Область допустимих значень (ОДЗ) логарифму

Тепер поговоримо про обмеження (ОДЗ – область допустимих значень змінних).

Ми пам'ятаємо, що, наприклад, квадратне коріння не можна витягувати з негативних чисел; або якщо у нас дріб, то знаменник не може дорівнювати нулю. Подібні обмеження є і у логарифмів:

Тобто і аргумент, і підстава має бути більше нуля, а підстава ще й не може дорівнювати.

Чому так?

Почнемо із простого: припустимо, що. Тоді, наприклад, число не існує, оскільки в який би ступінь ми не зводили, завжди виходить. Більше того, не існує для жодного. Але при цьому може дорівнювати будь-чому (з тієї ж причини - в будь-якій мірі одно). Тому об'єкт не становить жодного інтересу, і його просто викинули з математики.

Схожа проблема у нас і у випадку: у будь-якій позитивній мірі - це, а в негативну його взагалі не можна зводити, оскільки вийде поділ на нуль (нагадаю, що).

При цьому ми зіткнемося з проблемою зведення в дробовий ступінь (яка представляється у вигляді кореня: наприклад, (тобто), а ось не існує.

Тому і негативні підстави простіше викинути, ніж возитися з ними.

Ну а оскільки підстава a у нас буває тільки позитивна, то в який би ступінь ми її не зводили, завжди отримаємо число позитивно. Отже, аргумент має бути позитивним. Наприклад, немає, оскільки у жодній мірі нічого очікувати негативним числом (і навіть банкрутом, тому теж немає).

У завданнях із логарифмами насамперед потрібно записати ОДЗ. Наведу приклад:

Вирішимо рівняння.

Згадаймо визначення: логарифм - це ступінь, у якому треба звести основу, щоб отримати аргумент. І за умовою, цей ступінь дорівнює: .

Отримуємо звичайне квадратне рівняння: . Вирішимо його за допомогою теореми Вієта: сума коренів дорівнює, а твір. Легко підібрати, це числа в.

Але якщо відразу взяти і записати обидва ці числа у відповіді, можна отримати 0 балів за завдання. Чому? Давайте подумаємо, що буде, якщо підставити це коріння в початкове рівняння?

Це явно неправильно, оскільки основа може бути негативним, тобто корінь - «сторонній».

Щоб уникнути таких неприємних каверз, потрібно записати ОДЗ ще до початку рішення рівняння:

Тоді, отримавши коріння і, одразу відкинемо корінь, і напишемо правильну відповідь.

Приклад 1(Спробуй вирішити самостійно) :

Знайдіть корінь рівняння. Якщо коріння кілька, у відповіді вкажіть менший із них.

Рішення:

Насамперед напишемо ОДЗ:

Тепер згадуємо, що таке логарифм: у який ступінь треба звести основу, щоб отримати аргумент? По-друге. Тобто:

Здавалося б, менший корінь дорівнює. Але це не так: згідно з ОДЗ корінь - сторонній, тобто це взагалі не корінь цього рівняння. Отже, рівняння має лише одне корінь: .

Відповідь: .

Основне логарифмічне тотожність

Згадаймо визначення логарифму у загальному вигляді:

Підставимо у другу рівність замість логарифм:

Ця рівність називається основним логарифмічною тотожністю . Хоча по суті ця рівність просто по-іншому записана визначення логарифму:

Це ступінь, в який потрібно звести, щоб здобути.

Наприклад:

Виріши ще такі приклади:

приклад 2.

Знайдіть значення виразу.

Рішення:

Згадаймо правило з розділу : тобто при зведенні ступеня в ступінь показники перемножуються. Застосуємо його:

приклад 3.

Доведіть, що.

