Матричний спосіб вирішення систем лінійних рівнянь приклади. Зворотна матриця. Рішення матричних рівнянь. Приклади розв'язання системи лінійних рівнянь матричним методом
Тема 2. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.
Основні поняття.
визначення 1. системою m лінійних рівняньз nневідомими називається система виду:
де і 
- числа.
визначення 2. Рішенням системи (I) називається такий набір невідомих, при якому кожне рівняння цієї системи звертається в тотожність.
визначення 3. Система (I) називається спільної, Якщо вона має хоча б одне рішення і несумісною, Якщо вона не має рішень. Спільна система називається певної, Якщо вона має єдине рішення, і невизначеноюв іншому випадку.
визначення 4. рівняння виду
називається нульовим, А рівняння виду
називається несумісною. Очевидно, що система рівнянь, що містить несумісні рівняння, є несумісною.
визначення 5. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, Якщо кожне рішення однієї системи служить рішенням інший і, навпаки, будь-яке рішення другої системи є рішенням першої.
Матрична запис системи лінійних рівнянь.
Розглянемо систему (I) (див. §1).
позначимо:
Матриця коефіцієнтів при невідомих
,
Матриця - стовпець вільних членів
Матриця - стовпець невідомих
.
Визначення 1.матриця називається головного датчика системи(I), а матриця - розширеної матрицею системи (I).
За визначенням рівності матриць системі (I) відповідає матричне рівність:
.
Праву частину цієї рівності за визначенням твору матриць ( см. визначення 3 § 5 глави 1) Можна розкласти на множники:
, Тобто
рівність (2) називається матричної записом системи (I).
Рішення системи лінійних рівнянь методом Крамера.
Нехай в системі (I) (див. §1) m = n, Тобто число рівнянь дорівнює числу невідомих, і основна матриця системи невироджена, тобто . Тоді система (I) з §1 має єдине рішення
де Δ = Det Aназивається головним визначником системи(I), Δ iвиходить з визначника Δ заміною i-го стовпця на стовпець з вільних членів системи (I).
Прімер.Решіть систему методом Крамера:
.
за формулами (3)
.
Обчислюємо визначники системи:
,
,
,
.
Щоб отримати визначник, ми замінили в визначнику перший стовпець на стовпець з вільних членів; замінюючи в визначнику 2-ий стовпець на стовпець з вільних членів, отримуємо; аналогічним чином, замінюючи в визначнику 3-ий стовпець на стовпець з вільних членів, отримуємо. Рішення системи:
Рішення систем лінійних рівнянь за допомогою зворотної матриці.
Нехай в системі (I) (див. §1) m = nі основна матриця системи невироджених. Запишемо систему (I) в матричному вигляді ( см. §2):
тому матриця Aневироджених, то вона має зворотну матрицю ( см. теорему 1 §6 глави 1). Помножимо обидві частини рівності (2) на матрицю, тоді
. (3)
За визначенням оберненої матриці. з рівності (3) маємо
Вирішити систему за допомогою оберненої матриці
.
позначимо
; ; .
У прикладі (§ 3) ми вирахували визначник, отже, матриця Aмає зворотну матрицю. Тоді в силу (4) , Тобто
. (5)
Знайдемо матрицю ( см. §6 глави 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
Метод Гаусса.
Нехай задана система лінійних рівнянь:
. (I)
Потрібно знайти всі рішення системи (I) або переконатися в тому, що система несумісна.
Визначення 1.Назвемо елементарним перетворенням системи(I) будь-яка з трьох дій:
1) викреслювання нульового рівняння;
2) додаток до обох частин рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на число l;
3) зміна місцями доданків в рівняннях системи так, щоб невідомі з однаковими номерами в усіх рівняннях займали однакові місця, тобто якщо, наприклад, в 1-му рівнянні ми поміняли 2-е і 3-е складові, тоді те ж саме необхідно зробити у всіх рівняннях системи.
Метод Гаусса полягає в тому, що система (I) за допомогою елементарних перетворень приводиться до еквівалентної системі, вирішення якої знаходиться безпосередньо або встановлюється її нерозв'язність.
Як було описано в §2 система (I) однозначно визначається своєї розширеної матрицею і будь-який елементарне перетворення системи (I) відповідає елементарному перетворенню розширеної матриці:
.
