ВИЗНАЧЕННЯ

Осьовим (або екваторіальним) моментом інерціїперерізу щодо осі називається величина, яку визначають як:

Вираз (1) позначає для обчислення осьового моменту інерції береться по всій площі S сума творів нескінченно малих майданчиків () помножених на квадрати відстаней від них до осі обертання:

Сума осьових моментів інерції перерізу щодо взаємно перпендикулярних осей (наприклад, щодо осей X та Y у декартовій системі координат) дають полярний момент інерції () щодо точки перетину цих осей:

ВИЗНАЧЕННЯ

Полярним моментомінерції називають момент інерції перетином по відношенню до деякої точки.

Осьові моменти інерції завжди більше нуля, тому що в їх визначеннях (1) під знаком інтеграла стоять величина площі елементарного майданчика (), завжди позитивна і відстань від цієї площадки до осі.

Якщо ми маємо справу з перетином складної форми, то часто при розрахунках використовують те, що осьовий момент інерції складного перерізупо відношенню до осі дорівнює суміосьових моментів інерції частин цього перерізу щодо тієї ж осі. Однак слід пам'ятати, що не можна підсумовувати моменти інерції, які знайдені щодо різних осей та точок.

Осьовий момент інерції щодо осі проходить через центр тяжкості перерізу найменше значенняз усіх моментів щодо паралельних із нею осей. Момент інерції щодо будь-якої осі () за умови її паралельності з віссю, що проходить через центр тяжіння дорівнює:

де - момент інерції перерізу щодо осі, що проходить через центр тяжкості перерізу; - Площа перерізу; - Відстань між осями.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

Завдання	Чому дорівнює осьовий момент інерції рівнобедреного трикутного перерізу щодо осі Z, що проходить через центр тяжіння () трикутника, паралельно до його основи? Висота трикутника дорівнює.
Рішення	Виділимо на трикутному перерізі прямокутний елементарний майданчик (див. рис.1). Вона знаходиться на відстані від осі обертання, довжина однієї її сторони, інша сторона. З рис.1 випливає, що: Площа виділеного прямокутника з урахуванням (1.1) дорівнює: Для знаходження осьового моменту інерції використовуємо його визначення як:
Відповідь

ПРИКЛАД 2

Завдання	Знайдіть осьові моменти інерції щодо перпендикулярних осей X та Y (рис.2) перерізу у вигляді кола діаметр якого дорівнює d.
Рішення	Для вирішення завдання зручніше розпочати з знаходження полярного моменту щодо центру перерізу (). Весь перетин розіб'ємо на нескінченно тонкі кільця завтовшки, радіус яких позначимо. Тоді елементарну площу знайдемо як:

Усюди однакова, то

J a = ρ ∫ (V) r 2 d V . (\displaystyle J_(a)=\rho \int \limits _((V))r^(2)dV.)

Теорема Гюйгенса – Штейнера

Момент інерції твердого тіла щодо будь-якої осі залежить від маси, форми та розмірів тіла, а також і від положення тіла по відношенню до цієї осі. Відповідно до теореми Гюйгенса - Штейнера, момент інерції тіла Jщодо довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла J cщодо осі, що проходить через центр мас тіла паралельно розглянутої осі, і добутку маси тіла mна квадрат відстані dміж осями:

J = J c + m d 2 , (\displaystyle J = J_(c)+md^(2),)

де m- Повна маса тіла.

Наприклад, момент інерції стрижня щодо осі, що проходить через його кінець, дорівнює:

J = J c + m d 2 = 1 12 ml 2 + m (l 2) 2 = 1 3 ml 2 . (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac(1)(12))ml^(2)+m\left((\frac(l)(2))\right)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Осьові моменти інерції деяких тіл

