прогноза: номер 1 ще излезе.

Ще се случи ли това събитие?

Извиква се събитие, което може или не може да се случи в даден опит случаен.

4) Затвърдяване на изучения материал.

I. Определете вида на събитието

-Утре ще вали червен сняг.

Утре ще вали обилен сняг.

Утре, въпреки че е юли, ще вали сняг.

Утре, въпреки че е юли, няма да има сняг.

Утре ще вали сняг и ще има виелица.

II. Добавете дума към това изречение по такъв начин, че събитието да стане невъзможно.

Коля получи А по история.

Саша не изпълни нито една задача на теста.

Оксана Михайловна (учител по история) ще обясни новата тема.

III. Дайте примери за невъзможни, случайни и сигурни събития.

IV. Работа по учебника (по групи).

Опишете събитията, обсъдени в задачите по-долу, като сигурни, невъзможни или случайни.

No 959. Петя зачена естествено число. Събитието е както следва:

а) замислено е четно число;

б) предназначени нечетно число;

в) замислено е число, което не е нито четно, нито нечетно;

г) замислено е четно или нечетно число.

No 960. Отворихте този учебник на произволна страница и избрахте първото попаднало ви съществително. Събитието е както следва:

а) в изписването на избраната дума има гласна;

б) в изписването на избраната дума има буква „о”;

в) в изписването на избраната дума няма гласни;

г) в изписването на избраната дума има мек знак.

Решете #961, #964.

Обсъждане на решени задачи.

5) Отражение.

1. Какви събития срещнахте в урока?

2. Посочете кое от следните събития е сигурно, кое невъзможно и кое е случайно:

а) летни почивкиняма да бъде;

б) сандвичът ще падне с маслото надолу;

V) академична годинанякога ще свърши.

6) Домашна работа:

Измислете две надеждни, случайни и невъзможни събития.

Нарисувайте един от тях.

Тема на урока: "Случайни, надеждни и невъзможни събития"

Място на урока в учебната програма: „Комбинаторика. Случайни събития” урок 5/8

Тип урок: Урок за формиране на нови знания

Цели на урока:

Образователни:

o въведе определение за случайни, надеждни и невъзможно събитие;

o учат в процеса на реална ситуация да дефинират термините на теорията на вероятностите: надеждни, невъзможни, равновероятни събития;

Разработване:

o насърчаване на развитието на логическото мислене,

o познавателен интерес на учениците,

o способност за сравнение и анализ,

Образователни:

o насърчаване на интерес към изучаването на математика,

o развитие на мирогледа на учениците.

o притежаване на интелектуални умения и умствени операции;

Методи на обучение:обяснително-илюстративни, репродуктивни, математически диктовки.

UMC:Математика: учебник за 6 клетки. под ред. и др., издателство "Просвещение", 2008, Математика, 5-6: кн. за учител / [, [ , ]. - М.: Образование, 2006.

Дидактически материал: бордови плакати.

Литература:

1. Математика: учебник. за 6 клетки. общо образование институции/ и др.]; изд. , ; Ros. акад. науки, Рос. акад. образование, издателство "Просвещение". - 10-то изд. - М.: Просвещение, 2008.-302 с.: ил. - (Академичен училищен учебник).

2. Математика, 5-б: кн. за учителя / [, ]. - М. : Образование, 2006. - 191 с. : аз ще.

4. Решаване на задачи по статистика, комбинаторика и теория на вероятностите. 7-9 клас. / авт.- съст. . Изд. 2-ро, рев. - Волгоград: Учител, 2006. -428 с.

5. Уроци по математика с използване на информационни технологии. 5-10 клас. Методически - помагало с електронно приложение / и др., 2-ро изд., стереотип. - М .: Издателска къща "Глобус", 2010. - 266 с. (Модерно училище).

6. Обучението по математика в модерно училище. Насоки. Владивосток: Издателство PIPPCRO, 2003.

ПЛАН НА УРОКА

I. Организационен момент.

II. устна работа.

III. Учене на нов материал.

IV. Формиране на умения и способности.

V. Резултатите от урока.

V. Домашна работа.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

1. Организационен момент

2. Актуализиране на знанията

15*(-100)

Устна работа:

3. Обяснение на нов материал

Учителят: Нашият живот до голяма степен се състои от злополуки. Има такава наука "Теория на вероятностите". С неговия език е възможно да се опишат много явления и ситуации.

Такива древни командири като Александър Велики или Дмитрий Донской, подготвяйки се за битка, разчитаха не само на доблестта и уменията на воините, но и на случайността.

Много хора обичат математиката заради вечните истини два пъти две е винаги четири, сборът от четните числа е четен, площта на правоъгълник е равна на произведението на съседните му страни и т.н. Във всички проблеми, които решавате, всеки получава същият отговор - просто трябва да не правите грешки в решението.

Истинският живот не е толкова прост и еднозначен. Резултатите от много събития не могат да бъдат предвидени предварително. Невъзможно е например да се каже със сигурност от коя страна кога ще падне хвърлената монета следващата годинападне ли първият сняг или колко хора в града искат да се обадят по телефона в рамките на следващия час. Такива непредвидими събития се наричат случаен .

Такива закономерности се изучават от специален клон на математиката - Теория на вероятностите . С негова помощ можете да предвидите с по-голяма степен на увереност (но все още не сте сигурни) както датата на първия снеговалеж, така и броя на телефонните обаждания.

Теорията на вероятностите е неразривно свързана с нашата ежедневието. Това ни дава чудесна възможност да установим емпирично много вероятностни закони, повтаряйки многократно случайни експерименти. Материалите за тези експерименти най-често ще бъдат обикновена монета, зар, комплект домино, табла, рулетка или дори тесте карти. Всеки от тези елементи, по един или друг начин, е свързан с игри. Факт е, че случаят тук се проявява в най-честата форма. И първите вероятностни задачи бяха свързани с оценка на шансовете на играчите да спечелят.

Съвременната теория на вероятностите се отдалечи от хазарта, но техните опори все още са най-простият и надежден източник на шанс. Като се упражнявате с колело на рулетка и зар, ще научите как да изчислявате вероятността от случайни събития в реалния живот. житейски ситуации, което ще ви позволи да оцените шансовете си за успех, да тествате хипотези, да вземате оптимални решения не само в игри и лотарии.

Когато решавате вероятностни проблеми, бъдете много внимателни, опитайте се да обосновете всяка стъпка, защото никоя друга област на математиката не съдържа такъв брой парадокси. Като теория на вероятностите. И може би основното обяснение за това е връзката му с реалния свят, в който живеем.

Много игри използват зар, който има знак от всяка страна. различно количествоточки от 1 до 6. Играчът хвърля зара, гледа колко точки са паднали (от страната, която се намира отгоре) и прави съответния брой ходове: 1,2,3,4,5 или 6 Хвърлянето на зар може да се счита за опит, експеримент, тест, а резултатът - за събитие. Хората обикновено са много заинтересовани да познаят началото на дадено събитие, да предскажат неговия резултат. Какви прогнози могат да направят, когато се хвърля зар?

Първа прогноза: ще падне едно от числата 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Смятате ли, че предсказаното събитие ще настъпи или не? Разбира се, че определено ще дойде.

Извиква се събитие, което със сигурност ще се случи в даден опит надежденсъбитие.

Втора прогноза : ще изпадне числото 7. Смятате ли, че предреченото събитие ще дойде или не? Разбира се, че няма, просто е невъзможно.

Извиква се събитие, което не може да се случи в даден експеримент невъзможенсъбитие.

Трето предсказание : ще изпадне числото 1. Смятате ли, че предреченото събитие ще дойде или не? Не можем да отговорим на този въпрос с пълна сигурност, тъй като предвиденото събитие може да се случи или да не се случи.

Наричат се събития, които могат или не могат да възникнат при едни и същи условия случаен.

Пример. Кутията съдържа 5 шоколадови бонбона в синя обвивка и един в бяло. Без да гледат в кутията, те произволно изваждат един бонбон. Може ли да се каже предварително какъв цвят ще бъде?

Упражнение : опишете събитията, които се обсъждат в задачите по-долу. Като сигурно, невъзможно или случайно.

1. Хвърлете монета. Появи се гербът. (случаен)

2. Ловецът стрелял по вълка и уцелил. (случаен)

3. Ученик всяка вечер излиза на разходка. По време на разходка, в понеделник, той срещнал трима познати. (случаен)

4. Нека мислено проведем следния експеримент: обърнете чаша с вода с главата надолу. Ако този експеримент се проведе не в космоса, а у дома или в класната стая, тогава водата ще се излее. (автентичен)

5. Три изстрела в целта.“ Има пет удара." (невъзможен)

6. Хвърлете камъка нагоре. Камъкът остава да виси във въздуха. (невъзможен)

ПримерПетя се сети за естествено число. Събитието е както следва:

а) замислено е четно число; (случаен)

б) замислено е нечетно число; (случаен)

в) замислено е число, което не е нито четно, нито нечетно; (невъзможен)

г) замислено е четно или нечетно число. (автентичен)

Извикват се събития, които при дадени условия имат равни шансове равновероятно.

