графічне рішеннярівнянь

Розквіт 2009

Вступ

Необхідність вирішувати квадратні рівняння ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянокі з земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вавилоняни вміли вирішувати ще близько 2000 років до н.е. Правило рішення цих рівнянь, викладене в вавилонських текстах, збігається по суті з сучасними, проте невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила.

Формули рішення квадратних рівнянь в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202 році італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Його книга сприяла поширенню алгебраїчних знань не тільки в Італії, але і Німеччини, Франції та інших країнах Європи.

але загальне правилорішення квадратних рівнянь, при всіляких комбінаціях коефіцієнтів b і c було сформульовано в Європі лише в 1544 році М. Штіфель.

У 1591 році Франсуа Вієт ввів формули для вирішення квадратних рівнянь.

У стародавньому Вавилоні могли вирішити деякі види квадратних рівнянь.

Діофант Олександрійський і Евклід, Аль-Хорезміі Омар Хайямвирішували рівняння геометричними і графічними способами.

У 7 класі ми вивчали функції у = С, у =kx, У =kx+ m, У =x 2,у = -x 2, у 8 класі - у = √x, У =|x|, у =ax2 + bx+ c, У =k/ x. У підручнику алгебри 9 класу я побачила ще не відомі мені функції: у =x 3, у =x 4,у =x 2n, у =x- 2n, у = 3√x, (x– a) 2 + (у -b) 2 = r 2 та інші. Існують правила побудови графіків даних функцій. Мені стало цікаво, чи є ще функції, що підкоряються цим правилам.

Моя робота полягає в дослідженні графіків функцій та графічному рішенні рівнянь.

1. Які бувають функції

Графік функції - це множина всіх точок координатної площини, Абсциси яких дорівнюють значенням аргументів, а ординати - відповідним значенням функції.

Лінійна функція задається рівнянням у =kx+ b, де kі b- деякі числа. Графіком цієї функції є пряма.

Функція зворотної пропорційності у =k/ x, Де k ¹ 0. Графік цієї функції називається гіперболою.

функція (x– a) 2 + (У -b) 2 = r2 , де а, bі r- деякі числа. Графіком цієї функції є коло радіуса r з центром в т. А ( а, b).

квадратична функція y= ax2 + bx+ cде а,b, з- деякі числа і а¹ 0. Графіком цієї функції є парабола.

рівняння у2 (a– x) = x2 (a+ x) . Графіком цього рівняння буде крива, звана строфоїди.

/> Рівняння (x2 + y2 ) 2 = a(x2 – y2 ) . Графік цього рівняння називається лемніската.

Рівняння. Графік цього рівняння називається астроїда.

крива (x2 y2 - 2 a x)2 = 4 a2 (x2 + y2 ) . Ця крива називається кардіоїд.

функції: у =x 3 - кубічна парабола, у =x 4, у = 1 /x 2.

2. Поняття рівняння, його графічного рішення

рівняння- вираз, що містить змінну.

Розв'язати рівняння- це значить знайти всі його корені, або довести, що їх немає.

Корінь рівняння- це число, при підстановці якого в рівняння виходить правильне числове рівність.

Рішення рівнянь графічним способомдозволяє знайти точне або наближене значення коренів, дозволяє знайти кількість коренів рівняння.

При побудові графіків і вирішенні рівнянь використовуються властивості функції, тому метод частіше називають функціонально-графічним.

Для вирішення рівняння «ділимо» на дві частини, вводимо дві функції, будуємо їх графіки, знаходимо координати точок перетину графіків. Абсциси цих точок і є корені рівняння.

3. Алгоритм побудови графіка функції

Знаючи графік функції у =f(x) , Можна побудувати графіки функцій у =f(x+ m) ,у =f(x)+ lі у =f(x+ m)+ l. Всі ці графіки виходять з графіка функції у =f(x) за допомогою перетворення паралельного переносу: на │ m│ одиниць масштабу вправо або вліво вздовж осі x і на │ l│ одиниць масштабу вгору або вниз вздовж осі y.

4. Графічне рішення квадратного рівняння

На прикладі квадратичної функціїми розглянемо графічне рішення квадратного рівняння. Графіком квадратичної функції є парабола.

Що знали про параболі стародавні греки?

Сучасна математична символіка виникла в 16 столітті.

