Якщо m = 1, n = 1 тоді отримаємо характеристику

яка називається відцентровим моментомінерції.

Відцентровий момент інерціїщодо осей координат – сума творів елементарних площ dAна їх відстані до цих осей, взята по всій площі перерізу А.

Якщо хоча б одна з осей yабо zє віссю симетрії перерізу, відцентровий момент інерції такого перерізу щодо цих осей дорівнює нулю (оскільки в цьому випадку кожній позитивній величині z·y·dAможемо поставити у відповідність таку саму, але негативну, з іншого боку від осі симетрії перерізу, див. рисунок).

Розглянемо додаткові геометричні характеристики, які можуть бути отримані з перерахованих основних і часто використовуються в розрахунках на міцність і жорсткість.

Полярний момент інерції

Полярним моментом інерції J pназивають характеристику

З іншого боку,

Полярний момент інерції(щодо цієї точки) – сума творів елементарних площ dAна квадрати їх відстаней до цієї точки, взята по всій площі перерізу А.

Розмірність моментів інерції – м4 у СІ.

Момент опору

Момент опорущодо деякої осі – величина рівна моментуінерції щодо тієї ж осі віднесеної до відстані ( y maxабо z max) до найбільш віддаленої від цієї осі точки

Розмірність моментів опору – м3 у СІ.

Радіус інерції

Радіусом інерціїперерізу щодо деякої осі, називається величина, що визначається із співвідношення:

Радіуси інерції виражаються в м у системі СІ.

Примітка:перерізи елементів сучасних конструкцій часто є деякою композицією з матеріалів з різним опором пружним деформаціям, що характеризуються, як відомо з курсу фізики, модулем Юнга E. У загальному випадку неоднорідного перерізу модуль Юнг є безперервною функцією координат точок перерізу, тобто. E = E(z, y). Тому жорсткість неоднорідного за пружними властивостями перерізу характеризується більш складними, ніж геометричні характеристики однорідного перерізу, характеристиками, а саме пружно-геометричними видами.

2.2. Обчислення геометричних характеристик простих фігур

Прямокутний перетин

Визначимо осьовий момент інерції прямокутника щодо осі z. Розіб'ємо площу прямокутника на елементарні майданчики з розмірами b(ширина) та dy(Висота). Тоді площа такого елементарного прямокутника (заштрихована) дорівнює dA = b · dy. Підставляючи значення dAу першу формулу, отримаємо

За аналогією запишемо осьовий момент щодо осі у:

Осьові моменти опору прямокутника:

;

Подібним чином можна отримати геометричні характеристики для інших простих фігур.

Круглий переріз

Спочатку зручно знайти полярний момент інерції J p.

Потім, враховуючи, що для кола J z = J y, а J p = J z + J y, знайдемо J z =J y = J p / 2.

Розіб'ємо коло на нескінченно малі кільця завтовшки dρта радіусом ρ ; площа такого кільця dA = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ. Підставляючи вираз для dAу вираз для J pта інтегруючи, отримаємо

2.3. Обчислення моментів інерції щодо паралельних осей

zі y:

Потрібно визначити моменти інерції цього перерізу щодо «нових» осей z 1і y 1, паралельних центральним та віддаленим від них на відстань aі bвідповідно:

Координати будь-якої точки у «новій» системі координат z 1 0 1 y 1можна виразити через координати у «старих» осях zі yтак:

Оскільки осі zі y- центральні, то статичний момент S z = 0.

Остаточно можемо записати формули «переходу» при паралельному перенесенні осей:

Зазначимо, що координати aі bнеобхідно підставляти з урахуванням їхнього знака (у системі координат z 1 0 1 y 1).

2.4. Обчислення моментів інерції при повороті координатних осей

Нехай відомі моменти інерції довільного перерізу щодо центральних осей z, y:

; ;

Повернемо осі z, yна кут α проти годинникової стрілки, вважаючи кут повороту осей у цьому напрямку позитивним.

Потрібно визначити моменти інерції щодо «нових» (повернутих) осей z 1і y 1:

Координати елементарного майданчика dAу «новій» системі координат z 1 0y 1можна виразити через координати в «старих» осях так:

Підставляємо ці значення формули для моментів інерції в «нових» осях і інтегруємо почленно:

Проробивши аналогічні перетворення з рештою виразів, запишемо остаточно формули «переходу» при повороті координатних осей:

Зазначимо, що якщо скласти два перші рівняння, то отримаємо

тобто полярний момент інерції є величина інваріантна(Іншими словами, постійна при повороті координатних осей).