Рішення:

Властивості логарифмів

На жаль, завдання не завжди такі прості - найчастіше спершу потрібно спростити вираз, привести його до звичного вигляду, і тільки потім буде можливо порахувати значення. Це найпростіше зробити, знаючи властивості логарифмів. Тож давай вивчимо основні властивості логарифмів. Кожне з них я доводитиму, адже будь-яке правило простіше запам'ятати, якщо знати, звідки воно береться.

Всі ці властивості потрібно обов'язково запам'ятати, без них більшість завдань з логарифмами вирішити не вдасться.

А тепер про всі властивості логарифмів докладніше.

Властивість 1:

Доказ:

Нехай тоді.

Маємо: , ч.т.д.

Властивість 2: Сума логарифмів

Сума логарифмів з однаковими підставами дорівнює логарифму твору: .

Доказ:

Нехай тоді. Нехай тоді.

Приклад:Знайдіть значення виразу: .

Рішення: .

Щойно вивчена формула допомагає спростити суму логарифмів, а чи не різницю, отже відразу ці логарифми не об'єднати. Але можна зробити навпаки - «розбити» перший логарифм на два: А ось обіцяне спрощення:
.
Для чого це потрібно? Ну наприклад: чому одно?

Тепер очевидно, що.

Тепер спрости сам:

Завдання:

Відповіді:

Властивість 3: Різниця логарифмів:

Доказ:

Все так само, як і в пункті 2:

Нехай тоді.

Нехай тоді. Маємо:

Приклад із минулого пункту тепер стає ще простіше:

Приклад складніше: . Здогадаєшся сам, як вирішити?

Тут треба зауважити, що в нас немає жодної формули про логарифми у квадраті. Це щось схоже на вираз - таке відразу не спростити.

Тому відвернемося від формул про логарифми і подумаємо, які взагалі формули ми використовуємо в математиці найчастіше? Ще починаючи з 7 класу!

Це – . Потрібно звикнути до того, що вони скрізь! І в показових, і в тригонометричних, і в ірраціональних завданнях вони трапляються. Тому їх слід обов'язково пам'ятати.

Якщо придивитися до перших двох доданків, стає ясно, що це різницю квадратів:

Відповідь для перевірки:

Спрости сам.

Приклади

Відповіді.

Властивість 4: Винесення показника ступеня з аргументу логарифму:

Доказ:І тут теж використовуємо визначення логарифму: нехай тоді. Маємо: , ч.т.д.

Можна зрозуміти це правило так:

Тобто міра аргументу виноситься вперед логарифма, як коефіцієнт.

Приклад:Знайдіть значення виразу.

Рішення: .

Виріши сам:

Приклади:

Відповіді:

Властивість 5: Винесення показника ступеня з основи логарифму:

Доказ:Нехай тоді.

Маємо: , ч.т.д.
Запам'ятовуємо: із підставиступінь виноситься як зворотнечисло, на відміну від попереднього випадку!

Властивість 6: Винесення показника ступеня з основи та аргументу логарифму:

Або якщо ступені однакові: .

Властивість 7: Перехід до нової основи:

Доказ:Нехай тоді.

Маємо: , ч.т.д.

Властивість 8: Заміна місцями основи та аргументу логарифму:

Доказ:Це окремий випадокформули 7: якщо підставити, отримаємо: ч.т.д.

Розглянемо ще кілька прикладів.

приклад 4.

Знайдіть значення виразу.

Використовуємо властивість логарифмів № 2 - сума логарифмів з однаковою основоюдорівнює логарифму твору:

Приклад 5.

Знайдіть значення виразу.

Рішення:

Використовуємо властивість логарифмів №3 та №4:

Приклад 6.

Знайдіть значення виразу.

Рішення:

Використовуємо властивість № 7 – перейдемо до основи 2:

Приклад 7.

Знайдіть значення виразу.

Рішення:

Як тобі стаття?

Якщо ти читаєш ці рядки, то ти прочитав усю статтю.

І це круто!

А тепер розкажи нам як тобі стаття?

Навчився ти вирішувати логарифми? Якщо ні, то в чому проблема?