Извикват се случайни събития, които имат равни шансове еднакво възможно или равновероятно .

Поставете плаката на дъската.

На устния изпит студентът взема един от поставените пред него билети. Шансовете да вземете някой от изпитните билети са равни. Еднакво вероятна е загубата на произволен брой точки от 1 до 6 при хвърляне на зарове, както и глави или опашки при хвърляне на монета.

Но не всички събития са такива еднакво възможно. Може будилникът да не звъни, крушката да изгори, автобусът да се развали, но в нормални условиятакива събития малко вероятно. По-вероятно е будилникът да звънне, светлината да светне, автобусът да тръгне.

Някои събития шансовесе срещат повече, което означава, че са по-вероятни - по-близо до надеждни. А други имат по-малко шансове, те са по-малко вероятни - по-близо до невъзможното.

Невъзможните събития нямат шанс да се случат, а определени събития имат всички шансове да се случат, при определени условия те определено ще се случат.

ПримерПетя и Коля сравняват рождените си дни. Събитието е както следва:

а) рождените им дни не съвпадат; (случаен)

б) рождените им дни са еднакви; (случаен)

г) и двата рождени дни се падат на празниците - Нова година(1 януари) и Ден на независимостта на Русия (12 юни). (случаен)

3. Формиране на умения и способности

Задача от учебник № 000. Кои от следните случайни събития са достоверни, възможни:

а) костенурката ще се научи да говори;

б) водата в чайника на котлона завира;

г) печелите, като участвате в лотарията;

д) няма да спечелите, като участвате в печеливша лотария;

е) ще загубите партия шах;

ж) утре ще срещнеш извънземно;

з) следващата седмица времето ще се влоши; и) натиснахте звънеца, но той не звънна; й) днес - четвъртък;

к) след четвъртък следва петък; м) ще има ли четвъртък след петък?

Кутиите съдържат 2 червени, 1 жълта и 4 зелени топки. Три топки се изтеглят на случаен принцип от кутията. Кои от следните събития са невъзможни, случайни, сигурни:

О: Ще бъдат изтеглени три зелени топки;

B: Ще бъдат изтеглени три червени топки;

C: ще бъдат изтеглени топки от два цвята;

D: ще бъдат изтеглени топки от един и същи цвят;

E: сред изтеглените топки има синя;

F: сред изтеглените има топки от три цвята;

G: Има ли две жълти топки сред изтеглените топки?

Проверете себе си. (математическа диктовка)

1) Посочете кои от следните събития са невъзможни, кои са сигурни, кои са случайни:

Футболната среща "Спартак" - "Динамо" ще завърши наравно (случаен)

Ще спечелите, като участвате в печелившата лотария ( надежден)

В полунощ ще завали сняг, а след 24 часа ще изгрее слънце (невъзможен)

· Утре ще има контролно по математика. (случаен)

· Вие ще бъдете избран за президент на Съединените щати. (невъзможен)

· Вие ще бъдете избран за президент на Русия. (случаен)

2) Купихте телевизор в магазин, за който производителят дава две години гаранция. Кои от следните събития са невъзможни, кои са случайни, кои са сигурни:

· Телевизорът няма да се счупи до една година. (случаен)

Телевизорът няма да се счупи до две години . (случаен)

· В рамките на две години няма да се налага да плащате за ремонт на телевизора. (автентичен)

Телевизорът ще се счупи на третата година. (случаен)

3) Автобус, превозващ 15 пътници, трябва да направи 10 спирки. Кои от следните събития са невъзможни, кои са случайни, кои са сигурни:

· Всички пътници ще слизат от автобуса на различни спирки. (невъзможен)

Всички пътници ще слизат на една и съща спирка. (случаен)

На всяка спирка поне някой ще слезе. (случаен)

Ще има спирка, на която никой няма да слезе. (случаен)

Четен брой пътници ще слизат на всички спирки. (невъзможен)

На всички спирки ще слизат нечетен брой пътници. (невъзможен)

Обобщение на урока

Въпроси към учениците:

Какви събития се наричат случайни?

Какви събития се наричат равновероятни?

Какви събития се считат за надеждни? невъзможен?

Кои събития се считат за по-вероятни? по-малко вероятно?

Домашна работа : клауза 9.3

№ 000. Помислете за три примера за определени, невъзможни събития, както и за събития, за които не може да се каже, че непременно ще се случат.

902. В кутия има 10 червени, 1 зелена и 2 сини химикалки. Две химикалки се изваждат произволно от кутията. Кои от следните събития са невъзможни, сигурни:

О: Две червени дръжки ще бъдат извадени; B: Две зелени дръжки ще бъдат извадени; C: две сини дръжки ще бъдат извадени; D: Две дръжки с различни цветове ще бъдат извадени;

Е: Два молива ще бъдат ли извадени? 03. Егор и Данила се съгласиха: ако стрелката на въртящата се маса (фиг. 205) спре на бяло поле, тогава Егор ще боядиса оградата, а ако на синьо поле, Данила. Кое момче е по-вероятно да боядиса оградата?

5 клас Въведение във вероятността (4 часа)

(разработване на 4 урока по тази тема)

учебни цели : - въведе определението за случайно, надеждно и невъзможно събитие;

Водете първите идеи за решаване на комбинаторни задачи: използване на дърво от опции и използване на правилото за умножение.

образователна цел: развитие на мисленето на учениците.

Цел за развитие : развитие на пространственото въображение, усъвършенстване на умението за работа с линийка.

Надеждни, невъзможни и случайни събития (2 часа)

Комбинаторни задачи (2 часа)

Надеждни, невъзможни и случайни събития.

Първи урок

Оборудване на урока: зарове, монети, табла.

Животът ни до голяма степен се състои от злополуки. Има такава наука "Теория на вероятностите". С неговия език е възможно да се опишат много явления и ситуации.

Дори примитивният лидер разбираше, че дузина ловци имат по-голяма „вероятност“ да ударят бизон с копие, отколкото един. Затова тогава са ловували колективно.

Много хора обичат математиката заради вечните истини два пъти две е винаги четири, сборът от четните числа е четен, площта на правоъгълник е равна на произведението на съседните му страни и т.н. Във всяка задача, която решите, всеки получава същият отговор - просто трябва да не правите грешки в решението.

Истинският живот не е толкова прост и еднозначен. Резултатите от много събития не могат да бъдат предвидени предварително. Невъзможно е например да се каже със сигурност от коя страна ще падне хвърлена монета, кога ще падне първият сняг през следващата година или колко хора в града ще искат да се обадят по телефона в рамките на следващия час. Такива непредвидими събития се наричат случаен .

Случаят обаче има и свои закони, които започват да се проявяват с многократно повторение на случайни явления. Ако хвърлите монета 1000 пъти, тогава "орелът" ще падне около половината от времето, което не може да се каже за две или дори десет хвърляния. „Приблизително“ не означава половината. Това, като правило, може или не може да бъде така. Законът обикновено не казва нищо сигурно, но дава известна степен на сигурност, че ще се случи някакво случайно събитие. Такива закономерности се изучават от специален клон на математиката - Теория на вероятностите . С негова помощ можете да предвидите с по-голяма степен на увереност (но все още не сте сигурни) както датата на първия снеговалеж, така и броя на телефонните обаждания.

Теорията на вероятностите е неразривно свързана с нашето ежедневие. Това ни дава чудесна възможност да установим емпирично много вероятностни закони, повтаряйки многократно случайни експерименти. Материалите за тези експерименти най-често ще бъдат обикновена монета, зар, комплект домино, табла, рулетка или дори тесте карти. Всеки от тези елементи е свързан с игрите по един или друг начин. Факт е, че случаят тук се проявява в най-честата форма. И първите вероятностни задачи бяха свързани с оценка на шансовете на играчите да спечелят.

Съвременната теория на вероятностите се отдалечи от хазарта, но техните опори все още са най-простият и надежден източник на шанс. Упражнявайки се с колело на рулетка и зар, ще научите как да изчислявате вероятността от случайни събития в ситуации от реалния живот, което ще ви позволи да оцените шансовете си за успех, да тествате хипотези и да вземате оптимални решения не само в игри и лотарии .

В много игри се използва зар, който има различен брой точки от всяка страна от 1 до 6. Играчът хвърля зара, гледа колко точки са паднали (от страната, която се намира отгоре) и прави подходящия брой ходове: 1,2,3,4,5 или 6. Хвърлянето на зар може да се счита за опит, експеримент, тест, а полученият резултат може да се счита за събитие. Хората обикновено са много заинтересовани да познаят началото на дадено събитие, да предскажат неговия резултат. Какви прогнози могат да направят, когато се хвърля зар? Първа прогноза: ще падне едно от числата 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Смятате ли, че предсказаното събитие ще настъпи или не? Разбира се, че определено ще дойде. Извиква се събитие, което със сигурност ще се случи в даден опит надеждно събитие.

