Відображають дифракційні грати розрахунок кута падіння. Як знайти період дифракційної решітки? Застосування дифракційних грат

Грати збоку виглядають подібним чином.

Застосування також знаходять відбивні грати, які отримані нанесенням алмазним різцем на поліровану поверхню металу тонких штрихів Відбитки на желатині або пластиці після такого гравіювання називають реплікамиале такі дифракційні решітки зазвичай низької якості, тому застосування їх обмежене. Хорошими відбивними ґратами вважаються такі, у яких повна довжина становить близько 150 мм, за загальної кількості штрихів – 600 шт/мм.

Основні характеристики дифракційної решітки – це загальне числоштрихів N, густота штрихування n (кількість штрихів, що припадає на 1 мм) та період(постійна) решітки d, яку можна знайти як d = 1/n.

Решітка освітлена одним фронтом хвилі та її N прозорих штрихів прийнято розглядати як N когерентних джерел.

Якщо згадати явище інтерференціївід багатьох однакових джерел світла, то інтенсивність світлавиражається відповідно до закономірності:

де i 0 – інтенсивність світлової хвилі, яка пройшла через одну щілину

Виходячи з поняття максимальної інтенсивності хвилі, отриманого за умови:

β = mπ при m = 0, 1, 2 і т.д.

Перейдемо від допоміжного кутаβ до просторового кута спостереження Θ, і тоді:

(π d sinΘ)/λ = m π,

Головні максимуми з'являються за умови:

sinΘ м = m λ/ d, при m = 0, 1, 2 і т.д.

Інтенсивність світла в головних максимумахможна знайти згідно з формулою:

I м = N 2 i 0.

Тому потрібно виготовляти грати з малим періодом d, тоді існує можливість отримання великих кутів розсіювання променівта широкої дифракційної картини.

Наприклад:

На продовженні попереднього прикладурозглянемо випадок, коли у першому максимумі червоні промені (λ кр = 760 нм) відхилиться на кут Θ до = 27°, а фіолетові (λ ф = 400 нм) відхилиться на кут Θ ф = 14°.

Видно, що за допомогою дифракційних ґрат існує можливість вимірювання довжини хвилітого чи іншого кольору. Для цього просто потрібно знати період решітки та виміряти кут, але який відхилився промінь, що відповідає необхідному світлу.

Одними з відомих ефектів, що підтверджують хвильову природу світла, є дифракція та інтерференція. Головна сфера їх застосування - спектроскопія, в якій для аналізу спектрального складу електромагнітного випромінюваннявикористовують дифракційні грати. Формула, яка визначає становище основних максимумів, що даються цими ґратами, у цій статті.

У чому полягають явища дифракції та інтерференції?

Перш ніж розглядати висновок формули дифракційної решітки, слід познайомитися з явищами, завдяки яким ці грати виявляються корисними, тобто з дифракцією та інтерференцією.

Вам буде цікаво:

Дифракція - це процес зміни руху хвильового фронту, коли на своєму шляху він зустрічає непрозору перешкоду, розміри якої можна порівняти з довжиною хвилі. Наприклад, якщо через маленький отвір пропустити сонячне світло, то на стіні можна спостерігати не маленьку крапку, що світиться (що мало статися, якби світло поширювалося по прямій лінії), а пляма деяких розмірів, що світиться. Цей факт свідчить про хвильову природу світла.

Інтерференція - ще одне явище, яке характерне виключно хвиль. Його суть полягає у накладенні хвиль один на одного. Якщо хвильові коливання від кількох джерел узгоджені (є когерентними), тоді можна спостерігати стійку картину з світлих і темних областей, що чергуються на екрані. Мінімуми на такій картині пояснюються приходом хвиль в дану точку в протифазі (pi і -pi), а максимуми є результатом попадання в точку хвиль, що розглядається, в одній фазі (pi і pi).

Обидва описані явища вперше пояснив англієць Томас Юнг, коли досліджував дифракцію монохроматичного світла на двох тонких щілинах у 1801 році.

