Pružinové kyvadlo je hmotný bod s hmotou pripevnenou k absolútne elastickej beztiažovej pružine s tuhosťou . Existujú dva najjednoduchšie prípady: horizontálne (obr. 15, A) a vertikálne (obr. 15, b) kyvadla.

A) Horizontálne kyvadlo(obr. 15,a). Keď sa náklad pohybuje
z rovnovážnej polohy podľa sumy pôsobí naň v horizontálnom smere obnovenie elastickej sily
(Hookov zákon).

Predpokladá sa, že horizontálna podpera, pozdĺž ktorej sa náklad posúva
počas svojich vibrácií je absolútne hladký (bez trenia).

b) Vertikálne kyvadlo(obr. 15, b). Rovnovážna poloha je v tomto prípade charakterizovaná podmienkou:

Kde - veľkosť pružnej sily pôsobiacej na zaťaženie
keď je pružina staticky natiahnutá o vplyvom gravitácie bremena
.

A

Obr. 15. pružinové kyvadlo: A– horizontálne a b– vertikálne

Ak pružinu natiahnete a záťaž uvoľníte, začne vertikálne oscilovať. Ak je posun v určitom časovom bode
, potom sa elastická sila teraz zapíše ako
.

V oboch uvažovaných prípadoch pružinové kyvadlo vykonáva harmonické kmity s periódou

(27)

a cyklická frekvencia

. (28)

Na príklade pružinového kyvadla môžeme dospieť k záveru, že harmonické kmity sú pohyb spôsobený silou, ktorá sa zvyšuje úmerne k posunutiu. . teda ak sa obnovujúca sila podobá Hookovmu zákonu
(dostala menokvázi elastická sila ), potom musí systém vykonávať harmonické kmity. V momente prechodu rovnovážnej polohy na teleso nepôsobí žiadna vratná sila, teleso však zotrvačnosťou prejde rovnovážnu polohu a vratná sila zmení smer opačný.

Matematické kyvadlo

Obr. 16. Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo je idealizovaný systém v podobe hmotného bodu zaveseného na beztiažovej neroztiahnuteľnej nite dĺžky , ktorý vplyvom gravitácie robí malé kmity (obr. 16).

Kmity takéhoto kyvadla pri malých uhloch vychýlenia
(nepresahujúce 5º) možno považovať za harmonické a cyklickú frekvenciu matematického kyvadla:

, (29)

a obdobie:

. (30)

2.3. Energia tela počas harmonických kmitov

Energia odovzdaná oscilačnému systému počas počiatočného zatlačenia sa bude periodicky transformovať: potenciálna energia deformovanej pružiny sa premení na kinetickú energiu pohybujúceho sa nákladu a späť.

Nechajte pružinové kyvadlo vykonávať harmonické kmity s počiatočnou fázou
, t.j.
(obr. 17).

Obr. 17. Zákon zachovania mechanickej energie

keď kmitá pružinové kyvadlo

Pri maximálnej odchýlke zaťaženia od rovnovážnej polohy sa celková mechanická energia kyvadla (energia deformovanej pružiny s tuhosťou ) rovná sa
. Pri prechode z rovnovážnej polohy (
) potenciálna energia pružiny sa bude rovnať nule a celková mechanická energia oscilačného systému bude určená ako
.

Obrázok 18 znázorňuje grafy závislostí kinetickej, potenciálnej a celkovej energie v prípadoch, keď sú harmonické vibrácie opísané goniometrickými funkciami sínus (prerušovaná čiara) alebo kosínus (plná čiara).

Obr. Grafy časovej závislosti kinetiky

a potenciálna energia počas harmonických kmitov

Z grafov (obr. 18) vyplýva, že frekvencia zmeny kinetickej a potenciálnej energie je dvakrát vyššia ako vlastná frekvencia harmonických kmitov.

Kde k- koeficient pružnosti tela, m- hmotnosť nákladu

Matematické kyvadlo je sústava pozostávajúca z hmotného bodu o hmotnosti m zaveseného na beztiažovom neroztiahnuteľnom závite, ktorý sa kýva vplyvom gravitácie (obr. 5.13b).

Perióda kmitania matematického kyvadla

Kde l je dĺžka matematického kyvadla, g je gravitačné zrýchlenie.

Fyzické kyvadlo sa nazýva pevné teleso, ktoré kmitá vplyvom gravitácie okolo horizontálnej osi zavesenia, ktoré neprechádza ťažiskom telesa (obr. 5.13, c).

,

kde J je moment zotrvačnosti kmitajúceho telesa vzhľadom na os kmitania; d – vzdialenosť ťažiska kyvadla od osi kývania; - zmenšená dĺžka fyzického kyvadla.

Keď sa pridajú dve rovnako smerované harmonické kmity rovnakej periódy, vznikne harmonické kmitanie rovnakej periódy s amplitúda

Výsledná počiatočná fáza získaná pridaním dvoch vibrácií:

, (5.50)

kde A 1 a A 2 sú amplitúdy zložiek vibrácií, φ 1 a φ 2 sú ich počiatočné fázy.