Втора прогноза : ще изпадне числото 7. Смятате ли, че предреченото събитие ще дойде или не? Разбира се, че няма, просто е невъзможно. Извиква се събитие, което не може да се случи в даден експеримент невъзможно събитие.

Упражнение : опишете събитията, които се обсъждат в задачите по-долу. Като сигурно, невъзможно или случайно.

Хвърляме монета. Появи се гербът. (случаен)

Ловецът стрелял по вълка и уцелил. (случаен)

Ученикът всяка вечер излиза на разходка. По време на разходка, в понеделник, той срещнал трима познати. (случаен)

Нека мислено проведем следния експеримент: обърнете чаша вода с главата надолу. Ако този експеримент се проведе не в космоса, а у дома или в класната стая, тогава водата ще се излее. (автентичен)

Произведени са три изстрела в целта. Имаше пет удара" (невъзможно)

Хвърляме камъка нагоре. Камъкът остава да виси във въздуха. (невъзможен)

Буквите на думата "антагонизъм" са пренаредени произволно. Вземете думата "анахроизъм". (невъзможен)

№959. Петя се сети за естествено число. Събитието е както следва:

а) замислено е четно число; (случаен) б) нечетно число е замислено; (случаен)

в) замислено е число, което не е нито четно, нито нечетно; (невъзможен)

г) замислено е четно или нечетно число. (автентичен)

№ 961. Петя и Толя сравняват рождените си дни. Събитието е както следва:

а) рождените им дни не съвпадат; (случаен) б) рождените им дни са еднакви; (случаен)

г) и двата рождени дни се падат на празници - Нова година (1 януари) и Ден на независимостта на Русия (12 юни). (случаен)

№ 962. При игра на табла се използват два зара. Броят на ходовете, които участникът в играта прави, се определя, като се съберат числата от двете страни на зара, които са изпаднали, а ако падне „двойник“ (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6), тогава броят на ходовете се удвоява. Хвърляте зара и изчислявате колко хода трябва да направите. Събитието е както следва:

а) трябва да направите един ход; б) трябва да направите 7 хода;

в) трябва да направите 24 хода; г) трябва да направите 13 хода.

а) - невъзможно (може да се направи 1 ход, ако се падне комбинацията 1 + 0, но на зара няма число 0).

б) - случаен (ако се падне 1 + 6 или 2 + 5).

в) - случаен (ако изпадне комбинацията 6 +6).

г) - невъзможно (няма комбинации от числа от 1 до 6, чийто сбор е 13; това число не може да се получи дори при хвърляне на „двойник“, защото е нечетно).

Проверете себе си. (математическа диктовка)

1) Посочете кои от следните събития са невъзможни, кои са сигурни, кои са случайни:

Футболната среща "Спартак" - "Динамо" ще завърши наравно. (случаен)

Ще спечелите, като участвате в печелившата лотария (автентична)

В полунощ ще вали сняг, а 24 часа по-късно ще изгрее слънце. (невъзможен)

Утре ще има контролно по математика. (случаен)

Ще бъдете избран за президент на Съединените щати. (невъзможен)

Вие ще бъдете избран за президент на Русия. (случаен)

2) Закупили сте телевизор в магазин, за който производителят дава две години гаранция. Кои от следните събития са невъзможни, кои са случайни, кои са сигурни:

Телевизорът няма да се счупи до една година. (случаен)

Телевизорът няма да се счупи две години. (случаен)

До две години няма да плащате за ремонт на телевизора. (автентичен)

Телевизорът ще се счупи на третата година. (случаен)

Всички пътници ще слизат от автобуса на различни спирки. (невъзможен)

Всички пътници ще слизат на една и съща спирка. (случаен)

На всяка спирка някой ще слезе. (случаен)

Ще има спирка, на която никой няма да слезе. (случаен)

На всички спирки ще слиза четен брой пътници. (невъзможен)

На всички спирки ще слизат нечетен брой пътници. (невъзможен)

Домашна работа : 53 № 960, 963, 965 (сами измислете две надеждни, случайни и невъзможни събития).

Втори урок.

Преглед домашна работа. (устно)

а) Обяснете какво представляват определени, случайни и невъзможни събития.

б) Посочете кое от следните събития е сигурно, кое е невъзможно, кое е случайно:

Няма да има лятна ваканция. (невъзможен)

Сандвичът ще падне с маслото надолу. (случаен)

Учебната година все пак ще приключи. (автентичен)

Ще ме попитат в клас утре. (случаен)

Днес срещам черна котка. (случаен)

№ 960. Отворихте този учебник на произволна страница и избрахте първото попаднало ви съществително. Събитието е както следва:

а) в изписването на избраната дума има гласна. ((автентичен)

б) в изписването на избраната дума има буква "о". (случаен)

в) в изписването на избраната дума няма гласни. (невъзможен)

г) в изписването на избраната дума има мек знак. (случаен)

№ 963. Отново играете табла. Опишете следното събитие:

а) играчът трябва да направи не повече от два хода. (невъзможно - при комбинация от най-малките числа 1 + 1 играчът прави 4 хода; комбинацията 1 + 2 дава 3 хода; всички останали комбинации дават повече от 3 хода)

б) играчът трябва да направи повече от два хода. (надежден - всяка комбинация дава 3 или повече хода)

в) играчът трябва да направи не повече от 24 хода. (надеждно - комбинацията от най-големите числа 6 + 6 дава 24 хода, а всички останали - по-малко от 24 хода)

г) играчът трябва да направи двуцифрен брой ходове. (случаен - например комбинация от 2 + 3 дава едноцифрен брой ходове: 5, а падането на две четворки дава двуцифрен брой ходове)

2. Разрешаване на проблеми.

№ 964. В торба има 10 топки: 3 сини, 3 бели и 4 червени. Опишете следното събитие:

а) 4 топки са извадени от торбата и всички те са сини; (невъзможен)

б) 4 топки са извадени от торбата и всичките са червени; (случаен)

в) 4 топки бяха извадени от торбата и всичките се оказаха с различни цветове; (невъзможен)

г) От торбата са извадени 4 топки, сред които няма черна топка. (автентичен)

Задача 1 . Кутията съдържа 10 червени, 1 зелена и 2 сини химикалки. От кутията се вземат произволно два предмета. Кои от следните събития са невъзможни, кои са случайни, кои са сигурни:

а) две червени дръжки са извадени (произволно)

б) изваждат се две зелени дръжки; (невъзможен)

в) две сини дръжки се изваждат; (случаен)

г) изваждат се дръжки от два различни цвята; (случаен)

д) изваждат се две дръжки; (автентичен)

д) Изваждат се два молива. (невъзможен)

Задача 2. Мечо Пух, Прасчо и всички - всички - всички сядат на кръгла маса да празнуват рожден ден. С какъв брой от всички - всички - всички събитието "Мечо Пух и Прасчо ще седнат един до друг" е достоверно и с какво - случайно?

(ако има само 1 от всички - всички - всички, тогава събитието е надеждно, ако е повече от 1, тогава е случайно).

Задача 3. От 100 билета за благотворителна лотария, 20 печеливши. Колко билета трябва да купите, за да направите събитието „не печелите нищо“ невъзможно?

Задача 4. В класа има 10 момчета и 20 момичета. Кои от следните събития са невъзможни за такъв клас, кои са случайни, кои са сигурни

В класа има двама души, които са родени в различни месеци. (случаен)

В класа има двама души, родени в един и същи месец. (автентичен)

В класа има две момчета, родени в един месец. (случаен)

В класа има две момичета, родени в един месец. (автентичен)

Всички момчета са родени в различни месеци. (автентичен)

Всички момичета са родени в различни месеци. (случаен)

Има момченце и момиченце родени в един месец. (случаен)

Има момче и момиче родени в различни месеци. (случаен)

Задача 5. В кутия има 3 червени, 3 жълти и 3 зелени топки. Изтеглете 4 топки на случаен принцип. Помислете за събитието "Сред изтеглените топки ще има топки от точно M цвята". За всяко М от 1 до 4 определете кое събитие е – невъзможно, сигурно или случайно и попълнете таблицата:

Самостоятелна работа.

азопция

а) рожденият ден на вашия приятел е под 32;

в) утре ще има контролно по математика;

г) Следващата година първият сняг в Москва ще падне в неделя.

Хвърлете зар. Опишете събитието:

а) кубът, паднал, ще стои на ръба си;

б) ще изпадне едно от числата: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

в) ще изпадне числото 6;

г) ще излезе число, което е кратно на 7.

Една кутия съдържа 3 червени, 3 жълти и 3 зелени топки. Опишете събитието:

а) всички изтеглени топки са от един и същи цвят;

б) всички изтеглени топки с различни цветове;

в) сред изтеглените топки има топки с различни цветове;

в) сред изтеглените топки има червена, жълта и зелена топка.

IIопция

Опишете въпросното събитие като сигурно, невъзможно или случайно:

а) сандвич, който е паднал от масата, ще падне на пода с маслото надолу;

б) в полунощ в Москва ще вали сняг, а след 24 часа ще изгрее слънце;

в) печелите, като участвате в печеливша лотария;

г) догодина през май ще се чуе първият пролетен гръм.