Принцип Гюйгенса-Френеля та наближення далекого та ближнього полів

Математичний опис явищ дифракції та інтерференції є нетривіальним завданням. Знаходження точного її вирішення вимагає виконання складних розрахунків із залученням максвелівської теорії електромагнітних хвиль. Проте у 20-ті роки XIXстоліття француз Огюстен Френель показав, що, використовуючи уявлення Гюйгенса про вторинні джерела хвиль, можна з успіхом описувати ці явища. Ця ідея призвела до формулювання принципу Гюйгенса-Френеля, який нині є основою виведення всіх формул для дифракції на перешкодах довільної форми.

Проте навіть за допомогою принципу Гюйгенса-Френеля вирішити задачу дифракції в загальному виглядіне вдається, тому при отриманні формул вдаються до деяких наближень. Головним є плоский хвильовий фронт. Саме така форма хвилі має падати на перешкоду, щоб можна було спростити низку математичних викладок.

Наступне наближення полягає в положенні екрану, куди проектується дифракційна картина щодо перешкоди. Це положення описується числом Френеля. Воно обчислюється так:

Де a - геометричні розміриперешкоди (наприклад, щілини або круглого отвору), - довжина хвилі, D - дистанція між екраном і перешкодою. Якщо для конкретного експерименту F

Різниця між дифракціями Фраунгофера та Френеля полягає у різних умовах для явища інтерференції на маленькій та великій відстанях від перешкоди.

Висновок формули головних максимумів дифракційних ґрат, який буде наведено далі у статті, передбачає розгляд дифракції Фраунгофера.

Дифракційні грати та її види

Ця решітка є пластинкою зі скла або прозорого пластику розміром в кілька сантиметрів, на яку нанесені непрозорі штрихи однакової товщини. Штрихи розташовані на постійній відстані один від одного. Ця відстань носить назву періоду ґрат. Дві інші важливі характеристики приладу - це постійна решітки a і число прозорих щілин N. Величина a визначає кількість щілин на 1 мм довжини, тому вона пропорційна назад періоду d.

Існує два типи дифракційних грат:

Прозора, яка описана вище. Дифракційна картина від таких грат виникає в результаті проходження через неї хвильового фронту.
Відбиває. Вона виготовляється за допомогою нанесення маленьких борозенок на гладку поверхню. Дифракція та інтерференція від такої платівки виникають за рахунок відбиття світла від вершин кожної борозенки.

Хоч би який був тип решітки, ідея її на хвильовий фронт полягає у створенні періодичного обурення у ньому. Це призводить до утворення великої кількості джерел, когерентних, результатом інтерференції яких є дифракційна картина на екрані.

Основна формула дифракційної решітки

Висновок цієї формули передбачає розгляд залежності інтенсивності випромінювання від кута падіння його на екран. У наближенні далекого поля виходить така формула інтенсивності I(θ):

I(θ) = I0*(sin(β)/β)2*2, де

α = pi*d/λ*(sin(θ) - sin(θ0));

β = pi*a/λ*(sin(θ) - sin(θ0)).

У формулі ширина щілини дифракційної ґрати позначається символом a. Тому множник у круглих дужках відповідає за дифракцію на одній щілині. Величина d – це період дифракційної решітки. Формула показує, що множник у квадратних дужках, де з'являється цей період, визначає інтерференцію від сукупності щілин решітки.

Користуючись наведеною формулою, можна розрахувати значення інтенсивності будь-якого кута падіння світла.

Якщо знаходити значення максимумів інтенсивності I(θ), можна дійти висновку, що вони з'являються за умови, що α = m*pi, де m є будь-яким цілим числом. Для умови максимумів отримуємо:

m*pi = pi*d/λ*(sin(θm) - sin(θ0)) =>

sin(θm) - sin(θ0) = m*λ/d.

Отримане вираз називається формулою максимумів дифракційних ґрат. Числа m – це порядок дифракції.

Інші способи запису основної формули для решітки

Зауважимо, що у наведеній у попередньому пункті формулі є член sin(θ0). Тут кут θ0 відбиває напрямок падіння фронту світлової хвилі щодо площини решітки. Коли фронт падає паралельно до цієї площини, то θ0 = 0o. Тоді отримуємо вираз для максимумів:

sin(θm) = m*λ/d.

