ОСІ ІНЕРЦІЇ

ОСІ ІНЕРЦІЇ

Головні три взаємно перпендикулярні осі, проведені через к.-л. точку тіла і які мають тим св-вом, що й їх прийняти за координатні осі, то відцентрові інерціїтіла щодо цих осей дорівнюватимуть нулю. Якщо тб. тіло, закріплене в одній точці, приведено в обертання навколо осі, яка в даній точці явл. головною О. і., те тіло за відсутності зовніш. сил продовжуватиме обертатися навколо цієї осі, як навколо нерухомої. Поняття про головні О. в. грає важливу рольу динаміці тв. тіла.

Фізичний енциклопедичний словник. - М: Радянська енциклопедія. . 1983 .

ОСІ ІНЕРЦІЇ

Головні – три взаємноперпендикулярні осі, проведені через к.-н. точку тіла, що збігаються сосями еліпсоїда інерції тіла в цій точці. Головні О. в. володіють тим властивістю, що якщо їх прийняти за координатні осі, то відцентрові моменти інерції тіла щодо цих осей дорівнюватимуть нулю. Якщо одна з координатних осей, напр. вісь Ох,є для точки Проголовної О. і., то відцентрові моменти інерції, в індекси яких брало входить найменування цієї осі, тобто. I xyі I xz, Дорівнюють нулю. Якщо тверде тіло, закріплене в одній точці, приведено в обертання навколо осі, яка в даній точці є головною О. і., то тіло за відсутності. сил продовжуватиме обертатися навколо цієї осі, як навколо нерухомої.

Фізична енциклопедія. У 5-ти томах. - М: Радянська енциклопедія. Головний редакторА. М. Прохоров. 1988 .

Дивитись що таке "ОСІ ІНЕРЦІЇ" в інших словниках:

Головні три взаємно перпендикулярні осі, які можна провести через будь-яку точку твердого тіла, що відрізняються тим, що якщо тіло, закріплене в цій точці, привести в обертання навколо однієї з них, то за відсутності зовнішніх сил воно буде. Великий Енциклопедичний словник

Головні три взаємно перпендикулярні осі, які можна провести через будь-яку точку твердого тіла, що відрізняються тим, що якщо тіло, закріплене в цій точці, привести в обертання навколо однієї з них, то при відсутності зовнішніх сил воно буде ... Енциклопедичний словник

Головні, три взаємно перпендикулярні осі, проведені через якусь точку тіла, що володіють тією властивістю, що, якщо їх прийняти за координатні осі, то відцентрові моменти інерції тіла щодо цих осей. Велика радянська енциклопедія

Головні, три взаємно перпендикулярні осі, які можна провести через будь-яку точку тб. тіла, що відрізняються тим, що якщо тіло, закріплене в цій точці, привести в обертання навколо однієї з них, то за відсутності зовніш. сил воно продовжуватиме... Природознавство. Енциклопедичний словник

головні осі інерції- Три взаємно перпендикулярні осі, проведені через центр тяжкості тіла, що володіють тією властивістю, що, якщо їх прийняти за координатні осі, то відцентрові моменти інерції тіла щодо цих осей дорівнюватимуть нулю. Довідник технічного перекладача

головні осі інерції- три взаємно перпендикулярні осі, проведені через центр тяжкості тіла, що володіють тією властивістю, що, якщо їх прийняти за координатні осі, то відцентрові моменти інерції тіла щодо цих осей дорівнюватимуть нулю.

- … Вікіпедія

Осі головні- : Дивись також: головні осі інерції головні осі (тензора) деформації … Енциклопедичний словник з металургії

Розмірність L2M Одиниці виміру СІ кг·м² СГС … Вікіпедія

Момент інерції скалярний фізична величина, Що характеризує розподіл мас у тілі, рівна сумітворів елементарних мас на квадрат їх відстаней до базової множини (точки, прямої чи площини). Одиниця виміру СІ: кг·м².

Книги

• Торетична фізика. Частина 3. Механіка твердого тіла (2-ге видання), А.А. Ейхенвальд. Третя частина даного курсуТеоретична фізика являє собою природне продовження частини II: основні принципи механіки застосовуються тут до твердого тіла, тобто до системи ...

Подивимося, як змінюються моменти інерції під час повороту осей координат. Припустимо, дані моменти інерції деякого перерізу щодо осей х, у(Не обов'язково центральних). Потрібно визначити J u , J v , J uv - моменти інерції щодо осей і, v,повернутих щодо першої системи на кут (рис. 3).