Перетворення 1) відповідає викреслювання нульовий рядки в матриці, перетворення 2) рівносильне збільшенню до відповідної рядку матриці інший її рядки, помноженої на число l, перетворення 3) еквівалентно перестановці стовпців в матриці.
Легко бачити, що, навпаки, кожному елементарному перетворенню матриці відповідає елементарне перетворення системи (I). В силу сказаного, замість операцій з системою (I) ми будемо працювати з розширеною матрицею цієї системи.
У матриці 1-ий стовпець складається з коефіцієнтів при х 1, 2-ий стовпець - з коефіцієнтів при х 2і т.д. У разі перестановки стовпців слід враховувати, що ця умова порушується. Наприклад, якщо ми поміняємо 1-ий і 2-ий стовпці місцями, то тепер в 1-му стовпці будуть коефіцієнти при х 2, А в 2-му стовпці - коефіцієнти при х 1.
Будемо вирішувати систему (I) методом Гаусса.
1. Викреслимо в матриці всі нульові рядки, якщо такі є (тобто викреслимо в системі (I) всі нульові рівняння).
2. Перевіримо, чи є серед рядків матриці рядок, в якій всі елементи, крім останнього, дорівнюють нулю (назвемо такий рядок несумісною). Очевидно, що такий рядку відповідає несумісні рівняння в системі (I), отже, система (I) рішень не має і на цьому процес закінчується.
3. Нехай матриця не містить несумісних рядків (система (I) не містить несумісних рівнянь). якщо a 11 = 0, То знаходимо в 1-му рядку який-небудь елемент (крім останнього) відмінний від нуля і переставляємо стовпці так, щоб в 1-му рядку на 1-му місці не було нуля. Будемо тепер вважати, що (тобто поміняємо місцями відповідні складові в рівняннях системи (I)).
4. Помножимо 1-у рядок на і складемо результат з 2-ї рядком, потім помножимо 1-у рядок на і складемо результат з 3-ї рядком і т.д. Очевидно, що цей процес еквівалентний виключенню невідомого x 1з усіх рівнянь системи (I), крім 1-ого. У новій матриці отримуємо нулі в 1-му стовпці під елементом a 11:
.
5. Викреслимо в матриці всі нульові рядки, якщо вони є, перевіримо, чи немає несумісною рядки (якщо вона є, то система несумісна і на цьому рішення закінчується). Перевіримо, чи буде a 22 / = 0, Якщо так, то знаходимо в 2-му рядку елемент, відмінний від нуля і переставляємо стовпці так, щоб. Далі множимо елементи 2-ий рядки на 
і складаємо з відповідними елементами 3-ої рядки, потім - елементи 2-ий рядки на 
і складаємо з відповідними елементами 4-ої рядка і т.д., поки не отримаємо нулі під a 22 /
.
Зроблені дії еквівалентні виключенню невідомого х 2з усіх рівнянь системи (I), крім 1-ого та 2-ої. Так як число рядків звичайно, тому через кінцеве число кроків ми отримаємо, що або система несумісна, або ми прийдемо до ступінчастою матриці ( см. визначення 2 §7 глави 1) :
,
Випишемо систему рівнянь, відповідну матриці. Ця система рівносильна системі (I)
.
З останнього рівняння висловлюємо; підставляємо в попереднє рівняння, знаходимо і т.д., поки не отримаємо.
Зауваження 1.Таким чином, при вирішенні системи (I) методом Гаусса ми приходимо до одного з наступних випадків.
1. Система (I) несумісна.
2. Система (I) має єдине рішення, якщо в матриці число рядків дорівнює числу невідомих ().
3. Система (I) має незліченну безліч рішень, якщо число рядків в матриці менше числа невідомих ().
Звідси має місце наступна теорема.
Теорема.Система лінійних рівнянь або несумісна, або має єдине рішення, або - безліч рішень.
Приклади. Вирішити систему рівнянь методом Гаусса або довести її несумісні:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
а) Перепишемо за дану системуу вигляді:
.
Ми поміняли місцями 1-е і 2-е рівняння вихідної системи, щоб спростити обчислення (замість дробів ми за допомогою такої перестановки будемо оперувати тільки цілими числами).
Складаємо розширену матрицю:
.
Нульових рядків немає; несумісних рядків немає,; виключимо 1-е невідоме із усіх рівнянь системи, крім 1-го. Для цього помножимо елементи 1-го рядка матриці на «-2» і складемо з відповідними елементами 2-ий рядки, що рівносильно множенню 1-го рівняння на «-2» і додаванню з 2-м рівнянням. Потім помножимо елементи 1-ої рядка на «3» і складемо з відповідними елементами третього рядка, тобто помножимо 2-е рівняння заданої системи на «3» і складемо з 3-им рівнянням. отримаємо
.