2.5. Головні осі та головні моменти інерції

До цього часу розглядалися геометричні характеристики перерізів у довільній системі координат, проте найбільший практичний інтерес представляє система координат, у якій перетин описується найменшою кількістю геометричних характеристик. Така «особлива» система координат задається положенням основних осей перерізу. Введемо поняття: головні осіі головні моменти інерції.

Головні осі– дві взаємно перпендикулярні осі, щодо яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, при цьому осьові моменти інерції набувають екстремальних значень (максимум і мінімум).

Головні осі, що проходять через центр тяжкості перерізу, називаються головними центральними осями.

Моменти інерції щодо головних осей називаються Основними моментами інерції.

Головні центральні осі прийнято позначати літерами uі v; основні моменти інерції - J uі J v(за визначенням J uv = 0).

Виведемо висловлювання, що дозволяють знаходити становище основних осей і величину основних моментів інерції. Знаючи, що J uv= 0, скористаємось рівнянням (2.3):

Кут α 0 визначає положення головних осей щодо будь-яких центральних осей zі y. Кут α 0 відкладається між віссю zі віссю uі вважається позитивним у напрямку проти годинникової стрілки.

Зауважимо, що якщо перетин має вісь симетрії, то, відповідно до властивості відцентрового моменту інерції (див. разд.2.1, п.4), така вісь завжди буде головною віссюперерізу.

Виключаючи кут α у виразах (2.1) та (2.2) за допомогою (2.4), отримаємо формули для визначення головних осьових моментів інерції:

Запишемо правило: вісь максимум завжди становить менший кут з тієї осі (z або y), щодо якої момент інерції має більше значення.

2.6. Раціональні формипоперечних перерізів

Нормальна напруга в довільній точці поперечного перерізубалки при прямому згині визначаються за формулою:

, (2.5)

де М- згинальний момент у аналізованому поперечному перерізі; у- Відстань від розглянутої точки до головної центральної осі, перпендикулярної площині дії згинального моменту; J x- Головний центральний момент інерції перерізу.

Найбільші розтягуючі та стискаючі нормальні напруженняу цьому поперечному перерізі виникають у точках, найбільш віддалених від нейтральної осі. Їх визначають за формулами:

; ,

де у 1і у 2- Відстань від головної центральної осі Хдо найбільш віддалених розтягнутого та стисненого волокон.

Для балок із пластичних матеріалів, коли [σ p ] = [σ c ] ([σ p ], [σ c ] – напруга для матеріалу балки, що допускається, відповідно на розтяг і стиснення), застосовують перерізи, симетричні щодо центральної осі. У цьому випадку умова міцності має вигляд:

≤ [σ], (2.6)

де W x = J x / y max– момент опору площі поперечного перерізу балки щодо головної центральної осі; y max = h/2(h- Висота перерізу); М max- Найбільший за абсолютним значенням згинальний момент; [σ] – напруга матеріалу, що допускається на вигин.

Крім умови міцності балка має задовольняти й умову економічності. Найбільш економічними є такі форми поперечних перерізів, для яких із найменшою витратою матеріалу (або при найменшій площі поперечного перерізу) виходить найбільша величина моменту опору. Щоб форма перерізу була раціональною, необхідно, наскільки можна, розподіляти перетин подалі від головної центральної осі.

Наприклад, двотаврова стандартна балка приблизно в сім разів міцніша і в тридцять разів жорсткіша, ніж балка квадратного поперечного перерізу тієї ж площі зробленого з того ж матеріалу.

Необхідно мати на увазі, що при зміні положення перерізу по відношенню до діючого навантаження міцність балки суттєво змінюється, хоча площа перерізу залишається незмінною. Отже, перетин треба розташовувати так, щоб силова лінія збігалася з тією з головних осей, щодо яких момент інерції мінімальний. Слід прагнути, щоб вигин бруса проходив у площині його найбільшої жорсткості.

Усюди однакова, то

J a = ρ ∫ (V) r 2 d V . (\displaystyle J_(a)=\rho \int \limits _((V))r^(2)dV.)

Теорема Гюйгенса – Штейнера

Момент інерції твердого тіла щодо будь-якої осі залежить від маси, форми та розмірів тіла, а також і від положення тіла по відношенню до цієї осі. Відповідно до теореми Гюйгенса - Штейнера, момент інерції тіла Jщодо довільної осі дорівнює сумімоменту інерції цього тіла J cщодо осі, що проходить через центр мас тіла паралельно розглянутої осі, і добутку маси тіла mна квадрат відстані dміж осями:

J = J c + m d 2 , (\displaystyle J = J_(c)+md^(2),)

де m- Повна маса тіла.

