Počiatočné geometrické informácie

Koncepcia segmentu, ako aj koncept bodu, rovného, \u200b\u200bray a uhlu, sa vzťahuje na počiatočné geometrické informácie. Štúdia geometrie začína uvedenými konceptmi.

Pod "primárnymi informáciami" zvyčajne chápu niečo základné a jednoduché. V porozumení, možno to je. Takéto jednoduché koncepty sa však často nachádzajú a sú potrebné nielen v našom každodennom živote, ale aj vo výrobe, výstavbe a iných oblastiach našich živobytie.

Začnime s definíciami.

Definícia 1.

Segment je súčasťou priameho, obmedzeného na dva body (konce).

Ak sú segmenty segmentu body $ A $ a $ B $, výsledný segment je napísaný ako $ AB $ alebo $ BA $. Tento segment patrí do bodov $ A $ a $ B $, ako aj všetky body priamo ležiace medzi týmito bodmi.

Definícia 2.

Stred segmentu je bod segmentu, ktorý ho rozdeľuje do polovice do dvoch rovnakých segmentov.

Ak je to bod $ c, potom $ AC \u003d CB $.

Meranie segmentu sa vyskytuje s porovnaním s určitým segmentom prijatým na jednotku merania. Najčastejšie používaný centimeter. Ak je v danom segmente, centimeter je naskladaný presne štyrikrát, potom to znamená, že dĺžka tohto segmentu je 4 $ cm.

Predstavujeme jednoduché pozorovanie. Ak bod rozdeľuje segment na dve segmenty, potom sa dĺžka celého segmentu rovná súčtu dĺžok týchto segmentov.

Vzorec na nájdenie súradníc stredu segmentu

Vzorec na nájdenie súradnice stredu segmentu sa vzťahuje na priebeh analytickej geometrie v rovine.

Dávame definíciu súradníc.

Definícia 3.

Súradnice sú určité (alebo objednané) čísla, ktoré ukazujú polohu bodu v rovine, na povrchu alebo v priestore.

V našom prípade sú súradnice uvedené v rovine definovanej súradnicovými osami.

Obrázok 3. Súradnicová rovina. AUTOR24 - Student Internet Exchange

Popisujeme obrázok. Lietadlo si vybral bod nazývaný začiatok súradníc. Je označený písmenom $ o $. Prostredníctvom začiatku súradníc, dve rovné (súradnicové osi), pretínajúce sa v pravom uhle, a jeden z nich je prísne horizontálny a druhý je vertikálny. Toto ustanovenie sa považuje za obvyklé. Horizontálna priama sa nazýva os Abscissu a je označený o $ ox $ vertikálny - majiteľ $ OY $.

Takže osi určujú rovinu $ xoy $.

Súradnice bodov v takomto systéme sú určené dvoma číslami.

Existujú rôzne vzorce (rovnice), ktoré určujú tie alebo iné súradnice. Zvyčajne, rôzne vzorce priamych, uhlov, dĺžky segmentu a iné študujú analytickú geometriu.

Zapneme okamžite na súradnicový vzorec stredu segmentu.

Definícia 4.

Ak sú súradnice bodu $ e (x, y) $, je uprostred segmentu $ M_1M_2 $, potom:

Obrázok 4. Vzorec na nájdenie súradnice stredu segmentu. AUTOR24 - Student Internet Exchange

Praktická časť

Príklady zo školského roka geometrie sú pomerne jednoduché. Zvážte niekoľko základných.

Pre lepšie porozumenie zvážte pre začiatok základného vizuálneho príkladu.

Príklad 1.

Máme kreslenie:

Na obrázku, segmenty $ AC, CD, DE, EB $ sú rovnaké.

1. Stredné Aké segmenty je bod $ D $?
2. Aký bod je uprostred segmentu $ db $?

1. $ D $ je uprostred $ AB $ a $ CE $;
2. bod $ e $.

Zvážte ďalší jednoduchý príklad, v ktorom potrebujete vypočítať dĺžku.

Príklad 2.

$ B $ je uprostred segmentu $ AC $. $ AB \u003d 9 $ Pozrite sa, čo je $ AC Dĺžka?

Od t. $ B $ rozdeľuje $ AC $ na polovicu, potom $ AB \u003d BC \u003d 9 $ cm. SO $ AC \u003d 9 + 9 \u003d $ 18 cm.

Odpoveď: 18 cm.

Ďalšie podobné príklady sú zvyčajne identické a zamerané na zručnosť na porovnanie dĺžky dĺžky a ich zastúpenie s algebraickými akciami. Často v úlohách existujú prípady, keď centimeter nehodí hladký počet krát v segmente. Potom je jednotka merania rozdelená na rovnaké časti. V našom prípade je centimeter rozdelený na 10 milimetrov. Samostatne merať zvyšok, porovnanie s milimetrom. Uvedeme príklad preukázať takýto prípad.

Po starostlivej práci som sa zrazu všimol, že veľkosť webových stránok je dostatočne veľká, a ak ide ďalej, potom môžete pokojne peel pokojne \u003d) preto prinášam vašu pozornosť malú esej, ktorá sa venovala veľmi bežnej geometrickej úlohe - o rozdelení segmentu v tomto ohľadea ako osobitný prípad, o rozdelení segmentu na polovicu.

Túto úlohu z jedného dôvodu alebo iného nezodpovedala do iných lekcií, ale teraz je tu úžasná príležitosť na to, aby to podrobne a pokojné. Príjemné správy je, že budeme trochu odpočívať z vektorov a sústrediť sa na body a segmenty.

V tejto súvislosti

Koncept rozdelenia segmentu v tomto ohľade

Často, sľúbené čakať vôbec, budem okamžite zvážiť pár bodov a zjavných neuveriteľných - strih:

Posudzovaný problém je platný pre segmenty lietadla a pre segmenty priestoru. To znamená, že demonštračný segment môže byť umiestnený na rovine alebo vo vesmíre. Pre pohodlie vysvetlenia som ho horizontálne vytiahol.

Čo budeme robiť s týmto segmentom? Tentoraz znížiť. Niekto videl rozpočet, niekto videl manžela, niekto, kto by mal palivové drevo, a začneme rezať segment na dve časti. Segment je rozdelený na dve časti s určitým bodom, ktorý je zrozumiteľný, ktorý sa nachádza priamo na ňom:

V tomto príklade bod rozdeľuje segment takým spôsobom, že segment je dvakrát krátkodobý ako segment. Stále môžete povedať, že bod rozdeľuje segment smerom k ("jeden až dva"), počítanie zhora.

Na suchom matematickom jazyku je táto skutočnosť napísaná takto:, alebo častejšie vo forme známeho podielu :. \\ T Podiel segmentov sa vykonáva na štandardne označujú grécky list "Lambda", v tomto prípade :. \\ T

Podiel je ľahko zostavený v inom poradí: - Tento záznam znamená, že segment je dvakrát tak dlho, ako segment, ale nemá žiadnu zásadnú hodnotu na riešenie problémov. Môžete tak, a tak možné.

Samozrejme, segment sa ľahko rozdelí do nejakého iného vzťahu, a ako konsolidácia koncepcie, druhý príklad:

Pomer je tu TRUE :. Ak urobíte podiel naopak, potom dostaneme :.

Potom, čo sme prišli na to, čo to znamená rozdeliť segment v tomto ohľade, obráťme sa na zváženie praktických úloh.

Ak sú známe dva roviny bodov, súradnice bodu, ktoré rozdeľujú segment vo vzťahu k, je vyjadrený vzorcami:

Odkiaľ pochádza vzorce? V priebehu analytickej geometrie sa tieto vzorce striktne zobrazujú pomocou vektorov (kde inde bez nich? \u003d)). Okrem toho platia nielen pre karteziánsky súradnicový systém, ale aj pre ľubovoľnú afinitnú súradnicu (pozri lekciu Lineárna (nie) vektorová závislosť. Základné vektory). Taká univerzálna úloha.

