Решение квадратных уравнений. Квадратные уравнения. Основные понятия К 8 5 квадратные уравнения
Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.
Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
- Не имеют корней;
- Имеют ровно один корень;
- Имеют два различных корня.
В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .
Дискриминант
Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .
Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:
- Если D < 0, корней нет;
- Если D = 0, есть ровно один корень;
- Если D > 0, корней будет два.
Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a
= 1, b
= −8, c
= 12;
D
= (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a
= 5; b
= 3; c
= 7;
D
= 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a
= 1; b
= −6; c
= 9;
D
= (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень будет один.
Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.
Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.
Корни квадратного уравнения
Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:
Основная формула корней квадратного уравнения
Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
Первое уравнение:
x
2 − 2x
− 3 = 0 ⇒ a
= 1; b
= −2; c
= −3;
D
= (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:
Второе уравнение:
15 − 2x
− x
2 = 0 ⇒ a
= −1; b
= −2; c
= 15;
D
= (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их
\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]
Наконец, третье уравнение:
x
2 + 12x
+ 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:
Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.
Неполные квадратные уравнения
Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 − 16 = 0.
Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.
Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.
Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:
Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:
- Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
- Если же (−c /a ) < 0, корней нет.
Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.
Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
Вынесение общего множителя за скобкуПроизведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
Задача. Решить квадратные уравнения:
- x 2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
В этом видео уроке рассказывается о том, как решить квадратное уравнение. Решение квадратных уравнений обычно начинают изучать в общеобразовательной школе, 8 класс. Корни квадратного уравнения находят по специальной формуле. Пусть задано квадратное уравнение вида ax2+bx+c=0, где x - неизвестное, a, b и c - коэффициенты, которые являются действительными числами. Для начала, необходимо определить дискриминант по формуле D=b2-4ac. После этого остается вычислить корни квадратного уравнения по известной формуле. Теперь попробуем решить конкретный пример. В качестве исходного уравнения возьмем x2+x-12=0, т.е. коэффициент a=1, b=1, c=-12. По известной формуле можно определить дискриминант. Затем по формуле нахождения корней уравнения вычислим их. В нашем случае, дискриминант будет равен 49. То, что значение дискриминанта является положительным числом, говорит нам о том, что данное квадратное уравнение будет иметь два корня. После несложных вычислений, получаем, что x1=-4, x2=3. Таким образом, мы решили квадратное уравнение, вычислив его корни Видео урок «Решение квадратных уравнений (8 класс). Находим корни по формуле» вы можете смотреть онлайн в любое время совершенно бесплатно. Удачи Вам!
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Косинская основная общеобразовательная школа»
Урок с использованием ИКТ
Решение квадратных уравнений по формуле.
Разработчик:
Черевина Оксана Николаевна
учитель математики
Цель:
закрепить решение квадратных уравнений по формуле,
способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов,
развивать самостоятельность и творчество.
Оборудование:
математический диктант (Презентация 1),
карточки с разноуровневыми заданиями для самостоятельной работы,
таблица формул для решения квадратных уравнений(в уголке «В помощь к уроку»),
распечатка «Старинной задачи» (количество учащихся),
балльно-рейтинговая таблица на доске.
Общий план:
Проверка домашнего задания
Математический диктант.
Устные упражнения.
Решение упражнений на закрепление.
Самостоятельная работа.
Историческая справка.
Ход урока.
Оргмомент.
Проверка домашнего задания.
- Ребята, с какими уравнениями мы по познакомились на прошедших уроках?
- Какими способами можно решать квадратные уравнения?
- Дома вы должны были решить 1 уравнение двумя способами.
(Уравнение давалось 2-х уровней, рассчитанное на слабых и сильных учеников)
- Давайте вместе со мной проверим. как вы справились с заданием.
(на доске учитель до урока делает запись решения дом. задания)
Ученики проверяют и делают вывод: неполные квадратные уравнения легче решать разложением на множители или обычным способом, полные – по формуле.
Учитель подчеркивает: не зря способ решения кв. уравнений по формуле называют универсальным.
Повторение.
Сегодня на уроке мы продолжим с вами заниматься решением квадратных уравнений. Урок у нас будет необычный, потому что сегодня вас не только я буду оценивать, но и вы сами. Чтобы заработать хорошую оценку и успешно справиться с самостоятельной работой, вы должны заработать как можно больше баллов. По одному баллу, я думаю, вы уже заработали, справившись с домашним заданием.