Матриці відповідає система рівнянь
призначення сервісу. За допомогою даного онлайн-калькулятора обчислюються невідомі (x 1, x 2, ..., x n) в системі рівнянь. рішення здійснюється методом зворотної матриці. При цьому:- обчислюється визначник матриці A;
- через алгебраїчні доповнення знаходиться зворотна матриця A -1;
- здійснюється створення шаблону рішення в Excel;
Інструкція. Для отримання рішення методом зворотної матриці необхідно задати розмірність матриці. Далі в новому діалоговому вікні заповнити матрицю A і вектор результатів B.
Нагадаємо, що рішенням системи лінійних рівнянь називається всяка сукупність чисел (x 1, x 2, ..., x n), підстановка яких у цю систему замість відповідних невідомих звертає кожне рівняння системи в тотожність.
система лінійних алгебраїчних рівняньзазвичай записується як (для 3-х змінних): Див. також Рішення матричних рівнянь.
алгоритм рішення
- Обчислюється визначник матриці A. Якщо визначник дорівнює нулю, то кінець рішення. Система має безліч рішень.
- При визначнику відмінному від нуля, через алгебраїчні доповнення знаходиться зворотна матриця A -1.
- Вектор рішення X = (x 1, x 2, ..., x n) виходить множенням оберненої матриці на вектор результату B.
Приклад №1. Знайти рішення системи матричних методом. Запишемо матрицю у вигляді:
Алгебраїчні доповнення.
| A 1,1 = (-1) 1 + 1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1 + 2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1 + 3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2 + 1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2 + 2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2 + 3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3 + 1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| A 3,2 = (-1) 3 + 2 |
| ∆ 3,2 = -(2 2-3 1) = -1 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Перевірка:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Приклад №2. Вирішити СЛАР методом зворотної матриці.
2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1
3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2
5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3
4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4
Запишемо матрицю у вигляді:
Вектор B:
B T = (1,2,3,4)
головний визначник
Мінор для (1,1):
= 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 (3 2-6 2) = -3
Мінор для (2,1):
= 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0
Мінор для (3,1):
= 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3
Мінор для (4,1):
= 3 (3 2-6 2)-5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3
визначник мінору
∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3
Приклад №4. Записати систему рівнянь в матричної формі і вирішити за допомогою оберненої матриці.
Рішення: xls
Приклад №5. Дана система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими. Потрібно: 1) знайти її рішення за допомогою формул Крамера; 2) записати систему в матричної формі і розв'язати цю проблему засобами матричного числення.
Методичні рекомендації. Після рішення методом Крамера, знайдіть кнопку "Рішення методом зворотної матриці для вихідних даних". Ви отримаєте відповідне рішення. Таким чином, дані знову заповнювати не доведеться.
Рішення. Позначимо через А - матрицю коефіцієнтів при невідомих; X - матрицю-стовпець невідомих; B - матрицю-стовпець вільних членів:
|
B T = (4, -3, -3)
З урахуванням цих позначень дана система рівнянь приймає наступну матричну форму: А * Х = B.
Якщо матриця А - невироджена (її визначник відмінний від нуля, то вона має обернену матрицю А -1. Помноживши обидві частини рівняння на А -1, отримаємо: А -1 * А * Х = А -1 * B, А -1 * А = Е.
Це рівність називається матричної записом рішення системи лінійних рівнянь. Для знаходження рішення системи рівнянь необхідно обчислити обернену матрицю А -1.
Система буде мати рішення, якщо визначник матриці A відмінний від нуля.
Знайдемо головний визначник.
∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14
Отже, визначник 14 ≠ 0, тому продовжуємо рішення. Для цього знайдемо обернену матрицю через алгебраїчні доповнення.
Нехай маємо невироджених матрицю А:
| A 1,1 = (- 1) 1 + 1 |
|
| A 1,2 = (- 1) 1 + 2 |
|
| A 1,3 = (- 1) 1 + 3 |
|
| A 2,1 = (- 1) 2 + 1 |
|
| A 2,2 = (- 1) 2 + 2 |
|
| A 2,3 = (- 1) 2 + 3 |
|
| A 3,1 = (- 1) 3 + 1 |
|
| 4 |
| -3 |
| -3 |
| X = 1/14 |
|
∆=4 (0 1-3 (-2))-2 (1 1-3 (-1))+0 (1 (-2)-0 (-1))=16
транспонована матриця
| A 1,2 = (- 1) 1 + 2 |
|
| A 1,3 = (- 1) 1 + 3 |
|
| A 2,1 = (- 1) 2 + 1 |
|
| A 2,2 = (- 1) 2 + 2 |
|
| A 2,3 = (- 1) 2 + 3 |
|
| A 3,1 = (- 1) 3 + 1 |
|
| A 3,2 = (- 1) 3 + 2 |
|
| A 3,3 = (- 1) 3 + 3 | 1/16 |
|
| (4 6)+(1 (-2))+(-1 6) | (4 (-4))+(1 4)+(-1 (-12)) | (4 (-2))+(1 6)+(-1 (-2)) |
| (2 6)+(0 (-2))+(-2 6) | (2 (-4))+(0 4)+(-2 (-12)) | (2 (-2))+(0 6)+(-2 (-2)) |
| (0 6)+(3 (-2))+(1 6) | (0 (-4))+(3 4)+(1 (-12)) | (0 (-2))+(3 6)+(1 (-2)) |
| =1/16 |
|
| A * A -1 = |
|
Приклад №7. Рішення матричних рівнянь.
позначимо:
| A = |
|
| A 1,1 = (-1) 1 + 1 |
|
| A 1,2 = (-1) 1 + 2 |
|
| A 1,3 = (-1) 1 + 3 |
|
| A 2,1 = (-1) 2 + 1 |
|
| A 2,2 = (-1) 2 + 2 |
|
| A 2,3 = (-1) 2 + 3 |
|
| A 3,1 = (-1) 3 + 1 |
|
| -12 | 15 | -5 |
| -4 | 5 | -2 |
| 7 | -9 | 3 |
B T = (31,13,10)
X T = (4.05,6.13,7.54)
x 1 = 158/39 = 4.05
x 2 = 239/39 = 6.13
x 3 = 294/39 = 7.54
Перевірка.
-2 4.05+-1 6.13+6 7.54=31
1 4.05+-1 6.13+2 7.54=13
2 4.05+4 6.13+-3 7.54=10
Приклад №9. Позначимо через А - матрицю коефіцієнтів при невідомих; X - матрицю-стовпець невідомих; B - матрицю-стовпець вільних членів:
|
B T = (31,13,10)
X T = (5.21,4.51,6.15)
x 1 = 276/53 = 5.21
x 2 = 239/53 = 4.51
x 3 = 326/53 = 6.15
Перевірка.
-2 5.21+1 4.51+6 6.15=31
1 5.21+-1 4.51+2 6.15=13
2 5.21+4 4.51+-3 6.15=10
Приклад №10. Рішення матричних рівнянь.
позначимо:
A 11 = (-1) 1 + 1 · -3 = -3; A 12 = (-1) 1 + 2 · 3 = -3; A 21 = (-1) 2 + 1 · 1 = -1; A 22 = (-1) 2 + 2 · 2 = 2;
зворотна матриця A -1.
| -3 | -3 |
| -1 | 2 |
| 1 | -2 |
| 1 | 1 |
| X = |
|
Метод оберненої матриціне представляє нічого складного, якщо знати загальні принципироботи з матричними рівняннями і, звичайно, вміти робити елементарні алгебраїчні дії.
Рішення системи рівнянь методом оберненої матриці. Приклад.
Найзручніше осягати метод оберненої матриці на наочному прикладі. Візьмемо систему рівнянь:
Перший крок, який необхідно зробити для вирішення цієї системи рівнянь - знайти визначник. Тому перетворимо нашу систему рівнянь в наступну матрицю:
І знайдемо потрібний визначник:
Формула, що використовується для вирішення матричних рівнянь, виглядає наступним чином:
Таким чином, для обчислення Х нам необхідно визначити значення матриці А-1 і помножити його на b. У цьому нам допоможе інша формула:
Ат в даному випадку буде транспонованою матрицею- тобто, тієї ж самої, вихідної, але записати не рядками, а стовпцями.
Не слід забувати про те, що метод оберненої матриці, Як і метод Крамера, підходить тільки для систем, в яких визначник більше або менше нуля. Якщо ж визначник дорівнює нулю, потрібно використовувати метод Гаусса.