Príklad 1.

Nájdite súradnice bodu deliaceho segmentu vo vzťahu k tomu, ak sú body známe

Rozhodnutie: V tejto úlohe. Podľa divízie vzorcov v tomto ohľade nájdeme bod:

Odpoveď:

Venujte pozornosť technike výpočtu: Najprv je potrebné samostatne vypočítať čitateľ a oddelene denominátor. Výsledkom je, že často (ale nie vždy) je trojcestným alebo štvorpodlažnou frakciou. Potom sa zbavujeme oddanosti zlomku a vykonávať konečné zjednodušenia.

Úloha nie je potrebná na vytvorenie výkresu, ale je vždy užitočné vykonávať ho na návrhu:

Skutočne sa pomer vykonáva, to znamená, že segment je trikrát kratší segment. Ak je podiel nie je zrejmý, potom sa segmenty môžu vždy merať obvyklým vládcom.

Vyrovnaný druhý spôsob riešenia: V ňom, počítanie začína z bodu a je spravodlivý postojom: (Ľudské slová, trikrát dlhšie ako segment). Podľa divízie vzorcov segmentu v tomto ohľade:

Odpoveď:

Všimnite si, že vo vzorcoch je potrebné presunúť bod súradnice na prvé miesto, pretože s ním spustil malý thriller.

Je tiež vidieť, že druhá metóda je racionálna z dôvodu jednoduchšieho výpočtu. Táto úloha je stále častejšie riešená v "tradičnom" objednávke. Napríklad, ak je stav uvedený segment, predpokladá sa, že ste podiel, ak je uvedený segment, potom "hrubý" znamená podiel.

A druhá metóda som priniesol z dôvodu, že problém úlohy sa často snaží úmyselne. Preto je veľmi dôležité vykonať návrh výkresu, aby najprv správne analyzovať stav, a po druhé, aby sa overilo. Je to škoda, aby sa chyby v takejto jednoduchej úlohe.

Príklad 2.

Body . Nájsť:

a) bod rozdelenie segmentu vo vzťahu k;
b) bod rozdelenie segmentu vo vzťahu.

Toto je príklad pre nezávislé riešenie. Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Niekedy existujú úlohy, kde jeden z koncov segmentu nie je známy:

Príklad 3.

Bod patrí do segmentu. Je známe, že segment je dvakrát dlhší ako segment. Nájdite bod, ak .

RozhodnutieZ tohto dôvodu vyplýva, že bod rozdeľuje segment vo vzťahu k, počítanie zhora, to znamená, že podiel je platný :. Podľa divízie vzorcov segmentu v tomto ohľade:

Teraz sme neznáme súradnice bodu:, ale to nie je zvláštny problém, pretože sú ľahko expresné z vyššie uvedených vzorcov. Vo všeobecnosti nestojí za to vyjadriť nič, je oveľa jednoduchšie nahradiť špecifické čísla a starostlivo sa zaoberať počítačom:

Odpoveď:

Ak chcete skontrolovať, môžete vykonať konce segmentu a pomocou vzorcov v priamom poradí, uistite sa, že pomer bude skutočne získať bod. A samozrejme, samozrejme, to nebude zbytočné. A konečne presvedčiť vás o výhodách kockovaného notebooku, jednoduchá ceruzka je áno pravítko, navrhujem zložitú úlohu pre nezávislé riešenie:

Príklad 4.

Bod. Segment jeden a pol krát kratší rez. Nájdite bod, ak sú známe súradnice bodov. .

Rozhodnutie na konci hodiny. Mimochodom, nie je jediný, ak idete sa líšiť od vzorky, to nebude chybou, hlavnou vecou je, že odpovede sa zhodovalo.

Pre priestorové segmenty bude všetko rovnakým spôsobom, bude pridaná len jedna súradnica.