Моменти інерціїоднорідних тіл найпростішої форми щодо деяких осей обертання

Тіло	Опис	Становище осі a	Момент інерції J a
	Матеріальна точка маси m	на відстані rвід точки, нерухома
	Порожнистий тонкостінний циліндр або кільце радіусу rта маси m	Вісь циліндра	m r 2 (\displaystyle mr^(2))
	Суцільний циліндр або диск радіусу rта маси m	Вісь циліндра	1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2))
	Порожнистий товстостінний циліндр маси mіз зовнішнім радіусом r 2 та внутрішнім радіусом r 1	Вісь циліндра	m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2)))
	Суцільний циліндр довжини l, радіуса rта маси m		1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
	Порожнистий тонкостінний циліндр (кільце) довжини l, радіуса rта маси m	Вісь перпендикулярна до циліндра і проходить через його центр мас	1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
	Прямий тонкий стрижень довжини lта маси m	Вісь перпендикулярна до стрижня і проходить через його центр мас	1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2))
	Прямий тонкий стрижень довжини lта маси m	Вісь перпендикулярна до стрижня і проходить через його кінець	1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2))
	Тонкостінна сфера радіусу rта маси m	Вісь проходить через центр сфери	2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2))
	Куля радіусу rта маси m	Вісь проходить через центр кулі	2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2))
	Конус радіусу rта маси m	Ось конуса	3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2))
	Рівнобедрений трикутник з висотою h, основою aта масою m	Вісь перпендикулярна площині трикутника і проходить через вершину	1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2)))
	Правильний трикутник зі стороною aта масою m	Вісь перпендикулярна площині трикутника і проходить через центр мас	1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2))
	Квадрат зі стороною aта масою m	Вісь перпендикулярна площині квадрата і проходить через центр мас	1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2))
	Прямокутник зі сторонами aі bта масою m	Вісь перпендикулярна площині прямокутника і проходить через центр мас	1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2)))
	Правильний n-кутник радіусу rта масою m	Вісь перпендикулярна до площини і проходить через центр мас	m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left)
	Тор (порожнистий) з радіусом напрямного кола R, радіусом утворюючого кола rта масою m	Вісь перпендикулярна площині напрямного кола тора і проходить через центр мас	I = m (3 4 r 2 + R 2).

Висновок формул

Тонкостінний циліндр (кільце, обруч)

Висновок формули

Момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції його складових частин. Розіб'ємо тонкостінний циліндр на елементи з масою dmта моментами інерції dJ i. Тоді

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m. (1). (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)

Оскільки всі елементи тонкостінного циліндра знаходяться на однаковій відстані від осі обертання, формула (1) перетворюється на вигляд

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\sum R^(2)dm=R^(2)\sum dm=mR^(2).)

Товстостінний циліндр (кільце, обруч)

Висновок формули

Нехай є однорідне кільце із зовнішнім радіусом Rвнутрішнім радіусом R 1 товщиною hта щільністю ρ. Розіб'ємо його на тонкі кільця завтовшки dr. Маса та момент інерції тонкого кільця радіусу rскладе

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)

Момент інерції товстого кільця знайдемо як інтеграл

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int_(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2) ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\right)\left(R^(2)+R_(1)^(2)\right).)

Оскільки об'єм та маса кільця рівні

V = π (R 2 − R 1 2) h; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h,)

отримуємо остаточну формулу для моменту інерції кільця

J = 1 2 m (R 2 + R 1 2). (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\left(R^(2)+R_(1)^(2)\right).)

Однорідний диск (суцільний циліндр)

Висновок формули

Розглядаючи циліндр (диск) як кільце з нульовим внутрішнім радіусом ( R 1 = 0), отримаємо формулу для моменту інерції циліндра (диска):

J = 1 2 m R 2 . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)

Суцільний конус

Висновок формули

Розіб'ємо конус на тонкі диски завтовшки dhперпендикулярні осі конуса. Радіус такого диска дорівнює

r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)

де R– радіус основи конуса, H- Висота конуса, h- Відстань від вершини конуса до диска. Маса та момент інерції такого диска складуть

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac(1)(2))r^(2)dm=(\frac(1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac(1)( 2)) \pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)

Інтегруючи, отримаємо

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac(1)(2))\pi \rho \left((\frac(R)(H)) \right)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac(1)(2))\pi \rho \left((\frac(R)(H) )\right)^(4)\left.(\frac (h^(5))(5))\right|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\right)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(aligned)))

Суцільна однорідна куля

Висновок формули

Розіб'ємо кулю на тонкі диски завтовшки dhперпендикулярні осі обертання. Радіус такого диска, розташованого на висоті hвід центру сфери, знайдемо за формулою

r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)

Маса та момент інерції такого диска складуть

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac(1)(2))r^(2)dm=(\frac(1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac(1)( 2)) \pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh.)