У давньогрецьких ж математиків ні координатного методу, ні поняття функції не було. Проте, властивості параболи були вивчені ними детально. Винахідливість античних математиків просто вражає уяву, - адже вони могли використовувати тільки креслення і словесні описи залежностей.

Найбільш повно досліджував параболу, гіперболу і еліпс Аполон Пергський, Що жив в 3 столітті до н.е. Він же дав цим кривим назви і вказав, яким умовам задовольняють точки, що лежать на тій чи іншій кривій (адже формул-то не було!).

Існує алгоритм побудови параболи:

Знаходимо координати вершини параболи А (х0; у0): х=- b/2 a;

y0 = ахо2 + вх0 + с;

Знаходимо вісь симетрії параболи (пряма х = х0);

PAGE_BREAK--

Складаємо таблицю значень для побудови контрольних точок;

Будуємо отримані точки і побудуємо точки їм симетричні щодо осі симетрії.

1. За алгоритмом побудуємо параболу y= x2 – 2 x– 3 . Абсциси точок перетину з віссю xі є коріння квадратного рівняння x2 – 2 x– 3 = 0.

Існує п'ять способів графічного рішення цього рівняння.

2. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y= x2 і y= 2 x+ 3

3. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y= x2 –3 і y=2 x. Коріння рівняння - абсциси точок перетину параболи з прямою.

4. Перетворимо рівняння x2 – 2 x– 3 = 0 за допомогою виділення повного квадрата на функції: y= (x–1) 2 і y=4. Коріння рівняння - абсциси точок перетину параболи з прямою.

5. Розділимо почленно обидві частини рівняння x2 – 2 x– 3 = 0 на x, отримаємо x– 2 – 3/ x= 0 , Розіб'ємо дане рівняння на дві функції: y= x– 2, y= 3/ x. Коріння рівняння - абсциси точок перетину прямої і гіперболи.

5. Графічне рішення рівнянь ступеняn

Приклад 1.Розв'язати рівняння x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

відповідь: x = 1.

Приклад 2.Розв'язати рівняння 3 √ x= 10 – x.

Корінням цього рівняння є абсциса точки перетину графіків двох функцій: y= 3 √ x, y= 10 – x.

відповідь: x = 8.

висновок

Розглянувши графіки функцій: у =ax2 + bx+ c, У =k/ x, У = √x, У =|x|, у =x 3, у =x 4,у = 3√x, я помітила, що всі ці графіки будуються за правилом паралельного перенесення щодо осей xі y.

На прикладі рішення квадратного рівняння можна зробити висновки, що графічний спосіб застосуємо і для рівнянь ступеня n.

Графічні способи вирішення рівнянь красиві і зрозумілі, але не дають стовідсоткової гарантії вирішення будь-якого рівняння. Абсциси точок перетину графіків можуть бути наближеними.

У 9 класі і в старших класах я буду ще знайомитися з іншими функціями. Мені цікаво знати: чи підкоряються ті функції правилам паралельного перенесення при побудові їх графіків.

на наступний рікмені хочеться також розглянути питання графічного рішення систем рівнянь і нерівностей.

література

1. Алгебра. 7 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ / О.Г. Мордкович. М .: Мнемозина, 2007.

2. Алгебра. 8 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ / О.Г. Мордкович. М .: Мнемозина, 2007.

3. Алгебра. 9 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ / О.Г. Мордкович. М .: Мнемозина, 2007.

4. Глейзер Г.І. Історія математики в школі. VII-VIII класи. - М .: Просвещение, 1982.

5. Журнал Математика №5 2009 року; №8 2007; №23 2008.

6. Графічне рішення рівнянь сайти в Інтернеті: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.

Графічне представлення функцій дозволяє наближеновирішувати нерівності з одним невідомим і системи нерівностей з одним і двома невідомими. Щоб вирішити графічно нерівність з одним невідомим, необхідно перенести всі його члени в одну частину, т.e. привести до виду:

f(x) > 0 ,

і побудувати графік функції y = f(x). Після цього, використовуючи побудований графік, можна знайти нулі функції, Які розділять вісь Хна кілька інтервалів. Тепер на основі цього визначимо інтервали x, Всередині яких знак функції відповідає знаку нерівності. Наприклад, нулі нашої функції: aі b(Рис.30). Тоді з графіка очевидно, що інтервали, всередині яких f(x) > 0: x < aі x> b(Вони виделенижірнимі стрілками). Ясно, що знак> тут умовний; замість нього може бути будь-який інший:< , .

Щоб вирішити графічно систему нерівностей з одним невідомим, потрібно перенести в кожному з них всі члени в одну частину, т.e. привести нерівності до вигляду:

і побудувати графіки функцій y = f(x), y = g(x) , ... , y = h(x). Кожне з цих нерівностей вирішується графічним методом, описаним вище. Після цього потрібно знайти перетин рішеньвсіх нерівностей, т.e. їх загальну частину.

П р и м і р. Вирішити графічно систему нерівностей:

Р і ш е н і е. Спочатку побудуємо графіки функцій y = - 2 / 3 x+ 2 і

y = x 2 -1 (рис.31):

Рішенням першого нерівності є інтервал x> 3, позначений на рис.31 чорної стрілкою; рішення другого нерівності складається з двох інтервалів: x < -1 и x> 1, позначених на рис.31 сірими стрілками.

З графіка видно, що перетином цих двох рішень є інтервал x> 3. Це і є рішення заданої системи нерівностей.

Щоб вирішити графічно систему двох нерівностей з двома невідомими, треба:

1) в кожному з них перенести всі члени в одну частину, т.e. привести

нерівності до вигляду:

2) побудувати графіки функцій, заданих неявно: f(x, y) = 0 і g(x, y) = 0;

3) кожен з цих графіків ділить координатну площину на дві частини:

в одній з них нерівність справедливо, в іншій - ні;для того щоб вирішити

графічно кожне з цих нерівностей, досить перевірити

справедливість нерівності в одній довільній точці всередині будь-якої

частини площині; якщо нерівність має місце в цій точці, значить

ця частина координатної площині є його рішенням, якщо немає - то

рішенням є протилежна частина площині;

4) рішенням заданої системи нерівностей є перетин

(загальна область) Частин координатної площини.

П р и м і р. Вирішити систему нерівностей:

Р і ш е н і е. Спочатку будуємо графіки лінійних функцій: 5x - 7y= -11 і

2x + 3y= 10 (рис.32). Для кожної з них знаходимо напівплощина,

Всередині якої відповідне заданий нерівність

Справедливо. Ми знаємо, що досить перевірити справедливість

Нерівності в одній довільній точці області; в данному

Випадку найлегше використовувати для цього початок координат O (0, 0).

Підставляючи його координати в наші нерівності замість xі y,

Отримаємо: 5 · 0 - 7 · 0 = 0> -11, отже, нижня

Напівплощина (жовтого кольору) є рішенням першого

нерівності; 2 · 0 + 3 · 0 = 0< 10, поэтому второе неравенство

Має своїм рішенням також нижню полуплоскость (блакитного

Кольору). Перетин цих напівплощин (область кольору бірюзи)

Є рішенням нашої системи нерівностей.

учень 10 класу Котовчіхін Юрій

Рівняння з модулями учні починають вивчати вже з 6-го класу, вони вивчають стандартний метод рішення за допомогою розкриття модулів на проміжках знакопостоянства підмодульних виразів. Я вибрав саме цю тему, тому що вважаю, що вона вимагає більш глибокого і досконалого дослідження, завдання з модулем викликають великі труднощі в учнів. В шкільній програмізустрічаються завдання, що містять модуль як завдання підвищеної складності і на іспитах, отже, ми повинні бути готові до зустрічі з таким завданням.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Муніципальне освітній заклад

Середня загальноосвітня школа №5

Дослідницька робота на тему:

« Алгебраїчне і графічне рішення рівнянь і нерівностей, що містять модуль»

Роботу виконав:

учень 10 класу

Котовчіхін Юрій

керівник:

викладач математики

Шанта Н.П.

Урюпінськ

1.Вступ .................................................................. .3

2.Понятие і визначення ................................................ .5

3.Доказательство теорем ................................................ ..6

4.Способи рішення рівнянь, що містять модуль ............ ... 7

4.1.Решеніе за допомогою залежностей між числами a і b, їх модулями і квадратами .................................................................. 12

4.2.Іспользованіе геометричній інтерпретації модуля для вирішення рівнянь .................................................................. ..14

4.3.Графікі найпростіших функцій, що містять знак абсолютної величини.