Пиши нам у коментарях нижче.

І, так, удачі на іспитах.

На ЄДІ та ОДЕ та взагалі в житті

З програми середньої школи відомо, що

будь-яке позитивне число можна представити як число 10 певною мірою.

Однак це просто у тому випадку, коли число кратне 10.
приклад :

• число100 – це 10х10 або 102
• число 1000 - це 10х10х10 або 103
• іі т.д.

Як же бути в тому випадку, якщо, наприклад, треба виразити число 8299 як число 10 певною мірою? Як знайти це число з певним ступенем точності, яке в даному випадкуодно 3,919 ...?

Вихід - це логарифм та логарифмічні таблиці

Знання логарифмів та вміння користуватися логарифмічними таблицями дозволяє значно спростити багато складних арифметичних операцій. практичного застосуваннязручні десяткові логарифми.

Історична довідка.
Принцип, що лежить в основі будь-якої системи логарифмів, відомий дуже давно і може бути простежений вглиб історії аж до давньовилонської математики (близько 2000 року до н.е.). Однак перші таблиці логарифмів склали незалежно одна від одної шотландський математик HUДж. Непер (1550-1617) U Hі швейцарець І. Бюргі (1552-1632). Перші таблиці десяткових логарифмів були складені та опубліковані англійським математикомГ. Бріггсом (1561 -1630).

Пропонуємо читачеві, не вдаючись глибоко в математичну суть питання, запам'ятати або відновити в пам'яті кілька найпростіших визначень, висновків та формул:

• Визначення логарифма.

Логарифмом даного числа називається показник ступеня, в який потрібно звести інше число, яке називається основою логарифму (а ), щоб отримати це число.

• При будь-якій підставі, логарифм одиниці є нуль:

а0 = 1

• Негативні числа не мають логарифмів
• Будь-яке позитивне число має логарифм
• При підставі, більшій за 1, логарифми чисел, менших за 1, негативні, а логарифми чисел, більших за 1, позитивні
• Логарифм основи дорівнює 1
• Більшій кількості відповідає більший логарифм
• Зі зростанням числа від 0 до 1 логарифм його зростає від-∞ до 0; зі зростанням числа від 1 до+∞ логарифм його зростає від 1 до+∞ (де, ±∞ − знак, прийнятий у математиці для позначення негативної чи позитивної нескінченності чисел)
• Для практичного застосування зручні логарифми, основою яких є число10

Ці логарифми називаються десятковими та позначаютьсяlg . Наприклад:

• логарифм числа 10 на підставі 10 дорівнює 1. Інакше висловлюючись, число 10 треба звести першу ступінь, щоб одержати число 10 (101 = 10), тобто.lg10 = 1
• логарифм числа 100 на підставі 10 дорівнює 2. Інакше висловлюючись, число 10 треба звести у квадрат, щоб одержати число 100 (102 = 100), тобто. lg100 = 2

U Висновок №1 U : логарифм цілого числа, що зображується одиницею з нулями, є ціле позитивне число, що містить стільки одиниць, скільки нулів у зображенні числа

• логарифма числа 0,1 на підставі 10 дорівнює -1. Інакше висловлюючись, число 10 треба звести на мінус перший ступінь, щоб одержати число 0,1 (10-1 = 0,1), тобто.lg0,1 = -1
• логарифма числа 0,01 на підставі 10 дорівнює -2. Інакше висловлюючись, число 10 треба звести на мінус другий ступінь, щоб одержати число 0,1 (10-2 = 0,01), тобто.lg0,01 = -2

U Висновок №2 U : логарифм десяткового дробу, що зображується одиницею з попередніми нулями, є ціле негативне число, що містить стільки негативних одиниць, скільки нулів у зображенні дробу, вважаючи, в тому числі, і 0 цілих

• відповідно до визначення №1 (див. вище):

lg1 = 0

• логарифм числа 8300 на підставі 10 дорівнює 3,9191… Інакше висловлюючись, число 10 треба звести на ступінь 3,9191… , щоб одержати число 8300 (103,9191…= 8300), тобто. lg8300 = 3,9191 ...