Проектуємо замкнутий чотирикутник ОАВСОна осі іі v.Так як проекція ламаної лінії дорівнює проекції, що замикає, знаходимо:

u = y sin + x cos, v = y cos - x sin

У виразах (3), підставивши замість x 1 та y 1 відповідно u та v, виключаємо u та v

Розглянемо два перші рівняння. Складаючи їх почленно, отримаємо, що сума осьових моментів інерції щодо двох взаємно перпендикулярних осей залежить від кута і за повороті осей залишається постійної. При цьому

де - Відстань від початку координат до елементарного майданчика (рис. 3). Таким чином,

J x + J y = J p

де J p- Полярний момент інерції

величина якого, звичайно, не залежить від повороту осей ху.

Зі зміною кута повороту осей кожна з величин J uі J v змінюється, а сума залишається незмінною. Отже, існує таке , при якому один з моментів інерції досягає свого максимального значення, тоді як інший момент інерції набуває мінімального значення.

Диференціюючи вираз J u(5) по і прирівнюючи похідну нулю, знаходимо

При цьому значенні кута один із осьових моментів буде найбільшим, а інший – найменшим. Одночасно відцентровий момент інерції J uvпри зазначеному вугіллі перетворюється на нуль, що легко встановлюється з третьої формули (5).

Осі, щодо яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, а осьові моменти набувають екстремальних значень, називаються головними осями.Якщо вони до того ж є центральними, тоді вони називаються головними центральними осями.Осьові моменти інерції щодо головних осей називаються Основними моментами інерції.Для визначення цього перші дві формули (5) перепишемо у вигляді

Верхній знак відповідає максимальному моменту інерції, а нижній – мінімальному. Після того, як перетин викреслено в масштабі і на кресленні показано положення головних осей, неважко встановити, якій з двох осей відповідає максимальний і - мінімальний момент інерції.

Якщо перетин має вісь симетрії, ця вісь завжди буде головною. Відцентровий момент інерції частини перерізу, розташованої з одного боку від осі, буде дорівнює моментучастини, розташованої з іншого боку, але протилежний йому за знаком. Отже, J ху = 0 та осі хі ує основними.

Завдання 5.3.1: Для перерізу відомі осьові моменти інерції перерізу щодо осей х1, у1, х2: , . Осьовий момент інерції щодо осі у2дорівнює…

1) 1000 см4; 2) 2000 см4; 3) 2500 см4; 4) 3000 см4.

Рішення: Вірна відповідь - 3). Сума осьових моментів інерції перерізу щодо двох взаємно перпендикулярних осей при повороті осей на деякий кут залишається постійною, тобто

Після встановлення заданих значень отримаємо.

Завдання 5.3.2: З зазначених центральних осей перерізу рівнополочного куточка головними є...

1) х3; 2) усі; 3) х1; 4) х2.

Рішення: Вірна відповідь - 4). Для симетричних перерізівосі симетрії є основними осями інерції.

Завдання 5.3.3: Головні осі інерції.

• 1) можна провести лише через точки, що лежать на осі симетрії;
• 2) можна провести лише через центр тяжіння плоскої фігури;
• 3) це осі, щодо яких моменти інерції плоскої фігури дорівнюють нулю;
• 4) можна провести через будь-яку точку плоскої фігури.

Рішення: Вірна відповідь - 4). На малюнку показано довільну плоску фігуру. Через точку Зпроведено дві взаємно перпендикулярні осі Uі V.

У курсі опору матеріалів доводиться, що й осі повертати, можна визначити таке їх становище, у якому відцентровий момент інерції площі перетворюється на нуль, а моменти інерції щодо цих осей набувають екстремальні значення. Такі осі називаються головними осями.

Завдання 5.3.4: Із зазначених центральних осей головними осями перерізу є...

1) усі; 2) х1і х3; 3) х2і х3; 4)х2і х4.

Рішення: Вірна відповідь - 1). Для симетричних перерізів осі симетрії є основними осями інерції.

Завдання 5.3.5: Осі, щодо яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, а осьові моменти набувають екстремальних значень, називаються…

• 1) центральними осями; 2) осями симетрії;
• 3) головними центральними осями; 4) головними осями.

Рішення: Вірна відповідь - 4). При повороті осей координат на кут б моменти інерції перерізу змінюються.

Нехай задані моменти інерції перерізу щодо координатних осей x, y. Тоді моменти інерції перерізу у системі координатних осей u, v, повернутих на деякий кут щодо осей x, y, рівні

При деякому значенні кута відцентровий момент інерції перерізу перетворюється на нуль, а осьові моменти інерції приймають екстремальні значення. Ці осі називаються головними осями.

Завдання 5.3.6: Момент інерції перерізу щодо головної центральної осі хСдорівнює…

1); 2) ; 3) ; 4) .

Рішення: Вірна відповідь - 2)

Для обчислення використовуємо формулу

З формул (6.22) - (6.25) випливає, що при повороті осей моменти інерції змінюються, але сума осьових моментів залишається постійною.

Отже, якщо щодо однієї осі значення моменту інерції буде найбільшим, то щодо іншої – найменшим. У цьому випадку відцентровий моментщодо цих осей виявляється рівним нулю.

Головними центральними осями називаються осі, що проходять через центр тяжіння і щодо яких відцентровий момент дорівнює нулю, а осьові моменти щодо них (осей) мають властивості екстремальності і називаютьсяголовними центральними моментами інерції. Щодо однієї головної осі момент інерції має найменше значення – , щодо іншої – найбільше.

Будемо позначати ці осі буквами uі v. Доведемо наведене твердження. Нехай осі xі y– центральні осі несиметричного перерізу (рис. 6.12).

Визначимо положення головних осей шляхом повороту центральних осей на кут , у якому відцентровий момент стає рівним нулю.

.

Тоді із формули (6.25)

. (6.26)

Формула (6.26) визначає положення головних осей, де – кут, який потрібно повернути центральні осі, щоб вони стали головними. Негативні кути відкладаються протягом годинної стрілки від осі. x.

Тепер покажемо, що щодо головних осей осьові моменти інерції мають властивість екстремальності. Обчислимо похідну від виразу (формула 6.22) та прирівняємо її до нуля:

(6.27)

Порівнюючи вирази (6.27) з (6.25) встановлюємо, що

.

Звідси випливає, що похідна перетворюється на нуль, коли , а це означає, що екстремальні значення мають моменти інерції щодо головних осей uі v. Тоді за формулами (6.22) та (6.23):

(6.28)

За формулами (6.28) визначаються Основні центральні моменти інерції.

Якщо скласти почленно формули (6.28), очевидно, . Якщо виключити з формул (6.28) кут, то отримаємо зручнішу формулу для головних центральних моментів інерції:

Знак «+» перед другим доданком (6.29) відноситься до , знак «-» – до .

Корисно мати на увазі окремі випадки:

Якщо фігура має дві осі симетрії, то ці осі є головними центральними осями.

2. Для правильних фігур – рівносторонній трикутник, квадрат, коло і т.п., що мають більше двох осей симетрії,всі центральні осі є головними, а моменти інерції щодо них рівні між собою.

Вміння знаходити становище головних центральних осей і обчислювати і необхідно визначення площині найбільшої жорсткості перерізу(слід якої збігається з віссю) при розрахунках на вигин (глава 7).

35. Загальний порядок визначення основних центральних

Моментів.

Нехай потрібно визначити становище основних центральних осейі обчислити щодо них моменти інерції для плоского перерізу, що складається зі швелера та смуги (рис. 6.13):

Проводять довільну систему координат xOy.

Розбивають перетин на прості фігурита за формулами (6.5) визначають положення центру тяжіння З.

Знаходять моменти інерції простих фігур щодо власних центральних осей, використовуючи сортамент чи за формулами.

Через точку Зпроводять центральні осі x cі y cпаралельно осям простих фігур.

Визначають моменти інерції простих фігур щодо центральних осей перерізу, використовуючи формули паралельного перенесення (6.13).

Визначають центральні моменти інерції всього перерізу як суму відповідних моментів простих фігур, знайдених у пункті 5.

Обчислюють кут за формулою (6.26) і повертаючи осі x cі y cна кут , зображують головні осі uі v.

За формулами (6.29) обчислюють та .

Роблять перевірку:

б), якщо;

36) Загальний прядок визначення основних центральних моментів інерції. Приклад:

1. Якщо фігура має дві осі симетрії, ці осі і будуть ГЦО.

2. Для правильних фігур (у яких більше 2-х осей) всі осі будуть головними

3. Проводимо допоміжні осі(Х'O'Y')

4. Розбиваємо цей перетин на прості фігури та показуємо їх власні ЦО.

5. Знаходимо положення ДЦО за формулою (21)

6. Обчислюємо значення ГЦМ за формулою (23)

· Imax + Imin = Ix + Iy

· Imax >Ix>Iy>Iminякщо Ix>Iy

· Iuv = Ix-Iy/2 sin2a + Ixycos2a +0

Формула 21: Tg2a = - 2Ixy/Ix - Iy

Формула23: Imax, Imin = *

37) Вигин. Класифікація видів вигину. Прямий та чистий вигин. Картина деформування балки. Нейтральний шар та вісь. Основні припущення.

Вигин - деформування при якому в поперечному перерізі виникає згинальний момент Мх. Брус, який працює на вигин-балка

Види згину:

Чистий вигин має місце, якщо в перерізі виникає тільки згинальний момент

Поперечний вигин - якщо одночасно з моментом виникає поперечна сила

Плоский - всі навантаження лежать у одній площині

Просторовий - якщо всі навантаження лежать у різних поздовжніх площинах

Прямий – якщо силова площина збігається з однією з головних осей інерції

Косий - якщо силова площина не збігається з жодною з головних осей

Внаслідок деформування на ділянці чистого вигину можна бачити:

Поздовжні волокна викривляються по дузі кола: одні- коротшають, інші-подовжуються; між ними є шар волокон, які не змінюють своєї довжини-нейтральний шар (н.с.), лінію його перетину з площиною поперечного перерізу називають нейтральною віссю (н.о.)

Відстань між поздовжніми волокнами не змінюється

Поперечні перерізи, залишаючись прямими, повертаються на деякий кут

Припущення:

1.Оненадавліванні поздовжніх волокон друг на друга, тобто. кожне волокно перебувати у стані простого розтягування чи стиснення, що супроводжується виникненням нормальних напруг Ϭ

2.Про справедливість гіпотези Бернули, тобто. перерізи балки, плоскі та нормальні до осі до деформації, залишаються плоскими та нормальними до її осі після деформації

Осі, щодо яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, називаються головними, а моменти інерції щодо цих осей називаються головними моментами інерції.

Перепишемо формулу (2.18) з урахуванням відомих тригонометричних співвідношень:

;

у такому вигляді

З метою визначення положення головних центральних осей, продиференціюємо рівність (2.21) по куту один раз отримаємо

При деякому значенні кута α=α 0 відцентровий момент інерції може виявитися рівним нулю. Отже, з урахуванням похідної ( в), осьовий момент інерції набуде екстремального значення. Прирівнюючи

,

отримуємо формулу визначення положення основних осей інерції як:

(2.22)

У формулі (2.21) винесемо за дужки соs2 α 0 і підставимо туди значення (2.22) та з урахуванням відомої тригонометричної залежності отримаємо:

Після спрощення остаточно отримаємо формулу визначення значень основних моментів інерції:

(2.23)

Формула (20.1) застосовується визначення моментів інерції щодо головних осей. Формула (2.22) не дає прямої відповіді на питання про те, щодо якої осі момент інерції буде максимальний або мінімальний. За аналогією з теорією дослідження плоского напруженого стану наведемо зручніші формули визначення положення основних осей інерції:

(2.24)

Тут α 1 і α 2 визначають положення осей, щодо яких моменти інерції відповідно дорівнюють J 1 та J 2 . При цьому слід мати на увазі, що сума модулів кутів α 01 та α 02 повинна дорівнювати π/2:

Умова (2.24) є умовою ортогональності основних осей інерції плоского перерізу.

Слід зазначити, що з користуванні формулами (2.22) і (2.24) визначення положення головних осей інерції має дотримуватися така закономірність:

Головна вісь, щодо якої момент інерції максимальний, становить найменший кут з тією вихідною віссю, щодо якої момент інерції більший.

приклад 2.2.

Визначити геометричні характеристики плоских перерізів бруса щодо головних центральних осей:

Рішення

Запропонований переріз є несиметричним. Тому положення центральних осей визначатиметься двома координатами, головні центральні осі будуть розгорнуті щодо центральних осей певний кут. Звідси випливає такий алгоритм розв'язання задачі визначення основних геометричних характеристик.

1. Розбиваємо перетин на два прямокутники з такими площами та моментами інерції щодо власних центральних осей:

F 1 = 12 cм 2, F 2 = 18 cм 2;

2. Задаємося системою допоміжних осей х 0 у 0 з початком у точці А. Координати центрів тяжкості прямокутників у цій системі осей такі:

х 1 = 4 см; х 2 = 1 см; у 1 = 1,5 см; у 2 = 4,5 див.

3. Визначаємо координати центру тяжкості перерізу за формулами (2.4):

Наносимо центральні осі (рис. 2.9 червоним кольором).

4. Обчислюємо осьові та відцентрові моменти інерції щодо центральних осей хз і уз за формулами (2.13) стосовно складового перерізу:

5. Знаходимо основні моменти інерції за формулою (2.23)

6. Визначаємо становище основних центральних осей інерції хі уза формулою (2.24):

Головні центральні осі показані (рис. 2.9) синім кольором.

7. Перевіримо проведені обчислення. Для цього проведемо такі обчислення:

Сума осьових моментів інерції щодо головних центральних та центральних осей має бути однаковою:

Сума модулів кутів α хта α у,, Що визначають положення основних центральних осей:

Крім того, виконується положення про те, що головна центральна вісь х, щодо якої момент інерції J xмає максимальне значення, становить менший кут з центральною віссю, щодо якої момент інерції більше, тобто. з віссю хс.