Поняття гіроскопа.

Гіроскопом називається бистровращающєєся навколо своєї осі симетрії тіло; вісь, навколо якої відбувається обертання, може змінювати своє положення в просторі. У техніці гіроскоп являє собою масивний диск, який практично у всіх сучасних приладах приводиться в обертання електричним шляхом, будучи ротором електродвигуна.

Одним із способів підвісу є установка гіроскопа в карданових кільцях (рис. 1). Підвішений таким чином гіроскоп отримує можливість повертатися навколо наступних трьох взаємно перпендикулярних і перетинаються в одній точці O осей:
- осі обертання АВ самого гіроскопа, званої головною віссю або віссю власного обертання;
- осі обертання СД внутрішнього кільця;
- осі обертання ЕF зовнішнього кільця підвісу.

Три можливих обертання гіроскопа в кардановом підвісі є його ступенями свободи; такий гіроскоп називається гіроскопом з трьома ступенями свободи.

Точка О перетину зазначених осей називається точкою підвісу гіроскопа. Точка підвісу є єдиною нерухомою точкою, навколо якої відбувається обертальний рух гіроскопа.

Гіроскоп з трьома ступенями свободи, у якого центр ваги всієї системи, що складається з ротора і карданових кілець, збігається з точкою підвісу О і до якого не прикладаються зовнішні обертаючі сили, називається врівноваженим або вільним.

Завдяки швидкому обертанню вільний гіроскоп набуває цікаві властивості, широко використовувані в усіх гироскопических приладах.

Основні властивості вільного гіроскопа наступні:
а) вісь обертання гіроскопа має стійкість, т. е. прагне зберегти спочатку заданий їй положення щодо світового простору.

Стійкість осі тим більше, чим точніше центр ваги системи збігається з точкою підвісу, т. Е. Чим краще отбалансирован гіроскоп, чим менше сили тертя в осях карданова підвісу і чим більше вага гіроскопа, його діаметр і швидкість обертання. Стійкість осі обертання дає можливість використовувати вільний гіроскоп як прилад для виявлення добового обертання Землі, так як по відношенню до земних предметів вісь може здійснювати здається або видимий рух;
б) під дією сили, яка додається до кардановим кільцям, вісь гіроскопа переміщається в площині, перпендикулярній напряму дії сили.

Такий рух гіроскопа називається Процесійний рухом або прецессией. Процесійний рух відбувається протягом всього часу дії зовнішньої сили і припиняється з припиненням її дії.

Для визначення напрямку прецесії користуються, наприклад, правилом полюсів.

Полюсом гіроскопа є той кінець його головної осі, з боку якого обертання спостерігається тим, що відбувається проти годинникової стрілки. Полюсом сили називається той кінець осі гіроскопа, з боку якого дія доданою до нього зовнішньої сили здається, що відбувається проти годинникової стрілки. Правило полюсів формулюється так: при додатку до гіроскопа моменту зовнішньої сили полюс гіроскопа найкоротшим шляхом прагне до полюса сили.

На рис. 2 полюс гіроскопа знаходиться в точці А, а полюс сили - в точці В. Процесійний рух полюса гіроскопа показано стрілками. Твір моменту інерції гіроскопа на кутову швидкість його власного обертання JΩ називається кінетичним моментом гіроскопа. зазвичай кінетичний момент зображується відрізком, спрямованим уздовж головної осі гіроскопа, зі стрілкою в сторону полюса гіроскопа (див. рис 2). Кутова швидкість прецесії ω може бути підрахована за формулою: ω \u003d M / JΩ, де М - момент зовнішньої сили.

Якщо головну вісь вільного гіроскопа встановити в площині меридіана, то з плином часу внаслідок обертання Землі вісь буде йти з цієї площини, вчиняючи щодо останньої видимий рух.

Земля в своєму добовому русі обертається із заходу на схід навколо осі NS з кутовий швидкістю ω (рис. 3). Перенесемо вектор кутової швидкості ω в точку М, що лежить на земної поверхні під широтою φ, і розкладемо його по правилом паралелограма на складові ω 1 і ω 2.

Складова ω 1 \u003d cosω, що лежить в площині горизонту, називається горизонтальної складової земного обертання і визначає швидкість обертання площини горизонту навколо горизонтальній осі Мх (полуденної лінії). Східною частиною площину горизонту опускається в просторі, а західною частиною піднімається.

Складова ω 2 \u003d sinω, спрямована по вертикалі, називається вертикальною складовою земного обертання. Вертикальна складова визначає обертання площини меридіана навколо осі М (вертикалі місця).

На екваторі ω 1 \u003d ω, а ω 2 \u003d 0, т. Е. Горизонтальна складова досягає максимального значення, а вертикальна складова звертається в нуль. На полюсі, навпаки, ω 2 \u003d ω, а ω 1 \u003d 0, т. Е. Вертикальна складова має максимальне значення, а горизонтальна складова звертається в нуль. На проміжних широтах має місце одночасне обертання площини горизонту і площини меридіана. Для того, щоб перетворити вільний гіроскоп в гірокомпас, необхідно повідомити йому направляючий момент, який, впливаючи на гіроскоп, приводив би його головну вісь в площину меридіана.

Направляючий момент купується гіроскопом завдяки обмеженню одного з трьох ступенів свободи.

найбільш простим способом цього обмеження є зміщення центру ваги гіроскопа нижче точки підвісу. Гірокомпас, у якого центр ваги зміщений відносно точки підвісу, називається маятникових гірокомпас.

Гіроскопічна система (гіроскоп і його підвіс) є основним елементом гірокомпас; система реагує на земне обертання і називається тому чутливим елементом. Точкою підвісу гіроскопічною системи називають її геометричний центр.

Розглянемо принцип дії маятникового гірокомпас, у якого чутливий елемент має один гіроскоп. На рис. 4 зображений вид на Землю з боку північного полюса (Площину земного екватора збігається з площиною креслення).

Припустимо, що гіроскоп знаходиться на екваторі, і в початковий момент (положення I) головна вісь гіроскопа горизонтальна і спрямована в площині схід-захід. Центр тяжкості чутливого елемента, вага якого mg, знаходиться в точці G і зміщений вниз від точки підвісу О на величину а, Звану метацентрической висотою.

Момент сили тяжіння чутливого елемента mg щодо точки підвісу Про називається маятникових моментом.

В початковому положенні маятниковий момент дорівнює нулю, так як напрямок сили тяжіння проходить через точку підвісу.

З плином часу Земля повернеться на деякий кут Θ, і гіроскоп виявиться в новому положенні (положення II). При цьому головна вісь гіроскопа, прагнучи зберегти спочатку заданий їй напрямок, відхилиться від обертається в просторі площини горизонту OW на той же кут Θ.

У цьому положенні напрямок сили тяжіння не пройде через точку підвісу, і до гіроскопа виявиться прикладеним деякий маятниковий момент. Величина цього моменту дорівнює mga sin Θ; зі збільшенням кута Θ вона зростає.

Під дією маятникового моменту виникає процесійний рух гіроскопа навколо осі Z. Згідно з правилом полюсів полюс гіроскопа А буде рухатися до точки півночі площинигоризонту, яка є полюсом сили, т. Е. До площини меридіана.

Отже, гіроскоп, у якого центр тяжіння знаходиться нижче точки підвісу, принципово перетворюється в гірокомпас. При відведенні гіроскопа від площини меридіана у нього з'являється направляючий момент, який прагне привести його головну вісь в площину меридіана.

Значення направляючого моменту визначається формулою

R \u003d JΩωcosφsinα,

де JΩ - кінетичний момент гіроскопа;
ωcosφ - горизонтальна складова земного обертання;
α - кут відхилення полюса гіроскопа від площини меридіана.

Направляючий момент досягає максимального значення на екваторі при відведенні головної осі гіроскопа від меридіана на 90 °. Зі збільшенням широти направляючий момент зменшується і на полюсі звертається в нуль. Тому на полюсі гірокомпас працювати не може.

У гірокомпас типу «Курс» чутливий елемент представляє собою герметично закритий куля, званий гіросферой. Подивись гіросфери забезпечує можливість обертання навколо всіх трьох осей. Для попередження шкідливого впливу качки гіроскопічна система гіросфери змонтована з двох гіроскопів.

Гіроскопи розташовані в гіросфери під кутом 90 ° один до одного і під кутом 45 ° до лінії NS гіросфери (рис. 5). Гіроскопи пов'язані між собою кривошипом, а з оболонкою гіросфери - пружинами і можуть обертатися навколо своїх вертикальних осей.

Кінетичний момент одного з гіроскопів спрямований на північний схід, другого-на північний захід.

Розкладемо по правилом паралелограма кінетичні моменти на їх складові по осях OW і NS (рис. 6). Складові по осі OW взаємно знищаться, а складові по осі NS складуться. Тому систему двох гіроскопів можна розглядати як одногіроскопную, сумарний кінетичний момент якої спрямований по осі NS і дорівнює H \u003d 2 / Ω cos 45 ° \u003d √2 / Ω (рис.7).

Отже, поведінка гіросфери при обертанні Землі буде аналогічно поведінці чутливого елемента одногіроскопного маятникового гіроскопа.

Визначення поправки компаса по берегових об'єктах.