Оскільки постійна решітки a (не плутати із шириною щілини) обернено пропорційна величині d, то через постійну дифракційної решітки формула вище перепишеться у вигляді:

sin(θm) = m*λ*a.

Щоб не виникало помилок під час встановлення конкретних чисел λ, a і d у ці формули, слід завжди використовувати відповідні одиниці СІ.

Поняття про кутову дисперсію решітки

Будемо позначати цю величину буквою D. Згідно з математичним визначенням, вона записується такою рівністю:

Фізичний зміст кутової дисперсії D полягає в тому, що вона показує, на який кут dθm зміститься максимум порядку дифракції m, якщо змінити довжину падаючої хвилі на dλ.

Якщо застосувати цей вираз для рівняння ґрат, тоді вийде формула:

D = m/(d*cos(θm)).

Дисперсія кутова дифракційних ґрат визначається за формулою вище. Видно, що величина D залежить від порядку m та від періоду d.

Чим більше дисперсія D, тим вище здатність даної решітки.

Роздільна здатність решітки

Під роздільною здатністю розуміють фізичну величинуяка показує, на яку мінімальну величину можуть відрізнятися дві довжини хвилі, щоб їх максимуми на дифракційній картині з'являлися окремо.

Роздільна здатність визначається критерієм Релея. Він говорить: два максимуми можна розділити на дифракційної картині, якщо відстань між ними виявляється більшою за півширину кожного з них. Кутова півширина максимуму для грат визначається за формулою:

Δθ1/2 = λ/(N*d*cos(θm)).

Роздільна здатність решітки відповідно до критерію Релея дорівнює:

Δθm>Δθ1/2 або D*Δλ>Δθ1/2.

Підставляючи значення D та Δθ1/2, отримуємо:

Δλ*m/(d*cos(θm))>λ/(N*d*cos(θm) =>

Δλ > λ/(m*N).

Це і є формула роздільної здатності дифракційної решітки. Чим більше число штрихів N на платівці і чим вище порядок дифракції, тим більша здатність для даної довжини хвилі λ.

Дифракційні грати в спектроскопії

Випишемо ще раз основне рівняння максимумів для решітки:

sin(θm) = m*λ/d.

Тут видно, що чим більше довжина хвилі падає на платівку зі штрихами, тим при більших значеннях кутів з'являтимуться максимуми на екрані. Іншими словами, якщо через пластинку пропустити немонохроматичне світло (наприклад, біле), то на екрані можна бачити появу кольорових максимумів. Починаючи від центрального білого максимуму (дифракція нульового порядку), далі з'являтимуться максимуми для більш коротких хвиль (фіолетовий, синій), а потім для більш довгих (помаранчевий, червоний).

Інший важливий висновок з цієї формули залежить від кута θm від порядку дифракції. Що більше m, то більше значення θm. Це означає, що кольорові лінії будуть сильніше розділені між собою на максимумах високого порядкудифракції. Цей факт вже був освячений, коли розглядалася роздільна здатність грат (див. попередній пункт).

Описані здібності дифракційної решітки дозволяють використовувати її для аналізу спектрів випромінювання різних об'єктів, що світяться, включаючи далекі зірки і галактики.

Приклад розв'язання задачі

Покажемо, як скористатися формулою дифракційної решітки. Довжина хвилі світла, що падає ґрати, дорівнює 550 нм. Необхідно визначити кут, у якому з'являється дифракція першого порядку, якщо період d дорівнює 4 мкм.

θ1 = arcsin(λ/d).

Перекладаємо всі дані в одиниці СІ та підставляємо в цю рівність:

θ1 = arcsin(550*10-9/(4*10-6)) = 7,9o.

Якщо екран перебуватиме на відстані 1 метр від ґрат, то від середини центрального максимуму лінія першого порядку дифракції для хвилі 550 нм з'явиться на відстані 13,8 см, що відповідає куту 7,9o.

