Досвід показує, що електричні струми взаємодіють між собою. Наприклад, два тонких прямолінійних паралельних провідника, по яких течуть струми (ми будемо називати їх прямими струмами), притягують один одного, якщо струми в них мають однаковий напрямок, і відштовхують, якщо струми протилежні. Сила взаємодії, яка припадає на одиницю довжини кожного з паралельних провідників, пропорційна величинам струмів в них і обернено пропорційна відстані Ь між ними:

З міркувань, які стануть ясними в подальшому, коефіцієнт пропорційності ми позначили через.

Закон взаємодії струмів був встановлений в 1820 р Ампером. Загальна виразцього закону, придатне для провідників будь-якої форми, буде дано в § 44.

На підставі співвідношення (39.1) встановлюється одиниця сили струму в СІ і в абсолютній електромагнітної системі одиниць (СГСМ-системі). Одиниця сили струму в СІ - ампер - визначається як сила незмінних струму, який, проходячи по двох паралельних прямолінійних провідниках нескінченної довжини і мізерно малого кругового перетину, розташованим на відстані 1 м один від іншого в вакуумі, викликав би між цими провідниками силу, рівну Н на кожен метр довжини.

Одиницю заряду, звану кулоном, визначають як заряд, що проходить за 1 с через поперечний переріз провідника, по якому тече постійний струм силою 1 А. Відповідно до цього кулон називають також ампеp-секундою (А з).

У раціоналізувати вигляді формула (39.1) записується таким чином:

де - так звана магнітна постійна (пор. з формулою (4.1)).

Щоб знайти числове значення скористаємося тим, що згідно з визначенням ампера при сила виходить рівної Підставами ці значення в формулу (39.2):

Коефіцієнт k у формулі (39.1) можна зробити рівним одиниці за рахунок вибору одиниці сили струму. Так встановлюється абсолютна електромагнітна одиниця сили струму (СГСМ-од. Сили струму), яка визначається як сила такого струму, який, протікаючи по тонкому прямолінійним нескінченно довгому дроту, діє на рівний і паралельний йому прямий струм, віддалений на 1 см, з силою в 2 дин на кожен сантиметр довжини.

У СГСЕ-системі k виявляється відмінною від одиниці розмірної величиною. Відповідно до формули (39.1) розмірність до визначається наступним виразом:

Ми врахували, що розмірність є розмірність сили, поділена на розмірність довжини; тому розмірність твори дорівнює розмірності сили. Відповідно до формул (3.2) і (31.7)

Підставивши ці значення у вираз (39.4), знайдемо, що

Отже, в СГСЕ-системі до можна представити у вигляді

де с - має розмірність швидкості величина, звана електродинамічної постійною. Щоб знайти її числове значення, скористаємося співвідношенням (3.3) між кулоном і СГСЕ-одиницею заряду, яке Билбустановлено дослідним шляхом. Сила в еквівалентна. Відповідно до формули (39.1) з такою силою взаємодіють струми по СГСЕ-одиниць (т. Е. 1 А) кожен при чином,

Значення електродинамічної постійної збігається з величиною швидкості СКТА в вакуумі. З теорнн Максвелла випливає існування електромагнітних хвиль, Швидкість яких в вакуумі дорівнює електродинамічної постійної с. Збіг з зі швидкістю світла у вакуумі дало Максвеллові підставу припустити, що світло є електромагнітна хвиля.

Значення k у формулі (39.1) дорівнює 1 в СГСМ-системі і в СГСЕ-снстеме. Звідси випливає, що струм силою в 1 СГСМ-одиницю еквівалентний струму силою в 3-10 ° СГСЕ-одиниць:

Помноживши це співвідношення на 1 с, отримаємо

Розглянемо провід, який перебуває з магнітному полі і по якому тече струм (ріс.12.6).

На кожен носій струму (електрон), діє сила Лоренца. Визначимо силу, що діє на елемент проводу довжини d l

Останній вираз носить назву закону Ампера.

Модуль сили Ампера визначається за формулою:

.

Сила Ампера спрямована перпендикулярно площині, в якій лежать вектори dl і B.

Застосуємо закон Ампера для обчислення сили взаємодії двох знаходяться в вакуумі паралельних нескінченно довгих прямих струмів (ріс.12.7).

Відстань між провідниками - b. Припустимо, що провідник I 1 створює магнітне поле індукцією

Згідно із законом Ампера на провідник I 2, з боку магнітного поля, Діє сила

, Враховуючи, що (sinα = 1)

Отже, на одиницю довжини (d l= 1) провідника I 2, діє сила

.

Напрямок сили Ампера визначають за правилом лівої руки: якщо долоню лівої руки розташувати так, щоб в неї входили лінії магнітної індукції, а чотири витягнутих пальці розташувати у напрямку електричного струму в провіднику, то відставлений великий палецьвкаже напрям сили, що діє на провідник з боку поля.

12.4. Циркуляція вектора магнітної індукції (закон повного струму). Слідство.

Магнітне поле на відміну від електростатичного - непотенційного поле: циркуляція вектора В магнітної індукції поля уздовж замкнутого контуру не дорівнює нулю і залежить від вибору контуру. Таке поле в векторному аналізі називають вихровим полем.