Роботу гироскопического і магнітних компасів слід контролювати систематично, користуючись для визначення поправок цих приладів будь-якими з доступних способів.

Визначення поправки по пеленгу створу (віяла створів).

• Знімають з карти істинний пеленг ВП.
• На ходу в момент перетину створу або віяла створів беруть ДКП по Гірокомпаси або ОКП M.K. по магнітному компасу.
• Взятий ДКП (ОКП M.K.) зіставляється з ІП \u200b\u200b(ГІП):
  ΔГК \u003d ІП - ДКП; ΔМК \u003d ГІП - ОКП M.K.

Визначення поправки по пеленгам трьох орієнтирів, нанесених на карту.

• Вимірюють ДКП (ОКП M.K.) орієнтирів, розраховують кути між ними.
• Визначають місце за двома горизонтальним кутах.
• З обсервованной точки знімають ІП на орієнтири.
• За формулами визначають три поправки компаса і розраховують середню з них.

Можливі варіанти:
Визначення поправки по пеленгам небесного світила.
Визначення з визначення іншим компасом, поправка якого відома.

схиляння dзнімають з карти в районі плавання і призводять до року плавання. Річне збільшення (зменшення) відноситься до абсолютній величині відміни (до кута), а не до знаку. Може бути так, що в своєму річному зміні величина відмінювання переходить через нуль, і тоді наведене до місця плавання схиляння буде протилежним за знаком відміни, зазначеного на карті.

Девіація магнітного компаса δ, як правило, вибирається з таблиці залишкової девіації на даний компасний курс. Однак девіація, певна в конкретних магнітних умовах, змінюється в залежності від зміни магнітної широти плавання, переміщення суднового заліза, зміна завантаження судна, крену і диференту, від виробництва зварювальних робіт, зміна струмоведучих частин на судні і ін. Тому в процесі плавання девіацію також визначають будь-яким з доступних методів.

Визначення девіації по пеленгам створів, дійсний напрям яких ІП відомо.
Визначення девіації по пеленгам віддаленого орієнтиру, положення якого відомо.
Визначення девіації по сличению показань магнітного і гіроскопічного компасів (ΔГК відома).

Девіація магнітного компаса знищується і визначається за потребою і на розсуд капітана, але не рідше одного разу на рік.

Залишкова девіація у головного магнітного компаса не повинна перевищувати \u003d 3 °, а у колійного \u003d 5 °.

НШС - стор. 22; СКПС - стор. 80; СКДП - стор. 166

Похибки гірокомпас, їх типи.

Відповідно до міжнародних стандартів, точність будь-якого встановленого на судні гірокомпас повинна відповідати таким мінімальним вимогам.

Встановлена \u200b\u200bпохибка гірокомпаса - це різниця відліків істинного і усталеного курсів. Сталий курс - середнє значення з 10 відліків, взятих один за іншим через 20 хв після того, як гірокомпас прийшов в меридіан. Вважається, що гірокомпас прийшов в меридіан, якщо різниця між значеннями будь-яких двох відліків, взятих через 30 хв, не перевищує ± 0,7 °. Встановлена \u200b\u200bпохибка на будь-якому курсі в широтах φ≤60 ° не повинна перевищувати ± 0,75 ° sec φ. Середня квадратична похибка різниць між окремими відліками курсу і його середнім значенням повинна бути менше 0,25 ° sec φ.

Стабільність усталеною похибки гірокомпаса від пуску до пуску повинна бути в межах 0,25 ° sec φ. Стабільність усталеною похибки основного приладу гірокомпас повинна бути в межах ± 1 ° sec φ в звичайних умовах експлуатації і варіаціях магнітного поля, Які може відчувати судно.

Потрібно також, щоб в широтах φ≤60 °:

• включений відповідно до інструкції гірокомпас прийшов в меридіан за час не більше 6 год при бортовий і кільової качків з періодом коливань від 6 до 15 с, амплітудою 5 ° і максимальному горизонтальному прискоренні 0,22 м / с 2 ;
• залишкова постійна похибка після введення корекції за швидкість і курс при швидкості 20 уз не повинна перевищувати ± 0,25 ° sec φ;
• похибка, викликана швидким зміною швидкості, при початковій швидкості 20 уз не повинна перевищувати ± 2 °;
• похибки, викликані бортовий і кільової хитавицею з періодом коливань від 6 до 15с, амплітудами 20 °, 10 ° і 5 ° відповідно при максимальному горизонтальному прискоренні, що не перевищує 1 м / с 2, і рисканням судна повинні бути не більше 1 °secφ.

Максимальна розбіжність в звітах між основним приладом гірокомпаса і репітерами в робочому стані не повинно перевищувати ± 0,5 °.

За своїм характером похибки гірокомпас прийнято ділити на методичні та інструментальні. Основними методичними похибками є швидкісна і інерційна.

Швидкісна похибка має напівкруговій характер, для курсів північної половини горизонту вона негативна, південній - позитивна. У більшості конструкцій гірокомпасів вона виключається автоматичними або напівавтоматичними коректорами. У деяких конструкціях швидкісна похибка виключається тільки зі свідчень приймають.

Інерційні похибки гірокомпас викликаються возмущающими моментами сил інерції, що виникають при прискореному русі судна.При появі моментів цих сил вісь гірокомпаса виходить зі свого положення рівноваги і робить процесійний рух зі швидкістю, яка залежить від значення моменту сили інерції. Інерційна девіація проявляється у формі згасаючих коливань після закінчення маневру судна (курсом і / або швидкістю).

Настає внаслідок маневру змінна похибка називається інерційною похибкою гірокомпас. Вона властива більшості сучасних гірокомпасів незалежно від їх конструкції.

Розрізняють інерційну похибка з вимкненим на час маневру успокоителем і інерційну похибка з включеним успокоителем. Першу іноді називають балістичної похибкою першого роду , другу (в окремому випадку виконання умови апериодических переходів) - балістичної похибкою другого роду , або похибкою прискорення-загасання.

найбільше значення інерційна похибка першого роду має в момент закінчення маневру. Інерційна похибка другого роду досягає найбільшої величини приблизно через 20-25 хв після закінчення маневру.

На практиці в умовах часто повторюваних маневрів будь-які розрахунки по визначенню інерційних похибок виробляти недоцільно. Однак судоводитель повинен критично оцінювати їх можливу величину і характер зміни. Для цього необхідно враховувати наступне:

• інерційні похибки носять гироскопический характер, т. е. виникають не відразу після появи інерційних збурень і зникають не відразу після їх припинення;
• зміна інерційних похибок в часі після припинення дії факторів, що обурюють відбувається за законами власних коливань гірокомпас, т. е. з тим же періодом і фактором загасання;
• для транспортних судів величина інерційної похибки в середніх широтах після одноразових маневрів зазвичай не перевищує 2-3 °;
• показання гірокомпас слід вважати помилковими протягом 40-50 хв після закінчення маневру. В особливо складних умовах (при плаванні в високих широтах і на великих швидкостях) інерційна похибка може зберігатися протягом 1,5 год після маневрування;
• істотні інерційні похибки з'являються при підлозі циркуляції судна з курсу 0 ° або 180 °, а також при зигзагоподібний маневруванні на четвертної генеральних курсах;
• при відсутності вимикача загасання інерційна похибка гірокомпаса принципово не може бути усунена;
• вимикання успокоителя коливань гірокомпасів з нерегульованим періодом доцільно в широтах менше розрахункової (для вітчизняних конструкцій менше 60 °);
• при пеленгацією орієнтирів за допомогою гірокомпаса інерційна похибка повинна розглядатися як систематична (повторювана) помилка, якщо термін спостережень значно менше періоду власних коливань гірокомпас;
• при обчисленні шляху по Гірокомпаси інерційна похибка повинна розглядатися як випадкова помилка курсоуказанія;
• при складному маневруванні (плаванні по звивистих фарватерах, в льодах і т. д.) можливе накладення інерційних похибок або накопичення їх до істотного значення, що залежить від широти плавання. В широтах 75-80 ° це значення може становити ± 10 - 15 ° для звичайних неаперіодіческіх компасів.

Інструментальні похибки гірокомпас з рідинним підвісом ЧЕ складаються з інструментальних похибок основного приладу, що стежить, коригувальних пристроїв, дистанційної передачі і приймають приладів.

Інструментальна похибка основного приладу сучасних гірокомпасів зазвичай не перевищує ± 0,3 °.

Похибка, що вноситься стежить системою, практично може розглядатися як випадкова, оскільки вона залежить від багатьох, важко прогнозованих факторів.

У гірокомпас з непрямим управлінням основними джерелами інструментальних похибок основного приладу є дефекти стежать систем і пристрої управління гіроскопом.

Одногіроскопние гірокомпаси з торсійним підвісом можуть мати специфічну сталу похибку, пропорційну статичної помилку стежить системи. В реальних умовах плавання гранична величина випадкової похибки, яка може бути внесена стежить системою, не перевищує ± 1,0 °.

Похибка, що вноситься коректором, складається з випадкової похибки, спричиненої люфтами і невідповідністю геометричних розмірів передач, і систематичних похибок за рахунок неточного введення істинної швидкості і широти.

Випадкова похибка коректора зазвичай оцінюється граничними значеннями ± (0,2 0,3) °.

