Світлої пам'яті мого вчителя - першого декана фізико-математичного факультету Новочеркаського політехнічного інституту, завідувача кафедри «Теоретична механіка» Кабелькова Олександра Миколайовича

Вступ

Август, літо добігає кінця. Народ люто рвонув на моря, та воно й не дивно - саме сезон. А на Хабре, тим часом,. Якщо говорити про тему даного випуску «Моделювання ...», то в ньому ми сумісний приємне з корисним - продовжимо обіцяний цикл і зовсім трохи поборемося з цієї самої лженаукою за допитливі сучасної молоді.

А питання ж дійсною не пусте - зі шкільних років ми звикли вважати, що наш найближчий супутник в космічному просторі - Місяць рухається навколо Землі з періодом 29,5 діб, особливо не вдаючись у супутні подробиці. Насправді ж наша сусідка своєрідний і в якійсь мірі унікальний астрономічний об'єкт, з рухом якого навколо Землі не все так просто, як, можливо, хотілося б деяким моїм колегам з найближчого зарубіжжя.

Отже, залишивши полеміку в стороні, спробуємо з різних сторін, В міру своєї компетенції, розглянути цю безумовно красиву, цікаву і дуже показову завдання.

1. Закон всесвітнього тяжіння і які висновки ми можемо з нього зробити

Відкритий ще в другій половині 17 століття, сером Ісааком Ньютоном, закон всесвітнього тяжіння говорить про те, що Місяць притягується до Землі (і Земля до Місяця!) З силою, спрямованої уздовж прямої, що з'єднує центри розглянутих небесних тіл, і рівної по модулю

де m 1, m 2 - маси, відповідно Місяця і Землі; G \u003d 6,67e-11 м 3 / (кг * з \u200b\u200b2) - гравітаційна стала; r 1,2 - відстань між центрами Місяця і Землі. Якщо брати до уваги тільки цю силу, то, вирішивши завдання про рух Місяця як супутника Землі і навчившись розраховувати положення Місяця на небі на тлі зірок, ми досить скоро переконаємося, шляхом прямих вимірювань екваторіальних координат Місяця, що в нашій консерваторії не все так гладко як хотілося б. І справа тут не в законі всесвітнього тяжіння (а на ранніх етапах розвитку небесної механіки такі думки висловлювалися досить нерідко), а в неврахований обурення руху Місяця з боку інших тіл. Яких? Дивимося на небо і наш погляд відразу впирається в здоровенний, масою аж 1,99e30 кілограм плазмова куля прямо у нас під носом - Сонце. Місяць притягується до Сонця? Ще як, з силою, рівною за модулем

де m 3 - маса Сонця; r 1,3 - відстань від Місяця до Сонця. Порівняємо цю силу з попередньою

Візьмемо положення тіл, в якому тяжіння Місяця до Сонця буде мінімальним: все три тіла на одній прямій і Земля розташовується між Місяцем і Сонцем. В цьому випадку наша формула набуде вигляду:

де, м - середня відстань від Землі до Місяця; , М - середня відстань від Землі до Сонця. Підставами в цю формулу реальні параметри

Ось це номер! Виходить Місяць притягується до Сонця силою, більш ніж в два рази перевищує силу її тяжіння до Землі.

Подібне обурення вже не можна не враховувати і воно безумовно вплине на кінцеву траєкторію руху Місяця. Підемо далі, беручи до уваги припущення про те, що орбіта Землі кругова з радіусом a, знайдемо геометричне місце точок навколо Землі, де сила тяжіння будь-якого об'єкта до Землі дорівнює силі його тяжіння до Сонця. Це буде сфера, з радіусом

зміщена вздовж прямої, що з'єднує Землю і Сонце в сторону противоположенную напрямку на Сонце на відстань

де - відношення маси Землі до маси Сонця. Підставивши чисельні значення параметрів отримаємо фактичні розміри даної області: R \u003d 259300 кілометрів, і l \u003d 450 кілометрів. Ця сфера носить назву сфери тяжіння Землі щодо Сонця.

Відома нам орбіта Місяця лежить поза цією областю. Тобто в будь-якій точці траєкторії Місяць відчуває з боку Сонця істотно більше тяжіння, ніж з боку Землі.

2. Супутник або планета? Гравітаційна сфера дії

Ця інформація, часто породжує суперечки, про те, що місяць не буде вже супутник Землі, а самостійна планета сонячної системи, Орбіта якої обурена тяжінням близькою Землі.

Оцінимо обурення, що вноситься Сонцем в траєкторію Місяця щодо Землі, а так само обурення, що вноситься Землею в траєкторію Місяця відносно Сонця, скориставшись критерієм, запропонованим П. Лапласом. Розглянемо три тіла: Сонце (S), Землю (E) і Місяць (M).
Приймемо допущення, що орбіти Землі щодо Сонця і Місяця щодо Землі є круговими.

Розглянемо рух Місяця в геоцентричної інерціальній системі відліку. Абсолютна прискорення Місяця в геліоцентричної системі відліку визначається діючими на неї силами тяжіння і так само:

З іншого боку, відповідно до теореми Коріоліса, абсолютне прискорення Місяця

де - переносне прискорення, рівне прискоренню Землі щодо Сонця; - прискорення Місяця щодо Землі. Прискорення Коріоліса тут не буде - обрана нами система координат рухається поступально. Звідси отримуємо прискорення Місяця щодо Землі

Частина цього прискорення, що дорівнює обумовлена \u200b\u200bпритяганням Місяця до Землі і характеризує її невозмущенное геоцентричний рух. Решта

прискорення Місяця, викликане обуренням з боку Сонця.

Якщо розглядати рух Місяця в геліоцентричної інерціальній системі відліку, то все набагато простіше, прискорення характеризує невозмущенное геліоцентричне рух Місяця, а прискорення - обурення цього руху з боку Землі.

При існуючих в поточну епоху параметрах орбіт Землі і Місяця, в кожній точці траєкторії Місяця справедливо нерівність

що можна перевірити і безпосереднім обчисленням, Але я пошлюся, щоб надмірно не захаращувати статтю.

Що означає нерівність (1)? Так то, що у відносному вираженні ефект від обурення Місяця Сонцем (причому дуже суттєво) менше ефекту від тяжіння Місяця до Землі. І навпаки, обурення Землею геоліоцентріческой траєкторії Місяця робить вирішальний вплив на характер її руху. вплив земної гравітації в даному випадку більш істотно, а значить Місяць «належить» Землі по праву і є її супутником.

Цікавим є інше - перетворивши нерівність (1) в рівняння можна знайти геометричне місце точок, де ефекти обурення Місяця (та й будь-якого іншого тіла) Землею і Сонцем однакові. На жаль це у ж не так просто, як у випадку зі сферою тяжіння. Розрахунки показують, що дана поверхня описується рівнянням божевільного порядку, але близька до еліпсоїда обертання. Все що ми може зробити без зайвих проблем, це оцінити загальні габарити цієї поверхні щодо центру Землі. Вирішуючи чисельно рівняння

щодо відстані від центру Землі до шуканої поверхні на достатній кількості точок, отримуємо перетин шуканої поверхні площиною екліптики

Для наочності тут показані і геоцентрична орбіта Місяця і, знайдена нами вище сфера тяжіння Землі щодо Сонця. З малюнка видно, що сфера впливу, або сфера гравітаційної дії Землі щодо Сонця є поверхня обертання щодо осі X, сплющена вздовж прямої, що з'єднує Землю і Сонце (уздовж осі затемнень). Орбіта Місяця знаходиться глибоко всередині цієї уявної поверхні.

Для практичних розрахунків дану поверхню зручно апроксимувати сферою з центром в центру Землі і радіусом рівним

де m - маса меншого небесного тіла; M - маса більшого тіла, в поле тяжіння якого рухається менше тіло; a - відстань між центрами тел. У нашому випадку

Ось цей недороблений мільйон кілометрів і є той теоретичну межу, за який влада бабусі Землі не поширюється - її вплив на траєкторії астрономічних об'єктів настільки мало, що ним можна знехтувати. А значить, запустити Місяць по круговій орбіті на відстані 38,4 млн. Кілометрів від Землі (як роблять деякі лінгвісти) не вийде, це фізично неможливо.

Ця сфера, для порівняння, показана на малюнку синьою пунктирною лінією. При оціночних розрахунках прийнято вважати, що тіло, яке перебуває усередині даної сфери буде відчувати тяжіння виключно з боку Землі. Якщо тіло знаходиться зовні даної сфери - вважаємо що тіло рухається в полі тяжіння Сонця. У практичній космонавтиці відомий метод сполучення конічних перетинів, що дозволяє наближено розрахувати траєкторію космічного апарату, використовуючи рішення задачі двох тіл. При цьому весь простір, яке долає апарат розбивається на подібні сфери впливу.

Наприклад, тепер зрозуміло, для того щоб мати теоретичну можливість зробити маневри для виходу на окололунную орбіту, космічний апарат повинен потрапити всередину сфери дії Місяця щодо Землі. Її радіус легко розрахувати за формулою (3) і він дорівнює 66 тисяч кілометрів.

