Далі розглянемо відомі способигенерації ефективних піфагорових трійок Учні Піфагора були першими, хто винайшли простий спосіб генерації піфагорових трійок, використовуючи формулу, частини якої являють собою піфагорову трійку:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Де m- Непарне, m>2. Справді,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Аналогічну формулу запропонував давньогрецький філософ Платон:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Де m- Будь-яке число. Для m= 2,3,4,5 генеруються такі трійки:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Як бачимо, ці формули не можуть дати всі можливі примітивні трійки.

Розглянемо наступний поліном, який розкладається на суму поліномів:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Звідси такі формули для отримання примітивних трійок:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Ці формули генерують трійки, у яких середнє число відрізняється від найбільшого рівно на одиницю, тобто також генеруються не всі можливі трійки. Тут перші трійки дорівнюють: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Щоб визначити спосіб генерації всіх примітивних трійок слід досліджувати їх властивості. По-перше, якщо ( a, b, c) - примітивна трійка, то aі b, bі c, аі c- Повинні бути взаємно простими. Нехай aі bділяться на d. Тоді a 2 + b 2 - також ділиться на d. Відповідно, c 2 та cповинні ділитися на d. Тобто це не є примітивна трійка.

По-друге, серед чисел a, bодне має бути парним, інше — непарним. Справді, якщо aі b— парні, то й збуде парним, і числа можна поділити принаймні на 2. Якщо вони обидва непарні, їх можна представити як 2 k+1 і 2 l+1, де k,l- Деякі числа. Тоді a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, тобто, з 2 , як і a 2 + b 2 при поділі на 4 має залишок 2.

Нехай з- будь-яке число, тобто з = 4k+i (i= 0, ..., 3). Тоді з 2 = (4k+i) 2 має залишок 0 або 1 і не може мати залишок 2. Таким чином, aі bне можуть бути непарними, тобто a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 та залишок від розподілу з 2 на 4 має бути 1, що означає, що змає бути непарним.

Такі вимоги до елементів піфагорової трійки задовольняють такі числа:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Де mі n- Взаємно прості з різною парністю. Вперше ці залежності стали відомими із праць Евкліда, який жив 2300 р. тому.

Доведемо справедливість залежностей (2). Нехай а- парне, тоді bі c- Непарні. Тоді c + b i c − b- парні. Їх можна уявити як c + b = 2uі c − b = 2v, де u,v- Деякі цілі числа. Тому

a 2 = з 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u·2 v = 4uv

І тому ( a/2) 2 = uv.

Можна довести від неприємного, що uі v- Взаємно прості. Нехай uі v- діляться на d. Тоді ( c + b) та ( c − b) діляться на d. І тому cі bповинні ділитися на d, а це суперечить умові до піфагорової трійки.

Оскільки uv = (a/2) 2 та uі v- Взаємно прості, то нескладно довести, що uі vмають бути квадратами якихось чисел.

Таким чином, є позитивні цілі числа mі n, такі що u = m 2 та v = n 2 . Тоді

а 2 = 4uv = 4m 2 n 2 , так що
а = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Оскільки b> 0, то m > n.

Залишилось показати, що mі nмають різну парність. Якщо mі n- парні, то uі vповинні бути парними, а це неможливо, тому що вони взаємно прості. Якщо mі n- Непарні, то b = m 2 − n 2 та c = m 2 + n 2 були б парними, що неможливо, оскільки cі b- Взаємно прості.

Таким чином, будь-яка примітивна піфагорова трійка повинна задовольняти умови (2). При цьому числа mі nназиваються генеруючими числамипримітивних трійок. Наприклад, нехай маємо примітивну піфагорову трійку (120,119,169). У цьому випадку

а= 120 = 2 · 12 · 5, b= 119 = 144 − 25, та c = 144+25=169,

Де m = 12, n= 5 - генеруючі числа, 12> 5; 12 і 5 - взаємно прості та різної парності.

Можна довести протилежне, що числа m, nза формулами (2) дають примітивну піфагорову трійку (a, b, c). Справді,

а 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

Тобто ( a,b,c) - Піфагорова трійка. Доведемо, що при цьому a,b,c- Взаємно прості числа від протилежного. Нехай ці числа поділяються на p> 1. Оскільки mі nмають різну парність, то bі c- непарні, тобто p≠ 2. Оскільки рділить bі c, то рмає ділити 2 m 2 та 2 n 2 , а це неможливо, тому що p≠ 2. Тому m, n- Взаємно прості та a,b,c- теж взаємно прості.

У таблиці 1 показані всі примітивні піфагорові трійки, згенеровані за формулами (2) m≤10.

Таблиця 1. Примітивні піфагорові трійки для m≤10

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Аналіз цієї таблиці показує наявність наступного ряду закономірностей:

• або a, або bділяться на 3;
• одне з чисел a,b,cділиться на 5;
• число аділиться на 4;
• твір a· bділиться на 12.

У 1971 р. американські математики Тейган та Хедвін для генерації трійок запропонували такі маловідомі параметри прямокутного трикутника, як його зростання (height) h = c− b та надлишок (success) е = a + b − c. На рис.1. показані ці величини деякому прямокутному трикутнику.

Малюнок 1. Прямокутний трикутник та його зростання та надлишок

Назва "надлишок" є похідною від того, що це додаткова відстань, яку необхідно пройти по катетах трикутника з однієї вершини в протилежну, якщо не йти його діагоналі.