Pri sčítaní dvoch na seba kolmých kmitov rovnakej periódy rovnica trajektórie výsledného pohybu má tvar:

Ak okrem elastickej sily pôsobí na hmotný bod aj trecia sila, kmity budú tlmené a rovnica takýchto kmitov bude mať tvar

, (5.52)

kde sa nazýva koeficient útlmu ( r– koeficient odporu).

Pomer dvoch amplitúd vzdialených od seba v čase rovný perióde sa nazýva

Medzi rôznymi elektrickými javmi zaujímajú osobitné miesto elektromagnetické kmity, pri ktorých sa periodicky menia elektrické veličiny a sú sprevádzané vzájomnými premenami elektrických a magnetických polí. Používa sa na vybudenie a udržanie elektromagnetických kmitov oscilačný obvod– obvod pozostávajúci z tlmivky L zapojenej do série, kondenzátora s kapacitou C a rezistora s odporom R (obr. 5.14).

Perióda T elektromagnetických kmitov v oscilačnom obvode

. (5.54)

Ak je odpor oscilačného obvodu malý, t.j.<<1/LC, то период колебаний колебательного контура определяется Thomsonov vzorec

Ak odpor obvodu R nie je nulový, oscilácie budú blednutiu. V čom potenciálny rozdiel na doskách kondenzátora sa v priebehu času mení podľa zákona

, (5.56)

kde δ je koeficient útlmu, U 0 je hodnota amplitúdy napätia.

Koeficient útlmu oscilácie v oscilačnom obvode

kde L je indukčnosť obvodu, R je odpor.

Logaritmické zníženie tlmenia je pomer dvoch amplitúd vzdialených od seba v čase a rovných perióde

Rezonancia je jav prudkého nárastu amplitúdy vynútených kmitov, keď sa frekvencia hnacej sily ω blíži frekvencii rovnej alebo blízkej vlastnej frekvencii ω 0 oscilačného systému (obr. 5.15.).

Podmienka získania rezonancie:

. (5.59)

Časový úsek, počas ktorého sa amplitúda tlmených kmitov zníži o ečasy, hovorí sa relaxačný čas

Na charakterizáciu útlmu oscilačných obvodov sa často používa hodnota nazývaná faktor kvality obvodu. Faktor kvality obvodu Q je počet úplných kmitov N, vynásobený číslom π, po ktorých sa amplitúda zníži o e raz

. (5.61)

Ak je koeficient tlmenia nula, potom oscilácie nebudú tlmené, Napätie sa zmení podľa zákona

. (5.62)

V prípade jednosmerného prúdu sa pomer napätia k prúdu nazýva odpor vodiča. Podobne pri striedavom prúde pomer amplitúdy aktívnej zložky napätia U A na aktuálnu amplitúdu i 0 sa nazýva aktívny odpor reťaze X

V uvažovanom obvode sa rovná odporu jednosmerného prúdu. Aktívny odpor vždy vytvára teplo.

Postoj

. (5.64)

volal reaktancia obvodu.

Prítomnosť reaktancie v obvode nie je sprevádzaná uvoľňovaním tepla.

Impedancia sa nazýva geometrický súčet aktívneho a reaktívneho odporu

, (5.65)

Kapacita obvodu striedavého prúdu X c sa nazýva vzťah

Indukčná reaktancia

Ohmov zákon pre striedavý prúd napísané vo formulári

kde ja eff a ty eff - efektívne hodnoty prúdu a napätia, spojené s ich amplitúdovými hodnotami vzťahov I 0 a U 0

Ak obvod obsahuje aktívny odpor R, kapacitu C a indukčnosť L zapojené do série, potom fázový posun medzi napätím a prúdom sa určuje podľa vzorca

. (5.70)

Ak sú aktívny odpor R a indukčnosť zapojené paralelne v obvode striedavého prúdu, potom impedancia obvodu sa určuje podľa vzorca

, (5.71)

A fázový posun medzi napätím a prúdom je určený nasledujúcim vzťahom

, (5.72)

kde υ je frekvencia oscilácií.

Napájanie striedavým prúdom je určený nasledujúcim vzťahom

. (5.73)

Vlnová dĺžka súvisí s obdobím nasledujúcim vzťahom

kde c=3·10 8 m/s je rýchlosť šírenia zvuku.

Príklady riešenia problémov

Problém 5.1. Pozdĺž kusu rovného drôtu dĺžky l= 80 cm preteká prúd I = 50 A. Určte magnetickú indukciu B poľa vytvoreného týmto prúdom v bode A, ktorý je rovnako vzdialený od koncov segmentu drôtu a nachádza sa vo vzdialenosti r 0 = 30 cm od jeho stredu.

kde dB je magnetická indukcia vytvorená drôteným prvkom dĺžky d l s prúdom I v bode určenom vektorom polomeru r; μ 0 – magnetická konštanta, μ – magnetická permeabilita prostredia, v ktorom sa drôt nachádza (v našom prípade, keďže médiom je vzduch, μ = 1).

Vektory z rôznych prúdových prvkov sú spoluriadené (obr.), preto výraz (1) možno prepísať do skalárnej formy:

kde α je uhol medzi vektorom polomeru a aktuálny prvok dl.

Dosadením výrazu (4) do (3) dostaneme

Všimnite si, že so symetrickým umiestnením bodu A vzhľadom na segment drôtu cos α 2 = - cos α 1.

Ak to vezmeme do úvahy, vzorec (7) bude mať formu

Dosadením vzorca (9) do (8) dostaneme

Problém 5.2. Dva paralelné nekonečne dlhé vodiče D a C, ktorými pretekajú prúdy v jednom smere, elektrické prúdy sily I = 60 A, sú umiestnené vo vzdialenosti d = 10 cm od seba. Určte magnetickú indukciu poľa vytvoreného vodičmi s prúdom v bode A (obr.), ktorý sa nachádza vo vzdialenosti r 1 = 5 cm od osi jedného vodiča a r 2 = 12 cm od osi druhého.

Veľkosť vektora magnetickej indukcie nájdeme pomocou kosínusovej vety:

kde α je uhol medzi vektormi B1 a B2.

Magnetické indukcie B 1 a B 2 sú vyjadrené prostredníctvom sily prúdu I a vzdialenosti r 1 a r 2 od vodičov k bodu A:

Z obrázku je zrejmé, že α = Ð DAC (ako uhly s príslušnými kolmými stranami).

Z trojuholníka DAC pomocou kosínusovej vety nájdeme cosα

Skontrolujeme, či pravá strana výslednej rovnosti udáva jednotku indukcie magnetického poľa (T)

Výpočty:

Odpoveď: B = 3,08·10 -4 T.

Problém 5.3. Tenkým vodivým prstencom s polomerom R = 10 cm prechádza prúd I = 80 A. Nájdite magnetickú indukciu v bode A, rovnako vzdialenom od všetkých bodov prstenca vo vzdialenosti r = 20 cm.

určený polomerovým vektorom.

kde sa integrácia uskutočňuje cez všetky prvky d l krúžky.

Rozložme vektor dB na dve zložky dB ┴ , kolmé na rovinu prstenca a dB|| , rovnobežne s rovinou prstenca, t.j.

Kde a (od d l je kolmá na r, a preto je sinα = 1).

Ak to vezmeme do úvahy, vzorec (3) bude mať formu

Skontrolujeme, či pravá strana rovnosti (5) udáva jednotku magnetickej indukcie

Výpočty:

Tl.

Odpoveď: B = 6,28·10 -5 T.

Problém 5.4. Dlhý drôt s prúdom I = 50 A je ohnutý pod uhlom α = 2π/3. Určte magnetickú indukciu v bode A (obr. pre úlohu 5.4., a). Vzdialenosť d = 5 cm.

Vektor je kosmerný s vektorom a je určený správnym skrutkovým pravidlom. Na obrázku 5.4.b je tento smer označený krížikom v kruhu (t. j. kolmo na rovinu výkresu, od nás).

Výpočty:

Tl.

Odpoveď: B = 3,46·10 -5 T.

Problém 5.5. Dva nekonečne dlhé drôty sú prekrížené v pravom uhle (obr. pre úlohu 5.5., A). Vodičmi tečú prúdy I 1 = 80 A a I 2 = 60 A. Vzdialenosť d medzi vodičmi je 10 cm Určte magnetickú indukciu B v bode A rovnako vzdialenom od oboch vodičov.

Dané: I 1 = 80 A I 2 = 60 A d = 10 cm = 0,1 m	Riešenie: V súlade s princípom superpozície magnetických polí bude magnetická indukcia v bode A rovná geometrickému súčtu magnetických indukcií a vytvorených prúdmi I 1 a I 2.
Nájsť: B - ?

Z obrázku vyplýva, že vektory B 1 a B 2 sú navzájom kolmé (ich smery nájdeme podľa gimletovho pravidla a na obrázku k úlohe 5.5., b) sú znázornené v dvoch priemetoch.

Sila magnetického poľa podľa (5.8) vytvoreného nekonečne dlhým priamym vodičom,

kde μ je relatívna magnetická permeabilita média (v našom prípade μ = 1).

Dosadením vzorca (2) do (3) nájdeme magnetické indukcie B 1 a B 2 vytvorené prúdmi I 1 a I 2

Nahradením vzorca (4) za (1) dostaneme

Pozrime sa, či pravá strana výslednej rovnosti udáva jednotku magnetickej indukcie (T):

Výpočty:

Tl.

Odpoveď: B = 4·10 -6 T.

Problém 5.6. Nekonečne dlhý drôt je ohnutý, ako je znázornené na obrázku pre úlohu 5.6, A. Polomer R oblúk kruhu je 10 cm Určte magnetickú indukciu poľa vytvoreného v bode O prúd I = 80 A pretekajúci týmto vodičom.

V našom prípade môže byť drôt rozdelený na tri časti (obr. pre úlohu 5.6, b): dva priame drôty (1 a 3), s jedným koncom idúcim do nekonečna, a polkruhový oblúk (2) s polomerom R.

Vzhľadom na to, že vektory sú nasmerované v súlade s gimletovým pravidlom kolmo na rovinu kreslenia od nás, geometrický súčet môže byť nahradený algebraickým:

V našom prípade je magnetické pole v bode O vytvorené iba polovicou takého kruhového prúdu

V našom prípade r 0 = R, α 1 = π/2 (cos α 1 = 0), α 2 → π (cos α 2 = -1).