Систематична похибка за приводу не точного введення істинної швидкості, що може мати місце при "невідомому перебігу або невідомої поправці лага, зазвичай невелика.

Систематична похибка за рахунок неточного введення широти може досягати істотного значення.

Для її зменшення при плаванні в високих широтах слід проводити встановлення коректора по широті через кожен градус зміни широти або менше.

Похибка за рахунок дистанційних передач гірокомпас звичайно розглядається як випадкова. Її граничне значення не перевищує ± 0,2 ° і статичному режимі, але може досягати декількох градусів в динамічному режимі, що слід мати на увазі при пеленгацією об'єктів на циркуляції або після різкої зміни курсу

Похибки приймають приладів можуть бути розділені на систематичні і випадкові. Систематичні зазвичай не перевищують ± 0,2 ° (без урахування похибки за рахунок неточною установки Пелорус) Граничне значення випадкових похибок має такий же порядок.

До інструментальних погрішностей двухгіроскопних компасів може бути віднесена і спостерігається на хитавиці четвертна похибка (у одногіроскопних гірокомпасів з гідравлічним маятником її слід розглядати як методичну). Причиною цієї похибки є переміщення ЦТ чутливого елемента на хитавиці за рахунок зміни рівня наявних усередині нього рідких мас, головним чином рівня масла в заспокоювачами коливань. Величина цієї похибки залежить від конструкції успокоителя і для вітчизняних гірокомпасів типу «Курс» не перевищує ± 0,5 ° (при відсутності власного руху судна).

Поправки і точність показань гірокомпас. Сукупність перерахованих вище похибок утворює сумарну похибка гірокомпаса, що підрозділяється на систематичну і випадкову складові. На практиці такий поділ не має великого значення, оскільки, як правило, загальна поправка визначається при одноразових спостереженнях або протягом занадто коротких проміжків часу, щоб можна було зробити ефективну обробку вимірювань (Оптимальний інтервал між спостереженнями при визначенні загальної поправки гірокомпаса становить 10-15 хв при загальному часу спостережень 1,5-3 ч).

Однак слід мати на увазі, що за рахунок випадкових і змінних систематичних помилок значення загальної поправки гірокомпаса в будь-якої момент часу може істотно відрізнятися від значення, виведеного при останніх спостереженнях. З цієї причини, зокрема, при пеленгацією об'єктів в умовах тривалого маневрування або незабаром після закінчення маневру (наприклад, після виходу з порту), не слід брати до уваги загальну поправку, певну до виробництва маневру (Маються на увазі звичайні неаперіодіческіе гірокомпаси).

З іншого боку, зміна загальної поправки протягом деякого часу після маневрування не слід вважати ознакою несправної роботи гірокомпас. Іноді допускається помилка, коли загальна поправка гірокомпас визначається на повному ходу з введенням в коректор значенням швидкості, а потім цією поправкою користуються на малому ходу, середньому або на стоянці (наприклад, на якорі) без введення нового значення швидкості в коректор. Інша помилка виникає в тих випадках, коли загальна поправка визначається на стоянці, але з встановленим на коректорі значенням швидкості, при цьому помилково передбачається, що на ходу поправка компаса буде правильною.

У всіх випадках слід керуватися таким правилом введена в коректор швидкість повинна завжди відповідати дійсної швидкості судна.

Загальна поправка гірокомпас визначається одним з прийнятих в навігації і морехідної астрономії методів, а також за допомогою радіотехнічних засобів.

Величина середньої похибки загальної поправки гірокомпаса становить по створах ± 0,2 °, по пеленгам берегових орієнтирів ± 0,4 °, по небесним світилам ± 0,4 °.

До радіотехнічним способам слід вдаватися тільки в тих випадках, коли внаслідок поганої або обмеженої видимості інші способи визначення поправки недоступні. Особливо ненадійні визначення поправки гірокомпаса з використанням ненапрямлених радіомаяків, що знаходяться за межами оптичної видимості.

Величина і характер зміни загальної поправки гірокомпаса є критерієм точності його показань. Точність гірокомпас відповідно до природи його похибок прийнято оцінювати для конкретних цілей плавання на нерухомому підставі (на швартовах); при плаванні прямими курсами з постійною швидкістю, при маневруванні судна; при хитавиці судна.

Допустимі величини сумарних похибок гірокомпас в зазначених умовах призначаються для кожного конкретного типу гірокомпас і залежать від широти плавання.

Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії

нескінченно мала - числова функція або послідовність, яка прагне до нуля.

нескінченно велика - числова функція або послідовність, яка прагне до нескінченності певного знака.

Обчислення нескінченно малих і великих

Обчислення нескінченно малих - обчислення, вироблені з нескінченно малими величинами, при яких похідний результат розглядається як нескінченна сума нескінченно малих. Обчислення нескінченно малих величин є загальним поняттям для диференціальних і інтегральних числень, що становлять основу сучасної вищої математики. Поняття нескінченно малої величини тісно пов'язане з поняттям межі.

нескінченно мала

послідовність $a\_n$ називається нескінченно малої, якщо $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (n\; \backslash \backslash \; to\; \backslash \backslash \; infty)\; a\_n\; \backslash u003d\; 0$. Наприклад, послідовність чисел $a\_n\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; dfrac\; (1)\; (n)$ - нескінченно мала.

функція називається нескінченно малої в околиці точки $x\_0$, якщо $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; x\_0)\; f\; (x)\; \backslash u003d\; 0$.

функція називається нескінченно малої на нескінченності, якщо $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; +\; \backslash \backslash \; infty)\; f\; (x)\; \backslash u003d\; 0$ або $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to-\; \backslash \backslash \; infty)\; f\; (x)\; \backslash u003d\; 0$.

Також нескінченно малої є функція, що представляє собою різницю функції і її межі, тобто якщо $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; +\; \backslash \backslash \; infty)\; f\; (x)\; \backslash u003d\; a$, то $f\; (x)\; -a\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; alpha\; (x)$, $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; +\; \backslash \backslash \; infty)\; (f\; (x)\; -a)\; \backslash u003d\; 0$.

Підкреслимо, що нескінченно малу величину слід розуміти як змінну величину (функцію), яка лише в процесі свого зміни [При прагненні $x$ до $a$ (з $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; a)\; f\; (x)\; \backslash u003d\; 0$)] Робиться менше довільного числа ( $\backslash \backslash \; varepsilon$). Тому, наприклад, твердження типу «одна мільйонна є нескінченно мала величина» невірно: про число [абсолютному значенні] не має сенсу говорити, що воно нескінченно мале.

нескінченно велика

У всіх наведених нижче формулах нескінченність праворуч від рівності мається на увазі певного знака (або «плюс», або «мінус»). Тобто, наприклад, функція $x\; \backslash \backslash \; sin\; x$, Необмежена по обидва боки, не є нескінченно великою при $x\; \backslash \backslash \; to\; +\; \backslash \backslash \; infty$.

послідовність $a\_n$ називається нескінченно великий, якщо $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (n\; \backslash \backslash \; to\; \backslash \backslash \; infty)\; a\_n\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; infty$.

функція називається нескінченно великою в околиці точки $x\_0$, якщо $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; x\_0)\; f\; (x)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; infty$.

функція називається нескінченно великою на нескінченності, якщо $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; +\; \backslash \backslash \; infty)\; f\; (x)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; infty$ або $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to-\; \backslash \backslash \; infty)\; f\; (x)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; infty$.

Як і в випадку нескінченно малих, необхідно відзначити, що ні одна окремо взята значення нескінченно великої величини не може бути названо як «нескінченно велике» - нескінченно велика величина - це функція, яка лише в процесі свого зміни може стати більше довільно взятого числа.

Властивості нескінченно малих

• Алгебраїчна сума кінцевого числа нескінченно малих функцій є нескінченно мала функція.
• Твір нескінченно малих - нескінченно мала.
• Твір нескінченно малої послідовності на обмежену - нескінченно мала. Як наслідок, твір нескінченно малої на константу - нескінченно мала.
• якщо $a\_n$ - нескінченно мала послідовність, яка зберігає знак, то $b\_n\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; dfrac\; (1)\; (a\_n)$ - нескінченно велика послідовність.

Порівняння нескінченно малих

визначення

Припустимо, у нас є нескінченно малі при одному і тому ж $x\; \backslash \backslash \; to\; a$ величини $\backslash \backslash \; Alpha\; (x)$ і $\backslash \backslash \; Beta\; (x)$ (Або, що не важливо для визначення, нескінченно малі послідовності).

