- (грец. Trapezion). 1) в геометрії чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві немає. 2) фігура, пристосована для гімнастичних вправ. словник іноземних слів, Які увійшли до складу російської мови. Чудінов А.Н., 1910. ТРАПЕЦІЯ ... ... Словник іншомовних слів російської мови

трапеція- Трапеція. ТРАПЕЦІЯ (від грецького trapezion, буквально столик), опуклий чотирикутник, у якому дві сторони паралельні (підстави трапеції). Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми підстав (середній лінії) на висоту. ... Ілюстрований енциклопедичний словник

трапеція- чотирикутник, снаряд, перекладина Словник російських синонімів. трапеція ім., кол під синонімів: 3 перекладина (21) ... Словник синонімів

ТРАПЕЦІЯ- (від грецького trapezion, буквально столик), опуклий чотирикутник, у якому дві сторони паралельні (підстави трапеції). Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми підстав (середній лінії) на висоту ... сучасна енциклопедія

ТРАПЕЦІЯ- (від грец. Trapezion букв. Столик), чотирикутник, в якому дві протилежні сторони, Звані підставами трапеції, паралельні (на малюнку А D і ВС), а інші дві непаралельні. Відстань між основами називають висотою трапеції (на ... ... Великий Енциклопедичний словник

ТРАПЕЦІЯ- ТРАПЕЦІЯ, чотирикутна плоска фігура, в якій дві протилежні сторони паралельні. Площа трапеції дорівнює напівсумі паралельних сторін, помноженої на довжину перпендикуляра між ними ... Науково-технічний енциклопедичний словник

ТРАПЕЦІЯ- ТРАПЕЦІЯ, трапеції, дружин. (Від грец. Trapeza стіл). 1. Чотирикутник з двома паралельними і двома непаралельними сторонами (мат.). 2. Гімнастичний снаряд, що складається з поперечини, підвішеною на двох мотузках (спорт.). Акробатичні ... ... Тлумачний словникУшакова

ТРАПЕЦІЯ- ТРАПЕЦІЯ, і, дружин. 1. Чотирикутник з двома паралельними і двома непаралельними сторонами. Підстави трапеції (її паралельні сторони). 2. Цирковий або гімнастичний снаряд перекладина, підвішена на двох тросах. Тлумачний словник Ожегова. З ... Тлумачний словник Ожегова

ТРАПЕЦІЯ- дружин., Геом. чотирикутником з нерівними сторонами, з яких дві опостенни (паралельно). Трапецоід, подібний чотирикутником, у якого всі сторони йдуть нарізно. Трапецоедр, тіло, огранений трапеціями. Тлумачний словник Даля. В.І. Даль. 1863 1866 ... Тлумачний словник Даля

ТРАПЕЦІЯ- (Trapeze), США, 1956, 105 хв. Мелодрама. Початківець акробат Тіно Орсіні надходить в циркову трупу, де працює Майк Ріббл, відомий в минулому повітряний гімнаст. Коли то Майк виступав разом з батьком Тіно. Молодий Орсіні хоче, щоб Майк ... ... Енциклопедія кіно

трапеція- чотирикутник, дві сторони якого паралельні, а дведругіе сторони не паралельні. Відстань між паралельними сторонаміназ. висотою Т. Якщо паралельні сторони і висота містять а, b і hметров, то площа Т. містить квадратних метрів … Енциклопедія Брокгауза і Ефрона

книги

• Комплект таблиць. Геометрія. 8 клас. 15 таблиць + методика,. Таблиці віддруковані на щільному поліграфічному картоні розміром 680 х 980 мм. У комплект входить брошура з методичними рекомендаціямидля вчителя. Навчальний альбом з 15 аркушів. Багатокутники. ... Купити за 3828 руб
• Комплект таблиць. Математика. Багатокутники (7 таблиць),. Навчальний альбом з 7 аркушів. Опуклі і неопуклі багатокутники. Чотирикутники. Паралелограм і трапеція. Ознаки та властивості паралелограма. Прямокутник. Ромб. Квадрат. Площа ...

Багатокутник - частина площини, обмежена замкнутою ламаною лінією. Кути у багатокутника позначаються точками вершин ламаної. Вершини кутів багатокутника і вершини багатокутника - це збігаються точки.

Визначення. Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні.

властивості паралелограма

1. Протилежні сторони рівні.
На рис. 11 AB = CD; BC = AD.

2. Протилежні кути рівні (два гострих і два тупих кута).
На рис. 11 ∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.

3 Діагоналі (відрізки прямої, що з'єднують дві протилежні вершини) перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

На рис. 11 відрізки AO = OC; BO = OD.

Визначення. Трапеція - це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні, а дві інші - ні.

паралельні сторони називаються її підставами, А дві інші - бічними сторонами.

види трапецій

1. трапеція, У якій бічні сторони не рівні,
називається різнобічної(Рис. 12).

2. Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається равнобокой(Рис. 13).

3. Трапеція, у якої одна бічна сторона становить прямий кут з підставами, називається прямокутної(Рис. 14).

Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції (рис. 15), називається середньою лінією трапеції ( MN). Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Трапецію можна назвати усіченим трикутником (рис. 17), тому і назви трапецій схожі з назвами трикутників (трикутники бувають різнобічні, рівнобедрені, прямокутні).

Площа паралелограма і трапеції

Правило. Площа паралелограмадорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

трапеція- це чотирикутник, що має дві паралельні сторони, які є підставами і зо два не паралельні сторони, які є боковими сторонами.

Також зустрічаються такі назви, як равнобокаяабо равнобочная.

- це трапеція, у якої кути при бічній стороні прямі.

елементи трапеції

a, b - підстави трапеції(A паралельно b),

m, n - бічні сторонитрапеції,

d 1, d 2 - діагоналітрапеції,

h - висотатрапеції (відрізок, що з'єднує підстави і при цьому перпендикулярний їм),

MN - середня лінія(Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін).

Площа трапеції

1. Через полусумму підстав a, b і висоту h: S = \ frac (a + b) (2) \ cdot h
2. Через середню лінію MN і висоту h: S = MN \ cdot h
3. Через діагоналі d 1, d 2 і кут (\ sin \ varphi) між ними: S = \ frac (d_ (1) d_ (2) \ sin \ varphi) (2)

властивості трапеції

Середня лінія трапеції

Середня лініяпаралельна основам, дорівнює їх напівсумі і розділяє кожен відрізок з кінцями, що знаходяться на прямих, які містять підстави, (наприклад, висоту фігури) навпіл:

MN || a, MN || b, MN = \ frac (a + b) (2)

Сума кутів трапеції

Сума кутів трапеції, Прилеглих до кожної бічної сторони, дорівнює 180 ^ (\ circ):

\ Alpha + \ beta = 180 ^ (\ circ)

\ Gamma + \ delta = 180 ^ (\ circ)

Рівновеликі трикутники трапеції

рівновеликими, Тобто мають рівні площі, є відрізки діагоналей і трикутники AOB і DOC, утворені бічними сторонами.

Подоба утворених трикутників трапеції

подібними трикутникамиє AOD і COB, які утворені своїми підставами і відрізками діагоналей.

\ Triangle AOD \ sim \ triangle COB

коефіцієнт подібності k знаходиться за формулою:

k = \ frac (AD) (BC)

Причому співвідношення площ цих трикутників дорівнює k ^ (2).

Відношення довжин відрізків і підстав

Кожен відрізок, що з'єднує підстави і проходить через точку перетину діагоналей трапеції, поділений цією точкою щодо:

\ Frac (OX) (OY) = \ frac (BC) (AD)

Це буде справедливим і для висоти з самими діагоналями.

У матеріалах різних контрольних робіті іспитів дуже часто зустрічаються завдання на трапецію, Рішення яких вимагає знання її властивостей.

З'ясуємо, якими ж цікавими і корисними для вирішення завдань властивостями володіє трапеція.

Після вивчення властивості середньої лінії трапеції можна сформулювати і довести властивість відрізка, що з'єднує середини діагоналей трапеції. Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює полуразность підстав.

MO - середня лінія трикутника ABC і дорівнює 1 / 2ВС (Рис. 1).

MQ - середня лінія трикутника ABD і дорівнює 1 / 2АD.

Тоді OQ = MQ - MO, отже, OQ = 1 / 2AD - 1 / 2BC = 1/2 (AD - BC).

При вирішенні багатьох завдань на трапецію одним з основних прийомів є проведення в ній двох висот.

Розглянемо наступну завдання.

Нехай BT - висота рівнобедреної трапеції ABCD з основами BC і AD, причому BC = a, AD = b. Знайти довжини відрізків AT і TD.

Рішення.

Рішення завдання не викликає труднощі (Рис. 2), Але воно дозволяє отримати властивість висоти рівнобедреної трапеції, проведеної з вершини тупого кута: Висота рівнобедреної трапеції, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на два відрізки, менший з яких дорівнює полуразность підстав, а більший - напівсумі підстав.

При вивченні властивостей трапеції потрібно звернути увагу на таку властивість, як подобу. Так, наприклад, діагоналі трапеції розбивають її на чотири трикутники, причому трикутники, прилеглі до підстав, подібні, а трикутники, прилеглі до бічних сторонах, рівновеликі. Це твердження можна назвати властивістю трикутників, на які розбивається трапеція її діагоналями. Причому перша частина твердження доводиться дуже легко через ознака подібності трикутників за двома кутами. доведемодругу частину твердження.

Трикутники BOC і COD мають загальну висоту (Рис. 3), Якщо прийняти за їх підстави відрізки BO і OD. Тоді S BOC / S COD = BO / OD = k. Отже, S COD = 1 / k · S BOC.

Аналогічно, трикутники BOC і АОВ мають загальну висоту, якщо прийняти за їх підстави відрізки CO і OA. Тоді S BOC / S AOB = CO / OA = k і S А O У = 1 / k · S BOC.

З цих двох пропозицій слід, що S COD = S А O В.

Не будемо зупинятися на сформульованому затвердження, а знайдемо зв'язок між площами трикутників, на які розбивається трапеція її діагоналями. Для цього вирішимо наступну задачу.

Нехай точка O - точка перетину діагоналей трапеції АBCD з підставами BC і AD. Відомо, що площі трикутників BOC і AOD рівні відповідно S 1 і S 2. Знайти площу трапеції.

Так як S COD = S А O У, то S АВС D = S 1 + S 2 + 2S COD.

З подоби трикутників BОC і AOD слід, що ВО / OD = √ (S₁ / S 2).

Отже, S₁ / S COD = BO / OD = √ (S₁ / S 2), а значить S COD = √ (S 1 · S 2).

Тоді S АВС D = S 1 + S 2 + 2√ (S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

З використанням подібності доводиться і властивість відрізка, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції паралельно підставах.

Розглянемо завдання:

Нехай точка O - точка перетину діагоналей трапеції ABCD з основами BC і AD. BC = a, AD = b. Знайти довжину відрізка PK, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції паралельно підставах. На які відрізки ділиться PK точкою О (рис. 4)?

З подоби трикутників AOD і BOC слід, що АO / ОС = AD / BC = b / a.

З подоби трикутників AOР і ACB слід, що АO / AС = PO / BC = b / (a ​​+ b).

Звідси PO = BC · b / (a ​​+ b) = ab / (a ​​+ b).

Аналогічно, з подібності трикутників DOK і DBC, слід, що OK = ab / (a ​​+ b).

Звідси PO = OK і PK = 2ab / (a ​​+ b).

Отже, доведене властивість можна сформулювати так: відрізок, паралельний підстав трапеції, проходить через точку перетину діагоналей і з'єднує дві точки на бічних сторонах, ділиться точкою перетину діагоналей навпіл. Його довжина є середнє гармонійне підстав трапеції.

наступне властивість чотирьох точок: В трапеції точка перетину діагоналей, точка перетину продовження бічних сторін, середини підстав трапеції лежать на одній лінії.

Трикутники BSC і ASD подібні (Рис. 5)і в кожному з них медіани ST і SG ділять кут при вершині S на однакові частини. Отже, точки S, T і G лежать на одній прямій.

Точно так же на одній прямій розташовані точки T, O і G. Це випливає з подібності трикутників BOC і AOD.

Значить, всі чотири точки S, T, O і G лежать на одній прямій.

Так само можна знайти довжину відрізка розбиває трапецію на дві подібні.

Якщо трапеції ALFD і LBCF подібні (Рис. 6),то a / LF = LF / b.

Звідси LF = √ (ab).

Таким чином, відрізок розбиває трапецію на дві подібні трапеції, має довжину рівну середньому геометричному довжин підстав.