Pozrime sa, či pravá strana výslednej rovnosti udáva jednotku magnetickej indukcie (T):

Výpočty:

Tl.

Odpoveď: B = 3,31·10 -4 T.

Problém 5.7. Pozdĺž dvoch rovnobežných priamych drôtov dĺžky l= 2,5 cm každý, umiestnený vo vzdialenosti d= 20 cm od seba tečú rovnaké prúdy I = 1 kA. Vypočítajte silu interakcie medzi prúdmi.

Prúd I 1 vytvára magnetické pole v mieste druhého vodiča (s prúdom I 2). Nakreslíme magnetickú indukčnú čiaru (na obrázku bodkovaná čiara) cez druhý vodič a dotyčnicu k nemu - vektor magnetickej indukcie B 1.

Obrázok k problému 5.7

Modul magnetickej indukcie B 1 je určený vzťahom

Keďže vektor d l je kolmá na vektor B1, potom sin(d l,B) = 1 a potom

Zistíme silu F interakcie drôtov s prúdom integráciou:

Skontrolujeme, či pravá strana výslednej rovnosti udáva jednotku sily (N):

Kalkulácia:

N.

Odpoveď: F = 2,5 N.

Keďže Lorentzova sila je kolmá na vektor rýchlosti, udelí častici (protónu) normálne zrýchlenie. a n.

Podľa druhého Newtonovho zákona

,

(1)

kde m je hmotnosť protónu.

Obrázok kombinuje trajektóriu protónov s rovinou kreslenia a udáva (ľubovoľne) smer vektora. Nasmerujme Lorentzovu silu kolmo na vektor do stredu kruhu (vektory a n a Fl sú spoluriadené). Pravidlom ľavej ruky určíme smer magnetických siločiar (smer vektora).

Vlastnosti pružinového kyvadla

Definícia 1

Ideálne pružinové kyvadlo je pružina, ktorej hmotnosť sa dá zanedbať, s telesom s bodovým závažím. V tomto prípade je jeden alebo oba konce pružiny pevné a trecia sila môže byť zanedbaná.

Takúto konštrukciu možno považovať len za matematický model. Príklady skutočných pružinových kyvadiel (valcové špirály navinuté z elastického drôtu) sú všetky druhy zariadení, ktoré tlmia vibrácie: tlmiče, odpruženia, pružiny atď. Pružinové kyvadlá, aj keď trochu iného dizajnu (v podobe plochých špirálok), sa používajú v mechanických hodinkách.

Vlastnosti pružín závisia od látky, z ktorej sú vyrobené (spravidla ide o špeciálnu pružinovú oceľ), od priemeru drôtu, tvaru jeho prierezu, priemeru pružinového valca a jeho dĺžky. . Tieto ukazovatele spolu určujú kľúčovú charakteristiku pružiny - jej tuhosť.

Pružina ukladá energiu počas pozdĺžneho rozťahovania alebo stláčania v dôsledku elastických deformácií v kryštálovej mriežke jej látky.

Poznámka 1

Pri prílišnom natiahnutí alebo stlačení stráca materiál pružiny svoje elastické vlastnosti. Táto deformácia sa nazýva plastická alebo zvyšková.

Vzorec na výpočet frekvencie kmitov

Ak je pružina s na ňu pripevneným zaťažením vystavená pozdĺžnej elastickej deformácii a potom uvoľnená, začne vykonávať vratné harmonické kmity, počas ktorých je pohyb zaťaženia, ktoré je k nej pripojené, opísaný vzorcom:

$x = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t + \phi)$

Tu je $A$ amplitúda kmitov, $\phi$ je počiatočná fáza, $\omega_0$ je vlastná cyklická frekvencia kmitov pružinového kyvadla, vypočítaná ako

$\omega_0 = \sqrt(\frac(k)(m))$ > 0 $,

• $k$ - tuhosť pružiny,
• $m$ je hmotnosť telesa, ktoré je k nemu pripojené.

Cyklická frekvencia sa líši v tom, že charakterizuje nie počet úplných cyklov za jednotku času, ale počet radiánov, ktoré „prejde“ bod oscilujúci podľa harmonického zákona.

Perióda kmitania pružinového kyvadla sa vypočíta ako

Voľné vibrácie sa uskutočňujú pod vplyvom vnútorných síl sústavy potom, čo sa sústava dostala z rovnovážnej polohy.

Za účelom dochádza k voľným vibráciám podľa harmonického zákona, je potrebné, aby sila smerujúca k návratu telesa do rovnovážnej polohy bola úmerná vychýleniu telesa z rovnovážnej polohy a smerovala v smere opačnom k ​​posunutiu (pozri §2.1 ):

Sily akejkoľvek inej fyzikálnej povahy, ktoré spĺňajú túto podmienku, sa nazývajú kvázi elastické .

Teda náklad nejakej hmoty m, pripevnený k výstužnej pružine k 2.2.1, ktorých druhý koniec je pevne pripevnený (obr. 2.2.1), tvoria systém schopný vykonávať voľné harmonické kmity bez trenia. Zaťaženie pružiny sa nazýva lineárne harmonické oscilátor.