• якщо $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; a)\; \backslash \backslash \; dfrac\; (\backslash \backslash \; beta)\; (\backslash \backslash \; alpha)\; \backslash u003d\; 0$, то $\backslash \backslash \; beta$ - нескінченно мала вищого порядку малості, ніж $\backslash \backslash \; alpha$. позначають $\backslash \backslash \; Beta\; \backslash u003d\; o\; (\backslash \backslash \; alpha)$ або $\backslash \backslash \; Beta\; \backslash \backslash \; prec\; \backslash \backslash \; alpha$.
• якщо $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; a)\; \backslash \backslash \; dfrac\; (\backslash \backslash \; beta)\; (\backslash \backslash \; alpha)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; infty$, то $\backslash \backslash \; beta$ - нескінченно мала нижчого порядку малості, ніж $\backslash \backslash \; alpha$. відповідно $\backslash \backslash \; Alpha\; \backslash u003d\; o\; (\backslash \backslash \; beta)$ або $\backslash \backslash \; Alpha\; \backslash \backslash \; prec\; \backslash \backslash \; beta$.
• якщо $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; a)\; \backslash \backslash \; dfrac\; (\backslash \backslash \; beta)\; (\backslash \backslash \; alpha)\; \backslash u003d\; c$ (Межа кінцевий і не дорівнює 0), то $\backslash \backslash \; alpha$ і $\backslash \backslash \; beta$ є нескінченно малими величинами одного порядку малості. Це позначається як $\backslash \backslash \; Alpha\; \backslash \backslash \; asymp\; \backslash \backslash \; beta$ або як одночасне виконання відносин $\backslash \backslash \; Beta\; \backslash u003d\; O\; (\backslash \backslash \; alpha)$ і $\backslash \backslash \; Alpha\; \backslash u003d\; O\; (\backslash \backslash \; beta)$. Слід зауважити, що в деяких джерелах можна зустріти позначення, коли однаковість порядків записують у вигляді тільки одного відносини «про велике», що є вільним використанням даного символу.
• якщо $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; a)\; \backslash \backslash \; dfrac\; (\backslash \backslash \; beta)\; (\backslash \backslash \; alpha\; ^\; m)\; \backslash u003d\; c$ (Межа кінцевий і не дорівнює 0), то нескінченно мала величина $\backslash \backslash \; beta$ має $m$-й порядок малості щодо нескінченно малої $\backslash \backslash \; alpha$.

Для обчислення подібних меж зручно використовувати правило Лопіталя.

приклади порівняння

• при $(X\; \backslash \backslash \; to\; 0)$ величина $x\; ^\; 5$ має вищий порядок малості відносно $x\; ^\; 3$, так як $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; 0)\; \backslash \backslash \; dfrac\; (x\; ^\; 5)\; (x\; ^\; 3)\; \backslash u003d\; 0$. З іншого боку, $x\; ^\; 3$ має нижчий порядок малості відносно $x\; ^\; 5$, так як $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; 0)\; \backslash \backslash \; dfrac\; (x\; ^\; 3)\; (x\; ^\; 5)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; infty$.

З використанням Про-сімволікі отримані результати можуть бути записані в наступному вигляді $x\; ^\; 5\; \backslash u003d\; o\; (x\; ^\; 3)$.

• $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; 0)\; \backslash \backslash \; dfrac\; (2x\; ^\; 2\; +\; 6x)\; (x)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; 0)\; \backslash \backslash \; dfrac\; (2x\; +\; 6)\; (1)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; 0)\; (2x\; +\; 6)\; \backslash u003d\; 6,$ тобто при $x\; \backslash \backslash \; to\; 0$ функції $f\; (x)\; \backslash u003d\; 2x\; ^\; 2\; +\; 6x$ і $g\; (x)\; \backslash u003d\; x$ є нескінченно малими величинами одного порядку.

В даному випадку справедливі записи $2x\; ^\; 2\; +\; 6x\; \backslash u003d\; O\; (x)$ і $x\; \backslash u003d\; O\; (2x\; ^\; 2\; +\; 6x).$

• при $(X\; \backslash \backslash \; to\; 0)$ нескінченно мала величина $2x\; ^\; 3$ має третій порядок малості відносно $x$, оскільки $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; 0)\; \backslash \backslash \; dfrac\; (2x\; ^\; 3)\; (x\; ^\; 3)\; \backslash u003d\; 2$, Нескінченно мала $0\; (,)\; 7x\; ^\; 2$ - другий порядок, нескінченно мала $\backslash \backslash \; Sqrt\; (x)$ - порядок 0,5.

еквівалентні величини

визначення

якщо $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; a)\; \backslash \backslash \; dfrac\; (\backslash \backslash \; beta)\; (\backslash \backslash \; alpha)\; \backslash u003d\; 1$, То нескінченно малі або нескінченно великі величини $\backslash \backslash \; alpha$ і $\backslash \backslash \; beta$ називаються еквівалентними (Позначається як $\backslash \backslash \; Alpha\; \backslash \backslash \; thicksim\; \backslash \backslash \; beta$).

Очевидно, що еквівалентні величини є окремим випадком нескінченно малих (нескінченно великих) величин одного порядку малості.

при $$ справедливі наступні співвідношення еквівалентності (як наслідку з так званих чудових меж):

• $\backslash \backslash \; Sin\; \backslash \backslash \; alpha\; (x)\; \backslash \backslash \; thicksim\; \backslash \backslash \; alpha\; (x);$
• $\backslash \backslash \; Mathrm\; (tg)\; \backslash \backslash ,\; \backslash \backslash \; alpha\; (x)\; \backslash \backslash \; thicksim\; \backslash \backslash \; alpha\; (x);$
• $\backslash \backslash \; Arcsin\; (\backslash \backslash \; alpha\; (x))\; \backslash \backslash \; thicksim\; \backslash \backslash \; alpha\; (x);$
• $\backslash \backslash \; Mathrm\; (arctg)\; \backslash \backslash ,\; \backslash \backslash \; alpha\; (x)\; \backslash \backslash \; thicksim\; \backslash \backslash \; alpha\; (x);$
• $\backslash \backslash \; Log\_a\; (1+\; \backslash \backslash \; alpha\; (x))\; \backslash \backslash \; thicksim\; \backslash \backslash \; alpha\; (x)\; \backslash \backslash \; cdot\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \backslash \; ln\; (a))$, де $a\backslash u003e\; 0$;
• $\backslash \backslash \; Ln\; (1\; +\; \backslash \backslash \; alpha\; (x))\; \backslash \backslash \; thicksim\; \backslash \backslash \; alpha\; (x);$
• $a\; ^\; (\backslash \backslash \; alpha\; (x))\; -\; 1\; \backslash \backslash \; thicksim\; \backslash \backslash \; alpha\; (x)\; \backslash \backslash \; cdot\; \backslash \backslash \; ln\; (a)$, де $a\backslash u003e\; 0$;
• $e\; ^\; (\backslash \backslash \; alpha\; (x))\; -\; 1\; \backslash \backslash \; thicksim\; \backslash \backslash \; alpha\; (x);$
• $1\; \backslash \backslash \; cos\; (\backslash \backslash \; alpha\; (x))\; \backslash \backslash \; thicksim\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; alpha\; ^\; 2\; (x))\; (2);$
• $(1+\; \backslash \backslash \; alpha\; (x))\; ^\; \backslash \backslash \; mu-1\; \backslash \backslash \; thicksim\; \backslash \backslash \; mu\; \backslash \backslash \; cdot\; \backslash \backslash \; alpha\; (x),\; \backslash \backslash \; quad\; \backslash \backslash \; mu\; \backslash \backslash \; in\; \backslash \backslash \; R$, Тому використовують вираз:

$\backslash \backslash \; Sqrt\; [n]\; (1+\; \backslash \backslash \; alpha\; (x))\; \backslash \backslash \; approx\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; alpha\; (x))\; (n)\; +1$, де $\backslash \backslash \; Alpha\; (x)\; \backslash \backslash \; xrightarrow\; ()\; 0$.

теорема

Межа приватного (відносини) двох нескінченно малих або нескінченно великих величин не зміниться, якщо одну з них (або обидві) замінити еквівалентною величиною.

Дана теорема має прикладне значення при знаходженні меж (див. Приклад).

приклади використання

• знайти $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; 0)\; \backslash \backslash \; dfrac\; (\backslash \backslash \; sin\; 2x)\; (x).$

замінюючи $\backslash \backslash \; Sin\; 2x$ еквівалентної величиною $2x$, отримуємо $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; 0)\; \backslash \backslash \; dfrac\; (\backslash \backslash \; sin\; 2x)\; (x)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; 0)\; \backslash \backslash \; dfrac\; (2x)\; (x)\; \backslash u003d\; 2.$

• знайти $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pi)\; (2))\; \backslash \backslash \; dfrac\; (\backslash \backslash \; sin\; (4\; \backslash \backslash \; cos\; x))\; (\backslash \backslash \; cos\; x).$

Так як $\backslash \backslash \; Sin\; (4\; \backslash \backslash \; cos\; x)\; \backslash \backslash \; thicksim\; (4\; \backslash \backslash \; cos\; x)$ при $x\; \backslash \backslash \; to\; \backslash \backslash \; dfrac\; (\backslash \backslash \; pi)\; (2)$ отримаємо $\backslash \backslash \; Lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pi)\; (2))\; \backslash \backslash \; dfrac\; (\backslash \backslash \; sin\; (4\; \backslash \backslash \; cos\; x))\; (\backslash \backslash \; cos\; x)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; lim\; \backslash \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \backslash \; to\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pi)\; (2))\; \backslash \backslash \; dfrac\; (4\; \backslash \backslash \; cos\; x)\; (\backslash \backslash \; cos\; x)\; \backslash u003d\; 4.$

• обчислити $\backslash \backslash \; Sqrt\; (1\; (,)\; 2)$.