Наприклад, момент інерції стрижня щодо осі, що проходить через його кінець, дорівнює:

J = J c + m d 2 = 1 12 ml 2 + m (l 2) 2 = 1 3 ml 2 . (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac(1)(12))ml^(2)+m\left((\frac(l)(2))\right)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Осьові моменти інерції деяких тіл

Моменти інерціїоднорідних тіл найпростішої форми щодо деяких осей обертання

Тіло	Опис	Становище осі a	Момент інерції J a
	Матеріальна точка маси m	на відстані rвід точки, нерухома
	Порожнистий тонкостінний циліндр або кільце радіусу rта маси m	Вісь циліндра	m r 2 (\displaystyle mr^(2))
	Суцільний циліндр або диск радіусу rта маси m	Вісь циліндра	1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2))
	Порожнистий товстостінний циліндр маси mіз зовнішнім радіусом r 2 та внутрішнім радіусом r 1	Вісь циліндра	m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2)))
	Суцільний циліндр довжини l, радіуса rта маси m		1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
	Порожнистий тонкостінний циліндр (кільце) довжини l, радіуса rта маси m	Вісь перпендикулярна до циліндра і проходить через його центр мас	1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
	Прямий тонкий стрижень довжини lта маси m	Вісь перпендикулярна до стрижня і проходить через його центр мас	1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2))
	Прямий тонкий стрижень довжини lта маси m	Вісь перпендикулярна до стрижня і проходить через його кінець	1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2))
	Тонкостінна сфера радіусу rта маси m	Вісь проходить через центр сфери	2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2))
	Куля радіусу rта маси m	Вісь проходить через центр кулі	2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2))
	Конус радіусу rта маси m	Ось конуса	3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2))
	Рівнобедрений трикутник з висотою h, основою aта масою m	Вісь перпендикулярна площині трикутника і проходить через вершину	1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2)))
	Правильний трикутник зі стороною aта масою m	Вісь перпендикулярна площині трикутника і проходить через центр мас	1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2))
	Квадрат зі стороною aта масою m	Вісь перпендикулярна площині квадрата і проходить через центр мас	1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2))
	Прямокутник зі сторонами aі bта масою m	Вісь перпендикулярна площині прямокутника і проходить через центр мас	1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2)))
	Правильний n-кутник радіусу rта масою m	Вісь перпендикулярна до площини і проходить через центр мас	m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left)
	Тор (порожнистий) з радіусом напрямного кола R, радіусом утворюючого кола rта масою m	Вісь перпендикулярна площині напрямного кола тора і проходить через центр мас	I = m (3 4 r 2 + R 2).

Висновок формул

Тонкостінний циліндр (кільце, обруч)

Висновок формули

Момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції складових його частин. Розіб'ємо тонкостінний циліндр на елементи з масою dmта моментами інерції dJ i. Тоді

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m. (1). (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)

Оскільки всі елементи тонкостінного циліндра знаходяться на однаковій відстані від осі обертання, формула (1) перетворюється на вигляд

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\sum R^(2)dm=R^(2)\sum dm=mR^(2).)

Товстостінний циліндр (кільце, обруч)

Висновок формули

Нехай є однорідне кільце із зовнішнім радіусом Rвнутрішнім радіусом R 1 товщиною hта щільністю ρ. Розіб'ємо його на тонкі кільця завтовшки dr. Маса та момент інерції тонкого кільця радіусу rскладе

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)

Момент інерції товстого кільця знайдемо як інтеграл

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int_(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2) ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\right)\left(R^(2)+R_(1)^(2)\right).)

Оскільки об'єм та маса кільця рівні

V = π (R 2 − R 1 2) h; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h,)

отримуємо остаточну формулу для моменту інерції кільця

J = 1 2 m (R 2 + R 1 2). (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\left(R^(2)+R_(1)^(2)\right).)

Однорідний диск (суцільний циліндр)

Висновок формули

Розглядаючи циліндр (диск) як кільце з нульовим внутрішнім радіусом ( R 1 = 0), отримаємо формулу для моменту інерції циліндра (диска):

J = 1 2 m R 2 . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)

Суцільний конус

Висновок формули

Розіб'ємо конус на тонкі диски завтовшки dhперпендикулярні осі конуса. Радіус такого диска дорівнює

r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)

де R– радіус основи конуса, H- Висота конуса, h- Відстань від вершини конуса до диска. Маса та момент інерції такого диска складуть

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac(1)(2))r^(2)dm=(\frac(1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac(1)( 2)) \pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)

Інтегруючи, отримаємо

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac(1)(2))\pi \rho \left((\frac(R)(H)) \right)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac(1)(2))\pi \rho \left((\frac(R)(H) )\right)^(4)\left.(\frac (h^(5))(5))\right|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\right)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(aligned)))

Суцільна однорідна куля

Висновок формули

Розіб'ємо кулю на тонкі диски завтовшки dhперпендикулярні осі обертання. Радіус такого диска, розташованого на висоті hвід центру сфери, знайдемо за формулою

r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)

Маса та момент інерції такого диска складуть

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac(1)(2))r^(2)dm=(\frac(1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac(1)( 2)) \pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh.)