………………………………………………………………………15

4.4.Решеніе нестандартних рівняння, що містять модуль ... .16

5.Заключеніе ............................................................... .17

6.Список використаної літератури ................................. 18

Мета роботи: рівняння з модулями учні починають вивчати вже з 6-го класу, вони вивчають стандартний метод рішення за допомогою розкриття модулів на проміжках знакопостоянства підмодульних виразів. Я вибрав саме цю тему, тому що вважаю, що вона вимагає більш глибокого і досконалого дослідження, завдання з модулем викликають великі труднощі в учнів. У шкільній програмі зустрічаються завдання, що містять модуль як завдання підвищеної складності і на іспитах, отже, ми повинні бути готові до зустрічі з таким завданням.

1. Введення:

Слово "модуль" походить від латинського слова "modulus", що в перекладі означає "міра". Це багатозначне слово (омонім), яке має безліч значень і застосовується не тільки в математиці, але і в архітектурі, фізики, техніці, програмуванні та інших точних науках.

В архітектурі це вихідна одиниця виміру, що встановлюється для даного архітектурної споруди і служить для вираження кратних співвідношень його складових елементів.

У техніці це термін, який застосовується в різних областях техніки, що не має універсального значення і служить для позначення різних коефіцієнтів і величин, наприклад модуль зачеплення, модуль пружності і.т.п.

Модуль об'ємного стиснення (у фізиці)-відношення нормального напруги в матеріалі до відносного подовження.

2. Поняття і визначення

Модуль - абсолютне значення - дійсного числаА позначається | A |.

Щоб глибоко вивчати дану тему, Необхідно познайомитися з найпростішими визначеннями, які мені будуть необхідні:

Рівняння-це рівність, що містить змінні.

Рівняння з модулем це рівняння, що містять змінну під знаком абсолютної величини (під знаком модуля).

Вирішити рівняння-це значить знайти всі його корені, або довести, що коренів немає.

3.Доказательство теорем

Теорема 1. абсолютна величинадійсного числа дорівнює більшому із двох чисел a або -a.

Доведення

1. Якщо число a позитивно, то -a негативно, т. Е. -A

Наприклад, число 5 позитивно, тоді -5 - негативно і -5

У цьому випадку | a | = A, т. Е. | A | збігається з великим з двох чисел a і - a.

2. Якщо a негативно, тоді -a позитивно і a

Слідство. З теореми випливає, що | -a | = | A |.

Справді, як, так і рівні більшому із чисел -a і a, а значить рівні між собою.

Теорема 2. Абсолютна величина будь-якої дійсного числа a дорівнює арифметичному квадратному кореню з А 2 .

Справді, якщо то, за визначенням модуля числа, будемо мати lАl> 0 З іншого боку, при А> 0 означає | a | = √A 2

якщо a 2

Ця теорема дає можливість при вирішенні деяких завдань замінювати | a | на

Геометрично | a | означає відстань на координатній прямій від точки, яка зображує число a, до початку відліку.

Якщо то на координатній прямій існує дві точки a і -a, рівновіддаленою від нуля, модулі яких рівні.

Якщо a = 0, то на координатній прямій | a | зображується точкою 0

4.Способи рішення рівнянь, що містять модуль.

Для вирішення рівнянь, що містять знак абсолютної величини, ми будемо грунтується на визначенні модуля числа і властивості абсолютної величини числа. Ми вирішимо кілька прикладів різними способамиі подивимося, який із способів виявиться простіше для вирішення рівнянь, що містять модуль.

Приклад 1. Вирішимо аналітично і графічно рівняння | x + 2 | = 1.

Рішення

аналітичне рішення

1-й спосіб

Міркувати будемо, виходячи з визначення модуля. Якщо вираз, що знаходиться під модулем неотрицательно, т. Е. X + 2 ≥0, тоді воно "вийде" з під знака модуля зі знаком "плюс" і рівняння набуде вигляду: x + 2 = 1. Якщо значення виразу під знаком модуля негативно , тоді, за визначенням, він дорівнюватиме: або x + 2 = -1

Таким чином, отримуємо, або x + 2 = 1, або x + 2 = -1. Вирішуючи отримані рівняння, знаходимо: Х + 2 = 1 або Х + 2 + -1

Х = -1 Х = 3

Відповідь: -3; -1.

Тепер можна зробити висновок: якщо модуль деякого виразу дорівнює дійсному позитивному числу a, тоді вираз під модулем одно або a, або -а.