Розглянемо як приклад магнітне поле замкнутого контуру L довільної форми, що охоплює нескінченно довгий прямолінійний провідник зі струмом l, Що знаходиться у вакуумі (ріс.12.8).

Лінії магнітної індукції цього поля є кола, площини яких перпендикулярні провіднику, а центри лежать на його осі (на рис. 12.8 ці лінії зображені пунктиром). У точці А контуру L вектор В магнітної індукції поля цього струму перпендикулярний радіусу-вектору.

З малюнка видно, що

де - довжина проекції вектора dl на напрямок вектора В. У той же час малий відрізок dl 1дотичній до кола радіуса rможна замінити дугою кола:, де dφ - центральний кут, під яким видно елемент dlконтуру Lз центру кола.

Тоді отримуємо, що циркуляція вектора індукції

У всіх точках лінії вектор магнітної індукції дорівнює

інтегруючи вздовж усього замкнутого контуру, і враховуючи, що кут змінюється від нуля до 2π, знайдемо циркуляцію

З формули можна зробити наступні висновки:

1. Магнітне поле прямолінійного струму - вихровий поле і не консервативно, так як в ньому циркуляція вектора Ввздовж лінії магнітної індукції не дорівнює нулю;

2. циркуляція вектора Вмагнітної індукції замкнутого контуру, що охоплює поле прямолінійного струму в вакуумі однакова вздовж усіх ліній магнітної індукції і дорівнює добутку магнітної постійної на силу струму.

Якщо магнітне поле утворено декількома провідниками з струмом, то циркуляція результуючого поля

Цей вираз називається теоремою про повне струмі.

Сила Ампера це та сила, з якою магнітне поле діє на провідник, з струмом поміщений в це поле. Величину цієї сили можна визначити за допомогою закону Ампера. В цьому законі визначається нескінченно мала сила для нескінченно малого ділянки провідника. Що дає можливість застосовувати цей закон для провідників різної форми.

Формула 1 - Закон Ампера

Bіндукція магнітного поля, в якому знаходиться провідник зі струмом

Iсила струму в провіднику

dlнескінченно малий елемент довжини провідника зі струмом

альфакут між індукцією зовнішнього магнітного поля і напрямком струму в провіднику

Напрямок сили Ампера знаходиться за правилом лівої руки. Формулювання цього правила, звучить так. Коли ліва рука розташована таким чином, що лини магнітної індукції зовнішнього поля входять в долоню, а чотири витягнутих пальці вказують напрямок руху струму в провіднику, при цьому відігнутий під прямим кутом великий палець буде вказувати напрям сили, яка діє на елемент провідника.

Малюнок 1 - правило лівої руки

Деякі проблеми виникають, при використанні правила лівої руки, в разі якщо кут між індукцією поля і струмом маленький. Важко визначити, де повинна знаходитися відкрита долоня. Тому для простоти застосування цього правила, можна долоню розташовувати так, щоб в неї входить не сам вектор магнітної індукції, а його модуль.

Із закону Ампера слід, що сила Ампера буде дорівнює нулю, якщо кут між лінією магнітної індукції поля і струмом буде дорівнює нулю. Тобто провідник буде розташовуватися уздовж такої лінії. І сила Ампера буде мати максимально можливе значення для цієї системи, якщо кут становитимуть 90 градусів. Тобто струм буде перпендикулярний лінії магнітної індукції.

За допомогою закону Ампера можна знайти силу, що діє в системі з двох провідників. Уявімо собі два нескінченно довгих провідника, які знаходяться на відстані один від одного. За цим провідникам протікають струми. Силу, що діє з боку поля створюваного провідником зі струмом номер один на провідник номер два можна представити у вигляді.

Формула 2 - Сила Ампера для двох паралельних провідників.

Сила, що діє з боку провідника номер один на другий провідник, буде мати такий же вигляд. При цьому якщо струми в провідниках течуть в одному напрямку, то провіднику будуть притягатися. Якщо ж в протилежних, то вони будуть відштовхуватися. Виникає деяке замішання, адже струми течуть в одному напрямку, так як же вони можуть притягатися. Адже однойменні полюси і заряди завжди відштовхувалися. Або Ампер вирішив, що не варто наслідувати іншим і придумав щось нове.

Насправді Ампер нічого не вигадував, так як якщо задуматися то поля, створювані паралельними провідниками, спрямовані зустрічно один одному. І чому вони притягуються, питання вже не виникає. Щоб визначити, в який бік направлено поле створюване провідником, можна скористатися правилом правого гвинта.

Малюнок 2 - Паралельні провідники зі струмом

Використовуючи паралельні провідники і вираз сили Ампера для них можна визначити одиницю в один Ампер. Якщо по нескінченно довгим паралельним провідникам, які перебувають на відстані в один метр, течуть однакові струми силою в одні ампер, то сили взаємодії між ними становитиме в 2 * 10-7 Ньютона, на кожен метр довжини. Використовуючи цю залежність, можна висловити чому буде дорівнює один Ампер.

Дане відео розповідає про те, як постійне магнітне поле, створене підковоподібним магнітом, впливає на провідник зі струмом. Роль провідника зі струмом в даному випадку виконує алюмінієвий циліндр. Цей циліндр лежить на мідних шинах, за якими до нього підводиться електричний струм. Сила, яка діє на провідник зі струмом, що знаходиться в магнітному полі, називається силою Ампера. Напрямок дії сили Ампера визначається за допомогою правила лівої руки.