Момент інерції кулі знайдемо інтегруванням:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 ч 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac(2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac(1)(5))h^(5)\right)\right|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac(2)(3))R^(5)+(\frac(1)(5))R^(5)\right) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(aligned)))

Тонкостінна сфера

Висновок формули

Для виведення скористаємося формулою моменту інерції однорідної кулі радіусу R :

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac(2)(5))MR^(2)=(\frac(8)(15))\pi \rho R^(5).)

Обчислимо, наскільки зміниться момент інерції кулі, якщо при незмінній щільності його радіус збільшиться на нескінченно малу величину dR .

J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac(d)(dR))\left((\frac(8)(15)))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2) dR\right)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(aligned)))

Тонкий стрижень (вісь проходить через центр)

Висновок формули

Розіб'ємо стрижень на малі фрагменти завдовжки dr. Маса та момент інерції такого фрагмента дорівнює

d m = m d r l; d J = r 2 d m = m r 2 d r l. (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)

Інтегруючи, отримаємо

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 ml l 3 24 = 1 12 ml 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\left.(\frac (r^(3))(3))\right|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2).)

Тонкий стрижень (вісь проходить через кінець)

Висновок формули

При переміщенні осі обертання з середини стрижня на його кінець центр ваги стрижня переміщається щодо осі на відстань l ⁄ 2. За теоремою Штейнера новий момент інерції дорівнюватиме

J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\left((\frac(l)(2))\right)^(2)=(\frac(1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Безрозмірні моменти інерції планет та супутників

Велике значення для досліджень внутрішньої структури планет та їх супутників мають їхні безрозмірні моменти інерції. Безрозмірний момент інерції тіла радіусу rта маси mдорівнює відношенню його моменту інерції щодо осі обертання до моменту інерції матеріальної точки тієї ж маси щодо нерухомої осі обертання, розташованої на відстані r(Рівному mr 2). Ця величина відбиває розподіл маси по глибині. Одним з методів її вимірювання у планет і супутників є визначення доплерівського зміщення радіосигналу, що передається АМС, що пролітає біля цієї планети або супутника. Для тонкостінної сфери безрозмірний момент інерції дорівнює 2/3 (~0,67), для однорідної кулі - 0,4, і тим менше, ніж велика масатіла зосереджено біля його центру. Наприклад, у Місяця безрозмірний момент інерції близький до 0,4 (рівний 0,391), тому припускають, що він відносно однорідний, його щільність із глибиною змінюється мало. Безрозмірний момент інерції Землі менший, ніж у однорідної кулі (рівний 0,335), що є аргументом на користь існування у неї щільного ядра.

Відцентровий момент інерції

Відцентровими моментами інерції тіла по відношенню до осей прямокутної декартової системи координат називаються такі величини:

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)

де x , yі z- координати малого елемента тіла об'ємом dV, щільністю ρ та масою dm .

Вісь OX називається головною віссю інерції тіла, якщо відцентрові моменти інерції J xyі J xzодночасно дорівнюють нулю. Через кожну точку тіла можна провести три основні осі інерції. Ці осі взаємно перпендикулярні одна одній. Моменти інерції тілащодо трьох головнихосей інерції, проведених у довільній точці Oтіла, називаються головними моментами інерціїданого тіла.

Головні осі інерції, що проходять через центр мас тіла, називаються головними центральними осями інерції тіла, а моменти інерції щодо цих осей – його головними центральними моментами інерції. Вісь симетрії однорідного тіла завжди є однією з його головних центральних осей інерції.

Геометричні моменти інерції

Геометричний момент інерції обсягу

J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)

де, як і раніше r- відстань від елемента dVдо осі a .

Геометричний момент інерції площіщодо осі - геометрична характеристика тіла, що виражається формулою:

J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)

де інтегрування виконується поверхнею S, а dS- Елемент цієї поверхні.

Розмірність J Sa- Довжина в четвертому ступені ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), відповідно одиниця виміру СІ - 4 . У будівельних розрахунках, літературі та сортаментах металопрокату часто вказується в см 4 .

Через геометричний момент інерції площі виражається момент опору перерізу:

W = J S a r m a x. (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)

Тут r max- Максимальна відстань від поверхні до осі.

Геометричні моменти інерції площі деяких фігур
Прямокутника заввишки h (\displaystyle h)та шириною b (\displaystyle b):	J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12))) J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12)))
Прямокутного коробчатого перерізу висотою та шириною за зовнішніми контурами H (\displaystyle H)і B (\displaystyle B), а за внутрішнім h (\displaystyle h)і b (\displaystyle b)відповідно	J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3))) J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3)))
Коло діаметром d (\displaystyle d)	J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)))

Момент інерції щодо площини

Моментом інерції твердого тіла щодо деякої площини називають скалярну величину, рівну сумі добутків маси кожної точки тіла на квадрат відстані від цієї точки до площини .

Якщо через довільну точку O (\displaystyle O)провести координатні осі x, y, z (\displaystyle x, y, z), то моменти інерції щодо координатних площин x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz)і z O x (\displaystyle zOx)висловлюватимуться формулами:

J x O y = ∑ i = 1 n mi z 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)

У разі суцільного тіла підсумовування замінюється на інтегрування.

Центральний момент інерції

Центральний момент інерції (момент інерції щодо точки O, момент інерції щодо полюса, полярний момент інерції) J O (\displaystyle J_(O))- це величина, що визначається виразом:

J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)

Центральний момент інерції можна виразити через головні осьові моменти інерції, а також через моменти інерції щодо площин:

J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \right),) J O = J x O y + J y O z + J x O z. (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)

Тензор інерції та еліпсоїд інерції

Момент інерції тіла щодо довільної осі, що проходить через центр мас і має напрямок, заданий поодиноким вектором s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s)) = \ left \ Vert s_ (x), s_ (y), s_ (z) \ right \ Vert ^ (T), \ left \ vert (\vec (s) )\right\vert =1), можна подати у вигляді квадратичної (білінійної) форми:

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) , \ Qquad ) (1)

де - тензор інерції. Матриця тензора інерції симетрична, має розміри 3 × 3 (\displaystyle 3\times 3)і складається з компонентів відцентрових моментів:

J ^ = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y y − J y z − J z x − J z y J z z , (\displaystyle (\hat (J))=\left\Vert (\begin(array) )(ccc)J_(xx)&-J_(xy)&-J_(xz)\\-J_(yx)&J_(yy)&-J_(yz)\\-J_(zx)&-J_(zy) &J_(zz)\end(array))\right\Vert ,) J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , (\displaystyle J_(xy)=J_(yx),\quad J_(xz)=J_(zx),\quad J_(zy)= J_(yz), \quad)J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m , J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m, J z z = ∫ (m) (x 2 + y 2) d m. (\displaystyle J_(xx)=\int \limits _((m))(y^(2)+z^(2))dm,\quad J_(yy)=\int \limits _((m)) (x^(2)+z^(2))dm,\quad J_(zz)=\int \limits _((m))(x^(2)+y^(2))dm.)

Вибір відповідної системи координат матриця тензора інерції може бути приведена до діагонального вигляду. Для цього потрібно вирішити задачу про власні значення для матриці тензора J ^ (\displaystyle (\hat (J))):

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=(\hat (Q))^(T)\cdot (\hat (J))\ cdot (hat (Q)),) J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=\left\Vert (\begin(array)(ccc)J_(X)&0&0\ \0&J_(Y)&0\\0&0&J_(Z)\end(array))\right\Vert ,)

де Q ^ (\displaystyle (\hat (Q)))- ортогональна матриця переходу у свій базис тензора інерції. У своєму базисі координатні осі спрямовані вздовж основних осей тензора інерції, і навіть збігаються з головними півосями еліпсоїда тензора інерції. Величини J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z))- Основні моменти інерції. Вираз (1) у власній системі координат має вигляд:

I s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2 , (\displaystyle I_(s)=J_(X)\cdot s_(x)^(2)+J_(Y)\cdot s_(y )^(2)+J_(Z)\cdot s_(z)^(2),)

звідки виходить рівняння еліпсоїда у координатах. Розділивши обидві частини рівняння на I (\displaystyle I_(s))

(s x I s) 2 ⋅ J X + (s y I s) 2 ⋅ J Y + (s z I s) 2 ⋅ J Z = 1 (\displaystyle \left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s))) ))\right)^(2)\cdot J_(X)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Y) +\left((s_(z) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Z)=1)

і зробивши заміни:

ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi = (s_(x) \ over (\sqrt (I_(s))))), ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s))))),)

отримуємо канонічний вид рівняння еліпсоїда в координатах ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. 2) \cdot J_(Z) = 1.)