Ak sú známe dva body priestoru, súradnice bodu, ktorý rozdeľuje segment vo vzťahu k, je vyjadrený vzorcami:
.

Príklad 5.

Zatraceně. Nájdite súradnice bodu patriaceho do segmentu, ak je známe, že .

Rozhodnutie: Od podmienky postoja: . Tento príklad je prevzatý zo skutočnej skúšobnej práce a jeho autor umožnil sám malý žart (zrazu sa niekto objaví) - podiel v stave bol lepší zaznamenávať ako: .

Podľa súradníc stredu segmentu: \\ t

Odpoveď:

Trojrozmerné výkresy na účely testovania sú oveľa zložitejšie. Avšak, môžete vždy urobiť schematické výkresy, aby ste zistili aspoň v stave - ktoré segmenty musia korelovať.

Pokiaľ ide o frakcie v odpovedi, nebudú prekvapení, zvyčajná vec. Hovoril mnohokrát, ale opakujem: Vo vyššej matematike je zvytne byť napísané bežnými správnymi a zlými zlomkami. Odpoveď vo formulári Pôjde, ale možnosť s nesprávnymi zlomlinami je štandardnejšia.

Úloha cvičenia pre vlastné riešenia:

Príklad 6.

Zatraceně. Nájdite bod súradnice, ak je známe, že rozdeľuje segment vo vzťahu.

Riešenie a odpoveď na konci hodiny. Ak je ťažké navigovať v pomere, vykonajte schematický výkres.

V nezávislej a testovacej práci sa považované za príklady samy o sebe a neoddeliteľnou súčasťou väčších úloh. V tomto zmysle je typická úloha nájsť ťažisko trojuholníka.

Druh úlohy, kde jeden z koncov segmentu nie je známy, nevidím veľký zmysel rozobrať, pretože všetko bude ako bytový prípad, s výnimkou výpočtu trochu viac. Lepšie si pamätajte školské roky:

Mid-rezané súradnicové vzorce

Dokonca aj nepripravení čitatelia si môžu pamätať, ako rozdeliť segment na polovicu. Úlohou rozdelenia segmentu na dve rovnaké časti je špeciálnym prípadom rozdelenia segmentu v tomto ohľade. Dvojružná píla pracuje ako demokratický spôsob, a každý sused sa prijíma na stole na tej istej palici:

Na tejto slávnostnej hodine sú bubny klepanie, privítajú významný podiel. A všeobecné vzorce Zázračne transformovaný na niečo známe a jednoduché:

Vhodným bodom je skutočnosť, že súradnice koncov segmentu môžu byť bezbolestne usporiadané:

Vo všeobecnosti vzorcov, také luxusné číslo, ako rozumiete, neprechádza. Áno, a tu nie je pre neho žiadna osobitná potreba, tak pekná malá vec.

Pre priestorový prípad je platný zjavný analógia. Ak sú segmenty uvedené, súradnice jeho stredu sú vyjadrené vzorcami:

Príklad 7.

Paralomogram je nastavený súradnicami ich vrcholov. Nájsť bod priesečníka svojich uhlopriečok.

Rozhodnutie: Kto si želá, môže urobiť kresbu. Graffiti sa odporúča najmä tých, ktorí obnovili školský priebeh geometrie.

Podľa známeho majetku je uhlopriečka paralela jeho priesečníka rozdelená na polovicu, takže úloha môže byť vyriešená dvoma spôsobmi.

Najprv: Zvážte opačné vrcholy . Podľa divízie vzorcov nájdeme stred uhlopriečky:

Veľmi často v úlohe C2 musíte pracovať s bodkami, ktoré rozdeľujú segment na polovicu. Súradnice takýchto bodov sa ľahko zvažujú, ak sú známe súradnice koncov segmentu.

Takže, nech je segment nastavený svojimi koncami - bodkami A \u003d (x A; Y A; Z A) a B \u003d (Xb; Y B; z b). Potom súradnice stredu segmentu - označujú jeho bod h - možno nájsť podľa vzorca:

Inými slovami, súradnice stredu segmentu sú aritmetické súradnice jeho koncov.

· Úloha . ABCDA 1 B1 C1 D 1 CUBE je umiestnený v súradnicovom systéme, takže osi X, Y a Z sú nasmerované pozdĺž okrajov AB, AD a AA 1, a pôvodom súradnice sa zhoduje s bodom A , Bod K - uprostred okraja A 1 B. Nájsť súradnice tohto bodu.

Rozhodnutie. Vzhľadom k tomu, bod K je stred segmentu A 1 B1, jeho súradnice sa rovnajú priemerným aritmetickým súradnicam koncov. Píšeme súradnice koncov: A 1 \u003d (0; 0; 1) a B1 \u003d (1; 0; 1). Teraz nájdeme súradnice bodu K:

Odpoveď: K \u003d (0,5; 0; 1)

· Úloha . ABCDA 1 B1 C1 D 1 CUBE je umiestnený v súradnicovom systéme, takže osi X, Y a Z sú nasmerované pozdĺž okrajov AB, AD a AA 1, a pôvodom súradnice sa zhoduje s bodom A , Nájdite súradnice bodu l, v ktorom sa pretínajú. Štvorcový diagonálny A 1 B1 C 1 D 1.

Rozhodnutie. Z rovnocennosti je známe, že bod priesečníka diagonálov štvorca je ekvivalentná všetkým jeho vrcholom. Najmä 1 l \u003d C1L, t.j. Bod L je stred segmentu A 1 C 1. Ale 1 \u003d (0; 0; 1), C1 \u003d (1; 1; 1), takže máme:

Odpoveď: L \u003d (0,5; 0,5; 1)

Najjednoduchšie úlohy analytickej geometrie.
Akcie s vektormi v súladu

Úlohy, ktoré sa budú zvážiť, je mimoriadne žiaduce naučiť sa vyriešiť na kompletnom stroji a vzorcov pamätať svätýAj najmä nie, aby si zapamätali sa, si to bude pamätať \u003d) Toto je veľmi dôležité, pretože iné úlohy analytickej geometrie sú založené na najjednoduchších základných príkladoch, a bude obťažovať navyše čas na stravovanie pešiakov. Nie je potrebné blikať horné tlačidlá na košeli, veľa vecí je s vami oboznámení zo školy.

Prezentácia materiálu pôjde rovnobežne s rovinou a pre priestor. Z dôvodu, že všetky vzorce ... pozri sami.

Nepracuje. Pre ich výpočet je jednoduchý výraz, ktorý sa dá ľahko pamätať. Napríklad, ak sú súradnice koncov akéhokoľvek segmentu, resp. (X1; U1) a (X2; U2) sú súradnice jeho stredu vypočítané ako aritmetický priemer týchto súradníc, to znamená: \\ t

To je všetko ťažkosti.
Zvážte výpočet súradníc stredu jedného z segmentov v konkrétnom príklade, ako ste sa spýtali.

Úloha.
Nájdite súradnice určitého bodu m, ak je stredným (stredom) segmentu Kirgizskej republiky, ktorých konce majú takéto koordináty: (-3; 7) a (13; 21).

Rozhodnutia.
Používame vyššie uvedené vzorec:

Odpoveď. M (5; 14).

S týmto vzorcom je tiež možné nájsť nielen súradnice stredu akéhokoľvek segmentu, ale aj jeho konce. Príkladom.

Úloha.
Sú uvedené súradnice dvoch bodov (7; 19) a (8; 27). Nájdite súradnice jedného zo koncov segmentu, ak sú predchádzajúce dva body, je jeho koniec a stred.

Rozhodnutia.
Označujeme konce segmentu do a p a jeho stredné S. Rewrite vzor s registráciou nových mien:

Známejšie súradnice nahrádzame a vypočítame jednotlivé súradnice: