Теорема. Система лінійних рівнянь спільна тоді лише тоді, коли ранг розширеної матриці дорівнює рангу самої матриці системи.

Системи лінійних рівнянь

Спільні r(A)=r() несумісні r(A)≠r().

Таким чином, системи лінійних рівнянь мають або безліч рішень, або одне рішення, або не мають рішень зовсім.

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Елементарні перетворення матриці. Метод крамаря. Визначення вектора

Два елементи перестановки утворюють інверсію якщо в записі перестановки більший елемент передує меншому. існує n різних перестановок n ого ступеня з n чисел доведемо цю.

Якщо Вам потрібно додатковий матеріална цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Твітнути

Всі теми цього розділу:

Теорема Кронекера-Капеллі
Розглянемо систему лінійних рівнянь з n невідомими: Складемо матрицю та розширену матрицю

Поняття однорідної системи лінійних рівнянь
Система лінійних рівнянь, все вільні члени у яких рівні 0, тобто. система виду називається однорідною

Властивість рішень однорідної СЛУ
Лінійна комбінація розв'язків однорідної системи рівнянь сама є розв'язком цієї системи. x=і y=

Зв'язок між рішеннями однорідних та неоднорідних систем лінійних рівнянь
Розглянемо обидві системи: I та

Аксіоматичний підхід до визначення лінійного простору
Раніше було введено поняття n-вимірного векторного простору як сукупності впорядкованих систем n-дійсних чисел, для яких були введені операції складання та множення на дійсне год

Наслідки з аксіом
1. Єдиність нульового вектора 2. Єдиність протилежного вектора

Доказ наслідків
1. Припустимо, що. -нульово

Базис. Розмірність. Координати
Визначення 1. Базисом лінійного простору L називається система елементів, що належать L, що задовольняє двом умовам: 1) система

Однак на практиці широко поширені ще два випадки:

- Система несумісна (не має рішень);
– Система спільна і має безліч рішень.

Примітка : термін «спільність» має на увазі, що система має хоч якесь рішення. У ряді завдань потрібно попередньо дослідити систему на спільність, як це зробити – див. рангу матриць.

Для цих систем застосовують найбільш універсальний із усіх способів вирішення – метод Гауса. Насправді, до відповіді приведе і «шкільний» спосіб, але в вищої математикиприйнято використовувати гаусівський метод послідовного виключення невідомих. Ті, хто не знайомий з алгоритмом методу Гауса, будь ласка, спочатку вивчіть урок метод Гауса для чайників.

Самі елементарні перетворення матриці – такі самі, різниця буде наприкінці рішення. Спочатку розглянемо кілька прикладів, коли система немає рішень (несовместная).

Приклад 1

Що відразу впадає в око в цій системі? Кількість рівнянь – менше, ніж кількість змінних. Якщо кількість рівнянь менша, ніж кількість змінних, то відразу можна сказати, що система або несумісна, або має безліч рішень. І це залишилося лише з'ясувати.

Початок рішення цілком звичайний - запишемо розширену матрицю системи і за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1) На лівій верхній сходинці нам потрібно отримати +1 або –1. Таких чисел у першому стовпці немає, тож перестановка рядків нічого не дасть. Одиниці доведеться організувати самостійно, і зробити це можна кількома способами. Я вчинив так: До першого рядка додаємо третій рядок, помножений на -1.

(2) Тепер отримуємо два нулі у першому стовпці. До другого рядка додаємо перший рядок, помножений на 3. До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на 5.

(3) Після виконаного перетворення завжди доцільно подивитися, а чи не можна спростити отримані рядки? Можна. Другий рядок ділимо на 2, заразом отримуючи необхідну -1 на другій сходинці. Третій рядок ділимо на -3.

(4) До третього рядка додаємо другий рядок.

Напевно, всі звернули увагу на поганий рядок, який вийшов у результаті елементарних перетворень: . Зрозуміло, що так не може бути. Справді, перепишемо отриману матрицю назад у систему лінійних рівнянь:

Якщо результаті елементарних перетворень отримано рядок виду , де – число, відмінне від нуля, система несумісна (немає рішень) .

Як записати закінчення завдання? Намалюємо білою крейдою: «в результаті елементарних перетворень отримано рядок виду , де» і дамо відповідь: система не має рішень (несумісна).

Якщо ж за умовою потрібно ДОСЛІДЖУВАТИ систему на спільність, тоді необхідно оформити рішення у більш солідному стилі із залученням поняття рангу матриці та теореми Кронекера-Капеллі.