Застосуємо закон Ампера для обчислення сили взаємодії двох довгих прямолінійних провідників зі струмами I 1 і I 2, що знаходяться на відстані dодин від одного (рис. 6.26).

Мал. 6.26. Силове взаємодія прямолінійних струмів:
1 - паралельні струми; 2 - антипаралельні струми

Провідник зі струмом I 1 створює кільцевий магнітне поле, величина якого в місці знаходження другого провідника дорівнює

Це поле направлено «від нас» ортогонально площині малюнка. Елемент другого провідника відчуває з боку цього поля дію сили Ампера

Підставляючи (6.23) в (6.24), отримаємо

При паралельних токах сила F 21 направлена ​​до першого провідника (тяжіння), при антипаралельних - у зворотний бік (відштовхування).

Аналогічно на елемент провідника 1 діє магнітне поле, створюване провідником зі струмом I 2 в точці простору з елементом з силою F 12. Міркуючи таким же чином, знаходимо, що F 12 = –F 21, тобто в цьому випадку виконується третій закон Ньютона.

Отже, сила взаємодії двох прямолінійних нескінченно довгих паралельних провідників, розрахована на елемент довжини провідника, пропорційна добутку сил струмів I 1 і I 2 протікають в цих провідниках, і обернено пропорційна відстані між ними. У електростатики по аналогічному закону взаємодіють дві довгі заряджені нитки.

На рис. 6.27 представлений досвід, який демонструє тяжіння паралельних струмів і відштовхування антипаралельних. Для цього використовуються дві алюмінієві стрічки, підвішені вертикально поруч один з одним в слабо натягнутому стані. При пропущенні через них паралельних постійних струмівсилою близько 10 А стрічки притягуються. а при зміні напрямку одного з струмів на протилежне - відштовхуються.

Мал. 6.27. Силове взаємодія довгих прямолінійних провідників зі струмом

На підставі формули (6.25) встановлюється одиниця сили струму - ампер, Що є однією з основних одиниць в СІ.

Приклад.По двох тонких проводах, зігнутим у вигляді однакових кілець радіусом R= 10 см, течуть однакові струми I= 10 А в кожному. Площині кілець паралельні, а центри лежать на ортогональної до них прямий. Відстань між центрами дорівнює d= 1 мм. Знайти сили взаємодії кілець.

Рішення.У цьому завданні не повинно бентежити, що ми знаємо лише закон взаємодії довгих прямолінійних провідників. Оскільки відстань між кільцями багато менше їх радіусу, взаємодіючі елементи кілець «не помічають» їх кривизни. Тому сила взаємодії дається виразом (6.25), куди замість треба підставити довжину окружності кілець Отримуємо тоді

Одним з проявів магнітного поля є його силовий вплив на провідник зі струмом, поміщений в магнітне поле. Ампером було встановлено, що на провідник зі струмом, поміщений в однорідне магнітне поле, індукція якого, діє сила, пропорційна силі струму і індукції магнітного поля:

F = IBℓsinα (15.22)

[Α - кут між напрямком струму в провіднику і індукцією магнітного поля].

Ця формула виявляється справедливою для прямолінійного провідника і однорідного поля.

Якщо провідник має довільну форму і поле неоднорідне то вираз (3.125) набирає вигляду

dF = IBdℓsinα (15.23)

або у векторній формі

(15.24)

Твір Idℓ називають елементом струму. Співвідношення (15.23), (15.24) висловлюють закон Ампера.

Для визначення напрямку сили, що діє на провідник зі струмом, поміщений в магнітне поле, застосовується правило лівої руки: якщо ліву руку розташувати так, щоб лінії магнітної індукції входили в долоню, а витягнуті чотири пальці збігалися з напрямом струму в провіднику, то відігнутий великий палець вкаже напрям сили, що діє на провідник зі струмом, поміщений в магнітне поле(Рис. 15.10) .

Ця сила завжди перпендикулярна площині, в якій лежать провідник і вектор. Знаючи напрямок і модуль сили, що діє на будь-яку ділянку dℓ провідника, можна обчислити силу, діючу на весь провідник. Для цього потрібно знайти суму сил, що діють на всі

ділянки провідника:

Використовуючи закон Ампера, розглянемо взаємодія паралельних провідників зі струмом (Рис. 15.11). Припустимо, що в однорідної ізотропному середовищі, відносна магнітна проникність якої μ, на відстані d одна від одної розташовані два провідника. Нехай по одному з них тече струм I 1 а по іншому - I 2 водному напрямку.

Виділимо на провіднику 2 елемент dℓ 2. На цей елемент буде діяти сила Ампера

dF i = В 1 I 2 · dℓ i

[ - індукція магнітного поля, що створюється першим провідником в місці знаходження другого провідника].

Вектор спрямований перпендикулярно напрямку струму I, тому sinα = 1. З огляду на це, знаходимо

(15.25)

Застосовуючи правило лівої руки, визначаємо напрямок цієї сили. Щоб визначити силу F 12, т. Е. Силу, що діє з боку провідника 1 на провідник 2, потрібно підсумувати все елементарні сили dF i

Сила, з якою з якою взаємодіють два провідника пропорційна добутку струмів, поточних по провідникам, і обернено пропорційна відстані між ними.