Відстань від центру еліпсоїда до деякої його точки пов'язана зі значенням моменту інерції тіла вздовж прямої, що проходить через центр еліпсоїда і цю точку:

r 2 = ξ 2 + η 2 + ζ 2 = (s x I s) 2 + (s y I s) 2 + (s z I s) 2 = 1 I s . (\displaystyle r^(2)=\xi ^(2)+\eta ^(2)+\zeta ^(2)=\left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))) )\right)^(2)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)+\left((s_(z) \over (\) sqrt (I_(s))))\right)^(2)=(1 \over I_(s)).)

Відцентровий момент інерції щодо двох осей координат називається сума творів маси кожної з точок тіла на координати вздовж відповідних осей.

Якщо тіло має вісь симетрії, то відцентровий момент інерції тіла дорівнює нулю та осі у, х є головними

17. Теорема Гюйгенса-Штейнера про обчислення моментів щодо паралельних осей.

Момент інерції твердого тіла щодо осі не проходить через центр мас дорівнює сумі моментів інерції щодо центральної осі проходить через центр мас і паралельної заданої та добуток маси тіла на квадрат відстані між осями.

JC - відомий момент інерції щодо осі, що проходить через центр мас тіла,

J - шуканий момент інерції щодо паралельної осі,

m - маса тіла,

d – відстань між зазначеними осями.

18. Обчислення моментів інерції однорідних тіл: тонка пластина, тонкий стрижень, кільце, циліндр, конус.

Тонкий стрижень: Тонкий циліндр:

Тонка пластина: Конус:

Тонке кільце: Куля:

Обчислення моментів інерції щодо довільних осей.

Дозволяє знайти момент інерції щодо будь-якої осі, що проходить через осі координат і складові вугілля.

З цими осями, через величини осьових та відцентрових моментів інерції цих осей.

Еліпсоїд інерції. Центральні осі інерції. Екстремальні властивості моментів інерції.

Центр еліпсоїда знаходиться на початку координат.

3 осі симетрії еліпсоїда називаються головними осями інерції, моменти інерції щодо головних осей називаються головними моментами інерції.

Якщо як осі координат прийняти головні осі інерції, то відцентрові моменти інерції щодо цих осей дорівнюватимуть нулю.

ЕЛЛІПСОІД ІНЕРЦІЇ -поверхня, що характеризує розподіл моментів інерції тіла щодо пучка осей, що проходять через фіксовану точку О. Будується Е. в. як геом. місце кінців відрізків OK= 1/ , відкладених уздовж Ol від точки, де Ol- будь-яка вісь, що проходить через точку О; Il – момент інерції тіла щодо цієї осі (рис.). Центр Е. в. збігається з точкою О, яке ур-ние в довільно проведених координатних осях Oxyz має вигляд

де Ix, Iy, Iz – осьові, а Ixу, Iyz, Lzx – відцентрові моменти інерції тіла щодо зазначених координатних осей. У свою чергу, знаючи Е. в. для точки О, можна знайти момент інерції щодо будь-якої осі Оl, що проходить через цю точку, з рівності Il = 1/R2, вимірявши у відповідних одиницях відстань R = OK.

ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ПІЩЕНЬ.

Як показує досвід, опір стрижня різним деформаціям залежить тільки від розмірів поперечного перерізу, а й від форми.

Розміри поперечного перерізу та форма характеризуються різними геометричними характеристиками: площа поперечного перерізу, статичні моменти, моменти інерції, моменти опору та ін.

1. Статичний момент площі(Момент інерції першого ступеня).

Статичний момент інерціїплощі щодо якоїсь осі, називається сума творів елементарних майданчиків на відстань до цієї осі, поширена на всю площу (рис. 1)

Рис.1

Властивості статичного моменту площі:

1. Статичний момент площі вимірюється в одиницях довжини третього ступеня (наприклад, см3).

2. Статичний момент може бути менше нуля, більше нуля і, отже, дорівнювати нулю. Осі, щодо яких статичний момент дорівнює нулю, проходять через центр тяжкості перерізу та називаються центральними осями.

Якщо x cі y c– координати центу тяжкості, то

3. Статичний момент інерції складного перерізущодо будь-якої осі дорівнює сумі статичних моментів складових простих перерізів щодо тієї ж осі.

Поняття статичного моменту інерції в науці про міцність використовується визначення положення центру тяжкості перерізів, хоча пам'ятати, що у симетричних перерізах центр тяжкості лежить перетині осей симетрії.

2. Момент інерції плоских перерізів (фігур) (моменти інерції другого ступеня).

а) осьовий(екваторіальний) момент інерції.

Осьовим моментом інерціїплощі фігури щодо якоїсь осі називається сума творів елементарних майданчиків на квадрат відстані до цієї осі розповсюдження на всю площу (рис. 1)

Властивості осьового моменту інерції.

1. Осьовий момент інерції площі вимірюється в одиницях довжини четвертого ступеня (наприклад, см 4).

2. Осьовий момент інерції завжди більший за нуль.

3. Осьовий момент інерції складного перерізу щодо будь-якої осі дорівнює сумі осьових моментів складових простих перерізів щодо тієї ж осі:

4. Розмір осьового моменту інерції характеризує здатність стрижня (бруса) певного поперечного перерізу чинити опір вигину.

б) Полярний момент інерції.

Полярним моментом інерціїПлощі фігури щодо будь-якого полюса називається сума творів елементарних майданчиків на квадрат відстані до полюса, поширена на всю площу (рис. 1).

Властивості полярного моменту інерції:

1. Полярний момент інерції площі вимірюється в одиницях довжини четвертого ступеня (наприклад, см 4).

2. Полярний момент інерції завжди більший за нуль.

3. Полярний момент інерції складного перерізу щодо будь-якого полюса (центру) дорівнює сумі полярних моментів складових простих перерізів щодо цього полюса.

4. Полярний момент інерції перерізу дорівнює сумі осьових моментів інерції цього перерізу щодо двох взаємно перпендикулярних осей, що проходять через полюс.

5. Розмір полярного моменту інерції характеризує здатність стрижня (бруса) певної форми поперечного перерізу чинити опір кручення.

в) Відцентровий момент інерції.

ЦЕНТРОБІЖНИМ МОМЕНТОМ ІНЕРЦІЇ площі фігури щодо будь-якої системи координат називається сума творів елементарних майданчиків на координати, поширена на всю площу (рис. 1)

Властивості відцентрового моменту інерції:

1. Відцентровий момент інерції площі вимірюється в одиницях довжини четвертого ступеня (наприклад, см 4).

2. Відцентровий момент інерції може бути більше нуля, менше нуля, і дорівнювати нулю. Осі, щодо яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, називаються головними осями інерції. Дві взаємно перпендикулярні осі, з яких хоча одна є віссю симетрії, будуть головними осями. Головні осі, що проходять через центр ваги площі, називаються головними центральними осями, а осьові моменти інерції площі головними центральними моментами інерції.

3. Відцентровий момент інерції складного перерізу в будь-якій системі координат дорівнює сумі відцентрових моментів інерції складових фігур у тій же схемі координат.

МОМЕНТИ ІНЕРЦІЇ ЩОДО ПАРАЛЕЛЬНИХ ОСЕЙ.

Рис.2

Дано: осі x, y- Центральні;

тобто. осьовий момент інерції в перерізі щодо осі, паралельної центральної, дорівнює осьовому моменту щодо своєї центральної осі плюс добуток площі на квадрат відстані між осями. Звідси випливає, що осьовий момент інерції перерізу щодо центральної осі має мінімальну величину у системі паралельних осей.

Зробивши аналогічні викладки для відцентрового моменту інерції, отримаємо:

J x1y1 = J xy + Aab

тобто. відцентровий момент інерції перерізу щодо осей, паралельних центральній системікоординат, що дорівнює відцентровому моменту в центральній системі координат плюс добуток площі на відстань між осями.

МОМЕНТИ ІНЕРЦІЇ У ПОВЕРНУТІЙ СИСТЕМІ КООРДИНАТ

тобто. сума осьових моментів інерції перерізу є постійна величина, не залежить від кута повороту осей координат і дорівнює полярному моменту інерції щодо початку координат. Відцентровий момент інерції може змінювати свою величину і звертатися до «0».

Осі, щодо яких відцентровий момент дорівнює нулю, будуть головними осями інерції, а якщо вони проходять через центр тяжіння, то вони називаються головними осями інерції і позначаються « u» та «».

Моменти інерції щодо головних центральних осей називаються головними центральними моментами інерції та позначаються , причому основні центральні моменти інерції мають екстремальні значення, тобто. один "min", а інший "max".

Нехай кут "a 0" характеризує становище головних осей, тоді:

з цієї залежності визначаємо становище основних осей. Величину ж головних моментів інерції після деяких перетворень визначаємо за такою залежністю:

ПРИКЛАДИ ВИЗНАЧЕННЯ ОСІВНИХ МОМЕНТІВ ІНЕРЦІЇ, ПОЛЯРНИХ МОМЕНТІВ ІНЕРЦІЇ І МОМЕНТІВ ПРОТИ ПРОСТІШНИХ ФІГУР.