Наступний крок - складання матриці миноров, що представляє собою таку схему:
У підсумку ми отримали три матриці - миноров, алгебраїчних доповнень і транспоновану матрицю алгебраїчних доповнень. Тепер можна переходити до власне складання оберненої матриці. Формулу ми вже знаємо. Для нашого прикладу це буде виглядати так.
Матричний спосіб вирішення систем лінійних рівнянь
Розглянемо систему лінійних рівнянь такого вигляду:
$ \ Left \ (\ begin (array) (c) (a_ (11) x_ (1) + a_ (12) x_ (2) + ... + a_ (1n) x_ (n) = b_ (1)) \\ (a_ (21) x_ (1) + a_ (22) x_ (2) + ... + a_ (2n) x_ (n) = b_ (2)) \\ (...) \\ (a_ (n1) x_ (1) + a_ (n2) x_ (2) + ... + a_ (nn) x_ (n) = b_ (n)) \ end (array) \ right.. $
Числа $ a_ (ij) (i = 1..n, j = 1..n) $ - коефіцієнти системи, числа $ b_ (i) (i = 1..n) $ - вільні члени.
визначення 1
У разі, коли всі вільні члени дорівнюють нулю, система називається однорідною, в іншому випадку - неоднорідною.
Кожній СЛАР можна поставити у відповідність декілька матриць і записати систему в так званому матричному вигляді.
визначення 2
Матриця коефіцієнтів системи називається матрицею системи і позначається, як правило, буквою $ A $.
Стовпець вільних членів утворює вектор-стовпець, який, як правило, позначається буквою $ B $ і називається матрицею вільних членів.
Невідомі змінні утворюють вектор-стовпець, який, як правило, позначається буквою $ X $ і називається матрицею невідомих.
Описані вище матриці мають вигляд:
$ A = \ left (\ begin (array) (cccc) (a_ (11)) & (a_ (12)) & (...) & (a_ (1n)) \\ (a_ (21)) & ( a_ (22)) & (...) & (a_ (2n)) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_ (n1) ) & (a_ (n2)) & (...) & (a_ (nn)) \ end (array) \ right), B = \ left (\ begin (array) (c) (b_ (1)) \ \ (b_ (2)) \\ (...) \\ (b_ (n)) \ end (array) \ right), X = \ left (\ begin (array) (c) (x_ (1)) \\ (x_ (2)) \\ (...) \\ (x_ (n)) \ end (array) \ right). $
Використовуючи матриці, СЛАР можна переписати у вигляді $ A \ cdot X = B $. Такий запис часто називають матричним рівнянням.
Взагалі кажучи, в матричному вигляді записати можна будь-яку СЛАР.
Приклади розв'язання системи за допомогою оберненої матриці
приклад 1
Дана СЛАР: $ \ left \ (\ begin (array) (c) (3x_ (1) -2x_ (2) + x_ (3) -x_ (4) = 3) \\ (x_ (1) -12x_ (2 ) -x_ (3) -x_ (4) = 7) \\ (2x_ (1) -3x_ (2) + x_ (3) -3x_ (4) = 5) \ end (array) \ right. $. Записати систему в матричному вигляді.
Рішення:
$ A = \ left (\ begin (array) (cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1 ) \\ (2) & (-3) & (1) & (-3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ begin (array) (c) (3) \\ (7) \\ (5) \ end (array) \ right), X = \ left (\ begin (array) (c) (x_ (1)) \\ (x_ (2)) \\ (x_ (3)) \ end (array) \ right). $
$ \ Left (\ begin (array) (cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) \ \ (2) & (-3) & (1) & (-3) \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (c) (x_ (1)) \\ (x_ ( 2)) \\ (x_ (3)) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (c) (3) \\ (7) \\ (5) \ end (array) \ right) $
У разі, коли матриця системи є квадратної, СЛАР можна вирішити рівняння матричних способом.
Маючи матричне рівняння $ A \ cdot X = B $, можна висловити з нього $ X $ в такий спосіб:
$ A ^ (- 1) \ cdot A \ cdot X = A ^ (- 1) \ cdot B $
$ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ (якість праці матриць)
$ E \ cdot X = A ^ (- 1) \ cdot B $
$ E \ cdot X = X $ (якість праці матриць)
$ X = A ^ (- 1) \ cdot B $
Алгоритм рішення системи алгебраїчних рівнянь за допомогою зворотної матриці:
- записати систему в матричному вигляді;
- обчислити визначник матриці системи;
- якщо визначник матриці системи відмінний від нуля, то знаходимо зворотну матрицю;
- рішення системи обчислюємо за формулою $ X = A ^ (- 1) \ cdot B $.