Через надлишок та зростання сторони піфагорового трикутника можна виразити як:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Не всі комбінації hі eможуть відповідати піфагоровим трикутникам. Для заданого hможливі значення e- Це твори деякого числа d. Це число dмає назву приросту і відноситься до hнаступним чином: d- Це найменше позитивне ціле число, квадрат якого ділиться на 2 h. Оскільки eкратне d, то воно записується як e = kd, де k- Позитивне ціле.

За допомогою пар ( k,h) можна згенерувати всі піфагорові трикутники, включаючи непримітивні та узагальнені, таким чином:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Причому трійка є примітивною, якщо kі h- Взаємно прості і якщо h =± q 2 при q- Непарному.
Крім того, це буде саме піфагорова трійка, якщо k> √2· h/dі h > 0.

Щоб знайти kі hз ( a,b,c), виконують такі дії:

• h = c − b;
• записують hяк h = pq 2 , де p> 0 таке, що є квадратом;
• d = 2pqякщо p- Непарне і d = pqякщо p - парне;
• k = (a − h)/d.

Наприклад, для трійки (8,15,17) маємо h= 17−15 = 2·1, отже p= 2 і q = 1, d= 2, та k= (8 − 2)/2 = 3. Так що ця трійка задається як ( k,h) = (3,2).

Для трійки (459,1260,1341) маємо h= 1341 − 1260 = 81, тож p = 1, q= 9 і d= 18, звідси k= (459 − 81)/18 = 21, так що код цієї трійки дорівнює ( k,h) = (21, 81).

Завдання трійок за допомогою hі kмає низку цікавих властивостей. Параметр kдорівнює

k = 4S/(dP), (5)

Де S = ab/2 - площа трикутника, а P = a + b + c- Його периметр. Це випливає з рівності eP = 4S, що виходить із теореми Піфагора.

Для прямокутного трикутника eдорівнює діаметру вписаного в трикутник кола. Це виходить із того, що гіпотенуза з = (а − r)+(b − r) = a + b − 2r, де r- Радіус кола. Звідси h = c − b = а − 2rі е = a − h = 2r.

Для h> 0 та k > 0, kє порядковим номером трійок a-b-cу послідовності піфагорових трикутників зі зростанням h. З таблиці 2, де представлено кілька варіантів трійок, згенерованих парами h, k, видно, що зі збільшенням kзростають величини сторін трикутника. Таким чином, на відміну від класичної нумерації, нумерація парами h, kмає більший порядок у послідовностях трійок.

Таблиця 2. Піфагорові трійкизгенеровані парами h, k.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Для h > 0, dзадовольняє нерівність 2√ h ≤ d ≤ 2h, в якому нижній кордондосягається при p= 1, а верхня - при q= 1. Тому значення dщодо 2√ h— це міра того, наскільки число hвіддалений від квадрата деякого числа.

Піфагорові трійки чисел

Творча робота

учня 8 ”A”класу

МАОУ "Гімназія №1"

Жовтневого району м. Саратова

Панфілова Володимира

Керівник – учитель математики вищої категорії

Гришина Ірина Володимирівна

Зміст

Вступ……………………………………………………………………………………3

Теоретична частина роботи

Знаходження основного Піфагорового трикутника

(Формули древніх індусів)………………………………………………………………4

Практична частина роботи

Складання піфагорових трійок у різний спосіб……………………........6

Важлива властивість піфагорових трикутників……………………………………...8

Заключение………………………………………………………………………………....9

Література….……………………………………………………………………………...10

Вступ

У цьому навчальному роціпід час уроків математики ми вивчили одну з найпопулярніших теорем геометрії – теорему Піфагора. Теорема Піфагора застосовується в геометрії на кожному кроці, вона знайшла широке застосування у практиці та повсякденному житті. Але, крім самої теореми, ми вивчили і теорему, зворотну до теореми Піфагора. У зв'язку з вивченням цієї теореми, ми відбулося знайомство з піфагоровими трійками чисел, тобто. з наборами із 3-х натуральних чиселa , b іc , Для яких справедливе співвідношення: = + . До таких наборів відносять, наприклад, такі трійки:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

У мене відразу виникли питання: а скільки піфагорових трійок можна вигадати? А як їх складати?

У нашому підручнику геометрії після викладу теореми, зворотній теореміПіфагора, було зроблено важливе зауваження: можна довести, що катетиа іb та гіпотенузаз прямокутних трикутників, довжини сторін яких виражаються натуральними числами, можна знаходити за формулами:

а = 2kmn b = k ( - ) c = k ( + , (1)

деk , m , n - будь-які натуральні числа, причомуm > n .

Звісно, ​​постає питання – як довести дані формули? І чи тільки за цими формулами можна складати піфагорові трійки?

У своїй роботі я здійснив спробу відповісти на питання, що виникли в мене.

Теоретична частина роботи

Знаходження основного Піфагорова трикутника (формули стародавніх індусів)

Спочатку доведемо формули (1):

Позначимо довжини катетів черезх іу , а довжину гіпотенузи черезz . За теоремою Піфагора маємо рівність:+ = .(2)

Це рівняння називають рівнянням Піфагора. Дослідження піфагорових трикутників зводиться до розв'язання у натуральних числах рівняння (2).