Якщо по провідникам течуть струми в однакових напрямках, то провідники притягуються, а в протилежних - відштовхуються.

Закон Ампера є основним у вченні про магнетизм і грає таку ж роль, як і закон Кулона в електростатики.

15.5 Контур зі струмом в магнітному полі. Робота по переміщенню провідника і контура зі струмом в магнітному полі

Контур зі струмом, що має сторони а і ℓ, поміщений в магнітне поле

(Рис. 15.12). На кожну сторону контуру діє сила Ампера. На горизонтальні сторони ℓ контуру діють сили, які розтягують або стискають) контур, не повертаючи його.

На кожну з вертикальних сторін а діє сила F = ІВА. Ці сили створюють пару сил, момент якої

М = Fℓcosφ (15. 27)

[Φ- кут між вектором і стороною контуру ℓ.

Момент сил прагне повернути контур так, щоб потік Ф, що пронизує контур, був максимальним. Підставляючи в формулу (15.27) вираз для сили, маємо

М = IBaℓcosφ = ISBcosφ = p m Bcos (π / 2-α) = = p m B sinα (15.28)

Величину IS називають магнітним моментом контуру p m.. Вектор p m збігається з напрямком позитивної нормалі до площини контура.

Механічний момент М,діючий на контур зі струмом в однорідному магнітному полі, пропорційний магнітному моменту р m контуру, індукції В магнітного поля і синусу кута між напрямком векторів p m (нормаллю до контуру) і.

У векторній формі співвідношення (15.28) має вигляд

М = (15.29)

Розглянемо провідник довжиною ℓ з струмом I, поміщений в однорідне зовнішнє магнітне поле, перпендикулярне площині контуру і який може вільно переміщатися в цьому полі під дією сили Ампера (рис. 15.13).

Під дією цієї сили провідник переміститься паралельно самому собі на відрізок з положення 1 в положення 2. робота, що здійснюються магнітним полем, дорівнює

dA = Fdx = IBℓdx = IBdS = IdФ, (15.30)

так як ℓdx = dS - площа пересічна провідником при його переміщенні в магнітному полі, ВdS = dФ - потік вектора магнітної індукції, що пронизує цю площу. Таким чином,

dA = IdФ, (15.31)

тобто робота по переміщенню провідника з струмом в магнітному полі дорівнює добутку сили струму на магнітний потік, Пересічений рухомим провідником.

Робота по переміщення провідника зі струмом I з точки 1 в точку 2 визначається за формулою:

(15.32)

Робота по переміщенню замкнутого контуру зі струмом в магнітному полі також визначається за формулою. Формула залишається справедливою для контура будь-якої форми в довільному магнітному полі.

§ 15.5. Сила Лоренца. Рух частинки в магнітному полі. ефект Холла

Рухомі електричні заряди створюють навколо себе магнітне поле, яке поширюється в вакуумі зі швидкістю світла. Під час руху заряду в зовнішньому магнітному полі виникає силове взаємодія магнітних полів, що визначається згідно із законом Ампера. Процес взаємодії магнітних полів досліджувався Лоренцем, який вивів формулу для розрахунку сили, що діє з боку магнітного поля на рухому заряджену частинку. Лоренц є творцем класичної електронної теорії. Широко відомі його роботи в області електродинаміки, термодинаміки, статичної механіки, оптики, теорії випромінювання, атомної фізики. За дослідження впливу магнетизму на процеси випромінювання в 1902 р був удостоєний Нобелівської премії.

Сила, що діє з боку магнітного поля на рухомий заряд називається силою Лоренца і , дорівнює

F л = qυВsinα (15.33)

де q - заряд частка; - швидкість частинки; В - індукція магнітного поля, α- кут між напрямком швидкості частинки і вектором магнітної індукції .

Ця сила перпендикулярна векторах і.

Напрямок сили Лоренца, визначається за правилом лівої руки: Якщо розташувати ліву долоню так, щоб чотири витягнутих пальці вказували напрямок руху позитивного заряду, А вектор магнітного поля входив в долоню, то відставлений великий палець покаже напрям сили Лоренца, що діє на даний заряд.

Зі зміною знака заряду напрямок сили змінюється на протилежне.

Аналізуючи вираз (3.146), можна зробити висновки:

1. Якщо швидкість заряду = 0; F л = 0. Магнітне поле не діє на нерухому частку.

2. Якщо частка влітає в магнітне поле паралельно його силових ліній. α = 0 °, sin0 ° = 0; F л = 0. Магнітне поле не діє на нерухому заряджену частку; Частка буде продовжувати рухатися рівномірно і прямолінійно з тією ж швидкістю, яка у неї була.

3. Якщо частка влітає перпендикулярно силовим лініям магнітного поля ┴. α = 90 °, sin90 ° = 1; F л = qυВ. Сила Лоренца викривляє траєкторію руху, виконуючи роль доцентрової сили.