Якщо матриця системи має визначник, що не рівний нулю, то дана система має єдине рішення, яке можна знайти матричних способом.
Якщо матриця системи має визначник, що дорівнює нулю, то дану систему не можна вирішити матричним способом.
приклад 2
Дана СЛАР: $ \ left \ (\ begin (array) (c) (x_ (1) + 3x_ (3) = 26) \\ (-x_ (1) + 2x_ (2) + x_ (3) = 52) \\ (3x_ (1) + 2x_ (2) = 52) \ end (array) \ right. $. Вирішити СЛАР методом зворотної матриці, якщо це можливо.
Рішення:
$ A = \ left (\ begin (array) (ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & ( 0) \ end (array) \ right), B = \ left (\ begin (array) (c) (26) \\ (52) \\ (52) \ end (array) \ right), X = \ left (\ begin (array) (c) (x_ (1)) \\ (x_ (2)) \\ (x_ (3)) \ end (array) \ right). $
Знаходження визначника матриці системи:
$ \ Begin (array) (l) (\ det A = \ left | \ begin (array) (ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & (0) \ end (array) \ right | = 1 \ cdot 2 \ cdot 0 + 0 \ cdot 1 \ cdot 3 + 2 \ cdot (-1) \ cdot 3-3 \ cdot 2 \ cdot 3-2 \ cdot 1 \ cdot 1-0 \ cdot (-1) \ cdot 0 = 0 + 0-6-18-2-0 = -26 \ ne 0) \ end (array) $ так як визначник не дорівнює нулю, то матриця системи має зворотну матрицю і, отже, система рівнянь може бути вирішена методом зворотної матриці. Отримане рішення буде єдиним.
Вирішимо систему рівнянь за допомогою зворотної матриці:
$ A_ (11) = (- 1) ^ (1 + 1) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (2) & (1) \\ (2) & (0) \ end (array) \ right | = 0-2 = -2; A_ (12) = (- 1) ^ (1 + 2) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (-1) & (1) \\ (3) & (0) \ end (array) \ right | = - (0-3) = 3; $
$ A_ (13) = (- 1) ^ (1 + 3) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (-1) & (2) \\ (3) & (2) \ end (array ) \ right | = -2-6 = -8; A_ (21) = (- 1) ^ (2 + 1) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (0) & (3) \\ (2) & (0) \ end (array) \ right | = - (0-6) = 6; $
$ A_ (22) = (- 1) ^ (2 + 2) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (1) & (3) \\ (3) & (0) \ end (array) \ right | = 0-9 = -9; A_ (23) = (- 1) ^ (2 + 3) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (1) & (0) \\ (3) & (2) \ end (array) \ right | = - (2-0) = - 2; $
$ A_ (31) = (- 1) ^ (3 + 1) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (0) & (3) \\ (2) & (1) \ end (array) \ right | = 0-6 = -6; A_ (32) = (- 1) ^ (3 + 2) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (1) & (3) \\ (-1) & (1) \ end (array) \ right | = - (1 + 3) = - 4; $
$ A_ (33) = (- 1) ^ (3 + 3) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (1) & (0) \\ (-1) & (2) \ end (array ) \ right | = 2-0 = 2 $
Шукана зворотна матриця:
$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (- 26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) (-2) & (6) & (-6) \\ (3) & ( -9) & (-4) \\ (-8) & (-2) & (2) \ end (array) \ right) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) (2) & (-6) & (6) \\ (-3) & (9) & (4) \\ (8) & (2) & (-2) \ end (array) \ right ) = \ left (\ begin (array) (ccc) (\ frac (2) (26)) & (\ frac (-6) (26)) & (\ frac (6) (26)) \\ (\ frac (-3) (26)) & (\ frac (9) (26)) & (\ frac (4) (26)) \\ (\ frac (8) (26)) & (\ frac (2) (26)) & (\ frac (-2) (26)) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) (\ frac (1) (13)) & (- \ frac (3) (13)) & (\ frac (3) (13)) \\ (- \ frac (3) (26)) & (\ frac (9) (26)) & (\ frac (2) (13)) \\ (\ frac (4) (13)) & (\ frac (1) (13)) & (- \ frac (1) (13)) \ end (array) \ right). $
Знайдемо рішення системи:
$ X = \ left (\ begin (array) (ccc) (\ frac (1) (13)) & (- \ frac (3) (13)) & (\ frac (3) (13)) \\ ( - \ frac (3) (26)) & (\ frac (9) (26)) & (\ frac (2) (13)) \\ (\ frac (4) (13)) & (\ frac (1 ) (13)) & (- \ frac (1) (13)) \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (c) (26) \\ (52) \\ (52 ) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (c) (\ frac (1) (13) \ cdot 26- \ frac (3) (13) \ cdot 52+ \ frac (3 ) (13) \ cdot 52) \\ (- \ frac (3) (26) \ cdot 26+ \ frac (9) (26) \ cdot 52+ \ frac (2) (13) \ cdot 52) \\ (\ frac (4) (13) \ cdot 26+ \ frac (1) (13) \ cdot 52- \ frac (1) (13) \ cdot 52) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (c) (2-12 + 12) \\ (-3 + 18 + 8) \\ (8 + 4-4) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \ end (array) \ right) $
$ X = \ left (\ begin (array) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \ end (array) \ right) $ - дані рішення системи рівнянь.