Зверніть увагу, що тут немає жодного зворотного ходу алгоритму Гауса – рішень немає і знаходити нічого.

Приклад 2

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Це приклад для самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку. Знову нагадую, що ваш хід рішення може відрізнятися від мого ходу рішення, алгоритм Гауса не має сильної «жорсткості».

Ще одна технічна особливістьрішення: елементарні перетворення можна припиняти відразу жяк тільки з'явився рядок виду, де. Розглянемо умовний приклад: припустимо, що після першого перетворення вийшла матриця . Матриця ще не приведена до ступінчастого вигляду, але в подальших елементарних перетвореннях немає жодної необхідності, тому що з'явився рядок виду , де . Слід одразу дати відповідь, що система несумісна.

Коли система лінійних рівнянь не має рішень – це майже подарунок, зважаючи на те, що виходить коротке рішення, іноді буквально на 2-3 дії.

Але все в цьому світі врівноважене, і завдання, в якому система має безліч рішень – якраз довше.

Приклад 3

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Тут 4 рівнянь і 4 невідомих, таким чином, система може мати або єдине рішення, або не мати рішень, або мати безліч рішень. Як би там не було, але метод Гауса у будь-якому випадку приведе нас до відповіді. У цьому й універсальність.

Початок знову стандартний. Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Ось і все, а ви боялися.

(1) Зверніть увагу, що всі числа в першому стовпці поділяються на 2, тому на лівій верхній сходинці нас влаштовує двійка. До другого рядка додаємо перший рядок, помножений на -4. До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на -2. До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на -1.

Увага!У багатьох може виникнути спокуса з четвертого рядка віднятиперший рядок. Так робити можна, але не потрібно, досвід показує, що ймовірність помилки у обчисленнях збільшується у кілька разів. Тільки складаємо: До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на –1 – саме так!

(2) Останні три рядки пропорційні, два з них можна видалити.

Тут знову треба виявити підвищена увага, а чи справді рядки пропорційні? Для перестрахування (особливо, чайнику) не зайвим буде другий рядок помножити на -1, а четвертий рядок розділити на 2, отримавши в результаті три однакові рядки. І лише після цього видалити дві з них.

В результаті елементарних перетворень розширена матриця системи наведена до ступінчастого вигляду:

При оформленні завдання у зошиті бажано для наочності робити такі самі позначки олівцем.

Перепишемо відповідну систему рівнянь:

"Звичайним" єдиним рішенням системи тут і не пахне. Поганого рядка теж немає. Значить, це третій випадок, що залишився – система має нескінченно багато рішень. Іноді за умовою слід досліджувати спільність системи (тобто довести, що рішення взагалі існує), про це можна прочитати в останньому параграфі статті Як знайти ранг матриці?Але поки що розбираємо ази:

Безліч рішень системи коротко записують у вигляді так званого загального вирішення системи .

Загальне рішення системи знайдемо за допомогою зворотного ходу методу Гаусса.

Спочатку потрібно визначити, які змінні у нас є базисними, а які змінні вільними. Не обов'язково морочитися термінами лінійної алгебри, Досить запам'ятати, що ось існують такі базисні змінніі вільні змінні.

Базисні змінні завжди сидять строго на сходах матриці..
У даному прикладібазисними змінними є і

Вільні змінні – це все рештазмінні, яким не дісталося сходинки. У нашому випадку їх дві: вільні змінні.

Тепер потрібно все базисні зміннівисловити тільки через вільні змінні.

Зворотний хід алгоритму Гауса традиційно працює знизу нагору.
З другого рівняння системи виражаємо базисну змінну:

Тепер дивимося на перше рівняння: . Спочатку в нього підставляємо знайдений вираз:

Залишилося висловити базисну змінну через вільні змінні:

У результаті вийшло те, що потрібно – всебазисні змінні (і) виражені тільки черезвільні змінні:

Власне, загальне рішення готове:

Як правильно записати загальне рішення?
Вільні змінні записуються у загальне рішення «самі собою» і суворо своїх місцях. У цьому випадку вільні змінні слід записати на другій та четвертій позиції:
.

Отримані вирази для базисних змінних і, очевидно, потрібно записати на першій та третій позиції:

Надаючи вільним змінним довільні значення, можна знайти нескінченно багато приватних рішень. Найпопулярнішими значеннями є нулі, оскільки приватне рішення виходить найпростіше. Підставимо у загальне рішення:

- Приватне рішення.