Дуже важливим є використання цього явища при дослідженні космічних частинок для визначення знака заряду. Попадання летить частинки в магнітне поле викликає зміна її траєкторії в залежності від знака заряду (рис. 3.59). На рис. 3.59 вектор індукції магнітного поля спрямований перпендикулярно площині креслення (від нас). Частка буде рухатися по колу, радіус R якій можна визначити з рівності центростремительной сили і сили Лоренца:

Чим більше швидкість частинки, тим більше радіус кола, по якій вона рухається, період же звернення ні від швидкості, ні від радіуса кола не залежить.

(15.36)

4. Якщо частинка рухається під кутом β до ліній, то траєкторія руху частинки буде гвинтовою лінією (спіраллю), що охоплює силові лінії магнітного поля (рис. 3.60).

Крок h спіралі визначається υ т -тангенціальной складової швидкості υ частки. Радіус спіралі залежить від υ n-нормально складової швидкості υ.

У 1892 р Лоренц отримує формулу сили, з якою електромагнітне поле діє на будь-яку знаходиться в ньому заряджену частинку:

(15.37)

Ця сила називається електромагнітної силою Лоренца , А цей вислів є одним з основних законів класичної електродинаміки.

коли електричний зарядрухається одночасно в електричному і магнітному полях, то результуюча сила, що діє на частинку, дорівнює

F = qυВsinα + qE (15.38)

В цьому випадку сила має дві складові: від впливу магнітного та електричного полів. Між цими складовими є принципова різниця. Електричне поле змінює величину швидкості, а отже, і кінетичну енергію частинки, однорідне магнітне поле змінює тільки напрям її руху.

ефект Холла

Американський вчений Е. Холл виявив, що в провіднику, вміщеному в магнітне поле, виникає різниця потенціалів (поперечна) в напрямку, перпендикулярному вектору магнітної індукції В і току I, внаслідок дії сили Лоренца на заряди, що рухаються в цьому провіднику (рис. 3.62) .

Досвід показує, що поперечна різниця потенціалів пропорційна щільності струму j, магнітної індукції і відстані d між електродами:

Припустимо, що електрони рухаються з упорядкованою середньою швидкістю υ і на кожен електрон діє сила Лоренца, що дорівнює еВυ. Під її дією електрони зміщуються так, що одна з граней зразка зарядиться негативно, інша - позитивно і всередині зразка виникне електричне поле, т. Е. Е υ В = їЇ.

Отже, поперечна різниця потенціалів дорівнює

середню швидкість υ електронів можна виразити через щільність струму j, так як j = ne υ , тому

Прирівнюючи цей вислів формулою (15.39), одержуємо.

Постійна Холла залежить від концентрації електронів.

За виміряним значенням постійної Холла можна: 1) визначити концентрацію носіїв струму в провіднику (при відомих характер провідності і заряді носіїв); 2) судити про природу провідності напівпровідників, так як знак постійної Холла збігається зі знаком заряду носіїв струму. Застосовується для множення постійних струмів в аналогових обчислювальних машинах, в вимірювальної техніки (датчик Холла

Приклади розв'язання задач

Приклад.Прямокутна рамка зі сторонами а = 5 см і b = 10см, що складається з N = 20 витків, поміщена під зовнішнє однорідне магнітне поле з індукцією В = 0,2 Тл. Нормаль до рамки становить з напрямком магнітного поля кут. Визначте крутний момент сил, що діє на рамку, якщо по ній тече струм I = 2А.

дано: А = 5 см = 0,05 м; b = 10см = 0,1 м; N = 20; В = 0,2 Тл; . ; I = 2А.

знайти: М.

Рішення.Механічний момент, який діє на рамку зі струмом, вміщену в однорідне магнітне поле,

,

- магнітний моментрамки з струмом. Модуль M = p m Bsinα.

Оскільки рамка складається N з витків, то M = Np m Bsinα (1)

де магнітний момент рамки зі струмом

p m = IS = I a b. (2)

Підставивши формулу (2) в вираз (1), знайдемо шуканий крутний момент

M = NIB a bsinα.

відповідь:М = 0,02 Н ∙ м

Приклад.По тонкому дротовому кільцю тече струм. Визначте, у скільки разів зміниться індукція в центрі контуру, якщо провіднику надати форму квадрата, не змінюючи сили струму в провіднику.

Рішення.Вектор в центрі кругового струму спрямований при вибраному напрямку струму (см.рисунок), згідно з правилом правого гвинта, перпендикулярно до креслення до нас (на малюнку це позначено точкою в кружечку). його модуль

де I- сила струму; R- радіус кільця; μ 0 - магнітна постійна; μ - магнітна проникність середовища.

Сторона квадрата, вписана в кільце, дорівнює (довжина кола кільця 2πR). Вектор в центрі квадрата спрямований також перпендикулярно кресленням до нас. Магнітна індукція в центрі квадрата дорівнює сумі магнітних індукцій, створюваних кожною стороною квадрата. Тоді модуль, відповідно до закону Біо-Савара-Лапласа,

З формул (1) і (2) отримаємо відношення

відповідь:

Приклад.По двох нескінченно довгим прямим паралельним провідникам, які перебувають у вакуумі на відстані R = 30см, течуть однакові струми одного напрямку. Визначте магнітну індукцію В поля, створюваного струмами в точці А, що лежить на прямій, що з'єднує провідники і лежить на відстані r = 20см правіше правого проводу (см.рисунок). Сила струму в провідниках дорівнює 20А.