Дифракцією називається огинання світлом перешкод. Саме по собі обгинання цілком зрозуміло, якщо взяти до уваги хвильову природу світла (скоріше вимагає пояснення прямолінійне поширення світла, тобто відсутність дифракції в багатьох випадках). Зазвичай дифракція супроводжується появою максимумів і мінімумів інтенсивності світла, тобто. інтерференцією. Останнє явище потребує пояснення.

Ми зупинимося на одному типі дифракції - дифракції Франунгофера. Це - дифракція в паралельних променях. Розглянемо дифракцію на одній щілині. Нехай на вузьку щілину, зроблену в непрозорому екрані, падає нормально до екрану паралельний пучок світла. Проходячи щілину, світло огинає її краю. Це обгинання сприймається на будь-яких відстанях від щілини. Ми розглянемо дифракцію далеко від екрану, теоретично - в нескінченності.

На практикі для реалізації досвіду вдаються до допомоги зорової труби, яка налаштовується на нескінченність. Схема досвіду виявлена на Коліматор До пропускає пучок паралельних променів від джерела світла А. У трубу Т під різними кутами до падаючого пучка спостерігають світло, що пройшов через щілину. Якби дифракції не було, то світло проходило б тільки в напрямку падаючого пучка. Однак відбувається огинання світлом країв щілини, і світло спостерігається під кутами, відмінними від нуля. Більше того, спостерігаються смуги інтерференції.

Розглянемо теорію цього явища, вважаючи, що падаючий світло монохроматичний. Відразу ж поставимо питання: під якими кутами спостерігаються максимуми і мінімуми світла? Розглянемо світло, що пройшло через щілину під кутом. По відношенню до цього куту розіб'ємо хвильову поверхню, що вирізується щілиною, на смужки з таким розрахунком, щоб різниця ходу між двома пучками світла від сусідніх смужок дорівнювала півхвилі (/2). Будемо спиратися на принцип Гюйгенса, розглядаючи смужки як вторинні джерела світла, від яких "біжать" напівциліндричні хвилі. Френель доповнив принцип Гюйгенса припущенням, що вторинні хвилі когерентні між собою. Цим доповненням і скористаємось. Зауважимо, що згадані смужки хвильової поверхні називаються зонами Френеля. Різниця ходу променів, що утворюються двома сусідніми зонами Френеля, дорівнює /2 (за побудовою). Отже, за умовою мінімумів інтерференції вони повинні гасити один одного. Припустимо, що кут вибраний таким чином, що на щілини укладається парне числозон Френеля. Світло від кожної зони буде погашене світлом сусідньої зони, і під таким кутом у нескінченності має спостерігатися мінімум. Число зон на щілини визначається так:

Де а - ширина щілини.

Отже, умова мінімумів записується наступним чином:

Або , Де m = 0,1,2, ...

У проміжках між мінімумами спостерігаються максимуми, весь світловий фронт, що спостерігається під кутом = 0 потрібно прийняти за одну зону, і, отже, в цьому напрямку спостерігається максимум. Це буде головний, яскравий максимум, на який доводиться максимум всього світла, що пройшов через щілину. Картина інтеграції в цілому виявлена на . Чим більше довжина хвилі, тим далі відстоять один від одного максимуми.

Отже, якщо щілину висвітлювати білим світлом, то кожен максимум, крім головного, розкладеться в спектр, в якому, починаючи від червоного, будуть представлені всі кольори веселки.

Велика частина світла, що пройшов через щілину, все ж таки припадає на центральний, головний максимум. Тому ступінь огинання країв щілини можна оцінити по кутовій ширині головного максимуму. Якби не було ніякої дифракції, то кутова ширина головного максимуму дорівнювала б нулю. Зазвичай кути дифракції малі, тому можна покласти, що .

Отже, ширина головного максимуму (ширина дифракції) дорівнює

Дифракція тим яскравіше виражена, що вже щілина і що більше довжина хвилі.