U Висновок №3 U : логарифма числа, не вираженого одиницеюз нулями є число ірраціональне і, отже, не може бути виражений точно за допомогою цифр.
Зазвичай ірраціональні логарифми виражають приблизно у вигляді десяткового дробу з кількома десятковими знаками. Ціла кількість цього дробу (хоча б це було „0 цілих") називається характеристикою, а дробова частина — мантисоюлогарифму. Якщо, наприклад, логарифм є 1,5441 , то характеристика його дорівнює 1 , а мантіса є 0,5441 .

• Основні властивості логарифмів, зокрема. десяткових:
• логарифм твору дорівнює сумілогарифмів співмножників:lg( a. b)= lgа + lgb
• логарифм частки дорівнює логарифму діленого без логарифму дільника, тобто. логарифм дробу дорівнює логарифму чисельника без логарифму знаменника:

• логарифми двох взаємозворотних чисел по тому самому підставі відрізняються один від одного тільки знаком

• логарифм ступеня дорівнює творупоказника ступеня логарифм її підстави, тобто. логарифм ступеня дорівнює показнику цього ступеня, помноженому на логарифм, що зводиться в ступінь числа:

lg( bk) = k. lg b

Щоб остаточно зрозуміти, що таке десятковий логарифм довільного числа, розглянемо детально кілька прикладів.

U Приклад №2.1.1 U.
Візьмемо якесь ціле, наприклад 623 і змішане число, наприклад 623,57.
Ми знаємо, що логарифм числа складається з характеристики та мантиси.
Порахуємо, скільки цифр у даному цілому числі, чи в цілій частині змішаного числа. У прикладах цих цифр 3.
Тому кожне з чисел 623 і 623,57 більше за 100, але менше за 1000.
Таким чином можна зробити висновок, що логарифм кожного з цих чисел буде більше lg 100, тобто більше 2, але менше lg 1000, тобто менше 3 (згадаємо, що більше має і більший логарифм).
Отже:
lg 623 = 2,...
lg 623,57 = 2,...
(Точки замінюють собою невідомі мантиси).

U Висновок №4 U : десяткові логарифми мають ту зручність, що їх характеристику завжди можна знайти по одному виду числа .

Нехай взагалі в даному числі, або в цілій частині даного змішаного числа, міститься m цифр. Оскільки найменше ціле число, що містить m цифр, є одиниця з m-1 нулями на кінці, то (позначаючи це число N) можемо написати нерівність:

отже,
m-1< lg N < m,
тому
lg N = (m-1) + позитивний дріб.
значить
характеристика lgN = m-1

U Висновок №5 U : характеристика десяткового логарифмуцілого чи змішаного числа містить стільки позитивних одиниць, скільки цифр у цілій частині числа без однієї.

U Приклад №2.1.2.

Тепер візьмемо кілька десяткових дробів, тобто. чисел менших 1 (тобто мають 0 цілих):
0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008 тощо.
Логарифми кожного з цих чисел будуть у проміжку між двома цілими негативними числами, що розрізняються на одну одиницю. Причому кожен із них дорівнює меншому з цих негативних чисел, збільшеному на деякий позитивний дріб.
Наприклад,
lg0,0056 = -3 + позитивний дріб
У даному випадку позитивний дріб дорівнюватиме 0,7482.
Тоді:
lg 0,0056 = -3 + 0,7482
U Примітки U:
Такі суми, як -3 + 0,7482, що складаються з цілого негативного числата позитивного десяткового дробу, умовилися при логарифмічних обчисленнях писати скорочено так:
,7482
(Таке число читається: з мінусом, 7482 десятитисячних), тобто ставлять знак мінус над характеристикою з метою показати, що він відноситься тільки до цієї характеристики, а не до мантиси, яка залишається позитивною.

Таким чином, наведені вище числа можна записати у вигляді десяткових логарифмів
lg 0,35 =, …
lg 0,07 =, …
lg 0,00008 =, …
Нехай взагалі число A є десятковий дріб, у якого перед першою цифрою α стоїть m нулів, вважаючи, в тому числі, і 0 цілих:

тоді, очевидно, що

Отже:

тобто.
-m< log A < -(m-1).
Бо з двох цілих чисел:
-m та -(m-1) менше є -m
то
lg А = -m + позитивний дріб

U Висновок №6 U : характеристика логарифму десяткового дробу, тобто. числа меншого 1 містить у собі стільки негативних одиниць, скільки нулів у зображенні десяткового дробу перед першою значущою цифрою, вважаючи, в тому числі, і нуль цілих; мантиса ж такого логарифму позитивна

Приклад №2.1.3.

Помножимо якесь число N (ціле або дробове — все одно) на 10, на 100 на 1000..., взагалі на 1 c нулями, і подивимося, як від цього зміниться lg N.
Оскільки логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників, то
lg (N.10) = lg N + lg 10 = lg N + 1;
lg (N.100) = lg N + lg 100 = lg N + 2;
lg (N.1000) = lg N + lg 1000 = lg N + 3 і т.д.

Коли до lg N ми додаємо якесь ціле число, то це число завжди додається до характеристики; при цьому мантіса завжди залишається в цих випадках незмінною.

приклад
якщо lg N = 2,7804, то 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801 тощо;
або якщо lg N = 3,5649, то 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 – 2 = 1,5649, тощо.

Висновок №7 : від множення числа на 10, 100, 1000,.., взагалі на 1 з нулями, мантиса логарифму не змінюється, а характеристика збільшується на стільки одиниць, скільки нулів у множнику.

Подібно до цього, взявши до уваги, що логарифм приватного дорівнює логарифму дільника, що ділиться без логарифму, ми отримаємо:
lg N/10 = lg N - lg 10 = lg N - 1;
lg N/100 = log N - log 100 = log N - 2;
log N/1000 = log N - log 1000 = log N - 3 і т.п.
Коли з lg N віднімається ціле число з логарифму віднімати це ціле число завжди випливає з характеристики, а мантису залишати без зміни. то можна сказати:

Висновок №8 : Від розподілу числа на 1 з нулями мантиса логарифму не змінюється, а характеристика зменшується на стільки одиниць, скільки нулів у дільнику.

Висновок №9 : мантиса логарифму десяткового числа не змінюється від перенесення в числі коми, тому що перенесення коми рівносильне множенню або поділу на 10, 100, 1000 і т.д.

Таким чином, логарифми чисел:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
відрізняються лише характеристиками, але з мантисами (за умови, що це мантиси позитивні).

Висновок №9 : мантиси чисел, які мають ту саму значну частину, але відрізняються тільки нулями на кінці, однакові: так, логарифми чисел: 23, 230, 2300, 23 000 відрізняються лише характеристиками.

Отже, маємо ступеня двійки. Якщо взяти число з нижнього рядка, можна легко знайти ступінь, у якому доведеться звести двійку, щоб вийшло це число. Наприклад, щоб отримати 16, треба два звести до четвертого ступеня. А щоб отримати 64, треба два звести на шостий ступінь. Це видно з таблиці.

А тепер — власне визначення логарифму:

Логарифм з підстави a від аргументу x — це ступінь, у якому треба звести число a щоб отримати число x .

Позначення: log a x = b , де a - основа, x - аргумент, b - власне, чому дорівнює логарифм.

Наприклад, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм на підставі 2 від числа 8 дорівнює трьом, оскільки 2 3 = 8). З тим самим успіхом log 2 64 = 6, оскільки 2 6 = 64.

Операцію знаходження логарифму числа за заданою основою називають логарифмуванням. Отже, доповнимо нашу таблицю новим рядком:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

На жаль, не всі логарифми вважаються так легко. Наприклад, спробуйте знайти log 2 5. Числа 5 немає в таблиці, але логіка підказує, що логарифм лежатиме десь на відрізку . Тому що 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такі числа називаються ірраціональними: цифри після коми можна писати нескінченно, і вони ніколи не повторюються. Якщо логарифм виходить ірраціональним, його краще і залишити: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важливо розуміти, що логарифм — це вираз із двома змінними (підстава та аргумент). Багато хто спочатку плутає, де знаходиться підстава, а де — аргумент. Щоб уникнути прикрих непорозумінь, просто погляньте на картинку:

Перед нами не що інше як визначення логарифму. Згадайте: логарифм - це ступінь, В яку треба звести підставу, щоб отримати аргумент. Саме основа зводиться у ступінь — на картинці вона виділена червоною. Виходить, що основа завжди знаходиться внизу! Це чудове правило я розповідаю своїм учням на першому занятті — і ніякої плутанини не виникає.

З визначенням розібралися – залишилося навчитися рахувати логарифми, тобто. позбавлятися знаку «log». Для початку зазначимо, що з визначення випливає два важливі факти:

1. Аргумент і основа завжди повинні бути більшими за нуль. Це випливає з визначення ступеня раціональним показником, До якого зводиться визначення логарифму.
2. Підстава повинна бути відмінною від одиниці, оскільки одиниця в будь-якій мірі все одно залишається одиницею. Через це питання «у яку міру треба звести одиницю, щоб отримати двійку» позбавлене сенсу. Немає такої міри!

Такі обмеження називаються областю допустимих значень(ОДЗ). Виходить, що ОДЗ логарифму має такий вигляд: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Зауважте, що жодних обмежень на число b (значення логарифму) не накладається. Наприклад, логарифм може бути негативним: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1.

Втім, зараз ми розглядаємо лише числові вирази, де знати ОДЗ логарифму не потрібно. Усі обмеження вже враховані упорядниками завдань. Але коли підуть логарифмічні рівняння та нерівності, вимоги ОДЗ стануть обов'язковими. Адже в основі та аргументі можуть стояти вельми неслабкі конструкції, які зовсім необов'язково відповідають наведеним вище обмеженням.

Тепер розглянемо загальну схему обчислення логарифмів. Вона складається із трьох кроків:

1. Уявити основу a і аргумент x у вигляді ступеня з мінімально можливою основою, більшою за одиницю. Принагідно краще позбутися десяткових дробів;
2. Вирішити щодо змінної рівняння: x = a b ;
3. Отримане число b буде відповіддю.

Ось і все! Якщо логарифм виявиться ірраціональним, це буде видно вже на першому етапі. Вимога, щоб основа була більше одиниці, дуже актуальна: це знижує ймовірність помилки та значно спрощує викладки. Аналогічно з десятковими дробами: якщо відразу перевести їх у звичайні, помилок буде в рази менше

Подивимося, як працює ця схема на конкретних прикладах:

Завдання. Обчисліть логарифм: log 5 25

1. Представимо основу та аргумент як ступінь п'ятірки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;
2. Складемо і розв'яжемо рівняння:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Отримали відповідь: 2.

Завдання. Обчисліть логарифм:

Завдання. Обчисліть логарифм: log 4 64

1. Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Складемо і розв'яжемо рівняння:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Отримали відповідь: 3.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 16 1

1. Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. Складемо і розв'яжемо рівняння:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Отримали відповідь: 0.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 7 14

1. Представимо основу та аргумент як ступінь сімки: 7 = 7 1 ; 14 у вигляді ступеня сімки не представляється, оскільки 7 1< 14 < 7 2 ;
2. З попереднього пункту випливає, що логарифм не рахується;
3. Відповідь без змін: log 7 14.