дано: Μ = 1; R = 30см = 0,3 м; r = 20см = 0,2м; I 1 = I 2 = I = 20 А.

знайти: B.

Рішення.Нехай струми спрямовані перпендикулярно площині креслення від нам, що позначено на малюнку хрестиками. Лінії магнітної індукції замкнені і охоплюють провідники зі струмами. Їх напрямок задається правилом правого гвинта. Вектор в кожній точці спрямований по дотичній до лінії магнітної індукції (див. Малюнок).

Згідно з принципом суперпозиції, магнітна індукція результуючого поля в точці А

де і - магнітна індукція полів в цій точці, створювані першим і другим провідниками. Вектори і та сонаправлени, тому додавання векторів можна замінити складанням їх модулів

В = В 1 + В 2. (1)

Магнітна індукція полів, створюваних нескінченно довгими прямими провідниками з струмом I 1 і I 2,

, (2)

де μ 0 - магнітна постійна; μ- магнітна проникність середовища.

Підставивши вираз (2) у формулу (1) і з огляду на, що I 1 = I 2 = I і μ = 1 (для вакууму), отримаємо шуканий вираз для магнітної індукції в точці А:

відповідь:В = 28 мкТл.

Приклад.По двох нескінченно довгим прямим паралельним провідникам знаходяться в вакуумі, відстань між якими d = 15см, течуть струми I 1 = 70A і I 2 = 50A в одному напрямку. Визначте магнітну індукцію В поля, в точці А, що лежить віддаленої на r 1 = 10см від першого і r 1 = 20см від другого провідників.

дано: Μ = 1; d = 15см = 0,15 м; I 1 = 70A; I 2 = 50A; r 1 = 10см = 0,1 м; r 2 = 20см = 0,2м.

знайти: B.

Рішення.Нехай струми спрямовані перпендикулярно площині креслення до нас. Вектори магнітної індукції спрямовані по дотичній до ліній магнітної індукції.

Згідно з принципом суперпозиції, магнітна індукція в точці А (см.рисунок)

де і - відповідно магнітні індукції полів, що створюються провідниками з струмом I 1 і I 2(Напрями векторів і і струмів I 1 і I 2показані на малюнку). Модуль вектора по теоремі косинусів,

.

Підставивши ці вирази в формулу (1), знайдемо шукане В:

.

відповідь:В = 178 мкТл.

Приклад.В одній площині з нескінченно прямим провідником зі струмом

I = 10 A розташована прямокутна дротова рамка (сторона а = 25см, b = 10см), по якій протікає струм I 1 = 2А. Довгі сторони рамки паралельні прямому струму, причому найближча з них знаходиться від прямого струму на відстані с = 10см і ток в ній сонаправлени току I. Визначте сили, що діють на кожну зі сторін рамки.

дано: I = 10A; а = 25см = 0.25м; b = 10 см = 0.10 м ;; I 1 = 2 A; з = 10см = 0,1 м.

знайти: F 1; F 2; F 3; F 4;

Рішення. Прямокутна рамка знаходиться в неоднорідному полі прямого струму з індукцією

(Розглядаємо випадок вакуумa), де r - відстань від прямого струму до даної точки.

Сила, з якою діє поле прямого струму, може бути знайдена підсумовуванням елементарних сил, які визначаються законом Ампера,

Вектор в межах рамки спрямований перпендикулярно її площині за креслення, і в межах кожної сторони кут. Це означає, що в межах одного боку елементарні сили паралельні один одному і складання векторів

Можна замінити складанням їх модулів:

(2)

де інтегрування ведеться по відповідній стороні рамки

Короткі сторони рамки розташовані однаково щодо дроти, а тому діють на них сили чисельно рівні, але спрямовані протилежно. Їх напрямок, втім як і напрямок інших сил (см.рисунок), визначається за правилом лівої руки. Уздовж кожної з коротких сторін прямокутника магнітна індукція змінюється [см. формулу (1)]. Тоді, провівши інтегрування [з урахуванням (2)],

.

Довгі сторони рамки паралельні прямому струму, перебуваючи від нього відповідно на відстанях з і з + b. тоді

;

,

де і .

відповідь: F 1 = 10 мкн; F 2 = 2,77 мкн; F 3 = 5 мкн; F 4 = 2,77 мкн.

Приклад.Електрон, що пройшов прискорює різниця потенціалів U = 1 кВ, влітає в однорідне магнітне поле з індукцією В = 3мТл перпендикулярно лініям магнітної індукції. Визначте: 1) силу, що діє на електрон; 2) радіус кола, по якій електрон рухається; 3) період обертання електрона.

дано: M = 9,11 ∙ 10 -31 кг; е = 1,6 ∙ 10 -19 Кл; U = 1 кВ = 1 ∙ 10 3 В; В = 3мТл = 3 ∙ 10 -3 Тл; α = 90º.

знайти: 1) F; 2) R; 3) T.