Якщо кожну сторону деякого піфагорового трикутника збільшити в те саме число разів, то отримаємо новий прямокутний трикутник, подібний даному зі сторонами, вираженими натуральними числами, тобто. знову піфагорів трикутник.

Серед усіх подібних трикутників є найменший, легко здогадатися, що це буде трикутник, сторони якогох іу виражаються взаємно простими числами

(НОД (х,у )=1).

Такий піфагорів трикутник назвемоосновним .

Знаходження основних піфагорових трикутників.

Нехай трикутник (x , y , z ) – основний піфагорів трикутник. Числах іу - Взаємно прості, і тому не можуть бути обидва парними. Доведемо, що вони не можуть бути обидва та непарними. Для цього зауважимо, щоквадрат непарного числа при розподілі на 8 дає у залишку 1. Насправді, будь-яке непарне натуральне число можна подати у вигляді2 k -1 , деk належитьN .

Звідси: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

Числа( k -1) іk - Послідовні, одне з них обов'язково парне. Тоді виразk ( k -1) ділиться на2 , 4 k ( k -1) ділиться на 8, отже, число при розподілі на 8 дає у залишку 1.

Сума квадратів двох непарних чисел дає при розподілі на 8 у залишку 2, отже, сума квадратів двох непарних чисел є число парне, але не кратне 4, а тому це числоне може бути квадратом натурального числа.

Отже, рівність (2) не може мати місця, якщоx іу обидва непарні.

Таким чином, якщо піфагорів трикутник (х, у, z ) - основний, то серед чиселх іу одне має бути парним, а інше – непарним. Нехай число у є парним. Числах іz непарні (непарністьz випливає з рівності (2)).

З рівняння+ = отримуємо, що= ( z + x )( z - x ) (3).

Числаz + x іz - x як сума та різниця двох непарних чисел – числа парні, а тому (4):

z + x = 2 a , z - x = 2 b , деа іb належатьN .

z + x =2 a , z - x = 2 b ,

z = a+b , x = a - b. (5)

З цих рівностей випливає, щоa іb - Взаємно прості числа.

Доведемо це, розмірковуючи від неприємного.

Нехай НОД (a , b )= d , деd >1 .

Тодіd z іx , а отже, і чиселz + x іz - x . Тоді на підставі рівності (3) було б дільником числа . У такому разіd був би спільним дільникомчиселу іх , але числау іх мають бути взаємно простими.

Числоу , як відомо, парне, томуу = 2с , дез - Натуральне число. Рівність (3) на підставі рівності (4) набуває такого вигляду: =2а*2 b , або = ab.

З арифметики відомо, щоякщо добуток двох взаємно простих чисел є квадратом натурального числа, кожна з цих чисел також є квадратом натурального числа.

Значить,а = іb = , деm іn - Взаємно прості числа, т.к. вони є дільниками взаємно простих чисела іb .

На підставі рівності (5) маємо:

z = + , x = - , = ab = * = ; з = mn

Тодіу = 2 mn .

Числаm іn , т.к. є взаємно простими, неможливо знайти одночасно парними. Але й непарними одночасно не можуть, т.к. у цьому випадкух = - було б парним, що неможливо. Отже, одне з чисел,m абоn парно, а інше непарно. Очевидно,у = 2 mn ділиться на 4. Отже, у кожному основному трикутнику піфагорів хоча б один з катетів ділиться на 4. Звідси випливає, що немає піфагорових трикутників, всі сторони якого були б простими числами.

Отримані результати можна виразити у вигляді наступної теореми:

Усі основні трикутники, в якиху є парним числом, що виходять з формули

х = - , y =2 mn , z = + ( m > n ), деm іn – всі пари взаємно простих чисел, у тому числі одне є парним, інше непарним (байдуже, яке). Кожна основна піфагорова трійка (х, у, z ), деу - парне, - визначається цим способом однозначно.

Числаm іn неможливо знайти обидва парними чи обидва непарними, т.к. у цих випадках

х = були б парними, що неможливо. Отже, одне із чиселm абоn парно, а інше непарно (y = 2 mn ділиться на 4).

Практична частина роботи

Складання піфагорових трійок різними способами

У формулах індусівm іn - Взаємно прості, але можуть бути числами довільної парності і складати піфагорові трійки за ними досить важко. Тому спробуємо знайти інший підхід до складання піфагорових трійок.

= - = ( z - y )( z + y ), дех - непарне,y - парне,z - непарне

v = z - y , u = z + y

= uv , деu - непарне,v - непарне (взаємно прості)

Т.к. добуток двох непарних взаємно простих чисел є квадратом натурального числа, тоu = , v = , деk іl - Взаємно прості, непарні числа.

z - y = z + y = k 2 , звідки, складаючи рівності та віднімаючи з одного інше, отримуємо:

2 z = + 2 y = - тобто

z = y = x = kl

k

l

x

y

z

37

9

1

9

40

41 (sнулів)*(100…0 (sнулів) +1)+1 =200…0 (s-1нулів) 200…0 (s-1нулів) 1

Важлива властивість піфагорових трикутників

Теорема

В основному піфагоровому трикутнику один з катетів обов'язково ділиться на 4 один з катетів обов'язково ділиться на 3 і площа піфагорового трикутника обов'язково кратна 6.