3. Завдання трьох тіл в класичній постановці

Отже, розглянемо модельну задачу в загальній постановці, Відому в небесній механіці як завдання трьох тіл. Розглянемо три тіла довільної маси, розташованих довільним чином в просторі і рухаються виключно під дією сил взаємного гравітаційного тяжіння

тіла вважаємо матеріальними точками. Положення тел будемо відраховувати в довільному базисі, з яким пов'язана інерціальна система відліку Oxyz. Положення кожного з тіл задається радіус-вектором відповідно, і. На кожне тіло діє сила гравітаційного тяжіння з боку двох інших тіл, причому відповідно до частини третьої аксіомою динаміки точки (3-й закон Ньютона)

Запишемо диференціальні рівняння руху кожної точки у векторній формі

Або, з урахуванням (4)

Відповідно до закону всесвітнього тяжіння, сили взаємодії спрямовані уздовж векторів

Уздовж кожного з цих векторів випустимо відповідний орт

тоді кожна з гравітаційних сил розраховується за формулою

З урахуванням всього цього система рівнянь руху набуває вигляду

Введемо позначення, прийняте в небесній механіці

- гравітаційний параметр притягає центру. Тоді рівняння руху візьмуть остаточний векторний вигляд

4. Нормування рівнянь до безрозмірних змінних

Досить популярним прийомом при математичному моделюванні є приведення диференціальних рівнянь і інших співвідношень, що описують процес, до безрозмірним фазовим координатах і безрозмірного часу. Нормуються так само і інші параметри. Це дозволяє розглядати, хоч і з застосуванням чисельного моделювання, але в досить загальному вигляді цілий клас типових задач. Питання про те, наскільки це виправдано в кожної задачі залишаю відкритим, але погоджуся, що в даному випадку такий підхід цілком справедливий.

Отже, введемо якесь абстрактне небесне тіло з гравітаційним параметром, таке, що період обертання супутника по еліптичній орбіті з великої півосі навколо нього дорівнює. Всі ці величини, в силу законів механіки, пов'язані співвідношенням

Введемо заміну параметрів. Для положення точок нашої системи

де - безрозмірний радіус-вектор i-й точки;
для гравітаційних параметрів тел

де - безрозмірний гравітаційний параметр i-й точки;
для часу

де - безрозмірний час.

Тепер перерахуємо прискорення точок системи через ці безрозмірні параметри. Застосуємо пряме дворазове диференціювання за часом. для швидкостей

для прискорень

При підстановці отриманих співвідношень в рівняння руху все елегантно схлопивается в красиві рівняння:

Дана система рівнянь досі вважається не интегрируемой в аналітичних функціях. Чому вважається а не є? Тому що успіхи теорії функції комплексного змінного привели до того, що загальне рішення задачі трьох тел таки з'явилося в 1912 році - Карлом Зундманом був знайдений алгоритм відшукання коефіцієнтів для нескінченних рядів щодо комплексного параметра, теоретично є загальним рішенням завдання трьох тіл. Але ... для застосування рядів Зундмана в практичних розрахунках з необхідною для них точністю вимагає отримання такого числа членів цих рядів, що ця задача набагато перевершує можливості обчислювальних машин навіть на сьогоднішній день.

Тому чисельне інтегрування - єдиний спосіб аналізу рішення рівняння (5)

5. Розрахунок початкових умов: видобуваємо вихідні дані

, Перш ніж починати чисельне інтегрування, слід турбуватиметься розрахунком початкових умов для розв'язуваної задачі. У розглянутій задачі пошук початкових умов перетворюється в самостійну підзадачу, так як система (5) дає нам дев'ять скалярних рівнянь другого порядку, що при переході до нормальної форми Коші підвищує порядок системи ще в 2 рази. Тобто нам необхідно розрахувати цілих 18 параметрів - початкові положення і компоненти початкової швидкості всіх точок системи. Де ми візьмемо дані про становище цікавлять нас небесних тіл? Ми живемо в світі, де людина ходила по Місяцю - природно людство повинно володіти інформацією, як ця сама Місяць рухається і де вона знаходиться.

Тобто, скажете ви, ти, чувак, пропонуєш нам взяти з полиць товсті астрономічні довідники, здути з них пил ... Не вгадали! Я пропоную сходити за цими даними до тих, хто власне ходив по Місяцю, до NASA, а саме в Лабораторію реактивного руху, Пасадена, штат Каліфорнія. Ось сюди - JPL Horizonts web interface.

Тут, витративши небагато часу на вивчення інтерфейсу, ми здобудемо всі необхідні нам дані. Виберемо дату, наприклад, так нам все одно, але нехай це буде 27 липня 2018 року UT 20:21. Якраз в цей момент спостерігалася повна фаза місячного затемнення. Програма видасть нам величезну онучу

Повне виведення для ефемерид Місяця на 27.07.2018 20:21 (початок координат в центрі Землі)

************************************************** ***************************** Revised: Jul 31, 2013 Moon / (Earth) 301 GEOPHYSICAL DATA (updated 2018 Aug-13 ): Vol. Mean Radius, km \u003d 1737.53 + -0.03 Mass, x10 ^ 22 kg \u003d 7.349 Radius (gravity), km \u003d 1738.0 Surface emissivity \u003d 0.92 Radius (IAU), km \u003d 1737.4 GM, km ^ 3 / s ^ 2 \u003d 4902.800066 Density, g / cm ^ 3 \u003d 3.3437 GM 1-sigma, km ^ 3 / s ^ 2 \u003d + -0.0001 V (1,0) \u003d +0.21 Surface accel., m / s ^ 2 \u003d 1.62 Earth / Moon mass ratio \u003d 81.3005690769 Farside crust. thick. \u003d ~ 80 - 90 km Mean crustal density \u003d 2.97 + -. 07 g / cm ^ 3 Nearside crust. thick. \u003d 58 + -8 km Heat flow, Apollo 15 \u003d 3.1 + -. 6 mW / m ^ 2 k2 \u003d 0.024059 Heat flow, Apollo 17 \u003d 2.2 + -. 5 mW / m ^ 2 Rot. Rate, rad / s \u003d 0.0000026617 Geometric Albedo \u003d 0.12 Mean angular diameter \u003d 31 "05.2" Orbit period \u003d 27.321582 d Obliquity to orbit \u003d 6.67 deg Eccentricity \u003d 0.05490 Semi-major axis, a \u003d 384400 km Inclination \u003d 5.145 deg Mean motion, rad / s \u003d 2.6616995x10 ^ -6 Nodal period \u003d 6798.38 d Apsidal period \u003d 3231.50 d Mom. of inertia C / MR ^ 2 \u003d 0.393142 beta (CA / B), x10 ^ -4 \u003d 6.310213 gamma (BA / C), x10 ^ -4 \u003d 2.277317 Perihelion Aphelion Mean Solar Constant (W / m ^ 2) 1414 + - 7 1323 + -7 1368 + -7 Maximum Planetary IR (W / m ^ 2) 1314 тисячі двісті двадцять шість 1268 Minimum Planetary IR (W / m ^ 2) 5.2 5.2 5.2 *************** ************************************************** ************** ************************************ ******************************************* Ephemeris / WWW_USER Wed Aug 15 20 : 45 05 2018 Pasadena, USA / Horizons **************************************** *************************************** Target body name: Moon (301) (source: DE431mx) Center body name: Earth (399) (source: DE431mx) Center-site name: BODY CENTER **************************** ************************************************** * Start time: AD 2018 Jul-27 20: 21: 00.0003 TDB Stop time: A.D. 2018 Jul-28 20: 21: 00.0003 TDB Step-size: 0 steps ********************************* ********************************************** Center geodetic: 0.00000000 , 0.00000000,0.0000000 (E-lon (deg), Lat (deg), Alt (km)) Center cylindric: 0.00000000,0.00000000,0.0000000 (E-lon (deg), Dxy (km), Dz (km)) Center radii : 6378.1 x 6378.1 x 6356.8 km (Equator, meridian, pole) Output units: AU-D Output type: GEOMETRIC cartesian states Output format: 3 (position, velocity, LT, range, range-rate) Reference frame: ICRF / J2000. 0 Coordinate systm: Ecliptic and Mean Equinox of Reference Epoch *************************************** **************************************** JDTDB XYZ VX VY VZ LT RG RR ** ************************************************** *************************** $$ SOE 2458327. 347916670 \u003d A.D. 2018 Jul-27 20: 21: 00.0003 TDB X \u003d 1.537109094089627E-03 Y \u003d -2.237488447258137E-03 Z \u003d 5.112037386426180E-06 VX \u003d 4.593816208618667E-04 VY \u003d 3.187527302531735E-04 VZ \u003d -5.183707711777675E-05 LT \u003d 1.567825598846416E-05 RG \u003d 2.714605874095336E-03 RR \u003d -2.707898607099066E-06 $$ EOE ***************************** ************************************************** Coordinate system description: Ecliptic and Mean Equinox of Reference Epoch Reference epoch: J2000.0 XY-plane: plane of the Earth "s orbit at the reference epoch Note: obliquity of 84381.448 arcseconds wrt ICRF equator (IAU76) X-axis: out along ascending node of instantaneous plane of the Earth "s orbit and the Earth" s mean equator at the reference epoch Z-axis: perpendicular to the xy-plane in the directional (+ or -) sense of Earth "s north pole at the reference epoch. Symbol meaning: JDTDB Julian Day Number, Barycentric Dynamical Time X X-component of position vector (au) Y Y-component of position vector (au) Z Z-component of position vector (au) VX X-component of velocity vector (au / day) VY Y-component of velocity vector (au / day) VZ Z-component of velocity vector (au / day) LT One-way down-leg Newtonian light-time (day) RG Range; distance from coordinate center (au) RR Range-rate; radial velocity wrt coord. center (au / day) Geometric states / elements have no aberrations applied. Computations by ... Solar System Dynamics Group, Horizons On-Line Ephemeris System 4800 Oak Grove Drive, Jet Propulsion Laboratory Pasadena, CA 91109 USA Information: http://ssd.jpl.nasa.gov/ Connect: telnet: // ssd .jpl.nasa.gov: 6775 (via browser) http://ssd.jpl.nasa.gov/?horizons telnet ssd.jpl.nasa.gov 6775 (via command-line) Author: [Email protected] *******************************************************************************

Бр-р-р, що це? Без паніки, для того, хто добре вчив у школі астрономію, механіку і математику тут боятися нічого. Отже, найголовніше кінцеве шукані координати і компоненти швидкості Місяця.

$$ SOE 2458327.347916670 \u003d A.D. 2018 Jul-27 20: 21: 00.0003 TDB X \u003d 1.537109094089627E-03 Y \u003d -2.237488447258137E-03 Z \u003d 5.112037386426180E-06 VX \u003d 4.593816208618667E-04 VY \u003d 3.187527302531735E-04 VZ \u003d -5.183707711777675E-05 LT \u003d 1.567825598846416E-05 RG \u003d 2.714605874095336E-03 RR \u003d -2.707898607099066E-06 $$ EOE
Да-да-да, вони декартові! Якщо уважно прочитати всю онучу, то ми дізнаємося, що початок цієї системи координат збігається з центром Землі. Площина XY лежить в площині земної орбіти (площини екліптики) на епоху J2000. Ось X спрямована уздовж лінії перетину площини екватора Землі і екліптики в точку весняного рівнодення. Вісь Z дивиться в напрямку північного полюса Землі перпендикулярно площини екліптики. Ну а вісь Y доповнює все це щастя до правої трійки векторів. За замовчуванням одиниці виміру координат: астрономічні одиниці (розумничка з NASA призводять і величину автрономіческой одиниці в кілометрах). Одиниці виміру швидкості: астрономічні одиниці в день, день приймається рівним 86400 секундам. Повний фарш!