Рішення.При русі електрона в магнітному полі зі швидкістю υ на нього діє сила Лоренца

F л = eυBsinα,

де α - кут між векторами і (в нашому випадку α = 90º). тоді

При проходженні прискорює різниці потенціалів робота сил електростатичного поля йде на повідомлення електрону кінетичної енергії ,

Підставивши вираз (2) у формулу (1), знайдемо шукану силу, діючу на електрон,

З механіки відомо, що постійна сила, перпендикулярна швидкості, а нею і є сила Лоренца (1), викликає рух по колу. Вона повідомляє електрону нормальне прискорення, де R - радіус кола. За другим законом Ньютона F = ma, де F = eυB. тоді

звідки шуканий радіус кола з урахуванням (2)

Період обертання електрона

Підставивши вираз (3) і (2) в формулу (4), знайдемо шуканий період обертання електрона

відповідь: 1) F = 9 ∙ 10 -15 Н; 2) R = 3,56 см; 3) T = 11,9 нс.

Приклад.Протон, володіючи швидкістю υ = 10 4 м / с, влітає в однорідне магнітне поле з індукцією В = 10мТл під кутом α = 60º до напрямку ліній магнітної індукції. Визначте радіус R і крок h гвинтової лінії, по якій буде рухатися протон ..

дано: Υ = 10 4 м / с; е = 1,6 ∙ 10 -19 Кл; m = 1,67 ∙ 10 -27 кг; В = 10мТл = 10 ∙ 10 -3 Тл; α = 60º.

знайти: R; h.

Рішення.Рух протона в магнітному полі зі швидкістю, спрямованої під кутом α до вектора, відбувається по гвинтовий лінії (див. Малюнок). Для доказу цього розкладемо вектор швидкості на складові, паралельну (υ х = υcosα) і перпендикулярну (υ у = υsinα) вектору індукції.

Рух в напрямку поля відбувається з рівномірною швидкістю υ х, а в напрямку, перпендикулярному вектору, під дією сили Лоренца - по колу (= const, υ х = const). В результаті складання двох рухів траєкторія результуючого руху протона - гвинтова лінія (спіраль).

Сила Лоренца повідомляє протону нормальне прискорення (R- радіус кола). За другим законом Ньютона, F = m a n, де F л = eυ y B- сила Лоренца. тоді

Звідки шуканий радіус гвинтової лінії, по якій буде рухатися протон,

Крок гвинтової лінії дорівнює відстані, пройденого протоном уздовж осі ох за час одного повного обороту, тобто

h = υ x T = υTcosα, (1)

де період обертання

(2)

Підставивши формулу (2) в вираз (1), знайдемо шуканий крок гвинтової лінії

відповідь: R = 9.04мм; h = 3,28 см.

Приклад.Між пластинами плоского конденсатора, що знаходиться у вакуумі, створено однорідне магнітне поле напруженістю Н = 2кА / м. Електрон рухається в конденсаторі паралельно пластинам конденсатора і перпендикулярно напрямку магнітного поля зі швидкістю υ = 2 Мм / с. Визначте напругу U, прикладена до конденсатора, якщо відстань d між його пластинами становить 1,99 см ..

дано: Μ = 1; Н = 2кА / м = 2 ∙ 10 3 А / м; υ = 2 мм / с = 2 ∙ 10 6 м / с; d = 1,99 см = 1.99 ∙ 10 -2 м).

знайти: U.

Рішення. Припустимо, що магнітне поле направлено перпендикулярно кресленням від нас. Що зазначено на малюнку хрестиками. Електрон може рухатися перпендикулярно напрямку магнітного поля і паралельно пластинам конденсатора (при обраних напрямку магнітного поля і зарядах на пластинах) тільки так, як вказано на малюнку. При цьому кулоновская сила (У-напруженість електричного поля) Врівноважується силою Лоренца F л = eυB (її напрямок визначається за правилом лівої руки). тоді

Формула, що виражає зв'язок між магнітною індукцією і напруженість магнітного поля

Для випадку вакууму (μ = 1) має вигляд У = μ 0 Н, Підставивши цю формулу в вираз (1), знайдемо шукане напруга на пластинах конденсатора

відповідь: U = 100 B.

Приклад.Через перетин мідної пластинки (щільність міді ρ = 8,93 г / см 3) товщиною d = 0,1 мм пропускається струм I = 5 А. Платівка з струмом поміщається в однорідне магнітне поле з індукцією В = 0,5 Тл, перпендикулярний напрямку струму і ребру пластинки. Визначте виникає в платівці поперечну (холлівських) різниця потенціалів, якщо концентрація n вільних електронів дорівнює концентрації n "атомів провідника.

дано: ρ = 8,93 г / см 3 = 8,93 ∙ 10 3 кг / м 3; d = 0,1 мм = 1 ∙ 10 -4 м; I = 5A; В = 0,5 Тл; n = n ";М = 63,5 ∙ 10 -3 кг / моль.

знайти:Δφ..

Рішення.На малюнку показана металева пластинка з струмом щільністю в магнітному полі, перпендикулярному (як в умові завдання). при даному напрямкушвидкість носіїв струму в металах - електронів - спрямована справа наліво. Електрони відчувають дію сили Лоренца, яка в даному випадку спрямована вгору. У верхнього краю пластинки виникає підвищена концентрація електронів (він зарядиться негативно), а у нижнього - їх недолік (зарядиться позитивно). Тому між краями пластинки виникає додаткове поперечне електричне поле, спрямоване від низу до верху.