Доказ

Як нам відомо, у кожному піфагоровому трикутнику хоча б один із катетів ділиться на 4.

Доведемо, що з катетів ділиться і 3.

Для доказу припустимо, що в піфагоровому трикутнику (x , y , z x абоy кратно 3.

Тепер доведемо, що площа піфагорового трикутника поділяється на 6.

Кожен піфагорів трикутник має площу, що виражається натуральним числом, кратним 6. Це випливає з того, що хоча б один з катетів ділиться на 3 і хоча б один з катетів ділиться на 4. Площа трикутника, що визначається напівтвором катетів, повинна виражатися числом, кратним 6 .

Висновок

У роботі

- доведено формули стародавніх індусів

-проведено дослідження на кількість піфагорових трійок (їх нескінченно багато)

-зазначені способи знаходження піфагорових трійок

-Вивчені деякі властивості піфагорових трикутників

Для мене це була дуже цікава темаі знаходити відповіді на мої запитання стало дуже цікавим заняттям. Надалі я планую розглянути зв'язок піфагорових трійок з послідовністю Фібоначчі та теоремою Ферма та дізнатися ще багато властивостей піфагорових трикутників.

Література

Л.С. Атанасян "Геометрія. 7-9 класи" М.: Просвітництво, 2012.

В. Серпінський "Піфагорові трикутники" М.: Учпедгіз, 1959.

Саратов

2014

«Обласний центр освіти»

Методична розробка

Використання піфагорових трійок при вирішенні

геометричних завдань та тригонометричних завданьЄДІ

м. Калуга, 2016

I. Вступ

Теорема Піфагора - одна з головних і, можна сказати, найголовніша теорема геометрії. Значення її у тому, що з неї чи з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. Теорема Піфагора чудова ще й тим, що сама собою вона зовсім не очевидна. Наприклад, властивості рівнобедреного трикутника можна побачити безпосередньо на кресленні. Але скільки не дивися на прямокутний трикутник, ніяк не побачиш, що між його сторонами є таке просте співвідношення: a2+b2=c2. Однак не Піфагор відкрив теорему, яка носить його ім'я. Вона була відома ще раніше, але, можливо, лише як факт, виведений із вимірів. Мабуть, Піфагор знав це, але знайшов доказ.

Існує безліч натуральних чисел a, b, c, що задовольняють співвідношення a2+b2=c2.. Вони називаються піфагоровими числами. Відповідно до теореми Піфагора такі числа можуть бути довжинами сторін деякого прямокутного трикутника – називатимемо їх пифагоровыми трикутниками.

Мета роботи:вивчити можливість та ефективність застосування піфагорових трійок для вирішення завдань шкільного курсуматематики, завдань ЄДІ.

Виходячи з мети роботи, поставлені такі завдання:

Вивчити історію та класифікацію піфагорових трійок. Проаналізувати задачі із застосуванням піфагорових трійок, що є у шкільних підручниках та зустрічаються у контрольно-вимірювальних матеріалах ЄДІ. Оцінити ефективність застосування піфагорових трійок та їх властивостей для вирішення задач.

Об'єкт дослідження: піфагорові трійки чисел

Предмет дослідження: завдання шкільного курсу тригонометрії та геометрії, в яких використовуються піфагорові трійки

Актуальність дослідження. Піфагорові трійки часто використовуються в геометрії та тригонометрії, знання їх позбавить помилок у обчисленнях та економить час.

ІІ. Основна частина. Розв'язання задач за допомогою піфагорових трійок.

2.1.Таблиця трійок піфагорових чисел (за Перельманом)

Піфагорові числа мають вигляд a= m·n, , Де m і n - деякі взаємно прості непарні числа.

Піфагорові числа мають низку цікавих особливостей:

Один із «катетів» має бути кратним трьом.

Один із «катетів» має бути кратним чотирма.

Одне з піфагорових чисел має бути кратним п'яти.

У книзі «Цікава алгебра» наводиться таблиця піфагорових трійок, що містять числа до ста, що не мають спільних множників.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Класифікація піфагорових трійок по Шустрову.

Шустрова виявила таку закономірність: якщо всі піфагорові трикутники розподілити по групах, то для непарного катета x, парного y і гіпотенузи z справедливі наступні формули:

х = (2N-1) · (2n + 2N-1); y = 2n · (n + 2N-1); z = 2n · (n + 2N-1) + (2N-1) 2, де N - номер сімейства і n - порядковий номер трикутника в сімействі.

Підставляючи в формулу місце N і n будь-які цілі позитивні числа, починаючи з одиниці, можна отримати, всі основні піфагорові трійки чисел, а також кратні певного виду. Можна скласти таблицю всіх піфагорових трійок за кожним сімейством.

2.3. Завдання з планіметрії

Розглянемо завдання з різних підручників з геометрії та з'ясуємо, наскільки часто зустрічаються піфагорові трійки у цих завданнях. Тривіальні завдання на перебування третього елемента за таблицею піфагорових трійок не розглядатимемо, хоча вони теж зустрічаються в підручниках. Покажемо, як звести рішення задачі, дані якої не виражені натуральними числами, до піфагорових трійок.

Розглянемо завдання з підручника з геометрії для 7-9 класу.

№ 000. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника за катетами а=, b=.

Рішення. Помножимо довжини катетів на 7, отримаємо два елементи з піфагорової трійки 3 і 4. Недостатній елемент 5, який ділимо на 7. Відповідь .

№ 000. У прямокутнику ABCD знайдіть BC, якщо CD = 1,5, AC = 2,5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Рішення. Розв'яжемо прямокутний трикутник АСD. Помножимо довжини на 2, отримаємо два елементи з піфагорової трійки 3 і 5, Недостатній елемент 4, який ділимо на 2. Відповідь: 2.

При вирішенні наступного номера перевіряти співвідношення a2+b2=c2Зовсім необов'язково, достатньо скористатися піфагоровими числами та їх властивостями.

№ 000. З'ясуйте, чи трикутник є прямокутним, якщо його сторони виражаються числами:

а) 6,8,10 (піфагорова трійка 3,4.5) - так;

Один із катетів прямокутного трикутника повинен ділитися на 4. Відповідь: ні.

в) 9,12,15 (піфагорова трійка 3,4.5) - так;

г) 10,24,26 (піфагорова трійка 5,12.13) - так;

Одне з піфагорових чисел має бути кратним п'яти. Відповідь: ні.

ж) 15, 20, 25 (піфагорова трійка 3,4.5) - так.

З тридцяти дев'яти завдань даного параграфа (теорема Піфагора) двадцять два вирішуються усно за допомогою піфагорових чисел та знання їх властивостей.

Розглянемо задачу № 000 (з розділу «Додаткові завдання»):

Знайдіть площу чотирикутника ABCD, в якому АВ=5 см, ВС=13 см, CD=9 см, DA=15 см, АС=12 см.

У завданні треба перевірити співвідношення a2+b2=c2і довести, що цей чотирикутник складається з двох прямокутних трикутників (зворотна теорема). А знання піфагорових трійок: 3, 4, 5 і 5, 12, 13 позбавляє від обчислень.

Наведемо розв'язання кількох завдань із підручника з геометрії для 7-9 класу.

Завдання 156 (з). Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 і 40. Знайдіть медіану, проведену до гіпотенузи.

Рішення . Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині. Піфагорова трійка 9,40 та 41. Отже, медіана дорівнює 20,5.

Завдання 156(і). Бічні сторони трикутника рівні: а= 13 см, b = 20 см, а висота hс = 12 см. Знайдіть основу с.

Завдання ( КІМИ ЄДІ). Знайдіть радіус кола, вписаного в гострокутний трикутник АВС, якщо висота ВH дорівнює12 і відомо, що sin А=,sin З=left">

Рішення.Вирішуємо прямокутний АСК: sin А=, ВH=12 , звідси АВ=13,АК=5 (Піфагорова трійка 5,12,13). Вирішуємо прямокутний ∆ВСH: ВH =12, sin С===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Піфагорова трійка 3,4,5). Радіус знаходимо за формулою r ===4.

2.4. Піфагорові трійки у тригонометрії

Основне тригонометрична тотожність – окремий випадоктеореми Піфагора: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Тому деякі тригонометричні завдання легко вирішуються усно за допомогою Піфагорових трійок.

Завдання, у яких потрібно за заданим значенням функції знайти значення інших тригонометричних функційможна вирішити без зведення в квадрат і вилучення квадратного кореня. Усі завдання цього у шкільному підручнику алгебри (10-11) Мордковича (№ 000-№ 000) можна вирішити усно, знаючи лише кілька піфагорових трійок: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Розглянемо розв'язки двох завдань.

№000 а). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Рішення. Піфагорова трійка: 3, 4, 5. Отже, cos t = -3/5; tg t = -4/3,

№000 б). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.

Рішення. tg t = 2,4 = 24/10 = 12/5. Піфагорова трійка 5,12,13. З огляду на знаки отримуємо sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Контрольно-вимірювальні матеріали ЄДІ

а) cos (arcsin 3/5) = 4/5 (3, 4, 5)

б) sin (arccos 5/13) = 12/13 (5, 12, 13)

в) tg (arcsin 0,6) = 0,75 (6, 8, 10)

г) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

д) 4/3 tg (π-arcsin (-3/5)) = 4/3 tg (π + arcsin 3/5) = 4/3 tg arcsin 3/5=4/3·3/4=1

е) перевірте вірність рівності:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Рішення. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) · cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) · sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 · 12/13 + 3/5 · 5/13 = 63/65

ІІІ. Висновок

У геометричних задачах часто доводиться вирішувати прямокутні трикутники, іноді кілька разів. Проаналізувавши завдання шкільних підручників та матеріалів ЄДІможна зробити висновок, що в основному використовуються трійки: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; які легко запам'ятати. При вирішенні деяких тригонометричних завдань класичне рішення за допомогою тригонометричних формулі великою кількістю обчислень займає час, а знання піфагорових трійок позбавить помилок у обчисленнях і заощадить час для вирішення важких завдань на ЄДІ.

Бібліографічний список

1. Алгебра та початку аналізу. 10-11 класи. О 2 год. Ч. 2. Задачник для загальноосвітніх установ/ [та ін]; за ред. . - 8-е вид., Стер. - М.: Мнемозіна, 2007. - 315 с. : іл.

2. Перельман алгебра. - Д.: ВАП, 1994. - 200 с.

3. Рогановський: Навч. Для 7-9 кл. з поглибл. вивченням математики загальноосвіт. шк. з рос. яз. навчання, - 3-тє вид. - Мн.; народ. Асвета, 2000. - 574 с.: Іл.