Використовуючи формулу: $\backslash \backslash \; Sqrt\; (1\; (,)\; 2)\; \backslash \backslash \; approx\; 1+\; \backslash \backslash \; frac\; (0\; (,)\; 2)\; (2)\; \backslash u003d\; 1\; (,)\; 1$, Тоді як, використовуючи калькулятор (більш точні обчислення), отримали: $\backslash \backslash \; Sqrt\; (1\; (,)\; 2)\; \backslash \backslash \; approx\; 1\; (,)\; 095$, Таким чином помилка склала 0,005 (менше 1%), тобто метод корисний, завдяки своїй простоті, при грубою оцінкою арифметичних коренів близьких до одиниці.

Історія

Математики старої школи піддали концепцію нескінченно малих різкій критиці. Мішель Ролле писав, що нове літочислення є « набір геніальних помилок»; Вольтер уїдливо зауважив, що це обчислення являє собою мистецтво обчислювати і точно вимірювати речі, існування яких не може бути доведено. Навіть Гюйгенс зізнавався, що не розуміє сенсу диференціалів вищих порядків.

Як іронію долі можна розглядати появу в середині XX століття нестандартного аналізу, який довів, що первісна точка зору - актуальні нескінченно малі - також несуперечлива і могла б бути покладена в основу аналізу. З появою нестандартного аналізу стало ясно, чому математики XVIII століття, виконуючи незаконні з точки зору класичної теорії дії, проте отримували вірні результати.

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Нескінченно мала і нескінченно велика"

Примітки

література

• // Енциклопедичний словник Брокгауза і Ефрона: в 86 т. (82 т. І 4 доп.). - СПб. , 1890-1907.

Уривок, що характеризує Нескінченно мала і нескінченно велика

- Ну, мій друг, я боюся, що ви з монахом даром розтрачуєте свій порох, - глузливо, але ласкаво сказав князь Андрій.
- Аh! mon ami. [А! Друг мій.] Я тільки молюся Богу і сподіваюся, що Він почує мене. Andre, - сказала вона боязко після хвилини мовчання, - у мене до тебе є велике прохання.
- Що, мій друг?
- Ні, обіцяй мені, що ти не відмовиш. Це тобі не буде коштувати ніяких труднощів, і нічого негідного тебе в цьому не буде. Тільки ти мене втішиш. Обіцяй, Андрюша, - сказала вона, сунувши руку в ридикюль і в ньому тримаючи що то, але ще не показуючи, як ніби то, що вона тримала, і становило предмет прохання і ніби перш отримання обіцянки у виконанні прохання вона не могла вийняти з ридикюля це щось.
Вона боязко, благальним поглядом дивилася на брата.
- Якщо б це і коштувало мені великих зусиль ... - наче здогадуючись, в чому була справа, відповідав князь Андрій.
- Ти, що хочеш, думай! Я знаю, ти такий же, як і mon pere. Що хочеш думай, але для мене це зроби. Зроби, будь ласка! Його ще батько мого батька, наш дідусь, носив у всіх війнах ... - Вона все ще не діставала того, що тримала, з ридикюля. - Так ти обіцяєш мені?
- Звичайно, в чому справа?
- Andre, я тебе благословлю чином, і ти обіцяй мені, що ніколи його не будеш знімати. Обіцяєш?
- Якщо він не в два пуди і шиї НЕ відтягне ... Щоб тобі зробити задоволення ... - сказав князь Андрій, але в ту ж секунду, помітивши засмучене вираз, яке прийняло особа сестри при цьому жарті, він розкаявся. - Дуже радий, право дуже радий, мій друг, - додав він.
- Проти твоєї волі Він врятує і помилує тебе і зверне тебе до Себе, бо в Ньому одному і істина і заспокоєння, - сказала вона тремтячим від хвилювання голосом, з урочистим жестом тримаючи в обох руках перед братом овальний старовинний образок Спасителя з чорним ликом в срібній ризі на срібному ланцюжку дрібної роботи.
Вона перехрестилася, поцілувала образок і подала його Андрію.
- Будь ласка, Andre, для мене ...
З великих очей її світилися промені доброго і боязкого світла. Очі ці висвітлювали все хворобливе, худе обличчя і робили його прекрасним. Брат хотів взяти образок, але вона зупинила його. Андрій зрозумів, перехрестився і поцілував образок. Обличчя його в один і той же час було ніжно (він був зворушений) і глузливо.
- Merci, mon ami. [Дякую, мій друг.]
Вона поцілувала його в лоб і знову сіла на диван. Вони мовчали.
- Так я тобі казала, Andre, будь добрий і великодушний, яким ти завжди був. Не суди строго Lise, - почала вона. - Вона така мила, так добра, і становище її дуже важко тепер.
- Здається, я нічого не говорив тобі, Маша, щоб я дорікав в чому небудь свою дружину або був незадоволений нею. До чого ти все це говориш мені?
Княжна Марія почервоніла плямами і замовкла, ніби вона відчувала себе винуватою.
- Я нічого не говорив тобі, а тобі вже говорили. І мені це сумно.
Червоні плями ще сильніше виступили на лобі, шиї і щоках княжни Марії. Вона хотіла сказати що то і не могла вимовити. Брат вгадав: маленька княгиня після обіду плакала, казала, що передчуває нещасні пологи, боїться їх, і скаржилася на свою долю, на свекра і на чоловіка. Після сліз вона заснула. Князю Андрію шкода стало сестру.
- Знай одне, Маша, я ні в чому не можу дорікнути, що не дорікав і ніколи не упрекну мою дружину, і сам ні в чому себе не можу дорікнути в ставленні до неї; і це завжди так буде, в яких би я не був обставинах. Але якщо ти хочеш знати правду ... хочеш знати, чи щасливий я? Ні. Чи щаслива вона? Ні. Чому це? Не знаю…
Говорячи це, він встав, підійшов до сестри і, нагнувшись, поцілував її в лоб. Прекрасні очі його світилися розумним і добрим, незвичним блиском, але він дивився на сестру, а в темряву відчиненою двері, через її голову.
- Підемо до неї, треба попрощатися. Або йди одна, розбуди її, а я зараз прийду. Петрушка! - крикнув він камердинерові, - піди сюди, прибирай. Це в сидінні, це на праву сторону.
Княжна Марія встала і попрямувала до дверей. Вона зупинилася.
- Andre, si vous avez. la foi, vous vous seriez adresse a Dieu, pour qu "il vous donne l" amour, que vous ne sentez pas et votre priere aurait ete exaucee. [Якби ти мав віру, то звернувся б до Бога з молитвою, щоб Він дарував тобі любов, яку ти не відчуваєш, і молитва твоя була б почута.]
- Так, хіба це! - сказав князь Андрій. - Іди, Маша, я зараз прийду.
По дорозі до кімнати сестри, в галереї, що з'єднувала один будинок з іншим, князь Андрій зустрів мило посміхаються m lle Bourienne, вже в третій раз в цей день з захопленим і наївно посмішкою потрапляє йому в усамітнених переходах.
- Ah! je vous croyais chez vous, [Ах, я думала, ви у себе,] - сказала вона, чому то червоніючи й опускаючи очі.
Князь Андрій суворо подивився на неї. На обличчі князя Андрія раптом виразилося озлоблення. Він нічого не сказав їй, але подивився на її лоб і волосся, не дивлячись в очі, так презирливо, що француженка почервоніла і пішла, нічого не сказавши.
Коли він підійшов до кімнати сестри, княгиня вже прокинулася, і її веселий голосок, квапить одне слово за іншим, почувся з відчиненою двері. Вона говорила, як ніби після довгого утримання їй хотілося винагородити втрачений час.
- Non, mais figurez vous, la vieille comtesse Zouboff avec de fausses boucles et la bouche pleine de fausses dents, comme si elle voulait defier les annees ... [Ні, уявіть собі, стара графиня Зубова, з фальшивими локонами, з фальшивими зубами, як ніби знущаючись над роками ...] Xa, xa, xa, Marieie!
Точно ту ж фразу про графині Зубової і той же сміх вже раз п'ять чув при сторонніх князь Андрій від своєї дружини.
Він тихо зайшов до кімнати. Княгиня, товстенька, рум'яна, з роботою в руках, сиділа на кріслі і без угаву говорила, перебираючи петербурзькі спогади і навіть фрази. Князь Андрій підійшов, погладив її по голові і запитав, відпочила вона від дороги. Вона відповіла і продовжувала той же розмову.
Коляска шестериком стояла біля під'їзду. На дворі була темна осіння ніч. Кучер не бачив дишла коляски. На ганку метушилися люди з ліхтарями. Величезний будинок горів вогнями крізь свої великі вікна. У передній юрмилися дворові, які хотіли попрощатися з молодим князем; в залі стояли всі домашні: Михайло Іванович, m lle Bourienne, княжна Марія і княгиня.
Князь Андрій був покликаний в кабінет до батька, який сам на сам хотів попрощатися з ним. Всі чекали їх виходу.
Коли князь Андрій увійшов до кабінету, старий князь в старечих окулярах і в своєму білому халаті, в якому він нікого не приймав, крім сина, сидів за столом і писав. Він озирнувся.
- Їдеш? - І він знову став писати.
- Прийшов попрощатися.
- Цілуй сюди, - він показав щоку, - спасибі, спасибі!
- За що ви мене дякуйте?
- За те, що не прострочував, за бабину спідницю не тримаєшся. Служба перш за все. Спасибі спасибі! - І він продовжував писати, так що бризки летіли з тріщати пера. - Якщо потрібно сказати що, говори. Ці дві справи можу робити разом, - додав він.
- Про дружину ... Мені і так совісно, \u200b\u200bщо я вам її на руки залишаю ...
- Що брешеш? Говори, що потрібно.
- Коли дружині буде час народити, пошліть в Москву за акушером ... Щоб він тут був.
Старий князь зупинився і, як би не розуміючи, дивився суворими очима на сина.
- Я знаю, що ніхто допомогти не може, коли натура не допоможе, - говорив князь Андрій, мабуть збентежений. - Я згоден, що і з мільйона випадків один буває нещасний, але це її і моя фантазія. Їй наговорили, вона уві сні бачила, і вона боїться.
- Гм ... гм ... - промовив сам до себе старий князь, продовжуючи дописувати. - Зроблю.
Він расчеркнул підпис, раптом швидко повернувся до сина і засміявся.
- Погані справи, а?
- Що погано, батюшка?
- Дружина! - коротко і значуще сказав старий князь.
- Я не розумію, - сказав князь Андрій.
- Так нічого робити, дружок, - сказав князь, - вони всі такі, що не Розженіться. Ти не бійся; нікому не скажу; а ти сам знаєш.
Він схопив його за руку своєю кістлявою маленькою кистю, потряс її, глянув прямо в обличчя сина своїми швидкими очима, які, як здавалося, наскрізь бачили одного чоловіка, і знову засміявся своїм холодним сміхом.
Син зітхнув, зізнаючись цим зітханням в тому, що батько зрозумів його. Старий, продовжуючи складати і друкувати листи, з своєю звичних швидкістю, схоплював і кидав сургуч, друк і папір.
- Що робити? Красива! Я все зроблю. Ти будь певен, - говорив він уривчасто під час друкування.
Андрій мовчав: йому і приємно і неприємно було, що батько зрозумів його. Старий підвівся і подав лист синові.
- Слухай, - сказав він, - про дружину не журися: що можливо зробити, то буде зроблено. Тепер слухай: лист Михайлу Іларіонович віддай. Я пишу, щоб він тебе в хороші місця вживав і довго ад'ютантом не тримав: погана посаду! Скажи ти йому, що я його пам'ятаю і люблю. Так напиши, як він тебе прийме. Коли хороший буде, служи. Миколи Андрійовича Болконського син з милості служити ні у кого не буде. Ну, тепер ходи сюди.
Він говорив такою скоромовкою, що ні докінчував половини слів, але син звик розуміти його. Він підвів сина до бюро, відкинув кришку, висунув ящик і вийняв списану його великим, довгим і стисненим почерком зошит.
- Повинно бути, мені перед тобою померти. Знай, тут мої записки, їх государю передати після моєї смерті. Тепер тут - ось ломбардний квиток і лист: це премія тому, хто напише історію суворовських воєн. Переслати в академію. Тут мої ремарки, після мене читай для себе, знайдеш користь.
Андрій не сказав батькові, що, мабуть, він проживе ще довго. Він розумів, що цього говорити не потрібно.
- Все виконаю, батюшка, - сказав він.
- Ну, тепер прощай! - Він дав поцілувати сина свою руку і обійняв його. - Пам'ятай одне, князь Андрій: коли тебе вб'ють, мені старому боляче буде ... - Він несподівано замовк і раптом крикливим голосом продовжував: - а коли дізнаюся, що ти повівся не як син Миколи Болконського, мені буде ... соромно! - заверещав він.
- Цього ви могли б не говорити мені, батюшка, - посміхаючись, сказав син.
Старий замовк.
- Ще я хотів просити вас, - продовжував князь Андрій, - якщо мене вб'ють і якщо у мене буде син, не відсилайте його порожньо від себе, як я вам вчора казав, щоб він виріс у вас ... будь ласка.
- Дружині не віддавати? - сказав старий і засміявся.
Вони мовчки стояли один проти одного. Швидкі очі старого прямо були спрямовані в очі сина. Що то здригнулося в нижній частині обличчя старого князя.
- Попрощалися ... іди! - раптом сказав він. - Іди! - закричав він сердитим і голосним голосом, відчиняючи двері кабінету.
- Що таке, що? - запитували княгиня і княжна, побачивши князя Андрія і на хвилину висунулася постать кричав сердитим голосом старого в білому халаті, без перуки і в старечих окулярах.
Князь Андрій зітхнув і нічого не відповів.
- Ну, - сказав він, звернувшись до дружини.
І це «ну» звучало холодною насмішкою, як ніби він говорив: «тепер проробляти ви ваші штуки».
- Andre, deja! [Андрій, вже!] - сказала маленька княгиня, бліднучи і зі страхом дивлячись на чоловіка.
Він обійняв її. Вона скрикнула і непритомна впала на його плече.
Він обережно відвів плече, на якому вона лежала, заглянув в її обличчя і дбайливо посадив її на крісло.
- Adieu, Marieie, [Прощай, Маша,] - сказав він тихо сестрі, поцілувався з нею рука в руку і швидкими кроками вийшов з кімнати.
Княгиня лежала в кріслі, m lle Бурьен терла їй віскі. Княжна Марія, підтримуючи невістку, з заплаканими прекрасними очима, все ще дивилася в двері, в яку вийшов князь Андрій, і хрестила його. З кабінету чутні були, як постріли, часто повторювані сердиті звуки старечого сякання. Тільки що князь Андрій вийшов, двері кабінету швидко відчинилися і виглянула сувора постать старого в білому халаті.
- Поїхав? Ну і добре! - сказав він, сердито глянувши на непритомну маленьку княгиню, докірливо похитав головою і зачинив двері.

У жовтні 1805 російські війська займали села і міста ерцгерцогства Австрійського, і ще нові полки приходили з Росії і, обтяжуючи постоєм жителів, розташовувалися у фортеці Браунау. У Браунау була головна квартира головнокомандуючого Кутузова.
11 го жовтня 1805 року один з щойно прийшли до Браунау піхотних полків, чекаючи огляду головнокомандуючого, стояв за півмилі від міста. Незважаючи на неросійських місцевість і обстановку (фруктові сади, кам'яні огорожі, черепичні дахи, гори, виднілися вдалині), на неросійський народ, c цікавістю дивився на солдатів, полк мав такий самий вигляд, який мав всякий російський полк, який готувався до огляду де небудь в середині Росії.

Визначення та властивості нескінченно малих і нескінченно великих функцій в точці. Докази властивостей і теорем. Зв'язок між нескінченно малими і нескінченно великими функціями.

зміст

Див. також: Нескінченно малі послідовності - визначення і властивості
Властивості нескінченно великих послідовностей

Визначення нескінченно малої і нескінченно великою функції

нехай x 0 є кінцева або нескінченно віддалена точка: ∞, -∞ або + ∞.

Визначення нескінченно малої функції
функція α (X) називається нескінченно малої при x прагне до x 0 0 , І він дорівнює нулю:
.

Визначення нескінченно великою функції
функція f (X) називається нескінченно великий при x прагне до x 0 , Якщо функція має межу при x → x 0 , І він дорівнює нескінченності:
.

Властивості нескінченно малих функцій

Властивість суми, різниці та добутку нескінченно малих функцій

Сума, різниця і твір кінцевого числа нескінченно малих функцій при x → x 0 є нескінченно малою функцією при x → x 0 .

Ця властивість є прямим наслідком арифметичних властивостей меж функції.

Теорема про твір обмеженою функції на нескінченно малу

Твір функції, обмеженої на деякій проколеної околиці точки x 0 , На нескінченно малу, при x → x 0 , Є нескінченно малою функцією при x → x 0 .

Властивість про подання функції у вигляді суми постійної і нескінченно малої функції

Для того, щоб функція f (X) мала кінцевий межа, необхідно і достатньо, щоб
,
де - нескінченно мала функція при x → x 0 .

Властивості нескінченно великих функцій

Теорема про суму обмеженою функції і нескінченно великою

Сума або різниця обмеженою функції, на деякій проколеної околиці точки x 0 , І нескінченно великою функції, при x → x 0 , Є нескінченно великий функцією при x → x 0 .

Теорема про приватному від ділення обмеженою функції на нескінченно велику

Якщо функція f (X) є нескінченно великою при x → x 0 , А функція g (X) - обмежена на деякій проколеної околиці точки x 0 , то
.

Теорема про приватному від ділення обмеженою знизу функції на нескінченно малу

Якщо функція, на деякій проколеної околиці точки, по абсолютній величині обмежена знизу позитивним числом:
,
а функція є нескінченно малою при x → x 0 :
,
і існує проколота околиця точки, на якій, то
.

Властивість нерівностей нескінченно великих функцій

Якщо функція є нескінченно великою при:
,
і функції і, на деякій проколеної околиці точки задовольняють нерівності:
,
то функція також нескінченно велика при:
.

Це властивість має два окремих випадки.

Нехай, на деякій проколеної околиці точки, функції і задовольняють нерівності:
.
Тоді якщо, то і.
Якщо, то і.

Зв'язок між нескінченно великими і нескінченно малими функціями

З двох попередніх властивостей випливає зв'язок між нескінченно великими і нескінченно малими функціями.

Якщо функція є нескінченно великою при, то функція є нескінченно малою при.

Якщо функція є нескінченно малою при, і, то функція є нескінченно великою при.

Зв'язок між нескінченно малої і нескінченно великою функцією можна висловити символічним чином:
, .

Якщо нескінченно мала функція має певний знак при, тобто позитивна (або негативна) на деякій проколеної околиці точки, то можна записати так:
.
Точно також якщо нескінченно велика функція має певний знак при, то пишуть:
, Або.

Тоді символічний зв'язок між нескінченно малими і нескінченно великими функціями можна доповнити наступними співвідношеннями:
, ,
, .

додаткові формули, Що зв'язують символи нескінченності, можна знайти на сторінці
«Нескінченно віддалені точки і їх властивості».

Доказ властивостей і теорем

Доказ теореми про твір обмеженою функції на нескінченно малу

Для доведення цієї теореми, ми скористаємося. А також використовуємо властивість нескінченно малих послідовностей, згідно з яким

Нехай функція є нескінченно малою при, а функція обмежена в деякій проколеної околиці точки:
при.

Оскільки існує межа, то існує проколота околиця точки, на якій визначена функція. Нехай є перетин околиць і. Тоді на ній визначені функції і.

.
,
a послідовність є нескінченно малою:
.

Скористаємося тим, що твір обмеженою послідовності на нескінченно малу є нескінченно мала послідовність:
.
.

Теорема доведена.

Доказ властивості про подання функції у вигляді суми постійної і нескінченно малої функції

необхідність. Нехай функція має в точці кінцевий межа
.
Розглянемо функцію:
.
Використовуючи властивість межі різниці функцій, маємо:
.
Тобто є нескінченно мала функція при.

достатність. Нехай і. Застосуємо властивість межі суми функцій:
.

Властивість доведено.

Доказ теореми про суму обмеженою функції і нескінченно великою

Для доведення теореми, ми скористаємося визначенням границі функції по Гейне

при.

Оскільки існує межа, то існує проколота околиця точки, на якій функція визначена. Нехай є перетин околиць і. Тоді на ній визначені функції і.

Нехай є довільна послідовність, що сходиться до, елементи якої належать околиці:
.
Тоді визначені послідовності і. Причому послідовність є обмеженою:
,
a послідовність є нескінченно великою:
.

Оскільки сума або різниця обмеженою послідовності і нескінченно великою
.
Тоді, згідно з визначенням меж послідовності з Гейне,
.

Теорема доведена.

Доказ теореми про приватному від ділення обмеженою функції на нескінченно велику

Для доказу, ми скористаємося визначенням границі функції по Гейне. Також використовуємо властивість нескінченно великих послідовностей, згідно з яким є нескінченно малою послідовністю.

Нехай функція є нескінченно великою при, а функція обмежена в деякій проколеної околиці точки:
при.

Оскільки функція нескінченно велика, то існує проколота околиця точки, на якій вона визначена і не звертається в нуль:
при.
Нехай є перетин околиць і. Тоді на ній визначені функції і.

Нехай є довільна послідовність, що сходиться до, елементи якої належать околиці:
.
Тоді визначені послідовності і. Причому послідовність є обмеженою:
,
a послідовність є нескінченно великою з відмінними від нуля членами:
, .

Оскільки частка від ділення обмеженою послідовності на нескінченно велику є нескінченно малою послідовністю, то
.
Тоді, згідно з визначенням меж послідовності з Гейне,
.

Теорема доведена.

Доказ теореми про приватному від ділення обмеженою знизу функції на нескінченно малу

Для доказу цього властивості, ми скористаємося визначенням границі функції по Гейне. Також використовуємо властивість нескінченно великих послідовностей, згідно з яким є нескінченно великою послідовністю.

Нехай функція є нескінченно малою при, а функція обмежена по абсолютній величині знизу позитивним числом, на деякій проколеної околиці точки:
при.

За умовою існує проколота околиця точки, на якій функція визначена і не звертається в нуль:
при.
Нехай є перетин околиць і. Тоді на ній визначені функції і. Причому і.

Нехай є довільна послідовність, що сходиться до, елементи якої належать околиці:
.
Тоді визначені послідовності і. Причому послідовність є обмеженою знизу:
,
а послідовність є нескінченно малою з відмінними від нуля членами:
, .

Оскільки частка від ділення обмеженою знизу послідовності на нескінченно малу є нескінченно великою послідовністю, то
.
І нехай є проколота околиця точки, на якій
при.

Візьмемо довільну послідовність, що сходиться к. Тоді, починаючи з деякого номера N, елементи послідовності будуть належати цій околиці:
при.
тоді
при.

Згідно з визначенням границі функції по Гейне,
.
Тоді за властивістю нерівностей нескінченно великих послідовностей,
.
Оскільки послідовність довільна, що сходиться до, то за визначенням границі функції по Гейне,
.

Властивість доведено.

Використана література:
Л.Д. Кудрявцев. курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.

Див. також:

Теорема 2.4. Якщо послідовності (x n) і (y n) сходяться і при цьому x n ≤ y n, n\u003e n 0, то lim x n ≤ lim y n.

Нехай lim xn \u003d a,

lim yn \u003d b і a\u003e b. За визначенням 2.4 межі

послідовності за кількістю ε \u003d

знайдеться номер N такий, що

Отже, n\u003e max (n0, N) yn<

< xn , что противоречит

умові.

Зауваження. Якщо послідовності (xn), (yn) сходяться і для

всіх n\u003e n0

xn< yn , то можно утверждать лишь, что lim xn

≤ lim yn.

Щоб переконатися в цьому, досить розглянути послідовності

		і yn \u003d

Безпосередньо з визначення 2.4 слідують і такі результати.

Теорема 2.5. Якщо числова послідовність (x n) сходиться і lim x n< b (b R), то N N: x n < b, n > N.

Слідство. Якщо послідовність (xn) сходиться і lim xn 6 \u003d 0, то

N N: sgn xn \u003d sgn (lim xn), n\u003e N.

Теорема 2.6. Нехай послідовності (x n), (y n), (z n) задовольняють умовам:

1) x n ≤ yn ≤ zn, n\u003e n0,

2) послідовності(X n) і (z n) сходяться і lim x n \u003d lim z n \u003d a.

Тоді послідовність (y n) сходиться і lim y n \u003d a.

2.1.3 Нескінченно малі послідовності

Визначення 2.7. Числова послідовність (x n) називається нескінченно малою (коротко б.м.), якщо вона сходиться і lim x n \u003d 0.

Згідно з визначенням 2.4 межі числової послідовності, визначення 2.7 еквівалентно наступному:

Визначення 2.8. Числова послідовність (x n) називається нескінченно малою, якщо для будь-якого позитивного числа ε знайдеться номер N \u003d N (ε) такий, що при всіх n\u003e N елементи x n цієї послідовності задовольняють нерівності | x n |< ε.

Отже, (xn) - б.м. ε\u003e 0 N \u003d N (ε): n\u003e N | xn |< ε.

З прикладів 2, 3 і зауваження 1 до теоремі 2.3 одержуємо, що після-

довательности (

q -n

є нескінченно

Властивості нескінченно малих послідовностей описуються наступними теоремами.

Теорема 2.7. Сума кінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Нехай послідовності (xn), (yn) - нескінченно малі. Покажемо, що такий буде і (xn + yn). Задамо ε\u003e 0. Тоді знайдеться номер

	N1 \u003d N1 (ε) такий, що
	| Xn |<		N\u003e N1,
	і знайдеться номер N2 \u003d N2 (ε) такий, що
	| Yn |<		N\u003e N2.

Позначимо через N \u003d max (N1, N2). При n\u003e N будуть справедливі нерівності (2.1) і (2.2). Тому при n\u003e N

| Xn + yn | ≤ | xn | + | Yn |< 2 + 2 = ε.

Це означає, що послідовність (xn + yn) - нескінченно мала. Затвердження про суму кінцевого числа нескінченно малих последо-

серйозна випливає з доведеного по індукції.

Теорема 2.8. Твір нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність є нескінченно мала.

Нехай (xn) - обмежена і (yn) - нескінченно мала послідовність. За визначенням 2.6 обмеженою послідовності знайдеться число M\u003e 0 таке, що

| Xn | ≤ M, n N.

Зафіксуємо довільне число ε\u003e 0. Так як (yn) - нескінченно мала послідовність, то знайдеться номер N \u003d N (ε) такий, що

Тому послідовність (xn · yn ) Є нескінченно малою.

Слідство 1. Твір нескінченно малої послідовності на сходящуюся є нескінченно мала послідовність.

Слідство 2. Твір двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Користуючись нескінченно малими послідовностями, на визначення збіжної послідовності можна подивитися по-іншому.

Лемма 2.1. Для того щоб число a було межею числової послідовності (x n), необхідно і достатньо, щоб мало місце подання x n \u003d a + α n, n N, в якому (α n) - нескінченно мала послідовність.

Необхідність. Нехай lim xn \u003d a і a R. Тоді

ε\u003e 0 N \u003d N (ε) N: n\u003e N | xn - a |< ε.

Якщо покласти αn \u003d xn - a, n N, то отримаємо, що (αn) - нескінченно мала послідовність і xn \u003d a + αn, n N.