Іншою солодкою парочкою є одиниці, підставимо у загальне рішення:

- Ще одне приватне рішення.

Легко помітити, що система рівнянь має нескінченно багато рішень(оскільки вільним змінним ми можемо надати будь-якізначення)

кожнеприватне рішення має задовольняти кожномурівняння системи. На цьому ґрунтується «швидка» перевірка правильності рішення. Візьміть, наприклад, часткове рішення і підставте його в ліву частину кожного рівняння вихідної системи:

Все має зійтися. І з будь-яким отриманим вами приватним рішенням – також все має зійтися.

Але, строго кажучи, перевірка приватного рішення іноді дурить, тобто. якесь приватне рішення може задовольняти кожному рівнянню системи, а загальне рішення насправді знайдено неправильно.

Тому ґрунтовніша і надійніша перевірка загального рішення. Як перевірити отримане загальне рішення ?

Це нескладно, але досить нудно. Потрібно взяти вирази базиснихзмінних, у разі і , і підставити їх у ліву частину кожного рівняння системи.

У ліву частину першого рівняння системи:

У ліву частину другого рівняння системи:


Отримано праву частину вихідного рівняння.

Приклад 4

Вирішити систему методом Гаусса. Знайти спільне рішення та два приватні. Зробити перевірку загального рішення.

Це приклад самостійного рішення. Тут, до речі, знову кількість рівнянь менша, ніж кількість невідомих, а отже, відразу зрозуміло, що система буде або несумісною, або з безліччю рішень. Що важливо у процесі вирішення? Увага, і ще раз увага. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

І ще пара прикладів для закріплення матеріалу

Приклад 5

Розв'язати систему лінійних рівнянь. Якщо система має нескінченно багато рішень, знайти два приватних рішення та зробити перевірку загального рішення

Рішення: Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1) До другого рядка додаємо перший рядок. До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на 2. До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на 3.
(2) До третього рядка додаємо другий рядок, помножений на –5. До четвертого рядка додаємо другий рядок, помножений на -7.
(3) Третій і четвертий рядки однакові, один з них видаляємо.

Ось така краса:

Базисні змінні сидять на сходах, тому базисні змінні.
Вільна змінна, якій не дісталося сходинки тут лише одна:

Зворотний хід:
Висловимо базисні змінні через вільну змінну:
Із третього рівняння:

Розглянемо друге рівняння і підставимо в нього знайдений вираз:

Розглянемо перше рівняння і підставимо в нього знайдені вирази:

Так, все-таки зручний калькулятор, який вважає прості дроби.

Таким чином, загальне рішення:

Ще раз, як воно вийшло? Вільна змінна самотньо сидить на своєму законному четвертому місці. Отримані висловлювання для базисних змінних теж зайняли свої порядкові місця.

Відразу здійснимо перевірку загального рішення. Робота для негрів, але вона у мене вже виконана, тому ловіть =)

Підставляємо трьох богатирів , у ліву частину кожного рівняння системи:

Отримано відповідні праві частини рівнянь, отже, загальне рішення знайдено правильно.

Тепер із знайденого загального рішення отримаємо два приватні рішення. Шеф-кухарем тут виступає єдина вільна змінна. Ламати голову не треба.

Нехай тоді - Приватне рішення.
Нехай тоді - Ще одне приватне рішення.

Відповідь: Загальне рішення: , приватні рішення: , .

Даремно я тут про негрів згадав... ...бо в голову полізли всілякі садистські мотиви і згадалася відома фотожаба, на якій ляльки-кланці в білих балахонах біжать полем за чорношкірим футболістом. Сиджу, тихо посміхаюсь. Знаєте, як відволікає….

Багато математики шкідливе, тому схожий заключний приклад самостійного рішення.

Приклад 6

Знайти загальне рішення системи лінійних рівнянь.

Перевірку загального рішення в мене вже зроблено, відповіді можна довіряти. Ваш хід рішення може відрізнятись від мого ходу рішення, головне, щоб збіглися загальні рішення.

Напевно, багато хто помітив неприємний момент у рішеннях: дуже часто при зворотному ходіметоду Гауса нам довелося возитися з звичайними дробами. Насправді це справді так, випадки, коли дробів немає – зустрічаються значно рідше. Будьте готові морально і, найголовніше, технічно.

Зупинюся на деяких особливостях рішення, які не зустрілися у прикладах, які вирішують.