При практичному використанні дифракції світла великий інтерес представляє дифракційна решітка. Дифракційною решіткою називають величезну безліч дуже вузьких штрихів, нанесених на екран (решітка в світлі, що проходить) або на дзеркало (решітка у відбитому світлі). У гарних решіток число щілин досягає - на сантиметр. Дифракційна решітка використовується як спектральний прилад і як високого ступеняточності вимірювач довжини хвилі світла. На дифракційній решітці також спостерігається дифракція фракунгофера (у паралельних променях). Постановка досвіду нагадує ту, яка описана вище у разі дифракції на одній щілині. На решітку падає пучок паралельних променів, і в паралельних променях спостерігаються максимуми дифракції (також за допомогою зорової труби, налаштованої на нескінченність).

Розглянемо теорію дифракційної решітки в проходить світлі. На зображена схема досвіду. Тут а - ширина щілини, b - проміжок між щілинами, a + b - період решітки. Світло падає перпендикулярно до площини решітки.

Існують такі кути спостереження, під якими будь-які два пучки, що пройшли через щілини решітки, посилюють друг друга. Ясно, що під такими кутами спостерігатимуться яскраві максимуми інтенсивності світла. Ці максимуми називаються основними. Неважко визначити умову для спостереження основних максимумів. Визначимо різниця ходу між двома сусідніми пучками. Відповідно вона дорівнює (a + b) sin.

Якщо на цій різниці ходу укладається парне число напівхвиль, то будь-які два пучки будуть посилювати один одного. Тому умова

, Де m = 0,1,2, ...

є умова основних максимумів. Доведемо це. Розглянемо два довільні пучки, наприклад k-й і i-й. Між ними укладається і-до періодів решітки. Отже, різниця ходу між пучками буде рівна (i-k) 2m /2. Відомо, що парне число, помножене на будь-яке інше ціле, є число парне. У результаті відповідно до загальної умови інтерфейсу k-й і i-ї пучки посилюють друг друга.

Крім головних, існують вторинні максимуми, коли одні пучки посилюють друг друга, а інші гасять. Ці вторинні максимуми дуже слабкі і зазвичай просто не проглядаються. Цікаві тільки головні максимуми, та й то лише першого порядку, коли m = 1. Таким чином, кути, під якими спостерігають лінії спектру, визначаються з умови

Знайдемо умову всіх мінімумів. Вдамося до простого, але нестрогого висновку. Розглянемо всю решітку, як одну щілину, ширина якої дорівнює N(a + b), де N - число щілин решітки. Тоді згідно з формулою (1.19) мінімуми спостерігалися б під кутами, що задовольняють умові

Де k = 1,2,3, ... (k = mN)

Умова (1.30) включає і умова головних максимумів, коли k = mN. Якщо ці значення k виключити, то всі інші значення k дійсно зумовлюють мінімуми. Це можна було б строго довести. Таким чином, між двома головними максимумами, наприклад між першим (m = 1) і другим (m = 2), укладається N-1 мінімумів, що відповідають значенням k: N+1, N+2,..., N+N- 1. Загальна картина максимумів і мінімумів решітки представлена на .

Якість грат як спектрального приладу визначається двома величинами: її дисперсією і вирішальною здатністю. Дисперсія характеризує загальну ширину спектру і показує, який інтервал кутів припадає на одиничний інтервал довжин хвиль. Дисперсія D визначається формулою

Для першого головного максимуму дисперсія

Вона, як бачимо, визначається періодом грат: чим менше період, тим більше дисперсія.

Розв'язуюча здатність оптичного приладу показує, як добре прилад розділяє найдрібніші деталі предмета. У разі решітки під вирішальною здатністю розуміється відношення довжини хвилі до різниці довжин хвиль, які грати ще здатна вирішити. Вважається, що решітка вирішує дві сусідні лінії спектру, якщо максимум однієї з них потрапляє в найближчий мінімум іншої лінії. зображує цю крайню ситуацію. Найближчий мінімум першого головного максимуму для довжини хвилі знаходиться з умови .

Нехай перший головний максимум найближчої лінії потрапляє в цей мінімум. Тоді можна записати наступне рівняння:

З формул (1.33) і (1.34) випливає, що

Звідси знаходимо разрешающую здатність решітки:

Як бачимо, вирішальна здатність грат дорівнює числу щілин.

Ми розглянули дифракцію на одномірній решітці, коли періодичність решітки спостерігається лише в одному вимірі. Але можна уявити решітки двомірні (наприклад, дві схрещені одномірні решітки) і тривимірні. Типовим прикладом тривимірної решітки є кристал. У ньому атоми (проміжки між просвітами) утворять тривимірну систему. Можна спостерігати дифракцію світла на кристалах. Тільки видиме світло цієї мети годиться, т.к. період такої решітки занадто малий (порядок м). Для цього можна використовувати рентгенівські промені.

У кожному кристалі можна виділити не одну, а кілька періодично розташованих площин, на яких у свою чергу в правильному порядку

розташовуються атоми кристалічної решітки. На наведено дві такі сукупності (зрозуміло, можна знайти більше). Розглянемо одну з них. Рентгенівські промені проникають всередину кристала і відбиваються від кожної площини цієї сукупності. У такому випадку ми отримуємо безліч когерентних пучків рентгенівських променів, між якими існує різниця ходу. Пучки інтерферують між собою подібно до того, як інтегрують світлові хвилі на звичайній дифракційній решітці, проходячи через щілини.

Вся теорія дифракції пучків може бути повторена. Як і у випадку звичайної дифракції, при дифракції рентгенівських променів на кристалі утворюються головні максимуми інтенсивності, які можуть бути сприйняті фотоплівкою. Ці максимуми мають вигляд плям (а не ліній, як у дифракції на звичайній решітці). Це пояснюється тим, що кожна площина є двомірною решіткою. Під якими кутами спостерігаються плями, що відповідають головним максимумам?

Розглянемо два сусідні пучки, як показано на . Між ними різниця ходу променів дорівнює 2d sin , де d-міжатомна відстань.

Перший головний максимум визначається з умови:

Як і у випадку зі звичайною решіткою, можна довести, що під кутом , що визначається даною умовою, будь-які два пучка посилюють друг друга, тобто умова (1.37) є дійсно умова головних максимумів. Воно називається умовою Вульфа-Бpегга.

Кожна сукупність періодично розташованих площин дає свою систему плям. Розташування плям на фотоплівці повністю визначається відстанню між площинами d. Аналізуючи загальну картину плям-максимумів, можна знайти кілька значень d: d1, d2, ... За цією сукупністю параметрів, у свою чергу, можна встановити тип кристалічної решітки і визначити для неї відстані між атомами. Таким чином, дифракція рентгенівських променів на кристалах дає нам потужний метод визначення структур кристалів і взагалі молекулярних систем, в яких атоми розташовуються в правильному порядку. Крім кристалів до таких систем відносяться, наприклад, складні молекули біологічних систем, зокрема хромосоми живих клітин. Аналіз будівництва кристалів за допомогою дифракції рентгенівських променів становить цілу науку, іменовану рентгено-структурним аналізом.

Дифракція рентгенівських променів може бути використана і для вирішення іншого завдання: при відомому d визначити. На такому принципі будуються рентгенівські спектрографи.

Одними з відомих ефектів, що підтверджують хвильову природу світла, є дифракція та інтерференція. Головна сфера їх застосування - спектроскопія, у якій аналізу спектрального складу електромагнітного випромінювання використовують дифракційні решітки. Формула, яка визначає становище основних максимумів, що даються цими ґратами, у цій статті.

У чому полягають явища дифракції та інтерференції?

Дифракція - це процес зміни руху хвильового фронту, коли на своєму шляху він зустрічає непрозору перешкоду, розміри якої можна порівняти з довжиною хвилі. Наприклад, якщо через маленький отвір пропустити сонячне світло, то на стіні можна спостерігати не маленьку точку, що світиться (що мало статися, якби світло поширювалося по прямій лінії), а пляма деяких розмірів, що світиться. Цей факт свідчить про хвильову природу світла.

Обидва описані явища вперше пояснив англієць, коли досліджував дифракцію монохроматичного світла на двох тонких щілинах у 1801 році.

Принцип Гюйгенса-Френеля та наближення далекого та ближнього полів

Математичний опис явищ дифракції та інтерференції є нетривіальним завданням. Знаходження точного її вирішення вимагає виконання складних розрахунків із залученням максвелівської теорії електромагнітних хвиль. Проте у 20-ті роки XIX століття француз Огюстен Френель показав, що, використовуючи уявлення Гюйгенса про вторинні джерела хвиль, можна з успіхом описувати ці явища. Ця ідея призвела до формулювання принципу Гюйгенса-Френеля, який нині є основою виведення всіх формул для дифракції на перешкодах довільної форми.

Проте навіть за допомогою принципу Гюйгенса-Френеля вирішити завдання дифракції в загальному вигляді не вдається, тому при отриманні формул вдаються до деяких наближень. Головним є плоский хвильовий фронт. Саме така форма хвилі має падати на перешкоду, щоб можна було спростити низку математичних викладок.

Де a - геометричні розміри перешкоди (наприклад, щілини або круглого отвору), - довжина хвилі, D - дистанція між екраном і перешкодою. Якщо для конкретного експерименту F<<1 (<0,001), тогда говорят о приближении дальнего поля. Соответствующая ему дифракция носит фамилию Фраунгофера. Если же F>1 тоді має місце наближення ближнього поля або дифракція Френеля.

Дифракційні грати та її види

Існує два типи дифракційних грат:

Прозора, яка описана вище. Дифракційна картина від таких грат виникає в результаті проходження через неї хвильового фронту.
Відбиває. Вона виготовляється за допомогою нанесення маленьких борозенок на гладку поверхню. Дифракція та інтерференція від такої платівки виникають за рахунок відбиття світла від вершин кожної борозенки.

Основна формула дифракційної решітки

I(θ) = I 0 *(sin(β)/β) 2 * 2 де
α = pi*d/λ*(sin(θ) - sin(θ0));
β = pi*a/λ*(sin(θ) - sin(θ0)).

Користуючись наведеною формулою, можна розрахувати значення інтенсивності будь-якого кута падіння світла.

m * pi = pi * d / λ * (sin (θ m) - sin (θ 0)) =>
sin(θ m) - sin(θ 0) = m*λ/d.

Отримане вираз називається формулою максимумів дифракційних ґрат. Числа m – це порядок дифракції.

Інші способи запису основної формули для решітки

Зауважимо, що у наведеній у попередньому пункті формулі є член sin(θ 0). Тут кут θ 0 відбиває напрямок падіння фронту світлової хвилі щодо площини решітки. Коли фронт падає паралельно до цієї площини, то θ 0 = 0 o . Тоді отримуємо вираз для максимумів:

Поняття про кутову дисперсію решітки

Будемо позначати цю величину буквою D. Згідно з математичним визначенням, вона записується такою рівністю:

Фізичний зміст кутової дисперсії D полягає в тому, що вона показує, на який кут dθ m зміститься максимум порядку дифракції m, якщо змінити довжину падаючої хвилі на dλ.

Якщо застосувати цей вираз для рівняння ґрат, тоді вийде формула:

Чим більше дисперсія D, тим вище здатність даної решітки.

Роздільна здатність решітки

Під роздільною здатністю розуміють фізичну величину, яка показує, яку мінімальну величину можуть відрізнятися дві довжини хвилі, щоб їх максимуми на дифракційної картині з'являлися окремо.

Δθ 1/2 = λ/(N*d*cos(θ m)).

Роздільна здатність решітки відповідно до критерію Релея дорівнює:

Δθ m >Δθ 1/2 або D*Δλ>Δθ 1/2 .

Підставляючи значення D і Δθ 1/2 отримуємо:

Δλ*m/(d*cos(θ m))>λ/(N*d*cos(θ m) =>
Δλ > λ/(m*N).

