Початкові геометричні відомості

Поняття відрізка, як і поняття точки, прямої, променя і кута, відноситься до початкових геометричних відомостями. З перерахованих понять починається вивчення геометрії.

Під "початковими відомостями" зазвичай розуміють щось елементарне і просте. В розумінні, можливо, це так і є. Проте, такі прості поняття часто зустрічаються і виявляються необхідними не тільки в нашому повсякденному житті, але і в виробництві, будівництві та інших сферах нашої життєдіяльності.

Почнемо з визначень.

визначення 1

Відрізок - частина прямої, обмежена двома точками (кінцями).

Якщо кінці відрізка є точками $ A $ і $ B $, то утворений відрізок записують як $ AB $ або $ BA $. Такому відрізку належать точки $ A $ і $ B $, а також всі точки прямої, що лежать між цими точками.

визначення 2

Середина відрізка - точка відрізка, яка ділить його навпіл на два рівних відрізка.

Якщо це точка $ C $, то $ AC \u003d CB $.

Вимірювання відрізка відбувається порівнянням з певним відрізком, прийнятим за одиницю виміру. Найчастіше використовують сантиметр. Якщо в заданому відрізку сантиметр укладається рівно чотири рази, то це означає, що довжина даного відрізка дорівнює $ 4 $ см.

Введемо просте спостереження. Якщо точка ділить відрізок на два відрізки, то довжина всього відрізка дорівнює сумі довжин цих відрізків.

Формула знаходження координати середини відрізка

Формула знаходження координати середини відрізка відноситься до курсу аналітичної геометрії на площині.

Дамо визначення координат.

визначення 3

Координати - це певні (або впорядковані) числа, які показують положення точки на площині, на поверхні або в просторі.

У нашому випадку, координати відзначаються на площині, визначеної координатними осями.

Малюнок 3. Координатна площина. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Наведемо малюнок. На площині обрана точка, яка називається початком координат. Її позначають буквою $ O $. Через початок координат проведені дві прямі (координатні осі), що перетинаються під прямим кутом, причому одна з них строго горизонтальна, а інша - вертикальна. Такий стан вважається звичайним. Горизонтальна пряма називається віссю абсцис і позначається $ OX $, вертикальна - віссю ординат $ OY $.

Таким чином, осі визначають площину $ XOY $.

Координати точок в такій системі визначаються двома числами.

Існують різні формули (рівняння), що визначають ті або інші координати. Зазвичай в курсі аналітичної геометрії вивчають різні формули прямих, кутів, довжини відрізка і інші.

Перейдемо відразу до формули координати середини відрізка.

визначення 4

Якщо координати точки $ E (x, y) $ - це середина відрізка $ M_1M_2 $, то:

Малюнок 4. Формула знаходження координати середини відрізка. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Практична частина

Приклади зі шкільного курсу геометрії досить прості. Розглянемо кілька основних.

Для кращого розуміння, розглянемо для початку елементарний наочний приклад.

приклад 1

Маємо малюнок:

На малюнку відрізки $ AC, CD, DE, EB $ рівні.

1. Серединою яких відрізків є точка $ D $?
2. Яка точка є серединою відрізка $ DB $?

1. точка $ D $ є серединою відрізків $ AB $ і $ CE $;
2. точка $ E $.

Розглянемо інший простий приклад, в якому потрібно обчислити довжину.

приклад 2

Точка $ B $ - середина відрізка $ AC $. $ AB \u003d 9 $ см. Яка довжина $ AC $?

Так як т. $ B $ ділить $ AC $ навпіл, то $ AB \u003d BC \u003d 9 $ см. Значить, $ AC \u003d 9 + 9 \u003d 18 $ см.

Відповідь: 18 см.

Інші подібні приклади зазвичай ідентичні і орієнтовані на вміння зіставляти значення довжин і їх уявлення з алгебраїчними діями. Нерідко в задачах зустрічаються випадки, коли сантиметр не вкладається рівну кількість разів в відрізок. Тоді одиницю виміру ділять на рівні частини. У нашому випадку сантиметр ділиться на 10 міліметрів. Окремо вимірюють залишок, порівнюючи з міліметром. Наведемо приклад, який демонструє такий випадок.