1. Прямокутний переріз

Осі xі y – тут та інших прикладах – головні центральні осі інерції.

Визначимо осьові моменти опору:

2. Круглий суцільний переріз. Моменти інерції.

Припустимо, що є система координат з початком у точці O та осями OX; OY; OZ. По відношенню до цих осей відцентровими моментами інерції (творами інерції) називаються величини, які визначаються рівностями:

де - маси матеріальних точокна які розбивають тіло; - Координати відповідних матеріальних точок.

Відцентровий момент інерції має властивість симетрії, це випливає з його визначення:

Відцентрові моменти тіла можуть бути позитивними та негативними, при певному виборі осей OXYZ можуть звертатися в нуль.

Для відцентрових моментів інерції існує аналог теореми Штейнберга. Якщо розглянути дві системи координат: і . Одна з цих систем має початок координат в центрі мас тіла (точка C), осі систем координат є попарно паралельними (). Нехай у системі координат координатами центру мас тіла є (), тоді:

де – маса тіла.

Головні осі інерції тіла

Нехай однорідне тіло має вісь симетрії. Побудуємо координатні осі так, щоб вісь OZ була спрямована вздовж осі симетрії тіла. Тоді, як наслідок симетрії кожній точці тіла з масою та координатами відповідає точка, що має інший індекс, але таку ж масу та координати: . В результаті отримуємо, що:

тому що в даних сумах всі доданки мають свою рівну за величиною, але протилежну за знаком пару. Вирази (4) еквівалентні запису:

Ми отримали, що осьова симетріярозподіл мас по відношенню до осі OZ характеризується рівністю нулю двох відцентрових моментів інерції (5), які містять серед своїх індексів найменування цієї осі. У такому разі вісь OZ називається головною віссю інерції тіла для точки.

Головна вісь інерції який завжди є віссю симетрії тіла. Якщо тіло має площину симетрії, то будь-яка вісь, яка перпендикулярна цій площині, є головною віссю інерції для точки O, в якій вісь перетинає площину, що розглядається. Рівності (5) відображають умови, що вісь OZ є головною віссю інерції тіла для точки O (початку координат). Якщо виконуються умови:

то вісь OY буде для точки O головною віссю інерції.

У разі, якщо виконуються рівності:

всі три координатні осі системи координат OXYZ є головними осями інерції тіла для початку координат.

Моменти інерції тіла стосовно головним осям інерції називаються головними моментами інерції тіла. Головні осі інерції, побудовані для центру мас тіла, звуться головних центральних осей інерції тіла.

Якщо тіло має віссю симетрії, вона є однією з головних центральних осей інерції тіла, оскільки центр мас знаходиться на цій осі. У тому випадку, якщо тіло має площину симетрії, то вісь нормальна до цієї площини і проходить через центр мас тіла є однією з головних центральних осей інерції тіла.

Поняття основних осей інерції у поступовій динаміці твердого тіла має значення. Якщо вздовж них направити осі координат OXYZ, всі відцентрові моменти інерції стають рівними нулю, у своїй значно спрощуються формули, які слід застосовувати під час вирішення завдань динаміки. З поняттям про головні осі інерції пов'язане розв'язання задач про динамічне рівняння тіла, що знаходиться в обертанні, і про центр удару.

Момент інерції тіла (і відцентровий у тому числі) у міжнародній системі одиниць вимірюються в:

Відцентровий момент інерції перерізу

Відцентровим моментом інерції перерізу (плоскої фігури) щодо двох взаємно нормальних осей (OX та OY) називають величину, рівну:

вираз (8) говорить про те, що відцентровий момент інерції перерізу щодо взаємно перпендикулярних осей є сума творів елементарних майданчиків () на відстані від них до осей, що розглядаються, по всій площі S.

Одиницею вимірювання моментів інерції перерізу СІ є:

Відцентровий момент інерції складного перерізу по відношенню до будь-яких двох взаємно нормальних осей дорівнює сумі відцентрових моментів інерції складових його частин щодо цих осей.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

Завдання

Отримайте вираз для відцентрового моменту інерції прямокутного перерізу щодо осей (X,Y).

Рішення

Зробимо малюнок. Для визначення відцентрового моменту інерції виділимо з наявного прямокутника елемент площі (рис.1) , площа якої дорівнює: На першому етапі розв'язання задачі знайдемо відцентровий момент інерції () вертикальної смуги, що має висоту та ширину, яка знаходиться на відстані від осі Y (врахуємо, що при інтегруванні для всіх майданчиків у вибраній вертикальній смужці величина є постійною):