Аналогічну інформацію ми можемо отримати і для Землі

Повне виведення ефемерид Землі на 27.07.2018 20:21 (початок координат в центрі мас Сонячної системи)

************************************************** ***************************** Revised: Jul 31, 2013 Earth 399 GEOPHYSICAL PROPERTIES (revised Aug 13, 2018): Vol. Mean Radius (km) \u003d 6371.01 + -0.02 Mass x10 ^ 24 (kg) \u003d 5.97219 + -0.0006 Equ. radius, km \u003d 6378.137 Mass layers: Polar axis, km \u003d 6356.752 Atmos \u003d 5.1 x 10 ^ 18 kg Flattening \u003d 1 / 298.257223563 oceans \u003d 1.4 x 10 ^ 21 kg Density, g / cm ^ 3 \u003d 5.51 crust \u003d 2.6 x 10 ^ 22 kg J2 (IERS 2010) \u003d 0.00108262545 mantle \u003d 4.043 x 10 ^ 24 kg g_p, m / s ^ 2 (polar) \u003d 9.8321863685 outer core \u003d 1.835 x 10 ^ 24 kg g_e, m / s ^ 2 (equatorial) \u003d 9.7803267715 inner core \u003d 9.675 x 10 ^ 22 kg g_o, m / s ^ 2 \u003d 9.82022 Fluid core rad \u003d 3480 km GM, km ^ 3 / s ^ 2 \u003d 398600.435436 Inner core rad \u003d 1215 km GM 1-sigma, km ^ 3 / s ^ 2 \u003d 0.0014 Escape velocity \u003d 11.186 km / s Rot. Rate (rad / s) \u003d 0.00007292115 Surface Area: Mean sidereal day, hr \u003d 23.9344695944 land \u003d 1.48 x 10 ^ 8 km Mean solar day 2000.0, s \u003d 86400.002 sea \u003d 3.62 x 10 ^ 8 km Mean solar day 1820.0, s \u003d 86400.0 Moment of inertia \u003d 0.3308 Love no., k2 \u003d 0.299 Mean Temperature, K \u003d 270 Atm. pressure \u003d 1.0 bar Vis. mag. V (1,0) \u003d -3.86 Volume, km ^ 3 \u003d 1.08321 x 10 ^ 12 Geometric Albedo \u003d 0.367 Magnetic moment \u003d 0.61 gauss Rp ^ 3 Solar Constant (W / m ^ 2) \u003d 1367.6 (mean), 1 414 (perihelion ), 1322 (aphelion) ORBIT CHARACTERISTICS: Obliquity to orbit, deg \u003d 23.4392911 Sidereal orb period \u003d 1.0000174 y Orbital speed, km / s \u003d 29.79 Sidereal orb period \u003d 365.25636 d Mean daily motion, deg / d \u003d 0.9856474 Hill "s sphere radius \u003d 234.9 ************************************************ ******************************* ******************* ************************************************** ********** Ephemeris / WWW_USER Wed Aug 15 21:16:21 2018 Pasadena, USA / Horizons *********************** ************************************************** ****** Target body name: Earth (399) (source: DE431mx) Center body name: Solar System Barycenter (0) (source: DE431mx) Center-site name: BODY CENTER ********* ************************************************** ******************** Start time: AD 2018 Jul-27 20: 21: 00.0003 TDB Stop time: A .D. 2018 Jul-28 20: 21: 00.0003 TDB Step-size: 0 steps ********************************* ********************************************** Center geodetic: 0.00000000 , 0.00000000,0.0000000 (E-lon (deg), Lat (deg), Alt (km)) Center cylindric: 0.00000000,0.00000000,0.0000000 (E-lon (deg), Dxy (km), Dz (km)) Center radii : (undefined) Output units: AU-D Output type: GEOMETRIC cartesian states Output format: 3 (position, velocity, LT, range, range-rate) Reference frame: ICRF / J2000.0 Coordinate systm: Ecliptic and Mean Equinox of Reference Epoch ************************************************* ****************************** JDTDB XYZ VX VY VZ LT RG RR ************ ************************************************** ***************** $$ SOE 2458327.347916670 \u003d AD 2018 Jul-27 20: 21: 00.0003 TDB X \u003d 5.755663665315949E-01 Y \u003d -8.298818915224488E-01 Z \u003d -5.366994499016168E-05 VX \u003d 1.388633512282171E-02 VY \u003d 9.678934168415631E-03 VZ \u003d 3.429889230737491E-07 LT \u003d 5.832932117417083E-03 RG \u003d 1.009940888883960E +00 RR \u003d -3.947237246302148E-05 $$ EOE ***************************** ************************************************** Coordinate system description: Ecliptic and Mean Equinox of Reference Epoch Reference epoch: J2000. 0 XY-plane: plane of the Earth "s orbit at the reference epoch Note: obliquity of 84381.448 arcseconds wrt ICRF equator (IAU76) X-axis: out along ascending node of instantaneous plane of the Earth" s orbit and the Earth "s mean equator at the reference epoch Z-axis: perpendicular to the xy-plane in the directional (+ or -) sense of Earth "s north pole at the reference epoch. Symbol meaning: JDTDB Julian Day Number, Barycentric Dynamical Time X X-component of position vector (au) Y Y-component of position vector (au) Z Z-component of position vector (au) VX X-component of velocity vector (au / day) VY Y-component of velocity vector (au / day) VZ Z-component of velocity vector (au / day) LT One-way down-leg Newtonian light-time (day) RG Range; distance from coordinate center (au) RR Range-rate; radial velocity wrt coord. center (au / day) Geometric states / elements have no aberrations applied. Computations by ... Solar System Dynamics Group, Horizons On-Line Ephemeris System 4800 Oak Grove Drive, Jet Propulsion Laboratory Pasadena, CA 91109 USA Information: http://ssd.jpl.nasa.gov/ Connect: telnet: // ssd .jpl.nasa.gov: 6775 (via browser) http://ssd.jpl.nasa.gov/?horizons telnet ssd.jpl.nasa.gov 6775 (via command-line) Author: [Email protected] *******************************************************************************

Тут в якості початку координат обраний баріцентр (центр мас) Сонячної системи. Цікавлять нас дані

$$ SOE 2458327.347916670 \u003d A.D. 2018 Jul-27 20: 21: 00.0003 TDB X \u003d 5.755663665315949E-01 Y \u003d -8.298818915224488E-01 Z \u003d -5.366994499016168E-05 VX \u003d 1.388633512282171E-02 VY \u003d 9.678934168415631E-03 VZ \u003d 3.429889230737491E-07 LT \u003d 5.832932117417083E-03 RG \u003d 1.009940888883960E +00 RR \u003d -3.947237246302148E-05 $$ EOE
Для Місяця нам знадобляться координати і швидкість щодо барицентра Сонячної системи, ми можемо їх порахувати, а можемо попросить NASA дати нам такі дані

Повне виведення ефемерид Місяця на 27.07.2018 20:21 (початок координат в центрі мас Сонячної системи)