Достатність. Нехай послідовність (xn) така, що існує число a, для якого xn \u003d a + αn, n N, і lim αn \u003d 0. Зафіксуємо довільне додатне число ε. Так як lim αn \u003d 0, то знайдеться номер N \u003d N (ε) N такий, що | αn |< ε, n > N. Тобто, в інших позначеннях, n\u003e N | xn - a |< ε. Это означает, что lim xn = a.

Застосуємо лему 2.1 до одного важливого приватному наприклад.

Лемма 2.2. lim n n \u003d 1.

√ √

Так як для всіх n\u003e 1 n n\u003e 1, то n n \u003d 1 + αn, причому αn\u003e 0 для

всіх n\u003e 1. Тому n \u003d (1 + α

) N \u003d 1 + nα

+ Αn.

Оскільки всі складові позитивні, n

Нехай ε\u003e 0. Так як

2 / n< ε для всех n > 2 / ε, то, вважаючи

N \u003d max (1,), отримаємо, що 0< αn < ε, n > N. Отже,

послідовність (αn) є нескінченно малою і, відповідно до леми

2.1, lim n n \u003d 1. √

Слідство. Якщо a\u003e 1, то lim n a \u003d 1.√ √

Затвердження випливає з нерівностей 1< n a ≤ n n , n > [A].

2.1.4 Арифметичні операції з послідовностями

Користуючись лемою 2.1 і властивостями нескінченно малих послідовностей, легко отримати теореми про границі послідовностей, одержуваних за допомогою арифметичних операцій з сходяться послідовностей.

| B | 3 | b |

2 < |y n | < 2

Теорема 2.9. Нехай числові послідовності (x n) і (y n) сходяться. Тоді мають місце твердження:

1) послідовність (x n ± y n) сходиться і

lim (xn ± yn) \u003d lim xn ± lim yn;

2) послідовність (x n · y n) сходиться і

lim (xn · yn) \u003d lim xn · lim yn;

3) якщо lim y n 6 \u003d 0, то ставлення x n / y n визначено, починаючи з

деякого номера, послідовність (x n) сходиться і

По теоремі 2.8 і слідству 1 послідовності (a · βn), (b · αn), (αn · βn) є нескінченно малими. По теоремі 2.7 послідовність (aβn + bαn + αn βn) нескінченно мала. З уявлення (2.5) по лемі 2.1 і випливає твердження 2).

Звернемося до утвердження 3). За умовою lim yn \u003d b 6 \u003d 0. В силу теореми 2.3. послідовність (| yn |) сходиться і lim | yn | \u003d | B | 6 \u003d 0. Тому за кількістю ε \u003d | b | / 2 знайдеться номер N такий, що n\u003e N

0 < | 2 b| = |b| −

Отже, yn \u003d 6 0, і 3 | b |< y n < |b| , n > N.

Таким чином, приватна xn / yn визначено для всіх n\u003e N, а послідовність (1 / yn) обмежена. Розглянемо для всіх n\u003e N різницю

(Αn b - aβn).

послідовність

αn b

aβn

Нескінченно мала,

обмежені. По теоремі 2.8 послідовність

- b

нечно мала. Тому, в силу леми 2.1, твердження 3) доведено. Слідство 1. Якщо послідовність (xn) сходиться, то для будь-

бого числа c послідовність (c · xn) сходиться і lim (cxn) \u003d c · lim xn.

Порівняння нескінченно малих функцій, еквівалентні функції

Нескінченно малі і нескінченно великі величини.

О.1. послідовність називається нескінченно великий,якщо для будь-якого позитивного числа А (як великим б ми його не взяли) існує номер N такий, що при n\u003e N виконується нерівність | х п | \u003e А ті. яке б велике число А ми не взяли, знайдеться такий номер, починаючи з якого всі члени послідовності виявляться більше А.

визначення 6. Послідовність (α п) називається нескінченно малої,якщо для будь-якого позитивного числа ε (як малим б ми його не взяли) існує номер N такий, що при n\u003e N виконується нерівність | α п | \u003cΕ.

1. Послідовність (п) є нескінченно великою.

2. Послідовність () є нескінченно малою.

Теорема 1. Якщо (х п) - нескінченно велика послідовність і всі її члени відмінні від нуля, х п ≠ 0, то послідовність (α п) \u003d - нескінченно мала, і, назад, якщо (α п) нескінченно мала послідовність, α п ≠ 0 , то послідовність (х п) \u003d нескінченно велика.

Сформулюємо основні властивості нескінченно малих послідовностей у вигляді теорем.

Теорема 2. Сума і різниця двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малі послідовності.

Приклад 2.Послідовність із загальним членом нескінченно мала, тому що тобто задана послідовність є сумою нескінченно малих послідовностей і і тому є нескінченно малою.

Слідство. Алгебраїчна сума будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Теорема 3. Твір двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Слідство. Твір будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Зауваження. Приватне двох нескінченно малих послідовностей може бути будь-якою послідовністю і може не мати сенсу.

Наприклад, якщо,, то всі елементи послідовності рівні 1 і дана послідовність є обмеженою. Якщо,, то послідовність - нескінченно велика, і навпаки, якщо, а, то - нескінченно мала послідовність. Якщо починаючи з деякого номера елементи послідовності дорівнюють нулю, то послідовність не має сенсу.

Теорема 4. Твір обмеженою послідовності на нескінченно малу є нескінченно мала послідовність.

Приклад 3. Послідовність нескінченно мала, тому що і послідовність () - нескінченно мала, послідовність - обмежена, тому що \u003c1. Отже, - нескінченно мала послідовність.

Слідство. Твір нескінченно малої послідовності на число є нескінченно мала послідовність.

Визначення. Функція f (x) називається нескінченно великий за умови, якщо для будь-якого, навіть як завгодно великого позитивного числа, знайдеться таке позитивне число (залежне від М, δ \u003d δ (М)), що для всіх х, що не рівних х 0 і б відповідала умовам, виконується нерівність

Записують: або при.

Наприклад, функція є нескінченно велика функція при; функція при.

Якщо f (x) прямує до нескінченності при і приймає лише позитивні значення, то пишуть, якщо лише негативні значення, то.

Визначення. Функція f (x), задана на всій числовій прямій, називається нескінченно великий за умови, якщо для будь-якого позитивного числа, знайдеться таке позитивне число (залежне від М, N \u003d N (М)), що при всіх х, що задовольняють умові, виконується нерівність

Наприклад, функція у \u003d 2 х є нескінченно велика функція при; функція є нескінченно великою функцією при.

Властивості нескінченно великих функцій:

1. Твір б.б.ф. на функцію, межа якої відмінний від нуля, є б.б.ф.

2. Сума б.б.ф. і обмеженої функції є б.б.ф.

3. Частка від ділення б.б.ф. на функцію, що має межу, є б.б.ф.

Наприклад, якщо функція f (x) \u003d tgx є б.б.ф. при, функція φ (х) \u003d 4х-3 при має межу (2π-3) відмінний від нуля, а функція ψ (х) \u003d sinx - обмежена функція, то

f (x) φ (х) \u003d (4х-3) tgx; f (x) + ψ (х) \u003d tgx + sinx; є нескінченно великі функції при.

Визначення. Функція f (x) називається нескінченно малоїза умови, якщо

За визначенням границі функції рівність (1) означає: для будь-якого, навіть як завгодно малого позитивного числа, знайдеться таке позитивне число (залежне від ε, δ \u003d δ (ε)), що для всіх х, що не рівних х 0 і б відповідала умовам, виконується нерівність

Теорема. Для виконання рівності необхідно і достатньо, щоб функція була нескінченно малою при. При цьому функція може бути представлена \u200b\u200bу вигляді.

Аналогічно визначається б.м.ф. при, - 0,, у всіх випадках f (x) 0.

Нескінченно малі функції часто називають нескінченно малими величинами або нескінченно малими; позначають зазвичай грецькими буквами α, β і т.д.

Наприклад, у \u003d х 2 при х → 0; у \u003d х-2 при х → 2; у \u003d sinx при х → πк, - нескінченно малі функції.

Властивості нескінченно малих функцій:

1. Сума кінцевого числа нескінченно малих функцій є величина нескінченно мала;

2. Твір кінцевого числа нескінченно малих функцій, а також нескінченно малої функції на обмежену функцію, є величина нескінченно мала;

3. Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, межа якої не дорівнює нулю, якщо величина нескінченно мала.

Розглянемо остання властивість при якщо функції і є нескінченно малими (Порівняння нескінченно малих функцій):

1). Якщо, то називається нескінченно малою, більш високого порядку малості, ніж.

приклад. При х → 2 функція (х - 2) 3 нескінченно мала вищого порядку, ніж (х -2), так як.

2). Якщо, то і називаються нескінченно малими одного порядку (мають однакову швидкість прагнення до нуля);

приклад. При х → 0 функції 5х 2 і х 2 є нескінченно малими одного порядку, так як.

3). Якщо, то і називаються еквівалентними нескінченно малими, позначаються ~., То

Зв'язок між нескінченно малими і нескінченно великими функціями: функція зворотна нескінченно малої є нескінченно великою (і навпаки), тобто якщо - нескінченно мала функція, то - нескінченно велика.