4. Математика: Хрестоматія з історії, методології, дидактики. / Упоряд. . - М.: Вид-во УРАО, 2001. - 384 с.

5. Журнал «Математика у шкільництві» №1, 1965 рік.

6. Контрольно-вимірювальні матеріали ЄДІ.

7. Геометрія, 7-9: Навч. для загальноосвітніх установ /, та ін. – 13-те вид. – М.: Просвітництво,2003. - 384 с. : іл.

8. Геометрія: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк./, та інших. – 2-ге вид. - М.: Просвітництво, 1993, - 207 с.: Іл.

Перельман алгебра. - Д.: ВАП, 1994. - 200 с.

Журнал "Математика в школі" №1, 1965 рік.

Геометрія, 7-9: Навч. для загальноосвітніх установ /, та ін. – 13-те вид. – М.: Просвітництво,2003. - 384 с. : іл.

Рогановський: Навч. Для 7-9 кл. з поглибл. вивченням математики загальноосвіт. шк. з рос. яз. навчання, - 3-тє вид. - Мн.; народ. Асвета, 2000. - 574 с.: Іл.

Алгебра та початку аналізу. 10-11 класи. У 2 ч. ч. 2. Задачник для загальноосвітніх установ / [та ін]; за ред. . - 8-е вид., Стер. - М.: Мнемозіна, 2007. - 315 с. : іл., стор.18.

Властивості

Оскільки рівняння x 2 + y 2 = z 2 однорідно, при домноженні x , yі zна те саме число вийде інша піфагорова трійка. Піфагорова трійка називається примітивноюякщо вона не може бути отримана таким способом, тобто - взаємно прості числа .

Приклади

Деякі піфагорові трійки (відсортовані за зростанням максимального числа, виділено примітивні):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Грунтуючись на властивостях чисел Фібоначчі, можна скласти з них, наприклад, такі піфагорові трійки:

.

Історія

Піфагорові трійки відомі дуже давно. В архітектурі давньомесопотамських надгробків зустрічається рівнобедрений трикутник, Складений з двох прямокутних зі сторонами 9, 12 і 15 ліктів. Піраміди фараона Снофру (XXVII століття до н.е.) побудовані з використанням трикутників зі сторонами 20, 21 та 29, а також 18, 24 та 30 десятків єгипетських ліктів.

також

Посилання

• Є. А. ГорінСтупені простих чисел у складі піфагорових трійок // Математичне просвітництво. – 2008. – В. 12. – С. 105-125.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Піфагорові числа" в інших словниках:

Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (чи рівні) цим числам, є прямокутним, напр. трійка чисел: 3, 4, 5… Великий Енциклопедичний словник

Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, наприклад трійка чисел: 3, 4, 5. * * * Енциклопедичний словник

Трійки натуральних чисел таких, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (чи рівні) цим числам, є прямокутним. По теоремі, зворотній теоремі Піфагора (див. теорема Піфагора), для цього достатньо, щоб вони ...

Трійки цілих позитивних чисел х, у, z, що задовольняють рівняння x2 + 2 = z2. Усі рішення цього рівняння, отже, і всі П. год. виражаються формулами х=а 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, де а, b довільні цілі позитивні числа (а>b). П. год. Математична енциклопедія

Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, напр. трійка чисел: 3, 4, 5… Природознавство. Енциклопедичний словник

У математиці піфагоровими числами (піфагорової трійкою) називається кортеж із трьох цілих чисел, що задовольняють співвідношенню Піфагора: x2 + y2 = z2. Зміст 1 Властивості 2 Приклади … Вікіпедія

Фігурні числа загальна назва чисел, пов'язаних із тією чи іншою геометричною фігурою. Це історичне поняттясходить до піфагорійців. Імовірно від фігурних чисел виник вираз: «Звести число у квадрат чи куб». Зміст… … Вікіпедія

Фігурні числа загальна назва чисел, пов'язаних із тією чи іншою геометричною фігурою. Це історичне поняття перегукується з піфагорійцям. Розрізняють такі види фігурних чисел: Лінійні числа числа, що не розкладаються на помножувачі, тобто їх ... Вікіпедія

- «Парадокс числа пі» жарт на тему математики, що мав ходіння серед студентів до 80-х років (фактично, до масового поширення мікрокалькуляторів) і був пов'язаний з обмеженою точністю обчислень тригонометричних функцій і ... Вікіпедія

- (грец. arithmetika, від arithmys число) наука про числа, в першу чергу про натуральні (цілі позитивні) числа і (раціональні) дроби, і дії над ними. Володіння досить розвиненим поняттям натурального числа та вміння. Велика радянська енциклопедія

Книги

• Архімедове літо, або Історія співдружності юних математиків. Двійкова система числення, Бобров Сергій Павлович. Двійкова система числення, "Ханойська вежа", хід коня, магічні квадрати, арифметичний трикутник, фігурні числа, поєднання, поняття про ймовірності, стрічка Мебіуса та пляшка Клейна.

Білотелов В.А. Піфагорові трійки та їх кількість // Енциклопедія Нестерових

Ця стаття є відповіддю одному професору – щипалеві. Дивися, професоре, як це у нас на селі роблять.

Нижегородська область, м. Заволжя.

Потрібне знання алгоритму розв'язання діофантових рівнянь (АРДУ) та знання прогресій багаточленів.

ПЧ – просте число.

СЧ – складова кількість.

Нехай є число N непарне. Для будь-якого непарного числа, крім одиниці, можна скласти рівняння.

р 2 + N = q 2

де р + q = N, q - р = 1.

Наприклад, для чисел 21 та 23 рівняннями будуть, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Якщо число N просте, це рівняння єдине. Якщо число N складене, тоді можна скласти подібних рівнянь за кількістю пар співмножників, що представляють це число, включаючи 1 x N.

Візьмемо число N = 45 -

1 х 45 = 45, 3 х 15 = 45, 5 х 9 = 45.

Мріялося, а чи не можна вчепившись за цю різницю між ПЧ і СЧ знайти метод їх ідентифікації.

Введемо позначення;

Змінимо нижнє рівняння, -

N = 2 – а 2 = (в – а)(в + а).

Згрупуємо величини N за ознакою - а, тобто. складемо таблицю.

Числа N були зведені в матрицю, -

Саме під це завдання довелося розбиратися з прогресіями багаточленів та їх матрицями. Все виявилося даремно – ПЧ оборону тримають потужно. Давайте в таблицю 1 введемо стовпець, де - а = 1 (q - р = 1).

І ще раз. Таблиця 2 вийшла внаслідок спроби розв'язання задачі про ідентифікацію ПЛ та СЧ. З таблиці слід, що з будь-якого числа N, існує стільки рівнянь виду а 2 + N = в 2 , скільки пар співмножників можна розбити число N, включаючи сомножитель 1 х N. Крім чисел N = ℓ 2 , де

ℓ - ПЧ. Для N = ℓ 2 де ℓ - ПЧ, існує єдине рівняння р 2 + N = q 2 . Про який додатковий доказ може йтися, якщо в таблиці перебрано менші множники з пар співмножників, що утворюють N, від одиниці до ∞. Таблицю 2 помістимо в скриньку, а скриньку сховаємо в комірчині.

Повернімося до теми заявленої статті.

Ця стаття є відповіддю одному професору – щипалеві.

Звернувся за допомогою, – потрібен ряд чисел, який не міг знайти в інтернеті. Напоровся на питання типу, - "а за чим?", "А покажи метод". Було зокрема завдання питання, чи нескінченна низка піфагорових трійок, "а як довести?". Не допоміг він мені. Дивися, професоре, як це у нас на селі роблять.

Візьмемо формулу піфагорових трійок, –

х 2 = у 2 + z2. (1)

Пропустимо через Арду.

Можливі три ситуації:

I. х – непарне число,

у – парне число,

z – парне число.

І є умова х> у> z.

ІІ. х – непарне число,

у – парне число,

z – непарне число.

х > z > в.

III.х - парне число,

у – непарне число,

z – непарне число.

х > у > z.

Почнемо по порядку із I.

Введемо нові змінні

Підставимо до рівняння (1).

Скоротимо на меншу змінну 2γ.

(2α – 2γ + 2к + 1) 2 = (2β – 2γ + 2к) 2 + (2к + 1) 2 .

Скоротимо на менше змінне 2β – 2γ з одночасним введенням нового параметра ƒ, -

(2α – 2β + 2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к) 2 + (2к + 1) 2 (2)

Тоді 2α – 2β = х – у – 1.

Рівняння (2) набуде вигляду, –

(х - у + 2 + 2к) 2 = (2 + 2к) 2 + (2к + 1) 2

Зведемо у квадрат, -

(х – у) 2 + 2(2ƒ + 2к)(х – у) + (2ƒ + 2к) 2 = (2ƒ + 2к) 2 + (2к + 1) 2 ,

(х - у) 2 + 2 (2 + 2к) (х - у) - (2к + 1) 2 = 0. (3)

АРДУ дає через параметри співвідношення між старшими членами рівняння тому ми отримали рівняння (3).

Чи не солідно займатися підбором рішень. Але, по-перше, подітися нікуди, а по-друге, цих рішень потрібно кілька, а нескінченний ряд рішень ми зможемо відновити.

За ƒ = 1, к = 1, маємо х – у = 1.

За ƒ = 12, к = 16, маємо х – у = 9.

За ƒ = 4, к = 32, маємо х – у = 25.

Підбирати можна довго, але зрештою ряд набуде вигляду, -

х - у = 1, 9, 25, 49, 81, ….

Розглянемо варіант II.

Введемо до рівняння (1) нові змінні

(2α + 2к + 1) 2 = (2β + 2к) 2 + (2γ + 2к + 1) 2 .

Скоротимо на менше змінне 2 β, -

(2α – 2β + 2к + 1) 2 = (2α – 2β + 2к+1) 2 + (2к) 2 .

Скоротимо на меншу змінну 2α – 2β, –

(2α – 2γ + 2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к + 1) 2 + (2к) 2 . (4)

2α – 2γ = х – z і підставимо на рівняння (4).

(х – z + 2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к + 1) 2 + (2к) 2

(х – z) 2 + 2(2ƒ + 2к + 1)(х – z) + (2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к + 1) 2 + (2к) 2 (х – z) 2 + 2(2ƒ + 2к + 1)(х – z) – (2к) 2 = 0

За ƒ = 3, к = 4, маємо х – z = 2.