************************************************** ***************************** Revised: Jul 31, 2013 Moon / (Earth) 301 GEOPHYSICAL DATA (updated 2018 Aug-13 ): Vol. Mean Radius, km \u003d 1737.53 + -0.03 Mass, x10 ^ 22 kg \u003d 7.349 Radius (gravity), km \u003d 1738.0 Surface emissivity \u003d 0.92 Radius (IAU), km \u003d 1737.4 GM, km ^ 3 / s ^ 2 \u003d 4902.800066 Density, g / cm ^ 3 \u003d 3.3437 GM 1-sigma, km ^ 3 / s ^ 2 \u003d + -0.0001 V (1,0) \u003d +0.21 Surface accel., m / s ^ 2 \u003d 1.62 Earth / Moon mass ratio \u003d 81.3005690769 Farside crust. thick. \u003d ~ 80 - 90 km Mean crustal density \u003d 2.97 + -. 07 g / cm ^ 3 Nearside crust. thick. \u003d 58 + -8 km Heat flow, Apollo 15 \u003d 3.1 + -. 6 mW / m ^ 2 k2 \u003d 0.024059 Heat flow, Apollo 17 \u003d 2.2 + -. 5 mW / m ^ 2 Rot. Rate, rad / s \u003d 0.0000026617 Geometric Albedo \u003d 0.12 Mean angular diameter \u003d 31 "05.2" Orbit period \u003d 27.321582 d Obliquity to orbit \u003d 6.67 deg Eccentricity \u003d 0.05490 Semi-major axis, a \u003d 384400 km Inclination \u003d 5.145 deg Mean motion, rad / s \u003d 2.6616995x10 ^ -6 Nodal period \u003d 6798.38 d Apsidal period \u003d 3231.50 d Mom. of inertia C / MR ^ 2 \u003d 0.393142 beta (CA / B), x10 ^ -4 \u003d 6.310213 gamma (BA / C), x10 ^ -4 \u003d 2.277317 Perihelion Aphelion Mean Solar Constant (W / m ^ 2) 1414 + - 7 1323 + -7 1368 + -7 Maximum Planetary IR (W / m ^ 2) 1314 1 226 тисяча двісті шістьдесят-вісім Minimum Planetary IR (W / m ^ 2) 5.2 5.2 5.2 *************** ************************************************** ************** ************************************ ******************************************* Ephemeris / WWW_USER Wed Aug 15 21 : 19: 24 2018 Pasadena, USA / Horizons **************************************** *************************************** Target body name: Moon (301) (source: DE431mx) Center body name: Solar System Barycenter (0) (source: DE431mx) Center-site name: BODY CENTER ************************** ************************************************** *** Start time: AD 2018 Jul-27 20: 21: 00.0003 TDB Stop time: A.D. 2018 Jul-28 20: 21: 00.0003 TDB Step-size: 0 steps ********************************* ********************************************** Center geodetic: 0.00000000 , 0.00000000,0.0000000 (E-lon (deg), Lat (deg), Alt (km)) Center cylindric: 0.00000000,0.00000000,0.0000000 (E-lon (deg), Dxy (km), Dz (km)) Center radii : (undefined) Output units: AU-D Output type: GEOMETRIC cartesian states Output format: 3 (position, velocity, LT, range, range-rate) Reference frame: ICRF / J2000.0 Coordinate systm: Ecliptic and Mean Equinox of Reference Epoch ************************************************* ****************************** JDTDB XYZ VX VY VZ LT RG RR ************ ************************************************** ***************** $$ SOE 2458327. 347916670 \u003d A.D. 2018 Jul-27 20: 21: 00.0003 TDB X \u003d 5.771034756256845E-01 Y \u003d -8.321193799697072E-01 Z \u003d -4.855790760378579E-05 VX \u003d 1.434571674368357E-02 VY \u003d 9.997686898668805E-03 VZ \u003d -5.149408819470315E-05 LT \u003d 5.848610189172283E-03 RG \u003d 1.012655462859054E +00 RR \u003d -3.979984423450087E-05 $$ EOE **************************** ************************************************** * Coordinate system description: Ecliptic and Mean Equinox of Reference Epoch Reference epoch: J2000.0 XY-plane: plane of the Earth "s orbit at the reference epoch Note: obliquity of 84381.448 arcseconds wrt ICRF equator (IAU76) X-axis: out along ascending node of instantaneous plane of the Earth "s orbit and the Earth" s mean equator at the reference epoch Z-axis: perpendicular to the xy-plane in the directional (+ or -) sense of Earth "s north pole at the reference epoch. Symbol meaning: JDTDB Julian Day Number, Barycentric Dynamical Time X X-component of position vector (au) Y Y-component of position vector (au) Z Z-component of position vector (au) VX X-component of velocity vector (au / day) VY Y-component of velocity vector (au / day) VZ Z-component of velocity vector (au / day) LT One-way down-leg Newtonian light-time (day) RG Range; distance from coordinate center (au) RR Range-rate; radial velocity wrt coord. center (au / day) Geometric states / elements have no aberrations applied. Computations by ... Solar System Dynamics Group, Horizons On-Line Ephemeris System 4800 Oak Grove Drive, Jet Propulsion Laboratory Pasadena, CA 91109 USA Information: http://ssd.jpl.nasa.gov/ Connect: telnet: // ssd .jpl.nasa.gov: 6775 (via browser) http://ssd.jpl.nasa.gov/?horizons telnet ssd.jpl.nasa.gov 6775 (via command-line) Author: [Email protected] *******************************************************************************

$$ SOE 2458327.347916670 \u003d A.D. 2018 Jul-27 20: 21: 00.0003 TDB X \u003d 5.771034756256845E-01 Y \u003d -8.321193799697072E-01 Z \u003d -4.855790760378579E-05 VX \u003d 1.434571674368357E-02 VY \u003d 9.997686898668805E-03 VZ \u003d -5.149408819470315E-05 LT \u003d 5.848610189172283E-03 RG \u003d 1.012655462859054E +00 RR \u003d -3.979984423450087E-05 $$ EOE
Чудесно! Тепер необхідно злегка обробити отримані дані напилком.

6. 38 папуг і одне папуговим крильце

Для початку визначимося з масштабом, адже наші рівняння руху (5) записані в безрозмірною формі. Дані, надані NASA самі підказують нам, що за масштаб координат варто взяти одну астрономічну одиницю. Відповідно в якості еталонного тіла, до якого ми будемо нормувати маси інших тіл ми візьмемо Сонце, а в якості масштабу часу - період обертання Землі навколо Сонця.

Все це звичайно дуже добре, але ми не задали початкові умови для Сонця. «Навіщо?» - запитав би мене який-небудь лінгвіст. А я б відповів, що Сонце аж ніяк не нерухомо, а також обертається по своїй орбіті навколо центру мас Сонячної системи. У цьому можна переконається, глянувши на дані NASA для Сонця

$$ SOE 2458327.347916670 \u003d A.D. 2018 Jul-27 20: 21: 00.0003 TDB X \u003d 6.520050993518213E + 04 Y \u003d 1.049687363172734E + 06 Z \u003d -1.304404963058507E + 04 VX \u003d -1.265326939350981E-02 VY \u003d 5.853475278436883E-03 VZ \u003d 3.136673455633667E-04 LT \u003d 3.508397935601254E +00 RG \u003d 1.051791240756026E + 06 RR \u003d 5.053500842402456E-03 $$ EOE
Поглянувши на параметр RG ми побачимо, що Сонце обертається навколо барицентра Сонячної системи, і на 27.07.2018 центр зірки знаходиться від нього на відстані в мільйон кілометрів. Радіус Сонця, для довідки - 696 тисяч кілометрів. Тобто баріцентр Сонячної системи лежить в півмільйона кілометрів від поверхні світила. Чому? Та тому що всі інші тіла, які взаємодіють з Сонцем так само повідомляють йому прискорення, головним чином, звичайно тяжеленький Юпітер. Відповідно у Сонця теж є своя орбіта.

Ми звичайно можемо вибрати ці дані в якості початкових умов, але немає - ми ж вирішуємо модельну задачу трьох тіл, і Юпітер та інші персонажі в неї не входять. Так що на шкоду реалізму, знаючи положення і швидкості Землі і Місяця ми перерахуємо початкові умови для Сонця, так, щоб центр мас системи Сонце - Земля - \u200b\u200bМісяць знаходився на початку координат. Для центру мас нашої механічної системи справедливо рівняння

Помістимо центр мас в початок координат, тобто поставимо, тоді

звідки

Перейдемо до безрозмірних координатах і параметрам, вибравши

Диференціюючи (6) за часом і переходячи до безрозмірного часу отримуємо і співвідношення для швидкостей

де

Тепер напишемо програму, яка сформує початкові умови в обраних нами «папуг». На чому будемо писати? Звичайно ж на Python! Адже, як відомо, це самий кращий мову для математичного моделювання.

Однак, якщо піти від сарказму, то ми дійсно спробуємо для цієї мети пітон, а чому ні? Я обов'язково приведу посилання на весь код в моєму профілі Github.

Розрахунок початкових умов для системи Місяць - Земля - \u200b\u200bСонце

# # Вихідні дані завдання # # Гравітаційна стала G \u003d 6.67e-11 # Маси тіл (Місяць, Земля, Сонце) m \u003d # Розраховуємо гравітаційні параметри тел mu \u003d print ( "Гравітаційні параметри тел") for i, mass in enumerate (m ): mu.append (G * mass) print ( "mu [" + str (i) + "] \u003d" + str (mu [i])) # Нормуємо гравітаційні параметри до Сонця kappa \u003d print ( "Нормовані гравітаційні параметри" ) for i, gp in enumerate (mu): kappa.append (gp / mu) print ( "xi [" + str (i) + "] \u003d" + str (kappa [i])) print ( "\\ n" ) # Астрономічна одиниця a \u003d 1.495978707e11 import math # Масштаб безрозмірного часу, c T \u003d 2 * math.pi * a * math.sqrt (a / mu) print ( "Масштаб часу T \u003d" + str (T) + "\\ : "+ str (xi_10)) # Координати NASA для Землі xE \u003d 5.755663665315949E-01 yE \u003d -8.298818915224488E-01 zE \u003d -5.366994499016168E-05 xi_20 \u003d Np.array () print ( "Початкове положення Землі, а.е .:" + str (xi_20)) # Розраховуємо початкове положення Сонця, вважаючи що початок координат - в центрі мас всієї системи xi_30 \u003d - kappa * xi_10 - kappa * xi_20 print ( "Початкове положення Сонця, а.е .:" + str (xi_30)) # Вводимо константи для обчислення безрозмірних швидкостей Td \u003d 86400.0 u \u003d math.sqrt (mu / a) / 2 / math.pi print ( "\\ n") # Початкова швидкість Місяця vxL \u003d 1.434571674368357E-02 vyL \u003d 9.997686898668805E-03 vzL \u003d -5.149408819470315E-05 vL0 \u003d np.array () uL0 \u003d np.array () for i, v in enumerate (vL0): vL0 [i] \u003d v * a / Td uL0 [i] \u003d vL0 [i] / u print ( "Початкова швидкість Місяця, м / с:" + str (vL0)) print ( "- // - безрозмірна:" + str (uL0)) # Початкова швидкість Землі vxE \u003d 1.388633512282171E-02 vyE \u003d 9.678934168415631E-03 vzE \u003d 3.429889230737491E-07 vE0 \u003d np.array () uE0 \u003d np.array () for i, v in enumerate (vE0): vE0 [i] \u003d v * a / Td uE0 [i] \u003d vE0 [i] / u print ( "Початкова швидкість Землі, м / с:" + str (vE0)) print ( "- // - безрозмірна:" + str (uE0)) # Початкова швидкість Сонця vS0 \u003d - kappa * vL0 - kappa * vE0 uS0 \u003d - kappa * uL0 - kappa * uE0 print ( "Початкова швидкість Сонця, м / с:" + str (vS0)) print ( "- // - безрозмірна : "+ str (uS0))