Момент інерції кулі знайдемо інтегруванням:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 ч 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac(2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac(1)(5))h^(5)\right)\right|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac(2)(3))R^(5)+(\frac(1)(5))R^(5)\right) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(aligned)))

Тонкостінна сфера

Висновок формули

Для виведення скористаємося формулою моменту інерції однорідної кулі радіусу R :

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac(2)(5))MR^(2)=(\frac(8)(15))\pi \rho R^(5).)

Обчислимо, наскільки зміниться момент інерції кулі, якщо при незмінній щільності його радіус збільшиться на нескінченно малу величину dR .

J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac(d)(dR))\left((\frac(8)(15)))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2) dR\right)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(aligned)))

Тонкий стрижень (вісь проходить через центр)

Висновок формули

Розіб'ємо стрижень на малі фрагменти завдовжки dr. Маса та момент інерції такого фрагмента дорівнює

d m = m d r l; d J = r 2 d m = m r 2 d r l. (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)

Інтегруючи, отримаємо

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 ml l 3 24 = 1 12 ml 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\left.(\frac (r^(3))(3))\right|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)

Тонкий стрижень (вісь проходить через кінець)

Висновок формули

При переміщенні осі обертання з середини стрижня на його кінець центр ваги стрижня переміщається щодо осі на відстань l ⁄ 2. За теоремою Штейнера новий момент інерції дорівнюватиме

J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\left((\frac(l)(2))\right)^(2)=(\frac(1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Безрозмірні моменти інерції планет та супутників

Велике значення для досліджень внутрішньої структури планет та їх супутників мають їхні безрозмірні моменти інерції. Безрозмірний момент інерції тіла радіусу rта маси mдорівнює відношенню його моменту інерції щодо осі обертання на момент інерції матеріальної точкитієї ж маси щодо нерухомої осі обертання, розташованої на відстані r(Рівному mr 2). Ця величина відбиває розподіл маси по глибині. Одним з методів її вимірювання у планет і супутників є визначення доплерівського зміщення радіосигналу, що передається АМС, що пролітає біля цієї планети або супутника. Для тонкостінної сфери безрозмірний момент інерції дорівнює 2/3 (~0,67), для однорідної кулі - 0,4, і тим менше, чим більша маса тіла зосереджена біля його центру. Наприклад, у Місяця безрозмірний момент інерції близький до 0,4 (рівний 0,391), тому припускають, що він відносно однорідний, його щільність із глибиною змінюється мало. Безрозмірний момент інерції Землі менший, ніж у однорідної кулі (рівний 0,335), що є аргументом на користь існування у неї щільного ядра.

Відцентровий момент інерції

Відцентровими моментами інерції тіла по відношенню до осей прямокутної декартової системи координат називаються такі величини:

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)

де x , yі z- координати малого елемента тіла об'ємом dV, щільністю ρ та масою dm .

Вісь OX називається головною віссюінерції тіла, якщо відцентрові моменти інерції J xyі J xzодночасно дорівнюють нулю. Через кожну точку тіла можна провести три основні осі інерції. Ці осі взаємно перпендикулярні одна одній. Моменти інерції тілащодо трьох головнихосей інерції, проведених у довільній точці Oтіла, називаються головними моментами інерціїданого тіла.

Головні осі інерції, що проходять через центр мас тіла, називаються головними центральними осями інерції тіла, а моменти інерції щодо цих осей – його головними центральними моментами інерції. Вісь симетрії однорідного тіла завжди є однією з його головних центральних осей інерції.

Геометричні моменти інерції

Геометричний момент інерції обсягу

J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)

де, як і раніше r- відстань від елемента dVдо осі a .

Геометричний момент інерції площіщодо осі - геометрична характеристикатіла, що виражається формулою:

J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)

де інтегрування виконується поверхнею S, а dS- Елемент цієї поверхні.

Розмірність J Sa- довжина в четвертому ступені ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), відповідно одиниця виміру СІ - 4 . У будівельних розрахунках, літературі та сортаментах металопрокату часто вказується в см 4 .

Через геометричний момент інерції площі виражається момент опору перерізу:

W = J S a r m a x. (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)

Тут r max- Максимальна відстань від поверхні до осі.

Геометричні моменти інерції площі деяких фігур
Прямокутника заввишки h (\displaystyle h)та шириною b (\displaystyle b):	J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12))) J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12)))
Прямокутного коробчатого перерізу висотою та шириною за зовнішніми контурами H (\displaystyle H)і B (\displaystyle B), а за внутрішнім h (\displaystyle h)і b (\displaystyle b)відповідно	J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3))) J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3)))
Коло діаметром d (\displaystyle d)	J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)))

Момент інерції щодо площини

Моментом інерції твердого тіла щодо деякої площини називають скалярну величину, рівну сумі добутків маси кожної точки тіла на квадрат відстані від цієї точки до площини .

Якщо через довільну точку O (\displaystyle O)провести координатні осі x, y, z (\displaystyle x, y, z), то моменти інерції щодо координатних площин x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz)і z O x (\displaystyle zOx)висловлюватимуться формулами:

J x O y = ∑ i = 1 n mi z 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)

У разі суцільного тіла підсумовування замінюється на інтегрування.

Центральний момент інерції

Центральний момент інерції (момент інерції щодо точки O, момент інерції щодо полюса, полярний момент інерції) J O (\displaystyle J_(O))- це величина, що визначається виразом:

J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)

Центральний момент інерції можна виразити через головні осьові моменти інерції, а також через моменти інерції щодо площин:

J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \right),) J O = J x O y + J y O z + J x O z. (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)

Тензор інерції та еліпсоїд інерції

Момент інерції тіла щодо довільної осі, що проходить через центр мас і має напрямок, заданий поодиноким вектором s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s)) = \ left \ Vert s_ (x), s_ (y), s_ (z) \ right \ Vert ^ (T), \ left \ vert (\vec (s) )\right\vert =1), можна подати у вигляді квадратичної (білінійної) форми:

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) , \ Qquad ) (1)

де - тензор інерції. Матриця тензора інерції симетрична, має розміри 3 × 3 (\displaystyle 3\times 3)і складається з компонентів відцентрових моментів:

J ^ = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y y − J y z − J z x − J z y J z z , (\displaystyle (\hat (J))=\left\Vert (\begin(array) )(ccc)J_(xx)&-J_(xy)&-J_(xz)\\-J_(yx)&J_(yy)&-J_(yz)\\-J_(zx)&-J_(zy) &J_(zz)\end(array))\right\Vert ,) J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , (\displaystyle J_(xy)=J_(yx),\quad J_(xz)=J_(zx),\quad J_(zy)= J_(yz), \quad)J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m , J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m, J z z = ∫ (m) (x 2 + y 2) d m. (\displaystyle J_(xx)=\int \limits _((m))(y^(2)+z^(2))dm,\quad J_(yy)=\int \limits _((m)) (x^(2)+z^(2))dm,\quad J_(zz)=\int \limits _((m))(x^(2)+y^(2))dm.)

Вибір відповідної системи координат матриця тензора інерції може бути приведена до діагонального вигляду. Для цього потрібно вирішити задачу про власні значення для матриці тензора J ^ (\displaystyle (\hat (J))):

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=(\hat (Q))^(T)\cdot (\hat (J))\ cdot (hat (Q)),) J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=\left\Vert (\begin(array)(ccc)J_(X)&0&0\ \0&J_(Y)&0\\0&0&J_(Z)\end(array))\right\Vert ,)

де Q ^ (\displaystyle (\hat (Q)))- ортогональна матриця переходу у свій базис тензора інерції. У своєму базисі координатні осі спрямовані вздовж основних осей тензора інерції, і навіть збігаються з головними півосями еліпсоїда тензора інерції. Величини J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z))- Основні моменти інерції. Вираз (1) у власній системі координат має вигляд:

I s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2 , (\displaystyle I_(s)=J_(X)\cdot s_(x)^(2)+J_(Y)\cdot s_(y )^(2)+J_(Z)\cdot s_(z)^(2),)

звідки виходить рівняння еліпсоїда у координатах. Розділивши обидві частини рівняння на I (\displaystyle I_(s))

(s x I s) 2 ⋅ J X + (s y I s) 2 ⋅ J Y + (s z I s) 2 ⋅ J Z = 1 (\displaystyle \left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s))) ))\right)^(2)\cdot J_(X)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Y) +\left((s_(z) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Z)=1)

і зробивши заміни:

ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi = (s_(x) \ over (\sqrt (I_(s))))), ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s))))),)

отримуємо канонічний вид рівняння еліпсоїда в координатах ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. 2) \cdot J_(Z) = 1.)

Відстань від центру еліпсоїда до деякої його точки пов'язана зі значенням моменту інерції тіла вздовж прямої, що проходить через центр еліпсоїда і цю точку:

r 2 = ξ 2 + η 2 + ζ 2 = (s x I s) 2 + (s y I s) 2 + (s z I s) 2 = 1 I s . (\displaystyle r^(2)=\xi ^(2)+\eta ^(2)+\zeta ^(2)=\left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))) )\right)^(2)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)+\left((s_(z) \over (\) sqrt (I_(s))))\right)^(2)=(1 \over I_(s)).)

добуток інерції, одна з величин, що характеризують розподіл мас у тілі ( механічної системи). Ц. м. в. обчислюються як суми творів мас m доточок тіла (системи) на дві з координат x k , у до, z kцих точок:

Значення Ц. м. в. залежить від напрямів координатних осей. При цьому для кожної точки тіла існують принаймні три такі взаємно перпендикулярні осі, які називають головними осями інерції, для яких Ц. м. і. рівні нулю.

Поняття Ц. м. в. грає важливу рольщодо обертального руху тел. Від значень Ц. м. в. залежать величини сил тиску на підшипники, в які закріплена вісь тіла, що обертається. Ці тиски будуть найменшими (рівними статичним), якщо вісь обертання є головною віссю інерції, що проходить через центр мас тіла.

• -  ...

  Фізична енциклопедія

• -  ...

  Фізична енциклопедія

• - Див. Еферентний...

  Велика психологічна енциклопедія

• - геометрична характеристика поперечного перерізувідкритого тонкостінного стрижня, що дорівнює сумі творів елементарних майданчиків перерізів на квадрати секторіальних площ - секторен інерційний момент -...

  Будівельний словник

• - геометрична характеристика поперечного перерізу стрижня, що дорівнює сумі творів елементарних майданчиків перерізу на квадрати їх відстаней до осі, що розглядається, - інерційний момент - moment setrvačnosti - Trägheitsmoment -...

  Будівельний словник

• - величина, що характеризує розподіл мас у тілі і є поряд з масою мірою інертності тіла при не надходять. рух. Розрізняють осьові та відцентрові М. і. Осьовий М. в. дорівнює сумі творів...
• - Головні, три взаємно перпендикулярні осі, які можна провести через будь-яку точку тв. тіла, що відрізняються тим, що якщо тіло, закріплене в цій точці, привести в обертання навколо однієї з них, то за відсутності...

  Природознавство. Енциклопедичний словник

• - вісь у площині поперечного перерізу твердого тіла, щодо якої визначається момент інерції перерізу - інерційна ос - osa setrvačnosti - Trägheitsachse - inerciatengely - інерційний тенхлег - oś bezwładności - axă de inerţie - osa inercije - eje...

  Будівельний словник

• - момент часу, коли продукція, відвантажена покупцю, вважається реалізованою.

  Енциклопедичний словник економіки та права

• - поняття це введено в науку Ейлером, хоча вже Гюйгенс раніше користувався виразом того ж таки роду, не даючи йому особливої ​​назви: один із шляхів, що приводить до його визначення, наступний...

  Енциклопедичний словник Брокгауза та Євфрона

• - Величина, що характеризує розподіл мас у тілі і є поряд з масою мірою інертності тіла при непоступальному русі. У механіці розрізняють М. і. осьові та відцентрові...
• - головні, три взаємно перпендикулярні осі, проведені через якусь точку тіла, що володіють тією властивістю, що якщо їх прийняти за координатні осі, то відцентрові моменти інерції тіла щодо...

  Велика Радянська енциклопедія

• - добуток інерції, одна з величин, що характеризують розподіл мас у тілі.