За ƒ = 8, к = 14, маємо х – z = 8.

За ƒ = 3, к = 24, маємо х – z = 18.

х - z = 2, 8, 18, 32, 50, ….

Намалюємо трапецію, -

Напишемо формулу.

де n=1, 2... ∞.

Випадок ІІІ розписувати не будемо, – немає там рішень.

Для умови II набір трійок буде таким:

Рівняння (1) представлене у вигляді х 2 = z 2 + у 2 для наочності.

Для умови I набір трійок буде таким:

Загалом розписано 9 стовпців трійок, по п'ять трійок у кожному. І кожен із представлених стовпців можна писати до ∞.

Як приклад розглянемо трійки останнього стовпця, де х – у = 81.

Для величин х розпишемо трапецію, -

Напишемо формулу, -

Для величин у розпишемо трапецію, -

Напишемо формулу, -

Для величин z розпишемо трапецію, -

Напишемо формулу, -

Де n = 1 ÷ ∞.

Як і обіцяно, ряд трійок при х – у = 81 летить у ∞.

Була спроба випадків I і II побудувати матриці для величин х, у, z.

Випишемо з останніх п'яти стовпців величини х з верхніх рядків і збудуємо трапецію.

Не вийшло, а закономірність має бути квадратичною. Щоб усе було в ажурі, виявилося, що треба об'єднати стовпці І та ІІ.

У разі II величини у z знову поміняємо місцями.

Об'єднати вдалося з однієї причини, – карти добре лягли у цьому завданні, – пощастило.

Тепер можна розписати матриці для х, у, z.

Візьмемо з останніх п'яти стовпців величини х з верхніх рядків і збудуємо трапецію.

Все нормально можна будувати матриці, і почнемо з матриці для z.

Бігом у комірчину за скринькою.

Разом: Крім одиниці, кожне непарне число числової осібере участь в утворенні піфагорових трійок рівним кількості пар співмножників утворюють це число N, включаючи сомножитель 1 х N.

Число N = ℓ 2 де ℓ - ПЧ, утворює одну піфагорову трійку, якщо ℓ - СЧ, то на співмножниках ℓхℓ трійки не існує.

Побудуємо матриці для величин х, у.

Почнемо працювати з матрицею для х. Для цього натягнемо на неї координатну сітку із завдання з ідентифікації ПЧ та СЧ.

Нумерація вертикальних рядів нормована виразом

Перший стовпець приберемо, т.к.

Матриця набуде вигляду, -

Опишемо вертикальні ряди, -

Опишемо коефіцієнти при "а", -

Опишемо вільні члени, -

Складемо загальну формулудля "х", -

Якщо провести подібну роботу для "у", отримаємо, -

Можна підійти до цього результату з іншого боку.

Візьмемо рівняння, –

а 2 + N = 2 .

Трохи перетворимо, -

N = 2 – а 2 .

Зведемо в квадрат, -

N 2 = в 4 - 2в 2 а 2 + а 4 .

До лівої та правої частини рівняння додамо за величиною 4в 2 а 2 -

N 2 + 4в 2 а 2 = 4 + 2в 2 а 2 + а 4 .

І остаточно, –

(2 + а 2) 2 = (2ва) 2 + N 2 .

Піфагорові трійки складаються так:

Розглянемо приклад із числом N = 117.

1 х 117 = 117, 3 х 39 = 117, 9 х 13 = 117.

Вертикальні стовпці таблиці 2 пронумеровані величинами - а, тоді як вертикальні стовпці таблиці 3 пронумеровані величинами х - у.

х – у = (в – а) 2 ,

х = у + (в - а) 2 .

Складемо три рівняння.

(у + 1 2) 2 = у 2 + 117 2

(у + 3 2) 2 = у 2 + 117 2

(У + 9 2) 2 = У 2 + 117 2 .

х 1 = 6845, у 1 = 6844, z1 = 117.

х 2 = 765, у 2 = 756, z 2 = 117 (х 2 = 85, у 2 = 84, z 2 = 13).

х 3 = 125, у 3 = 44, z 3 = 117.

Співмножники 3 і 39 є взаємно простими числами, тому одна трійка вийшла з коефіцієнтом 9.

Зобразимо вище написане у загальних символах, -

У цій роботі все, включаючи приклад на розрахунок піфагорових трійок з числом

N = 117, прив'язано до меншого співмножника - а. Явна дискримінація по відношенню до співмножника + а. Виправимо цю несправедливість, - складемо три рівняння з співмножником + а.

Повернемося до питання про ідентифікацію ПЛ та СЧ.

Багато чого було здійснено в цьому напрямку і на сьогодні через руки дійшла така думка, – рівняння ідентифікації, та такого, щоб і співмножники визначити, не існує.

Допустимо знайдено співвідношення F = а, (N).

Є формула

Можна позбутися у формулі F від і вийде однорідне рівняння n – ой ступеня щодо, тобто. F = а(N).

За будь-якого ступеня n даного рівняння знайдеться число N, що має m пар співмножників, при m > n.

І, як наслідок, однорідне рівняння n ступеня повинно мати m коріння.

Так бути такого не може.

У цій роботі числа N розглядалися для рівняння х 2 = у 2 + z 2 коли вони знаходяться в рівнянні на місці z. Коли N на місці х - це вже інше завдання.

З повагою Бєлотелов В.А.