Дифракційні грати в спектроскопії

Випишемо ще раз основне рівняння максимумів для решітки:

Інший важливий висновок з цієї формули залежить від кута θ m від порядку дифракції. Чим більше m, тим більше значення m. Це означає, що кольорові лінії будуть розділені між собою на максимумах для високого порядку дифракції. Цей факт вже був освячений, коли розглядалася роздільна здатність грат (див. попередній пункт).

Приклад розв'язання задачі

Перекладаємо всі дані в одиниці СІ та підставляємо в цю рівність:

θ 1 = arcsin (550 * 10 -9 / (4 * 10 -6)) = 7,9 o.

Якщо екран перебуватиме на відстані 1 метр від решітки, то від середини центрального максимуму лінія першого порядку дифракції хвилі 550 нм з'явиться на відстані 13,8 см, що відповідає куту 7,9 o .

Широкого поширення у науковому експерименті та техніці набули дифракційні грати, які є безліч паралельних, розташованих на рівних відстанях однакових щілин, розділених рівними по ширині непрозорими проміжками. Дифракційні ґрати виготовляються за допомогою ділильної машини, що наносить штрихи (подряпини) на склі або іншому прозорому матеріалі. Там, де проведено подряпину, матеріал стає непрозорим, а проміжки між ними залишаються прозорими і фактично відіграють роль щілин.

Розглянемо спочатку дифракцію світла від ґрат на прикладі двох щілин. (При збільшенні числа щілин дифракційні максимуми стають лише вужчими, яскравішими і виразнішими.)

Нехай а -ширина щілини, a b - ширина непрозорого проміжку (рис. 5.6).

Мал. 5.6. Дифракція від двох щілин

Період дифракційної решітки- це відстань між серединами сусідніх щілин:

Різниця ходу двох крайніх променів дорівнює

Якщо різниця ходу дорівнює непарному числу напівхвиль

то світло, що посилається двома щілинами, внаслідок інтерференції хвиль взаємно гаситиметься. Умова мінімумів має вигляд

Ці мінімуми називаються додатковими.

Якщо різниця ходу дорівнює парному числу напівхвиль

то хвилі, що посилаються кожною щілиною, взаємно посилюватиме один одного. Умова інтерференційних максимумів з урахуванням (5.36) має вигляд

Це формула для головних максимумів дифракційної решітки.

Крім того, в тих напрямках, в яких жодна з щілин не поширює світло, воно не поширюватиметься і за двох щілин, тобто головні мінімуми решітки спостерігатимуться у напрямках, що визначаються умовою (5.21) для однієї щілини:

Якщо дифракційна решітка складається з Nщілин (сучасні грати, що застосовуються в приладах для спектрального аналізу, мають до 200 000 штрихів, та період d = 0.8 мкм, тобто порядку 12 000 штрихів на 1 см), то умовою головних мінімумів є, як і у разі двох щілин, співвідношення (5.41), умовою головних максимумів – співвідношення (5.40), а умова додаткових мінімумівмає вигляд

Тут k"може приймати все цілочисельні значеннякрім 0, N, 2N, ... .Отже, у разі Nщілин між двома головними максимумами розташовується ( N-1) додаткових мінімумів, розділених вторинними максимумами, що створюють відносно слабке тло.

Положення основних максимумів залежить від довжини хвилі l. Тому при пропусканні через решітку білого світла всі максимуми, крім центрального, розкладаються в спектр, фіолетовий кінець якого звернений до центру дифракційної картини, а червоний назовні. Таким чином, дифракційна решітка є спектральним приладом. Зауважимо, що в той час як спектральна призма найсильніше відхиляє фіолетові промені, дифракційні грати, навпаки, сильніше відхиляють червоні промені.

Важливою характеристикою будь-якого спектрального приладу є Роздільна здатність.

Роздільна здатність спектрального приладу – це безрозмірна величина

де - Мінімальна різниця довжин хвиль двох спектральних ліній, при якій ці лінії сприймаються окремо.

Визначимо роздільну здатність дифракційної решітки. Становище середини k-гомаксимуму для довжини хвилі

визначається умовою

Краї k- го максимуму (тобто найближчі додаткові мінімуми) для довжини хвилі lрозташовані під кутами, що задовольняють співвідношення: