Для того, чтобы найти обратную матрицу онлайн, вам потребуется указать размер самой матрицы. Для этого кликните на иконки «+» или «-» до тех пор, пока значение количества столбцов и строк вас не устроит. Далее введите в поля требуемые элементы. Ниже находится кнопка «Вычислить» - нажав её, вы получите на экране ответ с подробным решением.

В линейной алгебре довольно часто приходится сталкиваться с процессом вычисления обратной матрицы. Она существует только для невыраженных матриц и для квадратных матриц при условии отличного от нуля детерминанта. В принципе, рассчитать её не представляет особой сложности, особенно если вы имеете дело с небольшой матрицей. Но если нужны более сложные расчёты или тщательная перепроверка своего решения, лучше воспользуйтесь данным онлайн калькулятором. С его помощью вы оперативно и с высокой точностью решите обратную матрицу.

С помощью данного онлайн калькулятора вы сможете значительно облегчить себе задачу в плане расчётов. Кроме того, он помогает закрепить материал, полученный в теории – это своеобразный тренажёр для мозга. Не стоит рассматривать его, как замену вычислениям вручную, он может дать вам гораздо больше, облегчив понимание самого алгоритма. К тому же, лишняя перепроверка себя никогда не помешает.

Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно – в ходе изучения данной лекции вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже если с математикой туго.

Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число . Произведение данных чисел равно единице: . С матрицами всё похоже! Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице , которая является матричным аналогом числовой единицы. Однако обо всём по порядку – сначала решим важный практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу находить.

Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители . Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними.

Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
с помощью алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований .

Сегодня мы изучим первый, более простой способ.

Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле :

Где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц , матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения : Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом

Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы .

Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?

Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ .

В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров .

Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель .

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае .
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице
Сначала рассмотрим левый верхний элемент:

Как найти его минор ?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшееся число и является минором данного элемента , которое записываем в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем следующий элемент матрицы :

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:


Готово.

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:

Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

И всего-то лишь…

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ .

Вспоминаем нашу формулу
Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:

Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами .

Как проверить решение?

Необходимо выполнить матричное умножение либо

Проверка:

Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения . Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.

Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три»:

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы

Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

1) Находим определитель матрицы .

Здесь определитель раскрыт по первой строке .

Также не забываем, что , а значит, всё нормально – обратная матрица существует .

2) Находим матрицу миноров .

Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел.

Я подробно рассмотрю парочку миноров:

Рассмотрим следующий элемент матрицы:

МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»

Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента . Его нужно вычислить:


Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.

Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:

Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.

Окончательный результат:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов:

В данном случае:

Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист (чтобы студент вычислил один определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =).

В ряде учебников, методичек можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, однако я рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.

Невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа, так как оно имеет ряд значений, равных его степени.

Сложные числа подняты до степени тригонометрической формы, для которой справедлива формула Моиварда:

\(\ z^{k}=r^{k}(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)

Аналогично, эта формула используется для вычисления корня степени k из комплексного числа (не равного нулю):

\(\ z^{\frac{1}{k}}=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n)))^{\frac{1}{k}}=r^{\frac{1}{k}}\left(\cos \frac{\varphi+2 \pi n}{k}+i \sin \frac{\varphi+2 \pi n}{k}\right), \forall k>1, \forall n \in N \)

Если комплексное число не равно нулю, то корни степени k всегда существуют, и их можно представить на комплексной плоскости: они будут вершинами k-угольника, вписанными в круг с центром в начале координат и радиус \(\ r^{\frac{1}{k}} \)

Примеры решения проблем

числами в тригонометрической форме.

Формула Муавра

Пусть z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) и z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Тригонометрическую форму записи комплексного числа удобно использовать для выполнения действий умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня степени n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Следствием правила умножения комплексного числа является правило возведения комплексного числа в степень.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Это соотношение называется формулой Муавра.

Пример 8.1 Найти произведение и частное чисел:

и

Решение

z 1 ∙z 2
∙

=

;

Пример 8.2 Записать в тригонометрической форме число

∙
–i) 7 .

Решение

Обозначим
и z 2 =
– i .

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = arg z 1 = arctg;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctg
;

z 2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 ·2 7
=

2 9

§ 9 Извлечение корня из комплексного числа

Определение. Корнем n -й степени из комплексного числа z (обо­значают
) называется комплексное число w такое, что w n = z. Если z = 0, то
= 0.

Пусть z  0, z = r(cos + isin). Обозначим w = (cos + sin), тогда уравнение w n = z запишем в cледующем виде

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).

Отсюда  n = r,

 =

Таким образом, w k =
·
.

Среди этих значений ровно n различных.

Поэтому k = 0, 1, 2, …, n – 1.

На комплексной плоскос-ти эти точки являются вершинами правильного n-угольника, вписан-ного в окружность радиусом
с центром в точке О (рисунок 12).

Рисунок 12

Пример 9.1 Найти все значения
.

Решение.

Представим это число в тригонометрической форме. Найдем его модуль и аргумент.

w k =
, где k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

На комплексной плоскости эти точки являются вершинами квадрата, вписанного в окружность радиусом
с центром в начале координат(рисунок 13).

Рисунок 13 Рисунок 14

Пример 9.2 Найти все значения
.

Решение.

z = – 64 = 64(cos +isin);

w k =
, где k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w 4 =
; w 5 =
.

На комплексной плоскости эти точки являются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиусом 2 с центром в точке О (0; 0) – рисунок 14.

§ 10 Показательная форма комплексного числа.

Формула Эйлера

Обозначим
= cos  + isin  и
= cos  - isin  . Эти соотношения называются формулами Эйлера .

Функция
обладает обычными свойствами показательной функции:

Пусть комплексное число z записано в тригонометрической форме z = r(cos + isin).

Используя формулу Эйлера, можно записать:

z = r ·
.

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Используя ее, получаем правила умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.

Если z 1 = r 1 ·
и z 2 = r 2 ·
?то

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·
;

·

z n = r n ·

, где k = 0, 1, … , n – 1.

Пример 10.1 Записать в алгебраической форме число

z =
.

Решение.

Пример 10.2 Решить уравнение z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.

Решение.

При любых комплексных коэффициентах это уравнение имеет два корня z 1 и z 1 (возможно, совпадающих). Эти корни могут быть найдены по той же формуле, что и в вещественном случае. Так как
принимает два значения, отличающихся только знаком, то эта формула имеет вид:

Поскольку –9 = 9 · е  i , то значениями
будут числа:

Тогда
и
.

Решение.

Искомыми корнями уравнения будут значения
.

Для z = –1 имеем r = 1, arg(–1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

Упражнения

9 Представить в показательной форме числа:

10 Записать в показательной и алгебраической формах числа:

11 Записать в алгебраической и геометрической формах числа:

12 Даны числа

Представив их в показательной форме, найти
.

13 Используя показательную форму комплексного числа, выполнить действия:

а)
б)

в)
г)