Після копіткої праці я раптом помітив, що розміри веб сторінок досить великі, і якщо так піде далі, то можна тихо мирно озвіріти \u003d) Тому пропоную вашій увазі невеличке есе, присвячене дуже поширеною геометричній задачі - про поділ відрізка в даному відношенні, І, як окремий випадок, про поділ відрізка навпіл.

Дане завдання з тих чи інших причин не вписалася в інші уроки, але зате зараз є чудова можливість розглянути її докладно і неквапливо. Приємна новина полягає в тому, що ми трохи відпочинемо від векторів і сконцентруємо увагу на точках і відрізках.

Формули розподілу відрізка в даному відношенні

Поняття розподілу відрізка в даному відношенні

Нерідко обіцяного зовсім чекати не доводиться, відразу розглянемо пару точок і, очевидне неймовірне - відрізок:

Вже згадана завдання справедлива, як для відрізків площині, так і для відрізків простору. Тобто, демонстраційний відрізок можна як завгодно розмістити на площині або в просторі. Для зручності пояснень я намалював його горизонтально.

Що будемо робити з даними відрізком? На цей раз пиляти. Хтось пиляє бюджет, хтось пиляє чоловіка, хтось пиляє дрова, а ми почнемо пиляти відрізок на дві частини. Відрізок ділиться на дві частини за допомогою деякої точки, яка, зрозуміло, розташована прямо на ньому:

В даному прикладі точка ділить відрізок ТАКИМ чином, що відрізок в два рази коротше відрізка. ЩЕ можна сказати, що точка ділить відрізок щодо ( «один до двох»), рахуючи від вершини.

На сухому математичному мові цей факт записують наступним чином:, або частіше у вигляді звичної пропорції:. Ставлення відрізків прийнято стандартно позначати грецькою буквою «лямбда», в даному випадку:.

Пропорцію нескладно скласти і в іншому порядку: - ця запис означає, що відрізок в два рази довше відрізка, але якогось принципового значення для вирішення завдань це не має. Можна так, а можна так.

Зрозуміло, відрізок легко розділити в якомусь іншому відношенні, і в якості закріплення поняття другий приклад:

Тут справедливо співвідношення:. Якщо скласти пропорцію навпаки, тоді отримуємо:.

Після того, як ми розібралися, що означає розділити відрізок в даному відношенні, перейдемо до розгляду практичних завдань.

Якщо відомі дві точки площини, то координати точки, яка ділить відрізок щодо, виражаються формулами:

Звідки взялися ці формули? В курсі аналітичної геометрії ці формули строго виводяться за допомогою векторів (куди ж без них? \u003d)). Крім того, вони справедливі не тільки для декартової системи координат, але і для довільної афінної системи координат (див. Урок Лінійна (не) залежність векторів. базис векторів). Така ось універсальна завдання.

приклад 1

Знайти координати точки, що ділить відрізок щодо, якщо відомі точки

Рішення: У цьому завданню. За формулами ділення відрізка в даному відношенні, знайдемо точку:

відповідь:

Зверніть увагу на техніку обчислень: спочатку потрібно окремо обчислити чисельник і окремо знаменник. В результаті часто (але далеко не завжди) виходить трьох- або чотириповерхова дріб. Після цього позбавляємося від многоетажності дроби і проводимо остаточні спрощення.

У задачі не потрібно будувати креслення, але його завжди корисно виконати на чернетці:

Дійсно, співвідношення виконується, тобто відрізок в три рази коротше відрізка. Якщо пропорція не очевидна, то відрізки завжди можна тупо виміряти звичайною лінійкою.

рівноцінний другий спосіб вирішення: В ньому відлік починається з точки і справедливим є ставлення: (Людськими словами, відрізок в три рази довше відрізка). За формулами ділення відрізка в даному відношенні:

відповідь:

Зауважте, що в формулах необхідно перемістити координати точки на перше місце, оскільки маленький трилер починався саме з неї.

Також видно, що другий спосіб раціональніше зважаючи на простих розрахунків. Але все-таки це завдання частіше вирішують в «традиційному» порядку. Наприклад, якщо за умовою дано відрізок, то передбачається, що ви складете пропорцію, якщо дано відрізок, то «негласно» мається на увазі пропорція.

