Тригонометриялық функциялар периодты болғандықтан, олардың кері функциялары бірегей емес. Сонымен, у = теңдеуі күнә x, берілген үшін , шексіз көп түбірлері бар. Шынында да, синустың периодтылығына байланысты, егер х осындай түбір болса, солай болады x + 2πn(мұндағы n - бүтін сан) теңдеудің түбірі де болады. Осылайша, кері тригонометриялық функциялар көп мәнді. Олармен жұмыс істеуді жеңілдету үшін олардың негізгі мағыналары туралы түсінік енгізіледі. Мысалы, синусты қарастырайық: у = күнә x. Егер х аргументін аралықпен шектесек, онда у = функциясы болады күнә xмонотонды түрде артады. Сондықтан оның доға синусы деп аталатын бірегей кері функциясы бар: x = арксин у.

Егер басқаша айтылмаса, кері тригонометриялық функциялар деп олардың келесі анықтамалармен анықталатын негізгі мәндерін түсінеміз.

Арксин ( y = arcsin x) синусының кері функциясы ( x = күнәкар
Косинус доғасы ( y = arccos x) косинустың кері функциясы ( x = cos y), анықтау облысы мен мәндер жиынына ие.
Арктангенс ( y = арктан x) тангенстің кері функциясы ( x = тг ж), анықтау облысы мен мәндер жиынына ие.
аркотангенс ( y = arcctg x) котангенстің кері функциясы ( x = ctg ж), анықтау облысы мен мәндер жиынына ие.

Кері тригонометриялық функциялардың графиктері

Кері графиктер тригонометриялық функциялару = х түзуіне қатысты айнамен шағылыстыру арқылы тригонометриялық функциялардың графиктерінен алынады. Синус, косинус, тангенс, котангенс бөлімдерін қараңыз.

y = arcsin x

y = arccos x

y = арктан x

y = arcctg x

Негізгі формулалар

Мұнда формулалар жарамды болатын аралықтарға ерекше назар аудару керек.

arcsin(sin x) = xсағ
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xсағ
cos(arccos x) = x

arctan(tg x) = xсағ
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xсағ
ctg(arcctg x) = x

Кері тригонометриялық функцияларға қатысты формулалар

Сондай-ақ қараңыз: Кері тригонометриялық функциялардың формулаларын шығару

Қосынды және айырма формулалары

немесе

және

және

немесе

және

және

сағ

сағ

сағ

сағ

сағ

сағ

сағ

сағ

сағ

сағ

Қолданылған әдебиет:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженерлер мен колледж студенттеріне арналған математика анықтамалығы, «Лан», 2009 ж.

Кері косинус функциясы

y=cos x функциясының мәндер диапазоны (2-суретті қараңыз) сегмент болып табылады. Сегментте функция үздіксіз және монотонды түрде азаяды.

Күріш. 2

Бұл кесіндіде y=cos x функциясына кері функция анықталғанын білдіреді. Бұл кері функция доға косинусы деп аталады және y=arccos x деп белгіленеді.

Анықтама

a санының арккосинусы, егер |a|1 болса, косинусы кесіндіге жататын бұрыш; ол arccos a арқылы белгіленеді.

Сонымен, arccos a – мына екі шартты қанағаттандыратын бұрыш: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.

Мысалы, arccos, өйткені cos және; arccos, өйткені cos және.

y = arccos x функциясы (3-сурет) сегментте анықталған, оның мәндер диапазоны сегмент болып табылады. Кесіндіде y=arccos x функциясы үздіксіз және р-ден 0-ге дейін монотонды түрде кемиді (өйткені y=cos x кесіндідегі үздіксіз және монотонды кемімелі функция); сегменттің ұштарында ол өзінің шеткі мәндеріне жетеді: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. arccos 0 = екенін ескеріңіз. y = arccos x функциясының графигі (3-суретті қараңыз) y=x түзуіне қатысты y = cos x функциясының графигіне симметриялы.

Күріш. 3

arccos(-x) = p-arccos x теңдігі орындалатынын көрсетейік.

Шын мәнінде, анықтамасы бойынша 0? arccos x? Р. Соңғы қос теңсіздіктің барлық бөліктерін (-1) көбейтсек, - p шығады? arccos x? 0. Соңғы теңсіздіктің барлық бөліктеріне p қоссақ, 0-ді табамыз? p-arccos x? Р.

Осылайша, arccos(-x) және p - arccos x бұрыштарының мәндері бір сегментке жатады. Косинус сегментте монотонды түрде кемитіндіктен, онда косинустары бірдей екі түрлі бұрыш болуы мүмкін емес. arccos(-x) және p-arccos x бұрыштарының косинусын табайық. Анықтау бойынша cos (arccos x) = - x, азайту формулаларына сәйкес және анықтамасы бойынша бізде: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Сонымен, бұрыштардың косинустары тең, яғни бұрыштардың өздері тең.

Кері синус функциясы

[-р/2;р/2] кесіндісінде өсетін, үздіксіз және [-1 кесіндісінен мән алатын y=sin x функциясын (6-сурет) қарастырайық; 1]. Бұл сегментте [- p/2; p/2] y=sin x функциясының кері функциясы анықталған.

Күріш. 6

Бұл кері функция арксинус деп аталады және y=arcsin x деп белгіленеді. Санның доғасының анықтамасымен таныстырайық.

Санның доғасы деп синусы болатын бұрышты (немесе доғаны) айтады санына теңа және [-р/2 сегментіне жататын; p/2]; ол arcsin a арқылы белгіленеді.

Сонымен, arcsin a — мына шарттарды қанағаттандыратын бұрыш: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? Арксин иә? r/2. Мысалы, күнә және [- p/2; p/2]; arcsin, өйткені sin = u [- p/2; p/2].

[- 1 кесіндісінде y=arcsin x функциясы (7-сурет) анықталған; 1], оның мәндерінің диапазоны [-р/2;р/2] кесіндісі болып табылады. Сегмент бойынша [- 1; 1] y=arcsin x функциясы үздіксіз және монотонды түрде -p/2-ден p/2-ге дейін артады (бұл [-p/2; p/2] кесіндісіндегі y=sin x функциясының үзіліссіз болу фактісінен туындайды. және монотонды түрде артады). Ең жоғары мәнол x = 1 кезінде қабылдайды: arcsin 1 = p/2, ал ең кішісі x = -1: arcsin (-1) = -p/2. x = 0 кезінде функция нөлге тең: arcsin 0 = 0.

y = arcsin x функциясының тақ екенін көрсетейік, яғни. arcsin(-x) = - arcsin x кез келген x үшін [ - 1; 1].

Шынында да, анықтамасы бойынша, егер |x| ?1, бізде: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. Сонымен, бұрыштар arcsin(-x) және - arcsin x бір сегментке жатады [ - p/2; p/2].

Осылардың синустарын табайықбұрыштар: sin (arcsin(-x)) = - x (анықтамасы бойынша); у=sin x функциясы тақ болғандықтан, sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Сонымен, бірдей интервалға жататын бұрыштардың синусы [-р/2; p/2], тең, яғни бұрыштардың өздері тең, яғни. arcsin (-x)= - arcsin x. Бұл y=arcsin x функциясының тақ екенін білдіреді. y=arcsin x функциясының графигі бастапқы нүктеге қатысты симметриялы.

Кез келген х [-р/2 үшін arcsin (sin x) = x екенін көрсетейік; p/2].

Шынында да, анықтамасы бойынша -p/2? arcsin (sin x) ? p/2, ал шарт бойынша -p/2? x? r/2. Бұл x және arcsin (sin x) бұрыштары y=sin x функциясының бірдей монотондылық интервалына жататынын білдіреді. Егер мұндай бұрыштардың синусы тең болса, онда бұрыштардың өздері де тең болады. Осы бұрыштардың синусын табайық: х бұрышы үшін sin x, бұрыш доғасы үшін (sin x) sin (arcsin(sin x)) = sin x болады. Біз бұрыштардың синусы тең екенін анықтадық, сондықтан бұрыштар тең, яғни. arcsin(sin x) = x. .

Күріш. 7

Күріш. 8

Кесте arcsin функциялары(sin|x|) y=arcsin (sin x) графигінен модульге байланысты әдеттегі түрлендірулер арқылы алынады (8-суретте үзік сызық түрінде көрсетілген). Одан y=arcsin (sin |x-/4|) графигі х осі бойымен оңға /4-ке жылжу арқылы алынады (8-суретте тұтас сызық түрінде көрсетілген)

Тангенстің кері функциясы

Интервалдағы y=tg x функциясы барлық сандық мәндерді қабылдайды: E (tg x)=. Бұл аралықта ол үздіксіз және монотонды түрде артады. Бұл интервалда y = tan x функциясына кері функция анықталғанын білдіреді. Бұл кері функция арктангенс деп аталады және у = арктан х деп белгіленеді.

a-ның арктангенсі деп тангенсі а-ға тең интервалдан алынған бұрышты айтады. Сонымен, arctg a мына шарттарды қанағаттандыратын бұрыш болып табылады: tg (arctg a) = a және 0? arctg a? Р.

Сонымен, кез келген х саны әрқашан у = arctan x функциясының жалғыз мәніне сәйкес келеді (9-сурет).

D (arctg x) = , E (arctg x) = екені анық.

y = arctan x функциясы өсуде, себебі y = tan x функциясы аралықта өсуде. arctg(-x) = - arctgx екенін дәлелдеу қиын емес, яғни. бұл арктангенс тақ функция.

Күріш. 9

y = arctan x функциясының графигі у = tan x функциясының графигіне y = x түзуіне қатысты симметриялы, y = arctan x графигі координаталар басы арқылы өтеді (arctan 0 = 0 болғандықтан) және басына қатысты симметриялы (тақ функцияның графигі сияқты).

Арктан (тан х) = х, егер x болса, дәлелдеуге болады.

Кері котангенс функциясы

Интервалдағы y = ctg x функциясы интервалдан барлық сандық мәндерді қабылдайды. Оның мәндерінің ауқымы барлығының жиынымен сәйкес келеді нақты сандар. Интервалда y = cot x функциясы үздіксіз және монотонды түрде өседі. Бұл осы интервалда y = cot x функциясына кері функция анықталғанын білдіреді. Котангенстің кері функциясы арккотангенс деп аталады және y = arcctg x деп белгіленеді.

a доғасының котангенсі деп котангенсі а-ға тең интервалға жататын бұрышты айтады.

Сонымен, arcctg a мына шарттарды қанағаттандыратын бұрыш болып табылады: ctg (arcctg a)=a және 0? arcctg a? Р.

Анықтамадан кері функцияжәне арктангенс анықтамасынан D (arcctg x) = , E (arcctg x) = болатыны шығады. Доға котангенсі кемуші функция, себебі y = ctg x функциясы интервалда азаяды.

y = arcctg x функциясының графигі Ox осімен қиылыспайды, өйткені y > 0 R. x = 0 y = arcctg 0 = үшін.

y = arcctg x функциясының графигі 11-суретте көрсетілген.

Күріш. 11

x-тің барлық нақты мәндері үшін сәйкестік ақиқат екенін ескеріңіз: arcctg(-x) = p-arcctg x.

Кері тригонометриялық функциялар – тригонометриялық функцияларға кері болатын математикалық функциялар.

y=arcsin(x) функциясы

α санының доғасы синусы α-ға тең [-π/2;π/2] аралықтағы α саны.
Функцияның графигі
[-π/2;π/2] интервалында у= sin⁡(x) функциясы қатаң өседі және үздіксіз; сондықтан оның қатаң өсетін және үздіксіз болатын кері функциясы бар.
y= sin⁡(x) функциясына кері функция, мұндағы x ∈[-π/2;π/2], доғасы деп аталады және y=arcsin(x) деп белгіленеді, мұндағы x∈[-1;1 ].
Сонымен, кері функцияның анықтамасы бойынша доға синусын анықтау облысы [-1;1] кесіндісі, ал мәндер жиыны [-π/2;π/2] кесіндісі болып табылады.
y=arcsin(x), мұндағы x ∈[-1;1] функциясының графигі y= sin(⁡x) функциясының графигіне симметриялы екенін ескеріңіз, мұндағы x∈[-π/2;π /2], бірінші және үшінші ширек координаталық бұрыштардың биссектрисасына қатысты.

Функция диапазоны y=arcsin(x).

№1 мысал.

arcsin(1/2) табыңыз?

arcsin(x) функциясының мәндер диапазоны [-π/2;π/2] аралығына жататындықтан, тек π/6 мәні сәйкес келеді, сондықтан arcsin(1/2) =π/. 6.
Жауабы:π/6

№2 мысал.
arcsin(-(√3)/2) табыңыз?

arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] мәндер диапазоны болғандықтан, тек -π/3 мәні сәйкес келеді, сондықтан arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

y=arccos(x) функциясы

α санының доғалық косинусы косинусы α-ға тең интервалдан α саны болып табылады.

Функцияның графигі

кесіндідегі y= cos(⁡x) функциясы қатаң кемімелі және үздіксіз; сондықтан оның қатаң кемімелі және үздіксіз кері функциясы бар.
y= cos⁡x функциясына кері функция, мұндағы x ∈, шақырылады доғалық косинусжәне y=arccos(x) арқылы белгіленеді,мұндағы x ∈[-1;1].
Сонымен, кері функцияның анықтамасына сәйкес доға косинусының анықтау облысы [-1;1] кесіндісі, ал мәндер жиыны сегмент болып табылады.
y=arccos(x) функциясының графигіне назар аударыңыз, мұндағы x ∈[-1;1] y= cos(⁡x) функциясының графигіне симметриялы, мұндағы x ∈, биссектрисасына қатысты. бірінші және үшінші ширектердің координаталық бұрыштары.

Функция диапазоны y=arccos(x).

№3 мысал.

Arccos(1/2) табыңыз?

Мәндер ауқымы arccos(x) x∈ болғандықтан, тек π/3 мәні сәйкес келеді, сондықтан arccos(1/2) =π/3.
№4 мысал.
arccos(-(√2)/2) табыңыз?

arccos(x) функциясының мәндер диапазоны интервалға жататындықтан, тек 3π/4 мәні сәйкес келеді, сондықтан arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Жауабы: 3π/4

y=arctg(x) функциясы

α санының арктангенсі [-π/2;π/2] аралықтағы α саны болып табылады, оның тангенсі α-ға тең.

Функцияның графигі

Тангенс функциясы үздіксіз және (-π/2;π/2) интервалында қатаң өседі; сондықтан оның үздіксіз және қатаң өсетін кері функциясы бар.
y= tan⁡(x) функциясы үшін кері функция, мұндағы x∈(-π/2;π/2); арктангенс деп аталады және y=arctg(x) арқылы белгіленеді, мұндағы x∈R.
Сонымен, кері функцияның анықтамасы бойынша арктангенстің анықталу облысы интервал (-∞;+∞), ал мәндер жиыны интервал болып табылады.
(-π/2;π/2).
y=arctg(x), мұндағы x∈R функциясының графигі y= tan⁡x функциясының графигіне симметриялы екенін ескеріңіз, мұндағы x ∈ (-π/2;π/2), бірінші және үшінші ширектердің координаталық бұрыштарының биссектрисасы.

y=arctg(x) функциясының диапазоны.

№5 мысал?

arctan((√3)/3) табыңыз.

arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) мәндерінің диапазоны болғандықтан, π/6 мәні ғана сәйкес келеді, сондықтан arctg((√3)/3) =π/6.
№6 мысал.
arctg(-1) табыңыз?

arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) мәндерінің диапазоны болғандықтан, тек -π/4 мәні сәйкес келеді, сондықтан arctg(-1) = - π/4.

y=arcctg(x) функциясы

α санының доға котангенсі котангенсі α-ға тең (0;π) интервалындағы α саны болып табылады.

Функцияның графигі

(0;π) интервалында котангенс функциясы қатаң төмендейді; сонымен қатар, ол осы интервалдың әрбір нүктесінде үздіксіз; сондықтан (0;π) интервалында бұл функцияның қатаң кемімелі және үздіксіз болатын кері функциясы бар.
y=ctg(x), мұндағы x ∈(0;π) функциясына кері функция арккотангенс деп аталады және y=arcctg(x) деп белгіленеді, мұндағы x∈R.
Сонымен, кері функцияның анықтамасына сәйкес доға котангенсінің анықталу облысы болады R, және жиын бойыншамәндер – интервал (0;π).y=arcctg(x) функциясының графигі, мұндағы x∈R y=ctg(x) x∈(0;π) функциясының графигіне симметриялы, салыстырмалы бірінші және үшінші ширектердің координаталық бұрыштарының биссектрисасына.

Функция диапазоны y=arcctg(x).

№7 мысал.
arcctg((√3)/3) табыңыз?

arcctg(x) x ∈(0;π) мәндерінің диапазоны болғандықтан, тек π/3 мәні сәйкес келеді, сондықтан arccos((√3)/3) =π/3.

№8 мысал.
arcctg(-(√3)/3) табыңыз?

Мәндер ауқымы arcctg(x) x∈(0;π) болғандықтан, тек 2π/3 мәні сәйкес келеді, сондықтан arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

Редакторлар: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Кері тригонометриялық функцияларды қамтитын есептер GCSE және жиі ұсынылады қабылдау емтихандарыкейбір университеттерде. Бұл тақырыпты егжей-тегжейлі зерделеу тек элективті сабақтарда немесе элективті курстар. Ұсынылып отырған курс әрбір студенттің қабілетін барынша толық дамытуға және оның математикалық дайындығын арттыруға арналған.

Курс 10 сағатқа созылады:

1. arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x функциялары (4 сағат).

2.Кері тригонометриялық функцияларға амалдар (4 сағат).

3. Тригонометриялық функцияларға кері тригонометриялық амалдар (2 сағат).

1-сабақ (2 сағат) Тақырыбы: y = arcsin x, y = accos x, y = arctan x, y = arcctg x функциялары.

Мақсаты: осы мәселені толық қамту.

1. y = arcsin x функциясы.

а) y = sin x функциясы үшін кесіндіде кері (бір мәнді) функция бар, оны арксинус деп атауға және оны былай белгілеуге келістік: y = arcsin x. Кері функцияның графигі I - III координаталық бұрыштардың биссектрисасына қатысты негізгі функцияның графигімен симметриялы.

y = arcsin x функциясының қасиеттері.

1) Анықтау облысы: сегмент [-1; 1];

2)Өзгеріс аймағы: сегмент;

3)y = arcsin x тақ функциясы: arcsin (-x) = - arcsin x;

4)y = arcsin x функциясы монотонды өсуде;

5) График Ox, Oy осьтерін координат басында қиып өтеді.

Мысал 1. a = arcsin табыңыз. Бұл мысалбылайша егжей-тегжейлі тұжырымдауға болады: -ден -ге дейінгі аралықта жататын, синусы тең а аргументін табыңыз.

Шешім. Синусы тең сансыз аргументтер бар, мысалы: және т.б. Бірақ бізді тек сегменттегі дәлел қызықтырады. Бұл аргумент болар еді. Сонымен, .

Мысал 2. Табыңыз .Шешім. 1-мысалдағыдай дәлелдей отырып, біз аламыз .

б) ауызша жаттығулар. Табыңыз: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Жауап үлгісі: , өйткені . Өрнектер мағыналы ма: ; arcsin 1.5; ?

в) Өсу ретімен орналастыр: арксин, арксин (-0,3), арксин 0,9.

II. y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (ұқсас) функциялары.

2-сабақ (2 сағат) Тақырыбы: Кері тригонометриялық функциялар, олардың графиктері.

Мақсаты: бұл сабақта тригонометриялық функциялардың мәндерін анықтау, D (y), E (y) және қажетті түрлендірулерді пайдаланып кері тригонометриялық функциялардың графиктерін тұрғызу дағдыларын дамыту қажет.

Бұл сабақта y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos түріндегі функциялардың анықтау облысын, мәндер облысын табуды қамтитын жаттығулар толық орындалады.

Функциялардың графиктерін салу керек: а) y = arcsin 2x; б) у = 2 арксин 2х; в) у = арксин;

г) у = арксин; д) у = арксин; д) у = арксин; g) y = | arcsin | .

Мысал. y = arccos графигін салайық

Үй тапсырмасына келесі жаттығуларды қосуға болады: функциялардың графиктерін құрастыру: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Кері функциялардың графиктері

No3 сабақ (2 сағат) Тақырыбы:

Кері тригонометриялық функцияларға амалдар.

Мақсаты: кері тригонометриялық функциялар үшін негізгі қатынастарды енгізу арқылы математикалық білімді кеңейту (бұл математикалық дайындыққа қойылатын талаптары жоғары мамандықтарға түсетіндер үшін маңызды).

Сабаққа арналған материал.

Кері тригонометриялық функциялардағы кейбір қарапайым тригонометриялық амалдар: sin (arcsin x) = x , i xi ? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Жаттығулар.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

б) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6 болсын;

cos (arcsin x) = ; күнә (arccos x) = .

Ескерту: түбірдің алдында «+» белгісін аламыз, себебі a = arcsin x қанағаттандырады.

в) күнә (1,5 + arcsin) Жауабы: ;

d) ctg ( + arctg 3) Жауабы: ;

e) tg ( – arcctg 4) Жауабы: .

д) cos (0,5 + arccos). Жауап: .

Есептеу:

а) күнә (2 арктан 5) .

Арктан 5 = a, онда sin 2 a = болсын немесе күнә (2 арктан 5) = ;

б) cos ( + 2 arcsin 0,8) Жауабы: 0,28.

в) arctg + arctg.

a = арктан, b = арктан болсын,

онда tg(a + b) = .

г) sin(arcsin + arcsin).

д) Барлық x I үшін [-1; 1] шын arcsin x + arccos x = .

Дәлелдеу:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = sin ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

Оны өзіңіз шешу үшін: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Үй шешімі үшін: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.

No4 сабақ (2 сағат) Тақырыбы: Кері тригонометриялық функцияларға амалдар.

Мақсаты: Бұл сабақта күрделірек өрнектерді түрлендіруде қатынасты қолдануды көрсету.

Сабаққа арналған материал.

АУЫЗША:

а) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

б) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

в) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

г) tg (arccos), ctg (arccos()).

ЖАЗЫЛҒАН:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) тг ( - доғасы 0,6) = - тг (арксин 0,6) =

4)

Өздік жұмыс материалды меңгеру деңгейін анықтауға көмектеседі.

1) тг (arctg 2 – arctg) 2) cos( - arctan2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) күнә (1,5 - arctan 3) 3) arcctg3 – arctg 2

Үшін үй жұмысыұсына аламыз:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) син (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) sin(2 арктан); 5) тг ( (arcsin ))

Сабақ No 5 (2 сағат) Тақырыбы: Тригонометриялық функцияларға кері тригонометриялық амалдар.

Мақсаты: Оқушылардың тригонометриялық функцияларға кері тригонометриялық амалдар туралы түсініктерін қалыптастыру, зерттелетін теорияны түсінуді арттыруға көңіл бөлу.

Бұл тақырыпты зерделеу кезінде жатталатын теориялық материалдың көлемі шектеулі деп есептеледі.

Сабақтың материалы:

Жаңа материалды меңгеруді у = arcsin (sin x) функциясын оқып, оның графигін салу арқылы бастауға болады.

3. Әрбір x I R y I-мен байланысты, яғни.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Функция тақ: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. y = arcsin (sin x) графигі:

а) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

б)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .

Сонымен,

y = arcsin (sin x) бойынша тұрғызып, координат басына қатысты симметриялы түрде [- ; 0], бұл функцияның тақтығын ескере отырып. Периодтылықты пайдалана отырып, біз бүкіл сандар сызығымен жалғастырамыз.

Содан кейін кейбір қатынастарды жазыңыз: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos а ) = a егер 0 болса<= a <= ; arctg (tg a) = a егер< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

Және келесі жаттығуларды орындаңыз:а) arccos(sin 2).Жауабы: 2 - ; б) арксин (cos 0,6) Жауабы: - 0,1; в) arctg (tg 2) Жауабы: 2 - ;

г) arcctg(тг 0,6).Жауабы: 0,9; д) arccos (cos ( - 2) Жауабы: 2 - ); д) арксин (sin ( - 0,6)). Жауабы: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Жауабы: 2 - ; h) arcctg (тг 0,6). Жауабы: - 0,6; - арктан х; д) arccos + arccos

Кері тригонометриялық функциялар(дөңгелек функциялар, доғалық функциялар) – тригонометриялық функцияларға кері болатын математикалық функциялар.

Олар әдетте 6 функцияны қамтиды:

• арксинус(белгіленуі: arcsin x; arcsin x- бұл бұрыш күнәоған тең x),
• доғалық косинус(белгіленуі: arccos x; arccos xкосинусы тең бұрыш болып табылады xтағыда басқа),
• арктангенс(белгіленуі: арктан xнемесе арктан x),
• аркотангенс(белгіленуі: arcctg xнемесе arccot ​​xнемесе арккотан x),
• доғалы(белгіленуі: доғасек x),
• аркосекант(белгіленуі: arccosec xнемесе arccsc x).

арксинус (у = доғасы х) - кері функция күнә (x = sin y . Басқаша айтқанда, бұрышты мәні бойынша қайтарады күнә.

доғалық косинус (y = arccos x) - кері функция cos (x = cos y cos.

Арктангенс (у = арктан х) - кері функция тг (x = сарғыш у), оның анықтау облысы мен мәндер жиыны бар . Басқаша айтқанда, бұрышты мәні бойынша қайтарады тг.

Аркотангенс (y = arcctg x) - кері функция ctg (x = cotg y), оның анықтау облысы мен мәндер жиыны бар. Басқаша айтқанда, бұрышты мәні бойынша қайтарады ctg.

доғасек- доғалық, оның секантының мәніне сәйкес бұрышты қайтарады.

арккосек- арккосекант, оның косекантасының мәніне негізделген бұрышты қайтарады.

Көрсетілген нүктеде кері тригонометриялық функция анықталмаса, оның мәні қорытынды кестеде көрсетілмейді. Функциялар доғасекЖәне арккосек(-1,1) сегментінде анықталмайды, бірақ арксинЖәне arccos[-1,1] интервалында ғана анықталады.

Кері тригонометриялық функцияның атауы сәйкес тригонометриялық функцияның атынан “arc-” префиксін қосу арқылы жасалады (лат. доға біз- доға). Бұл геометриялық тұрғыдан кері тригонометриялық функцияның мәні бір немесе басқа кесіндіге сәйкес келетін бірлік шеңбер доғасының ұзындығымен (немесе осы доғаны қамтитын бұрышпен) байланысты болатындығына байланысты.

Кейде шетелдік әдебиеттерде, сондай-ақ ғылыми/инженерлік калькуляторларда сияқты белгілерді пайдаланады күнә−1, cos −1арксинус, арккосин және сол сияқтылар үшін бұл толық дәл емес деп саналады, өйткені функцияны қуатқа көтерумен шатасу болуы мүмкін −1 (« −1 » (бірінші қуатты алып тастау) функцияны анықтайды x = f -1 (y), функцияға кері y = f(x)).

Кері тригонометриялық функциялардың негізгі қатынастары.

Мұнда формулалар жарамды болатын аралықтарға назар аудару керек.

Кері тригонометриялық функцияларға қатысты формулалар.

Кері тригонометриялық функциялардың кез келген мәндерін былай белгілейік Arcsin x, Arccos x, Арктан x, Arccot ​​xжәне белгілерді сақтаңыз: arcsin x, arcos x, арктан x, arccot ​​xолардың негізгі құндылықтары үшін, онда олардың арасындағы байланыс осындай қатынастар арқылы көрінеді.