вихлоп програми

Гравітаційні параметри тел mu \u003d 4901783000000.0 mu \u003d 386326400000000.0 mu \u003d 1.326663e + 20 Нормовані гравітаційні параметри xi \u003d 3.6948215183509304e-08 xi \u003d 2.912016088486677e-06 xi \u003d 1.0 Масштаб часу T \u003d 31563683.35432583 Початкове положення Місяця, а.е .: [5.77103476e -01 -8.32119380e-01 -4.85579076e-05] Початкове положення Землі, а.е .: [5.75566367e-01 -8.29881892e-01 -5.36699450e-05] Початкове положення Сонця, а.е .: [-1.69738146 e-06 2.44737475e-06 1.58081871e-10] Початкова швидкість Місяця, м / с: - // - безрозмірна: [5.24078311 3.65235907 -0.01881184] Початкова швидкість Землі, м / с: - // - безрозмірна: Початкова швидкість Сонця, м / с: [-7.09330769e-02 -4.94410725e-02 1.56493465e-06] - // - безрозмірна: [-1.49661835e-05 -1.04315813e-05 3.30185861e-10]

7. Інтегрування рівнянь руху і аналіз результатів

Власне саме інтегрування зводиться до більш-менш стандартною для SciPy процедурі підготовки системи рівнянь: перетворення системи ОДУ до форми Коші і викликом відповідних функцій-решателей. Для перетворення системи до форми Коші згадуємо, що

Тоді ввівши вектор стану системи

зводимо (7) і (5) до одного векторному рівняння

Для інтегрування (8) з наявними початковими умовами напишемо трохи, зовсім трохи коду

Інтегрування рівнянь руху в задачі трьох тел

# # Обчислення векторів узагальнених прискорень # def calcAccels (xi): k \u003d 4 * math.pi ** 2 xi12 \u003d xi - xi xi13 \u003d xi - xi xi23 \u003d xi - xi s12 \u003d math.sqrt (np.dot (xi12, xi12)) s13 \u003d math.sqrt (np.dot (xi13, xi13)) s23 \u003d math.sqrt (np.dot (xi23, xi23)) a1 \u003d (k * kappa / s12 ** 3) * xi12 + (k * kappa / s13 ** 3) * xi13 a2 \u003d - (k * kappa / s12 ** 3) * xi12 + (k * kappa / s23 ** 3) * xi23 a3 \u003d - (k * kappa / s13 ** 3 ) * xi13 - (k * kappa / s23 ** 3) * xi23 return # # Система рівнянь в нормальній формі Коші # def f (t, y): n \u003d 9 dydt \u003d np.zeros ((2 * n)) for i in range (0, n): dydt [i] \u003d y xi1 \u003d np.array (y) xi2 \u003d np.array (y) xi3 \u003d np.array (y) accels \u003d calcAccels () i \u003d n for accel in accels: for a in accel: dydt [i] \u003d ai \u003d i + 1 return dydt # Початкові умови задачі Коші y0 \u003d # # Інтегруємо рівняння руху # # Початковий час t_begin \u003d 0 # Кінцевий час t_end \u003d 30.7 * Td / T; # Цікавить нас число точок траєкторії N_plots \u003d 1000 # Крок часу між точками step \u003d (t_end - t_begin) / N_plots import scipy.integrate as spi solver \u003d spi.ode (f) solver.set_integrator ( "vode", nsteps \u003d 50000, method \u003d "bdf", max_step \u003d 1e-6, rtol \u003d 1e-12) solver.set_initial_value (y0, t_begin) ts \u003d ys \u003d i \u003d 0 while solver.successful () and solver.t<= t_end: solver.integrate(solver.t + step) ts.append(solver.t) ys.append(solver.y) print(ts[i], ys[i]) i = i + 1

Подивимося що у нас вийшло. Вийшла просторова траєкторія Місяця на перші 29 діб від обраної нами початкової точки

а так само її проекція в площину екліптики.

«Гей, дядько, що ти нам впарюють ?! Це ж коло! ».

По-перше, таки не окружність - помітно зміщення проекції траєкторії від початку координат вправо і вниз. По-друге - нічого не помічаєте? Не, ну правда?

Обіцяю підготувати обґрунтування того (на основі аналізу похибок рахунки і даних NASA), що отримане зміщення траєкторії не наслідком помилок інтегрування. Поки пропоную читачеві повірити мені на слово - це зміщення є наслідок сонячного обурення місячної траєкторії. Крутаніте-ка ще один оборот

ВО як! Причому зверніть увагу на те, що виходячи з початкових даних завдання Сонце знаходиться якраз в той бік, куди зміщується траєкторія Місяця на кожному обороті. Так це нахабне Сонце краде у нас наш улюблений супутник! Ох вже це Сонце!

Можна зробити висновок, що сонячна гравітація впливає на орбіту Місяця досить суттєво - старенька не ходить по небу двічі одним і тим же шляхом. Картинка за півроку руху дозволяє (принаймні якісно) переконається в цьому (картинка клікабельні)

Цікаво? Ще б. Астрономія взагалі наука цікава.

Постскриптум

У вузі, де я навчався і працював без малого сім років - Новочеркаському політеху - щорічно проводилася зональна олімпіада студентів з теоретичної механіки вузів Північного Кавказу. Тричі ми брали і Всеросійську олімпіаду. На відкритті, наш головний «олімпієць», професор Кондратенко А.І., завжди говорив: «Академік Крилов називав механіку поезією точних наук».

Я люблю механіку. Все те добре, чого я домігся в своєму житті і кар'єрі сталося завдяки цій науці і моїм чудовим вчителям. Я поважаю механіку.

Тому, я ніколи не дозволю знущатися над цією наукою і нахабно експлуатувати її в своїх цілях нікому, будь він хоч тричі доктор наук і чотири рази лінгвіст, і розробив хоч мільйон навчальних програм. Я щиро вважаю, що написання статей на популярному публічному ресурсі має передбачати їх ретельну вичитку, нормальне оформлення (формули LaTeX - це не примха розробників ресурсу!) І відсутність помилок, що призводять до результатів, що порушує закони природи. Останнє взагалі «маст хев».

Я часто кажу своїм студентам: «комп'ютер звільняє ваші руки, але це не означає, що при цьому потрібно відключати і мозок».

Цінувати і поважати механіку я закликаю і вас, мої шановні читачі. Охоче \u200b\u200bвідповім на будь-які питання, а вихідний текст прикладу рішення задачі трьох тіл на мові Python, як і обіцяв, викладаю в своєму профілі Github.

Дякую за увагу!

студента

Назва

Якщо вектор швидкості тіла заданий наведеної на малюнку формулою, де А і В - деякі постійні, i і j - орти координатних осей, то траєкторія тіла ...

Пряма лінія.

М'яч кинули в стіну зі швидкістю, горизонтальна і вертикальна складові якої рівні 6 м / с і 8 м / с відповідно. Відстань від стіни до точки кидання L \u003d 4 м. У якій точці траєкторії буде знаходитися м'яч при ударі об стінку?

студента

Назва

студента

Назва

На підйомі.

При якому русі матеріальної точки нормальне прискорення негативно?

Такий рух неможливо.

студента

Назва

Матеріальна точка обертається по колу навколо нерухомої осі. Для яку залежність кутової швидкості від часу w (t) при обчисленні кута повороту може бути застосована формула Ф \u003d wt.

Колесо машини має радіус R і обертається з кутовою швидкістю w. Скільки часу t

буде потрібно машині для того, щоб без прослизання проїхати відстань L? Вкажіть номер правильної формули. Відповідь: 2

Назва кадру

Як зміняться величина і напрямок векторного добутку двох неколінеарних векторів при збільшенні кожного із співмножників в два рази і зміні їх напрямків на протилежні?

	відповідь студента		Модуль збільшиться в чотири рази, напрямок
			не зміниться.
	час відповіді		14.10.2011 15:30:20
	оцінка системи
	Назва кадру

Проекція прискорення матеріальної точки змінюється відповідно до зображеним графіком. Початкова швидкість дорівнює нулю. В які моменти часу швидкість матеріальної точки змінює напрямок?

відповідь студента

Назва

студента

Назва

Як може бути направлений вектор прискорення тіла, що рухається по зображеної траєкторії, при проходженні точки P?

Під будь-яким кутом в бік угнутості.

Кут повороту маховика змінюється за законом Ф (t) \u003d А · t · t · t, де А \u003d 0,5 рад / с3, t - час в секундах. До якої кутової швидкості (в рад / с) розженеться маховик за першу секунду з моменту початку руху? Відповідь: 1.5

Назва frame205

Назва

студента

Тверде тіло обертається з кутовою швидкістю w навколо нерухомої осі. Вкажіть правильну формулу для обчислення лінійної швидкості точки тіла, що знаходиться на відстані r від осі обертання. Відповідь: 2

Місяць обертається навколо Землі по круговій орбіті так, що одна її сторона постійно звернена до Землі. Яка траєкторія руху центру Землі щодо космонавта, що знаходиться на Місяці?

Відрізок прямої.

Окружність.

Відповідь залежить від місцезнаходження космонавта на Місяці.

04.10.2011 14:06:11

Назва frame287

За наведеним графіком швидкості рухається людини визначте скільки метрів він пройшов між двома зупинками. Відповідь: 30

Назва frame288

Тіло кинуто під кутом до горизонту. Опором повітря можна пренебречь.В який з точок траєкторії швидкість змінюється за величиною з максимальною швидкістю. Вкажіть всі правильні відповіді.

Відповідь A студента E

Назва frame289

студента

Назва

Маховик обертається як показано на малюнку. Вектор кутового прискорення У спрямований перпендикулярно площині малюнка до нас і постійний за величиною. Як спрямований вектор кутовий швидкості w і який характер обертання маховика?

Вектор w спрямований від нас, маховик гальмується.

Матеріальна точка рухається по колу, причому її кутова швидкість w залежить від часу t так, як показано на малюнку. Як при цьому змінюються її нормальне An і

студента

Назва

тангенціальне Aт прискорення?

An збільшується, Aт не змінюється.

Прискорення тіла має постійну величину А \u003d 0,2 м / с2 і направлено вздовж осі Х. Початкова швидкість дорівнює за величиною V0 \u003d 1 м / с і спрямована по осі Y. Знайдіть тангенс кута між вектором швидкості тіла і віссю Y у момент часу t \u003d 10 с. Відповідь: 2

Назва frame257

студента

Назва

За наведеним графіком проекції швидкості визначте проекцію переміщення Sх за весь час руху.

Точка рівномірно рухається по траєкторії, зображеної на малюнку. В якій точці (яких точках) тангенціальне прискорення дорівнює 0?

		На всій траєкторії.
	студента
	Назва

Тіло повертається навколо нерухомої осі, що проходить через точку О перпендикулярно площині малюнка. Кут повороту залежить від часу: Ф (t) \u003d Ф0 sin (Аt), де А \u003d 1рад / c, Ф0 - позитивна постійна. Як поводиться кутова швидкість точки А в момент часу t \u003d 1 с?

Відповідь студента Зменшується.

Назва frame260

Диск радіусом R розкручується з постійним кутовим прискоренням ε. Вкажіть формулу розрахунку тангенціального прискорення точки А на обід диска при кутовий швидкості w. Відповідь: 5

Назва frame225

Колесо котиться по дорозі без прослизання зі зростаючою швидкістю. Виберіть правильну формулу для обчислення кутового прискорення колеса, якщо швидкість центру колеса збільшується пропорційно часу. Відповідь: 4

	Назва кадру
		Якщо координати тіла змінюються з часом t за
		рівнянням x \u003d A · t, y \u003d B · t · t, де А і В - постійні, то
		траєкторія тіла ...
	відповідь студента	Парабола.
Назва

Оригінал взято у ss69100 в Місячні аномалії або фальшива фізика?

І навіть в здавалося б давно усталених теоріях є кричущі суперечності і очевидні помилки, які просто замовчуються. Наведу простий приклад.

Офіційна фізика, яку викладають в навчальних закладах, дуже пишається тим, що їй відомі співвідношення між різними фізичними величинами у вигляді формул, які нібито надійно підкріплені експериментально. На тому, як то кажуть, і стоїмо ...

Зокрема, у всіх довідниках і підручниках стверджується, що між двома тілами, що мають маси ( m) І ( M), Виникає сила тяжіння ( F), Яка прямо пропорційна добутку цих мас і обернено пропорційна квадрату відстані ( R) між ними. Це співвідношення зазвичай представляють у вигляді формули «Закону всесвітнього тяжіння»:

де - гравітаційна стала, рівна приблизно 6,6725 × 10 -11 м ³ / (кг · с?).

Давайте за допомогою цієї формули підрахуємо, яка сила тяжіння між Землею і Місяцем, а також між Місяцем і Сонцем. Для цього нам потрібно підставити в цю формулу відповідні значення з довідників:

Маса Місяця - 7,3477 × 10 22 кг

Маса Сонця - 1,9891 × 10 30 кг

Маса Землі - 5,9737 × 10 24 кг

Відстань між Землею і Місяцем \u003d 380 000 000 м

Відстань між Місяцем і Сонцем \u003d 149 000 000 000 м

Сила тяжіння між Землею і Місяцем \u003d 6,6725 × 10 -11 х 7,3477 × 10 22 х 5,9737 × 10 24/380 000 000 2 \u003d 2,028 × 10 20 H

Сила тяжіння між Місяцем і Сонцем \u003d 6,6725 × 10 -11 х 7,3477 · 10 22 х 1,9891 · 10 30/149 000 000 000 2 \u003d 4,39 × 10 20 H

Виходить, що сила тяжіння Місяця до Сонця більш ніж вдвічі більше, Ніж сила тяжіння Місяця до Землі! Чому ж тоді Місяць літає навколо Землі, а не навколо Сонця? Де ж тут згоду теорії з експериментальними даними?

Якщо не вірите своїм очам, будь ласка, візьміть калькулятор, відкрийте довідники і переконайтеся самі.

Відповідно до формули «всесвітнього тяжіння» для даної системи з трьох тіл, як тільки Місяць опиниться між Землею і Сонцем, вона повинна піти з кругової орбіти навколо Землі, перетворившись на самостійну планету з параметрами орбіти, близькими до земної. Однак, Місяць вперто «не помічає» Сонце, як ніби його не існує взагалі.

В першу чергу, давайте запитаємо себе, що може бути неправильним в цій формулі? Варіантів тут небагато.

З точки зору математики, дана формула може бути правильною, але тоді неправильними є значення її параметрів.

Наприклад, сучасна наука може жорстоко помилятися у визначенні відстаней в космосі на основі хибних уявлень про природу і швидкості поширення світла; або ж неправильно оцінювати маси небесних тіл, користуючись все тими ж чисто умоглядними висновками Кеплера або Лапласа, вираженими у вигляді співвідношень розмірів орбіт, швидкостей і мас небесних тіл; або ж взагалі не розуміти природу маси макроскопічного тіла, про що гранично відверто розповідають всі підручники фізики, постулируя дане властивість матеріальних об'єктів, незалежно від його розташування і не заглиблюючись в причини його виникнення.

Також офіційна наука може помилятися в причини існування та принципи дії сили тяжіння, що найбільш ймовірно. Наприклад, якщо маси не мають притягає дією (чого, до речі кажучи, є тисячі наочних доказів, тільки вони замовчуються), тоді ця «формула всесвітнього тяжіння» просто відображає якусь ідею, висловлену Ісааком Ньютоном, яка на перевірку виявилася помилкової.

Помилитися можна тисячами різних способів, а ось істина - одна. І її офіційна фізика свідомо приховує, інакше як пояснити відстоювання такої ось абсурдною формули?

першим і очевидним наслідком того, що «формула всесвітнього тяжіння» не працює, є той факт, що у Землі відсутня динамічна реакція на Місяць. Простіше кажучи, два таких великих і близьких небесних тіла, одне з яких по діаметру всього вчетверо менше від іншого, повинні були б (згідно з поглядами сучасної фізики) обертатися навколо загального центру мас - т.зв. барицентра. Однак, Земля обертається строго навколо своєї осі, і навіть припливи і відливи в морях і океанах не мають до положення Місяця на небосхилі жодного стосунку.

З Місяцем пов'язаний цілий ряд абсолютно кричущих фактів невідповідностей з усталеними поглядами класичної фізики, які в літературі і Інтернеті сором'язливо називаються «Місячними аномаліями».

Найбільш очевидна аномалія - \u200b\u200bнайточніше збіг періоду обертання Місяця навколо Землі і навколо своєї осі, через що вона завжди звернена до Землі однією стороною. Існує безліч причин, щоб ці періоди все більше рассінхронізіровалісь на кожному витку Місяця навколо Землі.

Наприклад, ніхто не стане стверджувати, що Земля і Місяць є двома ідеальними кулями з рівномірним розподілом маси всередині. З точки зору офіційної фізики абсолютно очевидно, що на рух Місяця істотний вплив повинні надавати не тільки взаємне розташування Землі, Місяця і Сонця, але навіть прольоти Марса і Венери в періоди максимального зближення їх орбіт із земною. Досвід космічних польотів на навколоземній орбіті показує, що досягти стабілізації по типу місячної можна тільки в тому випадку, якщо постійно підрулювати мікродвигунами орієнтації. Але чим і як підрулює Місяць? І головне - для чого?

Ця «аномалія» виглядає ще більш бентежить на тлі того маловідомого факту, що офіційна наука досі не виробила прийнятного пояснення траєкторії, По якій Місяць рухається навколо Землі. Орбіта Місяця аж ніяк не кругова і навіть не еліптична. дивна крива, Яку Місяць описує над нашими головами, узгоджується лише з довгим списком статистичних параметрів, викладених у відповідних таблицях.

Ці дані зібрані на основі багаторічних спостережень, але аж ніяк не на базі будь-яких розрахунків. Саме завдяки цим даним можна передбачити ті чи інші події з великою точністю, наприклад, сонячні або місячні затемнення, максимальне наближення або видалення Місяця щодо Землі і т.д.

Так ось, саме на цій дивній траєкторії Місяць ухитряється весь час бути розгорнутою до Землі тільки одним боком!

Звичайно ж, це далеко не все.

виявляється, земля рухається по орбіті навколо Сонця аж ніяк ні з рівномірною швидкістю, Як хотілося б офіційної фізики, а робить невеликі пригальмовування і ривки вперед у напрямку свого руху, які синхронізовані з відповідним положенням Місяця. Однак, ніяких рухів у сторони, перпендикулярні до напрямку своєї орбіти, Земля не робить, незважаючи на те, що Місяць може перебувати з будь-якого боку від Землі в площині своєї орбіти.

Офіційна фізика не тільки не береться описати або пояснити ці процеси - вона про них просто замовчує! Такий півмісячний цикл ривків земної кулі відмінно корелює зі статистичними піками землетрусів, але де і коли ви про це чули?

А чи знаєте ви, що в системі космічних тіл Земля-Місяць не існує ніяких точок лібрації, Передбачених Лагранжем на основі закону «всесвітнього тяжіння»?

Справа в тому, що область тяжіння Місяця не перевищує відстані 10 000 км від її поверхні. Цьому факту є безліч очевидних підтверджень. Досить згадати про геостаціонарних супутниках, на які положення Місяця не впливає ніяк, або науково-сатиричну історію з зондом «Смарт-1» від ЕКА, За допомогою якого збиралися між справою сфотографувати місця примісячення «Аполлонов» ще в 2003-2005 роках.