Kruhová frekvencia ω 0 voľných kmitov zaťaženia pružiny sa zistí z druhého Newtonovho zákona:

Keď je systém pružinového zaťaženia umiestnený horizontálne, gravitačná sila pôsobiaca na zaťaženie je kompenzovaná reakčnou silou podpory. Ak je bremeno zavesené na pružine, potom gravitačná sila smeruje pozdĺž línie pohybu bremena. V rovnovážnej polohe je pružina natiahnutá o určitú hodnotu X 0 sa rovná

Preto druhý Newtonov zákon pre zaťaženie pružiny možno napísať ako

Nazýva sa rovnica (*). rovnica voľných vibrácií . Je potrebné poznamenať, že fyzikálne vlastnosti oscilačného systému určiť len vlastnú frekvenciu kmitov ω 0 alebo periódu T . Parametre oscilačného procesu, ako je amplitúda X m a počiatočná fáza φ 0 sú určené spôsobom, akým bol systém uvedený z rovnováhy v počiatočnom časovom okamihu.

Ak by sa napríklad zaťaženie posunulo z rovnovážnej polohy o vzdialenosť Δ l a potom v určitom časovom bode t= 0 uvoľnené bez počiatočnej rýchlosti, potom X m = A l, φ 0 = 0.

Ak zaťaženie, ktoré bolo v rovnovážnej polohe, dostalo počiatočnú rýchlosť ± υ 0 pomocou prudkého zatlačenia, potom

Teda amplitúda X určuje sa m voľných kmitov a jeho počiatočná fáza φ 0 počiatočné podmienky .

Existuje mnoho typov mechanických oscilačných systémov, ktoré využívajú elastické deformačné sily. Na obr. Obrázok 2.2.2 ukazuje uhlový analóg lineárneho harmonického oscilátora. Vodorovne umiestnený kotúč visí na elastickom vlákne pripevnenom k ​​jeho ťažisku. Keď sa disk pootočí o uhol θ, nastane moment sily M kontrola elastickej torznej deformácie:

Kde ja = ja C je moment zotrvačnosti disku voči osi prechádzajúcej ťažiskom, ε je uhlové zrýchlenie.

Analogicky so zaťažením pružiny môžete získať:

Voľné vibrácie. Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo nazývané malé teleso zavesené na tenkej neroztiahnuteľnej niti, ktorého hmotnosť je v porovnaní s hmotnosťou telesa zanedbateľná. V rovnovážnej polohe, keď kyvadlo visí kolmo, je gravitačná sila vyvážená napínacou silou nite. Keď sa kyvadlo vychýli z rovnovážnej polohy o určitý uhol φ, objaví sa tangenciálna zložka gravitácie F τ = - mg sin φ (obr. 2.3.1). Znamienko mínus v tomto vzorci znamená, že tangenciálna zložka smeruje v smere opačnom k ​​vychýleniu kyvadla.

Ak označíme podľa X lineárny posun kyvadla z rovnovážnej polohy po oblúku kružnice s polomerom l, potom sa jeho uhlové posunutie bude rovnať φ = X / l. Druhý Newtonov zákon, napísaný pre projekcie vektorov zrýchlenia a sily na smer dotyčnice, dáva:

Tento vzťah ukazuje, že matematické kyvadlo je komplex nelineárne systém, pretože sila, ktorá má tendenciu vrátiť kyvadlo do rovnovážnej polohy, nie je úmerná posunutiu X, A

Iba v prípade malé výkyvy, kedy približne možno nahradiť matematickým kyvadlom je harmonický oscilátor, teda systém schopný vykonávať harmonické kmity. V praxi táto aproximácia platí pre uhly rádovo 15-20°; v tomto prípade sa hodnota nelíši o viac ako 2 %. Kmity kyvadla pri veľkých amplitúdach nie sú harmonické.

Pre malé kmity matematického kyvadla je v tvare zapísaný druhý Newtonov zákon

Tento vzorec vyjadruje vlastná frekvencia malých kmitov matematického kyvadla .

teda

Každé teleso namontované na vodorovnej osi otáčania je schopné voľne oscilovať v gravitačnom poli, a preto je tiež kyvadlom. Takéto kyvadlo sa zvyčajne nazýva fyzické (obr. 2.3.2). Od matematického sa líši len rozložením hmotností. V stabilnej rovnovážnej polohe ťažisko C fyzické kyvadlo je umiestnené pod osou otáčania O na vertikále prechádzajúcej osou. Keď sa kyvadlo vychýli o uhol φ, vznikne moment gravitácie, ktorý má tendenciu vrátiť kyvadlo do rovnovážnej polohy:

a druhý Newtonov zákon pre fyzické kyvadlo má tvar (pozri § 1.23)

Tu ω 0 - vlastná frekvencia malých kmitov fyzikálneho kyvadla .

teda

Preto rovnica vyjadrujúca druhý Newtonov zákon pre fyzikálne kyvadlo môže byť napísaná vo forme

Nakoniec pre kruhovú frekvenciu ω 0 voľných kmitov fyzického kyvadla získame nasledujúci výraz:

Premeny energie počas voľných mechanických vibrácií

Počas voľných mechanických vibrácií sa kinetická a potenciálna energia periodicky mení. Pri maximálnej odchýlke telesa od jeho rovnovážnej polohy zaniká jeho rýchlosť, a teda aj kinetická energia. V tejto polohe dosiahne potenciálna energia kmitajúceho telesa svoju maximálnu hodnotu. Pre zaťaženie pružiny je potenciálna energia energiou pružnej deformácie pružiny. Pre matematické kyvadlo je to energia v gravitačnom poli Zeme.

