Постановка задачі у двовимірному випадку

Відновлення функції кількох змінних за її повним диференціалом

9.1. Постановка задачі у двовимірному випадку. 72

9.2. Опис рішення. 72

Це один із додатків криволінійного інтеграла ІІ роду.

Дано вираз повного диференціалу функції двох змінних:

Знайти функцію.

1. Так як не всякий вираз виду є повним диференціалом певної функції U(x,y), то необхідно перевірити коректність постановки завдання, тобто перевірити необхідну та достатню умову повного диференціала, яке для функції 2-х змінних має вигляд . Ця умова випливає з еквівалентності тверджень (2) та (3) у теоремі попереднього параграфа. Якщо зазначена умова виконана, то завдання має рішення, тобто функцію U(x,y) відновити можна; якщо умова не виконано, то завдання немає рішення, тобто функцію відновити не можна.

2. Знайти функцію за її повним диференціалом можна, наприклад, за допомогою криволінійного інтеграла II роду, обчисливши його від лінії, що з'єднує фіксовану точку ( x 0 ,y 0) та змінну точку ( x;y) (Мал. 18):

Таким чином отримано, що криволінійний інтеграл ІІ роду від повного диференціалу dU(x,y) дорівнює різницізначень функції U(x,y) у кінцевій та початковій точках лінії інтегрування.

Знаючи тепер цей результат, потрібно підставити замість dUв криволінійний інтеграл вираз і провести обчислення інтеграла за ламаною ( ACB), враховуючи його незалежність від форми лінії інтегрування:

на ( AC): на ( СВ) :

(1)

Таким чином, отримана формула, за допомогою якої відновлюється функція 2-х змінних за її повним диференціалом.

3. Відновити функцію за її повним диференціалом можна тільки з точністю до постійного доданку, оскільки d(U+ const) = dU. Тому в результаті вирішення задачі отримуємо безліч функцій, що відрізняються один від одного на постійне доданок.

Приклади (відновлення функції двох змінних за її повним диференціалом)

1. Знайти U(x,y), якщо dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Перевіряємо умову повного диференціалу функції двох змінних:

Умову повного диференціалу виконано, отже, функцію U(x,y) відновити можна.

Перевірка: - Правильно.

Відповідь: U(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Знайти функцію, таку що

Перевіряємо необхідні та достатні умовиповного диференціала функції трьох змінних: , , якщо дано вираз .

У розв'язуваній задачі

всі умови повного диференціала виконані, отже, функцію можна відновити (завдання поставлено коректно).

Відновлюватимемо функцію за допомогою криволінійного інтеграла II роду, обчисливши його по деякій лінії, що з'єднує фіксовану точку і змінну точку , так як

(Ця рівність виводиться так само, як і у двовимірному випадку).

З іншого боку, криволінійний інтеграл ІІ роду від повного диференціала не залежить від форми лінії інтегрування, тому його найпростіше вважати за ламаною, що складається з відрізків, паралельних осям координат. При цьому в якості фіксованої точки можна взяти для просто ти взяти точку з конкретними числовими координатами, відстежуючи лише, щоб у цій точці і на всій лінії інтегрування виконалася умова існування криволінійного інтеграла (тобто функції , і були безперервними). З урахуванням цього зауваження у цій задачі можна взяти фіксованою точкою, наприклад, точку М 0 . Тоді на кожній із ланок ламаної матимемо

10.2. Обчислення поверхневого інтегралу I роду. 79

10.3. Деякі програми поверхневого інтеграла I роду. 81

У цій темі ми розглянемо спосіб відновлення функції за її повним диференціалом, дамо приклади завдань з повним розбором рішення.

Буває так, що диференціальні рівняння (ДК) виду P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 можуть містити в лівих частинах повні диференціали деяких функцій. Тоді ми можемо знайти загальний інтеграл ДК, якщо попередньо відновимо функцію її повного диференціалу.

Приклад 1

Розглянемо рівняння P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 . У записі лівої частини міститься диференціал деякої функції U (x, y) = 0. Для цього має виконуватися умова ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Повний диференціал функції U (x , y) = 0 має вигляд d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . З урахуванням умови ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x отримуємо:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x , y) ∂ U ∂ y = Q (x , y)

Перетворивши перше рівняння з отриманої системи рівнянь, ми можемо отримати:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Функцію φ (y) ми можемо знайти з другого рівняння отриманої системи:
∂ U (x , y) ∂ y = ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y + φ y "(y) = Q (x , y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x , y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Так ми знайшли потрібну функцію U (x , y) = 0 .

Приклад 2

Знайдіть для ДК (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 загальне рішення.

Рішення

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Перевіримо, чи виконується умова ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Наша умова виконується.

На основі обчислень ми можемо зробити висновок, що ліва частина вихідного дистанційного керування є повним диференціалом деякої функції U (x , y) = 0 . Нам слід знайти цю функцію.

Оскільки (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y є повним диференціалом функції U (x , y) = 0 то

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Інтегруємо по x перше рівняння системи:

U (x , y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Тепер диференціюємо по y отриманий результат:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

Перетворивши друге рівняння системи, отримуємо: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Це означає, що
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y "(y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

де С – довільна стала.

Отримуємо: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C . Загальним інтегралом вихідного рівняння є x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Розберемо ще один метод знаходження функції за відомим повним диференціалом. Він передбачає застосування криволінійного інтегралу від фіксованої точки (x 0 , y 0) до точки зі змінними координатами (x , y) :

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

У разі значення інтеграла ніяк залежить від шляху інтегрування. Ми можемо взяти як шлях інтегрування ламану, ланки якої розташовуються паралельно осям координат.

Приклад 3

Знайдіть загальне рішення диференціального рівняння (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 .

Рішення

Проведемо перевірку, чи виконується умова ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Виходить, що ліва частина диференціального рівняння представлена ​​повним диференціалом деякої функції U(x, y) = 0. Щоб знайти цю функцію, необхідно обчислити криволінійний інтеграл від точки (1 ; 1) до (x, y). Візьмемо як шлях інтегрування ламану, ділянки якої пройдуть по прямій y = 1від точки (1, 1) до (x, 1), а потім від точки (x, 1) до (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x · 1 - x · 1 2) = x y - x y 2

Ми отримали загальне рішення диференціального рівняння виду x y - x y 2 + C = 0.

Приклад 4

Визначте загальне рішення диференціального рівняння y · cos x d x + sin 2 x d y = 0.

Рішення

Перевіримо, чи виконується умова ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Оскільки ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x , то умова виконуватися не буде. Це означає, що ліва частина диференціального рівняння не є повним диференціалом функції. Це диференціальне рівняння з змінними, що розділяються, і для його вирішення підходять інші способи розв'язання.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Диференціальним називається рівняння виду

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 ,

де ліва частина є повним диференціалом будь-якої функції двох змінних.

Позначимо невідому функцію двох змінних (її-то і потрібно знайти при вирішенні рівнянь у повних диференціалах) через Fі незабаром повернемося до неї.

Перше, на що слід звернути увагу: у правій частині рівняння обов'язково має бути нуль, а знак, що з'єднує два члени у лівій частині, має бути плюсом.

Друге - має дотримуватися деяка рівність, яка є підтвердженням того, що це диференціальне рівняння є рівнянням у повних диференціалах. Ця перевірка є обов'язковою частиною алгоритму розв'язання рівнянь у повних диференціалах (він у другому параграфі цього уроку), тому процес пошуку функції Fдосить трудомісткий і важливо на початковому етапіпереконатися, що ми не витратимо час даремно.

Отже, невідому функцію, яку потрібно знайти, позначили через F. Сума приватних диференціалів за всіма незалежними змінними дає повний диференціал. Отже, якщо рівняння є рівнянням у повних диференціалах, ліва частина рівняння є сумою приватних диференціалів. Тоді за визначенням

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy .

Згадуємо формулу обчислення повного диференціала функції двох змінних:

Вирішуючи дві останні рівністі, можемо записати

.

Першу рівність диференціюємо за змінною "ігрок", друге - за змінною "ікс":

.

що є умовою того, що дане диференціальне рівняння дійсно є рівнянням у повних диференціалах.

Алгоритм розв'язання диференціальних рівнянь у повних диференціалах

Крок 1Переконатись, що рівняння є рівнянням у повних диференціалах. Для того, щоб вираз було повним диференціалом певної функції F(x, y) , необхідно і достатньо, щоб . Іншими словами, потрібно взяти приватну похідну за xі приватну похідну за yіншого доданку і, якщо ці похідні рівні, то рівняння є рівнянням повних диференціалах.

Крок 2Записати систему рівнянь із приватних похідних, що становлять функцію F:

Крок 3Проінтегрувати перше рівняння системи - x (y F:

,
y.

Альтернативний варіант (якщо так інтеграл знайти простіше) - проінтегрувати друге рівняння системи - y (xзалишається константою та виноситься за знак інтеграла). Таким чином, так само відновлюється функція F:

,
де - поки невідома функція від х.

Крок 4.Результат кроку 3 (знайдений загальний інтеграл) продиференціювати за y(В альтернативному варіанті - за x) і прирівняти до другого рівняння системи:

,

а в альтернативному варіанті - до першого рівняння системи:

.

З отриманого рівняння визначаємо (в альтернативному варіанті)

Крок 5.Результат кроку 4 інтегрувати та знайти (в альтернативному варіанті знайти).

Крок 6Результат кроку 5 підставити в результат кроку 3 - у відновлену приватним інтегруванням функцію F. Довільну постійну Cчастіше записують після знаку рівності – у правій частині рівняння. Таким чином, отримуємо загальне рішення диференціального рівняння в повних диференціалах. Воно, як уже говорилося, має вигляд F(x, y) = C.

Приклади розв'язків диференціальних рівнянь у повних диференціалах

приклад 1.

Крок 1 рівнянням у повних диференціалах xодного доданку в лівій частині виразу

і приватну похідну за yіншого доданку
рівнянням у повних диференціалах .

Крок 2 F:

Крок 3по x (yзалишається константою та виноситься за знак інтеграла). Таким чином відновлюємо функцію F:

де - поки невідома функція від y.

Крок 4. y

.

.

Крок 5.

Крок 6 F. Довільну постійну C :
.

Яка помилка можлива тут із найбільшою ймовірністю? Найпоширеніші помилки - прийняти приватний інтеграл по одній зі змінних за звичайний інтеграл твору функцій і намагатися інтегрувати частинами або замінною змінною а також прийняти приватну похідну двох співмножників за похідну твори функцій і шукати похідну за відповідною формулою.

Це треба запам'ятати: при обчисленні приватного інтеграла по одній зі змінної інша є константою і виноситься за знак інтеграла, а при обчисленні приватної похідної по одній зі змінної інша також є константою і похідна вирази знаходиться як похідна змінної, що "діє", помноженої на константу.

Серед рівнянь у повних диференціалах не рідкість – приклади з експонентою. Такий такий приклад. Він примітний і тим, що у його рішенні використовується альтернативний варіант.

приклад 2.Розв'язати диференціальне рівняння

.

Крок 1Переконаємося, що рівняння є рівнянням у повних диференціалах . Для цього знаходимо приватну похідну по xодного доданку в лівій частині виразу

і приватну похідну за yіншого доданку
. Ці похідні рівні, отже, рівняння є рівнянням у повних диференціалах .

Крок 2Запишемо систему рівнянь із приватних похідних, що становлять функцію F:

Крок 3Проінтегруємо друге рівняння системи - y (xзалишається константою та виноситься за знак інтеграла). Таким чином відновлюємо функцію F:

де - поки невідома функція від х.

Крок 4.Результат кроку 3 (знайдений загальний інтеграл) продиференціюємо по х

і прирівняємо до першого рівняння системи:

З отриманого рівняння визначаємо:
.

Крок 5.Результат кроку 4 інтегруємо і знаходимо:
.