зонд «Смарт-1» був створений як експериментальний космічний апарат з двигунами на малій іонної тязі, але з великим часом роботи. місією ЕКА передбачався поступовий розгін апарату, виведеного на кругову орбіту навколо Землі з тим, щоб, рухаючись по спиралевидной траєкторії з набором висоти, досягти внутрішньої точки лібрації системи Земля-Місяць. Згідно з передбаченнями офіційної фізики, починаючи з цього моменту, зонд повинен був змінити свою траєкторію, перейшовши на високу окололунную орбіту, і почати тривалий маневр гальмування, поступово звужуючи спіраль навколо Місяця.

Але все було б добре, якби офіційна фізика і розрахунки, зроблені з її допомогою, відповідали реальності. В дійсності, Після досягнення точки лібрації, «Смарт-1» продовжував політ по розкручування спіралі, і на наступних витках навіть не думав реагувати на близьку Місяць.

З цього моменту навколо польоту «Смарта-1» почався дивний змова мовчання і відвертої дезінформації, поки траєкторія його польоту не дозволила, нарешті, просто розбити його об поверхню Місяця, про що офіціозні науково-популяризаторські Інтернет-ресурси поспішили повідомити під відповідним інформаційним соусом як про велике досягнення сучасної науки, яка раптом вирішила «змінити» місію апарату і з усього маху хряснуть десятками мільйонів витрачених на проект валютних грошей про місячний пил.

Природно, на останньому витку свого польоту зонд «Смарт-1» увійшов нарешті в область тяжіння Місяця, проте він ніяк не зміг би скинути швидкість для виходу на низьку окололунную орбіту за допомогою свого малопотужного двигуна. Розрахунки європейських балістикою увійшли в разючу протиріччя з реальною дійсністю.

І такі випадки при дослідженнях далекого космосу аж ніяк не поодинокі, а повторюються із завидною постійністю, починаючи від перших проб попадання в Місяць або відправки зондів до супутників Марса, закінчуючи останніми спробами вийти на орбіти навколо астероїдів або комет, сила тяжіння у яких повністю відсутня навіть на їх поверхні.

Але тоді у читача повинен виникнути зовсім закономірне питання: як же ракетно-космічна галузь СРСР в 60-х і 70-х роках ХХ століття примудрилася досліджувати Місяць за допомогою автоматичних апаратів, перебуваючи в полоні хибних наукових поглядів? Як радянські балістики розрахували правильну трасу польоту до Місяця і назад, якщо одна з найбільш базових формул сучасної фізики виявляється фікцією? Нарешті, як в ХХI столітті розраховують орбіти місячних супутників-автоматів, які виробляють близьке фотографування і сканування Місяця?

Дуже просто! Як і у всіх інших випадках, коли практика показує розбіжність з фізичними теоріями, в справу вступає його величність досвід, Який підказує правильне вирішення тієї чи іншої проблеми. Після низки абсолютно закономірних невдач, емпіричним чином балістики знайшли якісь поправочні коефіцієнти для тих чи інших етапів польотів до Місяця та інших космічних тіл, які вводять в бортові комп'ютери сучасних автоматичних зондів і систем космічної навігації.

І все працює! Але головне, з'являється можливість протрубити на весь світ про чергову перемогу світової науки, і далі вчити легковірних дітей і студентів формулою «всесвітнього тяжіння», яка до реальної дійсності має відношення не більше, ніж треуголка барона Мюнхгаузена до його епічним подвигам.

І якщо раптом якийсь винахідник виступить з черговою ідеєю нового способу пересування в космосі, немає нічого простішого, ніж оголосити його шарлатаном на тій простій підставі, що його розрахунки суперечать тій же горезвісної формулою «всесвітнього тяжіння» ... Комісії по боротьбі з лженаукою при академіях наук різних країн працюють, не покладаючи рук.

це в'язниця, Товариші. Велика планетарна в'язниця з легким нальотом наукоподібності для нейтралізації особливо завзятих особин, які посміли бути розумними. Решту досить одружити, щоб, слідуючи влучним зауваженням Карела Чапека, у них автобіографія закінчилася ...

До речі, всі параметри траєкторій і орбіт «пілотованих польотів» від НАСА до Місяця в 1969-1972 роках розраховані і опубліковані саме на підставі припущень про існування точок лібрації та про виконання закону всесвітнього тяжіння для системи Земля-Місяць. Хіба тільки одне це не пояснює, чому все програми пілотованого підкорення Місяця після 70-х років ХХ століття були згорнуті? Що легше: тихо з'їхати з теми або визнаватися в фальсифікації всієї фізики?

Нарешті, у Місяця є цілий ряд дивних феноменів, званих «Оптичними аномаліями». Ці аномалії вже настільки не лізуть ні в які ворота офіційної фізики, що про них надається перевага повністю замовчувати, замінюючи інтерес до них на нібито постійно реєструються активність НЛО на поверхні Місяця.

За допомогою вигадок жовтої преси, підроблених фото- і відеоматеріалів про нібито постійно переміщаються над Місяцем літаючі тарілки і величезних спорудах інопланетян на її поверхні, закулісні господарі намагаються покривати інформаційним шумом дійсно фантастичну реальність Місяця, Про яку обов'язково слід згадати в цій роботі.

Найбільш очевидна і наочна оптична аномалія Місяця видна всім землянам неозброєним поглядом, тому залишається тільки дивуватися тому, що практично ніхто на це не звертає уваги. Подивіться, як виглядає Місяць у чистому нічному небі в моменти повного місяця? Вона виглядає, як плоске кругле тіло (наприклад, монета), але не як куля!

Кулясте тіло з досить суттєвими нерівностями на своїй поверхні, в разі його освітлення джерелом світла, що знаходиться позаду від спостерігача, має найбільшою мірою відсвічувати ближче до свого центру, а в міру наближення до краю кулі, світність повинна плавно зменшуватися.

Про це волає напевно найвідоміший закон оптики, який звучить так: «Кут падіння променя дорівнює куту його віддзеркалення». Але на Місяць це правило аж ніяк не поширюється. В силу незрозумілих для офіційної фізики причин, промені світла, що потрапляють в край місячного кулі, відображаються ... назад до Сонця, чому ми бачимо Місяць в повний місяць як якусь монету, але не як куля.

Ще більше сум'яття в уми вносить не менше очевидна спостерігається річ - постійне значення рівня світності освітлених ділянок Місяця для спостерігача із Землі. Простіше кажучи, якщо припустити, що у Місяця є якась властивість спрямованого розсіювання світла, то доводиться визнати, що віддзеркалення світла змінює свій кут в залежності від положення системи Сонце-Земля-Місяць. Ніхто не зможе заперечити той факт, що навіть вузький серп молодого Місяця дає світність точно таку ж, як і відповідний йому по площі центральну ділянку половинній Місяця. А це означає, що Місяць якимось чином керує кутом відбиття сонячних променів, щоб вони завжди відбивалися від її поверхні саме до Землі!

Але коли настає повний місяць, світність Місяця стрибкоподібно збільшується. Це означає, що поверхня Місяця дивним чином розщеплює відбите світло на два основних напрямки - до Сонця і Землі. Звідси випливає інший приголомшливий висновок про те, що Місяць є практично невидимою для спостерігача з космосу, Який знаходиться не на прямих відрізках Земля-Місяць або СОЛНА-Місяць. Кому і навіщо знадобилося ховати Місяць в космосі в оптичному діапазоні? ...

Щоб зрозуміти, в чому прикол, в радянських лабораторіях витратили багато часу на оптичні експерименти з місячним грунтом, доставленим на Землю автоматичними апаратами «Луна-16», «Луна-20» і «Луна-24». Однак, параметри відображення світла, в тому числі сонячного, від місячного грунту цілком вписувалися в усі відомі канони оптики. Місячний грунт на Землі зовсім не хотів показувати тих чудес, які ми бачимо на Місяці. Виходить, що матеріали на Місяці і на Землі поводяться по-різному?

Цілком можливо. Адже не окислюється плівку завтовшки в декілька атомів заліза на поверхні будь-яких предметів, наскільки мені відомо, в земних лабораторіях так до сих пір і не вдалося отримати ...

Масла у вогонь підлили фотографії з Місяця, передані радянськими та американськими автоматами, які вдалося посадити на її поверхню. Уявіть собі здивування тодішніх вчених, коли всі фотографії на Місяці виходили строго чорно-білі - без єдиного натяку на такий звичний для нас райдужний спектр.

Якби фотографувався тільки місячний пейзаж, рівномірно всипаний пилом від вибухів метеоритів, це ще якось можна було б зрозуміти. Але чорно-білої виходила навіть калібрувальна кольорова платівка на корпусі посадкового апарата! Будь-який колір на поверхні Місяця перетворюється в відповідну градацію сірого, що неупереджено фіксують всі фотографії поверхні Місяця, що передаються автоматичними апаратами різних поколінь і місій по сьогоднішній день.

Тепер уявіть, в якій глибокій ... калюжі сидять американці з їх біло-синьо-червонимизоряно-смугастими прапорами, нібито сфотографованими на поверхні Місяця доблесними астронавтамі- «первопроходімцамі».

(До речі, їх кольорові картинки і відеозапису свідчать про те, що американці взагалі туди нічого жодного разу не посилали! - ред.).

Скажіть, ви б на їх місці сильно старалися відновити дослідження Місяця і потрапити на її поверхню хоч за допомогою якого-небудь «пендосохода», знаючи, що зображення або відеоролики вийдуть тільки чорно-білими? Хіба що оперативно їх розфарбовувати, як старі фільми ... Але, чорт візьми, в які кольори фарбувати шматки скель, місцеві камені або круті схили гір!?.

До речі кажучи, дуже схожі проблеми чекали НАСА і на Марсі. Всім дослідникам вже напевно набила оскому каламутна історія з невідповідністю квітів, точніше кажучи, з явним зрушенням всього марсіанського видимого спектру на його поверхні в червону сторону. Коли працівників НАСА підозрюють в навмисному спотворенні зображень з Марса (нібито приховують блакитне небо, зелені килими галявин, синяву озер, що плазують місцевих жителів ...), я закликаю згадати Місяць ...