Keď teleso v pohybe prechádza rovnovážnou polohou, jeho rýchlosť je maximálna. Teleso prestrelí rovnovážnu polohu podľa zákona zotrvačnosti. V tomto momente má maximálnu kinetickú a minimálnu potenciálnu energiu. K zvýšeniu kinetickej energie dochádza v dôsledku poklesu potenciálnej energie. Pri ďalšom pohybe sa potenciálna energia začína zvyšovať v dôsledku poklesu kinetickej energie atď.

Pri harmonických kmitoch teda dochádza k periodickej premene kinetickej energie na potenciálnu energiu a naopak.

Ak v oscilačnom systéme nedochádza k treniu, potom celková mechanická energia počas voľných oscilácií zostáva nezmenená.

Pre pružinové zaťaženie(pozri § 2.2):

V reálnych podmienkach je akýkoľvek oscilačný systém pod vplyvom trecích síl (odpor). V tomto prípade sa časť mechanickej energie premení na vnútornú energiu tepelného pohybu atómov a molekúl a vibrácie sa stanú blednutiu (obr. 2.4.2).

Rýchlosť tlmenia vibrácií závisí od veľkosti trecích síl. Časový interval τ, počas ktorého klesá amplitúda kmitov v e≈ 2,7-krát, volaný čas rozpadu .

Frekvencia voľných kmitov závisí od rýchlosti, akou kmity doznievajú. Keď sa trecie sily zvyšujú, prirodzená frekvencia klesá. Zmena vlastnej frekvencie sa však prejaví až pri dostatočne veľkých trecích silách, keď prirodzené vibrácie rýchlo ustupujú.

Dôležitou charakteristikou oscilačného systému vykonávajúceho voľné tlmené oscilácie je faktor kvality Q. Tento parameter je definovaný ako číslo N celkové oscilácie vykonané systémom počas doby tlmenia τ, vynásobené π:

Faktor kvality teda charakterizuje relatívnu stratu energie v oscilačnom systéme v dôsledku prítomnosti trenia počas časového intervalu, ktorý sa rovná jednej perióde oscilácie.

Nútené vibrácie. Rezonancia. Vlastné oscilácie

Oscilácie vyskytujúce sa pod vplyvom vonkajšej periodickej sily sa nazývajú nútený.

Vonkajšia sila vykonáva pozitívnu prácu a zabezpečuje tok energie do oscilačného systému. Nedovoľuje, aby vibrácie vymizli napriek pôsobeniu trecích síl.

Periodická vonkajšia sila sa môže časom meniť podľa rôznych zákonov. Zvlášť zaujímavý je prípad, keď vonkajšia sila, meniaca sa podľa harmonického zákona s frekvenciou ω, pôsobí na oscilačný systém schopný vykonávať vlastné oscilácie pri určitej frekvencii ω 0.

Ak sa voľné kmity vyskytujú pri frekvencii ω 0, ktorá je určená parametrami systému, potom sa stále vynútené kmity vyskytujú vždy pri frekvencia ω vonkajšia sila.

Potom, čo vonkajšia sila začne pôsobiť na oscilačný systém, nejaký čas Δ t na vytvorenie nútených kmitov. Čas ustálenia sa rádovo rovná času tlmenia τ voľných kmitov v oscilačnom systéme.

V počiatočnom momente sú v oscilačnom systéme vybudené oba procesy - vynútené kmity s frekvenciou ω a voľné kmity s vlastnou frekvenciou ω 0. Voľné vibrácie sú však tlmené v dôsledku nevyhnutnej prítomnosti trecích síl. Preto po určitom čase v oscilačnom systéme zostanú len stacionárne kmity s frekvenciou ω vonkajšej hnacej sily.

Uvažujme ako príklad vynútené kmity telesa na pružine (obr. 2.5.1). Vonkajšia sila pôsobí na voľný koniec pružiny. Núti voľný (na obr. 2.5.1 vľavo) koniec pružiny pohybovať sa podľa zákona

Ak je ľavý koniec pružiny posunutý o vzdialenosť r, a ten pravý - do diaľky X z ich pôvodnej polohy, keď bola pružina nedeformovaná, potom predĺženie pružiny Δ l rovná sa:

V tejto rovnici je sila pôsobiaca na teleso znázornená ako dva pojmy. Prvý člen na pravej strane je elastická sila, ktorá má tendenciu vrátiť telo do rovnovážnej polohy ( X= 0). Druhým pojmom je vonkajší periodický účinok na telo. Tento termín je tzv donucovacej sily.

Rovnica vyjadrujúca druhý Newtonov zákon pre teleso na pružine za prítomnosti vonkajšieho periodického vplyvu môže dostať striktný matematický tvar, ak vezmeme do úvahy vzťah medzi zrýchlením telesa a jeho súradnicou: Potom sa zapíše do formulára

Rovnica (**) nezohľadňuje pôsobenie trecích síl. Na rozdiel od rovnice voľných vibrácií(*) (pozri § 2.2) rovnica nútenej oscilácie(**) obsahuje dve frekvencie - frekvenciu ω 0 voľných kmitov a frekvenciu ω hnacej sily.

Ustálené vynútené kmity záťaže na pružine sa vyskytujú pri frekvencii vonkajších vplyvov podľa zákona

X(t) = X mcos(ω t + θ).

Amplitúda vynútených kmitov X m a počiatočná fáza θ závisia od pomeru frekvencií ω 0 a ω a od amplitúdy r m vonkajšia sila.

Pri veľmi nízkych frekvenciách, keď ω<< ω 0 , движение тела массой m, pripevnený k pravému koncu pružiny, opakuje pohyb ľavého konca pružiny. V čom X(t) = r(t) a pružina zostáva prakticky nedeformovaná. Vonkajšia sila pôsobiaca na ľavý koniec pružiny nevykoná žiadnu prácu, pretože modul tejto sily pri ω<< ω 0 стремится к нулю.

Ak sa frekvencia ω vonkajšej sily priblíži k vlastnej frekvencii ω 0, dôjde k prudkému zvýšeniu amplitúdy vynútených kmitov. Tento jav sa nazýva rezonancia . Amplitúdová závislosť X m vynútených kmitov od frekvencie ω hnacej sily sa nazýva rezonančná charakteristika alebo rezonančná krivka(obr. 2.5.2).

Pri rezonancii amplitúda X m kmitov záťaže môže byť mnohonásobne väčšia ako amplitúda r m vibrácie voľného (ľavého) konca pružiny spôsobené vonkajším vplyvom. Pri absencii trenia by sa amplitúda vynútených kmitov počas rezonancie mala zvyšovať bez obmedzenia. V reálnych podmienkach je amplitúda ustálených vynútených kmitov určená podmienkou: práca vonkajšej sily počas periódy kmitania sa musí rovnať strate mechanickej energie počas rovnakého času v dôsledku trenia. Čím menšie trenie (t. j. vyšší faktor kvality Q oscilačný systém), tým väčšia je amplitúda vynútených kmitov pri rezonancii.

V oscilačných systémoch s nie príliš vysokým faktorom kvality (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Fenomén rezonancie môže spôsobiť deštrukciu mostov, budov a iných stavieb, ak sa vlastné frekvencie ich kmitov zhodujú s frekvenciou periodicky pôsobiacej sily, ktorá vzniká napríklad rotáciou nevyváženého motora.

Nútené vibrácie sú netlmené výkyvy. Nevyhnutné straty energie v dôsledku trenia sú kompenzované dodávkou energie z externého zdroja periodicky pôsobiacej sily. Existujú systémy, v ktorých netlmené kmity nevznikajú v dôsledku periodických vonkajších vplyvov, ale v dôsledku schopnosti takýchto systémov regulovať dodávku energie z konštantného zdroja. Takéto systémy sú tzv samooscilujúce, a proces netlmených oscilácií v takýchto systémoch je samooscilácie . V samokmitajúcom systéme možno rozlíšiť tri charakteristické prvky - oscilačný systém, zdroj energie a spätnoväzbové zariadenie medzi oscilačným systémom a zdrojom. Ako oscilačný systém možno použiť akýkoľvek mechanický systém schopný vykonávať vlastné tlmené kmity (napríklad kyvadlo nástenných hodín).

Zdrojom energie môže byť deformačná energia pružiny alebo potenciálna energia záťaže v gravitačnom poli. Spätnoväzbové zariadenie je mechanizmus, ktorým samooscilačný systém reguluje tok energie zo zdroja. Na obr. 2.5.3 je znázornená schéma interakcie rôznych prvkov samooscilačného systému.

Príkladom mechanického samooscilačného systému je hodinový mechanizmus s Kotva pokrok (obr. 2.5.4). Pobehové koleso so šikmými zubami je pevne pripevnené k ozubenému bubnu, cez ktorý sa prehadzuje reťaz so závažím. Na hornom konci je kyvadlo upevnené Kotva(kotva) s dvoma doskami z pevného materiálu, zahnutými do kruhového oblúka so stredom na osi kyvadla. V ručičkových hodinkách je závažie nahradené pružinou a kyvadlo je nahradené vyvažovačom - ručným kolieskom spojeným so špirálovou pružinou. Balancér vykonáva torzné vibrácie okolo svojej osi. Oscilačný systém v hodinách je kyvadlo alebo vyvažovač.

Zdrojom energie je zdvihnuté závažie alebo navinutá pružina. Zariadenie slúžiace na poskytovanie spätnej väzby je kotva, ktorá umožňuje bežiacemu kolesu otočiť jeden zub v jednom polcykle. Spätnú väzbu poskytuje interakcia kotvy s pojazdovým kolesom. Pri každom kývaní kyvadla zub pojazdového kolesa tlačí kotviacu vidlicu v smere pohybu kyvadla a prenáša na ňu určitú časť energie, ktorá kompenzuje energetické straty spôsobené trením. Potenciálna energia závažia (alebo skrútenej pružiny) sa tak postupne v jednotlivých častiach prenáša na kyvadlo.

Mechanické samooscilačné systémy sú rozšírené v živote okolo nás a v technike. K samokmitaniu dochádza v parných strojoch, spaľovacích motoroch, elektrických zvonoch, strunách sláčikových hudobných nástrojov, vzduchových stĺpcoch v píšťalách dychových nástrojov, hlasivkách pri hovorení alebo speve atď.

Obrázok 2.5.4. Hodinový mechanizmus s kyvadlom.

Vibrácie masívneho telesa spôsobené pôsobením elastickej sily

Animácia

Popis

Keď na masívne teleso pôsobí elastická sila, ktorá ho vracia do rovnovážnej polohy, osciluje okolo tejto polohy.

Takéto teleso sa nazýva pružinové kyvadlo. Oscilácie sa vyskytujú pod vplyvom vonkajšej sily. Oscilácie, ktoré pokračujú po tom, čo vonkajšia sila prestane pôsobiť, sa nazývajú voľné. Kmity spôsobené pôsobením vonkajšej sily sa nazývajú vynútené. V tomto prípade sa samotná sila nazýva vynucovanie.

V najjednoduchšom prípade je pružinové kyvadlo tuhé teleso pohybujúce sa po vodorovnej rovine, pripevnené pružinou k stene (obr. 1).

Pružinové kyvadlo

Ryža. 1

Priamočiary pohyb telesa je opísaný závislosťou jeho súradníc od času:

x = x(t). (1)

Ak sú známe všetky sily pôsobiace na príslušné teleso, potom je možné túto závislosť stanoviť pomocou druhého Newtonovho zákona:

md 2 x /dt 2 = SF, (2)

kde m je telesná hmotnosť.

Pravá strana rovnice (2) je súčtom priemetov na os x všetkých síl pôsobiacich na teleso.

V posudzovanom prípade hrá hlavnú úlohu elastická sila, ktorá je konzervatívna a môže byť reprezentovaná vo forme:

F (x) = - dU (x)/dx, (3)

kde U = U (x) je potenciálna energia deformovanej pružiny.

Nech x je predĺženie pružiny. Experimentálne sa zistilo, že pri malých hodnotách relatívneho predĺženia pružiny, t.j. za predpokladu, že:

½ x ½<< l ,

kde l je dĺžka nedeformovanej pružiny.

Nasledujúci vzťah je približne pravdivý:

U (x) = k x 2 /2, (4)

kde koeficient k sa nazýva tuhosť pružiny.

Z tohto vzorca vyplýva nasledujúci výraz pre elastickú silu:

F (x) = - kx. (5)

Tento vzťah sa nazýva Hookov zákon.

Okrem elastickej sily môže na teleso pohybujúce sa po rovine pôsobiť aj trecia sila, ktorá je uspokojivo opísaná empirickým vzorcom:

F tr = - r dx /dt , (6)

kde r je koeficient trenia.

Berúc do úvahy vzorce (5) a (6), rovnicu (2) možno napísať takto:

md 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = F (t), (7)

kde F(t) je vonkajšia sila.

Ak na teleso pôsobí iba Hookeova sila (5), potom budú voľné vibrácie telesa harmonické. Takéto teleso sa nazýva harmonické pružinové kyvadlo.

Druhý Newtonov zákon v tomto prípade vedie k rovnici:

d 2 x /dt 2 + w 0 2 x = 0, (8)

w 0 = sqrt(k/m) (9)

Oscilačná frekvencia.

Všeobecné riešenie rovnice (8) má tvar:

x (t) = A cos (w 0 t + a), (10)

kde amplitúda A a počiatočná fáza a sú určené počiatočnými podmienkami.

Keď na predmetné teleso pôsobí iba elastická sila (5), jeho celková mechanická energia sa v priebehu času nemení:

mv 2 / 2 + k x 2 /2 = konšt. (jedenásť)

Toto tvrdenie tvorí obsah zákona zachovania energie harmonického pružinového kyvadla.

Predpokladajme, že okrem pružnej sily, ktorá ho vracia do rovnovážnej polohy, pôsobí na masívne teleso aj trecia sila. V tomto prípade sa voľné vibrácie tela excitovaného v určitom časovom bode časom znížia a telo bude mať tendenciu k rovnovážnej polohe.

V tomto môže byť druhý Newtonov zákon (7) napísaný takto:

md 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = 0, (12)

kde m je telesná hmotnosť.

Všeobecné riešenie rovnice (12) má tvar:

x(t) = a exp(- b t )cos (w t + a), (13)

w = sqrt(w o 2 - b 2 ) (14)

Oscilačná frekvencia

b = r / 2 m (15)

Koeficient tlmenia kmitania, amplitúda a a počiatočná fáza a sú určené počiatočnými podmienkami. Funkcia (13) popisuje takzvané tlmené kmitanie.

Celková mechanická energia pružinového kyvadla, t.j. súčet jeho kinetických a potenciálnych energií

E = m v 2 / 2 + kx 2 / 2 (16)

v priebehu času sa mení podľa zákona:

dE/dt = P, (17)

kde P = - rv 2 - sila trecej sily, t.j. energie premenená na teplo za jednotku času.

Časovacie charakteristiky

iniciačný čas (log na -3 až -1);

Životnosť (log tc od 1 do 15);

Čas degradácie (log td od -3 do 3);

Čas optimálneho vývoja (log tk od -3 do -2).