Крок 6Результат кроку 5 підставляємо результат кроку 3 - у відновлену приватним інтегруванням функцію F. Довільну постійну Cзаписуємо після знаку рівності. Таким чином отримуємо спільне розв'язання диференціального рівняння у повних диференціалах :
.

У наступному прикладі повертаємось від альтернативного варіантудо основного.

приклад 3.Розв'язати диференціальне рівняння

Крок 1Переконаємося, що рівняння є рівнянням у повних диференціалах . Для цього знаходимо приватну похідну по yодного доданку в лівій частині виразу

і приватну похідну за xіншого доданку
. Ці похідні рівні, отже, рівняння є рівнянням у повних диференціалах .

Крок 2Запишемо систему рівнянь із приватних похідних, що становлять функцію F:

Крок 3Проінтегруємо перше рівняння системи - по x (yзалишається константою та виноситься за знак інтеграла). Таким чином відновлюємо функцію F:

де - поки невідома функція від y.

Крок 4.Результат кроку 3 (знайдений загальний інтеграл) продиференціюємо по y

і прирівняємо до другого рівняння системи:

З отриманого рівняння визначаємо:
.

Крок 5.Результат кроку 4 інтегруємо і знаходимо:

Крок 6Результат кроку 5 підставляємо результат кроку 3 - у відновлену приватним інтегруванням функцію F. Довільну постійну Cзаписуємо після знаку рівності. Таким чином отримуємо спільне розв'язання диференціального рівняння у повних диференціалах :
.

приклад 4.Розв'язати диференціальне рівняння

Крок 1Переконаємося, що рівняння є рівнянням у повних диференціалах . Для цього знаходимо приватну похідну по yодного доданку в лівій частині виразу

і приватну похідну за xіншого доданку
. Ці похідні рівні, отже, рівняння є рівнянням повних диференціалах.

Крок 2Запишемо систему рівнянь із приватних похідних, що становлять функцію F:

Крок 3Проінтегруємо перше рівняння системи - по x (yзалишається константою та виноситься за знак інтеграла). Таким чином відновлюємо функцію F:

де - поки невідома функція від y.

Крок 4.Результат кроку 3 (знайдений загальний інтеграл) продиференціюємо по y

і прирівняємо до другого рівняння системи:

З отриманого рівняння визначаємо:
.

Крок 5.Результат кроку 4 інтегруємо і знаходимо:

Крок 6Результат кроку 5 підставляємо результат кроку 3 - у відновлену приватним інтегруванням функцію F. Довільну постійну Cзаписуємо після знаку рівності. Таким чином отримуємо спільне розв'язання диференціального рівняння у повних диференціалах :
.

Приклад 5.Розв'язати диференціальне рівняння

.

Крок 1Переконаємося, що рівняння є рівнянням у повних диференціалах . Для цього знаходимо приватну похідну по yодного доданку в лівій частині виразу

і приватну похідну за xіншого доданку
. Ці похідні рівні, отже, рівняння є рівнянням у повних диференціалах .

деяких функцій. Якщо відновити функцію її повному диференціалу, то знайдемо загальний інтеграл диференціального рівняння. Нижче поговоримо про метод відновлення функції за її повним диференціалом.

Ліва частина диференціального рівняння – це повний диференціал деякої функції U(x, y) = 0якщо виконується умова.

Т.к. повний диференціал функції U(x, y) = 0це , Отже, під час виконання умови стверджують, що .

Тоді, .

З першого рівняння системи отримуємо . Функцію знаходимо, скориставшись другим рівнянням системи:

Таким чином ми знайдемо потрібну функцію U(x, y) = 0.

приклад.

Знайдемо спільне рішення ДК .

Рішення.

У нашому прикладі. Умова виконується, тому що:

Тоді, ліва частина початкового ДК є повним диференціалом деякої функції U(x, y) = 0. Нам потрібно знайти цю функцію.

Т.к. є повним диференціалом функції U(x, y) = 0, значить:

.

Інтегруємо по x 1-е рівняння системи та диференціюємо по yрезультат:

.

З 2-го рівняння системи отримуємо . Значить:

Де З- Довільна постійна.

Т.ч., і загальним інтегралом заданого рівняння буде .

Є другий метод обчислення функції за її повним диференціалом. Він полягає у взятті криволінійного інтегралу від фіксованої точки (x 0 , y 0)до точки зі змінними координатами (x, y): . У разі значення інтеграла незалежно від шляху інтегрування. Зручно брати як шлях інтегрування ламану, ланки якої паралельні осям координат.

приклад.

Знайдемо спільне рішення ДК .

Рішення.

Перевіряємо виконання умови:

Т.ч., ліва частина ДК є повним диференціалом деякої функції U(x, y) = 0. Знайдемо цю функцію, обчисливши криволінійний інтеграл від точки (1; 1) до (x, y). Як шлях інтегрування беремо ламану: першу ділянку ламаної пройдемо прямою y = 1від крапки (1, 1) до (x, 1), другою ділянкою шляху беремо відрізок прямої від точки (x, 1)до (x, y):

Отже, загальне рішення ДК виглядає так: .

приклад.

Визначимо загальне рішення ДК.

Рішення.

Т.к. , отже, умова не виконується, тоді, ліва частина ДК не буде повним диференціалом функції і потрібно використовувати другий спосіб розв'язання (це рівняння є диференціальним рівнянням з змінними, що розділяються).

Що має стандартний вигляд $P \ left (x, y \ right) \ cdot dx + Q \ left (x, y \ right) \ cdot dy = 0 $, в якому ліва частина являє собою повний диференціал деякої функції $ F \ left ( x,y\right)$, називається рівнянням у повних диференціалах.

Рівняння в повних диференціалах завжди можна переписати у вигляді $dF \ left (x, y \ right) = 0 $, де $ F \ left (x, y \ right) $ - така функція, що $ dF \ left (x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Проінтегруємо обидві частини рівняння $ dF \ left (x, y \ right) = 0 $: $ \ int dF \ left (x, y \ right) = F \ left (x, y \ right) $; інтеграл від нульової правої частини дорівнює довільній постійної $C$. Таким чином, загальне рішення даного рівняння в неявній формі має вигляд $ F \ left (x, y \ right) = C $.

Для того, щоб дане диференціальне рівняння являло собою рівняння в повних диференціалах, необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $. Якщо зазначена умова виконана, то існує така функція $F\left(x,y\right)$, для якої можна записати: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac(\partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, звідки отримуємо два співвідношення: $\frac(\ partial F)(\partial x) = P\left(x,y\right)$ і $\frac(\partial F)(\partial y) = Q\left(x,y\right)$.

Інтегруємо перше співвідношення $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ по $x$ і отримуємо $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, де $U\left(y\right)$ -- довільна функція від $y$.

Підберемо її так, щоб задовольнялося друге співвідношення $\frac(\partial F)(\partial y) = Q\left(x, y\right)$. Для цього продиференціюємо отримане співвідношення для $F\left(x,y\right)$ $y$ і прирівняємо результат до $Q\left(x,y\right)$. Отримуємо: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left( x,y\right)$.

Подальше рішення таке:

• з останньої рівності знаходимо $U"\left(y\right)$;
• інтегруємо $U"\left(y\right)$ і знаходимо $U\left(y\right)$;
• підставляємо $U\left(y\right)$ у рівність $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ і остаточно отримуємо функцію $F\left(x,y\right)$.

\

Знаходимо різницю:

Інтегруємо $U"\left(y\right)$ по $y$ і знаходимо $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Знаходимо результат: $ F \ left (x, y \ right) = V \ left (x, y \ right) + U \ left (y \ right) = 5 \ cdot x \ cdot y ^ (2) +3 \ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Записуємо загальне рішення у вигляді $F \ left (x, y \ right) = C $, а саме:

Знаходимо приватне рішення $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, де $y_(0) =3$, $x_(0) =2 $:

Приватне рішення має вигляд: $5 cdot x cdot y ^ (2) +3 cdot x cdot y-2 cdot y = 102 $.