Рівняння прямої, що проходить через дану точку в даному напрямку. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки. Кут між двома прямими. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих. Визначення точки перетину двох прямих

Приклади завдань з рішеннями

Знайти рівняння прямої, що проходить через дві точки: (-1, 2) і (2, 1).

Рішення.

за рівняння

вважаючи в ньому x 1 = -1, y 1 = 2, x 2 = 2, y 2 = 1 (без різниці, яку точку вважати першою, яку - другий), отримаємо

після спрощень отримуємо остаточно шукане рівняння у вигляді

x + 3y - 5 = 0.

Сторони трикутника задані рівняннями: (AB ) 2 x + 4 y + 1 = 0, (AC ) x - y + 2 = 0, (BC ) 3 x + 4 y -12 = 0. Знайти координати вершин трикутника.

Рішення.

координати вершини Aзнайдемо, вирішуючи систему, складену з рівнянь сторін ABі AC:

систему двох лінійних рівняньз двома невідомими вирішуємо способами, відомими з елементарної алгебри, і отримуємо

вершина Aмає координати

координати вершини Bзнайдемо, вирішуючи систему з рівнянь сторін ABі BC:

отримуємо.

координати вершини Cотримаємо, вирішуючи систему з рівнянь сторін BCі AC:

вершина Cмає координати.

A (2, 5) паралельно прямій 3x - 4 y + 15 = 0.

Рішення.

Доведемо, що якщо дві прямі паралельні, то їх рівняння завжди можна уявити в такому вигляді, що вони будуть відрізнятися тільки вільними членами. Дійсно, з умови паралельності двох прямих слід, що.

позначимо через tзагальну величину цих відносин. тоді

а це означає, що

A 1 = A 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

Якщо дві прямі

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 і

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

паралельні, умови (1) виконуються, і, замінюючи в першому з цих рівнянь A 1 і B 1 за формулами (1), матимемо

A 2 tx + B 2 ty + C 1 = 0,

або, розділивши обидві частини рівняння на, одержимо

Порівнюючи отримане рівняння з рівнянням другий прямий A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, помічаємо, що ці рівняння відрізняються тільки вільним членом; тим самим ми довели потрібне. Тепер приступимо до вирішення завдання. Рівняння шуканої прямої запишемо так, що воно буде відрізнятися від рівняння даної прямої тільки вільним членом: перші два доданки в шуканому рівнянні візьмемо з даного рівняння, а його вільний член позначимо через C. Тоді шукане рівняння запишеться у вигляді

3x - 4y + C = 0, (3)

і визначенню підлягає C.

Надаючи в рівнянні (3) величиною Cвсілякі дійсні значення, отримаємо безліч прямих, паралельних даній. Таким чином, рівняння (3) є рівняння не одній прямій, а цілого сімейства прямих, паралельних даній прямій 3 x - 4y+ 15 = 0. З цього сімейства прямих слід виділити ту, яка проходить через точку A(2, 5).

Якщо пряма проходить через точку, то координати цієї точки повинні задовольняти рівняння прямої. А тому ми визначимо C, Якщо в (3) підставимо замість поточних координат xі yкоординати точки A, Т. Е. x = 2, y= 5. Отримуємо і C = 14.

знайдене значення Cпідставляємо в (3), і шукане рівняння запишеться так:

3x - 4y + 14 = 0.

Ту ж задачу можна вирішити й інакше. Так як кутові коефіцієнти паралельних прямих між собою рівні, а для даної прямий 3 x - 4y+ 15 = 0 кутовий коефіцієнт, то і кутовий коефіцієнт шуканої прямий також дорівнює.

Тепер використовуємо рівняння y - y 1 = k(x - x 1) пучка прямих. Крапка A(2, 5), через яку проходить пряма, нам відома, а тому, підставивши в рівняння пучка прямих y - y 1 = k(x - x 1) значення, отримаємо

або після спрощень 3 x - 4y+ 14 = 0, т. Е. Те ж, що і раніше.

Знайти рівняння прямих, що проходять через точкуA (3, 4) під кутом в 60 градусів до прямої 2x + 3 y + 6 = 0.

Рішення.