До загального рішення системи іноді може входити константа (або константи), наприклад: . Тут з базисних змінних дорівнює постійному числу: . У цьому немає нічого екзотичного, то буває. Очевидно, що в даному випадку будь-яке приватне рішення міститиме п'ятірку на першій позиції.

Рідко, але зустрічаються системи, у яких кількість рівнянь більша за кількість змінних. Метод Гауса працює в найсуворіших умовах, слід незворушно привести розширену матрицю системи до ступінчастого вигляду за стандартним алгоритмом. Така система може бути несумісною, може мати безліч рішень, і, як не дивно, може мати єдине рішення.

Дослідити систему лінійних агебраїчних рівнянь (СЛАУ) на спільність означає з'ясувати, чи є у цієї системи рішення, чи їх немає. Ну і якщо рішення є, то вказати скільки їх.

Нам знадобляться відомості з теми "Система лінійних рівнянь алгебри. Основні терміни. Матрична форма запису" . Зокрема, потрібні такі поняття, як матриця системи та розширена матриця системи, оскільки саме на них спирається формулювання теореми Кронекера-Капеллі. Як завжди, матрицю системи позначатимемо буквою $A$, а розширену матрицю системи - буквою $\widetilde(A)$.

Теорема Кронекера-Капеллі

Система лінійних алгебраїчних рівняньспільна і тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці системи, тобто. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

Нагадаю, що система називається спільною, якщо вона має хоч одне рішення. Теорема Кронекера-Капеллі говорить ось про що: якщо $ Rang A = Rang Widetilde (A) $, то рішення є; якщо $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, то дана СЛАУ не має рішень (неспільна). Відповідь на питання про кількість цих рішень дає слідство з теореми Кронекер-Капеллі. У формулюванні слідства використано букву $n$, яка дорівнює кількості змінних заданої СЛАУ.

Слідство з теореми Кронекера-Капеллі

1. Якщо $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, то СЛАУ несумісна (не має рішень).
2. Якщо $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Якщо $rang A=rangwidetilde(A) = n$, то СЛАУ є певною (має рівно одне рішення).

Зауважте, що сформульована теорема та наслідок з неї не вказують, як знайти рішення СЛАУ. З їхньою допомогою можна лише з'ясувати, існують ці рішення чи ні, а якщо існують – то скільки.

Приклад №1

Дослідити СЛАУ $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned )\right.$ на спільність.

Щоб з'ясувати наявність рішень заданої СЛАУ, використовуємо теорему Кронекера-Капеллі. Нам знадобляться матриця системи $A$ і розширена матриця системи $\widetilde(A)$, запишемо їх:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(array) \right). $$

Потрібно знайти $rang A$ і $rangwidetilde(A)$. Для цього є багато способів, деякі з яких перелічені у розділі "Ранг матриці". Зазвичай для дослідження таких систем застосовують два методи: "Обчислення рангу матриці за визначенням" або "Обчислення рангу матриці методом елементарних перетворень".

Спосіб №1. Обчислення рангів за визначенням.

Згідно з визначенням, ранг - це найвищий порядокмінорів матриці, серед яких є хоч один, відмінний від нуля. Зазвичай дослідження починають з мінорів першого порядку, але тут зручніше розпочати обчислення мінора третього порядку матриці $A$. Елементи мінора третього порядку знаходяться на перетині трьох рядків і трьох стовпців матриці. Оскільки матриця $A$ містить лише 3 рядки і 3 стовпця, то мінор третього порядку матриці $A$ - це визначник матриці $A$, тобто. $\Delta A$. Для обчислення визначника застосуємо формулу №2 з теми "Формули для обчислення визначників другого та третього порядків":

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

Отже, є мінор третього порядку матриці $A$, який не дорівнює нулю. Мінор четвертого порядку скласти неможливо, тому що для нього потрібно 4 рядки та 4 стовпці, а в матриці $A$ всього 3 рядки та 3 стовпці. Отже, найвищий порядок мінорів матриці $A$, серед яких є хоча б один не рівний нулю, дорівнює 3. Отже, $ Rang A = 3 $.

Нам потрібно знайти і $rang\widetilde(A)$. Погляньмо на структуру матриці $\widetilde(A)$. До риси в матриці $\widetilde(A)$ знаходяться елементи матриці $A$, причому ми з'ясували, що $\Delta A\neq 0$. Отже, матриця $\widetilde(A)$ має мінор третього порядку, який не дорівнює нулю. Мінорів четвертого порядку матриці $\widetilde(A)$ скласти ми можемо, тому робимо висновок: $\rang\widetilde(A)=3$.

Оскільки $rang A=rangwidetilde(A)$, відповідно до теоремі Кронекера-Капелли система спільна, тобто. має рішення (хоча б одне). Щоб вказати кількість рішень, врахуємо, що наша СЛАУ містить 3 невідомі: $x_1$, $x_2$ і $x_3$. Оскільки кількість невідомих $n=3$, то робимо висновок: $rang A=rangwidetilde(A)=n$, тому відповідно до слідства з теореми Кронекера-Капеллі, система є певною, тобто. має єдине рішення.

Завдання вирішено. Які недоліки та переваги має даний спосіб? Для початку поговоримо про плюси. По-перше, нам знадобилося знайти лише один визначник. Після цього ми одразу зробили висновок про кількість рішень. Зазвичай у стандартних типових розрахунках даються системи рівнянь, які містять три невідомі і мають єдине рішення. Для таких систем даний методдуже навіть зручний, бо ми заздалегідь знаємо, що рішення є (інакше приклад не було б у типовому розрахунку). Тобто. нам залишається тільки показати наявність рішення найбільш швидким способом. По-друге, обчислене значення визначника матриці системи (тобто $\Delta A$) стане в нагоді після: коли вирішуватимемо задану систему методом Крамера або за допомогою зворотної матриці .

Проте метод обчислення рангу визначення небажано застосовувати, якщо матриця системи $A$ є прямокутною. У цьому випадку краще застосувати другий метод, про який йтиметься нижче. Крім того, якщо $ \ Delta A = 0 $, то ми нічого не зможемо сказати про кількість рішень заданої неоднорідної СЛАУ. Може, СЛАУ має нескінченну кількість рішень, а може – жодного. Якщо $\Delta A=0$, то потрібно додаткове дослідження, яке найчастіше є громіздким.

Підсумовуючи сказане, зазначу, перший спосіб хороший для тих СЛАУ, які мають матриця системи квадратна. При цьому сама СЛАУ містить три або чотири невідомі та взята зі стандартних типових розрахунків або контрольних робіт.

Спосіб №2. Обчислення рангу шляхом елементарних перетворень.

Докладно цей метод описаний у відповідній темі. Ми обчислюватимемо ранг матриці $\widetilde(A)$. Чому саме матриці $\widetilde(A)$, а не $A$? Справа в тому, що матриця $A$ є частиною матриці $widetilde(A)$, тому обчислюючи ранг матриці $widetilde(A)$ ми одночасно знайдемо і ранг матриці $A$.

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(змінюємо місцями перший і другий рядки)\right| \rightarrow \\ &rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1 \\ r_3+4r_1 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) (ccc| c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10 \\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 ) \phantom(0)\r_3-2r_2 \end(array)\rightarrow\\ \rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right) \end(aligned)

Ми привели матрицю $\widetilde(A)$ до ступінчастого вигляду. Отримана ступінчаста матриця має три ненульові рядки, тому її ранг дорівнює 3. Отже, і ранг матриці $ widetilde (A) $ дорівнює 3, тобто. $ \ rang \ widetilde (A) = 3 $. Роблячи перетворення з елементами матриці $\widetilde(A)$ ми одночасно перетворювали і елементи матриці $A$, розташовані до межі. Матриця $A$ також приведена до ступінчастого вигляду: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \right ) $. Висновок: ранг матриці $ A $ також дорівнює 3, тобто. $ Rang A = 3 $.

Оскільки $rang A=rangwidetilde(A)$, відповідно до теоремі Кронекера-Капелли система спільна, тобто. має рішення. Щоб вказати кількість рішень, врахуємо, що наша СЛАУ містить 3 невідомі: $x_1$, $x_2$ і $x_3$. Оскільки кількість невідомих $n=3$, то робимо висновок: $rang A=rangwidetilde(A)=n$, тому відповідно до слідства з теореми Кронекера-Капеллі, система визначена, тобто. має єдине рішення.

Які переваги другого способу? Головна перевага – це його універсальність. Нам зовсім неважливо, чи є матриця системи квадратної чи ні. Крім того, ми фактично провели перетворення прямого ходу методу Гаусса. Залишилося лише кілька дій, і ми змогли отримати рішення цієї СЛАУ. Чесно кажучи, другий спосіб подобається мені більше за перший, але вибір - це справа смаку.

Відповідь: Задана СЛАУ спільна та визначена

Приклад №2

Дослідити СЛАУ $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4. \end(aligned) \right.$ на спільність.

Знаходити ранги матриці системи та розширеної матриці системи будемо методом елементарних перетворень. Розширена матриця системи: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1 \ \ -1 & 2 & -3 & 3 \ & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Знайдемо необхідні ранги, перетворюючи розширену матрицю системи:

$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\r_2+r_1\r_3-2r_1\r_4 -3r_1\r_5-2r_1\end(array)\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\r_3-r_2\r_4-r_2\r_5+r_2\end(array)\rightarrow\\$$ $$ \rightarrow\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \ right) \begin(array) (l) \phantom(0)\phantom(0)\phantom(0)\r_4-r_3\phantom(0)\end(array)\rightarrow \left (\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right) $$

Розширена матриця системи наведена до ступінчастого вигляду. Ранг ступінчастої матриці дорівнює кількості її ненульових рядків, тому $ rang widetilde (A) = 3 $. Матриця $A$ (до межі) теж приведена до ступінчастого вигляду, і ранг її дорівнює 2, $ rang (A) = 2 $.

Так як $ rang A neq rang widetilde (A) $, то відповідно до теореми Кронекера-Капеллі система несумісна (тобто не має рішень).

Відповідь: система несумісна.

Приклад №3

Дослідити СЛАУ $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5= ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132 \end(aligned) \right.$ на спільність.

Наводимо розширену матрицю системи до ступінчастого вигляду:

$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \overset (r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\r_2-2r_1 \r_3+3r_1 \r_4+5r_1 \r_5-7r_1 \end( array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & - 2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end(array) \right) \begin( array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end(array) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin (array)(ccccc|c) 1&-2&3&0&2&17\\0&4&1&-5&7&8\\0&0&-11&15&-25&-76 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 ) \\ \phantom(0)\\phantom(0) \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3&0&2&17\\0&4&1&-5&7&8\\0&0&-11&15&-25&-76\\0&0&0&0&0&0&0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right) $$

Ми привели розширену матрицю системи та саму матрицю системи до ступінчастого вигляду. Ранг розширеної матриці системи дорівнює трьом, ранг матриці системи також дорівнює трьом. Оскільки система містить $n=5$ невідомих, тобто. $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$, то відповідно до слідства з теореми Кронекера-Капеллі дана системає невизначеною, тобто. має безліч рішень.

Відповідь: система є невизначеною

У другій частині ми розберемо приклади, які нерідко включають до типових розрахунків або контрольні роботиз вищої математики: дослідження на спільність та рішення СЛАУ залежно від значень параметрів, що входять до неї.

Якщо система

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m. (5.1)

виявилася спільною, т. е. матриці системи A і матриця розширеної системи (зі стовпцем вільних членів) A|b мають один і той же ранг, то можуть представитися дві можливості - a) r = n; б) r< n:

а) якщо r = n, маємо n незалежних рівнянь з n невідомими, причому визначник D цієї системи відмінний від нуля. Така система має єдине рішення, одержуване ;

б) якщо r< n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесемо зайві невідомі x r+1 , x r+2 ,..., x n , які називають вільними, у праві частини; наша система лінійних рівнянь набуде вигляду:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1r x r = b 1 - a 1 , r+1 x r+1 -... - a 1n x n,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2r x r = b 2 - a 2 , r+1 x r+1 -... - a 2n x n,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a r1 x 1 + a r2 x 2 +... + a rr x r = b r - a r, r+1 x r+1 -... - a rn x n.

Її можна вирішити щодо x 1 , x 2 ,..., x r , оскільки визначник цієї системи (r-го порядку) відрізняється від нуля. Надаючи вільним невідомим довільні числові значення, отримаємо за формулами Крамера відповідні числові значення x 1 , x 2 ,..., x r. Таким чином, при r< n имеем бесчисленное множество решений.

Система (5.1) називається однорідний, якщо всі b i = 0, тобто вона має вигляд:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = 0, (5.5) ... ... . .. ... ... ... a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = 0.

З теореми Кронекера-Капеллі випливає, що вона завжди спільна, тому що додавання стовпця з нулів не може підвищити рангу матриці. Це, втім, видно і безпосередньо - система (5.5) свідомо має нульове, або тривіальне рішення x 1 = x 2 =... = x n = 0. Нехай матриця А системи (5.5) має ранг r. Якщо r = n, то нульове рішення буде єдиним розв'язком системи (5.5); при r< n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений. Всякий ненулевой вектор - столбец X= (x 1 , x 2 ,..., x n) T называется власним вектором лінійного перетворення (квадратної матриці A ), якщо знайдеться таке число λ, що виконуватиметься рівність

Число λ називається власним значенням лінійного перетворення (матриці A ), відповідним вектором X. Матриця A має порядок n. У математичній економіці велику роль відіграють так звані продуктивні матриці. Доведено, що матриця A є продуктивною тоді і лише тоді, коли всі власні значення матриці A за модулем менше одиниці. Для знаходження власних значень матриці A перепишемо рівність AX = λX у вигляді (A - λE)X = 0, де E- одинична матриця n-го порядку або в координатній формі:

(a 11 -λ)x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n =0,

a 21 x 1 + (a 22 -λ) x 2 +... + a 2n x n = 0, (5.6)

... ... ... ... ... ... ... ... ... a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + (a nn -λ) x n = 0 .

Отримали систему лінійних однорідних рівнянь, яка має ненульові рішення і тоді, коли визначник цієї системи дорівнює нулю, тобто.

Отримали рівняння n-ого ступеня щодо невідомого λ, яке називається характеристичним рівнянням матриці A, багаточлен називається характеристичним багаточленом матриці A, а його коріння - характеристичними числами, чи власними значеннями, матриці A. Для знаходження власних матриці A векторне рівняння (A - λE)X = 0 або у відповідну систему однорідних рівнянь (5.6) потрібно підставити знайдені значення λ і вирішувати звичайним чином. Приклад 2.16. Дослідити систему рівнянь та вирішити її, якщо вона спільна.

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 =1, 3x 1 - x 2 + x 3 + 4x 4 + 3x 5 =4, x 1 + 5x 2 - 9x 3 - 8x 4 + x 5 =0 .

Рішення.Будемо знаходити ранги матриць A і A|b методом елементарних перетворень, водночас наводячи систему до ступінчастого вигляду:

Очевидно, що r(A) = r( A|b) = 2. Вихідна система рівносильна наступній, наведеній до ступінчастого вигляду:

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 = 1, - 4x 2 + 7x 3 + 7x 4 = 1.

Оскільки визначник при невідомих x 1і x 2відмінний від нуля, їх можна прийняти в якості головних і переписати систему у вигляді:

x 1 + x 2 = 2x 3 + x 4 - x 5 + 1, - 4x 2 = - 7x 3 - 7x 4 + 1,

Звідки x 2 = 7/4 x 3 + 7/4 x 4 -1/4, x 1 = 1/4 x 3 -3/4 x 4 - x 5 + 5/4 - загальне рішення системи, що має безліч рішень . Надаючи вільним невідомим x 3 , x 4 , x 5конкретні числові значення, отримуватимемо приватні рішення. Наприклад, при х 3 = х 4 = х 5 = 0 х 1 = 5/4, х 2 = - 1/4. Вектор C(5/4 - 1/4, 0, 0, 0) є приватним рішенням даної системи. Приклад 2.17.Дослідити систему рівнянь та знайти загальне рішення залежно від значення параметра а.

2x 1 - x 2 + x 3 + x 4 = 1, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2, x 1 + 7x 2 - 4x 3 + 11x 4 = a.

Рішення.Даній системі відповідає матриця . Маємо А ~

отже, вихідна система рівносильна такій:

x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2,

5x 2 - 3x 3 + 7x 4 = a-2,

Звідси видно, що система спільна лише за a=5. Загальне рішення у цьому випадку має вигляд:

x 2 = 3/5 + 3/5x 3 - 7/5x 4 x 1 = 4/5 - 1/5x 3 - 6/5x 4.

приклад 2.18. З'ясувати, чи буде лінійно залежною система векторів:

a 1 =(1, 1, 4, 2),

a 2 = (1, -1, -2, 4),

a 3 = (0, 2, 6, -2),

a 4 =(-3, -1, 3, 4),

a 5 =(-1, 0, - 4, -7),

Рішення.Система векторів є лінійно залежною, якщо знайдуться такі числа x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ,з яких хоча б одне відмінно від нуля
(див. п. 1. розд. I), що виконується векторна рівність:

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3+x4 a 4+x5 a 5 = 0.

У координатному записі воно рівносильне системі рівнянь:

x 1 + x 2 - 3x 4 - x 5 = 0, x 1 - x 2 + 2x 3 - x 4 = 0, 4x 1 - 2x 2 + 6x 3 +3x 4 - 4x 5 = 0, 2x 1 + 4x 2 - 2x3 + 4x4 - 7x5 = 0.

Отже, отримали систему лінійних однорідних рівнянь. Вирішуємо її шляхом виключення невідомих:

Система приведена до ступінчастого вигляду, що дорівнює 3, отже, однорідна система рівнянь має рішення, відмінні від нульового (r< n). Определитель при неизвестных x 1 , x 2 , x 4відмінний від нуля, тому їх можна вибрати як головні і переписати систему у вигляді:

x 1 + x 2 - 3x 4 = x 5, -2x 2 + 2x 4 = -2x 3 - x 5, - 3x 4 = - x 5.

Маємо: x 4 = 1/3 x 5 x 2 = 5/6 x 5 + x 3 x 1 = 7/6 x 5 -x 3 . Система має безліч рішень; якщо вільні невідомі x 3і x 5не рівні нулю одночасно, те й головні невідомі відмінні від нуля. Отже, векторне рівняння

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3+x4 a 4+x5 a 5 = 0

в) (хе+у"=1, г) (х"+у"=2а - 1,

(ху = а; (ху = а - 1?)

9.198. Знайдіть число розв'язків системи рівнянь ((х(+)у~=!,

в залежності від параметра а.

9.199. Скільки розв'язків залежно від а має система рівнянь:

а) (х "+ у" = 9, б) (х "+ у" +! Ох = 0,

(~х~ =у - а; (у=~х - а~?

9.200. При яких значеннях параметра а система рівнянь

має три рішення? Знайдіть ці рішення.

9.201. За яких значень параметра р система рівнянь

(ру + х) (х - р УЗ) = О

має три рішення?

9.202. За яких значень параметра Ь система рівнянь

а) 1 ~х~ +4)у~ = Ь, б) 1 х~ +2 ~у(= 1, в) (~у! +х =4

! ~у! + ХГ = 1! ~у!+хг=Ь (х +У =Ь

має чотири різні рішення?

9.208. При яких значеннях параметра система рівнянь

має вісім різних рішень?

9.204. Розв'яжіть систему рівнянь

де а)О, і доведіть, що якщо а - ціле число, то для

кожного рішення (х; у) цієї системи число 1+ху є квадратом цілого числа.

9.205. При яких значеннях параметра а система рівнянь

х "+ у" + 2ху - бх - бу + 10 - а = О,

х "+ у" - 2ху - 2х + 2У + а = О

чи має хоча б одне рішення?

Розв'яжіть систему при знайдених значеннях а.

9.206. Знайдіть усі значення параметра а, за яких система

рівнянь (х"+(у - 2)"=1, має хоча б одне рішення.

9.207. Знайдіть усі значення параметра а, за яких кола х" +д" = 1 і (х - а)» +д" =4 стосуються.

9.208. Знайдіть усі значення параметра а(а>О), при яких кола х"+д"=1 і (х - 3)"+(д - 4)"=а" стосуються.

Знайдіть координати точки торкання.

9.209. Знайдіть усі значення а (а>0), при яких коло

х"+д"=а" стосується прямої Зх +4д = 12. Знайдіть координати точки дотику.

Д" - 2х+ 4д = 21. Знайдіть координати точок перетину

прямий та кола.

9.211. За якого значення параметра а пряма ед=х+1 буде

проходити через центр кола (х - 1) + (д - а)" = 8?

Знайдіть координати точок перетину прямої та кола.

9 212. Відомо, що пряма д= 12х - 9 і парабола д =ах" мають

лише одну загальну точку. Знайдіть координати цієї точки.

9.213. За яких значень Ь і г (Ь>0, г>0) коло

(х - 1)"+(д - Ь)"=г" стосуватиметься прямих д=0 і д= - х?

Знайдіть координати точок торкання.

9.214. Зобразіть на координатної площинибезліч точок з

координатами (а; Ь) таких, що система рівнянь

має хоча одне рішення.

9.215. При яких значеннях параметра система рівнянь

а (х" + 1) = д - ~ х ~ + 1,

має єдине рішення?

9 1О. ТЕКСТОВІ ЗАВДАННЯ

Текстові завдання, зазвичай, вирішують за такою схемою: обирають невідомі; становлять рівняння чи систему рівнянь, а деяких завданнях - нерівність чи систему нерівностей; вирішують отриману систему (іноді досить знайти із системи якусь комбінацію невідомих, а чи не вирішувати їх у звичному значенні).