На картите са изписани всички двуцифрени числа. Една карта се избира на случаен принцип. Опишете събитието:

а) картата се оказа нула;

б) на картата има число, което е кратно на 5;

в) на картата има число, което е кратно на 100;

г) картата съдържа число, по-голямо от 9 и по-малко от 100.

Кутията съдържа 10 червени, 1 зелена и 2 сини химикалки. От кутията се вземат произволно два предмета. Опишете събитието:

а) две сини дръжки се изваждат;

б) изваждат се две червени дръжки;

в) изваждат се две зелени дръжки;

г) зелената и черната дръжка се изваждат.

Домашна работа: 1). Измислете две надеждни, случайни и невъзможни събития.

2). Задача . В кутия има 3 червени, 3 жълти и 3 зелени топки. Изтегляме N топки на случаен принцип. Помислете за събитието "сред изтеглените топки ще има топки от точно три цвята." За всяко N от 1 до 9 определете кое събитие е – невъзможно, сигурно или случайно и попълнете таблицата:

комбинаторни задачи.

Първи урок

Проверка на домашните. (устно)

а) Проверяваме задачите, които учениците измислиха.

б) допълнителна задача.

Чета откъс от книгата на В. Левшин "Три дни в Карликания".

„Първо, под звуците на плавен валс, числата образуваха група: 1+ 3 + 4 + 2 = 10. След това младите скейтъри започнаха да сменят местата си, образувайки все повече и повече нови групи: 2 + 3 + 4 + 1 = 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 = 10 и т.н.

Това продължи, докато скейтърите се върнаха в първоначалната си позиция.

Колко пъти са сменяли местата си?

Днес в урока ще научим как да решаваме такива проблеми. Те се наричат комбинативен.

3. Учене на нов материал.

Задача 1. Колко двуцифрени числа могат да се съставят от числата 1, 2, 3?

Решение: 11, 12, 13

31, 32, 33. Само 9 числа.

При решаването на този проблем ние изброихме всички възможни варианти или, както обикновено се казва в тези случаи. Всички възможни комбинации. Ето защо подобни задачиНаречен комбинативен. В живота е доста обичайно да се изчисляват възможни (или невъзможни) варианти, така че е полезно да се запознаете с комбинаторни проблеми.

№ 967. Няколко страни са решили да използват за своите национални знамена символи под формата на три хоризонтални ивици с еднаква ширина в различни цветове - бяло, синьо, червено. Колко държави могат да използват такива символи, при условие, че всяка държава има свое знаме?

Решение. Да приемем, че първата ивица е бяла. Тогава втората ивица може да бъде синя или червена, а третата ивица, съответно, червена или синя. Оказаха се два варианта: бяло, синьо, червено или бяло, червено, синьо.

Нека сега първа страница от син цвят, тогава отново получаваме две опции: бяло, червено, синьо или синьо, червено, бяло.

Нека първата ивица е червена, след това още две опции: червено, бяло, синьо или червено, синьо, бяло.

Има общо 6 възможни варианта. Това знаме може да се използва от 6 държави.

Така че, когато решавахме този проблем, ние търсихме начин да изброим възможните опции. В много случаи се оказва полезно да се изгради картина - схема за изброяване на опции. Това е преди всичко илюстративно Второ, ни позволява да вземем предвид всичко, да не пропуснем нищо.

Тази схема се нарича още дърво на възможните опции.

Първа страница

Втора лента

трета лента

Получена комбинация

№ 968. Колко двуцифрени числа могат да се съставят от числата 1, 2, 4, 6, 8?

Решение. За двуцифрените числа, които ни интересуват, на първо място може да бъде всяка от дадените цифри, с изключение на 0. Ако поставим числото 2 на първо място, тогава всяка от дадените цифри може да бъде на второ място. Ще има пет двуцифрени числа: 2.,22, 24, 26, 28. По същия начин ще има пет двуцифрени числа с първа цифра 4, пет двуцифрени числа с първа цифра 6 и пет двуцифрени числа цифрени числа с първа цифра 8.

Отговор: Има общо 20 числа.

Нека изградим дърво от възможни варианти за решаване на този проблем.

Двойни цифри

Първа цифра

Втора цифра

Получени номера

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

Решете следните задачи, като построите дърво от възможни варианти.

№ 971. Ръководството на определена държава реши да направи националния си флаг по следния начин: на едноцветен правоъгълен фон в един от ъглите е поставен кръг с различен цвят. Беше решено да се изберат цветове от три възможни: червено, жълто, зелено. Колко варианта на това знаме

съществува? Фигурата показва някои от възможните опции.

Отговор: 24 варианта.

№ 973. а) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 1,3, 5,? (27 числа)

б) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 1,3,5, при условие че числата не трябва да се повтарят? (6 числа)

№ 979. Съвременните петобойци се състезават два дни в пет спорта: прескачане на препятствия, фехтовка, плуване, стрелба и бягане.

а) Колко опции има за реда на преминаване на видовете състезание? (120 опции)

б) Колко опции има за реда на преминаване на събитията от състезанието, ако е известно, че последното събитие трябва да бъде бягане? (24 опции)

в) Колко опции има за реда на преминаване на видовете състезание, ако е известно, че последният вид трябва да бъде бягане, а първият - прескачане на препятствия? (6 опции)

№ 981. Две урни съдържат по пет топки в пет различни цвята: бяло, синьо, червено, жълто, зелено. От всяка урна се тегли по една топка.

а) колко различни комбинации от изтеглени топки има (комбинации като "бяло-червено" и "червено-бяло" се считат за еднакви)?

(15 комбинации)

б) Колко комбинации има, в които изтеглените топки са от един и същи цвят?

(5 комбинации)

в) колко комбинации има, в които изтеглените топки са с различни цветове?

(15 - 5 = 10 комбинации)

Домашна работа: 54, No. 969, 972, сами измисляме комбинаторна задача.

№ 969. Няколко страни са решили да използват символи под формата на три вертикални ивици с еднаква ширина в различни цветове за националното си знаме: зелено, черно, жълто. Колко държави могат да използват такива символи, при условие, че всяка държава има свое знаме?

№ 972. а) Колко двуцифрени числа могат да се съставят от числата 1, 3, 5, 7, 9?

б) Колко двуцифрени числа могат да се съставят от числата 1, 3, 5, 7, 9, при условие че числата не трябва да се повтарят?

Втори урок

Проверка на домашните. а) № 969 и № 972а) и № 972б) - изградете дърво на възможните опции на дъската.

б) устна проверка на съставените задачи.

Разрешаване на проблем.

И така, преди това научихме как да решаваме комбинаторни проблеми с помощта на дърво от опции. Това добър начин ли е? Вероятно да, но много тромаво. Нека се опитаме да решим домашна задача № 972 по различен начин. Кой може да предположи как може да стане това?

Отговор: За всеки от петте цвята тениски има 4 цвята шорти. Общо: 4 * 5 = 20 опции.

№ 980. Урните съдържат по пет топки в пет различни цвята: бяло, синьо, червено, жълто, зелено. От всяка урна се тегли по една топка. Опишете следното събитие като сигурно, случайно или невъзможно:

а) изтеглени топки от различни цветове; (случаен)

б) изтеглени топки от един и същи цвят; (случаен)

в) изтеглени са черни и бели топки; (невъзможен)

г) извадени са две топки и двете са оцветени в един от следните цветове: бяло, синьо, червено, жълто, зелено. (автентичен)

№ 982. Група туристи планира да направи пътуване по маршрута Антоново - Борисово - Власово - Грибово. От Антоново до Борисово можете да се спускате със сал по реката или пеша. От Борисово до Власово можете да ходите или да карате велосипед. От Власово до Грибово можете да плувате по реката, да карате велосипеди или да ходите. Колко възможности за туризъм могат да изберат туристите? Колко варианта за пешеходен туризъм могат да изберат туристите, при условие че поне в един от участъците от маршрута трябва да използват велосипеди?

(12 опции за маршрут, 8 от които с велосипеди)

Самостоятелна работа.

1 вариант

а) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата: 0, 1, 3, 5, 7?

б) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата: 0, 1, 3, 5, 7, при условие че числата не трябва да се повтарят?

Атос, Портос и Арамис имат само меч, кама и пистолет.

а) По колко начина могат да бъдат въоръжени мускетарите?

б) Колко опции за оръжие има, ако Арамис трябва да владее меч?

в) Колко опции за оръжие има, ако Арамис трябва да има меч, а Портос трябва да има пистолет?

Някъде Бог изпратил парче сирене на врана, както и сирене, колбаси, бял и черен хляб. Кацнала на една ела, една врана се канеше да закуси, но тя се замисли: по колко начина могат да се направят сандвичи от тези продукти?

Вариант 2

а) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата: 0, 2, 4, 6, 8?

б) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата: 0, 2, 4, 6, 8, при условие че числата не трябва да се повтарят?

Граф Монте Кристо реши да подари на принцеса Хайд обеци, колие и гривна. Всяко бижу трябва да съдържа един от следните видове скъпоценни камъни: диаманти, рубини или гранати.