А 2-й спосіб я привів з тієї причини, що частенько умову задачі намагаються навмисно подзапутать. Саме тому дуже важливо виконувати чорнову креслення щоб, по-перше, правильно проаналізувати умова, а, по-друге, з метою перевірки. Прикро допускати помилки в такий простий завданню.

приклад 2

дано точки . знайти:

а) точку, що ділить відрізок щодо;
б) точку, що ділить відрізок у відношенні.

Це приклад для самостійного рішення. Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Іноді зустрічаються завдання, де невідомий один з кінців відрізка:

приклад 3

Точка належить відрізку. Відомо, що відрізок в два рази довше відрізка. Знайти точку, якщо .

Рішення: З умови випливає, що точка ділить відрізок в відношенні, рахуючи від вершини, тобто, справедлива пропорція:. За формулами ділення відрізка в даному відношенні:

Зараз нам невідомі координати точки:, але це не є особливою проблемою, так як їх легко висловити з вищенаведених формул. У загальному вигляді виражати нічого не коштує, набагато простіше підставити конкретні числа і акуратно розібратися з обчисленнями:

відповідь:

Для перевірки можна взяти кінці відрізка і, користуючись формулами в прямому порядку, переконатися, що при співвідношенні дійсно вийде точка. І, звичайно ж, звичайно ж, не зайвим буде креслення. А щоб остаточно переконати вас в користь картатій зошити, простого олівця та лінійки, пропоную хитру завдання для самостійного рішення:

приклад 4

Крапка . Відрізок в півтора рази коротше відрізка. Знайти точку, якщо відомі координат точок .

Рішення в кінці уроку. Воно, до речі, не єдине, якщо підете відмінним від зразка шляхом, то це не буде помилкою, головне, щоб збіглися відповіді.

Для просторових відрізків все буде точно так же, тільки додасться ще одна координата.

Якщо відомі дві точки простору, то координати точки, яка ділить відрізок щодо, виражаються формулами:
.

приклад 5

Дано точки. Знайти координати точки, що належить відрізку, якщо відомо, що .

Рішення: З умови випливає ставлення: . Даний приклад взятий з реального контрольної роботи, і його автор дозволив собі невелику пустощі (раптом хто спіткнеться) - пропорцію в умови раціональніше було записати так: .

За формулами координат середини відрізка:

відповідь:

Тривимірні креслення з метою перевірки виконувати значно складніше. Однак завжди можна зробити схематичний малюнок, щоб розібратися хоча б в умови - які відрізки необхідно співвідносити.

Що стосується дробів у відповіді, не дивуйтеся, звичайна справа. Багато разів говорив, але повторюся: у вищій математиці прийнято орудувати звичайними правильними і неправильними дробами. Відповідь у вигляді піде, але варіант з неправильними дробами більш стандартний.

Розминочна завдання для самостійного рішення:

приклад 6

Дано точки. Знайти координати точки, якщо відомо, що вона ділить відрізок у відношенні.

Рішення і відповідь в кінці уроку. Якщо важко зорієнтуватися в пропорціях, виконайте схематичний креслення.

У самостійних і контрольних роботах розглянуті приклади зустрічаються як самі по собі, так і складовою частиною більш великих завдань. У цьому сенсі типова задача знаходження центру ваги трикутника.

Різновид завдання, де невідомий один з кінців відрізка, розбирати не бачу особливого сенсу, так як все буде схоже на плоский випадок, хіба що обчислень трохи більше. Краще згадаємо роки шкільні:

Формули координат середини відрізка

Навіть непідготовлені читачі можуть пам'ятати, як розділити відрізок навпіл. Завдання розподілу відрізка на дві рівні частини - це окремий випадок розподілу відрізка в даному відношенні. Дворучна пила працює найдемократичнішим чином, і кожному сусідові за партою дістається за однаковою палиці:

У цей урочистий час стукають барабани, вітаючи знаменну пропорцію. І загальні формули чудесним чином перетворюються в щось знайоме і просте:

Зручним моментом є той факт, що координати кінців відрізка можна безболісно переставити:

У загальних формулах такий розкішний номер, як розумієте, не проходить. Та й тут в ньому немає особливої \u200b\u200bпотреби, так, приємна дрібниця.

Для просторового випадку справедлива очевидна аналогія. Якщо дані кінці відрізка, то координати його середини виражаються формулами:

приклад 7

Паралелограм заданий координатами своїх вершин. Знайти точку перетину його діагоналей.

Рішення: Бажаючі можуть виконати креслення. Графіті особливо рекомендую тим, хто капітально забув шкільний курс геометрії.

За відомим властивості, діагоналі паралелограма своєю точкою перетину діляться навпіл, тому завдання можна вирішити двома способами.

спосіб перший: Розглянемо протилежні вершини . За формулами ділення відрізка навпіл знайдемо середину діагоналі:

Дуже часто в завданні C2 потрібно працювати з точками, які ділять відрізок навпіл. Координати таких точок легко вважаються, якщо відомі координати кінців відрізка.

Отже, нехай відрізок заданий своїми кінцями - точками A \u003d (x a; y a; z a) і B \u003d (x b; y b; z b). Тоді координати середини відрізка - позначимо її точкою H - можна знайти за формулою:

Іншими словами, координати середини відрізка - це середнє арифметичне координат його кінців.

· завдання . Одиничний куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 поміщений в систему координат так, що осі x, y і z спрямовані уздовж ребер AB, AD і AA 1 відповідно, а початок координат збігається з точкою A. Точка K - середина ребра A 1 B 1. Знайдіть координати цієї точки.

Рішення. Оскільки точка K - середина відрізка A 1 B 1, її координати рівних середньому арифметичному координат кінців. Запишемо координати кінців: A 1 \u003d (0; 0; 1) і B 1 \u003d (1, 0, 1). Тепер знайдемо координати точки K:

відповідь: K \u003d (0,5; 0; 1)

· завдання . Одиничний куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 поміщений в систему координат так, що осі x, y і z спрямовані уздовж ребер AB, AD і AA 1 відповідно, а початок координат збігається з точкою A. Знайдіть координати точки L, в якій перетинаються діагоналі квадрата A 1 B 1 C 1 D 1.

Рішення. З курсу планіметрії відомо, що точка перетину діагоналей квадрата рівновіддалена від усіх його вершин. Зокрема, A 1 L \u003d C 1 L, тобто точка L - це середина відрізка A 1 C 1. Але A 1 \u003d (0; 0; 1), C 1 \u003d (1; 1; 1), тому маємо:

відповідь: L \u003d (0,5; 0,5; 1)

Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
Дії з векторами в координатах

Завдання, які будуть розглянуті, вкрай бажано навчитися вирішувати на повному автоматі, а формули запам'ятати напам'ять, Навіть спеціально не запам'ятовується, самі запам'ятаються \u003d) Це дуже важливо, оскільки на найпростіших елементарних прикладах базуються інші завдання аналітичної геометрії, і буде прикро витрачати додатковий час на поїдання пішаків. Не потрібно застібати верхні гудзики на сорочці, багато речей знайомі вам зі школи.

Виклад матеріалу піде паралельним курсом - і для площині, і для простору. З тієї причини, що всі формули ... самі побачите.

Чи не складає ніяких труднощів. Для їх розрахунку існує простий вислів, яке легко запам'ятати. Наприклад, якщо координати кінців якого-небудь відрізка відповідно дорівнюють (х1; у1) і (х2; у2) відповідно, то координати його середини розраховуються як середнє арифметичне цих координат, тобто:

Ось і вся складність.
Розглянемо розрахунок координат центру одного з відрізків на конкретному прикладі, як Ви і просили.

Завдання.
Знайти координати якоїсь точки М, якщо вона є серединою (центром) відрізка КР, кінців якого мають такі координати: (-3; 7) і (13; 21) відповідно.

Рішення.
Використовуємо розглянуту вище формулу:

відповідь. М (5; 14).

За допомогою цієї формули можна також знайти не тільки координати середини будь-якого відрізка, а й його кінців. Розглянемо приклад.

Завдання.
Дано координати двох точок (7; 19) і (8; 27). Знайти координати одного з кінців відрізка, якщо попередні дві точки є його кінцем і серединою.

Рішення.
Позначимо кінці відрізка До і Р, а його середину S. Перепишемо формулу з урахуванням нових назв:

Підставами відомі координати і обчислимо окремі координати: