визначення 1. Піраміда називається правильною, якщо її підставою є правильний багатокутник, при цьому вершина такої піраміди проектується в центр її заснування.

визначення 2. Піраміда називається правильною, якщо її основа - правильний багатокутник, а висота проходить через центр підстави.

Елементи правильної піраміди

• Висота бічної грані, проведена з її вершини називається апофема. На малюнку позначена як відрізок ON
• Точка, що з'єднує бічні ребра і не лежить в площині підстави, називається вершиною піраміди (О)
• Трикутники, що мають спільну сторону з підставою і одну з вершин, збігається з вершиною, називаються бічними гранями (AOD, DOC, COB, AOB)
• Відрізок перпендикуляра, проведеного через вершину піраміди до площини її основи називається висотою піраміди (ОК)
• Діагональне перетин піраміди - це перетин, що проходить через вершину і діагональ підстави (AOC, BOD)
• Багатокутник, якому не належить вершина піраміди, називається підставою піраміди (ABCD)

Якщо в підставі правильної піраміди лежить трикутник, чотирикутник і т.д. то вона називається правильної трикутної , чотирикутної і т.д.

Трикутна піраміда є четирехграннік - тетраедр.

Властивості правильної піраміди

Для вирішення завдань необхідно знати властивості окремих елементів, які в умови зазвичай опускаються, так як вважається, що учень повинен це знати спочатку.

• бічні ребра рівні між собою
• апофеми рівні
• бічні грані рівні між собою (при цьому, відповідно, рівні їх площі, бічні сторони і підстави), тобто вони є рівними трикутниками
• всі бічні грані є рівними рівнобокими трикутниками
• в будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і описати біля неї сферу
• якщо центри вписаною і описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює π, а кожен з них відповідно π / n, де n - кількість сторін багатокутника підстави
• площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині твори периметра підстави на апофему
• близько підстави правильної піраміди можна описати коло (див. також радіус описаного кола трикутника)
• всі бічні грані утворюють з площиною основи правильної піраміди рівні кути
• всі висоти бічних граней рівні між собою

Вказівки до вирішення завдань. Властивості, перераховані вище, повинні допомогти в практичному вирішенні. Якщо потрібно знайти кути нахилу граней, їх поверхню і т. Д., То загальна методика зводиться до розбиття всієї об'ємної фігури на окремі плоскі фігури і застосування їх властивостей для знаходження окремих елементів піраміди, оскільки багато елементів є загальними для декількох фігур.

Необхідно розбити всю об'ємну фігуру на окремі елементи - трикутники, квадрати, відрізки. Далі, до окремих елементів застосувати знання з курсу планіметрії, що істотно спрощує знаходження відповіді.

Формули для правильної піраміди

Формули для знаходження об'єму і площі бічної поверхні:

позначення:
V - об'єм піраміди
S - площа підстави
h - висота піраміди
Sb - площа бічної поверхні
a - апофема (не плутати з α)
P - периметр підстави
n - число сторін підстави
b - довжина бічного ребра
α - плоский кут при вершині піраміди

Дана формула знаходження обсягу може застосовуватися тільки для правильної піраміди:

, де

V - об'єм правильної піраміди
h - висота правильної піраміди
n - число сторін правильного багатокутника, який є підставою для правильної піраміди
a - довжина сторони правильного багатокутника

Правильна зрізана піраміда

Якщо провести розтин, паралельне основи піраміди, то тіло, укладену між цими площинами і бічною поверхнею, називається усіченої пірамідою. Це перетин для усіченої піраміди є одним з її підстав.

Висота бічної грані (яка є равнобокой трапецією), називається - апофема правильної зрізаної піраміди.

Невелика піраміда називається правильною, якщо піраміда, з якої вона була отримана - правильна.

• Відстань між основами усіченої піраміди називається висотою усіченої піраміди
• Усе грані правильної зрізаної піраміди є равнобокой (рівнобокими) трапеціями

Примітки

Див. також:окремі випадки (формули) для правильної піраміди:

Як скористатися наведеними тут теоретичними матеріалами для вирішення свого завдання:

• апофема - висота бічної грані правильної піраміди, яка проведена з її вершини (крім того, апофемой є довжина перпендикуляра, який опущений з середини правильного багатокутника на 1-ну з його сторін);
• бічні грані (ASB, BSC, CSD, DSA) - трикутники, які сходяться у вершині;
• бічні ребра ( AS , BS , CS , DS ) - загальні сторони бічних граней;
• вершина піраміди (Т. S) - точка, яка з'єднує бічні ребра і яка не лежить в площині основи;
• висота ( SO ) - відрізок перпендикуляра, який проведений через вершину піраміди до площини її основи (кінцями такого відрізка будуть вершина піраміди і є підстави перпендикуляра);
• діагональне перетин піраміди - перетин піраміди, яке проходить через вершину і діагональ підстави;
• заснування (ABCD) - багатокутник, якому не належить вершина піраміди.