доведемо властивість відрізка, яка розділяє трапецію на дві рівновеликі.

Нехай площа трапеції дорівнює S (Рис. 7). h 1 і h 2 - частини висоти, а х - довжина шуканого відрізка.

Тоді S / 2 = h 1 · (a + x) / 2 = h 2 · (b + x) / 2 і

S = (h 1 + h 2) · (a + b) / 2.

складемо систему

(H 1 · (a + x) = h 2 · (b + x)
(H 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b) / 2.

вирішуючи дану систему, Отримаємо х = √ (1/2 (а 2 + b 2)).

Таким чином, довжина відрізка, яка розділяє трапецію на дві рівновеликі, равна√ ((а 2 + b 2) / 2)(Середнього квадратичного довжин підстав).

Отже, для трапеції ABCD з основами AD і BC (BC = a, AD = b) довели, що відрізок:

1) MN, що з'єднує середини бічних сторін трапеції, паралельний підставах і дорівнює їх напівсумі (середнім арифметичним чисел a і b);

2) PK, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції паралельно підставах, дорівнює
2ab / (a ​​+ b) (середнього гармонійного чисел a і b);

3) LF, який розбиває трапецію на дві подібні трапеції, має довжину рівну середньому геометричному чисел a і b, √ (ab);

4) EH, який ділив трапецію на дві рівновеликі, має довжину √ ((а 2 + b 2) / 2) (середнє квадратичне чисел a і b).

Ознака і властивість вписаною і описаної трапеції.

Властивість вписаною трапеції:трапеція може бути вписана в коло в тому і тільки в тому випадку, коли вона рівнобедрена.

Властивості описаної трапеції.Близько окружності можна описати трапецію тоді і тільки тоді, коли сума довжин підстав дорівнює сумі довжин бічних сторін.

Корисні слідства того, що в трапецію вписане коло:

1. Висота описаної трапеції дорівнює двом радіусів вписаного кола.

2. Бічна сторона описаної трапеції видно з центру вписаного кола під прямим кутом.

Перше очевидно. Для доказу другого слідства необхідно встановити, що кут COD прямий, що так само не складає великих труднощів. Зате знання цього слідства дозволяє при вирішенні задач використовувати прямокутний трикутник.

конкретизуємо слідства для рівнобедреної описаної трапеції:

Висота рівнобедреної описаної трапеції є середнє геометричне підстав трапеції
h = 2r = √ (ab).

Розглянуті властивості дозволять більш глибоко пізнати трапецію і забезпечать успішність у вирішенні завдань на застосування її властивостей.

Залишилися питання? Не знаєте, як вирішувати завдання на трапецію?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
Перший урок - безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Розглянемо кілька напрямків вирішення завдань, в яких трапеція вписана в коло.

Коли трапецію можна вписати в коло? Чотирикутник можна вписати в коло тоді і тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює 180º. Звідси слідує що вписати в коло можна тільки равнобокой трапецію.

Радіус кола, описаного навколо трапеції, можна знайти як радіус кола, описаного навколо з одного з двох трикутників, на які трапецію ділить її діагональ.

Де знаходиться центр кола, описаного навколо трапеції? Це залежить від кута між діагоналлю трапеції і її бічною стороною.

Якщо діагональ трапеції перпендикулярна її бічній стороні, то центр кола, описаного навколо трапеції, лежить на середині її більшого підстави. Радіус описаного навколо трапеції кола в цьому випадку дорівнює половині її більшого підстави:

Якщо діагональ трапеції утворює з бічною стороною гострий кут, центр кола, описаного навколо трапеції лежить всередині трапеції.

Якщо діагональ трапеції утворює з бічною стороною тупий кут, Центр описаного навколо трапеції кола лежить поза трапеції, за великим підставою.

Радіус описаного навколо трапеції кола можна знайти за слідству з теореми синусів. З трикутника ACD

З трикутника ABC

Інший варіант знайти радіус описаного кола -

Синуси кута D і кута CAD можна знайти, наприклад, з прямокутних трикутників CFD і ACF:

При вирішенні завдань на трапецію, вписану в окружність, можна також використовувати те, що вписаний кут дорівнює половині відповідного йому центрального кута. наприклад,

До речі, використовувати кути COD і CAD можна і для знаходження площі трапеції. За формулою знаходження площі чотирикутника через його діагоналі