графічне рішення

Одним із способів вирішення рівнянь, що містять модуль є графічний спосіб. Суть цього способу полягає в тому, щоб побудувати графіки даних функцій. У разі, якщо графіки перетнуться, точки перетину даних графіків будуть є корінням нашого рівняння. У разі, якщо графіки не перетнуться, ми зможемо зробити висновок, що рівняння коренів не має. Цей спосіб, ймовірно, рідше за інших застосовують для вирішення рівнянь, що містять модуль, так як, по-перше, він займає досить багато часу і не завжди раціональний, а, по-друге, результати, отримані при побудові графіків, не завжди є точними.

Інший спосіб вирішення рівнянь, що містять модуль- це спосіб розбиття числової прямої на проміжки. У цьому випадку нам потрібно розбити числову пряму так, що за визначенням модуля, знак абсолютної величини на даних проміжках можна буде зняти. Потім, для кожного з проміжків ми повинні будемо вирішити дане рівняння і зробити висновок, щодо одержані коренів (задовольняють вони нашому проміжку чи ні). Коріння, що задовольняють проміжки і дадуть остаточну відповідь.

2-й спосіб

Встановимо, при яких значеннях x, модуль дорівнює нулю: | Х + 2 | = 0, Х = 2

Отримаємо два проміжку, на кожному з яких вирішимо рівняння:

Отримаємо дві змішаних системи:

(1) Х + 2 0

Х-2 = 1 Х + 2 = 1

Вирішимо кожну систему:

X = -3 X = -1

Відповідь: -3; -1.

графічне рішення

y = | X + 2 |, y = 1.

графічне рішення

Для вирішення рівняння графічним способом, треба побудувати графіки функцій і

Для побудови графіка функції, побудуємо графік функції - це функція, яка перетинає вісь OX і вісь OY в точках.

Абсциси точок перетину графіків функцій дадуть рішення рівняння.

Пряма графіка функції y = 1 перетнулася з графіком функції y = | x + 2 | в точках з координатами (-3; 1) і (-1; 1), отже рішеннями рівняння будуть абсциси точок:

x = -3, x = -1

Відповідь: -3; -1

Приклад 2. Вирішити аналітично і графічно рівняння 1 + | x | = 0.5.

Рішення:

аналітичне рішення

Перетворимо рівняння: 1 + | x | = 0.5

| X | = 0.5-1

| X | = -0.5

Зрозуміло, що в цьому випадку рівняння не має рішень, так як, за визначенням, модуль завжди неотрицателен.

Відповідь: рішень немає.

графічне рішення

Перетворимо рівняння:: 1 + | x | = 0.5

| X | = 0.5-1

| X | = -0.5

Графіком функції є промені - бісектриси 1-го і 2-го координатних кутів. Графіком функції є пряма, паралельна осі OX і проходить через точку -0,5 на осі OY.

Графіки не перетинаються, значить рівняння не має рішень.

Відповідь: немає рішень.

Приклад 3. Вирішіть аналітично і графічно рівняння | -x + 2 | = 2x + 1.

Рішення:

аналітичне рішення

1-й спосіб

Найперше слід встановити область допустимих значень змінної. Виникає природне запитання, чому в попередніх прикладах не було необхідності робити цього, а зараз вона виникла.

Справа в тому, що в цьому прикладі в лівій частині рівняння модуль деякого виразу, а в правій здебільшого не число, а вираз зі змінною, - саме цю важливу обставину відрізняє даний приклад від попередніх.

Оскільки в лівій частині - модуль, а в правій частині, вираз, що містить змінну, необхідно вимагати, щоб цей вислів було невід'ємним, т. Е. Таким чином, область допустимих

значень модуля

Тепер можна міркувати так само, як і в прикладі 1, коли в правій частині рівності перебувало позитивної число. Отримаємо дві змішаних системи:

(1) -X + 2≥0 і (2) -X + 2

X + 2 = 2X + 1; X-2 = 2X + 1

Вирішимо кожну систему:

(1) входить в проміжок і є коренем рівняння.

X≤2

X = ⅓

(2) X> 2

X = -3

X = -3 не входить в проміжок і не є коренем рівняння.

Відповідь: ⅓.

4.1.Решеніе за допомогою залежностей між числами a і b, їх модулями і квадратами цих чисел.

Окрім наведених мною вище способів існує певна равносильность, між числами і модулями даних чисел, а також між квадратами і модулями даних чисел:

| A | = | b | a = b або a = -b

A2 = b2 a = b або a = -b

Звідси в свою чергу отримаємо, що

| A | = | b | a 2 = b 2

Приклад 4. Вирішимо рівняння | x + 1 | = | 2x - 5 | двома різними способами.

1.Учітивая співвідношення (1), отримаємо:

X + 1 = 2x - 5 або x + 1 = -2x + 5

x - 2x = -5 - 1 x + 2x = 5 - 1

X = -6 | (: 1) 3x = 4

X = 6 x = 11/3

Корінь першого рівняння x = 6, корінь другого рівняння x = 11/3

Таким чином коріння вихідного рівняння x 1 = 6, x 2 = 11/3

2. В силу співвідношення (2), отримаємо

(X + 1) 2 = (2x - 5) 2, або x2 + 2x + 1 = 4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 + 2x + 1 + 20x - 25 = 0

3x2 + 22x - 24 = 0 | (: - 1)

3x2 - 22x + 24 = 0

D / 4 = 121-3 24 = 121 - 72 = 49> 0 ==> рівняння має 2 різних кореня.

x 1 = (11 - 7) / 3 = 11/3

x 2 = (11 + 7) / 3 = 6

Як показує рішення, корінням даного рівняння також є числа 11/3 і 6

Відповідь: x 1 = 6, x 2 = 11/3

Приклад 5. Вирішимо рівняння (2x + 3) 2 = (x - 1) 2.

З огляду на співвідношення (2), отримаємо, що | 2x + 3 | = | x - 1 |, звідки за зразком попереднього прикладу (і по співвідношенню (1)):

2х + 3 = х - 1 або 2х + 3 = х + 1

2х - х = -1 - 3 2х + х = 1 - 3

Х = -4 х = -0, (6)

Таким чином корінням рівняння є х1 = -4, і х2 = -0, (6)

Відповідь: х1 = -4, х 2 = 0, (6)

Приклад 6. Вирішимо рівняння | x - 6 | = | x2 - 5x + 9 |

Користуючись співвідношенням, отримаємо:

х - 6 = х2 - 5х + 9 або х - 6 = - (х2 - 5х + 9)

Х2 + 5х + х - 6 - 9 = 0 | (-1) x - 6 = -x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15 = 0 x2 - 4x + 3 = 0

D = 36 - 4 15 = 36 - 60 = -24 D = 16 - 4 3 = 4> 0 ==> 2 р.к.

==> коренів немає.

X 1 = (4 2) / 2 = 1

X 2 = (4 + 2) / 2 = 3

Перевірка: | 1 - 6 | = | 12 - 5 1 + 9 | | 3 - 6 | = | 32 - 5 3 + 9 |

5 = 5 (І) 3 = | 9 - 15 + 9 |

3 = 3 (І)

Відповідь: x 1 = 1; x 2 = 3

4.2.Іспользованіе геометричній інтерпретації модуля для вирішення рівнянь.

Геометричний сенс модуля різниці величин це відстань між ними. наприклад, геометричний сенсвираження | x - a | -довжина відрізка координатної осі, що з'єднує точки з абсциссами а й х. Переклад алгебраїчної задачі на геометричну мову часто дозволяє уникнути громіздких рішень.

Прімер7. Вирішимо рівняння | x - 1 | + | X - 2 | = 1 з використанням геометричної інтерпретації модуля.

Будемо міркувати таким чином: виходячи з геометричної інтерпретації модуля, ліва частина рівняння являє собою суму відстаней від деякої точки абсцис х до двох фіксованих точок з абсциссами 1 і 2. Тоді очевидно, що всі крапки з абсциссами з відрізка мають потрібним властивістю, а точки, розташовані поза цим отрезка- немає. Звідси відповідь: безліччю рішень рівняння є відрізок.

відповідь:

Прімер8. Вирішимо рівняння | x - 1 | - | x - 2 | = 1 + 1 з використанням геометричної інтерпретації модуля.

Будемо міркувати аналогічно до попереднього прикладу, при цьому отримаємо, що різниця відстаней до точок з абсциссами 1 і 2 дорівнює одиниці тільки для точок, розташованих на координатної осі правіше числа 2. Отже рішенням даного рівняння буде є не відрізок, укладений між точками 1 і 2, а промінь, що виходить з точки 2, і спрямований в позитивному напрямку осі ОХ.

Відповідь:)