У разі стаціонарного розподілу зарядів в поперечному напрямку (напруженість Е В поперечного поля досягне такої величини, що його дія на заряди врівноважить силу Лоренца)

або Δφ = υВα (1)

де а- ширина пластинки; Δφ - поперечна (холлівських) різниця потенціалів.

Сила струму

I = jS = neυS = neυ a d, (2)

де S-площа поперечного перерізупластинки товщиною d; n- концентрація електронів; υ - середня швидкість упорядкованого руху електронів.

Підставивши (2) в (1), отримаємо

Згідно з умовою задачі, концентрація вільних електронів дорівнює концентрації атомів провідника. отже,

, (4)

де N A = 6,02 ∙ 10 23 моль -1 - постійна Авогадро; V m - молярний обсяг міді; М - молярна масаміді; ρ- її щільність.

Підставивши формулу (4) в вираз (3), знайдемо шукану

Приклад.Магнітна індукція В на осі тороїда без сердечника (зовнішній діаметр тороида d 1 = 60 см, внутрішній - d 2 = 40см), що містить N = 200 витків, становить 0,16 мТл. Користуючись теоремою про циркуляцію вектора, визначте силу струму в обмотці тороїда ..

дано: D 1 = 60 см= 0,6 м; d 2 = 40 см= 0,4 м; N = 200; B = 0,16 мТл = 0,16 ∙ 10 -3 Тл.

знайти: I.

Рішення.циркуляція вектора

, (1)

тобто дорівнює сумі алгебри струмів, які охоплюються контуром, вздовж якого обчислюється циркуляція, помноженої на магнітну постійну. Як контуру виберемо коло, розташовану так само, як і лінія магнітної індукції, тобто окружність деяким радіусом r, центр якої лежить на осі

тороида. З умови симетрії випливає, що модуль вектора у всіх точках лінії магнітної індукції однаковий, а тому вираз (1) можна записати у вигляді

(2)

(Врахували, що сила струму в усіх витках однакова, а контур охоплює число струмів, яка дорівнює кількостівитків тороїда). Для середньої лінії тороїда). Для середньої лінії тороїда. Підставивши r в (2), отримаємо шукану силу струму:

.

відповідь: I = 1 A

Приклад.В одній площині з нескінченним прямолінійним дротом, по якому тече струм I = 10А, розташована квадратна рамка зі стороною а = 15 см. Визначте магнітний потік Ф, що пронизує рамку, якщо дві сторони рамки паралельні проводу, а відстань d від проводу до найближчої сторони рамки становить 2 см.

дано: I = 10А; а = 15 см= 0,15 м; d = 2 см = 0,02 м.

знайти: Ф.

Рішення. Магнітний потік Ф крізь поверхню площею обчислюється за формулою:

Квадратна рамка знаходиться в неоднорідному полі прямого струму з індукцією

(Розглядаємо випадок вакууму), де х - відстань від проводу до розглянутої точки.

Магнітне поле створюється прямим струмом (напрямок показано на малюнку), і вектор перпендикулярний площині рамки (спрямований перпендикулярно до креслення від нас, що на малюнку зображено хрестиками), тому для всіх точок рамки В n = В.

Площа рамки розіб'ємо на вузькі елементарні майданчики шириною dx і площею a dx (див. малюнок), в межах яких магнітну індукцію можна вважати постійною. Тоді потік крізь елементарну площадку

. (1)

Проинтегрировав вираз (1) в межах від до, знайдемо шуканий магнітний потік

.

відповідь: Ф = 0,25 мкВб

Приклад.Круговий проводить контур радіусом r = 6см і струмом I = 2А встановився в магнітному полі так, що площина контуру перпендикулярна напрямку однорідного магнітного поля з індукцією В = 10мТл. Визначте роботу, яку слід зробити, щоб повільно повернути контур на кут щодо ос, що співпадає з діаметром контуру ..

дано: R = 6 см= 0,06 м; I = 2 А; B = 10 мТл = 10 ∙ 10 -3 Тл; .

знайти: А вн.

Рішення.Робота сил поля по переміщенню замкнутого провідника зі струмом I

A = I (Ф 2-Ф 1), (1)

де Ф 1 і Ф 2 - потоки магнітної індукції, що пронизують контури в початковому і кінцевому положеннях. Струм в контурі вважаємо постійним, так як при повільному повороті контуру в магнітному полі індукційними струмами можна знехтувати.

Потік магнітної індукції крізь плоский контур площею S в однорідному магнітному полі з індукцією В

де α- кут між вектором нормалі до поверхні контуру і вектором магнітної індукції.

В початковому положенні, Мал. a, Контуру (контур встановився вільно) потік магнітної індукції максимальний (α = 0; cosα = 1) і Ф 1 = BS (S- площа контуру), а в кінцевому положенні, рис. б (; cosα = 0), Ф 2 = 0.

Тоді, підставивши ці вирази у формулу (1), знайдемо, що

(Врахували, що площа кругового контуру S = πr 2).

Робота зовнішніх сил спрямована проти сил поля (дорівнює їй за модулем, але протилежна за знаком), тому шукана робота

A вн = πIBr 2.

Відповідь: А вн= 226 мкДж.