  Велика Радянська енциклопедія

• - величина, що характеризує розподіл мас у тілі і є поряд з масою мірою інертності тіла при не надходять. рух. Розрізняють осьові та відцентрові моменти інерції.
• - головні - три взаємно перпендикулярні осі, які можна провести через будь-яку точку твердого тіла, що відрізняються тим, що якщо тіло, закріплене в цій точці, привести в обертання навколо однієї з них, то при...

  Великий енциклопедичний словник

• - ...

  Форми слова

"Центробіжний момент інерції" у книгах

Всупереч інерції

З книги Сфінкси XX ст. автора Петров Рем Вікторович

Всупереч інерції

З книги Сфінкси XX ст. автора Петров Рем Вікторович

Всупереч інерції «В останні два десятиліття імунологічна природа відторгнення тканинних трансплантатів стала загальновизнаною і всі аспекти відторгнення перебувають під жорстким експериментальним контролем». Леслі Брент Відбитки пальців Отже, на запитання «Що

За інерцією

Скільки коштує людина. Повість про пережите у 12 зошитах та 6 томах. автора

За інерцією

Скільки коштує людина. Зошит десятий: Під «крильцем» шахти автора Керсновська Єфросинія Антонівна

Щоб оцінити пейзаж, треба подивитися на картину з деякої відстані. Щоб правильно оцінити ту чи іншу подію, також потрібна відома дистанція. Діяв закон інерції. Поки дух змін дійшов до Норильська, ще довгий час здавалося, що все ковзає по

24. Сила Інерції

З книги Ефірна механіка автора Данина Тетяна

24. Сила Інерції Ефір, що випускається задньою півкулею частинки, що інерційно рухається, це і є Сила Інерції. Ця Сила Інерції – це відштовхування Ефіру, що заповнює частинку, Ефіром, що випускається нею самої. Величина Інерційної Сили пропорційна швидкості випромінювання

3.3.1. Занурювальний відцентровий насос

З книги Сам собі сантехнік. Сантехнічні дачні комунікації автора Кашкаров Андрій Петрович

3.3.1. Занурювальний відцентровий насос У цьому розділі розглянемо варіант із занурювальним відцентровим насосом НПЦ-750. Водою з ключа я користуюся з квітня по жовтень. Закачую її занурювальним відцентровим насосом НВЦ-750/5нк (перша цифра вказує на споживану потужність у ВАТ,

ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ПІЩЕНЬ.

Як показує досвід, опір стрижня різним деформаціям залежить тільки від розмірів поперечного перерізу, а й від форми.

Розміри поперечного перерізу та форма характеризуються різними геометричними характеристиками: площа поперечного перерізу, статичні моменти, моменти інерції, моменти опору та ін.

1. Статичний момент площі(Момент інерції першого ступеня).

Статичний момент інерціїплощі щодо якоїсь осі, називається сума творів елементарних майданчиків на відстань до цієї осі, поширена на всю площу (рис. 1)

Рис.1

Властивості статичного моменту площі:

1. Статичний момент площі вимірюється в одиницях довжини третього ступеня (наприклад, см3).

2. Статичний момент може бути менше нуля, більше нуля і, отже, дорівнювати нулю. Осі, щодо яких статичний момент дорівнює нулю, проходять через центр тяжкості перерізу та називаються центральними осями.

Якщо x cі y c– координати центу тяжкості, то

3. Статичний момент інерції складного перерізу щодо будь-якої осі дорівнює сумі статичних моментів складових простих перерізів щодо тієї ж осі.

Поняття статичного моменту інерції в науці про міцність використовується визначення положення центру тяжкості перерізів, хоча пам'ятати, що у симетричних перерізах центр тяжкості лежить перетині осей симетрії.

2. Момент інерції плоских перерізів (фігур) (моменти інерції другого ступеня).

а) осьовий(екваторіальний) момент інерції.

Осьовим моментом інерціїплощі фігури щодо якоїсь осі називається сума творів елементарних майданчиків на квадрат відстані до цієї осі розповсюдження на всю площу (рис. 1)

Властивості осьового моменту інерції.

1. Осьовий момент інерції площі вимірюється в одиницях довжини четвертого ступеня (наприклад, см 4).

2. Осьовий момент інерції завжди більший за нуль.

3. Осьовий момент інерції складного перерізу щодо будь-якої осі дорівнює сумі осьових моментів складових простих перерізів щодо тієї ж осі:

4. Розмір осьового моменту інерції характеризує здатність стрижня (бруса) певного поперечного перерізу чинити опір вигину.

б) Полярний момент інерції.

Полярним моментом інерціїПлощі фігури щодо будь-якого полюса називається сума творів елементарних майданчиків на квадрат відстані до полюса, поширена на всю площу (рис. 1).

Властивості полярного моменту інерції:

1. Полярний момент інерції площі вимірюється в одиницях довжини четвертого ступеня (наприклад, см 4).

2. Полярний момент інерції завжди більший за нуль.

3. Полярний момент інерції складного перерізу щодо будь-якого полюса (центру) дорівнює сумі полярних моментів складових простих перерізів щодо цього полюса.

4. Полярний момент інерції перерізу дорівнює сумі осьових моментів інерції цього перерізу щодо двох взаємно перпендикулярних осей, що проходять через полюс.

5. Розмір полярного моменту інерції характеризує здатність стрижня (бруса) певної форми поперечного перерізу чинити опір кручення.

в) Відцентровий момент інерції.

ЦЕНТРОБІЖНИМ МОМЕНТОМ ІНЕРЦІЇ площі фігури щодо будь-якої системи координат називається сума творів елементарних майданчиків на координати, поширена на всю площу (рис. 1)

Властивості відцентрового моменту інерції:

1. Відцентровий момент інерції площі вимірюється в одиницях довжини четвертого ступеня (наприклад, см 4).

2. Відцентровий момент інерції може бути більшим від нуля, меншим від нуля і дорівнювати нулю. Осі, щодо яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, називаються головними осями інерції. Дві взаємно перпендикулярні осі, з яких хоча одна є віссю симетрії, будуть головними осями. Головні осі, що проходять через центр ваги площі, називаються головними центральними осями, а осьові моменти інерції площі головними центральними моментами інерції.

3. Відцентровий момент інерції складного перерізу в будь-якій системі координат дорівнює сумі відцентрових моментів інерції складових фігур у тій же схемі координат.

МОМЕНТИ ІНЕРЦІЇ ВІДНОСНО ПАРАЛЕЛЬНИХ ОСЕЙ.

Рис.2

Дано: осі x, y- Центральні;

тобто. осьовий момент інерції в перерізі щодо осі, паралельної центральної, дорівнює осьовому моменту щодо своєї центральної осі плюс добуток площі на квадрат відстані між осями. Звідси випливає, що осьовий момент інерції перерізу щодо центральної осі має мінімальну величину у системі паралельних осей.

Зробивши аналогічні викладки для відцентрового моменту інерції, отримаємо:

J x1y1 = J xy + Aab

тобто. відцентровий момент інерції перерізу щодо осей, паралельних центральній системікоординат, що дорівнює відцентровому моменту в центральній системі координат плюс добуток площі на відстань між осями.

МОМЕНТИ ІНЕРЦІЇ У ПОВЕРНУТІЙ СИСТЕМІ КООРДИНАТ

тобто. сума осьових моментів інерції перерізу є постійна величина, не залежить від кута повороту осей координат і дорівнює полярному моменту інерції щодо початку координат. Відцентровий момент інерції може змінювати свою величину і звертатися до «0».

Осі, щодо яких відцентровий момент дорівнює нулю, будуть головними осями інерції, а якщо вони проходять через центр тяжіння, то вони називаються головними осями інерції і позначаються « u» та «».

Моменти інерції щодо головних центральних осей називаються головними центральними моментами інерції та позначаються , причому основні центральні моменти інерції мають екстремальні значення, тобто. один "min", а інший "max".

Нехай кут "a 0" характеризує становище головних осей, тоді:

з цієї залежності визначаємо становище основних осей. Величину ж головних моментів інерції після деяких перетворень визначаємо за такою залежністю:

ПРИКЛАДИ ВИЗНАЧЕННЯ ОСІВНИХ МОМЕНТІВ ІНЕРЦІЇ, ПОЛЯРНИХ МОМЕНТІВ ІНЕРЦІЇ І МОМЕНТІВ ПРОТИ ПРОСТІШНИХ ФІГУР.

1. Прямокутний переріз

Осі xі y – тут та інших прикладах – головні центральні осі інерції.

Визначимо осьові моменти опору:

2. Круглий суцільний переріз. Моменти інерції.

Часто ми чуємо вирази: він інертний, рухатися по інерції, момент інерції. У переносному значенні слово «інерція» може трактуватися як відсутність ініціативи та дій. Нас цікавить пряме значення.

Що таке інерція

Відповідно до визначення інерціяу фізиці – це здатність тіл зберігати стан спокою чи руху за відсутності дії зовнішніх сил.

Якщо із самим поняттям інерції все зрозуміло на інтуїтивному рівні, то момент інерції- Окреме питання. Погодьтеся, складно уявити, що це таке. У цій статті Ви навчитеся вирішувати базові завдання на тему «Момент інерції».

Визначення моменту інерції

З шкільного курсувідомо, що маса – міра інертності тіла. Якщо ми штовхнемо два візки різної маси, то зупинити складніше буде той, який важчий. Тобто чим більше маса, тим більше зовнішнє вплив необхідно, щоб змінити рух тіла. Розглянуте відноситься до поступального руху, коли візок з прикладу рухається прямою.

За аналогією з масою та поступальним рухом момент інерції – це міра інертності тіла при обертальний рухнавколо осі.

Момент інерції- скалярна фізична величина, міра інертності тіла при обертанні навколо осі Позначається буквою J та в системі СІ вимірюється у кілограмах, помножених на квадратний метр.

Як порахувати момент інерції? Є загальна формула, за якою у фізиці обчислюється момент інерції будь-якого тіла. Якщо тіло розбити на нескінченно малі шматочки масою dm , то момент інерції дорівнюватиме сумі творів цих елементарних мас на квадрат відстані до осі обертання.

Це загальна формула для моменту інерції у фізиці. Для матеріальної точки маси m , що обертається навколо осі на відстані r від неї, дана формула набуває вигляду:

Теорема Штейнера

Від чого залежить момент інерції? Від маси, положення осі обертання, форми та розмірів тіла.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – дуже важлива теорема, яку часто використовують під час вирішення завдань.

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на будь-який вид роботи

Теорема Гюйгенса-Штейнера каже:

Момент інерції тіла щодо довільної осі дорівнює сумі моменту інерції тіла щодо осі, що проходить через центр мас паралельно довільної осі та добутку маси тіла на квадрат відстані між осями.

Для тих, хто не хоче постійно інтегрувати при розв'язанні задач на знаходження моменту інерції, наведемо малюнок із зазначенням моментів інерції деяких однорідних тіл, які часто зустрічаються у задачах:

Приклад розв'язання задачі знаходження моменту інерції

Розглянемо два приклади. Перше завдання – знайти момент інерції. Друге завдання – використання теореми Гюйгенса-Штейнера.

Завдання 1. Знайти момент інерції однорідного диска маси m і радіусу R. Вісь обертання проходить через центр диска.

Рішення:

Розіб'ємо диск на нескінченно тонкі кільця, радіус яких змінюється від 0 до Rі розглянемо одне таке кільце. Нехай його радіус – r, а маса - dm. Тоді момент інерції кільця:

Масу кільця можна представити у вигляді:

Тут dz- Висота кільця. Підставимо масу у формулу для моменту інерції та проінтегруємо:

У результаті вийшла формула моменту інерції абсолютного тонкого диска чи циліндра.

Завдання 2. Нехай знову є диск маси m і радіуса R. Тепер потрібно знайти момент інерції диска щодо осі, що проходить через середину одного з його радіусів.

Рішення:

Момент інерції диска щодо осі, що проходить через центр мас, відомий із попереднього завдання. Застосуємо теорему Штейнера і знайдемо:

До речі, у нашому блозі Ви можете знайти й інші корисні матеріализ фізики та вирішення завдань.

Сподіваємося, що Ви знайдете у статті щось корисне для себе. Якщо в процесі розрахунку тензора інерції виникають труднощі, не забувайте про студентський сервіс. Наші фахівці проконсультують з будь-якого питання та допоможуть вирішити завдання за лічені хвилини.