Рівняння взагалі, лінійні алгебраїчні рівняння та їх системи, а також методи їх вирішення займають в математиці, як теоретичної, так і прикладної, особливе місце.
Це пов'язано з тією обставиною, що переважна більшість фізичних, економічних, технічних і навіть педагогічних завдань можуть бути описані і вирішені за допомогою різноманітних рівнянь і їх систем. Останнім часом особливої популярності серед дослідників, вчених і практиків набуло математичне моделюванняпрактично у всіх предметних областях, що пояснюється очевидними його перевагами перед іншими відомими і апробованими методами дослідження об'єктів різної природи, зокрема, так званих, складних систем. Існує велике різноманіття різних визначень математичної моделі, даних вченими в різні часи, але на наш погляд, найвдаліше, це наступне твердження. Математична модель- це ідея, виражена рівнянням. Таким чином, уміння складати і розв'язувати рівняння і їх системи - невід'ємна характеристика сучасного фахівця.
Для вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь найбільш часто використовуються методи: Крамера, Жордана-Гаусса і матричний метод.
матричний методрішення - метод вирішення за допомогою оберненої матриці систем лінійних алгебраїчних рівнянь з ненульовим визначником.
Якщо виписати коефіцієнти при невідомих величинах xi в матрицю A, невідомі величини зібрати в вектор стовпець X, а вільні члени в вектор стовпець B, то систему лінійних алгебраїчних рівнянь можна записати у вигляді наступного матричного рівняння A · X = B, яке має єдине рішення тільки тоді, коли визначник матриці A нічого очікувати дорівнює нулю. При цьому рішення системи рівнянь можна знайти в такий спосіб X = A-1 · B, де A-1 - обернена матриця.
Матричний метод рішення полягає в наступному.
Нехай дана система лінійних рівнянь з nневідомими:
Її можна переписати в матричній формі: AX = B, де A- основна матриця системи, Bі X- стовпці вільних членів і рішень системи відповідно:
Помножимо це матричне рівняння зліва на A-1 - матрицю, зворотну до матриці A: A -1 (AX) = A -1 B
Так як A -1 A = E, отримуємо X= A -1 B. Права частина цього рівняння дасть стовпець рішень вихідної системи. умовою застосування даного методу(Як і взагалі існування рішення неоднорідної системи лінійних рівнянь з числом рівнянь, рівним числуневідомих) є невироджених матриці A. Необхідною і достатньою умовою цього є нерівність нулю визначника матриці A: det A≠ 0.
Для однорідної системи лінійних рівнянь, тобто коли вектор B = 0 , Дійсно зворотне правило: система AX = 0 має нетривіальне (тобто не нульове) рішення тільки якщо det A= 0. Такий зв'язок між рішеннями однорідних і неоднорідних систем лінійних рівнянь зветься альтернативи Фредгольма.
приклад рішення неоднорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
Переконаємося в тому, що визначник матриці, складений з коефіцієнтів при невідомих системи лінійних алгебраїчних рівнянь не дорівнює нулю.
Наступним кроком буде обчислення алгебраїчних доповнень для елементів матриці, що складається з коефіцієнтів при невідомих. Вони знадобляться для знаходження оберненої матриці.