Невелике зауваження до останнього прикладу. Як переконатися, що число не є точним ступенем іншого числа? Дуже просто - достатньо розкласти його на прості множники. І якщо такі множники не можна зібрати у ступеня з однаковими показниками, то й вихідне число не є точним ступенем.

Завдання. З'ясуйте, чи є точними ступенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - Точний ступінь, т.к. множник лише один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не є точним ступенем, оскільки є два множники: 3 і 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точний ступінь;
35 = 7 · 5 - знову не є точним ступенем;
14 = 7 · 2 - знову не точний ступінь;

Зауважимо також, що самі прості числазавжди є точними ступенями самих себе.

Десятковий логарифм

Деякі логарифми зустрічаються настільки часто, що мають спеціальну назву та позначення.

Десятковий логарифм від аргументу x - це логарифм на підставі 10, тобто. ступінь, у яку треба звести число 10, щоб одержати число x . Позначення: lg x.

Наприклад, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - і т.д.

Відтепер, коли у підручнику зустрічається фраза типу «Знайдіть lg 0,01», знайте: це не друкарська помилка. Це десятковий логарифм. Втім, якщо вам незвично таке позначення, його можна переписати:
lg x = log 10 x

Все, що правильне для простих логарифмів, вірно і для десяткових.

Натуральний логарифм

Існує ще один логарифм, який має власну позначку. У певному сенсі він навіть більш важливий, ніж десятковий. Йдеться про натуральний логарифм.

Натуральний логарифм від аргументу x - це логарифм на основі e, тобто. ступінь, в яку треба звести число e щоб отримати число x . Позначення: ln x.

Багато хто запитає: що за число e ? Це ірраціональне число, його точне значення знайти та записати неможливо. Наведу лише перші його цифри:
e = 2,718281828459...

Не заглиблюватимемося, що це за число і навіщо потрібно. Просто пам'ятайте, що e - основа натурального логарифму:
ln x = log e x

Отже, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - і т.д. З іншого боку, ln 2 - Ірраціональне число. Взагалі, натуральний логарифм будь-якого раціонального числаірраціональний. Крім, очевидно, одиниці: ln 1 = 0.

Для натуральних логарифмівсправедливі всі правила, які правильні для звичайних логарифмів.

ВИЗНАЧЕННЯ

Десятичним логарифмомназивається логарифм на підставі 10:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Цей логарифм є рішенням показового рівняння. Іноді (особливо в зарубіжної літератури) десятковий логарифм позначається ще як , хоча перші два позначення притаманні натуральному логарифму.

Перші таблиці десяткових логарифмів були опубліковані англійським математиком Генрі Брігсом (1561-1630) в 1617 (тому іноземні вчені часто називають десяткові логарифми ще бригсовими), але ці таблиці містили помилки. На основі таблиць (1783 р.) словенського та австрійського математики Георга Барталомея Веги (Юрій Веха або Веховець, 1754-1802) у 1857 р. німецький астроном і геодезист Карл Бремікер (1804-1877) опублікував першу За участю російського математика та педагога Леонтія Пилиповича Магницького (Телятин або Теляшин, 1669-1739) у 1703 р. в Росії були видані перші таблиці логарифмів. Десяткові логарифми широко застосовувалися для обчислень.

Властивості десяткових логарифмів

Цей логарифм має всі властивості, властиві логарифму з довільної основи:

1. Основне логарифмічне тотожність:

5. .

7. Перехід до нової основи:

Функція десяткового логарифму - це функція . Графік цієї кривої часто називають логарифмікою.

Властивості функції y=lg x

1) Область визначення: .

2) Безліч значень: .

3) Функція загального виду.

4) Функція неперіодична.

5) Графік функції перетинається з віссю абсцис у точці.

6) Проміжки знакостійності: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} та для .