Подумайте, може на різних планетах просто діють різні фізичні закони? Тоді дуже багато відразу встає на свої місця!

Але повернемося поки до Місяця. Давайте закінчимо з переліком оптичних аномалій, а потім візьмемося за наступні розділи місячних чудес.

Промінь світла, що проходить поблизу поверхні Місяця, отримує суттєві розкид у напрямку, через що сучасна астрономія не може навіть обчислити час, потрібне для покриття зірок тілом Місяця.

Ніяких ідей, чому таке відбувається, офіційна наука не висловлює, крім отвязной-маячних в стилі електростатичних причин переміщення місячного пилу на великих висотах над її поверхнею або діяльності деяких місячних вулканів, як навмисне викидають заломлення світло пил точно в тому місці, де ведеться спостереження за даної зіркою. А так, взагалі-то, місячних вулканів поки ніхто не спостерігав.

Як відомо, земна наука вміє зібрати інформацію про хімічний склад віддалених небесних тіл за рахунок вивчення молекулярних спектрів випромінювання-поглинання. Так ось, для самого близького до Землі небесного тіла - Місяця - такий спосіб визначення хімічного складу поверхні не проходить! Місячний спектр практично позбавлений смуг, які можуть дати інформацію про склад Місяця.

Єдина достовірна інформація про хімічний склад місячного реголіту отримана, як відомо, при вивченні проб, узятих радянськими «Місяцями». Але навіть тепер, коли є можливість сканувати поверхню Місяця з низькою навколомісячної орбіти за допомогою автоматичних апаратів, повідомлення про знаходження тієї чи іншої хімічної субстанції на її поверхні носять вкрай суперечливий характер. Навіть по Марсу - і то інформації значно більше.

І ще про одну дивовижну оптичної особливості поверхні Місяця. Ця властивість є наслідком унікального зворотного розсіювання світла, з якого я почав розповідь про оптичних аномаліях Місяця. Отже, практично весь падаючий на Місяць світло відбивається в сторону Сонця і Землі.

Давайте згадаємо, що вночі, при відповідних умовах, ми можемо прекрасно бачити неосвітлену Сонцем частина Місяця, яка в принципі має бути абсолютно чорної, якби не ... вторинне освітлення Землі! Земля, будучи освітлюється Сонцем, відображає частину сонячного світла в сторону Місяця. І весь цей світ, який висвітлює тіньову частину Місяця, повертається назад на Землю!

Звідси цілком логічно припустити, що на поверхні Місяця, навіть на освітленій Сонцем стороні, весь час панують сутінки. Ця гіпотеза чудово підтверджується фотографіями місячної поверхні, зробленими радянськими місяцеходами. Подивіться при нагоді на них уважно; на все, що вдасться добути. Вони зроблені при прямому сонячному освітленні без впливу спотворень атмосфери, але виглядають так, як ніби в земних сутінках підтягнули контрастність чорно-білої картинки.

В таких умовах тіні від предметів на поверхні Місяця повинні бути абсолютно чорними, що підсвічуються тільки найближчими зірками і планетами, рівень освітлення від яких на багато порядків нижче від сонячного. Це означає, що побачити предмет, що знаходиться на Місяці в тіні, не представляється можливим за допомогою будь-яких відомих оптичних засобів.

Для підведення стислого підсумку оптичним феноменам Місяця, надамо слово незалежному досліднику А.А. Гришаєва, Автору книги про «цифровому» фізичному світі, який, розвиваючи свої ідеї, в черговій статті вказує:

«Облік факту наявності цих феноменів надає нові, вбивчі аргументи на підтримку тих, хто вважає підробками кіно- і фотоматеріали, які нібито свідчать про перебування американських астронавтів на поверхні Місяця. Адже ми даємо ключі для проведення найпростішої і нещадною незалежної експертизи.

Якщо нам демонструють на тлі залитих сонячним світлом (!) Місячних пейзажів астронавтів, на скафандрах яких немає чорних тіней з проти сонячну боку, або непогано освітлену фігуру астронавта в тіні «місячного модуля», або кольорові (!) Кадри з колоритною передачею кольорів американського прапора, то це все неспростовні докази, кричущі про фальсифікації.

Фактично, нам невідомо жодного кіно- або фотодокументів, що зображує астронавтів на Місяці при цьому місячному освітленні і з цією місячної колірної «палітрою».

І тут же продовжує:

«Занадто аномальні фізичні умови на Місяці, і не можна виключити, що навколомісячному простір згубно для земних організмів. На сьогодні нам відома єдина модель, що пояснює короткодіючого місячного тяжіння, а заодно і походження супутніх аномальних оптичних феноменів - це наша модель «хиткого простору».

І якщо ця модель вірна, то вібрації «хиткого простору» нижче деякої висоти над поверхнею Місяця цілком здатні розривати слабкі зв'язки в молекулах білків - з руйнуванням їх третинної і, можливо, вторинної структур.

Наскільки нам відомо, з навколомісячного простору живими повернулися черепашки на борту радянського апарату «Зонд-5», який справив обліт Місяця з мінімальним віддаленням від її поверхні приблизно в 2000 км. Можливо, що при ближчому до Місяця проходженні апарату, тварини загинули б в результаті денатурації білків в їх організмах. Якщо від космічної радіації захиститись вельми складно, але все-таки можливо, то від вібрацій «хиткого простору» фізичного захисту немає ... »

Наведений уривок лише мала частина роботи, з оригіналом якої я настійно рекомендую ознайомиться на сайті автора

А ще мені подобається, що місячну експедицію перезняли в хорошій якості. А то і правда, дивитися було гидко. Все-таки 21 століття. Так що зустрічайте, в якості HD «Катання на санях на масницю».

Нагадаємо основні параметри орбіти руху Місяця щодо Землі.

Місяць рухається навколо Землі по орбіті, близькій до кругової (середнє значення ексцентриситету становить 0,05). Тривалість одного обороту Місяця становить приблизно - 27,3 діб. Відстань її від Землі одно в середньому 384000 км. За рахунок наявної, хоча і незначною, еліптичності орбіти її найбільша відстань від Землі (в апогеї) досягає 405500 км і найменше (в перигеї) 363000 км. Швидкість руху Місяця по орбіті складає приблизно 1,02 км / сек.Здійснюючи політ з такою швидкістю, Місяць описує по небесній сфері за кожну добу дугу близько 13 °. Площина орбіти Місяця відносно площини екватора Землі безперервно змінюється в діапазоні від 18 ° до 28 °. У 1970 р нахил площини орбіти становила близько 28 °. Це означає, що протягом кожного місяця Місяць побуває над екватором на висоті 28 ° і під ним, опустившись теж на кут 28 °.

Місяця можна досягти різними шляхами. До теперішнього часу реалізовані наступні види польотів до Місяця:

Політ поблизу Місяця з подальшим виходом космічного апарату за межі сфери дії Землі і перетворенням його в супутник Сонця - штучну планету ( "Луна-1", "Піонер-4");

Політ з "жорстким" попаданням в Місяць ( "Луна-2", "Рейнджер-7");

Політ з м'якою посадкою на Місяць без виходу на проміжну орбіту її супутника ( "Луна-9", "Сервейор-1");

Політ з виходом на орбіту супутника Місяця без посадки і без повернення на Землю (безпілотні - "Луна-10", "Лу-нар-Орбітар-1");

Політ з виходом на орбіту супутника Місяця без посадки на Місяць, але з поверненням на Землю ( "Апполон-8");

Обліт Місяця з поверненням на Землю ( "Зонд-5");

Політ з виходом на орбіту супутника Місяця, посадка на Місяць і повернення на Землю ( "Апполон-11", "Луна-16").

Звідси добре видно загальна логічна цілеспрямованість освоєння Місяця і послідовне ускладнення схеми польоту. Кожен із зазначених видів польоту був самостійний інтерес і дозволив вирішити певне коло наукових і технічних завдань.

Тепер подивимося, які ті загальні принципи, які покладені в основу різних варіантів польоту до Місяця. Головним критерієм, який визначає спосіб розрахунку і вибору траєкторій польоту до Місяця, є точність розрахунку при мінімальній витраті енергії (т. Е. Палива) на здійснення всіх маневрів і можливість забезпечення польоту засобами наземного або автономного комплексу. Відповідно до цього розрізняють наближені і точні способи розрахунку орбіт.

Наближені методи грунтуються на використанні еліптичної теорії руху космічних апаратів. Як відомо, Місяць знаходиться в сфері дії Землі. Тому траєкторію польоту до Місяця, цілком лежить всередині сфери дії Землі, можна наближено розраховувати по еліптичній теорії, вважаючи, що космічний апарат виробляє спочатку політ тільки під дією тяжіння Землі. Притяганням Місяця, Сонця і нецентральних поля Землі в цьому випадку нехтують. Отримана траєкторія простягається в напрямку до Місяця до тих пір, поки космічний апарат не увійде в сферу дії Місяця, т. Е. Не опиниться на відстані 66 тис. Км від її центру. Починаючи з цього моменту траєкторія руху розраховується тільки з урахуванням тяжіння Місяця, а тяжінням Землі і Сонця нехтують. Якщо далі космічний апарат, віддаляючись від Місяця, знову виявиться на відстані 66 тис. Км від неї, то знову вплив Місяця виключається і в подальшому вважається, що політ відбувається тільки в поле дії Землі.

Так балістики пристосували еліптичну теорію для вирішення завдання трьох тіл. Часто цей спосіб називають поділом руху космічного апарату за сферами дії небесних тіл. Звичайно, він є наближеним і може годитися тільки для якісного аналізу траєкторій польоту. Але з огляду на його алгоритмічної простоти він знаходить найширше застосування в масових дослідженнях польотів до Місяця. Коли ж справа стосується реальних пусків, то застосовуються або методи чисельного розрахунку траєкторій, або якось поправлення штучним чином теорія еліптичного руху.