Для вирішення завдання нам слід визначити кутові коефіцієнти прямих I і II (див. Малюнок). Позначимо ці коефіцієнти відповідно через k 1 і k 2, а кутовий коефіцієнт даної прямої - через k. Очевидно, що .

На підставі визначення кута між двома прямими при визначенні кута між даною прямою і прямий I слід в чисельнику дробу у формулі

відняти кутовий коефіцієнт даної прямої, так як її потрібно повернути проти годинникової стрілки навколо точки Cдо збігу з прямою I.

З огляду на, що, отримуємо

Визначаючи ж кут між прямою II і даної прямої, слід в чисельнику тієї ж дробу відняти кутовий коефіцієнт прямої II, т. Е. k 2, так як пряму II слід повернути проти годинникової стрілки навколо точки Bдо збігу її з даною прямою:

Знайти рівняння прямої, що проходить через точкуA (5, -1) перпендикулярно до прямої 3x - 7 y + 14 = 0.

Рішення.

Якщо дві прямі

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

перпендикулярні, то виконується рівність

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0,

або, що те ж,

A 1 A 2 = -B 1 B 2 ,

а це означає, що

Загальне значення цих виразів позначимо через t.

Тоді, звідки випливає, що

A 2 = B 1 t, B 2 = -A 1 t.

Підставляючи ці значення A 2 і B 2 і рівняння другий прямий, отримаємо

B 1 tx - A 1 ty + C 2 = 0.

або, ділячи на tобидві частини рівності, матимемо

Порівнюючи отримане рівняння з рівнянням першого прямий

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

помічаємо, що у них коефіцієнти при xі yпомінялися місцями, а знак між першим і другим доданком змінився на протилежний, вільні ж члени різні.

приступимо тепер до вирішення завдання. Бажаючи написати рівняння прямої, перпендикулярної до прямої 3 x - 7y+ 14 = 0, на підставі зробленого вище висновку поступимо таким чином: поміняємо місцями коефіцієнти при xі y, А знак мінус між ними замінимо знаком плюс, вільний член позначимо літерою C. отримаємо 7 x + 3y + C= 0. Це рівняння є рівняння сімейства прямих, перпендикулярних прямої 3 x - 7y+ 14 = 0. Визначимо Cз умови, що шукана пряма проходить через точку A(5, -1). Відомо, що якщо пряма проходить через точку, то координати цієї точки повинні задовольняти рівняння прямої. Підставляючи в останнє рівняння 5 замість xі -1 замість y, отримаємо

це значення Cпідставимо в останнє рівняння і отримаємо

7x + 3y - 32 = 0.

Вирішимо ту ж задачу іншим способом, використавши для цього рівняння пучка прямих

y - y 1 = k(x - x 1).

Кутовий коефіцієнт даної прямої 3 x - 7y + 14 = 0

тоді кутовий коефіцієнт прямої, їй перпендикулярній,

Підставивши в рівняння пучка прямих, а замість x 1 і y 1 координати цієї точки A(5, -1), знайдемо, або 3 y + 3 = -7x+ 35, і остаточно 7 x + 3y- 32 = 0, т. Е. Те ж, що і раніше.

Пряма, що проходить через точку K (x 0; y 0) і паралельна прямій y = kx + a знаходиться за формулою:

y - y 0 = k (x - x 0) (1)

Де k - кутовий коефіцієнт прямої.

Альтернативна формула:
Пряма, що проходить через точку M 1 (x 1; y 1) і паралельна прямій Ax + By + C = 0, представляється рівнянням

A (x-x 1) + B (y-y 1) = 0. (2)

Приклад №1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку M 0 (-2,1) і при цьому:
а) паралельно прямій 2x + 3y -7 = 0;
б) перпендикулярно прямий 2x + 3y -7 = 0.
Рішення . Уявімо рівняння з кутовим коефіцієнтом у вигляді y = kx + a. Для цього перенесемо всі значення крім y в праву частину: 3y = -2x + 7. Потім розділимо праву частину на коефіцієнт 3. Отримаємо: y = -2 / 3x + 7/3
Знайдемо рівняння NK, що проходить через точку K (-2; 1), паралельно прямій y = -2 / 3 x + 7/3
Підставляючи x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 отримаємо:
y-1 = -2 / 3 (x - (- 2))
або
y = -2 / 3 x - 1/3 або 3y + 2x +1 = 0

Приклад №2. Написати рівняння прямої, паралельної прямої 2x + 5y = 0 і утворює разом з осями координат трикутник, площа якого дорівнює 5.
Рішення . Так як прямі паралельні, то рівняння шуканої прямої 2x + 5y + C = 0. Площа прямокутного трикутника, Де a і b його катети. Знайдемо точки перетину шуканої прямої з осями координат:
;
.
Отже, A (-C / 2,0), B (0, -C / 5). Підставами в формулу для площі: . Отримуємо два рішення: 2x + 5y + 10 = 0 і 2x + 5y - 10 = 0.

Приклад №3. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку (-2; 5) і паралельної прямої 5x-7y-4 = 0.
Рішення. Дану пряму можна представити рівнянням y = 5/7 x - 4/7 (тут a = 5/7). Рівняння шуканої прямої є y - 5 = 5/7 (x - (-2)), тобто 7 (y-5) = 5 (x + 2) або 5x-7y + 45 = 0.

Приклад №4. Вирішивши приклад 3 (A = 5, B = -7) за формулою (2), знайдемо 5 (x + 2) -7 (y-5) = 0.

Приклад №5. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку (-2; 5) і паралельної прямий 7x + 10 = 0.
Рішення. Тут A = 7, B = 0. Формула (2) дає 7 (x + 2) = 0, тобто x + 2 = 0. Формула (1) не застосовується, так як дане рівняння не можна дозволити щодо y (дана пряма паралельна осі ординат).

рівняннякривих у великій кількості зустрічаютьсяпри читанні економічної літератури.Укажем деякі з цих кривих.

крива байдужості - крива, що показує різні комбінації двох продуктів, що мають однакове споживче значення, або корисність, для споживача.

Крива споживчого бюджету - крива, що показує різні комбінації кількостей двох товарів, які споживач може купити за певного рівня його грошового доходу.

Крива виробничих можливостей - крива, що показує різні комбінації двох товарів або послуг, які можуть бути зроблені в умовах повної зайнятості і повного обсягу виробництва в економіці з постійними запасами ресурсів і незмінною технологією.

Крива інвестиційного попиту - крива, що показує динаміку процентної ставки та обсяг інвестицій при різних процентних ставках.

крива Філіпса- крива, що показує існування стійкого зв'язку між рівнем безробіття і рівнем інфляції.

крива Лаффера- крива, що показує зв'язок між ставками податків і податковими надходженнями, що виявляє таку податкову ставку, при якій податкові надходження досягають максимуму.

Вже просте перерахування термінів показує, як важливо для економістів вміння будувати графіки і аналізувати рівняння кривих, якими є прямі лінії і криві другого порядку - окружність, еліпс, гіпербола, парабола. Крім того, при вирішенні великого класу задач потрібно виділити на площині область, обмежену будь-якими кривими, рівняння яких задани.Чаще всього ці завдання формулюються так: знайти найкращий планвиробництва при заданих ресурсах. Завдання ресурсів має зазвичай вид нерівностей, рівняння яких дано. Тому доводиться шукати найбільше або найменше значення, Прийняті деякою функцією в області, заданої рівняннями системи нерівностей.

В аналітичній геометрії лінія на площинівизначається як безліч точок, координати яких задовольняють рівняння F (x, y) = 0. При цьому на функцію F повинні бути накладені обмеження так, щоб, з одного боку, це рівняння мало безліч рішень і, з іншого боку, щоб це безліч рішень не заповнювало "шматка площині". Важливий клас ліній становлять ті, для яких функція F (x, y) є многочлен від двох змінних, в цьому випадку лінія, яка визначається рівнянням F (x, y) = 0, називається алгебраїчній. Алгебраїчні лінії, що задаються рівнянням першого ступеня, Cуть прямі. Рівняння другого ступеня, має безліч рішень, визначає еліпс, гіперболу, параболу або лінію, яка розпадається на дві прямі.

