Тақырып бойынша презентация және сабақ:
"$y=ax^2+bx+c$ функциясының графигі. Қасиеттер"

Қосымша материалдар
Құрметті қолданушылар, өз пікірлеріңізді, пікірлеріңізді, тілектеріңізді қалдыруды ұмытпаңыздар! Барлық материалдар антивирустық бағдарлама арқылы тексерілді.

8-сыныпқа арналған Integral интернет-дүкеніндегі оқу құралдары мен тренажерлар
Оқулыққа арналған нұсқаулық Дорофеев Г.В. Никольскийдің оқулығына арналған нұсқаулық С.М.

Балалар, біз өткен сабақтарда көптеген графтарды, соның ішінде көптеген параболаларды құрастырдық. Бүгін біз алған білімімізді қорытындылаймыз және осы функцияның графиктерін барынша құруды үйренеміз жалпы көрініс.
$a*x^2+b*x+c$ квадрат үшмүшесін қарастырайық. $a, b, c$ коэффициенттері деп аталады. Олар кез келген сандар болуы мүмкін, бірақ $a≠0$. $a*x^2$ жетекші мүше деп аталады, $a$ - жетекші коэффициент. $b$ және $c$ коэффициенттері болуы мүмкін екенін атап өткен жөн нөлге тең, яғни үшмүше екі мүшеден тұрады, ал үшіншісі нөлге тең болады.

$y=a*x^2+b*x+c$ функциясын қарастырайық. Бұл функция «квадраттық» деп аталады, себебі ең жоғары дәреже екінші, яғни квадрат. Коэффиценттер жоғарыда көрсетілгендей.

Өткен сабақта соңғы мысалда ұқсас функцияның графигін салуды қарастырдық.
Кез келген осындай квадраттық функцияны келесі түрге келтіруге болатынын дәлелдейік: $y=a(x+l)^2+m$.

Мұндай функцияның графигі қосымша координаталар жүйесінің көмегімен тұрғызылады. Үлкен математикада сандар өте сирек кездеседі. Кез келген дерлік мәселе ең жалпы жағдайда дәлелденуі керек. Бүгін біз осындай дәлелдердің бірін қарастырамыз. Балалар, сендер математикалық аппараттың толық қуатын, сонымен бірге оның күрделілігін де көресіңдер.

Толық шаршыны таңдаңыз квадрат үшмүше:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b)) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Біз қалағанымызды алдық.
Кез келген квадраттық функцияны келесідей көрсетуге болады:
$y=a(x+l)^2+m$, мұнда $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.

$y=a(x+l)^2+m$ графигін салу үшін $y=ax^2$ функциясын салу керек. Оның үстіне параболаның төбесі $(-l;m)$ координаталары бар нүктеде орналасады.
Сонымен, біздің $y=a*x^2+b*x+c$ функциясы парабола болып табылады.
Парабола осі $x=-\frac(b)(2a)$ түзу болады, ал абсцисса осі бойындағы парабола төбесінің координаталары, көріп отырғанымыздай, мына формуламен есептеледі: $. x_(c)=-\frac(b)(2a) $.
Парабола төбесінің у осінің координатасын есептеу үшін мына әрекеттерді орындауға болады:

• формуланы пайдаланыңыз: $y_(в)=\frac(4ac-b^2)(4a)$,
• $x$ бойындағы шыңның координатасын бастапқы функцияға тікелей ауыстырыңыз: $y_(в)=ax_(в)^2+b*x_(в)+c$.

Төбенің ординатасын қалай есептейді? Тағы да таңдау сіздікі, бірақ әдетте екінші әдісті есептеу оңайырақ болады.
Кейбір қасиеттерді сипаттау немесе кейбір нақты сұрақтарға жауап беру қажет болса, функцияның графигін құру әрқашан қажет емес. Құрылыссыз жауап беруге болатын негізгі сұрақтарды келесі мысалда қарастырамыз.

1-мысал.
$y=4x^2-6x-3$ функциясының графигін салмай, келесі сұрақтарға жауап беріңіз:

Шешім.
а) Парабола осі $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3) түзу. )(4)$ .
б) $x_(c)=\frac(3)(4)$ үстіндегі төбенің абсциссасын таптық.
Төбенің ординатасын бастапқы функцияға тікелей ауыстыру арқылы табамыз:
$y_(в)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4) )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
в) Қажетті функцияның графигі $y=4x^2$ графигін параллель тасымалдау арқылы алынады. Оның тармақтары жоғары қарайды, яғни бастапқы функцияның параболасының тармақтары да жоғары қарайды.
Жалпы, егер $a>0$ коэффициенті болса, онда тармақтар жоғары қарайды, егер $a коэффициенті болса
2-мысал.
Функцияның графигін салыңыз: $y=2x^2+4x-6$.

Шешім.
Парабола төбесінің координаталарын табайық:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(в)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Координат осінде шыңның координатасын белгілейік. Осы кезде, дәл осы кезде жаңа жүйекоординаталары $y=2x^2$ параболасын саламыз.

Парабола графиктерін құруды жеңілдетудің көптеген жолдары бар.

• Біз екі симметриялы нүктені таба аламыз, осы нүктелердегі функцияның мәнін есептейміз, оларды белгілейміз координаталық жазықтықжәне оларды параболаны сипаттайтын қисық төбесіне қосыңыз.
• Біз параболаның төбесінің оң немесе сол жағына тармағын салып, сосын оны бейнелей аламыз.
• Біз нүкте бойынша құра аламыз.

3-мысал.
Ең үлкенін табыңыз және ең кіші мәнфункциялары: $y=-x^2+6x+4$ $[-1;6]$ интервалында.

Шешім.
Осы функцияның графигін тұрғызып, қажетті интервалды таңдап, графигіміздің ең төменгі және ең жоғарғы нүктелерін табайық.
Парабола төбесінің координаталарын табайық:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(в)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
$(3;13)$ координаттары бар нүктеде $y=-x^2$ параболасын саламыз. Қажетті интервалды таңдайық. Ең төменгі нүктенің координатасы -3, ең жоғарғы нүктесінің координатасы 13.
$y_(аты)=-3$; $y_(максималды)=13$.

Өз бетінше шешілетін мәселелер

1. $y=-3x^2+12x-4$ функциясының графигін салмай, келесі сұрақтарға жауап беріңіз:
а) Парабола осі қызметін атқаратын түзуді анықтаңыз.
б) Шыңның координаталарын табыңдар.
в) Парабола қай жаққа бағытталған (жоғары немесе төмен)?
2. Функцияның графигін тұрғызыңыз: $y=2x^2-6x+2$.
3. Функцияның графигін тұрғыз: $y=-x^2+8x-4$.
4. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін табыңыз: $[-5;2]$ кесіндісінде $y=x^2+4x-3$.

ax 2 + bx + c түріндегі өрнекті қарастырайық, мұндағы a, b, c - нақты сандар, және нөлден ерекшеленеді. Бұл математикалық өрнек квадрат үшмүше ретінде белгілі.

Еске салайық, балта 2 осы квадрат үшмүшенің жетекші мүшесі, ал а оның жетекші коэффициенті.

Бірақ квадрат үшмүшенің барлық үш мүшесі бола бермейді. Мысалы, 3x 2 + 2x өрнегін алайық, мұндағы a=3, b=2, c=0.

Келесіге көшейік квадраттық функция y=ax 2 +in+c, мұндағы a, b, c кез келген ерікті сандар. Бұл функция квадраттық болып табылады, өйткені оның құрамында екінші дәрежелі, яғни х квадраты бар.

Квадраттық функцияның графигін салу өте оңай, мысалы, тамаша квадратты оқшаулау әдісін қолдануға болады;

y тең -3x 2 - 6x + 1 функциясының графигін салу мысалын қарастырайық.

Ол үшін бірінші есімізде -3x 2 - 6x + 1 үшмүшесінде толық квадратты оқшаулау схемасы.

Алғашқы екі мүше үшін жақшаның ішінен -3 алайық. Бізде -3 есе x квадрат плюс 2x қосындысы бар және 1 қосамыз. Жақшадағы біреуін қосу және азайту арқылы біз жиырылуы мүмкін қосындының квадраты формуласын аламыз. Қосындыны (х+1) көбейткенде -3-ті аламыз, квадрат минус 1-ді қосамыз. Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді қосқанда, өрнек аламыз: -3 қосындының квадратына көбейтілген (х+1) 4-ті қосыңыз.

Бастысы координаталары (-1; 4) нүктесінде болатын көмекші координаталар жүйесіне көшу арқылы алынған функцияның графигін тұрғызайық.

Бейнедегі суретте бұл жүйе нүктелі сызықтармен көрсетілген. Құрылған координаталар жүйесіне y тең -3x2 функциясын байланыстырайық. Ыңғайлы болу үшін бақылау нүктелерін алайық. Мысалы, (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). Сонымен бірге біз оларды құрылған координаттар жүйесінде бір жаққа қоямыз. Құрылыс кезінде алынған парабола бізге қажетті график болып табылады. Суретте бұл қызыл парабола.

Толық квадратты оқшаулау әдісін қолданып, біз түрдегі квадраттық функцияны аламыз: y = a*(x+1) 2 + m.

y = ax 2 + bx + c параболасының графигін y = ax 2 параболасынан параллель аудару арқылы оңай алуға болады. Бұл биномның тамаша квадратын оқшаулау арқылы дәлелдеуге болатын теоремамен расталады. ax 2 + bx + c өрнегі кезекті түрлендірулерден кейін келесі түрдегі өрнекке айналады: a*(x+l) 2 + m. График салайық. y = ax 2 параболасының төбесін координаталары (-l; m) нүктемен теңестіре отырып, парабола қозғалысын орындаймыз. Ең бастысы, x = -l, яғни -b/2a. Бұл бұл түзу параболаның осі 2 + bx + c, оның төбесі абсцисса x нөлге тең минус b 2a-ға бөлінген нүктеде және ордината 4ac - b 2 ауыр формуласы арқылы есептелетінін білдіреді. /. Бірақ бұл формуланы есте сақтаудың қажеті жоқ. Өйткені функцияға абсцисса мәнін қою арқылы ординатаны аламыз.

Парабола осінің теңдеуін, оның тармақтарының бағытын және параболаның төбесінің координаталарын анықтау үшін келесі мысалды қарастырайық.

y = -3x 2 - 6x + 1 функциясын алайық. Парабола осінің теңдеуін құрастырып, х = -1 болады. Ал бұл шама парабола төбесінің х координатасы. Ординатаны табу ғана қалады. Функцияға -1 мәнін қойып, 4 шығады. Параболаның төбесі (-1; 4) нүктесінде.

y = -3x 2 - 6x + 1 функциясының графигі y = -3x 2 функциясының графигін параллель көшіру арқылы алынды, яғни ол ұқсас әрекет етеді. Жетекші коэффициент теріс, сондықтан тармақтар төменге бағытталған.

y = ax 2 + bx + c түріндегі кез келген функция үшін ең оңай сұрақ соңғы сұрақ, яғни парабола тармақтарының бағыты екенін көреміз. Егер а коэффициенті оң болса, онда тармақтар жоғары, ал теріс болса, онда тармақтар төмен.

Келесі ең қиын сұрақ - бірінші сұрақ, себебі ол қосымша есептеулерді қажет етеді.

Ал екіншісі - ең қиын, өйткені есептеулерден басқа, x нөлге және у нөлге тең болатын формулаларды білу керек.

y = 2x 2 - x + 1 функциясының графигін тұрғызайық.

Біз бірден анықтаймыз - график парабола, тармақтар жоғары бағытталған, өйткені жетекші коэффициент 2, және бұл оң сан. Формула арқылы х абсциссасының нөл екенін табамыз, ол 1,5-ке тең. Ординатаны табу үшін y нөл 1,5 функциясына тең екенін есте сақтаңыз, біз -3,5 аламыз;

Жоғарғы - (1,5;-3,5). Ось - x=1,5. x=0 және x=3 нүктелерін алайық. y=1. Осы нүктелерді белгілейік. Үш белгілі нүктеге сүйене отырып, біз қалаған графикті саламыз.

ax 2 + bx + c функциясының графигін салу үшін сізге қажет:

Парабола төбесінің координаталарын тауып, суретте белгілеңіз, содан кейін параболаның осін сызыңыз;

oh осінде парабола осіне қатысты симметриялы екі нүктені алып, осы нүктелердегі функцияның мәнін тауып, координаталық жазықтықта белгілеңіз;

Қажет болса, үш нүкте арқылы параболаны тұрғызыңыз, сіз тағы бірнеше нүктені алып, олардың негізінде графикті құра аласыз.

Келесі мысалда сегменттегі -2x 2 + 8x - 5 функциясының ең үлкен және ең кіші мәндерін табуды үйренеміз.

Алгоритм бойынша: a=-2, b=8, яғни х нөл 2, ал у нөл 3, (2;3) - параболаның төбесі, х=2 - ось.

x=0 және x=4 мәндерін алып, осы нүктелердің ординаталарын табайық. Бұл -5. Парабола тұрғызып, функцияның ең кіші мәні x=0 кезінде -5, ал x=2 кезінде ең үлкені 3 болатынын анықтаймыз.

9-сыныптың алгебра курсында «Функция y=ax^2 функциясы, оның графигі және қасиеттері» тақырыбындағы сабақ «Функция» тақырыбы бойынша сабақ жүйесінде оқытылады. Бұл сабақ мұқият дайындықты қажет етеді. Дәлірек айтқанда, шын мәнінде жақсы нәтиже беретін оқыту әдістері мен құралдары.

Бұл бейне сабақтың авторы мұғалімдерге осы тақырып бойынша сабаққа дайындалуға көмектесетініне сенімді болды. Ол барлық талаптарды ескере отырып, бейне оқу құралын әзірледі. Материал оқушылардың жас ерекшеліктеріне қарай таңдалады. Ол шамадан тыс жүктелмейді, бірақ өте сыйымды. Автор материалды егжей-тегжейлі түсіндіреді, маңыздырақ нәрселерге назар аударады. Әрбір теориялық нүкте қабылдау үшін мысалмен сүйемелденеді оқу материалыбұл әлдеқайда тиімді және сапалы болды.

Сабақты мұғалім 9-сыныптағы кәдімгі алгебра сабағында сабақтың белгілі бір кезеңі – жаңа материалды түсіндіру ретінде пайдалана алады. Бұл кезеңде мұғалім ештеңе айтпайды. Ол тек осы бейнесабақты қосып, оқушылардың мұқият тыңдап, маңызды сәттерді жазып алуына көз жеткізсе болғаны.

Сабақты мектеп оқушылары да пайдалана алады өзін-өзі оқытусабаққа, сонымен қатар өзін-өзі тәрбиелеуге арналған.

Сабақтың ұзақтығы 8:17 минут. Сабақтың басында автор маңызды функциялардың бірі квадраттық функция екенін атап өтеді. Содан кейін математикалық тұрғыдан квадраттық функция енгізіледі. Оның анықтамасы түсіндірмелермен беріледі.

Келесі кезекте автор студенттерді квадраттық функцияның анықталу облысымен таныстырады. Экранда дұрыс математикалық белгілер пайда болады. Осыдан кейін автор нақты жағдайдағы квадраттық функцияның мысалын қарастырады: физикалық есеп негізге алынады, ол біркелкі үдетілген қозғалыс кезінде жолдың уақытқа тәуелділігін көрсетеді.

Осыдан кейін автор y=3x^2 функциясын қарастырады. Экранда осы функция мен y=x^2 функциясының мәндерінің кестесі пайда болады. Осы кестелердегі мәліметтер бойынша функция графиктері құрастырылған. Мұнда y=3x^2 функциясының графигі y=x^2-тен қалай алынатынының шеңберінде түсініктеме пайда болады.

Екі ерекше жағдайды, y=ax^2 функциясының мысалдарын қарастыра отырып, автор бұл функцияның графигі y=x^2 графигінен қалай алынатыны туралы ережеге келеді.

Әрі қарай y=ax^2 функциясын қарастырамыз, мұндағы a<0. И, подобно тому, как строились графики функций до этого, автор предлагает построить график функции y=-1/3 x^2. При этом он строит таблицу значений, строит графики функций y=-1/3 x^2 и, замечая при этом закономерность расположения графиков между собой.

Содан кейін салдар қасиеттерден алынады. Олардың төртеуі бар. Олардың ішінде жаңа ұғым пайда болады - параболаның төбелері. Төменде осы функцияның графигі үшін қандай түрлендірулер мүмкін екенін көрсететін ескерту берілген. Осыдан кейін y=f(x) функциясының графигінен y=f(x) функциясының графигі, сондай-ақ y=f(x) функциясының графигінен y=af(x) қалай алынатыны туралы айтамыз. .

Осымен оқу материалын қамтитын сабақ аяқталады. Оны оқушылардың қабілетіне қарай сәйкес тапсырмаларды таңдау арқылы бекіту қалады.

Сабақ: Парабола немесе квадраттық функция қалай тұрғызылады?

ТЕОРИЯЛЫҚ БӨЛІМ

Парабола – ax 2 +bx+c=0 формуласымен сипатталған функцияның графигі.
Парабола құру үшін қарапайым алгоритмді орындау керек:

1) Парабола формуласы y=ax 2 +bx+c,
Егер a>0онда параболаның тармақтары бағытталған жоғары,
әйтпесе параболаның тармақтары бағытталған төмен.
Тегін мүше вбұл нүкте параболаны OY осімен қиып өтеді;

2) формула арқылы табылады x=(-b)/2a, табылған х-ті парабола теңдеуіне қойып, табамыз ж;

3)Функция нөлдерінемесе, басқаша айтқанда, параболаның OX осімен қиылысу нүктелері, оларды теңдеудің түбірлері деп те атайды. Түбірлерді табу үшін теңдеуді 0-ге теңейміз ax 2 +bx+c=0;

Теңдеу түрлері:

а) Толық квадрат теңдеуұқсайды ax 2 +bx+c=0және дискриминант арқылы шешіледі;
б) Толымсыз квадрат теңдеу түріндегі ax 2 +bx=0.Оны шешу үшін жақшаның ішінен x-ті алып тастау керек, содан кейін әрбір факторды 0-ге теңестіру керек:
ax 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 және ax+b=0;
в) Толымсыз квадрат теңдеу түріндегі балта 2 +c=0.Оны шешу үшін белгісіздерді бір жаққа, ал белгілілерді екінші жаққа жылжыту керек. x =±√(c/a);

4) Функцияны құру үшін бірнеше қосымша нүктелерді табыңыз.

ПРАКТИКАЛЫҚ БӨЛІМ

Енді мысалды қолдана отырып, біз бәрін кезең-кезеңімен талдаймыз:
№1 мысал:
y=x 2 +4x+3
c=3 парабола OY х=0 y=3 нүктесінде қиылысады. a=1 1>0 болғандықтан параболаның тармақтары жоғары қарайды.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 шыңы (-2;-1) нүктесінде
x 2 +4x+3=0 теңдеуінің түбірлерін табайық
Дискриминант көмегімен түбірлерді табамыз
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

x = -2 шыңына жақын орналасқан бірнеше ерікті нүктелерді алайық

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

y=x 2 +4x+3 мәндерін теңдеудегі х орнына ауыстырыңыз
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Функция мәндерінен параболаның x = -2 түзуіне қатысты симметриялы екенін көруге болады.

№2 мысал:
y=-x 2 +4x
c=0 параболаның OY х=0 y=0 нүктесінде қиылысуын білдіреді. a=-1 -1 болғандықтан параболаның тармақтары төмен қарайды -x 2 +4x=0 теңдеуінің түбірлерін табайық.
ax 2 +bx=0 түріндегі толық емес квадрат теңдеу. Оны шешу үшін жақшаның ішінен x-ты алып, әр көбейткішті 0-ге теңестіру керек.
x(-x+4)=0, x=0 және x=4.

x=2 шыңына жақын орналасқан бірнеше ерікті нүктелерді алайық
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
y=-x 2 +4x мәндерін теңдеудегі х орнына ауыстырыңыз
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Функция мәндерінен параболаның x = 2 түзуіне қатысты симметриялы екенін көруге болады.

№3 мысал
y=x 2 -4
c=4 парабола OY х=0 y=4 нүктесінде қиылысады. a=1 1>0 болғандықтан параболаның тармақтары жоғары қарайды.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 шыңы (0;-) нүктесінде 4)
x 2 -4=0 теңдеуінің түбірлерін табайық
ax 2 +c=0 түріндегі толық емес квадрат теңдеу. Оны шешу үшін белгісіздерді бір жаққа, ал белгілілерді екінші жаққа жылжыту керек. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2

x=0 шыңына жақын орналасқан бірнеше ерікті нүктелерді алайық
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
y= x 2 -4 мәндері теңдеуіне х орнына ауыстырыңыз
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Функция мәндерінен параболаның x=0 түзуіне қатысты симметриялы екенін көруге болады.

Жазылу YOUTUBE каналынабарлық жаңа өнімдерден хабардар болу және бізбен бірге емтихандарға дайындалу.

үшін анықтамалық деректерді береді көрсеткіштік функция- негізгі қасиеттер, графиктер және формулалар. Мынадай мәселелер қарастырылады: анықтау облысы, мәндер жиынтығы, монотондылық, кері функция, туынды, интегралдық, дәрежелік қатарларды кеңейту және комплекс сандарды қолданып көрсету.

Мазмұны

Көрсеткіштік функцияның қасиеттері

Көрсеткіштік функция y = a x нақты сандар жиынында келесі қасиеттерге ие ():
(1.1) анықталған және үздіксіз, үшін , барлығы үшін ;
(1.2) ≠ үшін 1 көптеген мағыналары бар;
(1.3) -де қатаң өседі, -де қатаң төмендейді,
тұрақты болып табылады;
(1.4) бойынша;
бойынша;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Басқа пайдалы формулалар.
.
Басқа дәрежелік базасы бар экспоненциалды функцияға түрлендіру формуласы:

b = e болғанда, көрсеткіштік функцияның өрнегін экспоненциал арқылы аламыз:

Жеке құндылықтар

, , , , .

а негізінің әртүрлі мәндері үшін y = a x.

Суретте көрсеткіштік функцияның графиктері көрсетілген
ж (x) = a x
төрт мән үшін дәреже негіздері: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 және a = 1/8 . > үшін екенін көруге болады 1 көрсеткіштік функция монотонды түрде артады. А дәрежесінің негізі неғұрлым үлкен болса, өсу соғұрлым күшті болады. Сағат 0 < a < 1 көрсеткіштік функция монотонды түрде азаяды. Көрсеткіш а неғұрлым кіші болса, соғұрлым азаяды.

Көтерілу, төмендеу

Көрсеткіштік функция қатаң монотонды, сондықтан экстремумы жоқ. Оның негізгі қасиеттері кестеде көрсетілген.

	y = a x , a > 1	у = балта, 0 < a < 1
Домен	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Мәндер ауқымы	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотонды	монотонды түрде артады	монотонды түрде төмендейді
Нөлдер, у = 0	Жоқ	Жоқ
Ордината осімен қиылысу нүктелері, x = 0	у= 1	у= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Кері функция

Негізі а болатын көрсеткіштік функцияның кері мәні а негізінің логарифмі болып табылады.

Егер болса, онда
.
Егер болса, онда
.

Көрсеткіштік функцияны дифференциалдау

Көрсеткіштік функцияны дифференциалдау үшін оның негізін e санына келтіру керек, туындылар кестесін және дифференциалдау ережесін қолдану керек. күрделі функция.

Ол үшін логарифмдердің қасиетін пайдалану керек
және туындылар кестесіндегі формула:
.

Көрсеткіштік функция берілсін:
.
Біз оны e негізіне жеткіземіз:

Күрделі функцияларды дифференциалдау ережесін қолданайық. Ол үшін айнымалыны енгізіңіз

Содан кейін

Туындылар кестесінен бізде (х айнымалысын zмен ауыстырыңыз):
.
Тұрақты шама болғандықтан, z-тің х-ке қатысты туындысы тең
.
Күрделі функцияны дифференциалдау ережесі бойынша:
.

Көрсеткіштік функцияның туындысы

.
n-ші ретті туынды:
.
Формулаларды шығару > > >

Көрсеткіштік функцияны дифференциалдауға мысал

Функцияның туындысын табыңыз
у= 3 5 x

Шешім

Көрсеткіштік функцияның негізін e саны арқылы өрнектейік.
3 = e ln 3
Содан кейін
.
Айнымалы мәнді енгізіңіз
.
Содан кейін

Туындылар кестесінен мынаны табамыз:
.
Өйткені 5 млн 3тұрақты болса, онда х-ке қатысты z туындысы мынаған тең болады:
.
Күрделі функцияны дифференциалдау ережесіне сәйкес бізде:
.

Жауап

Ажырамас

Күрделі сандарды қолданатын өрнектер

Функцияны қарастырыңыз күрделі сан z:
f (z) = a z
мұндағы z = x + iy; мен 2 = - 1 .
Комплекс a тұрақтысын модуль r және φ аргументі арқылы өрнектейік:
a = r e i φ
Содан кейін


.
φ аргументі біркелкі анықталмаған. Жалпы алғанда
φ = φ 0 + 2 πn,
мұндағы n – бүтін сан. Сондықтан f функциясы (z)да анық емес. Оның негізгі мәні жиі қарастырылады
.