а) Колко комбинации от бижута със скъпоценни камъни има?

б) Колко варианта за бижута има, ако обеците трябва да са диамантени?

в) Колко варианта за бижута има, ако обеците трябва да са с диамант, а гривната с гранат?

За закуска можете да изберете кифличка, сандвич или меденки с кафе или кефир. Колко опции за закуска можете да направите?

Домашна работа : № 974, 975. (чрез съставяне на дърво с опции и използване на правилото за умножение)

№ 974 . а) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 0, 2, 4?

б) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 0, 2, 4, при условие че числата не трябва да се повтарят?

№ 975 . а) Колко трицифрени числа могат да се съставят от числата 1.3, 5.7?

б) Колко трицифрени числа могат да се съставят от дадените числа 1.3, 5.7. Кои числа не трябва да се повтарят?

Номерата на задачите са взети от учебника

"Математика-5", I.I. Зубарева, А.Г. Мордкович, 2004.

1.1. Малко информация от комбинаториката

1.1.1. Настаняване

Помислете за най-простите концепции, свързани с избора и местоположението на определен набор от обекти.
Преброяването на броя на начините, по които тези действия могат да бъдат извършени, често се прави при решаване на вероятностни проблеми.
Определение. Настаняване от нелементи от к (к ≤н) е всяко подредено подмножество на келементи на набор, състоящ се от нразлични елементи.
Пример.Следните поредици от числа са подредби от 2 елемента от 3 елемента на множеството (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Имайте предвид, че разположенията се различават по реда на съставните си елементи и техния състав. Позиции 12 и 21 съдържат едни и същи числа, но редът им е различен. Следователно тези разположения се считат за различни.
Брой различни разположения от нелементи от ксе обозначава и изчислява по формулата:
,
Където н! = 1∙2∙...∙(н - 1)∙н(Прочети " нфакториел).
Броят на двуцифрените числа, които могат да бъдат съставени от цифрите 1, 2, 3, при условие че нито една цифра не се повтаря, е: .

1.1.2. Пермутации

Определение. Пермутации от нелементи се наричат такива разположения от нелементи, които се различават само по разположението на елементите.
Брой пермутации от нелементи P nизчислено по формулата: P n=н!
Пример.По колко начина могат да се наредят 5 души? Броят на начините е равен на броя на пермутациите на 5 елемента, т.е.
П 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Определение. Ако сред нелементи кидентични, тогава пермутацията на тези нелементи се нарича пермутация с повторения.
Пример.Да предположим, че сред 6 книги 2 са еднакви. Всяко подреждане на всички книги на рафта е пермутация с повторения.
Броят на различните пермутации с повторения (извън нелементи, сред които кеднакви) се изчислява по формулата: .
В нашия пример броят на начините, по които книгите могат да бъдат подредени на рафт, е: .

1.1.3. Комбинации

Определение. Комбинации от нелементи от ктакива разположения се наричат нелементи от к, които се различават един от друг поне по един елемент.
Брой различни комбинации от нелементи от ксе означава и изчислява по формулата: .
По дефиниция 0!=1.
Комбинациите имат следните свойства:
1.
2.
3.
4.
Пример.Има 5 цветя в различни цветове. За букет се избират 3 цветя. Броят на различните букети от 3 цветя от 5 е: .

1.2. случайни събития

1.2.1. събития

познаване на реалността в природни наукивъзниква в резултат на тестове (експеримент, наблюдение, опит).
тест или опитът е прилагането на някакъв специфичен набор от условия, които могат да бъдат произволно възпроизведени голямо числоведнъж.
Случаен наречено събитие, което може или не може да се случи в резултат на някакъв тест (опит).
По този начин събитието се счита за резултат от тест.
Пример.Хвърлянето на монета е изпитание. Появата на орел при хвърляне е събитие.
Събитията, които наблюдаваме, се различават по степента на възможността за тяхното възникване и по естеството на връзката им.
Събитието се нарича надежден ако е сигурно, че ще се появи в резултат на теста.
Пример.Студент, който получава положителна или отрицателна оценка на изпит, е сигурно събитие, ако изпитът протича по обичайните правила.
Събитието се нарича невъзможен ако не може да възникне в резултат на този тест.
Пример.Изваждането на бяла топка от урна, съдържаща само цветни (небели) топки, е невъзможно събитие. Имайте предвид, че при други условия на експеримента не е изключена появата на бяла топка; така че това събитие е невъзможно само в условията на нашия опит.
Освен това случайните събития ще бъдат обозначени с голяма латиница букви A,B,C... Сигурно събитие ще бъде обозначено с буквата Ω, невъзможно събитие с Ø.
Извикват се две или повече събития еднакво възможно в даден тест, ако има причина да се смята, че нито едно от тези събития не е по-вероятно или по-малко вероятно от други.
Пример.При едно хвърляне на зар, появата на 1, 2, 3, 4, 5 и 6 точки са еднакво възможни събития. Предполага се, разбира се, че матрицата е изработена от хомогенен материал и има правилна форма.
Двете събития се наричат несъвместими в дадено изпитание, ако настъпването на едно от тях изключва настъпването на другото, и става в противен случай.
Пример.Кутията съдържа стандартни и нестандартни части. Да вземем една подробност. Появата на стандартна част изключва появата на нестандартна част. Тези събития са несъвместими.
Формират се няколко събития пълна група от събития в този тест, ако в резултат на този тест непременно се появи поне един от тях.
Пример.Събитията от примера образуват пълна група от еднакво възможни и по двойки несъвместими събития.
Извикват се две несвързани събития, които образуват пълна група от събития в даден опит противоположни събития.
Ако един от тях е означен с А, тогава другият обикновено се обозначава чрез (чете се „не А»).
Пример.Улучването и пропускането с един изстрел в целта са противоположни събития.

1.2.2. Класическата дефиниция на вероятността

Вероятност на събитието - числена мярка за възможността за възникването му.
Събитие АНаречен благоприятен събитие INако всеки път, когато се случи събитие А, събитието се случва IN.
събития А 1 , А 2 , ..., Анформа схема на случаите , ако те:
1) са еднакво възможни;
2) са несъвместими по двойки;
3) образуват пълна група.
В схемата на случаите (и само в тази схема) класическо определениевероятности П(А) събития А. Тук всяко от събитията, принадлежащи към избраната пълна група от еднакво възможни и по двойки несъвместими събития, се нарича случай.
Ако не броят на всички случаи в схемата, и м- броят на случаите, благоприятни за събитието А, Че вероятност за събитие Асе определя от равенството:

Следните свойства следват от определението за вероятност:
1. Вероятността за определено събитие е равна на единица.
Наистина, ако едно събитие е сигурно, тогава всяко събитие в схемата на събитията благоприятства събитието. В такъв случай м = ни следователно

2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.
Наистина, ако събитието е невъзможно, тогава нито един от случаите от схемата на случаите не благоприятства събитието. Ето защо м=0 и следователно

Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно.
Наистина, едно случайно събитие се предпочита само от малка част от общия брой случаи в схемата от случаи. Следователно 0<м<н, което означава 0<м/н<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
И така, вероятността за всяко събитие удовлетворява неравенствата
0 ≤ P(а) ≤ 1.
Понастоящем свойствата на вероятността са определени под формата на аксиоми, формулирани от A.N. Колмогоров.
Едно от основните предимства на класическата дефиниция на вероятността е възможността да се изчисли директно вероятността за събитие, т.е. без да се прибягва до експерименти, които се заменят с логически разсъждения.

Проблеми на директното изчисляване на вероятностите

Задача 1.1. Каква е вероятността да получите четен брой точки (събитие А) при едно хвърляне на зара?
Решение. Обмислете събитията Ааз- отпаднал азточки, аз= 1, 2, …, 6. Очевидно тези събития формират модел от случаи. След това броят на всички случаи н= 6. Случаите предпочитат четен брой точки А 2 , А 4 , А 6 , т.е. м= 3. Тогава .
Задача 1.2. Една урна съдържа 5 бели и 10 черни топки. Топчетата се разбъркват старателно и след това произволно се изважда 1 топка. Каква е вероятността изтеглената топка да е бяла?
Решение. Има общо 15 случая, които формират схемата на случаите. И очакваното събитие А- следователно появата на бяла топка се предпочита от 5 от тях .
Задача 1.3. Детето играе с шест букви от азбуката: A, A, E, K, P, T. Намерете вероятността то да може произволно да добави думата КАРЕТА (събитие A).
Решение. Решението се усложнява от факта, че сред буквите има едни и същи - две букви "А". Следователно броят на всички възможни случаи в този опит е равен на броя на пермутациите с повторения на 6 букви:
.
Тези случаи са еднакво възможни, по двойки несъвместими и образуват пълна група от събития, т.е. образуват диаграма на случай. Само един шанс благоприятства събитието А. Ето защо
.
Задача 1.4. Таня и Ваня се съгласиха да празнуват Нова година в компания от 10 души. И двамата много искаха да седнат един до друг. Каква е вероятността желанието им да се сбъдне, ако е обичайно местата между приятелите им да се разпределят чрез жребий?
Решение. Означаваме с Асъбитие "сбъдване на желанието на Таня и Ваня". 10 души могат да седнат на маса от 10! различни начини. Колко от тези н= 10! са еднакво възможни пътища благоприятни за Таня и Ваня? Таня и Ваня, седнали една до друга, могат да заемат 20 различни позиции. В същото време осем техни приятели могат да седнат на маса 8! различни начини, т.н м= 20∙8!. следователно
.
Задача 1.5. Група от 5 жени и 20 мъже избира трима делегати. Ако приемем, че всеки от присъстващите има еднаква вероятност да бъде избран, намерете вероятността две жени и един мъж да бъдат избрани.
Решение. Общият брой на еднакво вероятните резултати от теста е равен на броя на начините, по които могат да бъдат избрани трима делегати от 25 души, т.е. . Нека сега изчислим броя на благоприятните случаи, т.е. колко пъти се случва събитието, което представлява интерес. Мъжкият делегат може да бъде избран по двадесет начина. В същото време останалите двама делегати трябва да са жени, като можете да изберете две жени от пет. Следователно, . Ето защо
.
Задача 1.6.Четири топки са произволно разпръснати в четири дупки, всяка топка попада в една или друга дупка с еднаква вероятност и независимо от другите (няма пречки няколко топки да влязат в една и съща дупка). Намерете вероятността в една от дупките да има три топки, в другата - една, а в другите две дупки да няма топки.
Решение. Общ брой случаи н=4 4 . Броят начини, по които може да бъде избрана една дупка, където ще има три топки, . Броят начини, по които можете да изберете дупката, в която ще има една топка, . Броят начини, по които можете да изберете три топки от четири топки, за да ги поставите в първата дупка, . Общият брой благоприятни случаи. Вероятност за събитие:
Задача 1.7.В кутията има 10 еднакви топки, обозначени с цифри 1, 2, ..., 10. Теглени са 6 топки за късмет. Намерете вероятността сред извадените топки да има: а) топка № 1; б) топки №1 и №2.
Решение. а) Общият брой възможни елементарни резултати от теста е равен на броя начини, по които могат да бъдат изтеглени шест топки от десет, т.е.
Нека намерим броя на изходите, благоприятстващи събитието, което ни интересува: сред избраните шест топки има топка номер 1 и, следователно, останалите пет топки имат различни номера. Броят на тези резултати очевидно е равен на броя на начините, по които могат да бъдат избрани пет топки от останалите девет, т.е.
Желаната вероятност е равна на съотношението на броя на резултатите, които благоприятстват разглежданото събитие, към общия брой възможни елементарни резултати:
б) Броят на резултатите, благоприятстващи събитието, което ни интересува (сред избраните топки има топки № 1 и № 2, следователно четири топки имат различни номера) е равен на броя на начините, по които четири топки могат да бъдат извлечени от останалите осем, т.е. Желана вероятност

1.2.3. Статистическа вероятност

Статистическата дефиниция на вероятността се използва, когато резултатите от експеримент не са еднакво вероятни.
Относителна честота на събитието Асе определя от равенството:
,
Където ме броят на опитите, в които събитието Адойде не общият брой извършени тестове.
Дж. Бернули доказа, че при неограничено увеличаване на броя на експериментите относителната честота на събитието практически произволно ще се различава от някакво постоянно число. Оказа се, че това постоянно число е вероятността за настъпване на събитие. Следователно, естествено, относителната честота на възникване на събитие с достатъчно голям брой опити се нарича статистическа вероятност, за разлика от въведената по-рано вероятност.
Пример 1.8. Как можете да определите приблизително броя на рибите в едно езеро?
Пусни в езерото хриба. Хвърляме мрежата и, да кажем, намираме в нея нриба. Маркираме всеки от тях и го пускаме обратно. Няколко дни по-късно, при същото време и на същото място, хвърлихме същата мрежа. Да предположим, че намираме m риби в него, сред които кетикетирани. Нека събитието А- "Уловената риба е етикетирана." След това по дефиниция на относителната честота.
Но ако в езерото хриба и я пуснахме нетикетиран, след това .
защото Р * (А) » Р(А), Че .

1.2.4. Операции върху събития. Теорема за събиране

сумаили обединение на няколко събития е събитие, състоящо се в появата на поне едно от тези събития (в един и същи тест).
Сума А 1 + А 2 + … + Анобозначава се така:
или .
Пример. Хвърлят се два зара. Нека събитието Асе състои от хвърляне на 4 точки на 1 зар и събитието IN- при хвърляне на 5 точки на друг зар. събития АИ INстава. Следователно събитието А +INсе състои от хвърляне на 4 точки на първия зар, или 5 точки на втория зар, или 4 точки на първия зар и 5 точки на втория зар едновременно.
Пример.Събитие А– печалба от 1 заем, събитие IN- печалба от 2 заема. Тогава събитието A+B- спечелване на поне един заем (евентуално два наведнъж).
работаили пресичането на няколко събития е събитие, състоящо се в съвместната поява на всички тези събития (в един и същи тест).
работа INсъбития А 1 , А 2 , …, Анобозначава се така:
.
Пример.събития АИ INсе състоят в успешното преминаване на I и II кръг, съответно, при приемане в института. Тогава събитието А×Бсе състои в успешното завършване на двата кръга.
Понятията сума и продукт на събитията имат ясна геометрична интерпретация. Нека събитието Аима попадение на точка в зоната А, и събитието IN- удряне на точка в района IN. Тогава събитието A+Bима попадение на точка в обединението на тези области (фиг. 2.1), и събитието АINима попадение на точка в пресечната точка на тези области (фиг. 2.2).

Ориз. 2.1 Фиг. 2.2
Теорема. Ако събития Ai(аз = 1, 2, …, н) са несъвместими по двойки, тогава вероятността от сумата от събития е равна на сумата от вероятностите от тези събития:
.
Позволявам АИ Ā – противоположни събития, т.е. A + a= Ω, където Ω е определено събитие. От теоремата за добавяне следва, че
P(Ω) = Р(А) + Р(Ā ) = 1, следователно
Р(Ā ) = 1 – Р(А).
Ако събития А 1 и А 2 са съвместни, тогава вероятността за сумата от две съвместни събития е равна на:
Р(А 1 + А 2) = Р(А 1) + Р(А 2) – P( А 1× А 2).
Теоремите за добавяне на вероятности позволяват да се премине от директно изчисляване на вероятности към определяне на вероятностите за възникване на сложни събития.
Задача 1.8. Стрелецът произвежда един изстрел в целта. Вероятност за нокаутиране на 10 точки (събитие А), 9 точки (събитие IN) и 8 точки (събитие СЪС) са равни съответно на 0,11; 0,23; 0,17. Намерете вероятността с един изстрел стрелецът да отбележи по-малко от 8 точки (събитие д).
Решение. Нека да преминем към обратното събитие - с един удар стрелецът ще избие поне 8 точки. Събитието настъпва, ако Аили IN, или СЪС, т.е. . От събитията А, Б, СЪСса по двойки непоследователни, тогава, по теоремата за добавяне,
, където .
Задача 1.9. От екипа на бригадата, който се състои от 6 мъже и 4 жени, се избират двама души за синдикалната конференция. Каква е вероятността поне една жена сред избраните (събитието А).
Решение. Ако се случи събитие А, тогава непременно ще се случи едно от следните несъвместими събития: IN- "избират се мъж и жена"; СЪС„Избрани са две жени.“ Следователно можем да напишем: A=B+C. Намерете вероятността от събития INИ СЪС. Двама души от 10 могат да бъдат избрани по начини. Две жени от 4 могат да бъдат избрани по начини. Мъжки и женски могат да бъдат избрани по 6×4 начина. Тогава . От събитията INИ СЪСса непоследователни, тогава по теоремата за добавяне,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Задача 1.10.На рафт в библиотеката има произволно подредени 15 учебника, пет от които са подвързани. Библиотекарката взима произволно три учебника. Намерете вероятността поне един от взетите учебници да бъде подвързан (събитие А).
Решение. Първи начин. Изискването – взет поне един от трите подвързани учебника – ще бъде изпълнено, ако настъпи някое от следните три несъвместими събития: IN- 1 подвързан учебник СЪС- два подвързани учебника д- Три подвързани учебника.
Събитие, което ни интересува Аможе да се представи като сбор от събития: A=B+C+D. По теоремата за добавяне,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Намерете вероятността от събития Б, ВИ д(виж комбинаторни схеми):

Представяйки тези вероятности в равенство (2.1), накрая получаваме
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Вторият начин. Събитие А(поне един от трите взети учебника е с подвързия) и Ā (нито един от взетите учебници няма подвързия) са противоположни, следователно P(A) + P(Ā) = 1 (сумата от вероятностите за две противоположни събития е равна на 1). Оттук P(A) = 1 – P(a).Вероятност за настъпване на събитие Ā (нито един от взетите учебници не е подвързан)
Желана вероятност
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Условна вероятност. Теорема за умножение на вероятностите

Условна вероятност P(B/А) е вероятността за събитие B, изчислена при предположението, че събитие A вече се е случило.
Теорема. Вероятността за съвместна поява на две събития е равна на произведението на вероятностите за едно от тях от условната вероятност за другото, изчислена при предположението, че първото събитие вече се е случило:
P(A∙B) = P(A)∙P( IN/А). (2.2)
Две събития се наричат независими, ако настъпването на някое от тях не променя вероятността за настъпване на другото, т.е.
P(A) = P(A/B) или P(B) = P(B/А). (2.3)
Ако събития АИ INса независими, то формулите (2.2) и (2.3) предполагат
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Вярно е и обратното твърдение, т.е. ако равенството (2.4) е в сила за две събития, тогава тези събития са независими. Наистина, формулите (2.4) и (2.2) предполагат
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/А), където P(A) = P(B/А).
Формула (2.2) може да се обобщи за случай на краен брой събития А 1 , А 2 ,…,A n:
P(A 1 ∙А 2 ∙…∙A n)=P(A 1)∙P(A 2 /А 1)∙P(A 3 /А 1 А 2)∙…∙P(A n/А 1 А 2 …A n -1).
Задача 1.11. От урна, съдържаща 5 бели и 10 черни топки, се изтеглят две топки в редица. Намерете вероятността и двете топки да са бели (събитие А).
Решение. Помислете за събитията: IN- първата изтеглена топка е бяла; СЪС– втората изтеглена топка е бяла. Тогава A = BC.
Опитът може да се придобие по два начина:
1) с връщане: след фиксиране на цвета изтеглената топка се връща в урната. В случая събитията INИ СЪСнезависим:
P(A) = P(B)∙НАСТОЛЕН КОМПЮТЪР) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) без замяна: изтеглената топка се оставя настрана. В случая събитията INИ СЪСзависим:
P(A) = P(B)∙НАСТОЛЕН КОМПЮТЪР/IN).
За събитие INусловията са същите, и за СЪСситуацията се е променила. Се случи IN, така че в урната са останали 14 топки, 4 от които са бели.
Така, .
Задача 1.12. Сред 50-те крушки 3 са нестандартни. Намерете вероятността две крушки, взети едновременно, да са нестандартни.
Решение. Помислете за събитията: А- първата крушка е нестандартна, IN- втората крушка е нестандартна, СЪС- двете крушки са нестандартни. Това е ясно C = A∙IN. събитие Апредпочитат 3 случая от 50 възможни, т.е. P(A) = 3/50. Ако събитието Авече се е случило, събитието INпредпочитат два случая от 49 възможни, т.е. P(B/А) = 2/49. следователно
.
Задача 1.13. Двама атлети независимо стрелят по една и съща мишена. Вероятността за попадение в целта на първия спортист е 0,7, а на втория е 0,8. Каква е вероятността целта да бъде ударена?
Решение. Мишената ще бъде улучена, ако или първият стрелец, или вторият, или и двамата я уцелят, т.е. ще се случи събитие A+B, където събитието Асе състои в поразяване на целта от първия атлет и събитието IN- второ. Тогава
P(A+IN)=P(A)+P(B)–P(A∙IN)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Задача 1.14.В читанката има шест учебника по теория на вероятностите, три от които са подвързани. Библиотекарката взе наслуки два учебника. Намерете вероятността два учебника да бъдат подвързани.
Решение. Нека въведем обозначението на събитията :А– първият взет учебник е с подвързия, IN- Вторият учебник е подвързан. Вероятността първият учебник да има подвързия,
P(A) = 3/6 = 1/2.
Вероятността вторият учебник да е подвързан, като се има предвид, че първата взета книга е била подвързана, т.е. условна вероятност за събитие IN, това ли е: P(B/а) = 2/5.
Желаната вероятност двата учебника да имат обвързване, съгласно теоремата за умножение за вероятностите на събитията, е равна на
P(AB) = P(A) ∙ P(B/а)= 1/2 ∙ 2/5 = 0,2.
Задача 1.15.В магазина работят 7 мъже и 3 жени. Трима души бяха избрани на случаен принцип според числеността на персонала. Намерете вероятността всички избрани лица да са мъже.
Решение. Нека въведем обозначението на събитията: А- първо избран мъжки IN- вторият избран мъж, С -третият избран мъж. Вероятността първо да бъде избран мъжки P(A) = 7/10.
Вероятността мъж да бъде избран втори, при условие че човек вече е избран първи, т.е. условна вероятност за събитие INследващия : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Вероятността мъж да бъде избран трети, при условие че вече са избрани двама мъже, т.е. условна вероятност за събитие СЪСе: НАСТОЛЕН КОМПЮТЪР/AB) = 5/8.
Желаната вероятност и трите избрани лица да са мъже, P(ABC) = P(A) P(B/А) НАСТОЛЕН КОМПЮТЪР/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.

1.2.6. Формула за пълна вероятност и формула на Байс

Позволявам б 1 , б 2 ,…, B nса по двойки несъвместими събития (хипотези) и А- събитие, което може да се случи само във връзка с едно от тях.
Уведомете ни също Р(B i) И P(A/B i) (аз = 1, 2, …, н).
При тези условия са валидни формулите:
(2.5)
(2.6)
Формула (2.5) се извиква формула за обща вероятност . Той изчислява вероятността от събитие А(пълна вероятност).
Формула (2.6) се извиква Формула на Бейс . Тя ви позволява да преизчислите вероятностите на хипотези, ако събитието Асе случи.
При компилирането на примери е удобно да се има предвид, че хипотезите образуват пълна група.
Задача 1.16. Кошницата съдържа ябълки от четири дървета от един и същи сорт. От първия - 15% от всички ябълки, от втория - 35%, от третия - 20%, от четвъртия - 30%. Узрелите ябълки са съответно 99%, 97%, 98%, 95%.
а) Каква е вероятността произволно избрана ябълка да е узряла? А).
б) При условие, че произволно взета ябълка се е оказала узряла, изчислете вероятността тя да е от първото дърво.
Решение. а) Имаме 4 хипотези:
B 1 - произволно взета ябълка се взема от 1-вото дърво;
B 2 - произволно взета ябълка се взема от 2-то дърво;
B 3 - произволно взета ябълка се взема от 3-то дърво;
B 4 - ябълка, взета на случаен принцип, се взема от 4-то дърво.
Техните вероятности според условието: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Вероятности за условни събития А:
P(A/б 1) = 0,99; P(A/б 2) = 0,97; P(A/б 3) = 0,98; P(A/б 4) = 0,95.
Вероятността произволно избрана ябълка да е узряла се намира по формулата за пълна вероятност:
P(A)=P(B 1)∙P(A/б 1)+P(B 2)∙P(A/б 2)+P(B 3)∙P(A/б 3)+P(B 4)∙P(A/б 4)=0,969.
б) Формулата на Байс за нашия случай има формата:
.
Задача 1.17.Бяла топка се пуска в урна, съдържаща две топки, след което една топка се тегли на случаен принцип. Намерете вероятността изтеглената топка да бъде бяла, ако всички възможни предположения за първоначалния състав на топките (по цвят) са еднакво възможни.
Решение. Означаваме с Асъбитие - изтегля се бяла топка. Възможни са следните предположения (хипотези) за първоначалния състав на топките: B1няма бели топки НА 2- една бяла топка НА 3- две бели топки.
Тъй като хипотезите са общо три, а сумата от вероятностите на хипотезите е 1 (тъй като те образуват пълна група от събития), то вероятността на всяка от хипотезите е 1/3, т.е.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Условната вероятност да бъде изтеглена бяла топка, като се има предвид, че първоначално в урната не е имало бели топки, P(A/б 1)=1/3. Условната вероятност да бъде изтеглена бяла топка, като се има предвид, че урната първоначално е съдържала една бяла топка, P(A/б 2)=2/3. Условната вероятност да бъде изтеглена бяла топка, като се има предвид, че урната първоначално е съдържала две бели топки. P(A/б 3)=3/ 3=1.
Желаната вероятност да бъде изтеглена бяла топка се намира по формулата за обща вероятност:
Р(А)=P(B 1)∙P(A/б 1)+P(B 2)∙P(A/б 2)+P(B 3)∙P(A/б 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Задача 1.18. Две машини произвеждат едни и същи части, които се подават към общ конвейер. Производителността на първата машина е два пъти по-висока от втората. Първата машина произвежда средно 60% части с отлично качество, а втората - 84%. Частта, взета произволно от поточната линия, се оказа с отлично качество. Намерете вероятността този артикул да е произведен от първата машина.
Решение. Означаваме с Асъбитието е артикул с отлично качество. Могат да се направят две предположения: B1- частта се произвежда от първата машина и (тъй като първата машина произвежда два пъти повече части от втората) P(A/б 1) = 2/3; б 2 - частта е произведена от втората машина и P(B 2) = 1/3.
Условната вероятност частта да бъде с отлично качество, ако бъде произведена от първата машина, P(A/б 1)=0,6.
Условната вероятност частта да бъде с отлично качество, ако бъде произведена от втората машина, P(A/б 1)=0,84.
Вероятността произволно избрана част да бъде с отлично качество според формулата за обща вероятност е равна на
P(A)=P(B 1) ∙P(A/б 1)+P(B 2) ∙P(A/б 2)=2/3 0,6+1/3 0,84 = 0,68.
Желаната вероятност отличната взета част да бъде произведена от първия автомат, съгласно формулата на Байс, е равна на

Задача 1.19. Има три партиди части с по 20 части всяка. Броят на стандартните части в първата, втората и третата партида е съответно 20, 15 и 10. Част, която се оказа стандартна, беше извлечена на случаен принцип от избраната партида. Частите се връщат обратно в партидата и случайно се изважда част от същата партида за втори път, което също се оказва стандартно. Намерете вероятността частите да са взети от третата партида.
Решение. Означаваме с Асъбитие - във всеки от двата теста (с връщане) е извлечена стандартна част. Могат да се направят три хипотези: б 1 - частите се отстраняват от първата партида, IN 2 – части са взети от втората партида, IN 3 - части се отстраняват от третата партида.
Подробностите са взети на случаен принцип от взетата партида, така че вероятностите на хипотезите са еднакви: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Намерете условната вероятност P(A/б 1), т.е. вероятността две стандартни части да бъдат изтеглени последователно от първата партида. Това събитие е надеждно, т.к. в първата партида всички части са стандартни, така че P(A/б 1) = 1.
Намерете условната вероятност P(A/б 2), т.е. вероятността две стандартни части да бъдат последователно извлечени (с връщане) от втората партида: P(A/б 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Намерете условната вероятност P(A/б 3), т.е. вероятността две стандартни части да бъдат последователно премахнати (с връщане) от третата партида: P(A/б 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
Желаната вероятност и двете извлечени стандартни части да бъдат взети от третата партида, съгласно формулата на Бейс, е равна на

1.2.7. Повторни тестове

Ако се извършат няколко теста и вероятността от събитие Авъв всяко изпитание не зависи от резултатите от други изпитания, тогава такива изпитания се наричат независимо по отношение на събитие А.В различни независими опити събитието Аможе да има различни вероятности или еднаква вероятност. По-нататък ще разгледаме само такива независими опити, в които събитието Аима същата вероятност.
Нека се произвежда Пнезависими изпитания, във всяко от които събитие Аможе или не може да се появи. Да приемем, че вероятността от събитие Авъв всеки тест е една и съща, а именно равна на Р.Следователно вероятността от несбъдване на събитието Авъв всеки тест също е постоянна и равна на 1– Р.Такава вероятностна схема се нарича Схема на Бернули. Нека си поставим задачата да изчислим вероятността това ПСъбитийни изпитания на Бернули Аще се сбъдне точно кведнъж ( к- броя на успехите) и следователно няма да бъдат реализирани П-веднъж. Важно е да се подчертае, че не е задължително събитието Аповторено точно кпъти в определена последователност. Обозначете желаната вероятност R p (к). Например символът Р 5 (3) означава вероятността, че в пет опита събитието ще се появи точно 3 пъти и следователно няма да се случи 2 пъти.
Проблемът може да се реши с помощта на т.нар формули на Бернули,което изглежда така:
.
Задача 1.20.Вероятността потреблението на електроенергия в рамките на един ден да не надвишава установената норма е равна на Р=0,75. Намерете вероятността през следващите 6 дни консумацията на електроенергия за 4 дни да не надвишава нормата.
Решение.Вероятността за нормално потребление на електроенергия през всеки от 6-те дни е постоянна и равна на Р=0,75. Следователно вероятността от преразход на електроенергия всеки ден също е постоянна и равна на q= 1–Р=1–0,75=0,25.
Желаната вероятност според формулата на Бернули е равна на
.
Задача 1.21. Двама равни шахматисти играят шах. Кое е по-вероятно: да спечелите две игри от четири или три игри от шест (равенствата не се вземат предвид)?
Решение. Играят равни шахматисти, така че вероятността за победа е голяма Р= 1/2, следователно вероятността да загубите рсъщо е равно на 1/2. защото във всички игри вероятността за победа е постоянна и няма значение в каква последователност са спечелени игрите, тогава е приложима формулата на Бернули.
Намерете вероятността две игри от четири да бъдат спечелени:

Намерете вероятността три от шест игри да бъдат спечелени:

защото П 4 (2) > П 6 (3), по-вероятно е да спечелите две игри от четири, отколкото три от шест.
Може обаче да се види, че използвайки формулата на Бернули за големи стойности нтова е доста трудно, тъй като формулата изисква извършване на операции с огромни числа и следователно грешките се натрупват в процеса на изчисления; в резултат на това крайният резултат може да се различава значително от истинския.
За да се реши този проблем, има няколко гранични теореми, които се използват за случай на голям брой опити.
1. Теорема на Поасон
При провеждане на голям брой тестове по схемата на Бернули (с н=> ∞) и с малък брой благоприятни резултати к(приемайки, че вероятността за успех стрмалък), формулата на Бернули се доближава до формулата на Поасон
.
Пример 1.22.Вероятността за брак при производството на единица продукция от предприятието е равна на стр=0,001. Каква е вероятността при производството на 5000 единици продукти да има по-малко от 4 дефектни (събитие А Решение. защото не голямо, използваме локалната теорема на Лаплас:

Изчислете х:
функция е четен, следователно φ(–1,67) = φ(1,67).
Според таблицата в Приложение A.1 намираме φ(1,67) = 0,0989.
Желана вероятност П 2400 (1400) = 0,0989.
3. Интегрална теорема на Лаплас
Ако вероятността Рнастъпване на събитие Авъв всеки опит според схемата на Бернули е постоянна и различна от нула и единица, след това с голям брой опити н, вероятност R p (к 1 , к 2) възникване на събитие Ав тези изпитания к 1 към к 2 пъти приблизително равно
R p(к 1 , к 2) = Φ ( х"") – Φ ( х"), Където
е функцията на Лаплас,

Определеният интеграл във функцията на Лаплас не се изчислява върху класа аналитични функции, така че таблица 1 се използва за изчисляването му. Клауза 2, дадена в приложението.
Пример 1.24.Вероятността за възникване на събитие във всеки от стоте независими опита е постоянна и равна на стр= 0,8. Намерете вероятността събитието да се случи: а) най-малко 75 пъти и най-много 90 пъти; б) най-малко 75 пъти; в) не повече от 74 пъти.
Решение. Нека използваме интегралната теорема на Лаплас:
R p(к 1 , к 2) = Φ ( х"") – Φ( х"), където Ф( х) е функцията на Лаплас,

а) По условие н = 100, стр = 0,8, р = 0,2, к 1 = 75, к 2 = 90. Пресметнете х""И х" :

Като се има предвид, че функцията на Лаплас е странна, т.е. F(- х) = – F( х), получаваме
П 100 (75; 90) \u003d F (2,5) - F (-1,25) \u003d F (2,5) + F (1,25).
Според таблицата P.2. намери приложения:
F(2,5) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944.
Желана вероятност
П 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
б) Изискването събитието да се случи най-малко 75 пъти означава, че броят на повторенията на събитието може да бъде равен на 75, или 76, ... или 100. Така че в разглеждания случай трябва да се приеме к 1 = 75, к 2 = 100. Тогава

.
Според таблицата P.2. приложения намираме Ф (1,25) = 0,3944; Ф(5) = 0,5.
Желана вероятност
П 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
в) Събитие - " Асе появи най-малко 75 пъти" и " Асе появи не повече от 74 пъти” са противоположни, така че сумата от вероятностите за тези събития е 1. Следователно желаната вероятност
П 100 (0;74) = 1 – П 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

Преведете текста на немски, моля.

Само не в онлайн преводача.

Златната порта е символ на Киев, един от най-старите образци на архитектурата, оцелял до наше време. Златните порти на Киев са построени при известния киевски княз Ярослав Мъдри през 1164 г. Първоначално те се наричаха южни и бяха част от системата от отбранителни укрепления на града, практически не се различаваха от другите охранителни порти на града. Именно Южните порти първият руски митрополит Иларион нарича "Велики" в своята "Проповед за закона и благодатта". След построяването на величествената Света София, „Големите“ порти стават главният сухопътен вход към Киев от югозападната страна. Осъзнавайки значението им, Ярослав Мъдри заповяда да се построи малка църква на Благовещението над портите, за да отдаде почит на християнската религия, която доминираше в града и Русия. От този момент нататък всички руски летописи започват да наричат Южните порти на Киев Златните порти. Ширината на портата е 7,5 м, височината на прохода е 12 м, а дължината е около 25 м.

Помогнете с превода на tex!

le sport ce n "est pas seulement des cours de gym. C" est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport développé ton corps et aussi ton cerveau. Quand tu prends l "escalier et non pas l" ascenseur tu fais du sport. Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Quand tu te bats avec ton frere tu fais du sport. Quand tu cours, parce que tu es en retard a l "ecole, tu fais du sport.