1. Сбор нагрузок

Перед началом расчета стальной балки необходимо собрать нагрузку, действующая на металлическую балку. В зависимости от продолжительности действия нагрузки разделяют на постоянные и временные.

• собственный вес металлической балки;
• собственный вес перекрытия и т.д.;

• длительная нагрузка (полезная нагрузка, принимается в зависимости от назначения здания);
• кратковременная нагрузка (снеговая нагрузка, принимается в зависимости от географического расположения здания);
• особая нагрузка (сейсмическая, взрывная и т.д. В рамках данного калькулятора не учитывается);

Нагрузки на балку разделяют на два типа: расчетные и нормативные. Расчетные нагрузки применяются для расчета балки на прочность и устойчивость (1 предельное состояние). Нормативные нагрузки устанавливаются нормами и применяется для расчета балки на прогиб (2 предельное состояние). Расчетные нагрузки определяют умножением нормативной нагрузки на коэффициент нагрузки по надежности. В рамках данного калькулятора расчетная нагрузка применяется при определении прогиба балки в запас.

После того как собрали поверхностную нагрузку на перекрытие, измеряемой в кг/м2, необходимо посчитать сколько из этой поверхностной нагрузки на себя берет балка. Для этого надо поверхностную нагрузку умножить на шаг балок(так называемая грузовая полоса).

Например: Мы посчитали, что суммарная нагрузка получилась Qповерхн.= 500кг/м2, а шаг балок 2,5м. Тогда распределенная нагрузка на металлическую балку будет: Qраспр.= 500кг/м2 * 2,5м = 1250кг/м. Эта нагрузка вносится в калькулятор

2. Построение эпюр

Далее производится построение эпюры моментов, поперечной силы. Эпюра зависит от схемы нагружения балки, вида опирания балки. Строится эпюра по правилам строительной механики. Для наиболее частоиспользуемых схем нагружения и опирания существуют готовые таблицы с выведенными формулами эпюр и прогибов.

3. Расчет по прочности и прогибу

После построения эпюр производится расчет по прочности (1 предельное состояние) и прогибу (2 предельное состояние). Для того, чтобы подобрать балку по прочности, необходимо найти требуемый момент инерции Wтр и из таблицы сортамента выбрать подходящий металлопрофиль. Вертикальный предельный прогиб fult принимается по таблице 19 из СНиП 2.01.07-85* (Нагрузки и воздействия). Пункт2.а в зависимости от пролета. Например предельный прогиб fult=L/200 при пролете L=6м. означает, что калькулятор подберет сечение прокатного профиля (двутавра, швеллера или двух швеллеров в коробку), предельный прогиб которого не будет превышать fult=6м/200=0,03м=30мм. Для подбора металлопрофиля по прогибу находят требуемый момент инерции Iтр, который получен из формулы нахождения предельного прогиба. И также из таблицы сортамента подбирают подходящий металлопрофиль.

4. Подбор металлической балки из таблицы сортамента

Из двух результатов подбора (1 и 2 предельное состояние) выбирается металлопрофиль с большим номером сечения.

Внецентренное сжатие. Построение ядра сечения. Изгиб с кручением. Расчеты на прочность при сложном напряженном состоянии.

Внецентренное сжатие - это вид деформации, при котором продольная сила в поперечном сечении стержня приложена не в центре тяжести. При внецентренном сжатии, помимо продольной силы (N), возникают два изгибающих момента (M x и M y).

Считают, что стержень обладает большой жесткостью на изгиб, чтобы пренебречь прогибом стержня при внецентренном сжатии.

Преобразуем формулу моментов при внецентренном сжатии , подставляя значения изгибающих моментов:

Обозначим координаты некоторой точки нейтральной (нулевой) линии при внецентренном сжатии xN, yN и подставим их в формулу нормальных напряжений при внецентренном сжатии. Учитывая, что напряжения в точках нейтральной линии равны нулю, после сокращения на P/F, получим уравнение нейтральной линии при внецентренном сжатии:

(35)

Нулевая линия при внецентренном сжатии и точка приложения нагрузки всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения.

Рис. 43. Внецентренное сжатие

Отрезки, отсекаемые нулевой линией от осей координат, обозначенные ax и ay, легко найти из уравнения нулевой линии при внецентренном сжатии. Если сначала принять xN = 0, yN = ay, а затем принять yN = 0, xN = ax, то найдем точки пересечения нулевой линии при внецентренном сжатии с главными центральными осями:

Рис. 44. Нейтральная линия при внецентренном растяжении - сжатии

Нейтральная линия при внецентренном сжатии разделит поперечное сечение на две части. В одной части напряжения будут сжимающими, в другой - растягивающими. Расчет на прочность, как и в случае косого изгиба, проводят по нормальным напряжениям, возникающим в опасной точке поперечного сечения (наиболее удаленной от нулевой линии).

(36)

Ядро сечения - малая область вокруг центра тяжести поперечного сечения, характерная тем, что любая сжимающая продольная сила, приложенная внутри ядра, вызывает во всех точках поперечного сечения сжимающие напряжения.

Примеры ядра сечения для прямоугольного и круглого поперечных сечений стержня.

Рис. 45. Форма ядра сечения для прямоугольника и круга

Изгиб с кручением . Такому нагружению (одновременному действию крутящих и изгибающих моментов)часто подвержены валы машин и механизмов. Для расчета бруса необходимо прежде всего установить опасные сечения. Для этого строятся эпюры изгибающих и крутящих моментов.

Используя принцип независимости действия сил, определим напряжения, возникающие в брусе отдельно для кручения, и для изгиба.

При кручении в поперечных сечениях бруса возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках контура сечения При изгибе в поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения, достигающие наибольшего значения в крайних волокнах бруса .

Внецентренным растяжением называется такой вид нагружения бруса, при котором внешние силы действуют вдоль продольной оси бруса, но не совпадают с ней (рис. 8.4). Определение напряжений производится с помощью принципа независимости действия сил. Внецентренное растяжение представляет сочетание осевого растяжения и косого (в частных случаях – плоского) изгиба. Формула для нормальных напряжений может быть получена как алгебраическая сумма нормальных напряжений, возникающих от каждого вида нагружения:

где ; ;

y F , z F – координаты точки приложения силы F .

Для определения опасных точек сечения необходимо найти положение нейтральной линии (н.л.) как геометрического места точек, в которых напряжения равны нулю.

.

Уравнение н.л. может быть записано как уравнение прямой в отрезках:

,

где и – отрезки, отсекаемые н.л. на осях координат,

, – главные радиусы инерции сечения.

Нейтральная линия разделяет поперечное сечение на зоны с растягивающими и сжимающими напряжениями. Эпюра нормальных напряжений представлена на рис. 8.4.

Если сечение симметрично относительно главных осей, то условие прочности записывается для пластичных материалов, у которых [s c ] = [s p ] = [s ], в виде

. (8.5)

Для хрупких материалов, у которых [s c ]¹[s p ], условие прочности следует записывать отдельно для опасной точки сечения в растянутой зоне:

и для опасной точки сечения в сжатой зоне:

,

где z 1 , y 1 и z 2 , y 2 – координаты наиболее удаленных от нейтральной линии точек сечения в растянутой 1 и сжатой 2зонах сечения (рис. 8.4).

Свойства нулевой линии

1. Нулевая линия делит все сечение на две зоны – растяжения и сжатия.

2. Нулевая линия прямая, так как координаты х и у в первой степени.

3. Нулевая линия не проходит через начало координат (рис. 8.4).

4. Если точка приложения силы лежит на главной центральной инерции сечения, то соответствующая ей нулевая линия перпендикулярна этой оси и проходит с другой стороны от начала координат (рис. 8.5).

5. Если точка приложения силы движется по лучу, выходящему из начала координат, то соответствующая ему нулевая линия движется за ним (рис. 8.6):

н.л

Рис. 8.5 Рис. 8.6

а) при движении точки приложения силы по лучу, исходящему из начала координат от нуля в бесконечность (y F ®∞, z F ®∞), а у ®0; а z ®0. Предельное состояние этого случая: нулевая линия пройдет через начало координат (изгиб);

б) при движении точки приложения силы (т. К) по лучу, исходящему из начала координат от бесконечности к нулю (y F ® 0 и z F ® 0), а у ®∞; а z ®∞. Предельное состояние этого случая: нулевая линия удаляется в бесконечность, а тело будет испытывать простое растяжение (сжатие).

6. Если точка приложения силы (т. К) движется по прямой, пересекающей координатные оси, то в этом случае нулевая линия будет вращаться вокруг некоторого центра, расположенного в противоположном от точки К квадранте.

8.2.3. Ядро сечения

Некоторые материалы (бетон, кирпичная кладка) могут воспринимать весьма незначительные растягивающие напряжения, а другие (например, грунт) не могут вовсе сопротивляться растяжению. Такие материалы используются для изготовления элементов конструкций, в которых не возникают растягивающие напряжения, и не применяются для изготовления элементов инструкций, испытывающих изгиб, кручение, центральное и внецентренное растяжения.

Из указанных материалов можно изготавливать только центрально сжатые элементы, в которых растягивающие напряжения не возникают, а также внецентренно сжатые элементы, если в них не образуются растягивающие напряжения. Это происходит в том случае, когда точка приложения сжимающей силы расположена внутри или на границе некоторой центральной области поперечного сечения, называемой ядром сечения.

Ядром сечения бруса называется его некоторая центральная область, обладающая тем свойством, что сила, приложенная в любой ее точке, вызывает во всех точках поперечного сечения бруса напряжения одного знака, т.е. нулевая линия не проходит через сечение бруса.

Если точка приложения сжимающей силы расположена за пределами ядра сечения, то в поперечном сечении возникают сжимающие и растягивающие напряжения. В этом случае нулевая линия пересекает поперечное сечение бруса.

Если сила приложена на границе ядра сечения, то нулевая линия касается контура сечения (в точке или по линии); в месте касания нормальные напряжения равны нулю.

При расчете внецентренно сжатых стержней, изготовляемых из материала, плохо воспринимающего растягивающие напряжения, важно знать форму и размеры ядра сечения. Это позволяет, не вычисляя напряжений, установить, возникают ли в поперечном сечении бруса растягивающие напряжения (рис. 8.7).

Из определения следует, что ядро сечения есть некоторая область, которая находится внутри самого сечения.

Для хрупких материалов сжимающую нагрузку следует прикладывать в ядре сечения, чтобы исключить в сечении зоны растяжения (рис. 8.7).

Для построения ядра сечения необходимо последовательно совмещать нулевую линию с контуром поперечного сечения так, чтобы нулевая линия не пе-ресекала сечение, и одновременно рассчитывать соответствующую ей точку

приложения сжимающей силы К с коор-

Рис. 8.7 динатами y F и z F по формулам:

; .

Полученные точки приложения силы с координатами y F , z F необходимо соединить отрезками прямых. Область, ограниченная полученной ломаной линией, и будет являться ядром сечения.

Последовательность построения ядра сечения

1. Определить положение центра тяжести поперечного сечения и главных центральных осей инерции у и z , а также значения квадратов радиусов инерции i y , i z .

2. Показать все возможные положения н.л., касающиеся контура сечения.

3. Для каждого положения н.л. определить отрезки a y и a z , отсекаемые ею от главных центральных осей инерции у и z.

4. Для каждого положения н.л. установить координаты центра давления y F , и z F .

5. Полученные центры давлений соединить отрезками прямых, внутри которых будет расположено ядро сечения.

Кручение с изгибом

Вид нагружения, при котором брус подвергается одновременно действию скручивающих и изгибающих моментов, называется изгибом с кручением.

При расчете воспользуемся принципом независимости действия сил. Определим напряжения по отдельности при изгибе и кручении (рис. 8.8).

При изгибе в поперечном сечении возникают нормальные напряжения, достигающие максимального значения в крайних волокнах

.

При кручении в поперечном сечении возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках сечения у поверхности вала

.

s

t

C

B

x

y

z

Рис. 8.9

s

s

t

t

Рис. 8.10

C

x

z

y

M

T

Рис. 8.8

Нормальные и касательные напряжения одновременно достигают наибольшего значения в точках С и В сечения вала (рис. 8.9). Рассмотрим напряженное состояние в точке С (рис. 8.10). Видно, что элементарный параллелепипед, выделенный вокруг точки С , находится при плоском напряженном состоянии.

Поэтому для проверки прочности применим одну из гипотез прочности.

Условие прочности по третьей гипотезе прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений)

.

Учитывая, что , , получим условие прочности вала

. (8.6)

Если изгиб вала происходит в двух плоскостях, то условие прочности будет

.

Используя четвертую (энергетическую) гипотезу прочности

,

после подстановки s и t получим

. (8.7)

Вопросы для самопроверки

1. Какой изгиб называется косым?

2. Сочетанием каких видов изгиба является косой изгиб?

3. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при косом изгибе?

4. Как находится положение нейтральной оси при косом изгибе?

5. Как определяются опасные точки в сечении при косом изгибе?

6. Как определяются перемещения точек оси балки при косом изгибе?

7. Какой вид сложного сопротивления называется внецентренным растяжением (или сжатием)?

8. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня при внецентренном растяжении и сжатии? Какой вид имеет эпюра этих напряжений?

9. Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении и сжатии? Запишите соответствующие формулы.

10. Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе с кручением?

11. Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе с кручением?

12. Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с кручением?

13. Какое напряженное состояние возникает в этих точках?

Внецентренным растяжением или сжатием называется такой вид деформации стержня, при котором в его поперечном сечении возникают продольная сила и изгибающие моменты (и, быть может, поперечные силы ).

Продольная сила и изгибающие моменты могут рассматриваться как результат воздействия на стержень внецентренно приложенной силы (рис. 25). Именно поэтому такой вид сложного сопротивления называют внецентренным растяжением или сжатием.

Изгибающие моменты связаны с координатами точки приложения силы соотношениями Поэтому из (1), формулы (1) гл. 3 и принципа независимости действия сил для нормальных напряжений в произвольной точке любого поперечного сечения с координатами х, у получим

Нейтральная ось при внецентренном растяжении или сжатии. Уравнение нейтральной оси поперечного сечения, в точках которой напряжения равны нулю, имеет в данном случае вид

Нетрудно видеть, что нейтральная ось не проходит через центр тяжести сечения. Остальные свойства такие же, как и при косом изгибе. Дополнительно укажем еще одно свойство нейтральной оси при внецентренном растяжении или сжатии: нейтральная ось не пересекает той четверти сечения, в которой приложена сила

Ядро сечения. Положение нейтральной оси, как видно из уравнения (4), зависит от координат точки приложения силы Если точка приложения силы располагается достаточно близко к центру тяжести сечения, в области, которая называется ядром сечения, то нейтральная ось проходит за пределами поперечного сечения, т.е. все точки сечения испытывают нормальные напряжения одного знака. На рис. 26 показаны ядра для прямоугольного и кругового сечений.

Условия прочности при внецентренном растяжении или сжатии имеют вид ограничений на максимальные нормальные напряжения.

Пример. Вычислить максимальные нормальные напряжения в поперечном сечении внецентренно сжатого стержня прямоугольного сечения при (рис. 27). Точка К приложения силы имеет координаты (рис. 27, б).

Решение. Вычислим геометрические характеристики сечения:

Уравнение нейтральной оси (4) принимает вид Из ее расположения (рис. 27, б) видно, что В и С - наиболее напряженные точки