- А теперь я хочу, чтобы вы вспомнили и еще раз повторили определения и формулы, изученные нами по данной теме.(Ответы учащихся оцениваются 1 баллом за правильный ответ, и 0 баллов - неправильный)
- А сейчас, ребята, мы с вами выполним математический диктант, внимательно и быстро читайте задание на мониторе компьютера. (Презентация 1)
Учащиеся выполняют работу, и с помощью ключа оценивают свою деятельность.
Математический диктант.
Квадратным уравнением называют уравнение вида…
В квадратном уравнении 1-й коэффициент -…, 2-й коэффициент -…, свободный член - …
Квадратное уравнение называют приведенным, если…
Напишите формулу вычисления дискриминанта квадратного уравнения
Напишите формулу вычисления корня квадратного уравнения, если корень в уравнении один.
При каком условии квадратное уравнение не имеет корней?
(самопроверка с помощью ПК, за каждый правильный ответ - 1 балл).
Устные упражнения. (на обратной стороне доски)
- Назовите сколько корней имеет каждое уравнение? (задание также оценивается в 1 балл)
1. (х - 1)(х +11) = 0;
2. (х – 2)² + 4 = 0;
3. (2х – 1)(4 + х) = 0;
4. (х – 0.1)х = 0;
5. х² + 5 = 0;
6. 9х² - 1 = 0;
7. х² - 3х = 0;
8. х + 2 = 0;
9. 16х² + 4 = 0;
10. 16х² - 4 = 0;
11. 0,07х² = 0.
Решение упражнений на закрепление материала.
Из предложенных на мониторе ПК уравнений выполняются самостоятельно(СD-7), при проверке, учащиеся выполнившие вычисления правильно поднимают руки (1 балл); в это время более слабые учащиеся решают на доске по одному уравнению и те, кто справились самостоятельно с заданием получают по 1 баллу.
Самостоятельная работа в 2-х вариантах.
Кто набрал 5 и более баллов начинают самостоятельную работу с №5.
Кто набрал 3 и менее – с №1.
Вариант 1.
а) 3х² + 6х – 6 = 0, б) х² - 4х + 4 = 0, в) х² - х + 1 = 0.
№2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 поформуле D = b² - 4ac.
а) 5х² - 7х + 2 = 0,
D = b² - 4ac
D= (-7²) – 4 5 2 = 49 – 40 = …;
б) х² - х – 2 = 0,
D = b² - 4ac
D = (-1) ² - 4 1 (-2) = …;
№3. Закончите решение уравнения
3х² - 5х – 2 = 0.
D = b² - 4ac
D = (-5) ² - 4 3 (-2) = 49.
х = …
№4. Решите уравнение.
а) (х - 5)(х + 3) = 0; б) х² + 5х + 6 = 0
а) (x-3)^2=3x-5; б) (x+4)(2x-1)=x(3x+11)
№6. Решите уравнение x2+2√2 x+1=0
№7. При каком значении а уравнение х² - 2ах + 3 = 0 имеет один корень?
Вариант 2.
№1. Для каждого уравнения вида ax² + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.
а) 4х² - 8х + 6 = 0, б) х² + 2х - 4 = 0, в) х² - х + 2 = 0.
№2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 по формуле D = b² - 4ac.
а) 5х² + 8х - 4 = 0,
D = b² - 4ac
D = 8² – 4 5 (- 4) = 64 – 60 = …;
б) х² - 6х + 5 = 0,
D = b² - 4ac
D = (-6) ² - 4 1 5 = …;
3№. Закончите решение уравнения
х² - 6х + 5 = 0.
D = b² - 4ac
D = (-6) ² - 4 1 5 = 16.
х = …
№4. Решите уравнение.
а) (х + 4)(х - 6) = 0; б) 4х² - 5х + 1 = 0
№5. Приведите уравнение к квадратному и решите его:
а) (x-2)^2=3x-8; б) (3x-1)(x+3)+1=x(1+6x)
№6. Решите уравнение x2+4√3 x+12=0
№7. При каком значении а уравнение х² + 3ах + а = 0 имеет один корень.
Итог урока.
Подведение итогов по результатам балльно-рейтинговой таблицы.
Историческая справка и задача.
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого математика Индии 12 века Бхаскары:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
VII. Домашнее задание.
Предлагается решить данную историческую задачу и оформить её на отдельных листах, с рисунком.
ПРИЛОЖЕНИЕ
№ Ф.И.
учащегося Виды деятельности ИТОГ
Домашнее задание Диктант Устные упражнения Закрепление материала
Работа ПК Работа у доски
1 Иванов И.
2 Федоров Г.
3 Яковлева Я.
…
Максимальное количество – 22-23 балла.
Минимальное – 3-5 баллов
3-10 баллов – оценка «3»,
11-20 баллов – оценка «4»,
21-23 баллов – оценка «5»
Класс: 8
Рассмотрим стандартные (изучаемые в школьном курсе математики) и нестандартные приёмы решения квадратных уравнений.
1. Разложение левой части квадратного уравнения на линейные множители.
Рассмотрим примеры:
3) х 2 + 10х – 24 = 0.
6(х 2 + х – х) = 0 | : 6
х 2 + х – х – = 0;
х(х – ) + (х – ) = 0;
х(х – ) (х + ) = 0;
= ; – .Ответ: ; – .
Для самостоятельной работы:
Решите квадратные уравнения, применяя метод разложения левой части квадратного уравнения на линейные множители.
а) х 2 – х = 0; г) х 2 – 81 = 0; ж) х 2 + 6х + 9 = 0; |
б) х 2 + 2х = 0; д) 4х 2 – = 0; з) х 2 + 4х + 3 = 0; |
в) 3х 2 – 3х = 0; е) х 2 – 4х + 4 = 0; и) х 2 + 2х – 3 = 0. |
а) 0; 1 | б) -2; 0 | в) 0; 1 |
2. Метод выделения полного квадрата.
Рассмотрим примеры:
Для самостоятельной работы.
Решите квадратные уравнения, применяя метод выделения полного квадрата.
3. Решение квадратных уравнений по формуле.
ах 2 + вх + с = 0, (а | · 4а
4а 2 х 2 + 4ав + 4ас = 0;
2ах + 2ах·2в + в 2 – в 2 + 4ас = 0;
2 = в 2 – 4ас; = ± ;Рассмотрим примеры.
Для самостоятельной работы.
Решите квадратные уравнения, применяя формулу х 1,2 =.
4. Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)
x 2 + px +q = 0 – приведённое квадратное уравнение
по теореме Виета.Если то уравнение имеет два одинаковых корня по знаку и это зависит от коэффициента .
Если p, то .
Если p, то.
Например:
Если то уравнение имеет два различных по знаку корня, причём больший по модулю корень будет , если p и будет , если p.
Например:
Для самостоятельной работы.
Не решая квадратного уравнения, по обратной теореме Виета определите знаки его корней:
а, б, к, л – различные корни;
в, д, з – отрицательные;
г, е, ж, и, м – положительные;
5. Решение квадратных уравнений методом “переброски”.
Для самостоятельной работы.
Решите квадратные уравнения, применяяметод “переброски”.
6. Решение квадратных уравнений с применением свойств его коэффициентов.
I. ax 2 + bx + c = 0, где a 0
1) Если а + b + с = 0, то х 1 = 1; х 2 =
Доказательство:
ax 2 + bx + c = 0 |: а
х 2 + х + = 0.
По теореме Виета
По условию а + b + с = 0, тогда b = -а – с. Далее получим
Из этого следует, что х 1 =1; х 2 = . Что и требовалось доказать.
2) Если а – b + с = 0 (или b = а +с) , то х 1 = – 1; х 2 = –
Доказательство:
По теореме Виета
По условию а – b + с = 0 , т.е. b = а +с. Далее получим:
Поэтому х 1 = – 1; х 2 = – .
Рассмотрим примеры.
1) 345 х 2 – 137 х – 208 = 0.
а + b + с = 345 – 137 – 208 = 0
х 1 = 1; х 2 = =
2) 132 х 2 – 247 х + 115 = 0.
а + b + с = 132 -247 -115 = 0.
х 1 = 1; х 2 = =
Ответ : 1;
Для самостоятельной работы.
Применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения, решите уравнения
II. ax 2 + bx + c = 0, где a 0
х 1,2 = . Пусть b = 2k, т.е. чётное. Тогда получим
х 1,2 = = = =
Рассмотрим пример:
3х 2 – 14х + 16 = 0 .
D 1 = (-7) 2 – 3·16 = 49 – 48 = 1
х 1 = = 2; х 2 =
Ответ : 2;
Для самостоятельной работы.
а) 4х 2 – 36х + 77 = 0
б) 15х 2 – 22х – 37 = 0
в) 4х 2 + 20х + 25 = 0
г) 9х 2 – 12х + 4 = 0
Ответы :
III. x 2 + px + q = 0
х 1,2 = – ± 2 – q
Рассмотрим пример:
х 2 – 14х – 15 = 0
х 1,2 = 7 = 7
х 1 = -1 ; х 2 = 15.
Ответ : -1; 15.
Для самостоятельной работы.
а) х 2 – 8х – 9 = 0
б) х 2 + 6х – 40 = 0
в) х 2 + 18х + 81 = 0
г) х 2 – 56х + 64 = 0
7. Решение квадратного уравнения с помощью графиков.
а) х 2 – 3х – 4 = 0
Ответ: -1; 4
б) х 2 – 2х + 1 = 0
в) х 2 – 2х + 5 = 0
Ответ: нет решений
Для самостоятельной работы.
Решить квадратные уравнения графически:
8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
ax 2 + bx + c = 0,
х 2 + х + = 0.
х 1 и х 2 – корни.
Пусть А(0; 1), С(0;
По теореме о секущих:
ОВ· ОД = ОА · ОС.
Поэтому имеем:
х 1 · х 2 = 1 · ОС;
ОС = х 1 х 2
К(; 0), где = -
F(0; ) = (0; ) = )
1) Построим точку S(-; ) – центр окружности и точку А(0;1).
2) Проведём окружность с радиусом R = SA/
3) Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью ох являются корнями исходного квадратного уравнения.
Возможны 3 случая:
1) R > SK (или R > ).
Окружность пересекает ось ох в точке В(х 1 ; 0) и D(х 2 ; 0), где х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.
2) R = SK (или R = ).
Окружность касается оси ох в тоске В 1 (х 1 ; 0), где х 1 – корень квадратного уравнения
ax 2 + bx + c = 0.
3) R < SK (или R < ).
Окружность не имеет общих точек с осью ох, т.е. нет решений.
1) x 2 – 2x – 3 = 0.
Центр S(-; ),т.е.
х 0 = = – = 1,
у 0 = = = – 1.
(1; – 1) – центр окружности.
Проведём окружность (S; AS), где А(0; 1).
9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
Для решения используют Четырёхзначные математические таблицы В.М. Брадиса (таблица XXII, стр. 83).
Номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения x 2 + px + q = 0, по его коэффициентам определить корни уравнения. Например:
5) z 2 + 4z + 3 = 0.
Оба корня отрицательные. Поэтому сделаем замену: z 1 = – t. Получим новое уравнение:
t 2 – 4t + 3 = 0.
t 1 = 1 ; t 2 = 3
z 1 = – 1 ; z 2 = – 3.
Ответ: – 3; – 1
6) Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, то выполняют подстановку z = k · t и решают с помощью номограммы уравнение: z 2 + pz + q = 0.
к 2 t 2 + p· kt + q = 0. |: к 2
к берут с расчётом, чтобы имели место неравенства:
Для самостоятельной работы.
у 2 + 6у – 16 = 0.
у 2 + 6у = 16, |+ 9
у 2 + 6у + 9 = 16 + 9
у 1 = 2, у 2 = -8.
Ответ: -8; 2
Для самостоятельной работы.
Решите геометрически уравнение у 2 – 6у – 16 = 0.
Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида:
Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.
Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта!
Даже неполное.
Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.
1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.
Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.
Если, то уравнение имеет 2 корня. Нужно особое внимание обратить на шаг 2.
Дискриминант D указывает нам на количество корней уравнения.
- Если, то формула на шаге сократится до. Таким образом, уравнение будет иметь всего корень.
- Если, то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.
Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения.
График функции является параболой:
Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.
Пример 9
Решите уравнение
Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
А значит уравнение имеет два корня.
Шаг 3.
Ответ:
Пример 10
Решите уравнение
Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
А значит уравнение имеет один корень.
Ответ:
Пример 11
Решите уравнение
Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
Азначит мы не сможем извлечь корень из дискриминанта. Корней уравнения не существует.
Теперь мы знаем, как правильно записывать такие ответы.
Ответ: Корней нет
2. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета
Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен):
Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна, а произведение корней равно.
Нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма - второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.
Пример 12
Решите уравнение
Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. .
Сумма корней уравнения равна, т.е. получаем первое уравнение:
А произведение равно:
Составим и решим систему:
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна.
и являются решением системы:
Ответ: ; .
Пример 13
Решите уравнение
Ответ:
Пример 14
Решите уравнение
Уравнение приведенное, а значит:
Ответ:
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Что такое квадратное уравнение?
Другими словами, квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - некоторые числа, причем.
Число называют старшим или первым коэффициентом квадратного уравнения, - вторым коэффициентом , а - свободным членом .
Потому что если, уравнение сразу станет линейным, т.к. пропадет.
При этом и могут быть равны нулю. В этом стулчае уравнение называют неполным .
Если же все слагаемые на месте, то есть, уравнение - полное .
Методы решения неполных квадратных уравнений
Для начала разберем методы решений неполных квадратных уравнений - они проще.
Можно выделить типа таких уравнений:
I. , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.
II. , в этом уравнении коэффициент равен.
III. , в этом уравнении свободный член равен.
Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.
Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:
Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел результатом всегда будет положительное число. Поэтому:
если, то уравнение не имеет решений;
если, имеем учаем два корня
Эти формулы не нужно запоминать. Главное помнить, что не может быть меньше.
Примеры решения квадратных уравнений
Пример 15
Ответ:
Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!
Пример 16
Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения
нет корней.
Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества.
Ответ:
Пример 17
Итак, это уравнение имеет два корня: и.
Ответ:
Вынесем общим множитель за скобки:
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:
Итак, данное квадратное уравнение имеет два корня: и.
Пример:
Решите уравнение.
Решение:
Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:
Ответ:
Методы решения полных квадратных уравнений
1. Дискриминант
Решать квадратные уравнения этим способом легко, главное запомнить последовательность действий и пару формул. Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.
Ты заметил корень из дискриминанта в формуле для корней?
Но ведь дискриминант может быть отрицательным.
Что делать?
Нужно особое внимание обратить на шаг 2. Дискриминант указывает нам на количество корней уравнения.
- Если, то уравнение имеет корня:
- Если, то уравнение имеет одинаковых корня, а по сути, один корень:
Такие корни называются двукратными.
- Если, то корень из дискриминанта не извлекается. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.
Почему возможно разное количество корней?
Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции является параболой:
В частном случае, которым является квадратное уравнение, .
А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось).
Парабола может вообще не пересекать ось, либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси) или двух точках.
Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент. Если, то ветви параболы направлены вверх, а если - то вниз.
4 примера решения квадратных уравнений
Пример 18
Ответ:
Пример 19
Ответ: .
Пример 20
Ответ:
Пример 21
А значит, решений нет.
Ответ: .
2. Теорема Виета
Использовать теорему Виета очень легко.
Нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма - второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.
Важно помнить, что теорему Виета можно применять только в приведенных квадратных уравнениях ().
Рассмотрим несколько примеров:
Пример 22
Решите уравнение.
Решение:
Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. . Остальные коэффициенты: ; .
Сумма корней уравнения равна:
А произведение равно:
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, и проверим, равна ли их сумма:
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна.
и являются решением системы:
Таким образом, и - корни нашего уравнения.
Ответ: ; .
Пример 23
Решение:
Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, а затем проверим, равна ли их сумма:
и: в сумме дают.
и: в сумме дают. Чтобы получить, достаточно просто поменять знаки предполагаемых корней: и, ведь произведение.
Ответ:
Пример 24
Решение:
Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней - отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой - положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей .
Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, и разность которых равна:
и: их разность равна - не подходит;
и: - не подходит;
и: - не подходит;
и: - подходит. Остается только вспомнить, что один из корней отрицательный. Так как их сумма должна равняться, то отрицательным должен быть меньший по модулю корень: . Проверяем:
Ответ:
Пример 25
Решите уравнение.
Решение:
Уравнение приведенное, а значит:
Свободный член отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:
Очевидно, что под первое условие подходят только корни и:
Ответ:
Пример 26
Решите уравнение.
Решение:
Уравнение приведенное, а значит:
Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно:
Очевидно, что корнями являются числа и.
Ответ:
Согласись, это очень удобно - придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант.
Старайся использовать теорему Виета как можно чаще!
Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускорить нахождение корней.
Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма. А для этого порешай-ка еще пяток примеров.
Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета!
5 примеров на теорему Виета для самостоятельной работы
Пример 27
Задание 1. {{x}^{2}}-8x+12=0
По теореме Виета:
Как обычно, начинаем подбор с произведения:
Не подходит, так как сумма;
: сумма - то что надо.
Ответ: ; .
Пример 28
Задание 2.
И снова наша любимая теорема Виета : в сумме должно получиться, а произведение равно.
Но так как должно быть не, а, меняем знаки корней: и (в сумме).
Ответ: ; .
Пример 29
Задание 3.
Хм… А где тут что?
Надо перенести все слагаемые в одну часть:
Сумма корней равна, произведение.
Так, стоп! Уравнение-то не приведенное.
Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях.
Так что сперва нужно уравнение привести.
Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант).
Напомню, что привести квадратное уравнение - значит сделать старший коэффициент равным:
Тогда сумма корней равна, а произведение.
Тут подобрать проще простого: ведь - простое число (извини за тавтологию).
Ответ: ; .
Пример 30
Задание 4.
Свободный член отрицательный.
Что в этом особенного?
А то, что корни будут разных знаков.
И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна, а произведение.
Итак, корни равны и, но один из них с минусом.
Теорема Виета говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, то есть.
Значит, минус будет у меньшего корня: и, так как.
Ответ: ; .
Пример 31
Задание 5.
Что нужно сделать первым делом?
Правильно, привести уравнение:
Снова: подбираем множители числа, и их разность должна равняться:
Корни равны и, но один из них с минусом. Какой? Их сумма должна быть равна, значит, с минусом будет больший корень.
Ответ: ; .
Подведем итог
- Теорема Виета используется только в приведенных квадратных уравнениях.
- Используя теорему Виета можно найти корни подбором, устно.
- Если уравнение не приводится или не нашлось ни одной подходящей пары множителей свободного члена, значит целых корней нет, и нужно решать другим способом (например, через дискриминант).
3. Метод выделения полного квадрата
Если все слагаемые, содержащие неизвестное, представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения - квадрата суммы или разности - то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа.
Например:
Пример 32
Решите уравнение: .
Решение:
Ответ:
Пример 33
Решите уравнение: .
Решение:
Ответ:
В общем виде преобразование будет выглядеть так:
Отсюда следует: .
Ничего не напоминает?
Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - коэффициенты квадратного уравнения, - свободный член.
Полное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициенты, не равны нулю.
Приведенное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент, то есть: .
Неполное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент и или свободный член с равны нулю:
- если коэффициент, уравнение имеет вид: ,
- если свободный член, уравнение имеет вид: ,
- если и, уравнение имеет вид: .
1. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений
1.1. Неполное квадратное уравнение вида, где, :
1) Выразим неизвестное: ,
2) Проверяем знак выражения:
- если, то уравнение не имеет решений,
- если, то уравнение имеет два корня.
1.2. Неполное квадратное уравнение вида, где, :
1) Вынесем общим множитель за скобки: ,
2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня:
1.3. Неполное квадратное уравнение вида, где:
Данное уравнение всегда имеет только один корень: .
2. Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида где
2.1. Решение с помощью дискриминанта
1) Приведем уравнение к стандартному виду: ,
2) Вычислим дискриминант по формуле: , который указывает на количество корней уравнения:
3) Найдем корни уравнения:
- если, то уравнение имеет корня, которые находятся по формуле:
- если, то уравнение имеет корень, который находится по формуле:
- если, то уравнение не имеет корней.
2.2. Решение с помощью теоремы Виета
Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида, где) равна, а произведение корней равно, т.е. , а.
2.3. Решение методом выделения полного квадрата