Властивості піраміди.

1. Коли всі бічні ребра мають однакову величину, тоді:

• близько основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цієї окружності;
• бічні ребра утворюють з площиною основи однакові кути;
• крім того, вірно і зворотне, тобто коли бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, або коли близько основи піраміди можна описати коло і вершина піраміди буде проектуватися в центр цієї окружності, значить, все бічні ребра піраміди мають однакову величину.

2. Коли бічні грані мають кут нахилу до площини підстави однієї величини, тоді:

• близько основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цієї окружності;
• висоти бічних граней мають рівну довжину;
• площа бічної поверхні дорівнює ½ твори периметра підстави на висоту бічній грані.

3. Близько піраміди можна описати сферу в тому випадку, якщо в основі піраміди лежить багатокутник, навколо якого можна описати коло (необхідна і достатня умова). Центром сфери стане точка перетину площин, які проходять через середини ребер піраміди перпендикулярно їм. З цієї теореми робимо висновок, що як близько всякої трикутної, так і близько всякої правильної піраміди можна описати сферу.

4. У піраміду можна вписати сферу в тому випадку, якщо биссекторной площині внутрішніх двогранні кутів піраміди перетинаються в 1-ной точці (необхідна і достатня умова). Ця точка стане центром сфери.

Найпростіша піраміда.

За кількістю кутів підстави піраміди ділять на трикутні, чотирикутні і так далі.

піраміда буде трикутної, чотирикутної, І так далі, коли підставою піраміди буде трикутник, чотирикутник і так далі. Трикутна піраміда є четирехграннік - тетраедр. Чотирикутна - пятіграннік і так далі.

Дотримання Вашої конфіденційності важливо для нас. З цієї причини, ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо і зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності і повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір і використання персональної інформації

Під персональною інформацією розуміються дані, які можуть бути використані для ідентифікації певної особи або зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації в будь-який момент, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведені деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адреса електронної пошти тощо

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Зібрана нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інших заходах і найближчі події.
• Час від часу, ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для відправки важливих повідомлень і повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних і різних досліджень з метою поліпшення послуг, що надаються нами і надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь в розіграші призів, конкурсі або подібному стимулюючому заході, ми можемо використовувати надану вами інформацію для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

винятки:

• У разі якщо необхідно - відповідно до закону, у судовому порядку, в судовому розгляді, і / або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно в цілях безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати зібрану нами персональну інформацію відповідній третій особі - правонаступнику.

Захист особистих даних

Ми вживаємо заходів обережності - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки, і недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності і безпеки до наших співробітників, і строго стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

чотирикутної пірамідою називається багатогранник, в основі якого лежить квадрат, а всі бічні грані є однаковими рівнобокими трикутниками.

У даного багатогранника є безліч різних властивостей:

• Його бічні ребра і прилеглі до них двогранні кути рівні між собою;
• Площі бічних граней однакові;
• У підставі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат;
• Висота, опущена з вершини піраміди, перетинається з точкою перетину діагоналей підстави.

Всі ці властивості допомагають легко знаходити. Однак досить часто крім неї потрібно розрахувати обсяг багатогранника. Для цього застосовується формула обсягу чотирикутної піраміди:

Тобто обсяг піраміди дорівнює одній третині твори висоти піраміди на площу підстави. Так як дорівнює добутку його рівних сторін, то ми відразу вписуємо в вираз обсягу формулу площі квадрата.
Розглянемо приклад розрахунку обсягу чотирикутної піраміди.

Нехай дана чотирикутна піраміда, в основі якої лежить квадрат зі стороною a \u003d 6 см. Бічна грань піраміди дорівнює b \u003d 8 см. Знайдіть об'єм піраміди.

Щоб знайти обсяг заданого багатогранника, нам буде потрібно довжина його висоти. Тому ми знайдемо її, застосувавши теорему Піфагора. Для початку розрахуємо довжину діагоналі. У синьому трикутнику вона буде гіпотенузою. Варто також пам'ятати, що діагоналі квадрата рівні між собою і в точці перетину діляться навпіл:


Тепер з червоного трикутника знайдемо необхідну нам висоту h. Вона буде дорівнює:

Підставами необхідні значення і знайдемо висоту піраміди:

Тепер, знаючи висоту, можемо підставляти все значення в формулу обсягу піраміди і розраховувати необхідну величину:

Ось таким чином, знаючи кілька простих формул, ми змогли розрахувати обсяг правильної чотирикутної піраміди. Не забувайте, що дана величина вимірюється в кубічних одиницях.