Нехай на площині задана прямокутна декартова система координат. Пряма на площині може бути задана одним з рівнянь:

1 0. Загальне рівняння прямої

Ax + By + C = 0. (2.1)

вектор n(А, В) ортогонален прямий, числа A і B одночасно не рівні нулю.

2 0. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

y - y o = k (x - x o), (2.2)

де k - кутовий коефіцієнт прямої, тобто k = tg a, де a - величина кута, утвореного прямою з віссю Оx, M (x o, y o) - деяка точка, що належить прямій.

Рівняння (2.2) набуває вигляду y = kx + b, якщо M (0, b) є точка перетину прямої з віссю Оy.

3 0. Рівняння прямої у відрізках

x / a + y / b = 1, (2.3)

де a і b - величини відрізків, що відсікаються прямій на осях координат.

4 0. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки - A (x 1, y 1) і B (x 2, y 2):

. (2.4)

5 0. Рівняння прямої, що проходить через дану точку A (x 1, y 1) паралельно даному вектору a(M, n)

. (2.5)

6 0. Нормальне рівняння прямої

rnпро - р = 0, (2.6)

де r- радіус довільної точки M (x, y) цієї прямої, nпро - одиничний вектор, ортогональний цієї прямої і спрямований від початку координат до прямої; р - відстань від початку координат до прямої.

Нормальне в координатної формі має вигляд:

x cos a + y sin a - р = 0,

де a - величина кута, утвореного прямою з віссю Оx.

Рівняння пучка прямих з центром в точці А (x 1, y 1) має вигляд:

y-y 1 = l (x-x 1),

де l - параметр пучка. Якщо пучок задається двома пересічними прямими A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, то його рівняння має вигляд:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2) = 0,

де l і m - параметри пучка, що не звертаються в 0 одночасно.

Величина кута між прямими y = kx + b і y = k 1 x + b 1 задається формулою:

tg j =.

Рівність 1 + k 1 k = 0 є необхідна і достатня умова перпендикулярності прямих.

Для того, щоб два рівняння

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

задавали одну і ту ж пряму, необхідно і достатньо, щоб їх коефіцієнти були пропорційні:

A 1 / A 2 = B 1 / B 2 = C 1 / C 2.

Рівняння (2.7), (2.8) задають дві різні паралельні прямі, якщо A 1 / A 2 = B 1 / B 2 і B 1 / B 2¹ C 1 / C 2; прямі перетинаються, якщо A 1 / A 2¹ B 1 / B 2.

Відстань d від точки M про (x о, y о) до прямої є довжина перпендикуляра, проведеного з точки M о к прямий. Якщо пряма задана нормальним рівнянням, то d =ê rпро nпро - р ê , де r- радіус-вектор точки M про або, в координатної формі, d =ê x про cos a + y про sin a - р ê.

Загальне рівняння кривої другого порядку має вигляд

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x + 2a 2 y + a = 0.

Передбачається, що серед коефіцієнтів рівняння a 11, a 12, a 22 є відмінні від нуля.

Рівняння кола з центром в точці С (a, b) і радіусом, рівним R:

(X - a) 2 + (y - b) 2 = R 2. (2.9)

еліпсомназивається геометричне місце точок, сума відстаней яких від двох даних точок F 1 і F 2 (фокусів) є величина постійна, рівна 2a.

Канонічне (найпростіше) рівняння еліпса

x 2 / a 2 + y 2 / a 2 = 1. (2.10)

Еліпс, заданий рівнянням (2.10), симетричний щодо осей координат. параметри aі bназиваються півосямиеліпса.

Нехай a> b, тоді фокуси F 1 і F 2 знаходяться на осі Оx на відстані
c = від початку координат. Ставлення c / a = e < 1 называется ексцентриситетомеліпса. Відстані від точки M (x, y) еліпса до його фокусів (фокальні радіуси-вектори) визначаються формулами:

r 1 = a - e x, r 2 = a + e x.

Якщо ж a< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c / b,
r 1 = b + e x, r 2 = b - e x.

Якщо a = b, то еліпс є колом з центром на початку координат радіуса a.

гіперболоюназивається геометричне місце точок, різниця відстаней яких від двох даних точок F 1 і F 2 (фокусів) дорівнює по абсолютній величиніданому числу 2a.

Канонічне рівняння гіперболи

x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1. (2.11)

Гіпербола, задана рівнянням (2.11), симетрична щодо осей координат. Вона перетинає вісь Оx в точках A (a, 0) і A (-a, 0) - вершинах гіперболи і не перетинає вісь Оy. параметр aназивається речової полуосью, b -уявної полуосью. Параметр c = є відстань від фокуса до початку координат. Ставлення c / a = e > 1 називається ексцентриситетомгіперболи. Прямі, рівняння яких y =± b / a x називаються асимптотамигіперболи. Відстані від точки M (x, y) гіперболи до її фокусів (фокальні радіуси-вектори) визначаються формулами:

r 1 = ê e x - a ê, r 2 = ê e x + a ê.

Гіпербола, у якій a = b, називається равносторонней, Її рівняння x 2 - y 2 = a 2, а рівняння асимптот y =± x. Гіперболи x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 і
y 2 / b 2 - x 2 / a 2 = 1 називаються сполученими.

параболоюназивається геометричне місце точок, однаково віддалених від даної точки (фокуса) і даної прямої (директриси).

Канонічне рівняння параболи має два види:

1) y 2 = 2рx - парабола симетрична щодо осі Оx.

2) x 2 = 2рy - парабола симетрична щодо осі Оy.

В обох випадках р> 0 і вершина параболи, тобто точка, що лежить на осі симетрії, знаходиться на початку координат.

Парабола, рівняння якої y 2 = 2рx має фокус F (р / 2,0) і директрису x = - р / 2, фокальний радіус-вектор точки M (x, y) на ній r = x + р / 2.

Парабола, рівняння якої x 2 = 2рy має фокус F (0, р / 2) і директрису y = - р / 2; фокальний радіус-вектор точки M (x, y) параболи дорівнює r = y + р / 2.

Рівняння F (x, y) = 0 задає лінію, розбиває площину на дві або декілька частин. В одних з цих частин виконується нерівність F (x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Іншими словами, лінія
F (x, y) = 0 відокремлює частина площині, де F (x, y)> 0, від частини площині, де F (x, y)<0.

Пряма, рівняння якої Ax + By + C = 0, розбиває площину на дві півплощини. На практиці для з'ясування того, в який полуплоскости ми маємо Ax + By + C<0, а в какой Ax+By+C>0, застосовують метод контрольних точок. Для цього беруть контрольну точку (зрозуміло, що не лежить на прямій, рівняння якої Ax + By + C = 0) і перевіряють, який знак має в цій точці вираз Ax + By + C. Той же знак має вказане вираз і у всій півплощині, де лежить контрольна точка. У другій полуплоскости Ax + By + C має протилежний знак.

Точно так же вирішуються і нелінійні нерівності з двома невідомими.

Наприклад, вирішимо нерівність x 2 -4x + y 2 + 6y-12> 0. Його можна переписати у вигляді (x-2) 2 + (y + 3) 2 - 25> 0.

Рівняння (x-2) 2 + (y + 3) 2 - 25 = 0 задає окружність з центром в точці C (2, -3) і радіусом 5. Окружність розбиває площину на дві частини - внутрішню і зовнішню. Щоб дізнатися, в який з них має місце дане нерівність, візьмемо контрольну точку у внутрішній області, наприклад, центр C (2, -3) нашої окружності. Підставляючи координати точки C в ліву частину нерівності, отримуємо від'ємне число-25. Значить, і у всіх точках, що лежать всередині кола, виконується нерівність
x 2 -4x + y 2 + 6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Приклад 1.5.Складіть рівняння прямих, що проходять через точку A (3,1) і нахилених до прямої 2x + 3y-1 = 0 під кутом 45 o.

Рішення.Будемо шукати у вигляді y = kx + b. Оскільки пряма проходить через точку A, то її координати задовольняють рівняння прямої, тобто 1 = 3k + b,Þ b = 1-3k. Величина кута між прямими
y = k 1 x + b 1 і y = kx + b визначається формулою tg j =. Так як кутовий коефіцієнт k 1 вихідної прямий 2x + 3y-1 = 0 дорівнює - 2/3, а кут j = 45 o, то маємо рівняння для визначення k:

(2/3 + k) / (1 - 2 / 3k) = 1 або (2/3 + k) / (1 - 2 / 3k) = -1.

Маємо два значення k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Знаходячи відповідні значення b за формулою b = 1-3k, отримаємо дві шукані прямі, рівняння яких: x - 5y + 2 = 0 і
5x + y - 16 = 0.

приклад 1.6. При якому значенні параметра tпрямі, рівняння яких 3tx-8y + 1 = 0 і (1 + t) x-2ty = 0, паралельні?

Рішення.Прямі, задані загальними рівняннями, Паралельні, якщо коефіцієнти при xі yпропорційні, тобто 3t / (1 + t) = -8 / (- 2t). Вирішуючи отримане рівняння, знаходимо t: T 1 = 2, t 2 = -2/3.

приклад 1.7. Знайти рівняння загальної хорди двох кіл:
x 2 + y 2 = 10 і x 2 + y 2 -10x-10y + 30 = 0.

Рішення.Знайдемо точки перетину кіл, для цього вирішимо систему рівнянь:

.

Вирішуючи перше рівняння, знаходимо значення x 1 = 3, x 2 = 1. З другого рівняння - відповідні значення y: Y 1 = 1, y 2 = 3. Тепер отримаємо рівняння загальної хорди, знаючи дві точки А (3,1) і B (1,3), що належать цій прямій: (y-1) / (3-1) = (x-3) / (1-3), або y + x - 4 = 0.

приклад 1.8. Як розташовані на площині точки, координати яких задовольняють умовам (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

Рішення.Перше нерівність системи визначає внутрішність круга, не включаючи кордон, тобто окружність з центром в точці (3,3) і радіусу. Друге нерівність задає полуплоскость, обумовлену прямій, рівняння якої x = y, причому, так як нерівність суворе, точки самої прямій не належать півплощини, а всі крапки нижче цієї прямої належать півплощини. Оскільки ми шукаємо точки, що задовольняють обом нерівностям, то шукана область - внутрішність півкола.

Приклад 1.9.Обчислити довжину сторони квадрата, вписаного в еліпс, рівняння якого x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1.

Рішення.нехай М (с, з)- вершина квадрата, що лежить в першій чверті. Тоді сторона квадрата дорівнюватиме 2 з. Оскільки крапка Мналежить еліпсу, її координати задовольняють рівняння еліпса c 2 / a 2 + c 2 / b 2 = 1, звідки
c = ab /; значить, сторона квадрата - 2ab /.

Приклад 1.10.Знаючи рівняння асимптот гіперболи y =± 0,5 x і одну з її точок М (12, 3), скласти рівняння гіперболи.

Рішення.Запишемо канонічне рівняння гіперболи: x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1. Асимптоти гіперболи задаються рівняннями y =± 0,5 x, значить, b / a = 1/2, звідки a = 2b. оскільки М- точка гіперболи, то її координати задовольняють рівняння гіперболи, тобто 144 / a 2 - 27 / b 2 = 1. З огляду на, що a = 2b, знайдемо b: b 2 = 9Þ b = 3 і a = 6. Тоді рівняння гіперболи - x 2/36 - y 2/9 = 1.

Приклад 1.11.Обчислити довжину сторони правильного трикутника ABC, вписаного в параболу з параметром р, Припускаючи, що точка А збігається з вершиною параболи.

Рішення.Канонічне рівняння параболи з параметром рмає вигляд y 2 = 2рx, вершина її збігається з початком координат, і парабола симетрична щодо осі абсцис. Так як пряма AB утворює з віссю Ox кут в 30 o, то рівняння прямої має вигляд: y = x. великою кількістю графіків

Отже, ми можемо знайти координати точки B, вирішуючи систему рівнянь y 2 = 2рx, y = x, звідки x = 6р, y = 2 р. Значить, відстань між точками A (0,0) і B (6р, 2 р) дорівнює 4 р.